Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
1. Числовая окружность в жизни.
2. Определение числовой окружности.
3. Общий вид и длина числовой окружности.
4. Местонахождение основных точек окружности.
Числовая окружность и жизнь
В реальной жизни часто встречается движение по окружности. Например, соревнования велосипедистов, которые проезжают определенный круг на время или соревнования гоночных автомобилей, которым надо проехать наибольшее количество кругов за отведенное время.
Рассмотрим конкретный пример …
Бегун бежит по кругу длиной 400 метров. Спортсмен стартует в точке А (рис. 1) и движется против часовой стрелки. Где он будет находится через 200 м, 800 м, 1500 м? А где провести финишную черту, если бегуну необходимо пробежать 4195 м?
Решение:
Через 200 м бегун будет находиться в точке С. Так как он пробежит ровно половину дистанции.
Пробежав 800 м, бегун сделает ровно два круга и окажется в точке А.
1500м - это 3 круга по 400 м (1200 м) и еще 300 м, то есть $\frac{3}{4}$ от беговой дорожки, финиш этой дистанции в точке D.
Где будет находиться наш бегун пробежав 4195 м? 10 кругов – это 4000 м, останется пробежать 195 м, это на 5 м меньше, чем половина дистанции. Значит финиш будет в точки K, расположенной около точки С.
Определение числовой окружности
Запомните!– это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам. Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.
Общий вид числовой окружности
1) Радиус окружности принимается за единицу измерения.
2) Горизонтальный
диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка. Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
Диаметры АС и BD делят окружность на четыре четверти:
первая четверть
– это дуга AB.
вторая четверть
– дуга BC.
третья четверть
– дуга CD.
четвертая четверть
– дуга DA.
3) Начальная точка
числовой окружности – точка А.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.
Длина числовой окружности
Длина числовой окружности вычисляется по формуле:$L = 2 π * R = 2 π * 1 = 2 π$.
Так как это единичная окружность, то $R = 1$.
Если взять $π ≈ 3,14$, то длина окружности L может быть выражена числом:
$2 π ≈ 2 * 3,14 = 6,28$.
Длина каждой четверти равна: $\frac{1}{4}*2π=\frac{π}{2}$.
Местонахождение основных точек окружности
Основные точки на окружности и их названия представлены на рисунке:
Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на три равные части. Около каждой из полученных двенадцати точек записано число, которому она соответствует.
Для числовой окружности верно следующее утверждение:Если точка $М$ числовой окружности соответствует числу $t$ , то она соответствует и числу вида $t+2π *k$, где $k$ – целое число. $М(t) = M(t+2π*k)$.
Рассмотрим пример.
В единичной окружности дуга АВ разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р - на три равные части. Чему равна длина дуги: AM, МВ, АК, КР, РB, АР, КМ?
Длина дуги $АВ =\frac{π}{2}$. Разделив ее на две равные части точкой М, получим две дуги, длиной $\frac{π}{4}$ каждая. Значит, $AM =МВ=\frac{π}{4}$.
Дуга АВ разбита на три равные части точками К и Р. Длина каждой полученной части равна $\frac{1}{3}* \frac{π}{2}$, т. е. $\frac{π}{6}$. Значит, $АК = КР = РВ =\frac{π}{6}$.
Дуга АР состоит из двух дуг АК и КР длиной - $\frac{π}{6}$. Значит, $АР = 2 *\frac{π}{6} =\frac{π}{3}$.
Осталось вычислить длину дуги КМ. Эта дуга получается из дуги AM исключением дуги АК. Таким образом, $КМ = AM – АК =\frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{π}{12}$.
Задача:
Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
$2π$, $\frac{7π}{2}$, $\frac{π}{4}$, $-\frac{3π}{2}$.
Решение:
Числу $2π$ соответствует точка А, т.к. пройдя по окружности путь длиной $2π$, т.е. ровно одну окружность, мы опять попадем в точку А.
Числу $\frac{7π}{2}$ соответствует точка D, т.к. $\frac{7π}{2}=2π+\frac{3π}{2}$, т.е. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти целую окружность и дополнительно путь длиной $\frac{3π}{2}$, который закончится в точке D.
Числу $\frac{π}{4}$ соответствует точка М, т.к. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти путь в половину дуги АВ длиной $\frac{π}{2}$, который закончится в точке M.
Числу $-\frac{3π}{2}$ соответствует точка В, т.к. двигаясь в отрицательном направлении из точки А, нужно пройти путь длиной $\frac{3π}{2}$, который закончится в точке В.
