Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости.
В разделе плоскость в пространстве мы рассмотрели плоскость с позиций геометрии. В этой статье мы взглянем на плоскость с позиций алгебры, то есть, перейдем к описанию плоскости с помощью уравнения плоскости.
Сначала разберемся с вопросом: «Что такое уравнение плоскости»? После этого рассмотрим основные виды уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного плостранства.
Навигация по странице.
- Уравнение плоскости – определение.
- Общее уравнение плоскости.
- Уравнение плоскости в отрезках.
- Нормальное уравнение плоскости.
Уравнение плоскости – определение.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задана плоскость.
Плоскость, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Между координатами каждой точки плоскости можно установить зависимость с помощью уравнения, которое называют уравнением плоскости.
Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве – это уравнение с тремя переменными x , y и z , которому удовлетворяют координаты любой точки заданной плоскости и не удовлетворяют координаты точек, лежащих вне данной плоскости.
Таким образом, уравнение плоскости обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки плоскости. Если в уравнение плоскости подставить координаты точки, не лежащей в этой плоскости, то оно обратится в неверное равенство.
Осталось выяснить, какой вид имеет уравнение плоскости. Ответ на этот вопрос содержится в следующем пункте этой статьи. Забегая вперед, отметим, что уравнение плоскости может быть записано по-разному. Существование различных видов уравнения плоскости обусловлено спецификой решаемых задач.
К началу страницы
Общее уравнение плоскости.
Приведем формулировку теоремы, которая дает нам вид уравнения плоскости.
Теорема.
Всякое уравнение вида , где A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида .
Уравнение называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде .
Следует заметить, что уравнение вида , где - некоторое действительное число, отличное от нуля, будет определять ту же самую плоскость, так как равенства и эквивалентны. К примеру, общие уравнения плоскости и задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.
Немного поясним смысл озвученной теоремы. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой плоскости соответствует ее уравнение общего вида , а каждому уравнению соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Другими словами, плоскость и ее общее уравнение неразделимы.
Если все коэффициенты А , В , С и D в общем уравнении плоскости отличны от нуля, то оно называется полным . В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным .
Неполными уравнениями задаются плоскости, параллельные координатным осям, проходящие через координатные оси, параллельные координатным плоскостям, перпендикулярные координатным плоскостям, совпадающие с координатными плоскостями, а также плоскости, проходящие через начало координат.
Например, плоскость параллельна оси абсцисс и перпендикулярна координатной плоскости Oyz , уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oxy , а общее уравнение плоскости вида соответствует плоскости, проходящей через начало координат.
Отметим также, что коэффициенты A , B и C в общем уравнении плоскости представляют собойкоординаты нормального вектора плоскости.
Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.
К началу страницы
В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение уравнения плоскости
Определение 1Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.
Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х, у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.
Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.
Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.
Общее уравнение плоскости
Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.
Теорема 1
Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А, В, С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве
Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А, В, С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.
Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ - это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.
Пример 1
Общим уравнениям плоскости x - 2 · y + 3 · z - 7 = 0 и - 2 · x + 4 · y - 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.
Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .
Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А, B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.
Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.
Пример 2
Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y - 5 · z + 1 = 0 .
Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x - y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.
Важное уточнение: коэффициенты А, В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.
Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = (A , B , C) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .
Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ - это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.
n → = (cos α , cos β , cos γ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = (cos α , cos β , cos γ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.
Пример 3
Плоскость задана общим уравнением плоскости вида - 1 4 · x - 3 4 · y + 6 4 · z - 7 = 0 . D = - 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = - 1 4 , - 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = - 1 4 2 + - 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.
Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.
Плоскость отсекает на координатных осях O х, O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а, b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.
Пример 4
Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x - 5 + y - 4 + z 4 = 1 .
Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.
Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x - 5 + y - 4 + z 4 = 1 .
Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Раздел 5. Аналитическая геометрия.
1. Различные уравнения плоскости в пространстве
2. Частные случаи общего уравнения плоскости
3. Взаимное расположение двух плоскостей
4. Расстояние от точки до плоскости
5. Различные уравнения прямой в пространстве
6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
8. Различные уравнения прямой линии на плоскости
9. Геометрическая задача линейного программирования
Различные уравнения плоскости в пространстве.
