Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

При изучении материала темы необходимо усвоить:

· виды тел вращения;

· определения тел вращения;

· определения элементов тел вращения;

· понятия развёртки цилиндра и конуса;

· определение и вычисление боковой и полной поверхности цилиндра и конуса;

· определение касательной плоскости к сфере и её свойства;

· понятие площади поверхности сферы;

· определение многогранника, вписанного в сферу, и описанного около неё.

В процессе решения задач проверяются следующие умения:

· изображать тела вращения;

· вычислять элементы тел вращения;

· изображать сечения тел;

· вычислять площади боковой и полной поверхности цилиндра и конуса;

· составлять уравнение сферы.

Вопросы теоретического зачёта

Вариант 1

1. Понятие цилиндрической поверхности и её элементов. Сформулируйте определение цилиндра и его элементов.

2. Выведите формулу для вычисления площади поверхности сферы.

3. Найдите отношение площади боковой поверхности и осевого сечения конуса.

Вариант 2

1. Понятие конической поверхности. Сформулируйте определение конуса и его элементов.

2. Определите положение центра сферы, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды. Докажите своё утверждение.

3. Найдите отношение площадей боковой поверхности и осевого сечения цилиндра.

Вариант 3

1. Сформулируйте определение усечённого конуса и его элементов.

2. Определите положение центра сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду. Докажите своё утверждение.

3. Докажите, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, имеющего диаметром высоту конуса.

Вариант 4

1. Сформулируйте определения сферы и шара. Запишите уравнения сферы радиусом R с центром в точке О(0; 0; 0) и в точке А(x0; y0; z0).

2. Выведите формулу для вычисления боковой поверхности конуса.

3. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности другого цилиндра того же радиуса, высота которого равна сумме радиуса и высоты данного цилиндра.

Самостоятельная работа 17

Вариант 1

1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 16. Найдите площадь сечения этого цилиндра, которое параллельно оси и находится от неё на расстоянии, равном половине радиуса основания цилиндра.

2. Полукруг свёрнут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и высотой конуса.

3. Радиусы двух шаров 16 и 20 дм, расстояние между их центрами 25 дм. Найдите длину окружности, по которой пересекаются их поверхности.

Вариант 2

1. Радиус основания цилиндра 26 см, образующая 4,8 дм. На каком расстоянии от оси цилиндра следует провести сечение, параллельное оси и имеющее форму квадрата?

2. Радиус сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свёрнут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.

3. Диагонали ромба 30 и 40 см. Шаровая поверхность касается всех сторон ромба. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба, если радиус шара равен 13 см.

Вариант 3

1. Радиус основания цилиндра равен 12 см. Найдите расстояние между осевым сечением и сечением с вдвое меньшей площадью.

2. Угол развёртки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса 15 см. Вычислите диаметр основания конуса.

3. На шар, радиус которого 10 см, наложен ромб так, что каждая сторона его, равная 12,5 см, касается шара. Плоскость ромба удалена от центра шара на 8 см. Найдите площадь ромба.

Вариант 4

1. Через образующую цилиндра проведены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых равны 60 и 80 дм. Найдите площадь осевого сечения.

2. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая 40 см. Вычислите угол развёртки этого конуса.

3. Стороны треугольника 10 дм, 10 дм и 12 дм. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного к сторонам треугольника. Радиус шара 5 дм.

Самостоятельная работа 18

Вариант 1

1. Диагональ осевого сечения цилиндра на 25 \% превышает диаметр его основания. Найдите полную поверхность цилиндра, если расстояние между его центрами равно 15 см.

2. Развёртка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 4 дм. Найдите объём цилиндра.

3. Диагонали осевого сечения усечённого конуса взаимно перпендикулярны, высота конуса H, образующая l. Найдите боковую поверхность конуса.

4. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая 40 см. Найдите угол развёртки боковой поверхности конуса.

5. Образующая усечённого конуса 10 см, разность оснований 6 см, площадь осевого сечения 112 см2. Найдите боковую поверхность конуса.

6. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 см и 89 см, а диагональ равна 100 см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объём тела вращения.

7. Прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите объём и площадь вращения.

Вариант 2

1. Боковая поверхность цилиндра составляет половину его полной поверхности. Найдите полную поверхность цилиндра, если диагональ осевого сечения 10 дм.

2. Полная поверхность цилиндра 500 p см2, диаметр его основания 20 см. Найдите объём цилиндра.

3. Образующая усечённого конуса относится к высоте его как 41:40. Радиусы оснований равны 24 и 6 см. Найдите боковую поверхность конуса.

