Случайное событие – любое событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате какого-либо опыта.

Вероятность события р равна отношению числа благоприятных исходов k к числу всевозможных исходов n , т.е.

p=\frac{k}{n}

Формулы сложения и умножения теории вероятности

Событие \bar{A} называется противоположным событию A, если не произошло событие A.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

P(\bar{A}) + P(A) =1

• Вероятность события не может быть больше 1.
• Если вероятность события равна 0, то оно не случится.
• Если вероятность события равна 1, то оно произойдет.

Теорема сложения вероятностей:

«Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.»

P(A+B) = P(A) + P(B)

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Теорема умножения вероятностей

«Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.»

P(AB)=P(A)*P(B)

События называются несовместными , если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

События называются совместными , если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Два случайных события А и В называются независимыми , если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

ЕГЭ 2016. Математика. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь.

М.: 2016. - 64 с.

Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2016. Математика» ориентирована на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике в 2016 году по базовому и профильному уровням. В рабочей тетради представлены задачи по одной позиции контрольных измерительных материалов ЕГЭ-2016. На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по теме «Теория вероятностей». Рабочая тетрадь ориентирована на один учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпускника. Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей.

Формат: pdf

Размер: 3,1 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
От редактора серии 3
Введение 4
Диагностическая работа 1 6
Решения задач диагностической работы 1 10
Тренировочная работа 1 (к задаче Д1.1) 22
Тренировочная работа 2 (к задачам Д1.2, Д.1.4) 24
Тренировочная работа 3 (к задачам Д1.3, Д1.5) 26
Тренировочная работа 4 (к задачам Д1.1-Д1.5) 28
Тренировочная работа 5 (к задачам Д1.6-Д1.9) 30
Тренировочная работа 6 (к задачам Д1.6-Д1.9) 32
Тренировочная работа 7 (к задачам Д1.6-Д1.9) 34
Тренировочная работа 8 (к задачам Д1.10-Д1.14) 36
Тренировочная работа 9 (к задачам Д1.10-Д1.14) 39
Тренировочная работа 10 (к задачам Д1.10-Д1.14) 41
Тренировочная работа 11 (к задачам Д1.15-Д.18) 43
Тренировочная работа 12 (к задачам Д1.15-Д.18) 45
Диагностическая работа 2 47
Диагностическая работа 3 51
Диагностическая работа 4 54
Справочные материалы 57
Ответы 58

Настоящее пособие предназначено для подготовки к выполнению задания по теории вероятностей единого государственного экзамена (задача 4 профильного уровня и задача 10 базового уровня в варианте 2016 года).
Пособие состоит из диагностической работы Д1 с разбором решений, десяти тренировочных работ и трех дополнительных диагностических работ Д2-Д4, предназначенных для промежуточного контроля. В конце сборника даны ответы ко всем задачам.
Благодаря тому что задания первой части ЕГЭ по математике формируются с использованием открытого банка, задачи по вероятности также не будут сюрпризом для участников экзамена.
Теория вероятностей - один из наиболее важных прикладных разделов математики. Многие явления окружающего нас мира поддаются описанию только с помощью теории вероятностей. Ее преподают в школах многих стран, а в России она была возвращена в школу стандартом 2004 года и пока остается новым разделом.
Учащиеся и учителя еще испытывают определенные трудности при изучении теории вероятностей и статистики, связанные с отсутствием глубоких традиций преподавания и малочисленностью учебных материалов. Поэтому в 2016 году в ЕГЭ войдут только простейшие задачи по теории вероятностей.

Повторение курса теории вероятностей в 11 классе. Подготовка к ЕГЭ.

Суммой A + B событий A и B называется событие, состоящее в появлении события А , или события В , или обоих этих событий.

Пример. Пусть А - идет дождь, B - идет снег, тогда (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки;

А - пошли на дискотеку; B - пошли в библиотеку, тогда (А + В) - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.

События называются несовместными , если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема . Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P (A + B) = P(A) + P(B) .

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение . Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

P (A) = 10/30 = 1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

P (В) = 5/30 = 1/6.

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

По формуле искомая вероятность

P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2 .

Пример. Вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске будет 1/3 , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) несовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом: 1/6 + 1/6 =1/3.

Полная группа событий.

Множество несовместных событий образуют полную группу событий , если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Приммер. Для игрального кубика характерно рассмотрение следующего набора:

– в результате броска игрального кубика выпадет 1 очко;
– … 2 очка;
– … 3 очка;
– … 4 очка;
– … 5 очков;
– … 6 очков.