В предыдущих параграфах говорилось о том, что каждой точке пространства ставится в соответствие упорядоченный набор чисел – её координаты. Естественно предположить, что если точки, обнаруживая некоторую закономерность, «выстраиваются» в виде некоторой линии или поверхности, то и их координаты также будут демонстрировать эту закономерность, удовлетворяя, как правило, некоторому уравнению, которое и называется уравнением этой линии, или поверхности.
Рассмотрим сначала пространство R 3 – реальное трёхмерное пространство (в котором мы живём). Простейшей поверхностью в пространстве является плоскость. Плоскость может быть задана различными способами, этим способам соответствуют различные формы уравнений этой плоскости. В частности, плоскость вполне
Определена, если известна какая-нибудь
|
(она называется опорной ), и какой-нибудь
вектор, от которого требуется лишь одно
Рис.1 – он должен быть перпендикулярен
плоскости. Такой вектор называется вектором нормали и обычно обозначается (см. рис. 1).
Составить уравнение плоскости – значит охарактеризовать некоторым уравнением все точки плоскости. Для этого берём из этого бесчисленного множества точек любую (так сказать, представителя этого множества) и составляем для неё (т.е. для её координат) на основе замеченной закономерности уравнение. Поскольку точка была любой, то это уравнение будет справедливым и для всех точек плоскости.
Возьмём произвольную точку М (см. рис.1). Теперь образуем вектор . Ясно, что . Воспользуемся условием перпендикулярности двух векторов – их скалярное произведение равно нулю:
(1)
Уравнение (1) называют векторным уравнением плоскости. Это уравнение справедливо в любой системе координат.
Рассмотрим теперь уравнение (1) в декартовой системе координат. Пусть точка М 0 имеет координаты , координаты вектора принято обозначать: . Т.к. точка М – произвольная, её координаты: , следовательно, . Тогда формула (1) примет вид
его будем называть уравнением плоскости с опорной точкой и вектором нормали. Раскроем скобки в уравнении (2):
Обозначив, получим
Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости. Отсюда видно, что всякое уравнение первой степени представляет собой плоскость.
Хорошо известно, что три точки однозначно определяют плоскость.
|
|
некоторую плоскость (т.е. не лежат
М 3 на одной прямой). Составим
уравнение этой плоскости
Рис. 2 (см. рис.2). Для этого возьмём
произвольную точку М, лежащую в плоскости и рассмотрим три вектора Поскольку М принадлежит плоскости, векторы эти компланарны, а условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения:
Уравнение (4) – ещё одно векторное уравнение плоскости, справедливое для любой системы координат. В декартовой системе координат пусть , ; тогда
И уравнение (4) выглядит следующим образом:
X – x 1 y – y 1 z – z 1
x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 = 0 (5)
x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1
Уравнение (5) называют уравнением плоскости, проходящей через три точки.
Пример 1 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (1,2,-3) перпендикулярно вектору
Решение . Воспользовавшись уравнением (2), получим уравнение плоскости
Заметим, что в уравнении могут отсутствовать некоторые переменные.
Пример 2 . Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору
Решение. Воспользуемся уравнением (2): Заметим, что в уравнении отсутствует свободный член (точнее, свободный член равен нулю).
Пример 3 . Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки А(1,1,3), В(0,2,3), С(1,5,7).
Решение. Воспользуемся уравнением (5):
Вычислим определитель разложением по первой строке:
5.2. Частные случаи общего уравнения плоскости.
Возьмём общее уравнение плоскости и рассмотрим несколько его частных случаев.
1) D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид
(6)
Ясно, что этому уравнению всегда удовлетворяет точка О(0,0,0) – начало координат. Итак, если в уравнении плоскости свободный член равен нулю, то плоскость проходит через начало координат.