4. Угол развёртки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса 15 см. Найдите полную поверхность конуса.

5. Найдите высоту усечённого конуса, если его боковая поверхность равновелика сумме площадей оснований, а радиусы оснований R и r.

6. Равнобедренная трапеция с основаниями 12 и 18 см и острым углом 60° вращается вокруг меньшего основания. Найдите поверхность и объём тела вращения.

7. Треугольник, у которого две стороны равные 5 см и 8 см, заключают угол 60°, вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите поверхность и объём тела вращения.

Самостоятельная работа 19

Вариант 1

1. Прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите поверхность тела вращения.

2. Радиусы оснований шарового пояса равны 63 и 39 см, высота его равна 36 см. Найдите поверхность шарового пояса.

3. Высота правильной треугольной пирамиды h. Боковые рёбра взаимно перпендикулярны. Найдите радиус описанного шара.

4. В правильной треугольной усечённой пирамиде высота 17 см, радиусы окружностей, описанных вокруг оснований, 5 и 12 см. Найдите радиус описанного шара.

5. Квадрат со стороной равной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведённого через её конец. Найдите поверхность полученного тела.

Вариант 2

1. Треугольник, у которого две стороны равны 5 и 8 см, заключают угол в 60°, вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите поверхность тела вращения.

2. Полная поверхность шарового сегмента равна S. Определите высоту сегмента, если радиус шара равен R.

3. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых рёбер равно 2 дм и перпендикулярно основанию. Найдите радиус описанного шара.

4. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды 7 и 1 дм. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°.Найдите радиус описанного шара.

5. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы. Найдите поверхность полученного тела.

Самостоятельная работа 20

Вариант 1

1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол a. В пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что плоскость основания лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите объём цилиндра.

2. Основание пирамиды правильный треугольник. Одно боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания и равно l, а два других с плоскостью основания образуют угол a. В пирамиду вписана прямая призма, три вершины которой лежат на боковых рёбрах пирамиды, а три другие – на основании пирамиды, диагональ боковой грани призмы составляет с плоскостью основания Ð b. Найдите высоту призмы.

3. В правильной четырёхугольной призме площадь боковой грани равна q. Найдите площадь диагонального сечения.

4. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 и 9 см. На какие части делится объем шара?

Вариант 2

1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2b. Длина окружности основания равна c. Определить площадь боковой поверхности конуса.

2. Диагонали осевого сечения усечённого конуса точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от большого основания. Угол между диагоналями, обращённый к основанию, равен a. Диагональ равна l. Найдите объём конуса.

3. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 см, стороны основания 6 и 8 см, одна из диагоналей основания 12 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

4. Какую часть объёма шара составляет объём шарового сегмента с высотой 0,1 диаметра шара?

Вариант 3

1. Образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом a. Определите площадь полной поверхности вписанного куба.

2. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого a. Плоскость, проходящая через одну из сторон этого квадрата и вершину конуса, при пересечении с поверхностью конуса образует равнобедренный треугольник с углом при вершине равным a. Найдите объём конуса.

3. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы 15 см, а высота 20 см. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до непересекающей её диагонали призмы.

4. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объём общей части шаров к объёму целого шара?

Вариант 4

1. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом a, вписана прямая треугольная призма с равными ребрами. Найдите объём призмы, если радиус основания конуса равен R.

2. Объём конуса равен V. В конус вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом a между боковыми сторонами. Найдите объём пирамиды.

3. В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, стороны основания 23 дм и 11 дм, диагонали основания относятся как 2: 3. Найдите площади диагональных сечений.

4. По стороне основания a и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

. Конус. Основные понятия.

Определение . Конусом называется геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Катет, относительно которого происходит вращение – ось конуса, численно равная его высоте; второй катет – радиус основания; гипотенуза – образующая (образует при вращении боковую поверхность конуса).

М – вершина конуса, О – центр основания, МО – ось конуса, МО = Н – высота конуса, ОА = ОВ =…= R – радиус основания, АМ = BM =…= l – образующая конуса. Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник (например, треугольник AMB ). Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию – круг, подобный основанию.

Развёртка поверхности конуса состоит из круга и сектора круга.

. Усечённый конус.

Определение . Усечённым конусом называется геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольной трапеции вокруг её меньшей боковой стороны. Другими словами: усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между основанием и параллельным основанию сечением конуса. Осевое сечение – равнобедренная трапеция (например, АВВ 1 А 1 ) .

B 1 A 1

. Объём и площадь поверхности конуса.

