ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерением называют нахождение значений физических величин опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерения бывают прямые и косвенные. При прямом измерении искомое значение физической величины находят непосредственно с помощью измерительных приборов (например, измерение размеров тел с помощью штангенциркуля). Косвенным называют измерение, при котором искомое значение физической величины находят на основании известной функциональной зависимости между измеряемой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например, при определении объема V цилиндра измеряют его диаметр D и высоту Н, а затем по формуле p D 2 /4 вычисляют его объем.

Вследствие неточности измерительных приборов и трудности учета всех побочных явлений при измерениях неизбежно возникают погрешности измерений. Погрешностью или ошибкой измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины. Погрешность измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому задача элементарной обработки результатов измерений заключается в установлении интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой физической величины.

Классификация погрешностей измерений

Погрешности разделяют на три вида:

1) грубые или промахи,

2) систематические,

3) случайные .

Грубые погрешности - это ошибочные измерения, возникающие в результате небрежности отсчета по прибору, неразборчивости записи показаний. Например, запись результата 26,5 вместо 2,65; отсчет по шкале 18 вместо 13 и т.д. При обнаружении грубой ошибки результат данного измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить.

Систематические погрешности - ошибки, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону. Эти погрешности могут быть обусловлены неправильным выбором метода измерения, несовершенством или неисправностью приборов (например, измерения с помощью прибора, у которого смещен нуль). Для того, чтобы максимально исключить систематические погрешности, следует всегда тщательно анализировать метод измерений, сверять приборы с эталонами. В дальнейшем будем считать, что все систематические погрешности устранены, кроме тех, которые вызваны неточностью изготовления приборов и ошибкой отсчета. Эту погрешность будем называть аппаратурной.

Случайные погрешности - это ошибки, причина которых заранее не может быть учтена. Случайные погрешности зависят от несовершенства наших органов чувств, от непрерывного действия изменяющихся внешних условий (изменение температуры, давления, влажности, вибрация воздуха и т.д.). Случайные погрешности являются неустранимыми, они неизбежно присутствуют во всех измерениях, но их можно оценить, применяя методы теории вероятностей.

Обработка результатов прямых измерений

Пусть в результате прямых измерений физической величины получен ряд ее значений:

x 1 , x 2 , ... x n .

Зная этот ряд чисел, нужно указать значение, наиболее близкое к истинному значению измеряемой величины, и найти величину случайной погрешности. Эту задачу решают на основе теории вероятностей, подробное изложение которой выходит за рамки нашего курса.

Наиболее вероятным значением измеряемой физической величины (близким к истинному) считают среднее арифметическое

. (1)

Здесь x i – результат i–го измерения; n – число измерений. Случайная ошибка измерения может быть оценена величиной абсолютной погрешности D x, которую вычисляют по формуле

, (2)

где t(a ,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a . Значение доверительной вероятности a задает сам экспериментатор.

Вероятностью случайного события называется отношение числа случаев, благоприятного для данного события, к общему числу равновозможных случаев. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0.

Значение коэффициента Стьюдента, соответствующее заданной доверительной вероятности a и определенному числу измерений n, находят по табл. 1.

Таблица 1

Число измерений n	Доверительная вероятность a
			0,95	0,98
	1,38		12,7	31,8
	1,06
	0,98
	0,94
	0,92
	0,90
	0,90
	0,90
	0,88
	0,84

Из табл. 1 видно, что величина коэффициента Стьюдента и случайная погрешность измерения тем меньше, чем больше n и меньше a . Практически выбирают a =0,95. Однако простое увеличение числа измерений не может свести общую погрешность к нулю, так как любой измерительный прибор дает погрешность.

Поясним смысл терминов абсолютная погрешность D x и доверительная вероятность a , используя числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины (рис. 1), а вычисленная абсолютная погрешность D x. Отложим D x от справа и слева. Полученный числовой интервал от (- D x) до (+ D x) называется доверительным интервалом . Внутри этого доверительного интервала находится истинное значение измеряемой величины x.

Рис.1

Если измерения той же величины повторить теми же приборами в тех же условиях, то истинное значение измеряемой величины x ист попадет в этот же доверительный интервал, но попадание будет не достоверным, а с вероятностью a .

Вычислив величину абсолютной погрешности D x по формуле (2), истинное значение x измеряемой физической величины можно записать в виде x= ±D x.

