Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.

Рубрика: |

Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая – директрисой параболы.

Для вывода уравнения построим:

Согласно определению:

Так как у 2 >=0 то парабола лежит в правой полуплоскости. При х возрастающем от 0 до бесконечности
. Парабола симметрична относительно Ох. Точка пересечения параболы со своей осью симметрии называется вершиной параболы.

45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.

Существует 8 типов КВП:

1.эллипсы

2.гиперболы

3.параболы

Кривые 1,2,3 – канонические сечения. Если пересечь конус плоскостью параллельной оси конуса то получим гиперболу. Если плоскостью параллельной образующей то параболу. Все плоскости не проходят через вершину конуса. Если любой другой плоскостью то эллипс.

4.пара параллельных прямых y 2 +a 2 =0, a0

5.пара пересекающихся прямых y 2 -k 2 x 2 =0

6.одна прямая y 2 =0

7.одна точка x 2 + y 2 =0

8.пустое множество - пустая кривая (кр. без точек) x 2 + y 2 +1=0 или x 2 + 1=0

Теорема(основная теорема о КВП): Уравнение вида

a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0

может представлять только кривую одного из указанных восьми типов.

Идея доказательства состоит в том чтобы прейти к такой системе координат в которой уравнение КВП примет наиболее простой вид, когда тип кривой, которую оно представляет становится очевидным. Теорема доказывается с помощью поворота системы координат на такой угол при котором член с произведением координат исчезает. И с помощью параллельного переноса системы координат при котором исчезает или член с переменной х или член с переменной у.

Переход к новой системе координат: 1. Параллельный перенос

2. Поворот

45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.

ПВП - множество точек прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению 2 степени: (1)

Предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при квадратах или при произведениях отличен от 0. Уравнение инвариантно относительно выбора системы координат.

Теорема Любая плоскость пересекает ПВП по КВП за исключением особого случая, когда в сечении – вся плоскость.(ПВП может быть плоскостью или парой плоскостей).

Существует 15 типов ПВП. Перечислим их указав уравнения, которыми они задаются в подходящих системах координат. Эти уравнения называются каноническими(простейшими). Строят геометрические образы соответствующие каноническим уравнениям методом параллельных сечений: Пересекают поверхность координатными плоскостями и плоскостями параллельными им. В результате получают сечения и кривые, которые дают представление о форме поверхности.

1. Эллипсоид.

Если a=b=c то получаем сферу.

2. Гиперболоиды.

1). Однополостный гиперболоид:

Cечение однополостного гиперболоида координатными плоскостями: XOZ:
- гипербола.

YOZ:
- гипербола.

Плоскостью XOY:
- эллипс.

2). Двуполостной гиперболоид.

Начало координат – точка симметрии.

Координатные плоскости – плоскости симметрии.

Плоскость z = h пересекает гиперболоид по эллипсу
, т.е. плоскость z = h начинает пересекать гиперболоид при | h |  c . Сечение гиперболоида плоскостями x = 0 и y = 0 - это гиперболы.

Числа a,b,c в уравнениях (2),(3),(4) называются полуосями эллипсоидов и гиперболоидов.

3. Параболоиды.

1). Эллиптический параболоид:

Сечение плоскостью z = h есть
, где
. Из уравнения видно, что z  0 – это бесконечная чаша.

Пересечение плоскостями y = h и x = h
- это парабола и вообще

2). Гиперболический параболоид:

Очевидно, плоскости XOZ и YOZ – плоскости симметрии, ось z – ось параболоида. Пересечение параболоида с плоскостью z = h – гиперболы:
,
. Плоскость z =0 пересекает гиперболический параболоид по двум осям
которые являются ассимптотами.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

1). Конус – это поверхность
. Конус оюразован прямыми линиями, проходящими через начало координат 0 (0, 0, 0). Сечение конуса – это эллипсы с полуосями
.

2). Цилиндры второго порядка.

Это эллиптический цилиндр
.

Какую бы прямую мы не взяли пересекающую эллипсы и параллельную оси Oz то она удовлетворяет этому уравнению. Перемещая эту прямую вокруг эллипса получим поверхность.

Гиперболический цилиндр:

На плоскости ХОУ это гипербола. Перемещаем прямую пересекающую гиперболу параллельно Oz вдоль гиперболы.

Параболический цилиндр:

На плоскости ХОУ это парабола.

Цилиндрические поверхности образуются прямой(образующей) перемещающейся параллельно самой себе вдоль некоторой прямой(направляющей).