	усечённый

Здесь R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, H – высота, l – образующая.

Вопросы и задачи

Из бумаги свёрнут кулёк, имеющий форму конуса с радиусом основания 5 см и высотой 10 см. Определите площадь поверхности кулька.

Образующая конуса равна 2 см, а радиус основания – 1 см. Объясните, больше или меньше 6 см 2 площадь его полной поверхности.

Найдите площадь полной поверхности конуса, если:

а) радиус его основания равен 2, а образующая – 4;

б) радиус основания равен 3, а высота - 4;

в) радиус основания равен 4, а угол наклона образующей к основанию равен 30 0 .

Найдите объём конуса, если:

а) радиус его основания равен 2, а его высота равна 3;

б) радиус его основания равен 3, а образующая равна 5;

в) радиус основания равен 2, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°;

г) радиус основания равен 3, а площадь осевого сечения равна 12.

a и b (a < b ) вращается сначала вокруг одного из них, а затем вокруг другого. Сравните:

а) площади боковых поверхностей полученных конусов;

б) площади полных поверхностей получившихся конусов.

Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длины 2 вращают вокруг гипотенузы. Найдите площадь получившейся поверхности.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращают вокруг гипотенузы. Найдите площадь получившейся поверхности.

Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Прямоугольный треугольник с катетами a и b вращают вокруг гипотенузы. Найдите объём полученного тела вращения.

Параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см и углом 60 0 вращают вокруг прямой, содержащей большую сторону параллелограмма. Найдите площадь получившейся поверхности.

Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см². Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна P.

Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объём конуса, если его высота равна H.

Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объём усечённого конуса.

Рассматривается конус с радиусом основания 5 см и образующей 3см. Через точку образующей, находящуюся на расстоянии 1 см от вершины, проведено сечение, параллельное основанию конуса. Выполните последовательно такие задания:

а) найдите площадь этого сечения;

б) найдите площадь боковой поверхности данного конуса;

в) найдите площадь боковой поверхности конуса, отсекаемого проведённой плоскостью;

г) найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, отсекаемого проведённой плоскостью;

д) найдите площадь полной поверхности этого усечённого конуса.

Найдите образующую усечённого конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.

Площадь основания конуса равна 12 см², его высота – 6 см. Найдите площадь его сечения, параллельного основанию и проведённого:

а) через середину высоту;

б) на расстоянии 2 см от вершины конуса;

в) на расстоянии 4 см от вершины конуса.

Найдите объёмы конусов, у которых основаниями являются рассмотренные сечения, а вершиной – вершина данного конуса.

Площадь основания конуса равна 25 см², а высота равна 5 см. На расстоянии 1 см от вершины проведено сечение, параллельное основанию. Найдите объём усечённого конуса, отсекаемого проведённым сечением.

Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см³.

В усечённом конусе известны высота h , образующая l и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объём усечённого конуса.

Как известно; при вращении некоторой точки вокруг оси она движется в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и описывает окружность. Для применения способа вращения в целях преобразования чертежа отметим следующие четыре элемента (рис. 5.8):

ось вращения (MN );

плоскость вращения точки (пл. S перпендикулярна (MN));

центр вращения;

радиус вращения (R; R = |ОА|).

В качестве оси вращения обычно используют прямые, перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций. Рассмотрим вращение относительно осей, перпендикулярных плоскостям проекций.

Вращение точки А на чертеже относительно оси MN, перпендикулярной плоскости Н, показано на рисунке 5.9. Плоскость вращения S параллельна плоскости H и на фронтальной проекции изображена следом S v . Горизонтальная проекция о центра вращения О совпадает с проекцией тп оси, а горизонтальная проекция оа радиуса вращений ОА является его натуральной величиной. Поворот точки А на рисунке 5.9 произведен на угол ф против часовой стрелки так, чтобы в новом положении точки с проекциями а1", а1 радиус вращения был параллелен плоскости V При вращении точки вокруг вертикальной оси ее горизонтальная проекция перемещается по окружности, а фронтальная проекция - параллельно оси х перпендикулярно оси вращения.

Если точку вращать вокруг оси, перпендикулярной плоскости V, то ее фронтальная проекция будет перемещаться по окружности, а горизонтальная - параллельно оси х.

