Определение

Сечение - это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур. Напомним основные факты.
Для более подробного изучения рекомендуется ознакомиться с темами “Введение в стереометрию. Параллельность” и “Перпендикулярность. Углы и расстояния в пространстве” .

Важные определения

1. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Две прямые в пространстве скрещиваются, если через них нельзя провести плоскость.

4. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

5. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\) .

6. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

7. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\) .

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Важные теоремы

1. Если прямая \(a\) , не лежащая в плоскости \(\pi\) , параллельна некоторой прямой \(p\) , лежащей в плоскости \(\pi\) , то она параллельна данной плоскости.

2. Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\) . Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\) , то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) - прямая \(m\) - параллельна прямой \(p\) .

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

4. Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\) , то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\lambda\) . Если прямая \(s\) пересекает плоскость \(\lambda\) в точке \(S\) , не лежащей на прямой \(l\) , то прямые \(l\) и \(s\) скрещиваются.

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть \(AH\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\) . Пусть \(AB, BH\) – наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\) . Тогда прямая \(x\) в плоскости \(\beta\) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

Для этого из двух произвольных точек \(A\) и \(B\) прямой \(a\) проведем перпендикуляры на плоскость \(\mu\) – \(AA"\) и \(BB"\) (точки \(A", B"\) называются проекциями точек \(A,B\) на плоскость). Тогда прямая \(A"B"\) – проекция прямой \(a\) на плоскость \(\mu\) . Точка \(M=a\cap A"B"\) и есть точка пересечения прямой \(a\) и плоскости \(\mu\) .

Причем заметим, что все точки \(A, B, A", B", M\) лежат в одной плоскости.

Пример 1.

Дан куб \(ABCDA"B"C"D"\) . \(A"P=\dfrac 14AA", \ KC=\dfrac15 CC"\) . Найдите точку пересечения прямой \(PK\) и плоскости \(ABC\) .

Решение

1) Т.к. ребра куба \(AA", CC"\) перпендикулярны \((ABC)\) , то точки \(A\) и \(C\) - проекции точек \(P\) и \(K\) . Тогда прямая \(AC\) – проекция прямой \(PK\) на плоскость \(ABC\) . Продлим отрезки \(PK\) и \(AC\) за точки \(K\) и \(C\) соответственно и получим точку пересечения прямых – точку \(E\) .

2) Найдем отношение \(AC:EC\) . \(\triangle PAE\sim \triangle KCE\) по двум углам (\(\angle A=\angle C=90^\circ, \angle E\) – общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за \(a\) , то \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2\) . Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\) с основанием \(ABC\) , высота которой равна стороне основания. Пусть точка \(M\) делит боковое ребро пирамиды в отношении \(1:4\) , считая от вершины пирамиды, а \(N\) – высоту пирамиды в отношении \(1:2\) , считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\) .

Решение

1) Пусть \(DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2\) (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку \(O\) пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\) . Т.к. \(DO\perp (ABC)\) , то и \(NO\perp (ABC)\) . Значит, \(O\) – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр \(MQ\) из точки \(M\) на плоскость \(ABC\) . Точка \(Q\) будет лежать на медиане \(AK\) .
Действительно, т.к. \(MQ\) и \(NO\) перпендикулярны \((ABC)\) , то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки \(M, N, O\) лежат в одной плоскости \(ADK\) , то и точка \(Q\) будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка \(Q\) должна лежать в плоскости \(ABC\) , следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – \(AK\) .

Значит, прямая \(AK\) и есть проекция прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\) . \(L\) – точка пересечения этих прямых.

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки \(L\) (например, на нашем чертеже точка \(L\) лежит вне отрезка \(OK\) , хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим \(AB=DO=a\) . Тогда медиана \(AK=\dfrac{\sqrt3}2a\) . Значит, \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1{2\sqrt3}a\) . Найдем длину отрезка \(OL\) (тогда мы сможем понять, внутри или вне отрезка \(OK\) находится точка \(L\) : если \(OL>OK\) – то вне, иначе – внутри).

а) \(\triangle AMQ\sim \triangle ADO\) по двум углам (\(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle A\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{DO}=\dfrac{AQ}{AO}=\dfrac{MA}{DA}=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1{\sqrt3}a\]

Значит, \(QK=\dfrac{\sqrt3}2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1{\sqrt3}a=\dfrac7{10\sqrt3}a\) .

б) Обозначим \(KL=x\) .
\(\triangle LMQ\sim \triangle LNO\) по двум углам (\(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle L\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a} =\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, \(OL>OK\) , значит, точка \(L\) действительно лежит вне отрезка \(AK\) .