Для оценки точности измерения физической величины подсчитывают относительную погрешность , которую обычно выражают в процентах,

. (3)

Таким образом, при обработке результатов прямых измерений необходимо проделать следующее:

1. Провести измерения n раз.

2. Вычислить среднее арифметическое значение по формуле (1).

3. Задать доверительную вероятность a (обычно берут a =0.95).

4. По таблице 1 найти коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности a и числу измерений n.

5. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (2) и сравнить ее с аппаратурной. Для дальнейших вычислений взять ту из них, которая больше.

6. По формуле (3) вычислить относительную ошибку e .

7. Записать окончательный результат

x= ±D x. с указанием относительной погрешности e и доверительной вероятности a .

Обработка результатов косвенных измерений

Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x 1 , x 2 , ... x k некоторой функциональной зависимостью

Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)

Среди величин x 1 , x 2 , ... x k имеются величины, полученные при прямых измерениях, и табличные данные. Требуется определить абсолютную D y и относительную e погрешности величины y.

В большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность, а затем – абсолютную. Из теории вероятностей относительная погрешность косвенного измерения

. (5)

Здесь , где - частная производная функции по переменной x i, при вычислении которой все величины, кроме x i , считаются постоянными; D x i – абсолютная погрешность величины x i . Если x i получена в результате прямых измерений, то ее среднее значение и абсолютную погрешность D x вычисляют по формулам (1) и (2). Для всех измеренных величин x i задается одинаковая доверительная вероятность a . Если какие-либо из слагаемых, возводимых в квадрат, в выражении (5) меньше на порядок (в 10 раз) других слагаемых, то ими можно пренебречь. Это нужно учитывать при выборе табличных величин (p , g и др.), входящих в формулу относительной погрешности. Их значение надо выбрать такими, чтобы их относительная погрешность была на порядок меньше наибольшей относительной погрешности.

Запишем конечный результат:

y= ±D y.

Здесь – среднее значение косвенного измерения, полученное по формуле (4) при подстановке в нее средних величин x i ; D y= e .

Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность. Если эти погрешности отличаются меньше, чем в два раза, то абсолютная погрешность вычисляется по формуле

.

Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить объем цилиндра:

. (6)

Здесь D – диаметр цилиндра, H – его высота, измеренная штангенциркулем с ценой деления 0.1 мм. В результате многократных измерений найдем средние значения =10.0 мм и =40.0 мм. Относительную погрешность косвенного измерения объема цилиндра определяем по формуле

, (7)

где D D и D H – абсолютные ошибки прямых измерений диаметра и высоты. Их величины рассчитываем по формуле (2): D D=0.01 мм; D H=0.13 мм. Сравним вычисленные ошибки с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D не 0.01 мм, а 0.1 мм.

Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной ошибкой Dp / p в формуле (7) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных ошибок D D и D H видно, что наибольший вклад в относительную ошибку измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает e H =0.01. Следовательно, значение p нужно взять 3.14. В этом случае Dp / p » 0.001 (Dp =3.142-3.14=0.002).

В абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.

Примечания.

1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в разделе “Измерительные приборы”).

2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка последней значащей цифры.

Действия с приближенными числами

Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:

1) когда он стоит между значащими цифрами (например, в числе 1071 – четыре значащих цифры);

2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример. В числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 – только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.

Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил.

1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934+3,24+1,188=5,3214 » 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т.е. принять равной 5,32.

2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632 ´ 2,8 ´ 3,53. Вместо этого выражения следует вычислять

8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.

При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Для уточнения значения последней значащей цифры результата нужно вычислить за ней цифру. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу. Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.

3. Результат расчета значений функций x n , , lg(x ) некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x . Например: .

Построение графиков

Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто важно и необходимо представить графической зависимостью. Для того, чтобы построить график, нужно на основании проделанных измерений составить таблицу, в которой каждому значению одной из величин соответствует определенное значение другой.

Графики выполняют на миллиметровой бумаге. При построении графика значения независимой переменной следует откладывать на оси абсцисс, а значения функции – на оси ординат. Около каждой оси нужно написать обозначение изображаемой величины и указать, в каких единицах она измеряется (рис. 2).

Рис.2

Для правильного построения графика важным является выбор масштаба: кривая занимает весь лист, и размеры графика по длине и высоте получаются приблизительно одинаковыми. Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единица измеренной величины (0,1;10;100 и т.д.) соответствует 1, 2 или 5 см. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями откладываемых величин (рис. 2).