2) С = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид
(7)
Это означает, что вектор нормали имеет следующие координаты Нетрудно увидеть, что - вектор нормали перпендикулярен базисному вектору , т.е. оси oz, т.к. их скалярное произведение равно нулю: Теперь понятно,
что плоскость параллельна оси oz (рис.3).
Аналогично, если В = 0, то плоскость параллельна оси ОУ; если А = 0, то плоскость параллельна оси ОХ.
Итак, если в уравнении плоскости равен нулю коэффициент при некотором неизвестном, то плоскость параллельна одноименной оси координат.
3)Пусть равны нулю два параметра – свободный член и один коэффициент, например, С = = 0. Уравнение плоскости имеет вид
(8)
Из предыдущего ясно, что С =0 означает, что плоскость параллельна оси oz, а = 0 означает, что плоскость проходит через начало координат. Объединяя оба замечания, получаем, что плоскость проходит через ось oz.
Общий вывод: если в уравнении равны нулю свободный член и коэффициент при каком-нибудь неизвестном, то плоскость проходит через соответствующую ось координат.
4) Пусть равны нулю два коэффициента при неизвестных, например А = В =0, т.е. уравнение плоскости имеет вид
. (9)
Учитываем предыдущие рассуждения: если А = 0, то плоскость параллельна оси ОХ; если В = 0, то плоскость параллельна оси ОУ, следовательно, если
А = В = 0, то плоскость параллельна осям ОХ и ОУ, т.е. перпендикулярна оси
Z ОZ и отсекает на этой оси отрезок,
D/С равный – D/С (см. рис.4).
Отсюда следует:
х = 0 – уравнение координатной плоскости yoz,
у = 0 – уравнение координатной плоскости хоz,
z = 0 – уравнение координатной плоскости уоz.
5.3. Взаимное расположение двух плоскостей.
Взаимное расположение двух плоскостей определяется с помощью угла между ними (см. рис.5. Вообще говоря, можно увидеть два угла,
которые плоскости образуют
между собой – угол и
Дополнительный угол .
Один из них – острый, другой
|
Плоскостей оба угла совпадают).
Под углом между двумя плоскостями понимается всегда острый угол . Этот угол вычисляется с помощью угла между векторами нормалей (через скалярное произведение векторов нормалей):
(10)
На рис. 6 угол . Однако, в качестве вектора нормали к плоскости можно взять вектор . Тогда формула (10) даст косинус угла . Косинусы углов и будут отличаться лишь знаком. Поэтому, если мы хотим получить острый угол, то в формуле (10) скалярное произведение надо взять по абсолютной величине (по модулю):
(11)
Формулу (11) легко переписать в координатной форме. Пусть плоскости задаются уравнениями и . Таким образом, имеем два вектора нормалей: и По формуле (11) получим:
(12)
Теперь нетрудно получить два крайних случая: перпендикулярность и параллельность плоскостей. Если плоскости перпендикулярны, то
условие перпендикулярности плоскостей. Если плоскости параллельны, то векторы нормалей коллинеарны: , т.е. их координаты пропорциональны:
(14)
условие параллельности плоскостей.
Пример 4 . Даны три плоскости
Найти углы между этими плоскостями.
Решение . Имеем три вектора нормалей Нетрудно заметить, что , т.е. плоскости параллельны. Найдём угол между плоскостями
5.4. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть требуется найти расстояние от
точки до плоскости.
Уравнение плоскости возьмём в виде
Уравнения с опорной точкой
И вектором нормали , т.е.
Как известно, расстояние равно длине перпендикуляра (рис. 5). Для наглядности начало вектора поместим в точку . Построим прямоугольник и увидим, что - проекции вектора на вектор нормали (см. рис. 5).
Вспоминаем определение скалярного произведения векторов:
(15)
Вновь замечаем, что на рис. 5 векторы образуют острый угол и потому является положительным числом. Если в качестве вектора нормали взять противоположный вектор (см. рис.5), то формула (15) даст отрицательное число, но расстояние есть число положительное, поэтому для расстояния d от точки до плоскости надо применять формулу
Распишем формулу (16) в координатной форме:
Скобку мы ранее обозначали буквой D. Поэтому получаем формулу
, - (17)
для нахождения расстояния от точки до плоскости заданной общим уравнением, надо в общее уравнение плоскости подставить координаты точки , поделить на длину вектора нормали и взять по модулю.