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\) (то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\) ).

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\) . Найдите сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) , проходящей через точку \(C\) и середину ребра \(SA\) и параллельной прямой \(BD\) .

Решение

1) Обозначим середину ребра \(SA\) за \(M\) . Т.к. пирамида правильная, то высота \(SH\) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость \(SAC\) . Отрезки \(CM\) и \(SH\) лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке \(O\) .

Для того, чтобы плоскость \(\alpha\) была параллельна прямой \(BD\) , она должна содержать некоторую прямую, параллельную \(BD\) . Точка \(O\) находится вместе с прямой \(BD\) в одной плоскости – в плоскости \(BSD\) . Проведем в этой плоскости через точку \(O\) прямую \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\) ). Тогда, соединив точки \(C, P, M, K\) , получим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) .

2) Найдем отношение, в котором делят точки \(K\) и \(P\) ребра \(SB\) и \(SD\) . Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

Заметим, что так как \(KP\parallel BD\) , то по теореме Фалеса \(\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}\) . Но \(SB=SD\) , значит и \(SK=SP\) . Таким образом, можно найти только \(SP:PD\) .

Рассмотрим \(\triangle ASC\) . \(CM, SH\) – медианы в этом треугольнике, следовательно, точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины, то есть \(SO:OH=2:1\) .

Теперь по теореме Фалеса из \(\triangle BSD\) : \(\dfrac{SP}{PD}=\dfrac{SO}{OH}=\dfrac21\) .

3) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах \(CO\perp BD\) как наклонная (\(OH\) – перпендикуляр на плоскость \(ABC\) , \(CH\perp BD\) – проекция). Значит, \(CO\perp KP\) . Таким образом, сечением является четырехугольник \(CPMK\) , диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Пример 4

Дана прямоугольная пирамида \(DABC\) с ребром \(DB\) , перпендикулярным плоскости \(ABC\) . В основании лежит прямоугольный треугольник с \(\angle B=90^\circ\) , причем \(AB=DB=CB\) . Проведите через прямую \(AB\) плоскость, перпендикулярную грани \(DAC\) , и найдите сечение пирамиды этой плоскостью.

Решение

1) Плоскость \(\alpha\) будет перпендикулярна грани \(DAC\) , если она будет содержать прямую, перпендикулярную \(DAC\) . Проведем из точки \(B\) перпендикуляр на плоскость \(DAC\) - \(BH\) , \(H\in DAC\) .

Проведем вспомогательные \(BK\) – медиану в \(\triangle ABC\) и \(DK\) – медиану в \(\triangle DAC\) .
Т.к. \(AB=BC\) , то \(\triangle ABC\) – равнобедренный, значит, \(BK\) – высота, то есть \(BK\perp AC\) .
Т.к. \(AB=DB=CB\) и \(\angle ABD=\angle CBD=90^\circ\) , то \(\triangle ABD=\triangle CBD\) , следовательно, \(AD=CD\) , следовательно, \(\triangle DAC\) – тоже равнобедренный и \(DK\perp AC\) .

Применим теорему о трех перпендикулярах: \(BH\) – перпендикуляр на \(DAC\) ; наклонная \(BK\perp AC\) , значит и проекция \(HK\perp AC\) . Но мы уже определили, что \(DK\perp AC\) . Таким образом, точка \(H\) лежит на отрезке \(DK\) .

Соединив точки \(A\) и \(H\) , получим отрезок \(AN\) , по которому плоскость \(\alpha\) пересекается с гранью \(DAC\) . Тогда \(\triangle ABN\) – искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) .

2) Определим точное положение точки \(N\) на ребре \(DC\) .

Обозначим \(AB=CB=DB=x\) . Тогда \(BK\) , как медиана, опущенная из вершины прямого угла в \(\triangle ABC\) , равна \(\frac12 AC\) , следовательно, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) .

Рассмотрим \(\triangle BKD\) . Найдем отношение \(DH:HK\) .

Заметим, что т.к. \(BH\perp (DAC)\) , то \(BH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(BH\) – высота в \(\triangle DBK\) . Тогда \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\) , следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x \Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

Рассмотрим теперь \(\triangle ADC\) . Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины. Значит, \(H\) – точка пересечения медиан в \(\triangle ADC\) (т.к. \(DK\) – медиана). То есть \(AN\) – тоже медиана, значит, \(DN=NC\) .

Аксиомы планиметрии:

В различных учебниках свойства прямых и плоскостей могут быть представлены по-разному, в виде аксиомы, следствия из нее, теоремы, леммы и т.д. Рассмотрим учебник Погорелова А.В.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

0

От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 0 , и только один.