Вращение точки вокруг проецирующей прямой применяют при решении некоторых задач, например при определении натуральной величины отрезка прямой. Для этого (рис. 5.10) достаточно ось вращения с проекциями т"п", тп выбрать так, чтобы она проходила через одну из крайних точек отрезка, например точку с проекциями b ", b. Тогда при повороте точки А на угол ф в положение А1 (ОА1 || пл. V, оа, || оси х) отрезок АВ перемещается в положение А1В, параллельное плоскости V и, следовательно, проецируется на нее в натуральную величину . Одновременно в натуральную величину будет проецироваться угол а наклона отрезка АВ к плоскости Н.

Поворот (вращение) точки с проекциями b ", b относительно оси с проекциями т"п", тп, перпендикулярной плоскости V, показан на рисунке 5.11. При вращении точка В перемещена в плоскости вращения Т (Th) в положение с проекциями b1" , b1 так, что радиус вращения ОВ стал параллелен плоскости Н (о"b" || оси х).

Применение способа вращения без указания на чертеже осей вращения, перпендикулярных к плоскостям проекций. Если вращать геометрическую фигуру вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то проекция на этой плоскости не изменяется ни по виду, ни по величине (меняется лишь положение проекции относительно оси проекций). Проекции точек геометрической фигуры на плоскости, параллельной оси вращения, перемещаются по прямым, параллельным оси проекции (за исключением проекций точек, расположенных на оси вращения), и проекция в целом изменяется по форме и величине. Поэтому можно применять способ вращения, не задаваясь изображением оси вращения. В этом

случае, не изменяя величины и формы одной из проекций геометрического образа, перемещают эту проекцию в требуемое положение, а затем строят другую проекцию так, как указано выше.

На рисунке 5.12 показано применение способа вращения без указания осей для определения натуральной величины треугольника ABC, заданного проекциями а"b"с", abc. Для этого выполнено два поворота плоскости общего положения, в которой расположен треугольник так, чтобы после первого поворота эта плоскость стала перпендикулярной плоскости V, а после второго - параллельна плоскости H. Первый поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости H, без указания ее положения осуществлен с помощью горизонтали с проекциями с"1", с-1 в плоскости треугольника. При этом горизонтальная проекция aьc повернута так, чтобы она совпала с направлением проецирования. Горизонтальная проекция треугольника сохраняет свой вид и величину, изменяется лишь ее положение. Точки А, В и С при таком повороте перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости H. Проекции а1", с1, b1" а"а1", b"b1" и с"с1". Фронтальной проекцией треугольника в новом положении является отрезок а1"b1"c1".

Второй поворот, приводящий треугольник в положение, параллельное плоскости H, производим вокруг оси вращения, перпендикулярной плоскости H (положение оси также не указано). Фронтальная проекция при втором повороте сохраняет вид и величину, полученные после первого поворота. Точки А1, D1 и С1 перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости V Проекции а 2 , b 2 , с 2 находятся на горизонтальных линиях связи а,а 2 , blb2, с1с2. Проекция а2b2с 2 представляет собой натуральную величину данного треугольника.

При выполнении рассмотренных поворотов вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций, эти оси не указаны, но их можно легко найти. Например, если провести отрезки аа1, b1b2 и через их середины провести перпендикуляры, то полученная точка пересечения этих перпендикуляров и будет горизонтальной проекцией оси вращения, перпендикулярной к плоскости H.

Применение способа вращения без указания осей несколько упрощает построения, не происходит наложения одной про

екции на другую, но чертеж занимает большую площадь. (Рассмотренный случай вращения без изображения осей вращения является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения.)

Способ вращения вокруг прямых, параллельных плоскостям проекций. Натуральную величину плоской фигуры можно определить вращением вокруг оси, параллельной плоскости проекций, одним поворотом приведя фигуру в положение, параллельное плоскости проекций.

На рисунке 5.13 показано определение величины треугольника с проекциями a"b"c", abc вращением вокруг горизонтали. При этом все точки треугольника (за исключением лежащих на оси вращения) вращаются вокруг оси по окружностям в плоскостях, перпендикулярных к оси. Если треугольник займет положение, параллельное плоскости проекций, радиусы вращения его точек окажутся параллельными этой плоскости, т. е. будут проецироваться на плоскость Н в натуральную величину.

В качестве оси вращения взята горизонталь с проекциями с"1", с-1.

Точка С на оси вращения остается неподвижной. Для изображения горизонтальной проекции треугольника после поворота надо найти положение проекций двух других его вершин. Вершины с проекциями а", а и b", b треугольника перемеща-

ются в плоскостях Р и Q движения этих точек. Горизонтальной проекцией о центра вращения вершины А является точка пересечения горизонтальной проекции с-1 оси вращения с горизонтальной проекцией P h . По ней отмечена его фронтальная проекция о". Отрезки оа - горизонтальная, о"а" - фронтальная проекция радиуса вращения точки А. Натуральная величина оА радиуса вращения точки А определена способом, рассмотренным в 2.3 (см. рис. 2.9), т. е. построением прямоугольного треугольника. По катетам оа и аА = о"2" построен треугольник оаА, его гипотенуза равна радиусу вращения точки А.