Каждое полученное экспериментальное значение наносится на график достаточно заметным образом: точкой, крестиком и т.д.

Погрешности указывают для измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки. Так как указание погрешностей загромождает график, то делается это лишь тогда, когда информация о погрешностях действительно нужна: при построении кривой по экспериментальным точкам, при определении ошибок с помощью графика, при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой (рисунок 2). Часто достаточно указать погрешность для одной или нескольких точек.

Через экспериментальные точки необходимо проводить плавную кривую. Нередко экспериментальные точки соединяют простой ломаной линией. Тем самым как бы указывается, что величины каким-то скачкообразным образом зависят друг от друга. А это является маловероятным. Кривая должна быть плавной и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним так, чтобы эти точки находились по обе стороны кривой на одинаковом от нее расстоянии. Если какая-либо точка сильно выпадает из графика, то это измерение следует повторить. Поэтому желательно строить график непосредственно во время опыта. Тогда график может служить для контроля и улучшения наблюдений.

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И УЧЕТ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, что невозможно точно отсчитать по шкале прибора измеряемую величину, во-вторых, с неточностью изготовления измерительных приборов. Для учета первого фактора вводится погрешность отсчета Δx o , для второго - допускаемая погрешность Δx д . Сумма этих погрешностей образует аппаратурную или абсолютную погрешность прибора Δx :

.

Допускаемую погрешность нормируют государственными стандартами и указывают в паспорте или описании прибора.

Погрешность отсчета обычно берут равной половине цены деления прибора, но для некоторых приборов (секундомер, барометр-анероид) - равной цене деления прибора (так как положение стрелки этих приборов изменяется скачками на одно деление) и даже нескольким делениям шкалы, если условия опыта не позволяют уверенно отсчитать до одного деления (например, при толстом указателе или плохом освещении). Таким образом, погрешность отсчета устанавливает сам экспериментатор, реально отражая условия конкретного опыта.

Если допускаемая погрешность значительно меньше ошибки отсчета, то ее можно не учитывать. Обычно абсолютная погрешность прибора берется равной цене деления шкалы прибора.

Измерительные линейки обычно имеют миллиметровые деления. Для измерения рекомендуется применять стальные или чертежные линейки со скосом. Допускаемая погрешность таких линеек составляет 0,1 мм и ее можно не учитывать, так как она значительно меньше погрешности отсчета, равной ± 0,5 мм. Допускаемая погрешность деревянных и пластмассовых линеек ± 1 мм.

Допускаемая погрешность измерения микрометра зависит от верхнего предела измерения и может составлять ± (3–4) мкм (для микрометров с диапазоном измерения 0–25 мм). За погрешность отсчета принимают половину цены деления. Таким образом, абсолютную погрешность микрометра можно брать равно цене деления, т.е. 0,01 мм.

При взвешивании допускаемая погрешность технических весов зависит от нагрузки и составляет при нагрузке от 20 до 200 г – 50 мг, при нагрузке меньше 20 г – 25 мг.

Погрешность цифровых приборов определяется по классу точности.

Расчет погрешностей при прямых и косвенных измерениях

Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения . Измерения выполняются опытным путем с помощью специальных технических средств.

Прямыми измерениями называются измерения, результат которых получается непосредственно из опытных данных (например, измерение длины линейкой, времени – секундомером, температуры – термометром). Косвенными измерениями называются измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, значения которых получают в процессе прямых измерений (например, определение скорости по пройденному пути и времени https://pandia.ru/text/78/464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).

Всякое измерение, как бы оно тщательно не было выполнено, обязательно сопровождается погрешностью (ошибкой) – отклонением результата измерений от истинного значения измеряемой величины.

Систематические погрешности – это погрешности, величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов, в одних и тех же условиях. Систематические погрешности происходят:

В результате несовершенства приборов, используемых при измерениях (например, стрелка амперметра может быть отклонена от нулевого деления в отсутствие тока; у коромысла весов могут быть неравные плечи и др.);

В результате недостаточно полной разработки теории метода измерений, т. е. метод измерений содержит в себе источник ошибок (например, возникает ошибка, когда в калориметрических работах не учитывается потеря тепла в окружающую среду или когда взвешивание на аналитических весах производится без учета выталкивающей силы воздуха);

В результате того, что не учитывается изменение условий опыта (например, при долговременном прохождении тока по цепи в результате теплового действия тока меняются электрические параметры цепи).