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиомы стереометрии:

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 0 . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 0 , и только один.

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Сечение

В пространстве две фигуры, для нашего случая плоскость и многогранник могут иметь следующее взаимное расположение: не пересекаются, пересекаются в точке, пересекаются по прямой и плоскость пересекает многогранник по его внутренности (рис.1), и при этом образуют следующие фигуры:

а) пустая фигура (не пересекаются)

б) точка

в) отрезок

г) многоугольник

Если в пересечении многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника с плоскостью .

рис.1

Определение. Сечением пространственного тела (например, многогранника) называется фигура, получающаяся в пересечении тела с плоскостью.

Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом, пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок.

Если плоскости пересекаются по прямой, то прямую называют следом одной из этих плоскостей на другой.

В общем случае секущая плоскость многогранника пересекает плоскость каждой его грани (а также любую другую секущую плоскость этого многогранника). Она пересекает и каждую из прямых, на которых лежат ребра многогранника.

Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какое – либо ребро многогранника, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Эта точка является и следом прямой на секущей плоскости. Если секущая плоскость пересекает непосредственно грань многогранника, то можно говорить о следе секущей плоскости на грани, и, аналогично, о следе секущей плоскости на ребре многогранника, то есть о следе ребра на секущей плоскости.

Так как прямая однозначно определяется двумя точками, то для нахождения следа секущей плоскости на любой другой плоскости и, в частности, на плоскости любой грани многогранника, достаточно построить две общие точки плоскостей

Для построения следа секущей плоскости, а также для построения сечения многогранника этой плоскостью, должен быть задан не только многогранник, но и секущая плоскость. А построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Основными способами задания плоскости, и в частности секущей плоскости, являются следующие:

тремя точками не лежащих на одной прямой;

прямой и не лежащей на ней точкой;

двумя параллельными прямыми;

двумя пересекающимися прямыми;

точкой и двумя скрещивающимися прямыми;

Возможны и другие способы задания секущей плоскости.

Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Методы построения сечений многогранников

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

Аксиоматический метод:

Метод следов.

Комбинированный метод.

Координатный метод.

Заметим , что метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;

построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно, другой заданной прямой;

построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Основными действиями, составляющие методы построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построения линии пересечения двух плоскостей, построение прямой параллельной плоскости, перпендикулярной плоскости. Для построения прямой пересечения двух плоскостей обычно находят две ее точки и проводят через них прямую. Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную. Тогда искомая точка получается в пересечении найденной прямой с данной.

Рассмотрим отдельно перечисленные нами методы построения сечений многогранников:

Метод следов.

Метод следов основывается (операеться) на аксиомах стереометрии, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют основным следом секущей плоскости . Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.

Отметим, что при построении основного следа секущей плоскости используется следующее утверждение.

Если точки принадлежат секущей плоскости и не лежат на одной прямой, а их проекция (центральными или параллельными) на плоскость, выбранную в качестве основной, являются соответственно точки то точки пересечения соответственных прямых, то есть точки и лежат на одной прямой (рис.1, а, б).

рис.1.а рис.1.б

Эта прямая является основным следом секущей плоскости. Так как точки лежат на основном следе, то для его построения достаточно найти две точки из этих трех.

Метод вспомогательных сечений.

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Координатный метод построения сечений.

Суть координатного метода заключается в вычислении координат точек пересечения ребер или многогранника с секущей плоскостью, которая задается уравнением плоскости. Уравнение плоскости сечения вычисляется на основе условий задачи.

Заметим , что это способ построения сечения многогранника приемлем для компьютера, так как он связан с большим объемом вычислений и поэтому этот метод целесообразно реализовать с помощью ЭВМ.

Наша основная задача будет состоять в построении сечения многогранника с плоскостью, т.е. в построении пересечения этих двух множеств.

Построение сечений многогранников

Прежде всего заметим, что сечение выпуклого многогранника есть выпуклый плоский многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны с его гранями.

Примеры построения сечений:

Способы задания сечения весьма разнообразны. Наиболее распространенным из них является способ задания секущей плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Пример 1. Для параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Построить сечение проходящее через точки M, N, L.

Решение:

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA 1 D 1 D.

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A 1 D 1 1 D 1 D. Получим точку X 1 .

Точка X1 лежит на ребре A 1 D 1 , а значит и плоскости A 1 B 1 C 1 D 1 , соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X 1 N пересекается с ребром A 1 B 1 в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA 1 B 1 B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD 1 C 1 C:

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD 1 , они лежат в одной плоскости AA 1 D 1 D, получим точку X 2 .

Пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D 1 C 1 , они лежат в одной плоскости A 1 B 1 C 1 D 1 , получим точку X3;

Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD 1 C 1 C. Проведем прямую X 2 X 3 , которая пересечет ребро C 1 C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника, что и мы сделали. MKNTPL - искомое сечение.

Заметим. Эту же самую задачу на построение сечения, можно решить воспользуевавшийся свойством параллельных плоскостей.

Из выше сказанного можно составить алгоритм (правило) решения задач, данного типа.

Правила построения сечений многогранников:

1. проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

   ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого:

Пример 2. D L , M

Решим аксиоматическим методом:

Проведем вспомогательную плоскость DKM , которая пересекает ребра АВ и ВС в точках Е и F (ход решение на рис 2.). Построим «след» КМ плоскости сечения на этой вспомогательной плоскости, найдем точку пересечения КМ и Е F – точку Р. Точка Р, как и L , лежит в плоскости АВС, и можно провести прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость АВС(«след» сечения в плоскости АВС).

Пример 3. На ребрах AB и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре MC зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

Решение проведем комбинированным методом:

1). Ясно, что основным следом плоскости PQR является прямая PQ.

2). Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

3). Найдем точку N=AC BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR MN.

4). Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ - средняя линия треугольника ABD, то PQ параллена BD, то есть прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, то есть параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.

5). Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге получаем многоугольник PQD"RB" - искомое сечение

Рассмотрим сечения призмы для простоты, то есть удобства логических размышлений рассмотрим сечения куба (рис.3.а):

Рис. 3.а

Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, является параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения (рис. 4).

Опр. Диагональным сечением призмы называется сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Многоугольник, получающийся при диагональном сечении призмы, является параллелограммом. Вопрос о числе диагональных сечений n -угольной призмы труднее, чем вопрос о числе диагоналей. Сечений будет столько же сколько диагоналей у основания. Мы знаем, что у выпуклой призмы в основаниях – выпуклые многоугольники, а у выпуклого n -угольника диагоналей. И так можно говорить, что диагональных сечений вдвое меньше, чем диагоналей.

Заметим: При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким – то отрезкам, то эти отрезки параллельны «по свойству параллелепипеда т.е. противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.»

Дадим ответы на часто возникающие вопросы:

Какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью?

«треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник ».

Может ли в сечении куба плоскостью получиться семиугольник? А восьмиугольник?

«не могут».

3)Возникает вопрос чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью?

Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника .

Пример 3. Построить сечение призмы A 1 B 1 C 1 D 1 ABCD плоскостью, проходящей через три точки M, N, K.

Рассмотрим случай расположения точек M, N, K на поверхности призмы (рис. 5).

Рассмотрим случай: В данном случае очевидно, что M1 = B1.

Построение:

Пример 4. Построить сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.6)).

Решение:

Рис. 6

Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА 1 в некоторой точке Х.

Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D, соединим их и получим прямую XN.

Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A 1 B 1 C 1 D 1 , параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В 1 С 1 в точке Y.

Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два не соседних боковых ребра пирамиды.

Пример 4. Построить сечение пирамиды АВС D плоскостью, проходящей через точки К, L , M .

Решение:

1. Проведем еще одну вспомогательную плоскость DCK и построим точку пересечения В L и D К – точку Е. Эта точка принадлежит обеим вспомогательным плоскостям (рис. 7, б);

   Найдем точку пересечения отрезков LM и ЕС (эти отрезки лежат в плоскости BLC , рис.7, в) – точку F . Точка F лежит в плоскости сечения и в плоскости DCK ;

   Проведем прямую KF и найдем точку пересечения этой прямой с DC – точку N (точка N принадлежит сечению). Четырехугольник KLNM – искомое сечение.

Этот же пример решим по другому .

Допустим что по точкам К, L , и М построено сечение KLNM (рис. 7). Обозначим через F точку пересечения диагоналей четырехугольника KLNM . Проведем прямую DF и обозначим через F 1 ее точку пересечения с гранью АВС. Точка F 1 совпадает с точкой пересечения прямых АМ и СК (F 1 одновременно принадлежит плоскостям АМ D и D СК). Точку F 1 легко построить. Далее строим точку F как точку пересечения DF 1 и LM . Далее находим точку N .

Рассмотренный прием называют методом внутреннего проектирования . (Для нашего случая речь идет о центральном проектировании. Четырехугольник K МСА есть проекция четырехугольника KMNL из точки D . При этом точка пересечения диагоналей KMNL – точка F – переходит в точку пересечения диагоналей четырехугольника K МСА – точку F 1 .