10. Пара пересекающихся плоскостей

11.Пара параллельных плоскостей

12.
- прямой

13.Прямая – «цилиндр», построенный на одной точке

14.Одна точка

15.Пустое множество

Основная теорема о ПВП: Каждая ПВП принадлежит к одному из 15 типов рассмотренных выше. Других ПВП нет.

Поверхности вращения. Пусть задана ПДСК Oxyz и в плоскости Oyz линия е определяемая уравнением F(y,z)=0 (1). Составим уравнение поверхности полученной вращением этой линии вокруг оси Oz. Возьмем на линии е точку М(y,z). При вращении плоскости Oyz вокруг Oz точка М опишет окружность. Пусть N(X,Y,Z) – произвольная точка этой окружности. Ясно что z=Z.

.

Подставив найденные значения z и y в уравнение (1) получим верное равенство:
т.е. координаты точкиN удовлетворяют уравнению
. Таким образом любая точка поверхности вращения удовлетворяет уравнению (2). Не сложно доказать что если точкаN(x 1 ,y 1 ,z 1) удовлетворяет уравнению (2) то она принадлежит рассматриваемой поверхности. Теперь можно сказать что уравнение (2) есть искомое уравнение поверхности вращения.

Многие технические, экономические и социальные вопросы прогнозируются при помощи кривых. Наиболее используемым типом среди них является парабола, а точнее, ее половина. Важной составляющей любой параболической кривой является ее вершина, определение точных координат которой иногда играет ключевую роль не только в самом отображении протекания процесса, но и для последующих выводов. О том, как найти ее точные координаты, и пойдет речь в данной статье.

Вконтакте

Начало поиска

Перед тем как перейти к поиску координат вершины параболы, ознакомимся с самим определением и его свойствами. В классическом понимании параболой называется такое расположение точек, которые удалены на одинаковом расстоянии от конкретной точки (фокус, точка F), а также от прямой, которая не проходит через точку F. Рассмотрим данное определение более предметно на рисунке 1.

Рисунок 1. Классический вид параболы

На рисунке изображена классическая форма. Фокусом является точка F. Директрисой в данном случае будет считаться прямая оси Y (выделена красным цветом). Из определения можно удостовериться, что абсолютно любая точка кривой, не считая фокуса, имеет себе подобную с другой стороны, удаленную на таком же расстояние от оси симметрии, как и сама. Более того, расстояние от любой из точек на параболе равно расстоянию до директрисы . Забегая вперед, скажем, что центр функции не обязательно должен находиться в начале координат, а ветки могут быть направлены в разные стороны.

Парабола, как и любая другая функция, имеет свою запись в виде формулы:

В указанной формуле буква «s» обозначает параметр параболы, которая равна расстоянию от фокуса до директрисы. Также есть и другая форма записи, указано ГМТ, имеющая вид:

Такая формула используется при решении задач из области математического анализа и применяется чаще, чем традиционная (в силу удобства). В дальнейшем будем ориентироваться на вторую запись.

Это интересно! : доказательство

Расчет коэффициентов и основных точек параболы

К числу основных параметров принято относить расположение вершины на оси абсцисс, координаты вершины на оси ординат, параметр директрисы.

Численное значение координаты вершины на оси абсцисс

Если уравнение параболы задано в классическом виде (1), то значение абсциссы в искомой точке будет равняться половине значения параметра s (половине расстояния между директрисой и фокусом). В случае, если функция представлена в виде (2), то x нулевое рассчитывается по формуле:

Т.е., глядя на эту формулу, можно утверждать, что вершина будет находиться в правой половине относительно оси y в том случае, если один из параметров a или b будет меньше нуля.

Уравнение директрисы определяется следующим уравнением:

Значение вершины на оси ординат

Численное значение местонахождения вершины для формулы (2) на оси ординат можно найти по такой формуле:

Отсюда можно сделать вывод, что в случае если а<0, то вершина кривой будет находиться в верхней полуплоскости , в противном случае – в нижней. При этом точки параболы будут обладать теми же свойствами, что были упомянуты ранее.

Если дана классическая форма записи, то более рациональным будет вычисление значения расположения вершины на оси абсцисс, а через него и последующее значение ординаты. Отметим, что для формы записи (2), ось симметрии параболы, в классическом представлении, будет совпадать с осью ординат.

Важно! При решении заданий с использованием уравнения параболы прежде всего выделите основные значения, которые уже известны. Более того, нелишним будет, если будут определены недостающие параметры. Такой подход заранее даст большее «пространство для маневра» и более рациональное решение. На практике старайтесь использовать запись (2). Она более проста для восприятия (не придется «переворачивать координаты Декарта), к тому же подавляющее количество заданий приспособлено именно под такую форму записи.