События несовместны (поскольку появление какой-либо грани исключает одновременное появление других) и образуют полную группу (так как в результате испытания непременно появится одно из этих шести событий) .

Теорема . Сумма вероятностей событий A 1 , A 2 , …, A n , образующих полную группу, равна единице:

P(А 1 ) + P(А 2 ) + ... + P(А n ) = 1 .

Противоположные события.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А , то другое принято обозначать .

Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении 6 , то противоположное событие – это невыпадение 6 , т.е. выпадение 1, 2, 3, 4 или 5 .

Пример. Если А - число четное, то - число нечетное; если А - зима, то - не зима (либо осень, либо лето, либо весна); если А - сдал экзамен, то - не сдал экзамен.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Р(А) + Р( ) = 1 или Р(А) = 1 – Р( ).

Пример. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей на них выпадает разное (не одинаковое) число очков?

Обозначим описанное событие А. Противоположным событием является событие , состоящее в том, что на обеих костях выпало одинаковое число очков. Событию благоприятствуют шесть элементарных событий: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Вероятность каждого из этих элементарных событий . Значит, Р( ) = . Тогда Р(А) = 1 – Р( )= 1 - .

Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

Два события А и В называются независимыми , если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет.

Пример. Монета брошена два раза. Событие А – выпал «герб» при первом броске, событие В – выпал «герб» при втором броске. События А и В независимы.

События А и В называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло или нет другое событие.

Если вероятность события В вычисляется в предположении, что событие А уже произошло, то такая вероятность называется условной вероятностью события В по отношению к событию А. Обозначение: Р А (В).

Пример. В конверте лежало 4 открытки с видами Петербурга и 3 открытки с видами Москвы. Пусть событие А – извлечение открытки с видами Петербурга, событие В – извлечение открытки с видами Москвы. Рассмотрим вероятности. Связанные с этими событиями.

а) если сначала вытащили открытку с видом Петербурга, а затем с видом Москвы, то Р А (В) = ;

б) если сначала вытащили открытку с видом Москвы, а затем с видом Петербурга, тогда Р В (А) = .

Произведение вероятностей.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ , состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Пример. Пусть А - из урны вытянули белый шар, B - из урны вытянули белый шар, тогда АВ - из урны вытянули два белых шара; если А - идет дождь, B - идет снег, то АB - дождь со снегом; А - число четное, B - число кратное 3 , тогда АB - число кратное 6 .

Теорема умножения для независимых событий

Теорема . Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей :

P(AB) = P(A) · P(B) .

Пример. Игральный куб подбрасывают два раза. Какова вероятность, что в первом броске выпадет 2 очка, а во втором 6?

Пусть событи е А – выпадение 2 очков, событие В – выпадение 6 очков, событие С – выпадение в первом броске 2 очков, а во втором 6 очков.

События А и В независимы, так как наступление одного события не зависит от наступления другого события. Тогда так как Р(А) = и Р(В) = , то Р(С) = Р(А) · Р(В) = .

Теорема умножения для зависимых событий.

Теорема . Если события А и В являются зависимыми, то вероятность их произведения равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого

P (AB) = P (A) · P A (B) .

Пример. В конверте лежало 4 открытки с видами Петербурга и 3 открытки с видами Москвы. Пусть событие А – извлечение первый раз видов Петербурга, событие В - извлечение первый раз видов Москвы. Пусть событие С состоит в том, что вначале вытащили вид Петербурга, затем вид Москвы. Тогда событие С по определению умножения равно А·В. Очевидно, что в данном случае события А и В зависимы. Покажем это.

Значит нужно воспользоваться теоремой о формуле произведения зависимых событий, т.е. Р(С) = P (A) · P A (B) . Таким образом, Р(С) = .

Пример . В читальном зале имеется 6 учебников по информатике, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение . Рассмотрим следующие события:
А 1 - первый взятый учебник в переплете;
A 2 - второй взятый учебник в переплете.

Событие A = A 1 · A 2 , состоит в том, что оба взятых учебника в переплете. События А 1 и А 2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А 2 зависит от наступления события А 1 . Поэтому, для вычисления вероятности воспользуемся формулой произведения зависимых событий .

Вероятность наступления события А 1 в соответствии с классическим определением вероятности:

P (А 1 ) = m / n = 3/6 = 0,5 .

P А1 (А 2 ) определяется как условная вероятность наступления события А 2 при условии, что событие А 1 уже наступило:

P А1 (А 2 ) = 2/5 = 0,4 .