Площадь сечения многогранника.

Задача на вычисление площади сечения многогранника обычно решается в несколько этапов. Если в задаче говориться, что сечение построено (или что секущая плоскость проведена и т.п.), то на первом этапе решения выясняют вид фигуры полученной в сечении.

Это необходимо сделать, чтобы выбрать соответствующую формулу для вычисления площади сечения. После того как вид фигуры, полученной в сечении, выяснен и выбрана формула для подсчета площади этой фигуры, переходят непосредственно к вычислительной работе.

В некоторых случаях может оказаться проще, если, не выясняя вида фигуры, полученной в сечении, перейти сразу к вычислениям ее площади по формуле, которая следует из теоремы.

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника: площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: .

Справедлива формула для вычисления площади сечения: где это площадь ортогональной проекции фигуры, полученной в сечении, аэто угол между секущей плоскостью и плоскостью, на которую фигура спроектирована. При таком ходе решения необходимо построить ортогональную проекцию фигуры, полученной в сечении, и подсчитать

Если в условии задачи говориться, что сечение требуется построить и найти площадь полученного сечения, то на первом этапе следует обосновано выполнить построение заданного сечения, и затем, естественно, определить вид фигуры, полученной в сечении, и т.д.

Отметим следующий факт: так как строятся сечения выпуклых многогранников, то многоугольник сечения будет тоже выпуклым, поэтому его площадь можно найти разбиением на треугольники, то есть площадь сечения равна сумме площадей треугольников из которых оно составлено.

Задача 1.

– правильная треугольная пирамида со стороной основания равной и высотой равной Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки, где – середина стороны, и найдите его площадь (рис.8).

Решение.

Сечением пирамиды является треугольник. Найдем его площадь.

Так как основание пирамиды – равносторонний треугольник и точка – середина стороны, то является высотой и тогда, .

Площадь треугольника можно найти:

Задача 2.

Боковое ребро правильной призмы равно стороне основания. Построить сечения призмы плоскостями, проходящими через точку A , перпендикулярно прямой Если найти площадь полученного сечения призмы.

Решение.

Построим заданное сечение. Сделаем это из чисто геометрических соображений, например, следующим образом.

В плоскости проходящей через заданную прямую и заданную точку проведем через эту точку прямую, перпендикулярную прямой (рис. 9). Воспользуемся с этой целью тем, что в треугольнике то есть его медиана является и высотой этого треугольника. Таким образом, прямая.

Через точку проведем еще одну прямую, перпендикулярную прямой. Проведем ее, например, в плоскости, проходящей через прямую. Ясно, что этой прямой является прямая

Итак, построены две пересекающиеся прямые, перпендикулярные прямой. Этими прямимы определяется плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой то есть задана секущая плоскость.

Построим сечение призмы этой плоскостью. Заметим, что так как, то прямая параллельна плоскости. Тогда плоскость, проходящая через прямую, пересекает плоскость по прямой, параллельной прямой, то есть и прямой. Проведем через точку прямую и полученную точку соединим точкой.

Четырехугольник заданное сечение. Определим его площадь.

Понятно что четырехугольник является прямоугольником, то есть его площадь

рис. 9

Цель работы:
Развитие пространственных представлений.
Задачи:
1. Познакомить с правилами построения сечений.
2. Выработать навыки построения сечений
тетраэдра и параллелепипеда при различных
случаях задания секущей плоскости.
3. Сформировать умение применять правила
построения сечений при решении задач по
темам «Многогранники».

Для решения многих
геометрических
задач необходимо
строить сечения
многогранников
различными
плоскостями.

Понятие секущей плоскости

Секущей
плоскостью
параллелепипеда
(тетраэдра)
называется любая
плоскость, по обе
стороны от
которой имеются
точки данного
параллелепипеда
(тетраэдра).

Понятие сечения многогранника

Секущая плоскость
пересекает грани
тетраэдра
(параллелепипеда) по
отрезкам.
Многоугольник, сторонами
которого являются данные
отрезки, называется
сечением тетраэдра
(параллелепипеда).

Работа по рисункам

Сколько плоскостей можно провести
через выделенные элементы?
Какие аксиомы и теоремы вы применяли?

Для построения сечения
нужно построить точки
пересечения секущей
плоскости с ребрами и
соединить их отрезками.

Правила построения сечений

1. Соединять можно только две
точки, лежащие в плоскости одной
грани.
2. Секущая плоскость пересекает
параллельные грани по
параллельным отрезкам.