Пример.
Найти на числовой окружности точки:
а) $21\frac{π}{4}$;
б) $-37\frac{π}{6}$.
Решение:
Воспользуемся формулой: $М(t) = M(t+2π*k)$ (8 слайд) получим:
а) $\frac{21π}{4} = (4+\frac{5}{4})*π = 4π +\frac{5π}{4} = 2*2π +\frac{5π}{4}$, значит числу $\frac{21π}{4}$ соответствует такое же число, что и числу $\frac{5}{4π}$ – середина третьей четверти.
б) $-\frac{37π}{6}=-(6+\frac{1}{6})*π =-(6π +\frac{π}{6}) = -3*2π - \frac{π }{6}$. Значит, числу $-\frac{37π}{6}$ соответствует такое же число, что и числу $-\frac{1}{6π}$. Тоже самое, что и $\frac{11π}{6}$.
Пример.
Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) ВА;
б) МK.
Решение:
а) Дуга ВА – это дуга с началом в точке В и концом в точке А, при движении по окружности против часовой стрелки. Точка В соответственно равна $\frac{π}{2}$, а точка А равна $2π$. Значит, для точек t имеем: $\frac{π}{2} ≤ t ≤ 2π$. Но согласно формуле на слайде 8, числам $\frac{π}{2}$ и $2π$ соответствуют числа вида $\frac{π}{2}+2π*k$ и $2π+2π*k$ соответственно.
$\frac{π}{2} +2π*k ≤ t ≤ 2π +2π*k$, где $к$ – целое число.
б) Дуга МK – это дуга с началом в точке М и концом в точке К. Точка М соответственно равна $-\frac{3π}{4}$, а точка К равна $\frac{π}{4}$.
Значит для точек t имеем:
$\frac{-3π}{4} ≤ t ≤\frac{π}{4}$.
Согласно формуле на слайде 8 числам $-\frac{3π}{4}$ и $\frac{π}{4}$ соответствуют числа вида: $-\frac{3π}{4}+2π*k$ и $\frac{π}{4}+2π*k$ соответственно.
Тогда наше число t принимает значения:
$-\frac{3π}{4}+2π*k ≤ t ≤ \frac{π}{4} +2π*k$, где $к$ – целое число.
Задачи для самостоятельного решения
1) На единичной окружности дуга ВС разделена точкой Т на две равные части, а точками К и Р на три равные части. Чему равна длина дуги: ВТ, ТС, ВК, КР, РС, ВР, КТ?
2) Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
$π$, $\frac{11π}{2}$, $\frac{21π}{4}$, $-\frac{7π}{2}$, $\frac{17π}{6}$.
3) Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) АВ;
б) АС;
в) PM, где P – середина дуги АВ, а точка М – середина DA.
3) числу
поставим в соответствие точку.
Единичную окружность с установленным соответствием назовем
числовой окружностью .
Это вторая геометрическая модель для множества действительных
чисел. Первую модель – числовую прямую – учащиеся уже знают. Есть
аналогия: для числовой прямой правило соответствия (от числа к точке)
почти дословно такое же. Но есть и принципиальное отличие – источник
основных трудностей в работе с числовой окружностью: на прямой каждая
точка соответствует единственному числу, на окружности это не так. Если
окружности соответствует числу, то она соответствует и всем
числам вида
Где – длина единичной окружности, а – целое
Рис. 1
число, показывающее количество полных обходов окружности в ту или иную
сторону.
Этот момент труден для учащихся. Следует предложить им для
понимания сути дела реальную задачу:
Беговая дорожка стадиона имеет длину 400 м, бегун находится в 100 м
от места старта. Какой путь он пробежал? Если он только начал бег, то
пробежал 100 м; если успел пробежать один круг, то – (
Два круга – () ; если успел пробежать
кругов, то путь составит (
) . Вот теперь можно сопоставить
полученный результат с выражением
Пример 1. Каким числам соответствует точка
числовой окружности
Решение. Так как длина всей окружности
То длина ее четверти
А потому – всем числам вида
Аналогично устанавливается, каким числам соответствуют точки
называют соответственно первой, второй, третьей,
четвертой четвертями числовой окружности.
Вся школьная тригонометрия строится на модели числовой
окружности. Опыт показывает, что недоработки с этой моделью, слишком
поспешное введение тригонометрических функций не позволяют создать
надежный фундамент для успешного усвоения материала. Следовательно, не
нужно торопиться, а отвести некоторое время на рассмотрение следующих
пяти различных типов задач с числовой окружностью.