Систематические погрешности можно исключить, если изучить особенности приборов, полнее разработать теорию опыта и на основе этого вносить поправки в результаты измерений.

Случайные погрешности – это погрешности, величина которых различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Причины их кроются как в несовершенстве наших органов чувств, так и во многих других обстоятельствах, сопровождающих измерения, и которые нельзя учесть заранее (случайные ошибки возникают, например, если равенство освещенностей полей фотометра устанавливается на глаз; если момент максимального отклонения математического маятника определяется на глаз; при нахождении момента звукового резонанса на слух; при взвешивании на аналитических весах, если колебания пола и стен передаются весам и т. д.).

Случайных погрешностей избежать нельзя. Их возникновение проявляется в том, что при повторении измерений одной и той же величины с одинаковой тщательностью получаются числовые результаты, отличающиеся друг от друга. Поэтому, если при повторении измерений получались одинаковые значения, то это указывает не на отсутствие случайных погрешностей, а на недостаточную чувствительность метода измерений.

Случайные погрешности изменяют результат как в одну, так и в другую сторону от истинного значения, поэтому, чтобы уменьшить влияние случайных ошибок на результат измерений, обычно многократно повторяют измерения и берут среднее арифметическое всех результатов измерений.

Заведомо неверные результаты - промахи возникают вследствие нарушения основных условий измерения, в результате невнимательности или небрежности экспериментатора. Например, при плохом освещении вместо “3” записывают “8”; из-за того, что экспериментатора отвлекают, он может сбиться при подсчете количества колебаний маятника; из-за небрежности или невнимательности он может перепутать массы грузов при определении жесткости пружины и т. д. Внешним признаком промаха является резкое отличие результата по величине от результатов остальных измерений. При обнаружении промаха результат измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить. Выявлению промахов способствует также сравнение результатов измерений, полученных разными экспериментаторами.

Измерить физическую величину это значит найти доверительный интервал , в котором лежит ее истинное значение https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21">..png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> случаев истинное значение измеряемой величины попадет в доверительный интервал. Величина выражается или в долях единицы, или в процентах. При большинстве измерений ограничиваются доверительной вероятностью 0,9 или 0,95. Иногда, когда требуется чрезвычайно высокая степень надежности, задают доверительную вероятность 0,999. Наряду с доверительной вероятностью часто пользуются уровнем значимости , который задает вероятность того, истинное значение не попадает в доверительный интервал. Результат измерения представляют в виде

где https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> – абсолютная погрешность. Таким образом, границы интервала , https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> лежит в пределах этого интервала.

Для того чтобы найти и , выполняют серию однократных измерений. Рассмотрим конкретный пример..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height="23">.png" width="72" height="24">. Значения могут и повторяться, как значения и https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png" width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. Соответственно уровень значимости .

Среднее значение измеряемой величины

Измерительный прибор также вносит свой вклад в погрешность измерений. Эта погрешность обусловлена конструкцией прибора (трением в оси стрелочного прибора, округлением, производимым цифровым или дискретным стрелочным прибором и пр.). По своей природе это систематическая ошибка, но ни величина, ни знак ее для данного конкретного прибора неизвестны. Приборную погрешность оценивают в процессе испытаний большой серии однотипных приборов.

Нормированный ряд классов точности измерительных приборов включает такие значения: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности прибора равен выраженной в процентах относительной ошибке прибора по отношению к полному диапазону шкалы. Паспортная погрешность прибора

Рассмотрим сначала случай, когда величина у зависит только от одной переменной х , которая находится прямым измерением,

Среднее арифметическое <y > можно найти, подставив в (8) вместо х среднее арифметическое <х >.

.

Абсолютную погрешность можно рассматривать как приращение функции (8) при приращении аргумента ∆х (полная погрешность измеряемой величины х ). При малых значениях ∆х она приближенно равна дифференциалу функции

, (9)

где - производная функции, вычисленная при . Относительная погрешность будет равна

.