Правила построения сечений

3. Если в плоскости грани отмечена
только одна точка, принадлежащая
плоскости сечения, то надо
построить дополнительную точку.
Для этого необходимо найти точки
пересечения уже построенных
прямых с другими прямыми,
лежащими в тех же гранях.

10. Построение сечений тетраэдра

11.

Тетраэдр имеет 4 грани
В сечениях могут получиться
Треугольники
Четырехугольники

12.

Построить сечение тетраэдра
DABC плоскостью, проходящей
через точки M,N,K
1. Проведем прямую через
точки М и К, т.к. они лежат
в одной грани (АDC).
D
M
AA
N
K
BB
CC
2. Проведем прямую через
точки К и N, т.к. они
лежат в одной грани
(СDB).
3. Аналогично рассуждая,
проводим прямую MN.
4. Треугольник MNK –
искомое сечение.

13. проходящей через точку М параллельно АВС.

D
1. Проведем через точку М
прямую параллельную
ребру AB
2.
М
Р
А
К
С
В
Проведем через точку М
прямую параллельную
ребру AC
3. Проведем прямую через
точки K и P, т.к. они лежат в
одной грани (DBC)
4. Треугольник MPK –
искомое сечение.

14.

Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K.
D
1. Проводим КF.
2. Проводим FE.
3. Продолжим
EF, продолжим AC.
F
4. EF AC =М
5. Проводим
MK.
E
M
AB=L
6.
MK
C
A
7. Проводим EL
L
EFKL – искомое сечение
K
B

15.

Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K
СКакие
какойпрямые
точкой,
лежащей в
можно
Соедините
получившиеся
Какие
точки
можно
сразу
той
же
грани
можно
продолжить,
чтобы
получить
точки,
лежащие
в
одной
соединить?
соединить
полученную
дополнительную
точку?
грани,
назовите
сечение.
дополнительную точку?
D
АС
ЕLFK
FСЕК
иточкой
K,и Е
и FК
F
L
C
M
A
E
K
B

16.

Построить сечение
тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки
E, F, K.
D
F
L
C
A
E
K
B
О

17.

Вывод: независимо от способа
построения сечения одинаковые

18. Построение сечений параллелепипеда

19.

Тетраэдр имеет 6 граней
Треугольники
Пятиугольники
В его сечениях могут получиться
Четырехугольники
Шестиугольники

20. Построить сечение параллелепипеда плоскостью проходящей через точку Х параллельно плоскости (ОСВ)

В1
А1
Y
Х
D1
S
В
А
D
Z
1. Проведем через
С1
точку X прямую
параллельную ребру
D1C1
2. Через точку X
прямую
параллельную ребру
D1D
3. Через точку Z прямую
параллельную ребру
С
DC
4. Проведем прямую через
точки S и Y, т.к. они лежат в
одной грани (BB1C1)
XYSZ – искомое сечение

21.

Построить сечение параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точки
M,A,D
В1
D1
E
A1
С1
В
А
1. AD
2. MD
3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A1B1C1)
4. AE
5. AEMD – искомое сечение
М
D
С

22. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, К, Т

N
М
К
R
S
Х
Т

23. Выполните задания самостоятельно

м
т
к
м
Д
к
т
Постройте сечение: а) параллелепипеда;
б) тетраэдра
плоскостью, проходящей через точки М, Т, К.

24. Использованные ресурсы

Соболева Л. И. Построение сечений
Ткачева В. В. Построение сечений
тетраэдра и параллелепипеда
Гобозова Л. В. Задачи на построение
сечений
DVD-диск. Уроки геометрии Кирилла и
Мефодия. 10 класс, 2005
Обучающие и проверочные задания.
Геометрия. 10 класс (Тетрадь)/Алешина
Т.Н. – М.: Интеллект-Центр, 1998

Практическое занятие: «Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда ».

1. Цель практической работы : . Закрепить знания теоретического материала о многогранниках, навыки решения задач на построение сечений, умения анализировать чертеж.

2.Дидактическое оснащение практической работы : АРМ, модели и развёртки многогранников, измерительные инструменты, ножницы, клей, плотная бумага.

Время:2 часа

Задания к работе:

Задание 1

Построить сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P, лежащие, на прямых, соответственно, A 1 B 1, А D , DC

Образец и последовательность решения задачи:

1.Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

2.Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

3.Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА 1 в некоторой точке Х.

4.Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D, соединим их и получим прямую XN.

5.Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A 1 B 1 C 1 D 1 , параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В 1 С 1 в точке Y.