Тогда искомая вероятность наступления события А :

P (А) = 0,5 · 0,4 = 0,2 .

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными , если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. А - появление четырех очков при бросании игральной кости; В - появление четного числа очков. Событие А и В - совместны.

Теорема . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления :

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) .

Пример. Два студента читают книгу. Первый студент дочитает книгу с вероятностью – 0,6; второй – 0,8. Найти вероятность того, что книга будет прочитана хотя бы одним из студентов.

Решение . Вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов не зависит от результата отдельно взятого студента, поэтому события А (первый студент дочитал книгу) и B (второй студент дочитал книгу) независимы и совместны. Искомую вероятность находим по формуле сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность события АB (оба студента дочитали книгу):

P (AB) = P (A) · P (B) = 0,6 · 0,8 = 0,48.

Тогда

P (A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.

Пример. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.

Пример. В школе 1400 учеников, из них 1200 учеников умеют кататься на лыжах, 952 ученика умеют кататься на коньках. Не умеют кататься ни на лыжах, ни на коньках 60 учеников. Какова вероятность, что ученик умеет кататься и на лыжах, и на коньках?

Обозначим Е – все ученики данной школы. Пусть событие А – умение учеников кататься на лыжах. Событие В – умение учеников кататься на коньках. Событие АВ – умение учеников кататься и на лыжах и на коньках. Событие А+В – умение учеников кататься или на лыжах, или на коньках. .

Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий В 1 , В 2 , …, В n которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Р(А) = Р(В 1 ) · Р В1 (А) + Р(В 2 ) · Р В2 (А) + … + Р(В n ) · Р В n (А).

Эта формула называется формулой полной вероятности. 3 ) = .

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; Р В1 (А) означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на первом заводе , Р(В 2 ) – на втором заводе, Р(В 3 ) – на третьем заводе. Из условия задачи следует:

Р В1 =0,034.

Список литературы.

Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. ОАО «Московский учебник». М., 2008.

Шахмейстер А.Х. Комбинаторика. Статистика. Вероятность. МЦНМО. М., 2010.

На заводе керамической плитки 5% произведённых плиток имеют дефект. При контроле качества продукции обнаруживается лишь 40% дефектных плиток. Остальные плитки отправляются на продажу. Найдите вероятность того, что выбранная случайным образом при покупке плитка не будет иметь дефектов. Ответ округлите до сотых.

Показать решение

Решение

При контроле качества продукции выявляется 40% дефектных плиток, которые составляют 5% от произведённых плиток, и они не поступают в продажу. Значит, не поступает в продажу 0,4 · 5% = 2% от произведённых плиток. Остальная часть произведённых плиток — 100% − 2% = 98% поступает в продажу.

Не имеет дефектов 100% − 95% произведённых плиток. Вероятность того, что купленная плитка не имеет дефекта, равна 95% : 98% = \frac{95}{98}\approx 0,97

Ответ

Условие

Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.

Показать решение

Решение

Вероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85. Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85. Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A \cap B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Вероятность того, что новая стиральная машина в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065 . В некотором городе в течение года было продано 1200 стиральных машин, из которых 72 штуки было передано в гарантийную мастерскую. Определите, насколько отличается относительная частота наступления события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Показать решение

Решение

Частота события «стиральная машина в течение года поступит в гарантийный ремонт» равна \frac{72}{1200} = 0,06. От вероятности она отличается на 0,065-0,06=0,005.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05 . Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.

Показать решение

Решение

Вероятность того, что ручка исправная, равна 1-0,05 = 0,95. Найдём вероятность события «обе ручки исправны». Обозначим через A и B события «первая ручка исправна» и «вторая ручка исправна». Получили P(A) = P(B) = 0,95. Событие «обе ручки исправны» — это пересечение событий A\cap B, его вероятность равна P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти в обратном направлении жук не может, поэтому на каждой развилке он выбирает один из путей, в котором еще не был. С какой вероятностью жук придет к выходу Д, если выбор дальнейшего пути является случайным.

Показать решение

Решение

Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться жук (см. рис.).

Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток жук будет двигаться по выбранному нами направлению.

Чтобы жук достиг выхода Д, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной красной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная красная стрелка, равна \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

В секции 16 спортсменок, среди них две подруги — Оля и Маша. Спортсменок случайным образом распределяют по 4 равным группам. Найдите вероятность того, что Оля и Маша попадут в одну группу.