Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 9. Обратные тригонометрические функции.

Практика

Конспект урока

Главным образом умения работать с аркфункциями нам пригодятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Задания, которые мы сейчас рассмотрим, делятся на два вида: вычисление значений обратных тригонометрических функций и их преобразования с использованием основных свойств.

Вычисления значений аркфункций

Начнем с вычисления значений аркфункций.

Задача №1 . Вычислить .

Как видим все аргументы аркфункций положительные и табличные, а это значит, что мы можем восстановить значение углов по первой части таблицы значений тригонометрических функций для углов от до . Этот диапазон углов входит в область значений каждой из аркфункций, поэтому просто пользуемся таблицей, находим в ней значение тригонометрической функции и восстанавливаем, какому углу оно соответствует.

а)

б)

в)

г)

Ответ. .

Задача №2 . Вычислить

.

В данном примере мы уже видим отрицательные аргументы. Типичная ошибка в данном случае - это просто вынести минус из-под функции и просто свести задачу к предыдущей. Однако это делать можно не во всех случаях. Вспомним, как в теоретической части урока мы оговаривали четность всех аркфункций. Нечетными из них являются арксинус и арктангенс, т. е. из них выносится минус, а арккосинус и арккотангенс - это функции общего вида, для упрощения минуса в аргументе у них имеются специальные формулы. После расчета во избежание ошибок проверяем, чтобы результат входил в область значений.

Когда аргументы функций упрощены до положительной формы, выписываем из таблицы соответствующие им значения углов.

Может возникнуть вопрос, почему бы не выписывать значение угла, соответствующего, например, сразу из таблицы? Во-первых, потому что таблицу до запомнить тяжелее, чем до , во-вторых, потому что отрицательных значений синуса в ней нет, а отрицательные значения тангенса дадут по таблице неверный угол. Лучше иметь универсальный подход к решению, чем запутаться в множестве различных подходов.

Задача №3 . Вычислить .

а) Типичная ошибка в данном случае - это начать выносить минус и что-то упрощать. Первое, что необходимо заметить, это то, что аргумент арксинуса не входит в область определения

Следовательно, данная запись не имеет значения, и вычислить арксинус нельзя.

б) Стандартная ошибка в данном случае заключается в том, что путают местами значения аргумента и функции и дают ответ . Это неверно! Конечно, возникает мысль, что в таблице косинусу соответствует значение , но в таком случае перепутано то, что вычисляются аркфункции не от углов, а от значений тригонометрических функций. Т. е. , а не .

Кроме того, поскольку мы выяснили, что является именно аргументом арккосинуса, то необходимо проверить, чтобы он входил в область определения. Для этого вспомним, что , т. е. , а значит арккосинус не имеет смысла и вычислить его нельзя.

Кстати, например, выражение имеет смысл, т. к. , но поскольку значение косинуса, равное не является табличным, то и вычислить арккосинус с помощью таблицы нельзя.

Ответ. Выражения не имеют смысла.

В данном примере мы не рассматриваем арктангенс и арккотангенс, т. к. у них не ограничена область определения и значения функций будут для любых аргументов.

Задача №4 . Вычислить .

По сути дела задача сводится к самой первой, просто нам необходимо отдельно вычислить значения двух функций, а потом подставить их в исходное выражение.

Аргумент арктангенса табличный и результат принадлежит области значений.

Аргумент арккосинуса не табличный, но нас это не должно пугать, т. к. чему бы не был равен арккосинус, его значение при умножении на ноль даст в результате ноль. Осталось одно важное замечание: необходимо проверить принадлежит ли аргумент арккосинуса области определения, поскольку если это не так, то все выражение не будет иметь смысла в независимости от того, что в нем присутствует умножение на ноль. Но , поэтому мы можем утверждать, что имеет смысл и в ответе получаем ноль.

Приведем еще пример, в котором необходимо уметь вычислить одну аркфункцию, зная значение другой.

Задача №5 . Вычислить , если известно, что .