Первый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек,
соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа
Пример 2.
числам
Решение. Разделим дугу
пополам точкой на три равные части –
точками
(рис.2). Тогда
Значит, числу
Соответствует точка
Числу
Пример
3.
на
числовой
окружности
точки,
соответствующие числам:
Решение. Построения будем проводить
а) Отложив дугу
(ее длина
) пять раз
от точки
в отрицательном направлении,
получим точку
б) Отложив дугу
(ее длина
) семь раз от
в положительном направлении, получим точку, отделяющую
третью часть дуги
Она и будет соответствовать числу
в) Отложив дугу
(ее длина
) пять раз от точки
в положительном
направлении, получим точку
Отделяющую третью часть дуги. Она и
будет соответствовать числу
(опыт показывает, что лучше откладывать не
пять раз по
А 10 раз по
После этого примера уместно привести два главных макета числовой
окружности: на первом из них (рис.3) все четверти разделены пополам, на
втором (рис.4) – на три равные части. Эти макеты полезно иметь в кабинете
математики.
Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Обязательно следует обсудить с учащимися вопрос: что будет, если по
каждому из макетов двигаться не в положительном, а в отрицательном
направлении? На первом макете выделенным точкам придется присвоить
другие «имена»: соответственно
и т. д.; на втором макете:
Второй тип задач. Отыскание на числовой окружности точек,
соответствующих заданным числам, не выраженным в долях числа
Пример 4. Найти на числовой окружности точки, соответствующие
числам 1; 2; 3; -5.
Решение.
Здесь придется опираться на то, что
Поэтому точка 1
располагается на дуге
ближе к точке
Точки 2 и 3 – на дуге, первая –
Вторая – ближе к (рис.5).
Несколько подробнее остановимся
на отыскании точки, соответствующей числу – 5.
Двигаться надо из точки
в отрицательном направлении, т.е. по часовой
Рис. 5
стрелке. Если пройти в этом направлении до точки
Получим
Значит, точка, соответствующая числу – 5, расположена
чуть правее точки
(см. рис.5).
Третий тип задач. Составление аналитических записей (двойных
неравенств) для дуг числовой окружности.
Фактически мы действуем по тому
же плану, который использовался в 5-8
классах для изучения числовой прямой:
сначала по числу находят точку, затем по
точке – число, потом используют двойные
неравенства для записи промежутков на
числовой прямой.
Рассмотрим для примера открытую
Где – середина первой
четверти числовой окружности, а
– середина ее
второй четверти (рис.6).
Неравенства, характеризующие дугу, т.е. представляющие собой
аналитическую модель дуги, предлагается составлять в два этапа. На первом
этапе составляют ядро аналитической записи (это главное, чему следует
научить школьников); для заданной дуги
На втором
этапе составляют общую запись:
Если же речь идет о дуге
То при записи ядра нужно учесть, что
() лежит внутри дуги, а потому к началу дуги приходится двигаться
в отрицательном направлении. Значит, ядро аналитической записи дуги
имеет вид
Рис. 6
Термины «ядро аналитической
записи дуги», «аналитическая запись
дуги» не являются общепринятыми,
соображений.
Четвертый
задач.
Отыскание
декартовых
координат
точек числовой окружности, центр
которой совмещен с началом системы
координат.
Сначала рассмотрим один достаточно тонкий момент, до сих пор
практически не упоминавшейся в действующих школьных учебниках.
Приступая к изучению модели «числовая окружность на координатной
плоскости», учителя должны отчетливо осознавать, какие трудности ждут
здесь учащихся. Эти трудности связаны с тем, что при изучении указанной
модели от школьников требуется достаточно высокий уровень
математической культуры, ведь им приходится работать одновременно в
двух системах координат – в «криволинейной», когда информация о
положении точки снимается по окружности (числу
соответствует на
окружности точка
(); – «криволинейная координата» точки), и в
декартовой прямоугольной системе координат (у точки
Как у всякой точки
координатной плоскости, есть абсцисса и ордината). Задача учителя – помочь
школьникам в преодолении этих естественных трудностей. К сожалению,
обычно в школьных учебниках на это не обращают внимания и с самых
первых уроков используют записи
Не учитывая, что буква в
сознании школьника четко ассоциируется с абсциссой в декартовой
прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой
окружности пути. Поэтому при работе с числовой окружностью не следует
использовать символы
Рис. 7
Вернемся к четвертому типу задач. Речь идет о переходе от записи
записи
(), т.е. от криволинейных координат к декартовым.