Пример 5 . Найти расстояние от точки до плоскости .
Решение . Воспользуемся формулой (17):
5.5. Различные уравнения прямой в пространстве.
Прямую линию в пространстве можно
Задать с помощью опорной точки , (т.е.
М точка лежит на прямой) и вектора , от
рис. 6 которого требуется одно – он должен
быть параллелен прямой. Такой вектор называется направляющим вектором прямой (см. рис. 6).
Для составления уравнения возьмём произвольную точку М, принадлежащую прямой, - получим вектор . Векторы и . – коллинеарны (параллельны), следовательно имеет место соотношение
где - некоторое число. Уравнение (18) называется векторным уравнением прямой. Оно будет справедливо в любом пространстве и не зависит от выбора системы координат.
Обозначим соответствующие координаты:
Тогда уравнение (18) имеет вид: или
Это обычно записывают в следующих формах:
(19)
Уравнения (19) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве ( - параметр).
Если из этих уравнений исключить параметр , то получим:
(20)
это так называемые канонические уравнения прямой в пространстве. От канонических легко перейти к параметрическим уравнениям прямой – достаточно все уравнения (20) приравнять параметру .
Важный для практики случай, когда прямая задаётся двумя точками , легко сводится к формуле (20), - стоит лишь заметить, что в качестве направляющего вектора можно взять вектор , а опорной точкой можно считать любую из них. Пусть тогда и опорной точкой возьмём , тогда из формулы (20) имеем:
(21)
Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.
5.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Две прямые в пространстве могут
пересекаться, быть параллельными и
Скрещивающимися.
Пусть даны канонические уравнения двух прямых т.е. с опорными точками и направляющими векторами = .
Если т.е. , то прямые параллельны и даже могут совпадать. Подставим координаты опорной точки в уравнение прямой (или наоборот). Если точка лежит на прямой , то прямые совпадают, в противном случае – параллельны.
Пусть теперь т.е. векторы не параллельны (не коллинеарны). Тогда прямые могут пересекаться или скрещиваться. Как различить эти случаи? Делается это с помощью вектора (см. рис. 7). Ясно, что если прямые пересекаются, то векторы находятся в одной плоскости (точнее, они параллельны одной плоскости – компланарны). Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:
(22)
Итак, если и выполняется (22), то прямые пересекаются; в случае не выполнения равенства (22) прямые скрещиваются.
Заметим, что во всех рассмотренных случаях взаимного расположения прямых можно вычислять угол между прямыми. Угол между прямыми определяется с помощью скалярного произведения их направляющих векторов:
(23)
Числитель взят по модулю для того, чтобы (как и для плоскостей) угол получался острым (в крайнем случае прямым).
Пример 6 . Выяснить взаимное расположение трёх прямых:
Решение . По данным уравнениям определяем опорные точки и направляющие векторы:
Легко заметить, что следовательно, прямые или параллельны или совпадают. Подставим координаты точки в уравнение - получили неверные равенства, следовательно, параллельны.
Возьмём и проверим условие (22):
, следовательно, скрещиваются.
Теперь проверим условие (22) для
следовательно, пересекаются.
5.7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Прямая и плоскость в пространстве могут пересекаться и тогда возникают вопросы нахождения угла между прямой и плоскостью и координатах точки их пересечения. Прямая и плоскость могут быть параллельными, в частном случае, прямая лежит в плоскости. Рассмотрим все эти случаи.
Угол между прямой и плоскостью (см. рис. 8) определяется с
Помощью вектора нормали
Плоскости и направляющего вектора
Прямой: и направляющего вектора прямой что на плоскости (в двумерном направляющий вектор прямой, М (х, у) – произвольная точка прямой.Если в уравнении (32) раскрыть скобки и обозначить
уравнение прямой с опорной точкой и вектором нормали.