Может показаться, что необходимо из указанного уравнения вычислить сначала значение икса, а затем подставить его в искомое выражение, т. е. в арккотангенс, но этого делать не нужно.

Вспомним, по какой формуле связаны между собой указанные функции:

И выразим из нее то, что нам нужно:

Для уверенности можете проверить, что результат лежит в области значений арккотангенса.

Преобразования аркфункций с использованием их основных свойств

Теперь перейдем к серии заданий, в которых нам придется использовать преобразования аркфункций с использованием их основных свойств.

Задача №6 . Вычислить .

Для решения воспользуемся основными свойствами указанных аркфункций, только обязательно проверяя при этом соответствующие им ограничения.

а)

б) .

Ответ. а) ; б) .

Задача №7 . Вычислить .

Типичная ошибка в данном случае - это сразу же написать в ответ 4. Как мы указывали в предыдущем примере, для использования основных свойств аркфункций необходимо проверить соответствующие ограничения на их аргумент. Мы имеем дело со свойством:

при

Но . Главное на этом этапе решения не подумать, что указанное выражение не имеет смысла и его нельзя вычислить. Ведь четверку, которая является аргументом тангенса, мы можем уменьшить при помощи вычитания периода тангенса, и это не повлияет на значение выражения. Проделав такие действия, у нас появится шанс уменьшить аргумент так, чтобы он вошел в указанный диапазон.

Т. к. поскольку , следовательно, , т. к. .

Задача №8 . Вычислить.

В указанном примере мы имеем дело с выражением, которое похоже на основное свойство арксинуса, но только в нем присутствуют кофункции. Его надо привести к виду синус от арксинуса или косинус от арккосинуса. Поскольку преобразовывать прямые тригонометрические функции проще, чем обратные, перейдем от синуса к косинусу с помощью формулы «тригонометрической единицы».

Как мы уже знаем:

В нашем случае в роли . Вычислим для удобства сначала .

Перед подстановкой его в формулу выясним ее знак, т. е. знак исходного синуса. Синус мы должны вычислить от значения арккосинуса, каким бы это значение ни было, мы знаем, что оно лежит в диапазоне . Этому диапазону соответствуют углы первой и второй четвертей, в которых синус положителен (проверьте это сами с помощью тригонометрической окружности).

На сегодняшнем практическом занятии мы рассмотрели вычисление и преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Закрепите материал с помощью тренажёров

Тренажёр 1 Тренажёр 2 Тренажёр 3 Тренажёр 4 Тренажёр 5

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

09.07.2015 6432 0

Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.

Пример 1

Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin , синус которого равен а, т. е.

Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка , косинус которого равен а, т. е.

Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.

Пример 2

Найдем:

Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:

Пример 3

Вычислим

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,

Свойства функции	Функция
	у = arcsin х	у = arccos х	у = arctg х	у = arcctg х
Область определения	х ∈ [-1; 1]	х ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; +∞)	х ∈ (-∞ +∞)
Область значений	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Четность	Нечетная	Ни четная, ни нечетная	Нечетная	Ни четная, ни нечетная
Нули функции (y = 0)	При х = 0	При х = 1	При х = 0	у ≠ 0
Промежутки знакопостоянства	у > 0 при х ∈ (0; 1], у < 0 при х ∈ [-1; 0)	у > 0 при х ∈ [-1; 1)	у > 0 при х ∈ (0; +∞), у < 0 при х ∈ (-∞; 0)	у > 0 при x ∈ (-∞; +∞)
Монотонность	Возрастает	Убывает	Возрастает	Убывает
Связь с тригонометрической функцией	sin у = х	cos у = х	tg у = х	ctg у = х
График

Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.

Пример 4

Найдем область определения функции

Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции

Пример 5

Найдем область изменения функции

Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).

Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения

Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = - tg а = tg (- a ), причем Следовательно, - a = arctg х или а = - arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.