Совместим числовую окружность с декартовой прямоугольной системой
координат так, как показано на рис. 7. Тогда точки
будут иметь
следующие координаты:
() () () (). Очень важно
научить школьников определять координаты всех тех точек, которые
отмечены на двух основных макетах (см. рис.3,4). Для точки
Все сводится к
рассмотрению равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой
Его катеты равны
Значит, координаты
). Аналогично обстоит дело с точками
Но разница лишь в том, что надо учитывать
знаки абсциссы и ординаты. Конкретно:
Что следует запомнить учащимся? Только то, что модули абсциссы и
ординаты у середин всех четвертей равны
А знаки они должны уметь
определять для каждой точки непосредственно по чертежу.
Для точки
Все сводится к рассмотрению прямоугольного
треугольника с гипотенузой 1 и углом
(рис.9). Тогда катет,
противолежащий углу
Будет равен
прилежащий
√
Значит,
координаты точки
Аналогично обстоит дело с точкой
только катеты «меняются местами», а потому
Рис. 8
Рис. 9
получаем
). Именно значения
(с точностью до знаков) и будут
«обслуживать» все точки второго макета (см. рис.4), кроме точек
качестве абсцисс и ординат. Предлогаемый способ запоминания: «где короче,
; где длиннее, там
Пример 5. Найти координаты точки
(см. рис.4).
Решение. Точка
Расположена ближе к вертикальной оси, чем к
горизонтальной, т.е. модуль ее абсциссы меньше, чем модуль ее ординаты.
Значит, модуль абсциссы равен
Модуль ординаты равен
Знаки в обоих
случаях отрицательны (третья четверть). Вывод: точка
Имеет координаты
В четвертом типе задач отыскиваются декартовы координаты всех
точек, представленных на первом и втором макетах, о которых упоминалось
Фактически в курсе данного типа задач мы готовим учащихся к
вычислению значений тригонометрических функций. Если все здесь будет
отработано достаточко надежно, то переход на новую ступень абстракции
(ордината – синус, абсцисса – косинус) окажется менее болезненным, чем
Четвертый тип включает в себя задания такого типа: для точки
найти знаки декартовых координат
Решение не должно вызывать трудности у учащихся: числу
соответствует точка
Четвертой четверти, значит, .
Пятый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек по
заданным координатам.
Пример 6. Найти на числовой окружности точки с ординатой
записать, каким числам они соответствуют.
Решение. Прямая
Пересекает числовую окружность в точках
(рис.11). С помощью второго макета (см. рис.4) устанавливаем, что точка
соответствует числу
Значит, она
соответствует всем числам вида
соответствует числу
А значит, и
всем числам вида
Ответ:
Пример 7. Найти на числовой
окружности точки с абсциссой
записать, каким числам они соответствуют.
Решение.
Прямая
√
пересекает числовую окружность в точках
– серединах второй и третьей четвертей (рис.10). С помощью первого
макета устанавливаем, что точка
соответствует числу
А значит, всем
числам вида
соответствует числу
А значит, всем
числам вида
Ответ:
Надо обязательно показать второй вариант
записи ответа к примеру 7. Ведь точка
соответствует и числу
Т.е. всем числам вида
получаем:
Рис. 10
Рис.11
Подчеркнем неоспоримую важность
пятого типа задач. Фактически мы приучаем
школьников
решению
простейших
тригонометрических уравнений: в примере 6
речь идет об уравнении
А в примере
– об уравнении
понимания сути дела важно научить
школьников решать уравнения видов
по числовой окружности,
не торопясь переходить к формулам
Опыт показывает, что если первая стадия (работа на
числовой окружности) не отработана достаточно надежно, то вторая стадия
(работа по формулам) воспринимается школьниками формально, что,
естественно, надо преодолевать.
Аналогично примерам 6 и 7 следует найти на числовой окружности
точки со всеми «главными» ординатами и абсциссами
качестве особых сюжетов уместно выделить следующие:
Замечание 1. В пропедевтическом плане полезна подготовительная
работа к теме «Длина окружности» в курсе геометрии 9-го класса. Важный
совет : в систему упражнений следует включить задания типа предложенного
ниже. Единичная окружность разделена на четыре равные части точками
дуга разделена точкой пополам, а дуга разделена точками
на три равные части (рис.12). Чему равны длины дуг
(считается, что обход окружности осуществляется в положительном
направлении)?