Пусть определяемая величина у является функцией нескольких переменных х i ,

. (10)

Предполагается, что погрешности всех величин в рабочей формуле носят случайный характер, независимы и рассчитаны с одной и той же доверительной вероятностью (например Р = 0,95). Такую же доверительную вероятность будет иметь и погрешность искомой величины. В этом случае наиболее вероятное значение величины <у > определяют по формуле (10), используя для расчета наиболее вероятные значения величин х i , т. е. их средние значения:

<у > = f (<x 1 >, <x 2 >, …,<x i >, …,<x m >).

В этом случае абсолютная погрешность окончательного результата Δу определяется по формуле

, (11)

где ∂у /∂х i – частные производные функции у по аргументам х i , вычисленные для наиболее вероятных значений величин х i . Частная производная – это производная, которая вычисляется от функции у по аргументу х i при условии, что все остальные аргументы считаются постоянными.

Относительную погрешность величины у получим, поделив ∆у на <у>

. (12)

Принимая во внимание, что (1/у ) dy/dx представляет производную по х от натурального логарифма у относительную погрешность можно записать так

. (13)

Формулу (12) удобнее использовать в тех случаях, когда в зависимости (10) измеряемые величины х i входят, в основном, в виде слагаемых, а формула (13) является удобной для расчетов тогда, когда (10) представляет собой произведения величин х i . В последнем случае предварительное логарифмирование выражения (10) существенно упрощает вид частных производных. Измеряемая величина у является величиной размерной и логарифмировать размерную величину нельзя. Чтобы устранить эту некорректность, нужно разделить у на постоянную, имеющую данную размерность. После логарифмирования получится дополнительное слагаемое, которое не зависит от величин х i и поэтому исчезнет при взятии частных производных, так как производная от постоянной величины равна нулю. Поэтому при логарифмировании наличие такого слагаемого просто подразумевается.

Учитывая простую связь между абсолютной и относительной погрешностями ε у = Δу /<у >, легко по известной величине Δу вычислить ε у и наоборот.

Функциональная связь между погрешностями прямых измерений и погрешностью косвенного измерения для некоторых простых случаев приведена в табл. 3.

Рассмотрим некоторые особые случаи, возникающие при вычислении погрешностей измерений. Приведенные выше формулы для расчета погрешностей косвенных измерений справедливы только тогда, когда все х i независимые величины и измерены различными приборами и методами. На практике это условие не всегда соблюдается. Например, если какие-либо физические величины в зависимости (10) измеряются одним и тем же прибором, то приборные погрешности Δх i пр этих величин уже не будут независимыми, и приборная погрешность косвенно измеряемой величины Δу пр в этом случае будет несколько больше, чем при «квадратичном суммировании». Например, если площадь пластины длиной l и шириной b измерены одним штангенциркулем, то относительная приборная погрешность косвенного измерения будет

(ΔS/S ) пр = (Δl /l ) пр + (Δb/b ) пр,

т.е. погрешности суммируются арифметически (погрешности Δl пр и Δb пр одного знака и их величины одинаковы), вместо относительной приборной погрешности

при независимых погрешностях.

Таблица 3

Функциональная связь погрешностей прямых и косвенных измерений

Рабочая формула	Формула для расчета погрешности

При проведении измерений возможны случаи, когда величины х i имеют разные значения, специально изменяемые или задаваемые во время эксперимента, например, вязкость жидкости по методу Пуазейля определяют для разной высоты столба жидкости над капилляром, или ускорение свободного падения g определяют с помощью математического маятника для разных длин). В таких случаях следует вычислять значение косвенно измеряемой величины у в каждом из n опытов по отдельности, а в качестве наиболее вероятного значения ее брать среднее значение, т.е. . Случайная погрешность Δу сл вычисляется как погрешность при прямом измерении. Вычисление приборной погрешности Δу пр производится через частные производные по формуле (11), а окончательная полная погрешность косвенно измеряемой величины подсчитывается по формуле

В большинстве случаев конечной целью лабораторной работы является вычисление искомой величины с помощью некоторой формулы, в которую входят величины, измеряемые прямым путем. Такие измерения называются косвенными. В качестве примера приведем формулу плотности твердого тела цилиндрической формы

где r – плотность тела, m – масса тела, d – диаметр цилиндра, h – его высота.

Зависимость (П.5) в общем виде можно представить следующим образом:

где Y – косвенно измеряемая величина, в формуле (П.5) это плотность r; X 1 , X 2 ,... , X n – прямо измеряемые величины, в формуле (П.5) это m , d , и h .