Пример 7

Выразим через все обратные тригонометрические функции

Пусть Очевидно, что Тогда Так как

Введем угол Так как то

Аналогично поэтому и

Итак,

Пример 8

Построим график функции у = cos (arcsin х).

Обозначим а = arcsin x , тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x 2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos (arcsin х) является полуокружность.

Пример 9

Построим график функции у = arccos (cos x ).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке . Будем иметь в виду, что у = arccos (cos x ) = х на отрезке ; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x , теперь легко построить график.

Отметим некоторые полезные равенства:

Пример 10

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и

Пример 11

Решим уравнение

Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:

2. Решение простейших тригонометрических уравнений

Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение	Решение
tgx = а
ctg х = а

Пример 12

Решим уравнение

Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим

Пример 13

Решим уравнение

По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем

Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения sin х = 1 решения

для уравнения sin х = 0 решения х = π k ;

для уравнения sin х = -1 решения

для уравнения cos х = 1 решения х = 2π k ;

для уравнения cos х = 0 решения

для уравнения cos х = -1 решения

Пример 14

Решим уравнение

Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение: откуда найдем

III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.

2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

IV. Задание на уроках

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Задание на дом

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. Творческие задания

1. Найдите область определения функции:

Ответы :

2. Найдите область значений функции:

Ответы:

3. Постройте график функции:

VII. Подведение итогов уроков

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО «Марийский Государственный Университет»

Кафедра математики и МПМ

Курсовая работа

Обратные тригонометрические функции

Выполнила:

студентка

33 группы ЕНФ

Яшметова Л. Н.

Научный руководитель:

к.п.н. доцент

Бородина М. В.

Йошкар-Ола

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава I. Определение обратных тригонометрических функций.

1.1. Функция у = arcsin x ……………………………………………………........4

1.2. Функция у = arccos x …………………………………………………….......5

1.3. Функция у = arctg x ………………………………………………………….6

1.4. Функция у = arcctg x …………………………………………………….......7

Глава II. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

Основные соотношения для обратных тригонометрических функций….8

Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции……………………………………………………………………..11

Вычисление значений обратных тригонометрических функций…..........21

Заключение……………………………………………………………………….25

Список использованной литературы…………………………………………...26

Введение

Во многих задачах встречается необходимость находить не только значения тригонометрических функций по данному углу, но и, обратно, угол или дугу по заданному значению какой-нибудь тригонометрической функции.

Задачи с обратными тригонометрическими функциями содержатся в заданиях ЕГЭ (особенно много в части В и С). Например, в части В Единого государственного экзамена требовалось по значению синуса (косинуса) найти соответствующее значение тангенса или вычислить значение выражения, содержащего табличные значения обратных тригонометрических функций. Относительно этого типа заданий заметим, что таких заданий в школьных учебниках недостаточно для формирования прочного навыка их выполнения.

Т.о. целью курсовой работы является рассмотреть обратные тригонометрические функции и их свойства, и научиться решат задачи с обратными тригонометрическими функциями.

Чтобы достичь цели, нам потребуется решить следующие задачи:

Изучить теоретические основы обратных тригонометрических функций,

Показать применение теоретических знаний на практике.

Глава I . Определение обратных тригонометрических функций

1.1. Функция у = arcsin x

Рассмотрим функцию ,
. (1)

В этом промежутке функция монотонна (возрастает от -1 до 1), следовательно, существует обратная функция

,
. (2)

Каждому данному значению у (величины синуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение х (величины дуги) из промежутка
. Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

Где
. (3)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (1). Функция (3) называется арксинусом аргумента . График этой функции – кривая, симметричная графику функции , где , относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Приведем свойства функции, где .

Свойство 1. Область изменения значений функции: .

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е.

Свойство 3. Функция, где , имеет единственный корень
.

Свойство 4. Если, то
; если , то.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до 1 значение функции возрастает от
до
.