От проекции о центра вращения точки А по направлению следа Ph плоскости ее движения откладываем натуральную величину радиуса вращения. Отмечаем горизонтальную проекцию а, точки А, повернутой до положения треугольника, параллельного плоскости Н. Горизонтальную проекцию bt точки В в повернутом положении находим как точку пересечения горизонтальной проекции 1-аt со следом Q h . Горизонтальная проекция a1cb1 выражает натуральную величину A AьC, так как после поворота плоскость треугольника параллельна плоскости Н. Фронтальная проекция повернутого треугольника совпадает с фронтальной проекцией горизонтали 1"с", т. е. представляет собой отрезок прямой линии.

Если требуется повернуть плоский геометрический образ до положения, параллельного плоскости V, то за ось вращения выбирают фронталь.

Поворот плоскости вокруг ее следа до совмещения с соответствующей плоскостью проекций (этот случай называют также способом совмещения). Если плоскость вращать вокруг ее следа до совмещения с плоскостью проекций, в которой расположен этот след, то геометрические образы, расположенные в плоскости, изобразятся без искажения. Этот способ является частным случаем вращения вокруг горизонтали или фронтали, так как горизонтальный след плоскости можно рассматривать как «нулевую» горизонталь горизонтальной плоскости, а фронтальный след - как «нулевую» фронталь.

На рисунке 5.14 показано наглядное изображение поворота плоскости общего положения Р вокруг горизонтального следа P h в направлении от плоскости V к зрителю до совмещения с плоскостью Н. В положении совмещения плоскости Р с плоскостью

H прямая P Uq представляет собой след Р и, совмещенный с плоскостью Н. След Ph как ось вращения не меняет своего положения. Точка Рx пересечения следов также не меняет своего положения. Для построения совмещенного положения P L , a следа P v достаточно найти еще одну точку, например точку N, этого следа (кроме точки Р х) в положении, совмещенном с плоскостью Н.

Точка N опишет дугу в плоскости Q, перпендикулярной к оси вращения. Центр О этой дуги является точкой пересечения плоскости Q со следом P h . Точка N 0 на плоскости Н является точкой пересечения дуги радиуса ON в плоскости Q со следом Q h . Проведя через Р х и N 0 прямую, получим P U0 . Отрезок P X N не изменяет своей длины при вращении плоскости; поэтому точку N 0 можно получить при пересечении Q h с дугой, описанной в плоскости Н, из точки Р х радиусом P X N.

Для выполнения рассмотренных построений на чертеже (рис. 5.15) на следе Р и выбрана произвольная точка N (она совпадает со своей проекцией п"). Через ее горизонтальную проекцию п проведена прямая по, перпендикулярная к оси вращения - следу P h . На этой прямой найдена точка N 0 , т. е. точка N после совмещения с плоскостью Н. Она найдена на расстоянии P X N 0 = Р х п" от точки Р х или на расстоянии oN 0 от точки о, равном радиусу вращения точки N. Длина радиуса oN 0 = oN определена, например, как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами on и nN (nN=nn"). Прямая P U0 , проходящая через точки Р х и N 0 , - совмещенное положение следа Р и.

Аналогично построено совмещенное положение С0 точки С. Радиус вращения оС найден как гипотенуза прямоугольного

треугольника, у которого один катет ос, другой катет сС=с"1. Второй вариант построения выполнен с помощью горизонтали плоскости Р с проекциями с"2", с -2. С помощью дуги радиуса Р х 2" найдено совмещенное положение 2о точки 2 на линии Рv0, а в совмещенном положении 20С0 горизонталь проведена через точку 2 0 параллельно следу Ph.

Если требуется совместить плоскость с фронтальной плоскостью проекций, то вращать плоскость следует вокруг ее фронтального следа.

Рисуем

6.1. Пусть - правильная призма. Перенос задается вектором: а) 0,5АВ; б) АО, где О - центр нижнего основания. Нарисуйте образ призмы при этом переносе. Нарисуйте объединение и пересечение исходной и полученной призм.