Рис. 12
Пятый тип задач включает в себя и работу с условиями типа
означает,
к
решению
простейших
тригонометрических неравенств мы также «подбираемся» постепенно.
пяти уроков и лишь на шестом уроке следует ввести определения синуса и
косинуса как координат точки числовой окружности. При этом
целесообразно снова порешать все типы задач со школьниками, но уже с
использованием введенных обозначений, предлагая выполнить такие,
например, задания: вычислить
Решить уравнение
неравенство
и т.д. Подчеркнем, что на первых уроках
тригонометрии простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
являются не целью обучения, а используются в качестве средства для
усвоения главного – определений синуса и косинуса как координат точек
числовой окружности.
Пусть числу
соответствует точка
числовой окружности. Тогда ее абсцисса
называется косинусом числа
и обозначается
А ее ордината называется синусом числа
и обозначается. (рис.13).
Из этого определения сразу можно
установить знаки синуса и косинуса по
четвертям: для синуса
Для косинуса
Посвящать этому целый урок (как это
принято) вряд ли целесообразно. Не следует
заставлять школьников запоминать эти знаки: всякое механическое
запоминание, заучивание – это насильственный прием, которому учащиеся,
В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .
Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:
1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;
3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);
4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).
Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.
Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.
Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).
Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).
Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:
Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).
А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.
Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?
Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.
Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?
Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.
При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.
2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.
К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Числовая окружность». Дается определение, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс и функции y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x для любого числового аргумента. Рассматривается стандартные задачи на соответствие между числами и точками в единичной числовой окружности для нахождения каждому числу единственной точки, и, наоборот, на нахождение для каждой точки множество чисел которые ей соответствуют.
Тема: Элементы теории тригонометрических функций
Урок: Числовая окружность
Наша ближайшая цель - определить тригонометрические функции: синус , косинус , тангенс , котангенс-
Числовой аргумент можно откладывать на координатной прямой или на окружности.
Такая окружность называется числовой или единичной, т.к. для удобства берут окружность с
Например, дана точка Отметим ее на координатной прямой
и на числовой окружности .
При работе с числовой окружностью условились, что движение против часовой стрелки - положительное направление, по часовой стрелке - отрицательное.
Типовые задачи - нужно определить координаты заданной точки либо, наоборот, найти точку по ее координатам.
Координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками и числами. Например, числу соответствует точка А с координатой
Каждая точка В с координатой характеризуется только одним числом - расстоянием от 0 до взятым со знаком плюс или минус.
На числовой окружности взаимно-однозначное соответствие работает только в одну сторону.
Например, есть точка В на координатной окружности (рис.2), длина дуги равна 1, т.е. эта точка соответствует 1.
Дана окружность, длина окружности Если то - длина единичной окружности.
Если мы прибавим , получим ту же точку В, еще - тоже попадем в т. В, отнимем - тоже т. В.
Рассмотрим точку B: длина дуги =1, тогда числа характеризуют т. В на числовой окружности.
Таким образом, числу 1 соответствует единственная точка числовой окружности - точка В, а точке В соответствует бесчисленное множество точек вида 
.
Для числовой окружности верно следующее:
Если т. М числовой окружности соответствует числу то она соответствует и числу вида
Можно делать сколько угодно полных оборотов вокруг числовой окружности в положительном или отрицательном направлении - точка одна и та же. Поэтому тригонометрические уравнения имеют бесчисленное множество решений.
Например, дана точка D. Каковы числа, которым она соответствует?
Измеряем дугу .
множество всех чисел, соответствующих точке D.
Рассмотрим основные точки на числовой окружности.
Длина всей окружности.
Т.е. запись множества координат может быть различной.
Рассмотрим типовые задачи на числовую окружность.
1. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.
Выделяем целую часть:
Необходимо найти т. на числовой окружности. 
, тогда
.
В это множество входит и точка .
2. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.
Необходимо найти т.
т.также принадлежит этому множеству.
Решая стандартные задачи на соответствие между числами и точками на числовой окружности, мы выяснили, что можно для каждого числа найти единственную точку, и можно для каждой точки найти множество чисел, которые характеризуются данной точкой.
Разделим дугу на три равные части и отметим точки M и N.
Найдем все координаты этих точек.
 |
Итак, наша цель - определение тригонометрических функций. Для этого нам необходимо научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки единичной окружности и решили две типовые задачи - найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки единичной окружности.
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
№№ 531; 536; 537; 541; 552.