1.2. Функция y = ar с cos x

Рассмотрим функцию
, . (4)

В этом промежутке функция монотонна (убывает от +1 до -1), значит, для нее существует обратная функция

, , (5)

т.е. каждому значению (величины косинуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка . Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, . (6)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (4). Функция (6) называется арккосинусом аргумента х . График этой функции можно построить на основании свойств графиков взаимно обратных функций.

Функция , где , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции :
.

Свойство 2. Величины
и
связаны соотношением

Свойство 3. Функция имеет единственный корень
.

Свойство 4. Функция отрицательных значений не принимает.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до +1 значения функции убывают от до 0.

1.3. Функция y = arctgx

Рассмотрим функцию
,
. (7)

Отметим, что эта функция определена для всех значений , лежащих строго внутри промежутка от до ; на концах этого промежутка она не существует, так как значения

- точки разрыва тангенса.

В промежутке
функция монотонна (возрастает от -
до
), следовательно, для функции (1) существует обратная функция:

,
, (8)

т.е. каждому данному значению (величины тангенса) из промежутка
соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка .

Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

,
. (9)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной (7). Функция (9) называется арктангенсом аргумента х . Отметим, что при
значение функции
, а при

, т.е. график функции имеет две асимптоты:
и.

Функция , , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции
.

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е. .

Свойство 3. Функция имеет единственный корень .

Свойство 4. Если
, то

; если , то
.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от до значения функции возрастают от до +.

1.4. Функция y = arcctgx

Рассмотрим функцию
,
. (10)

Эта функция определена для всех значений , лежащих внутри промежутка от 0 до ; на концах этого промежутка она не существует, поскольку значения и - точки разрыва котангенса. В промежутке (0,) функция монотонна (убывает от до), следовательно, для функции (1) существует обратная функция

, (11)

т.е. каждому данному значению (величины котангенса) из промежутка (
) соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка (0,). Переходя к общепринятым обозначениям, получаем связаны соотношением.Реферат >> Математика тригонометрическим функциям . К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций : аркси́нус...

Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики

Дипломная работа >> Педагогика

... . Обратные тригонометрические функции . Основная цель – изучить свойства тригонометрических функций , научить учащихся строить их графики. Первой тригонометрической функцией ...

Как возникло и развивалось понятие функции

Реферат >> Математика

Как в это уравнение входит обратная тригонометри­ческая функция , циклоида не является алгебраической... а также обозначения тригонометрических} обратных тригонометрических , показательных и логариф­мических функций . Такие функции называли элементар­ными. Вскоре...

Разделы: Математика

Обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе.

Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у школьников старших классов значительные трудности. Связано это, прежде всего, с тем, что в действующих учебниках и учебных пособиях подобным задачам уделяется не слишком большое внимание, и если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся еще как-то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие эти функции, нередко ставят их в тупик. Последнее не удивительно, поскольку практически ни в одном учебнике (включая учебники для классов с углубленным изучением математики) не излагается методика решения даже простейших уравнений и неравенств такого рода. Предлагаемая программа посвящена методам решения уравнений и неравенств и преобразованию выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Она окажется полезной для учителей, работающих в старших классах – как общеобразовательных, так и математических, а также для учащихся, интересующихся математикой.

Данный курс расширяет базовый курс математики, даёт возможность познакомиться с интересными вопросами математики. Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного курса математики. Вместе с тем они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию математических знаний и умений учащихся.

При проведении занятий традиционные формы, такие как лекция и семинар, должны применяться, но на первое место необходимо вывести такие организационные формы, как дискуссия, диспут, выступления с докладами, написание рефератов.

Варианты итоговой аттестации могут быть следующие: тестирование, зачёты, написание рефератов на предложенные учителем темы; индивидуальные задания, в которых необходимо провести самостоятельное исследование, тематические контрольные работы.

Цели курса – создание условий для реализации профильного обучения; формирование целостной системы математических знаний и базы для продолжения математического образования в ВУЗах различного профиля.