Результат косвенного измерения не может быть точным, поскольку результаты прямых измерений величин X 1 , X 2 , ... , X n всегда содержат в себе погрешность. Поэтому при косвенных измерениях, как и при прямых, необходимо оценить доверительный интервал (абсолютную погрешность)полученного значения DY и относительную погрешность e.

При расчете погрешностей в случае косвенных измерений удобно придерживаться такой последовательности действий:

1) получить средние значения каждой прямо измеряемой величины áX 1 ñ, áX 2 ñ, …, áX n ñ;

2) получить среднее значение косвенно измеряемой величины áY ñ, подставив вформулу (П.6) средние значения прямо измеряемых величин;

3) провести оценки абсолютных погрешностей прямо измеряемых величин DX 1 , DX 2 , ..., DX n , воспользовавшись формулами (П.2) и (П.3);

4) основываясь на явном виде функции (П.6), получить формулу для расчета абсолютной погрешности косвенно измеряемой величины DY и рассчитать ее;

6) записать результат измерения с учетом погрешности.

Ниже без вывода приводится формула, позволяющая получить формулы для расчета абсолютной погрешности, если известен явный вид функции (П.6):

где ¶Y¤¶X 1 и т. д. – частные производные от Y по всем прямо измеряемым величинам X 1 , X 2 , …, X n (когда берется частная производная, например по X 1 , то все остальные величины X i в формуле считаются постоянными), DX i – абсолютные погрешности прямо измеряемых величин, вычисленные согласно (П.3).

Рассчитав DY, находят относительную погрешность .

Однако если функция (П.6) является одночленом, то намного легче сначала рассчитать относительную погрешность, а затем уже абсолютную.

Действительно, разделив обе части равенства (П.7) на Y , получим

Но так как , то можно записать

Теперь, зная относительную погрешность, определяют абсолютную .

В качестве примера получим формулу для расчета погрешности плотности вещества, определяемой по формуле (П.5). Поскольку (П.5) является одночленом, то, как сказано выше, проще сначала рассчитать относительную погрешность измерения по (П.8). В (П.8) под корнем имеем сумму квадратов частных производных от логарифма измеряемой величины, поэтому сначала найдем натуральный логарифм r:

ln r = ln 4 + ln m – ln p –2 ln d – ln h ,

а потом уже воспользуемся формулой (П.8) и получим, что

Как видно, в (П.9) используются средние значения прямо измеряемых величин и их абсолютные погрешности, рассчитанные методом прямых измерений по (П.3). Погрешность, вносимую числом p, не учитывают, поскольку ее значение всегда можно взять с точностью, превышающей точность измерения всех других величин. Рассчитав e, находим .

Если косвенные измерения являются независимыми (условия каждого последующего эксперимента отличаются от условий предыдущего), то значения величины Y вычисляются для каждого отдельного эксперимента. Произведя n опытов, получают n значений Y i . Далее, принимая каждое из значений Y i (где i – номер опыта) за результат прямого измерения, вычисляют áY ñ и DY по формулам (П.1) и (П.2) соответственно.

Окончательный результат как прямых, так и косвенных измерений должен выглядеть так:

где m – показатель степени, u – единицы измерения величины Y .

Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины a, b, c , ..., полученные при прямых измерениях

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал

при надежности a и относительную погрешность .

Что касается , то оно находится путем подстановки в правую часть (11) вместо a, b, c ,... их средних значений

Абсолютная погрешность косвенных измерений является функцией абсолютных погрешностей прямых измерений и вычисляется по формуле

(1.14)

Здесь частные производные функции f по переменным a, b, …

Если величины a, b, c, ... в функцию Z = f (a, b, c,...) входят в виде сомножителей в той или иной степени, т. е. если

, (1.15)

то сначала удобно вычислить относительную погрешность

, (1.16)

а затем абсолютную

Формулы для Dz и e z приводятся в справочной литературе.

Примечания.

1. При косвенных измерениях в расчетные формулы могут входить известные физические константы (ускорение свободного падения g , скорость света в вакууме с и т. д.), числа типа дробные множители ... . Эти величины при вычислениях округляются. При этом, естественно, в расчет вносится погрешность ‒ погрешность округления при вычислениях, которая должна учитываться.