6.Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Задание 2

Вариант1. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, заданной следующими точками M , N и P

1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныА

2 Уровень. M лежит в грани AA1D1D, N лежит в грани АА1В1В, P лежит в грани СС1D1D.

3 Уровень. M лежит на диагонали B1D, N лежит на диагонали АС1, P лежит на ребре С1D1.

Вариант2. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре СС1 и точку Р, заданную следующим образом

1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныС

2 Уровень: М лежит на продолжении ребра А1В1, причем точка А1 находится между точками В1 и Р.

3 Уровень: Р лежит на диагонали В1D

Порядок выполнения работы:

1.Изучите теоретический материал по темам:

Параллелепипед.

Прямой параллелепипед.

Наклонный параллелепипед.

Противолежащие грани параллелепипеда.

Свойства диагоналей параллелепипеда.

П онятие секущей плоскости и правила её построения.

Какие виды многоугольников получаются в сечении куба и параллелепипеда.

2. Постройте параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

3.Разберите решение задачи № 1

4.Последовательно постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R задачи № 1.

5.Постройте ещё три параллелепипеда и выделите на них сечения к задачам 1, 2, и 3 уровней

Критерии оценивания :

Литература: Атанасян Л.С. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 2010г Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 2010. В. Н. ЛитвиненкоЗадачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2010г

Дидактический материал к заданию практического занятия

К задаче № 1:

Некоторые возможные сечения:

Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через данные точки

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ И РАЗРЕЗОВ НА ЧЕРТЕЖАХ

Формирование чертежа детали производится путем последовательного добавления необходимых проекций, разрезов и сечений. Первоначально создается произвольный вид с указанной пользователем модели, при этом задается ориентация модели, наиболее подходящая для главного вида. Далее по этому и следующим видам создаются необходимые разрезы и сечения.

Главный вид (вид спереди) выбирается таким образом, чтобы он давал наиболее полное представление о формах и размерах детали.

Разрезы на чертежах

В зависимости от положения секущей плоскости различают следующие виды разрезов:

А) горизонтальные, если секущая плоскость располагается параллельно горизонтальной плоскости проекций;

Б) вертикальные, если секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций;

В) наклонные - секущая плоскость наклонена к плоскостям проекций.

Вертикальные разрезы подразделяются на:

· фронтальные - секущая плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций;

· профильные - секущая плоскость параллельна профильной плоскости проекций.
В зависимости от числа секущих плоскостей разрезы бывают:

· простые - при одной секущей плоскости (рис.107);

· сложные - при двух и более секущих плоскостях (рис.108)
Стандартом предусмотрены следующие виды Сложных разрезов:

· ступенчатые, когда секущие плоскости располагаются параллельно (рис.108 а) и ломаные - секущие плоскости пересекаются (рис.108 б)

Рис.107 Простой разрез

А) б)

Рис.108 Сложные разрезы

Обозначение разрезов

В случае, когда в простом разрезе секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии предмета, разрез не обозначается (рис.107). Во всех остальных случаях разрезы обозначаются прописными буквами русского алфавита, начиная с буквы А, например А-А.

Положение секущей плоскости на чертеже указывают линией сечения – утолщенной разомкнутой линией. При сложном разрезе штрихи проводят также у перегибов линии сечения. На начальном и конечном штрихах следует ставить стрелки, указывающие направление взгляда, стрелки должны находиться на расстоянии 2-3 мм от наружных концов штрихов. С наружной стороны каждой стрелки, указывающей направление взгляда, наносят одну и ту же прописную букву.

Для обозначения разрезов и сечений в системе КОМПАС используется одна и та же кнопка Линия разреза, расположенная на странице Обозначения (рис.109).

Рис.109 Кнопка Линия разреза

Соединение половины вида с половиной разреза

Если вид и разрез представляют собой симметричные фигуры (рис.110), то можно соединять половину вида и половину разреза, разделяя их штрихпунктирой тонкой линией, являющейся осью симметрии. Часть разреза обычно располагают справа от оси симметрии, разделяющей часть вида с частью разреза, или снизу от оси симметрии. Линии невидимого контура на соединяемых частях вида и разреза обычно не показываются. Если с осевой линией, разделяющий вид и разрез, совпадает проекция какой-либо линии, например, ребра гранной фигуры, то вид и разрез разделяются сплошной волнистой линией, проводимой левее оси симметрии, если ребро лежит на внутренней поверхности, или правее, если ребро наружное.

Рис. 110 Соединение части вида и разреза

Построение разрезов

Построение разрезов в системе КОМПАС изучим на примере построения чертежа призмы, задание для которого изображено на рис.111.