Задачи курса:

• расширить сферу математических знаний учащихся;
• расширить представления учащихся об обратных тригонометрических функциях;
• обобщить основные методы решения уравнений, неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;
• рассмотреть методы построения графиков обратных тригонометрических функций.

Требования к уровню подготовки учащихся.

• Учащиеся должны знать :
  – определение обратных тригонометрических функций, их свойства;
  – основные формулы;
  – методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;
  – способы построения графиков функций: y=arcsinx, y= arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
• Учащиеся должны уметь :
  – применять свойства и основные формулы обратных тригонометрических функций;
  – решать простейшие уравнения и неравенства;
  – выполнять преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции;
  – применять различные методы решения уравнений и неравенств;
  – решать уравнения и неравенства с параметрами, содержащие обратные тригонометрические функции;
  – строить графики обратных тригонометрических функции.

Приведенное тематическое планирование курса является примерным. Учитель может варьировать количество часов, отводимых на изучение отдельных тем, с учетом уровня подготовки учащихся.

Тематическое планирование

	Тема	Кол-во часов	Формы учебной деятельности
	Обратные тригонометрические функции их свойства. Значения обратных тригонометрических функций.		Самостоятельная работа с учебной литературой, семинарское занятие.
	Графики обратных тригонометрических функций.		Практическая работа.
	Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.		Разбор и анализ решений. Тестирование.
	Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.		Семинарское занятие.
	Методы решений уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.		Разбор и анализ решений. Диспут. Зачёт.
	Решение уравнений и неравенств, содержащих параметры.		Разбор и анализ решений. Дискуссия.
	Обобщающее повторение		Разработка и защита проекта.
	Итоговый контроль по курсу.		Контрольная работа. Защита реферата.

«Обратные тригонометрические функции, их графики. Значения обратных тригонометрических функций».

Определение обратных тригонометрических функций, их свойства. Нахождение значений обратных тригонометрических функций.

«Графики обратных тригонометрических функций».

Функции y = arcsinx , y = a rccosx , y = ar ctg x , y = arcctgx ,их графики.

«Преобразование выражений содержащих обратные тригонометрические функции».

Вычисление значений тригонометрических функций от значений обратных тригонометрических функций. Проверка справедливости равенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Упрощение выражений, содержащих обра тные тригонометрические функции » .

«Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции».

Уравнения: arcsinx =а, arccosx =а, arctgx =а, arcctgx =а.
Неравенства: arcsinx >а, arccosx >а, arctgx >а, arcctgx >а, arcsinx <а, arccosx <а, arctgx <а, arcctgx <а.

«Методы решений уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции».

Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются одноимёнными обратными тригонометрическими функциями. Уравнения и неравенства левая и правая части которых являются разноимёнными обратными тригонометрическими функциями. Замена переменной. Использование монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций.

«Решение уравнений и неравенств, содержащих параметры».

Способы решений уравнений и неравенств, содержащих параметры.

«Обобщающее повторение».

Решение уравнений и неравенств разных уровней.

Итоговый контроль по курсу (2 часа).

Контролирующие работы могут быть представлены в виде контрольных работ в нескольких вариантах и разных уровней сложности. Защита рефератов по заданным темам.

Литература для учащихся:

1. Крамор В.С., Михайлов П.А. Тригонометрические функции. – М.: Просвещение, 1983.
2. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1984.
3. Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочное пособие по методам решения задач для средней школы. – М.: Наука, 1983.
4. CD диск 1С:Репетитор.Математика. 1 часть.
5. Интернет ресурсы: Коллекция рефератов.

Литература для учителя:

1. Ершов В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций. – М.: Просвещение, 1984.
2. Васильева В. А., Кудрина Т. Д., Молодожникова Р. Н. Методическое пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: МАИ, 1992.
3. Ершова А.П., Голобородько В. В. Алгебра. Начала анализа. – М.: ИЛЕКСА, 2003.
4. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под ред. М. И. Сканави. – М.: Высшая школа, 2003.
5. Журналы «Математика в школе».