Построение кривой параболического типа

Используя распространенную форму записи, перед тем как построить параболу, требуется найти ее вершину. Проще говоря, необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Найти координату вершину на оси X.
2. Найти координату расположения вершины на оси Y.
3. Подставляя разные значения зависимой переменной X, найти соответствующие значения Y и построить кривую.

Т.е. алгоритм не представляет собой ничего сложного, основной акцент делается на том, как найти вершину параболы. Дальнейший процесс построения можно считать механическим.

При условии, что даны три точки, координаты которых известны, прежде всего необходимо составить уравнение самой параболы, а потом повторить порядок действий, который был описан ранее. Т.к. в уравнении (2) присутствуют 3 коэффициента, то, используя координаты точек, вычислим каждое из них:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

В формулах (5.1), (5.2), (5.3) применяются соответственно тех точек, которые известны (к примеру А (, B (, C (. Таким путем находим уравнение параболы по 3 точкам. С практической стороны такой подход не является самым «приятным», однако он дает четкий результат, на основе которого впоследствии строится сама кривая.

При построении параболы всегда должна присутствовать ось симметрии. Формула оси симметрии для записи (2) будет иметь такой вид:

Т.е. найти ось симметрии, которой симметричны все точки кривой, не составляет труда. Точнее, она равна первой координате вершины.

Наглядные примеры

Пример 1. Допустим, имеем уравнение параболы:

Требуется найти координаты вершины параболы, а также проверить, принадлежит ли точка D (10; 5) данной кривой.

Решение: Прежде всего проверим принадлежность упомянутой точки самой кривой

Откуда делаем вывод, что указанная точка не принадлежит заданной кривой. Найдем координаты вершины параболы. Из формул (4) и (5) получаем такую последовательность:

Получается, что координаты на вершине, в точке О, следующие (-1,25; -7,625). Это говорит о том, что наша парабола берет свое начало в 3-й четверти декартовой системы координат.

Пример 2. Найти вершину параболы, зная три точки, которые ей принадлежат: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Используя формулы (5.1), (5.2), (5.3), найдем коэффициенты уравнения параболы. Получим следующее:

Используя полученные значения, получим следующие уравнение:

На рисунке заданная функция будет выглядеть следующим образом (рисунок 2):

Рисунок 2. График параболы, проходящий через 3 точки

Т.е. график параболы, который проходит по трем заданным точкам, будет иметь вершину в 1-й четверти. Однако ветки данной кривой направлены вниз, т.е. имеется смещение параболы от начала координат. Такое построение можно было предвидеть, обратив внимание на коэффициенты a, b, c.

В частности, если a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 кривая будет растянута, а если меньше 1 – сжата.

Константа c отвечает за «движение» кривой вдоль оси ординат. Если c>0, то парабола «ползет» вверх , в противном случае – вниз. Относительно коэффициента b, то определить степень влияния можно лишь изменив форму записи уравнения, приведя ее к следующему виду:

Если коэффициент b>0, то координаты вершины параболы будут смещены вправо на b единиц, если меньше – то на b единиц влево.

Важно! Использование приемов определения смещения параболы на координатной плоскости подчас помогает экономить время при решении задач либо узнать о возможном пересечении параболы с другой кривой еще до построения. Обычно смотрят только на коэффициент a, так как именно он дает четкий ответ на поставленный вопрос.

Полезное видео: как найти вершину параболы

Полезное видео: как легко составить уравнение параболы из графика

Вывод

Такой как алгебраический процесс, как определение вершин параболы, не является сложным, но при этом достаточно трудоемкий. На практике стараются использовать именно вторую форму записи с целью облегчения понимания графического решения и решения в целом. Поэтому настоятельно рекомендуем использовать именно такой подход, и если не помнить формулы координаты вершины, то хотя бы иметь шпаргалку.

Парабола - это бесконечная кривая, которая состоит из точек, равноудаленых от заданной прямой, называемой директрисой параболы, и заданной точки - фокуса параболы. Парабола является коническим сечением, то есть представляет собой пересечение плоскости и кругового конуса.

В общем виде математическое уравнение параболы имеет вид: y=ax^2+bx+c, где a не равно нулю, b отражает смещение графика функции по горизонтали относительно начала координат, а c - вертикальное смещение графика функции относительно начала координат. При этом, если a>0, то при построении графика будут направленны вверх, а в случае, если aСвойства параболы

Парабола - это кривая второго порядка, которая имеет ось симметрии, проходящую через фокус параболы и перпендикулярную директрисе параболы.

Парабола обладает особым оптическим свойством, заключающемся в фокусировки параллельных относительно оси ее симметрии световых лучей, направленных в параболу, в вершине параболы и расфокусировки пучка света, направленного в вершину параболы, в параллельные световые лучи относительной той же оси.

Если произвести отражение параболы относительно любой касательной, то образ параболы окажется на ее директрисе. Все параболы подобны между собой, то есть для каждых двух точек A и B одной параболы, найдутся точки A1 и B1, для которых верно утверждение |A1,B1| = |A,B|*k, где k – коэффициент подобия, который в численном значении всегда больше нуля.

Проявление параболы в жизни

Некоторые космические тела, такие как кометы или астероиды, проходящие вблизи крупных космических объектов на высокой скорости имеют траекторию движения в форме параболы. Это свойство малых космических тел используется при гравитационных маневрах космических кораблей.

Для тренировок будущих космонавтов, на земле проводятся специальные полеты самолетов по траектории параболы, чем достигается эффект невесомости в гравитационном поле земли.

В быту параболы можно встретить в различных осветительных приборах. Это связано с оптическим свойством параболы. Одним из последних способов применения параболы, основанных на ее свойствах фокусировки и расфокусировки световых лучей, стали солнечные батареи, которые все больше входят в сферу энергоснабжения в южных регионах России.

Определение 1. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и называемой директрисой.

Составим уравнение параболы с фокусом в данной точке F и директрисой которой является прямая d, не проходящая через F. Выберем прямоугольную систему координат следующим образом: ось Ох проведем через фокус F перпендикулярно директрисе d в направлении от d к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 1).

Определение 2. Расстояние от фокуса F до директрисы d называется параметром параболы и обозначается через р (р > 0).

Из рис. 1 видно, что p = FK, следовательно, фокус имеет координаты F (р/2; 0) , а уравнение директрисы имеет вид х = – р/2, или

Пусть М(х; у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F ипроведем MN d. Непосредственно из рис. 1 видно, что

а по формуле расстояния между двумя точками

Согласно определению параболы, MF = MN, (1)

следовательно, (2)

Уравнение (2) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (2) преобразуем его следующим образом:

т.е.,

Координаты х и у точки М параболы удовлетворяют условию (1), а следовательно, и уравнению (3).

Определение 3. Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

2. Исследование формы параболы по ее уравнению. Определим форму параболы по ее каноническому уравнению (3).

1) Координаты точки О (0; 0) удовлетворяют уравнению (3), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.

2) Так как в уравнение (3) переменная у входит только в четной степени, то парабола у 2 = 2рх симметрична относительно оси абсцисс.

3) Так как р > 0 , то из (3) следует х ≥ 0. Следовательно, парабола у 2 = 2рх расположена справа от оси Оу .

4) При возрастании абсциссы х от 0 до +∞ ордината у изменяется от 0 до ± ∞, т.е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси Ох , так и от оси Оу .

Парабола у 2 = 2рх имеет форму, изображенную на рис. 2.

Определение 4. Ось Ох называется осью симметрии параболы . Точка О (0; 0) пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы . Отрезок FM называется фокальным радиусом точки М .

Замечание. Для составления уравнения параболы вида у 2 = 2рх мы специальным образом выбрали прямоугольную систему координат (см. п. 1). Если же систему координат выбрать другим образом, то и уравнение параболы будет иметь иной вид.

а

Так, например, если направить ось Ох от фокуса к директрисе (рис. 3, а

у 2 = –2рх. (4)

F(–р/2; 0) , а директриса d задана уравнением х = р/2.

Если ось Оу проведем через фокус F d в направлении от d к F , а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 3, б ), то уравнение параболы пример вид

х 2 = 2ру. (5)

Фокус такой параболы имеет координаты F (0; р/2) , а директриса d задана уравнением у=–р/2.

Если ось Оу проведем через фокус F перпендикулярно к директрисе d в направлении от F к d (рис. 3, в ), то уравнение параболы примет вид

х 2 = –2ру (6)

Координаты ее фокуса будут F (0; –р/2) , а уравнением директрисы d будет у = р/2.

Об уравнения (4), (5), (6) говорят, что они имеют простейший вид.

3. Параллельный перенос параболы. Пусть дана парабола с вершиной в точке О" (а; b) , ось симметрии которой параллельна оси Оу , а ветви направлены вверх (рис. 4). Требуется составить уравнение параболы.

(9)

Определение 5. Уравнение (9) называется уравнением параболы со смещенной вершиной.

Преобразуем это уравнение следующим образом:

Положив

будем иметь (10)

Нетрудно показать, что для любых А, В, С график квадратного трехчлена (10) представляет собой параболу в смысле определения 1. Уравнение параболы вида (10) изучалось в школьном курсе алгебре.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

№1. Составить уравнение окружности:

a. с центром в начале координат и радиусом 7;

b. с центром в точке (-1;4) и радиусом 2.

Построить данные окружности в прямоугольной декартовой системе координат.

№2. Составить каноническое уравнение эллипса с вершинами

и фокусами

№3. Построить эллипс, заданный каноническим уравнением:

1) 2)

№4. Составить каноническое уравнение эллипса с вершинами

и фокусами

№5. Составить каноническое уравнение гиперболы с вершинами

и фокусами

№6. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

1. расстояние между фокусами , а между вершинами

2. действительная полуось , а эксцентриситет ;

3. фокусы на оси , действительная ось 12, а мнимая 8.

№7. Построить гиперболу, заданную каноническим уравнением:

1) 2) .

№8. Составить каноническое уравнение параболы, если:

1) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси и её параметр ;

2) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси и её параметр .

Построить эти параболы, их фокусы и директрисы.

№9. Определить тип линии, если её уравнение:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Векторы в пространстве.

1.1. Что такое вектор?

1.2. Что такое абсолютная величина вектора?

1.3. Какие виды векторов в пространстве Вы знаете?

1.4. Какие действия можно выполнять с ними?

1.5. Что такое координаты вектора? Как их найти?

2. Действия над векторами, заданными своими координатами.

2.1. Какие действия можно выполнять с векторами, заданными в координатной форме (правила, равенства, примеры); как найти абсолютную величину такого вектора.

2.2. Свойства:

2.2.1 коллинеарных;

2.2.2 перпендикулярных;

2.2.3 компланарных;

2.2.4 равных векторов.
(формулировки, равенства).

3. Уравнение прямой. Прикладные задачи.

3.1. Какие виды уравнения прямой Вы знаете (уметь записывать и интерпретировать по записи);

3.2. Как исследовать на параллельность – перпендикулярность две прямые, заданные уравнениями с угловым коэффициентом или общими уравнениями?

3.3. Как найти расстояние от точки до прямой, между двумя точками?

3.4. Как найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями прямой или уравнениями с угловым коэффициентом?

3.5. Как найти координаты середины отрезка и длину этого отрезка?

4. Уравнение плоскости. Прикладные задачи.

4.1. Какие виды уравнения плоскости Вы знаете (уметь записывать и интерпретировать по записи)?

4.2. Как исследовать на параллельность – перпендикулярность прямые в пространстве?

4.3. Как найти расстояние от точки до плоскости и угол между плоскостям?.

4.4. Как исследовать взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?

4.5. Виды уравнения прямой в пространстве: общее, каноническое, параметрическое, проходящей через две данные точки.

4.6. Как найти угол между прямыми и расстояние между точками в пространстве?

5. Линии второго порядка.

5.1. Эллипс: определение, фокусы, вершины, большая и малая оси, фокальные радиусы, эксцентриситет, уравнения директрис, простейшие (или канонические) уравнения эллипса; чертеж.

5.2. Гипербола: определение, фокусы, вершины, действительная и мнимая оси, фокальные радиусы, эксцентриситет, уравнения директрис, простейшие (или канонические) уравнения гиперболы; чертеж.

5.3. Парабола: определение, фокус, директриса, вершина, параметр, ось симметрии, простейшие (или канонические) уравнения параболы; чертеж.

Примечание к 4.1, 4.2, 4.3: Для каждой линии 2го порядка уметь описывать построение.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Даны точки: , где N – номер студента по списку.

3) найти расстояние от точки М до плоскости Р.

4. Построить линию второго порядка, заданную своим каноническим уравнением:

.

ЛИТЕРАТУРА

1. Высшая математика для экономистов - Учебник для вузов под ред. Н.Ш. Кремер и др., - Москва, ЮНИТИ, 2003.

2. Барковський В.В., Барковська Н.В. - Вища математика для економістів – Київ, ЦУЛ, 2002.

3. Суворов И.Ф. - Курс высшей математики. - М., Высшая школа, 1967.

4. Тарасов Н.П. - Курс высшей математики для техникумов. - М.; Наука, 1969.

5. Зайцев И.Л. - Элементы высшей математики для техникумов. - М.; Наука, 1965.

6. Валуцэ Н.Н., Дилигул Г.Д. - Математика для техникумов. - М.; Наука, 1990.

7. Шипачев В.С. - Высшая математика. Учебник для вузов – М.: Высшая школа, 2003.