Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx → 0 и учитывая, что производная f "(x 0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Так как f " (x 0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f " (x 0) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

Примеры .

1. y =|x |.

   Функция не имеет производной в точке x =0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y (0)=0, а при всех x ≠ 0y > 0.



Функция не имеет производной при x =0, так как обращается в бесконечность приx =0. Но в этой точке функция имеет максимум.



Функция не имеет производной при x =0, так как при x →0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x) =0 и при x <0f(x) <0, а при x >0f(x) >0.



Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

Однако, если в некоторой точке x 0 мы знаем, что f "(x 0 ) =0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x 0 функция имеет экстремум.

Например . .



Но точка x =0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox , а справа выше.

Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками .




Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x 0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x 0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x 0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x 0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

Доказательство . Предположим сначала, что при переходе через x 0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x , близких к точке x 0 f "(x)> 0 для x< x 0 , f "(x)< 0 для x> x 0 . Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), где c лежит между x и x 0 .

1. Пусть x < x 0 . Тогда c< x 0 и f "(c)> 0. Поэтомуf "(c)(x- x 0)< 0и, следовательно,

   f(x) - f(x 0 )< 0,т.е. f(x)< f(x 0 ).

2. Пусть x > x 0 . Тогда c> x 0 и f "(c)< 0. Значитf "(c)(x- x 0)< 0. Поэтому f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x 0 f(x) < f(x 0 ) . А это значит, что в точке x 0 функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.



Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f "(x 1 ) =0 и для любых x, достаточно близких к x 1 , выполняются неравенства

f "(x)< 0 при x< x 1 , f "(x)> 0 при x> x 1 .

Тогда слева от точки x 1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x 1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

Аналогично можно рассматривать точки x 2 и x 3 .


Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

1. Найти область определения функции f(x).
2. Найти первую производную функции f "(x) .
3. Определить критические точки, для этого:
   1. найти действительные корни уравнения f "(x) =0;
   2. найти все значения x при которых производная f "(x) не существует.
4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.
5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Примеры . Исследовать функции на минимум и максимум.




НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b ]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b ] :

1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b ) и вычислить значения функции в этих точках.
2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b .
3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Где в Интернете найти официальный сайт Государственной инспекции труда в Брянской области
www.rostrud.ru — официальный сайт Роструда — Федеральная служба по труду и занятости Справочная Роструда - 8-800-707-88-41 Направить электронное обращение в Роструд (адрес электронной почты:[email protected]) git77.rostrud.ru &mda

Где можно найти информацию об испанском футболе
Примера Дивизион (исп. Primera División) — профессиональная футбольная лига Испании (исп. Liga de Fútbol Profesional, LFP), известная также просто как Примера, или Ла Лига (исп. La Liga), является профессиональным футбольным турниро

Какая официальная валюта России
Название страны Название - денег/разменной монеты Австралия Австралийский доллар/цент Австрия Австрийский шиллинг/грош — евро Азербайджан Манат Албания Лек/киндарка Алжир Алжирский динар/сантимо Аргентина Аргентинский аустраль/сентаво Афганистан Афгани/пул Бангладеш Така/пайс Бельгия Бельгийский франк/сантимо — евро Болгария Лев/стотинка

Какие известные личности умерли 2 ноября
2 ноября — 306-й день года (307-й в високосные годы) в григорианском календаре. До конца года остаётся 59 дней.Праздники 2 ноября Национальные: Виргинские Острова (США) — День свободы; Белоруссия — Деды (День памяти); Либерия — День благодарения; Мексика, Польша, По

Какие есть нулевые формообразующие суффиксы
Что такое нулевой суффикс Нулевым называется суффикс, не выраженный звуками в речи и буквами на письме, но с помощью которого образуются новые слова. Способ образования слов с помощью нулевого суффикса называется в одних пособиях бессуффиксным, в других — нулевая суффиксация. Нулевой суффикс графически обо-значается знаком &Osla