6.2. Дан правильный тетраэдр. Нарисуйте тетраэдр, который получается из данного в результате: а) центральной симметрии относительно середины высоты; б) зеркальной симметрии относительно плоскости, проходящей через середину высоты перпендикулярно к ней; в) поворота на 60° вокруг его высоты; г) поворота на 90" вокруг прямой, соединяющей середины его противоположных ребер. Нарисуйте объединение и пересечение исходного и полученного тетраэдров.

6.3. Дан куб. Нарисуйте куб, который получается из данного в результате: а) переноса на вектор, направленный по его диагонали, длиной в половину этой диагонали; б) центральной симметрии относительно точки, находящейся на его диагонали и делящей ее в отношении 2:1; в) зеркальной симметрии относительно плоскости, которая пересекает его по правильному шестиугольнику; г) поворота на 90" вокруг прямой, проходящей через середины двух параллельных ребер, не лежащих в одной грани. Нарисуйте объединение и пересечение исходного и полученного кубов.

6.4. Нарисуйте тела, которые можно получить, вращая круг

6.5. Нарисуйте тела, которые получаются при вращении: а) куба вокруг ребра; б) куба вокруг диагонали; в) правильного тетраэдра вокруг ребра; г) конуса вокруг прямой, параллельной оси и проходящей вне его.

Планируем

6.6. Как найти объем и площадь поверхности фигур - объединений и пересечений - из задач 6.1, 6.2?

6.7. Как найти объем и площадь поверхности фигур из задачи 6.5?

Представляем

6.8. Может ли центр симметрии тела не принадлежать ему?

6.9. Два равных отрезка: а) параллельны; б) имеют ровно одну общую точку; в) скрещиваются. Каким движением можно один из них отобразить на другом?

6.10. Два отрезка симметричны друг другу относительно двух плоскостей. Какая получится фигура, если их концы последовательно соединить отрезками?

6.11. Через некоторую прямую проведены всевозможные плоскости. Данная точка отражается от всех этих плоскостей. Какую фигуру образуют все полученные точки?

6.12. Верно ли, что: а) наклонный параллелепипед, две грани которого перпендикулярны основанию, имеет плоскость симметрии; б) среди граней параллелепипеда, имеющего плоскость симметрии, есть прямоугольники; в) параллелепипед, имеющий две плоскости симметрии, является прямоугольным?

6.13. Как разрезать куб на три равные пирамиды?

Оцениваем

6.14. Прямоугольный треугольник с гипотенузой d вращается вокруг одного из катетов. При каком условии объем тела вращения будет наибольшим?

6.15. Периметр равнобедренного треугольника равен Р. Этот треугольник вращается вокруг основания. Какой из таких треугольников дает наибольший объем тела вращения?

Думаем

6.16. Центр куба отражается в плоскости каждой его грани. Докажите, что полученные точки являются вершинами октаэдра. Можно ли таким путем получить и другие правильные многогранники?

6.17. В данный шар вписан:

а) правильный тетраэдр;

б) куб. Грани этого многогранника продлили до пересечения со сферой. На какие фигуры разделилась сфера? На какие фигуры разделился шар? Сколько среди них равных друг другу?

Исследуем

6.18. Является ли движением пространства такое его преобразование, которое точке с координатами ставит в соответствие точку с координатами:

6.19. Многогранник имеет центр симметрии, центр описанного шара, центр вписанного шара и центр масс. Сколько из этих точек могут совпадать?

Поступаем в ВУЗ

6.20. Из конца диаметра шара проведена хорда так, что поверхность, образуемая вращением ее вокруг этого диаметра, делит объем шара на две равновеликие части. Определите угол между хордой и диаметром.

6.21. Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, параллельной стороне треугольника и отстоящей от нее на расстоянии, равном половине высоты треугольника. Найдите объем тела вращения.

6.22. Треугольник вращается вокруг биссектрисы AD. Докажите, что площади поверхностей, описанных при этом сторонами АВ и АС, относятся как объемы, полученные вращением частей ABD и

6.23. Равнобедренный треугольник, основание которого равно а, а угол при основании а, вращается вокруг прямой, проходящей через один из концов основания перпендикулярно к нему. Найдите площадь поверхности получившегося при этом тела вращения.

6.24. Часть квадрата ABCD, оставшаяся после того, как из него вырезали четверть окружности с центтюм в вершине D и радиусами, равными стороне квадрата, вращается вокруг оси, проходящей через D параллельно диагонали АС. Найдите объем полученного тела вращения, если сторона квадрата равна а.

6.25. Площадь прямоугольной трапеции ABCD равна , длина высоты АВ равна h, величина острого угла ADC трапеции

равна а. На боковой стороне CD взята точка Е так, что . Найдите объем тела, полученного вращением четырехугольника ABED вокруг прямой АВ.