Принято считать, что погрешность округления приближенного числа равна половине единицы того разряда, до которого это число было округлено. Например,p = 3,14159... . Если взять p= 3,1, то Dp = 0,05, если p = 3,14, то Dp = 0,005 ... и т.д. Вопрос о том, до какого разряда округлять приближенное число, решается так: относительная ошибка, вносимая округлением, должна быть того же порядка или на порядок меньше, что и максимальная из относительных ошибок других видов. Таким же образом оценивается абсолютная ошибка табличных данных. Например, в таблице указано r = 13,6×10 3 кг/ м 3 , следовательно,Dr = 0,05×10 3 кг/м 3 .

Ошибка значений универсальных постоянных часто указывается вместе с их принятыми за средние значения: (с = м/c, где Dс = 0,3×10 3 м/c.

2. Иногда при косвенных измерениях условия опыта при повторных наблюдениях не совпадают. В этом случае значение функции z вычисляется для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляется через значения z так же, как при прямых измерениях (все погрешности здесь входят в одну случайную погрешность измерения z ). Величины, которые не измеряются, а задаются (если они есть) должны быть указаны при этом с достаточно большой точностью.

Порядок обработки результатов измерений

Прямые измерения

1. Вычислить среднее значение для n измерений

2. Найти погрешности отдельных измерений .

3. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений и их сумму: .

4. Задать надежностьa (для наших целей принимаем a = 0,95) и по таблице определить коэффициенты Стьюдента t a,n и t a, ¥ .

5. Произвести оценку систематических погрешностей: приборной Dх пр и ошибки округления при измеренияхDх окр = D/2 (D ‒ цена деления прибора) и найти полную погрешность результата измерений (полуширину доверительного интервала):

.

6. Оценить относительную погрешность

.

7. Окончательный результат записать в виде

ε = … % при a = ...

Косвенные измерения

1. Для каждой величины, измеренной прямым способом, входящей в формулу для определения искомой величины , провести обработку, как указано выше. Если среди величин a, b, c , ... есть табличные константы или числа типа p, е ,..., то при вычислениях округлять их следует так (если это возможно), чтобы вносимая при этом относительная ошибка была на порядок меньше наибольшей относительной ошибки величин, измеренных прямым способом.

Определить среднее значение искомой величины

z = f (,,,...).

3. Оценить полуширину доверительного интервала для результата косвенных измерений

,

где производные ... вычисляются при

4. Определить относительную погрешность результата

5. Если зависимость z от a, b, c ,... имеет вид , где k, l, m ‒ любые действительные числа, то сначала следует найти относительную ошибку

а затем абсолютную .

6. Окончательный результат записать в виде

z = ± Dz , ε = …% при a= … .

Примечание:

При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.

При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений :

Правило 1. При сложении и вычитании приближенных чисел необходимо:

а) выделить слагаемое, у которого сомнительная цифра имеет наиболее высокий разряд;

б) все остальные слагаемые округлить до следующего разряда (сохраняется одна запасная цифра);

в) произвести сложение (вычитание);

г) в результате отбросить последнюю цифру путем округления (разряд сомнительной цифры результата при этом совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых).

Пример: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.

В этих числах последние значащие цифры сомнительные (неверные уже отброшены). Запишем их в виде 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.

Видно, что у первого слагаемого сомнительная цифра 2 имеет наиболее высокий разряд (десятки). Округлив все другие числа до следующего разряда и сложив, получим

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094·10 5 .

Правило 2. При умножении (делении) приближенных чисел необходимо:

а) выделить число (числа) с наименьшим количеством значащих цифр (ЗНАЧАЩИЕ – цифры отличные от ноля и ноли стоящие между ними );

б) округлить остальные числа так, чтобы в них было на одну значащую цифру больше (сохраняется одна запасная цифра), чем выделенном по п. а;

в) перемножить (разделить) полученные числа;

г) в результате оставить столько значащих цифр, сколько их было в числе (числах) с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример: .

Правило 3. При возведении в степень, при извлечении корня в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе.

Пример: .

Правило 4. При нахождении логарифма числа мантисса логарифма должна иметь столько значащих цифр, сколько их в исходном числе:

Пример: .

В окончательной записиабсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру . (Если этой цифрой окажется 1, то после нее сохраняют еще одну цифру).

Среднее значение округляется до того же разряда, что и абсолютная погрешность.

Например: V = (375,21 0,03) см 3 = (3,7521 0,0003) см 3 .

I = (5,530 0,013) А, A = Дж.