Кто такой якорный арендатор
Якорный арендатор - главный арендатор в торговом центре, привлекающий в него покупателей. Одним из важнейших признаков «якоря» считают его узнаваемость среди покупателей, что предполагает раскрученность бренда и существование в формате отдельного магазина - street retail, к примеру, как Zara, М-видео

Какой официальный сайт Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова (РЭА)
Ниже перечислены официальные сайты основных государственных вузов Москвы: Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Академия Генеральной прокуратуры Российской Федерации Академия Государственной противопожарной службы МЧС России Академия народного хозяйства при Правительстве РФ (АНХ) Академия труда и социальных отношений (АТиСО) Акад

Какие праздники отмечают 16 мая
16 мая — 136-й день года (137-й в високосные годы) в григорианском календаре. До конца года остаётся 229 дней. События и праздники, которые отмечают 16 мая: Всемирный день памяти людей, умерших от СПИДа; День биографов; Апара Экадаши в Индии. Религиозные события Православие: День преподобного Феодосия Печерского; От

Какова география распространения сорняка амброзия
Амброзия полыннолистная Однолетнее, поздний яровой. Биология и морфология.Стебель 20-200 см высотой, прямой, наверху метельчато ветвистый угловатый, со слабым или довольно сильным прижатым щетинистым опушением. Корень стержневой, проникает в почву на глубину - 4м. Листья длиной 4-15 см, сверху темно-зеленые, почти голые, снизу серо-зеленые, густощетинистоопушенные; верхние

Кто такие пойкилотермные животные
Пойкилотермные животные - холоднокровные животные, животные с непостоянной внутренней температурой тела, меняющейся в зависимости от температуры внешней среды. К пойкилотермным животным относятся все беспозвоночные, а из позвоночных - рыбы, земноводные и пресмыкающиеся. Температура тела пойкилотермных животных обычно всего на 1-20С выше температуры окружающей сред

Как правильно делать подтягивания
Подтягивания — базовое упражнение для мышц рук, спины и груди. Подтягивание является ключевым упражнением, развивающим силу. Подтягивания можно делать всегда и практически везде, для них не нужны какие-то особенные тренажеры или ходьба в спортивный зал, что очень важно. Подтягивания на перекладине — самое эффективное упражнение на

(левая и правая производная различны), однако она возрастает при всех значениях х , в том числе и в точкех = 0.

Замечание 2. Опираясь на более «мягкие» условия, можно сформулировать прямую теорему: если производная функции, непрерывной на промежутке, неотрицательна, то функция на этом промежутке не убывает. Тогда прямая и обратная теоремы на формализованном языке звучат так:

функции f (x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех х из этой окрестности f(x) ≤ f(x0 ) .

Определение. Точка x0 называется точкой локального минимума функции f(x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех х из этой окрестности f(x) ≥ f(x0 ) .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются ее локальными экстремумами

(extremum – крайний).

Определение. Точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции y= f(x) , если для всех х из окрестности точки x0 верно строгое неравенство f(x) < f(x0 ) (соответственно

f (x) > f(x0 ) ).

Замечание. В приведенном определении локального экстремума мы не предполагаем непрерывности функции в точкеx 0 .

точке максимум, поскольку существует окрестность точки х = 0, в которойf (x )< f (x 0 ).

Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема 2. (о необходимом условии экстремума).

Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x0 , то ее производная f′ (x0 ) в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

◄Если в точке x 0 функция имеет экстремум и дифференцируема, то в

некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю.

Но функция y = f (x ) может иметь экстремум и не быть дифференцируемой в этой точке. Достаточно указать пример. Примером может

Замечание 3 . Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Пример 4. Рассмотрим функциюy = x 3 . Критической для этой функции

является точка х = 0, что следует из уравненияf ′ (x )= 3x 2 = 0. Однако эта функция при всехх является возрастающей и экстремума не имеет.

Если при переходе с левого интервала на правый функция продолжает убывать, то в точке x 0 не будет достигаться минимальное значение функции

(экстремума нет).