6.26. Найдите объем тела, полученного при вращении правильного шестиугольника вокруг его стороны, равной а

6.27. На окружности полукруга радиуса R даны точки А и В. Если N - один из концов диаметра, а О - центр окружности, то Определите площадь полной поверхности тела, образованного вращением кругового сектора АОВ вокруг диаметра.

6.28. Дан правильный тетраэдр ABCD. Каждая из его вершин симметрично отражена относительно плоскости противоположной ей грани, в результате чего получены соответственно точки KLMN. Найдите отношение объемов исходного и полученного тетраэдров.

6.29. В тетраэдре проведены отрезки, соединяющие его вершины с точками пересечения медиан противоположных граней. Все они пересекаются в точке О. Второй тетраэдр симметричен первому относительно точки О. Объем исходного тетраэдра равен V. Найдите объем общей части двух тетраэдров.

Ответ: 0,5V.

6.30. Сторона основания правильной призмы имеет длину а, а боковое ребро - длину 1,125а Точка Е - середина ребра АВ, а точка М - лежит на отрезке ЕС и ЕМ ЕС. Вторая призма симметрична призме относительно прямой Найдите объем общей части этих призм.

6.31. Дан правильный тетраэдр объема V. Второй тетраэдр получается из первого поворотом его на угол

а вокруг прямой, соединяющей середины скрещивающихся ребер тетраэдра. Найдите объем общей части этих двух тетраэдров.

6.32. Куб с ребром а повернули на 90" вокруг прямой, соединяющей середины двух параллельных и не лежащих в одной грани ребер. Найдите объем общей части исходного куба и повернутого.

6.33. Правильная треугольная пирамида со стороной основания а повернута вокруг оси симметрии на угол 60. Определите объем общей части исходной и повернутой пирамид, если боковые грани - прямоугольные треугольники.

6.34. В шар радиуса R вписан правильный тетраэдр. Поворотом его на угол - вокруг высоты получается новый тетраэдр, вписанный в шар. Найдите объем части шара, внешней по отношению к обоим тетраэдрам.

6.35. Конус вращения вокруг оси - прямой, перпендикулярной его высоте и проходящей через вершину. Найдите площадь сечения полученного тела вращения плоскостью, проходящей через ось вращения, если образующая конуса равна 5, а высота равна 4.

ЗАДАЧИ К § 26

Дополняем теорию

6.36. Докажите, что плоскость переходит в параллельную ей плоскость (если не в себя) в результате:

а) переноса; б) центральной симметрии.

Планируем

6.37. В кубе точка О - центр грани ABCD. Как вычислить угол между прямой В, О и:

а) прямой прямой плоскостью

г) плоскостью

6.38. Пусть PABCD - пирамида, в основании которой лежит ромб ABCD. РВЦАВС). Площадь грани РВС равна S. Через точку К - середину ребра AD - проводится сечение, параллельное плоскости РАВ. Как найти его площадь?

6.39. Каждая боковая грань правильного тетраэдра совершила поворот вокруг ребер основания на один и тот же угол во внешнюю сторону. При этом получился многогранник с шестью вершинами и равными ребрами. На какой угол повернулись грани?

Представляем

6.40. Найдутся ли два равных круговых сечения одной плоскостью у двух неравных конусов, если они стоят на одной плоскости по одну сторону от нее?

6.41. Две окружности центрально-симметричны и не лежат в одной плоскости. Верно ли, что они лежат на поверхности: а) одной сферы; б) одного цилиндра? А если эти окружности зеркально-симметричны?

6.42. В каком случае два равных:

а) шара; б) цилиндра; в) конуса центрально-симметричны? Зеркально симметричны?

6.43. Какими поворотами шар можно отобразить на себя?

6.44. Какими поворотами одна из данных фигур отображается на другую, если эти фигуры: а) две прямые; б) две плоскости; в) два равных шара? Найдется ли такой поворот, который при этом и вторую фигуру отобразит на первую?

6.45. Всегда ли, вращая выпуклую фигуру, мы получим выпуклое тело?

Думаем

6.46. Используя свойства переноса, докажите, что: а) два перпендикуляра к одной плоскости параллельны; б) две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны; в) если прямая параллельна прямой, перпендикулярной плоскости, то она перпендикулярна плоскости; г) линейные углы двугранного угла равны между собой.

6.47. Докажите, что объединение двух плоскостей является фигурой: а) центрально-симметричной; б) зеркально-симметричной.