(36)
где общее уравнение прямой на плоскости.
Угол между двумя прямыми можно вычислять привычным для нас способом – с помощью скалярного произведения направляющих векторов прямых или их векторов нормали. Если две прямые заданы каноническими уравнениями
И т.е. направляющие векторы прямых, то (см. рис.10)
(37)
12.1. Основные понятия
Поверхность и ее уравнение
Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О 1 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки O 1 на расстоянии R.
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел х, у и z - их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.
Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности.
Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1) на данной поверхности, достаточно подстави ть координаты точки M 1 в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют - не лежит.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке O 1 (x 0 ;y 0 ;z 0). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра O 1 (x 0 ;y 0 ;z 0) равно радиусу R, т. е. O 1 M= R. Но , где . Следовательно,
Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.
Если центр сферы Ο 1 совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид .
Если же дано уравнение вида F(x;y;z) = 0 , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; y; z)=0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».
Так, уравнению не удовлетворяют никакие действительные значения х, у, z. Уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х - любое число).
Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:
1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.
2. Дано уравнение F(x;y;z) = 0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.
Уравнения линии в пространстве
Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям.
Если и - уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
(12.1)
Сравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в пространстве. Например, есть уравнения оси Ох.
Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным уравнением
или параметрическими уравнениями
проекций вектора (12.2) на оси координат.
Например, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид
Если точка Μ равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка Μ описывает винтовую линию (см. рис. 68).
12.2. Уравнения плоскости в пространстве
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку и составим вектор . При любом расположении точки Μ на плоскости Q векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: , т. е.
(12.3)
Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них ).
Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору . Оно первой степени относительно текущих координат x, y, z. Вектор называется нормальным вектором плоскости.
Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей череp точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) - уравнением связки плоскостей.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z:
Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например , перепишем уравнение (12.4) в виде
Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку .
Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1. Если D = 0, то оно принимает вид . Этому уравнению удовлетворяет точка . Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.
2. Если С = 0, то имеем уравнение . Нормальный вектор перпендикулярен оси Οz. Следовательно, плоскость параллельна оси Οz; если B = 0 - параллельна оси Оу, А = 0 - параллельна оси Ох.
3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через параллельно оси Οz, т. е. плоскость проходит через ось Οz. Аналогично, уравнениям и отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.
4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид , т. е. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям и отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Οxz.
5. Если A = B = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид , т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 - уравнение плоскости Οxz; x = О - уравнение плоскости Oyz.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1), М 2 (x 2 ;y 2 ;z 2) и М 3 (х 3 ,y 3 ,z 3), не лежащие на одной прямой.
Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим векторы , , . Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем , т. е.
(12.6)
Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно отрезки a , b и c , т. е. проходит через три точки A(a;0;0) , B(0;b;0) и C(0;0;c) (см.рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем
Раскрыв определитель, имеем , т. е. или
(12.7)
Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на
плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра (см. рис. 71).
Пусть ОК = p , а α, β, g - углы, образованные единичным вектором ё с осями Ох, Оу и Οz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки Μ на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно р: , т. е. или
(12.8)
Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов f и e , уравнение (12.8) перепишем в виде
Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.
Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.
Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи
Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах , кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости . Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.
Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:
Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.
Обозначения : плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве . Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.
В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .
Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.
Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа :
- Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
- Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
и мы не будем томиться долгими ожиданиями:
Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.
Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.
А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.
В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:
Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.
Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:
Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.
Аналогично:
– уравнение координатной плоскости ;
– уравнение координатной плоскости .
Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .
Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .
Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости ?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси
Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .
Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .
Завершаем обзор: уравнение плоскости проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.
И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.
Линейные неравенства в пространстве
Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости , поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.
Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства
задают полупространства
. Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.
Пример 5
Найти единичный нормальный вектор плоскости .
Решение
: Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы коллинеарны:
Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .
Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .
Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:
Согласно вышесказанному:
Ответ :
Проверка: , что и требовалось проверить.
Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока , наверное, заметили, что координаты единичного вектора – это в точности направляющие косинусы вектора
:
Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.
Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.
С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:
Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой: