1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.
3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.
4. Синусом
угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).
5. Косинусом
угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r
6. Тангенсом
угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0
7. Котангенсом
угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0
8. Секанс
угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0
9. Косеканс
угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом
угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом
угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом
угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом
угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс
угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс
угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.
11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1
12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1
13. График функции тангенс
14. График функции котангенс
15. График функции секанс
3. Функция у =
sin
(
x)
нечетная, т.к.
sin (- x
) = - sin x
sin (x + 2
π
) = sin(x).
5. Функция непрерывная
Убывает:
[
π
/2; 3
π
/2
]
.
6.
Возрастает:
[
-
π
/2;
π
/2
]
.
+
+
+
-
-
-
Построение графика функции
y = cos x
.
График функции у =
cos x
получается переносом
графика функции у =
sin x
влево на
π
/2.
Свойства функции у = со
s
(
x
)
.
1. Областью определения функции является множество
всех действительных чисел (
R
)
2. Областью изменений (Областью значений),Е(у)=
[
- 1; 1
]
.
3. Функция у =
cos
(х)
четная, т.к.
cos (-
х
) = cos
(х)
cos (
х
+ 2
π
) = cos
(х)
.
5. Функция непрерывная
Убывает:
[
0
;
π
]
.
6.
Возрастает:
[
π
;
2
π
]
.
+
+
+
+
-
-
-
Построение
графиков
функций вида
у =
sin
(
x
)
+ m
и
у =
cos
(х)
+
m.
Параллельный перенос графика вдоль оси Оу
График функции
y=f(x)
+
m
получается параллельным переносом графика функции
y=f(x)
, вверх на
m
единиц, если
m
0
,
или вниз, если
m
.
Преобразование:
y=
sin
(
x
)
+m
Сдвиг
у=
sin
(
x
)
по оси
y
вверх, если
m
0
m
Преобразование:
y=
cos
(
x
)
+m
Сдвиг
у=
cos
(
x
)
по оси
y
вверх
, если
m
0
m
Преобразование:
y=sin
(
x
)
+m
Сдвиг
у=
sin
(
x
)
по оси
y
вниз,
если
m
0
m
Преобразование:
y= cos
(
x
)
+ m
Сдвиг
у=
cos
(
x
)
по оси
y
вниз, если
m
0
m
Построение
графиков
функций вида
у =
sin
(
x
+
t
)
и
у =
cos
(
х
+ t
)
Параллельный перенос графика вдоль оси Ох
График функции y = f(x + t)
получается параллельным переносом графика функции y=f(x)
по оси х
на
|t|
единиц масштаба
влево,
если t 0
и вправо
,
если t 0.
Преобразование:
y = sin(x + t)
сдвиг
у=
f(x)
по оси
х
влево,
если
t
0
t
Преобразование:
y= cos(x + t)
сдвиг
у=
f(x)
по оси
х
влево,
если
t
0
t
Преобразование:
y= sin(x + t)
сдвиг
у=
f(x)
по оси
х
вправо,
если
t 0
t
Преобразование:
y= cos(x + t)
сдвиг
у=
f(x)
по оси
х
вправо,
если
t 0
t
0
Построение графиков функций вида
у =
А
·
sin
(
x
)
и
y =
А
·
cos
(
x
)
,
при а
1 и 0
а
1
Сжатие и растяжение
вдоль оси Ох
График функции
у=А
·
f(x
)
получаем растяжением графика функции
у=
f(x)
с коэффициентом
А
вдоль оси Ох,если
А
1
и
сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А
.
Преобразование:
y = a·sin
(
x
),
a 1
пусть а=1,5
Преобразование:
y
= a
·
cos
(
x
),
a 1
пусть а=1,5
Преобразование:
y = a·sin
(
x
)
,
0
пусть а=0,5
Преобразование:
y = a·cos
(
x
),
0
пусть а=0,5
sin
( y
x
y=sin(x) → y=sin(x-
π
)
x
sin
( y
y
sin
( x
y
x
-
1
y=cos(x)
→ y=cos(2x)
→ y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3
x
x
x
y
y
sin
y
sin
sin
sin
y
x
y
x
-
1
y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2
y
x
-
1
y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1
y
y
y
cos
y
cos
x + 2
x
cos
x + 2
cos
x
y
x
-
1
y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2
y
x
-
1
y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →
На рисунке ниже представлены несколько единичных окружностей, в которых указаны знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в различных координатных четвертях.
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪
.
0 , или вниз, если m ." width="640"
0 y m 1 x" width="640"
0 y m 1 x" width="640"
0 и вправо, если t 0." width="640"
0 y 1 x t" width="640"
0 y 1 x t" width="640"
1 и 0 а 1" width="640"
1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А." width="640"
1 пусть а=1,5 y 1 x -1" width="640"
1 пусть а=1,5 y 1 x" width="640"
Свойства косинуса
.jpg)
Свойства тангенса
.jpg)
Свойства котангенса
.jpg)