Аналогично доказывается существование максимума.

На рис. 2 a-h представлены возможные случаи наличия или отсутствия экстремума непрерывной функции, производная которой в критической точке равна нулю или обращается в бесконечность.

точки х = 0 меняет знак бесконечно много раз. Поэтому функцияf (x ) не

является монотонно убывающей или возрастающей ни слева, ни справа от точки х = 0.

Схема исследования функции на экстремум:

1) найти производную f ′ (x );

2) найти критические точки, т.е. такие значения х , в которыхf ′ (x )= 0 или

f ′ (x ) = ∞;

3) исследовать знак производной слева и справа от каждой критической

меняется, то в точке x 0 функцияf (x ) не имеет ни максимума, ни минимума; 4) найти значения функции в экстремальных точках.

Теорема 4. (2 -ое достаточное условие экстремума). Пусть для функцииy = f (x ) выполнены следующие условия:

1. y = f (x ) непрерывна в окрестности точкиx 0 ,

2. f ′ (x )= 0 в точкеx 0

3. f ′′ (x )≠ 0 в точкеx 0 .

поэтому есть экстремум. Знак производной меняется с минуса на плюс, значит, это минимум. Аналогично доказывается случай f ′′ (x 0 )< 0 .

Пример 8 . Исследовать на экстремум функциюy = x 2 + 2x + 3. Находим производнуюy ′= 2x + 2 .

1) Находим критические точки, для чего приравниваем к нулю производную: y ′= 2x + 2= 0,→ x 0 = - 1.

2) Изучаем знак производной слева и справа от этой точки (рис. 6).

Поскольку знак производной меняется с минуса на плюс, в точке х = − 1 достигается минимум.

3) Находим величину минимума: ymin (− 1)= 2.

3) Исследуем знак у" слева и справа от точкиx = 0. Очевидно,f ′ (x )< 0 ,

минимума данной функции.

4) ymin (0)= 1.

Пример 10.

Исследовать на экстремум функцию y = e -x 2 .

1) Находим первую производную: y ′= - 2xe -x 2 .

2) Приравнивая производную нулю, находим единственную критическую точку x = 0.

3) Далее находим вторую производную: y ′′= − 2e - x 2 + 4x 2 e − x 2 . Ее значение

в точке x = 0 равно -2.

4) Делаем вывод о наличии максимума функции и вычисляем: y max (0)= 1.

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Если функция f (x ) определена и непрерывна на отрезке [а ;b ], то,

согласно 2-й теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Если свое наибольшее значение М функцияf (x ) принимает вовнутренней точке x 0 отрезка [а ;b ], тоM = f (x 0 ) будет локальным максимумом функцииf (x ), т. к. в этом случае существует окрестность точкиx 0 такая, что значенияf (x ) для всех точекх из этой окрестности будут не

больше f (x 0 ) .

Однако свое наибольшее значение М функцияf (x )может принимать и на концах отрезка [а ;b ]. Поэтому, чтобы найти наибольшее значениеМ непрерывной на отрезке [а ;b ] функцииf (x ), надо найти все максимумы функции в интервале(а ;b ) и значенияf (x ) на концах отрезка [а ;b ] и выбрать

среди них наибольшее число. Вместо ограничиться нахождением значений Наименьшим значением m непрерывной

исследования на максимум можно функции в критических точках. на отрезке [а ;b ] функцииf (x ) будет

наименьшее число среди всех минимумов функции f (x ) в интервале (a ;b ) и значенийf (a ) иf (b ) .

Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.

Вконтакте

Что такое экстремум?

В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.

Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:

• статистика;
• машинное управление;
• эконометрика.

Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.

Экстремумы производной функции

Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.

Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.

Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.

Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.

Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.

Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:

1. Нахождение точной области определения на графике.
2. Поиск производной функции и точки экстремума.
3. Решать стандартные неравенства на область нахождения аргумента.
4. Уметь доказывать, в каких функциях точка на графике определена и непрерывна.

Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.

Необходимое условие экстремума функции

Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.

Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.

Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.