Последовательность построения чертежа следующая:

1. По заданным размерам построим твердотельную модель призмы (рис.109 б). Сохраним модель в памяти компьютера в файле с именем «Призма».

Рис.112 Панель Линии

3. Для построения профильного разреза (рис.113) начертим линию разреза А-А на главном виде с помощью кнопки Линия разреза.

Рис.113 Построение профильного разреза

Направление взгляда и текст обозначения можно выбрать на панели управления командой внизу экрана (рис.114). Завершается построение линии разреза нажатием на кнопку Создать объект.

Рис.114 Панель управления командой построения разрезов и сечений

4. На панели Ассоциативные виды (рис.115) выберем кнопку Линия разреза, затем появившейся на экране ловушкой укажем линию разреза. Если все сделано верно (линия разреза должна быть обязательно построена в активном виде), то линия разреза окрасится в красный цвет. После указания линии разреза А-А на экране появится фантом изображения в виде габаритного прямоугольника.

Рис.115 Панель Ассоциативные виды

С помощью переключателя Разрез/сечение на Панели свойств выбирается тип изображения – Разрез (рис.116) и масштаб отображаемого разреза.

Рис.116 Панель управления командой построения разрезов и сечений

Профильный разрез построится автоматически в проекционной связи и со стандартным обозначением. При необходимости проекционную связь можно отключать переключателем Проекционная связь (рис.116). Для настройки параметров штриховки, которая будет использована в создаваемом разрезе (сечении) используется элементы управления на вкладке Штриховка.

Рис.117 Построение горизонтального разреза Б-Б и сечения В-В

Если выбранная секущая плоскость при построении разреза совпадает с плоскостью симметрии детали, то в соответствии со стандартом такой разрез не обозначается. Но если просто стереть обозначение разреза, то из-за того, что вид и разрез в памяти компьютера связаны между собой, то сотрется и весь разрез. Поэтому для того, чтобы удалить обозначение, вначале следует разрушить связь вида и разреза. Для этого щелчком левой кнопки мыши выделяется разрез, а затем щелчком правой кнопки мыши вызывается контекстное меню, из которого выбирается пункт Разрушить вид (рис.97). Теперь обозначение разреза можно удалить.

5. Для построения горизонтального разреза проведем через нижнюю плоскость отверстия на виде спереди линию разреза Б-Б. Предварительно обязательно двумя щелчками левой кнопки мыши вид спереди следует сделать текущим. Затем строится горизонтальный разрез (рис.117).

6. При построении фронтального разреза совместим часть вида и часть разреза, т.к. это симметричные фигуры. На линию разделяющую вид и разрез проецируется наружное ребро призмы, поэтому разграничим вид и разрез сплошной тонкой волнистой линией, проводимой правее оси симметрии, т.к. ребро наружное. Для построения волнистой линии используется кнопка Кривая Безье, расположенной на панели Геометрия, вычерчиваемая стилем Для линии обрыва (рис.118). Последовательно указывайте точки, через которые должна пройти кривая Безье. Закончить выполнение команды следует нажатием на кнопку Создать объект.

Рис.118 Выбор стиля линии для обрыва

Построение сечений

Сечением называется изображения предмета, которые получаются при мысленном рассечении предмета плоскостью. На сечении показывают только то, что расположено в секущей плоскости.

Положение секущей плоскости, с помощью которой образуется сечение, на чертеже указывают линией сечения, так же как для разрезов.

Сечения в зависимости от расположения их на чертежах разделяются на вынесенные и наложенные. Вынесенные сечения располагаются чаще всего на свободном поле чертежа и обводятся основной линией. Наложенные сечения располагают непосредственно на изображении предмета и обводят тонкими линиями (рис.119).

Рис.119 Построение сечений

Рассмотрим последовательность построения чертежа призмы с вынесенным наклонным сечением Б-Б (рис.117).

1. Сделаем вид спереди активным двойным щелчком левой кнопкой мыши по виду и начертим линию разреза с помощью кнопки Линия разреза. Выберем текст надписи В-В.

2. С помощью кнопки Линия разреза, расположенной на панели Ассоциативные виды (рис.115), появившейся ловушкой укажем линию секущей плоскости В-В. С помощью переключателя Разрез/сечение на Панели свойств следует выбрать тип изображения – Сечение (рис.116), масштаб отображаемого сечения выбирается из окна Масштаб.

Построенное сечение располагается в проекционной связи, что ограничивает его перемещение по чертежу, но проекционную связь можно отключать с помощью кнопки Проекционная связь.

На готовом чертеже следует прочертить осевые линии, при необходимости проставить размеры.