6.48. Прямая, b получена из прямой а отражением в плоскости а. Эти прямые имеют общую точку. Докажите, что эта точка лежит в плоскости а.

6.49. В шаре радиусом R провели через центр две плоскости, образующие между собой угол . Как узнать, в каком отношении они разбили объем шара?

6.50. Через биссектрису угла провели плоскость. Докажите, что стороны угла образуют с ней равные углы.

Исследуем

6.51. Можно ли равными параллелепипедами заполнить все пространство? Можно ли это сделать другими равными многогранниками?

6.52. Будет ли сечение центрально-симметричного тела, проходящее через центр симметрии, центрально-симметрично?

6.53. Тело центрально-симметрично. Будет ли центральносимметрична его ортогональная проекция? Будет ли верно обратное?

6.54. Каждое из двух тел центрально-симметрично. Будет ли центрально-симметрично их: а) объединение; б) пересечение?

6.55. Центрально-симметричное тело разделили плоскостью. Одна его часть оказалась центрально-симметричной. Будет ли таковой и другая его часть?

6.56. Существует ли многогранник, имеющий любое наперед заданное число плоскостей симметрии?

ЗАДАЧИ К § 27

Дополняем теорию

6.57. Докажите, что композиция двух отражений в пересекающихся плоскостях является поворотом, а в двух параллельных плоскостях - параллельным переносом.

6.58. Нарисуйте фигуру, которая переходит в себя в результате: а) винта; б) зеркального поворота; в) скользящего отражения.

6.59. Пусть куб. В результате некоторого движения он переходит в другой куб. Нарисуйте этот другой куб, если движение таково: а) винт с осью поворота, проходящей через центры граней

вектором а угол поворота равен зеркальный поворот на с осью поворота , и отражением в плоскости, перпендикулярной прямой и проходящей через центр куба; в) скользящее отражение, где отражение происходит в плоскости, перпендикулярной диагонали куба и проходящей через центр куба, а вектор равен АС.

6.60. Пусть РАВС - правильный тетраэдр. В результате движения он переходит в другой тетраэдр. Нарисуйте этот другой тетраэдр, если движение таково:

а) винт с осью поворота центр основания), углом поворота 60" и вектором

б) зеркальный поворот с осью поворота PQ, углом поворота 60° и плоскостью отражения, перпендикулярной PQ и проходящей через середину высоты

в) скользящее отражение с плоскостью отражения, проходящей через РВ и К - середину АС, и вектором 0,5 КВ.

Представляем

6.61. Сохраняет ли ориентацию базиса: а) перенос; б) центральная симметрия; в) зеркальная симметрия; г) поворот; д) винт; е) зеркальный поворот; ж) скользящее отражение?

6.62. Имеет ли движение неподвижные точки, если это движение: а) перенос; б) центральная симметрия; в) зеркальная симметрия; г) поворот; д) винт; е) зеркальный поворот; ж) скользящее отражение?

6.63. Даны два равных равнобедренных треугольника. Какими движениями их можно совместить, если они имеют общую: а) вершину равных сторон; б) сторону основания; в) боковую сторону; г) медиану к основанию; д) среднюю линию боковых сторон?

в) одну из его высот на другую;

г) отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, на другой такой же отрезок;

д) сечение одной плоскостью симметрии на другое такое же;

е) сечение, являющееся квадратом, на другое такое же? Будет ли в таком движении и вторая фигура отображаться на первую?

6.66. В результате каких движений отображается на себя:

а) отрезок; б) прямая; в) круг; г) квадрат; д) правильный многоугольник; е) ромб; ж) плоскость; з) двугранный угол?

6.67. В результате каких движений отображается на себя тетраэдр РАВС, у которого: а) ; б)

6.68. Тело является объединением двух шаров, но не шаром. Какими движениями оно отображается на себя?

6.69. У четырехугольной пирамиды: а) все боковые ребра равны и противоположные плоские углы при вершине равны;

б) все плоские углы при вершине равны и противоположные боковые ребра равны. Какими движениями ее можно самосовместить?

6.70. Какими движениями отображается на себя антипризма?

6.71. Как разделить куб на: а) 8 равных кубов; б) 6 равных пирамид; в) 3 равные пирамиды; г) 4 равные треугольные призмы?

6.72. Как разделить прямую треугольную призму на 3 равновеликих тетраэдра? Есть ли среди них равные?

6.73. Как разделить параллелепипед на: а) 6 равновеликих пирамид; б) три равновеликие пирамиды? Есть ли среди них равные?

6.74. В шаре радиусом 1 провели три радиуса ОА, ОВ, ОС, из которых каждые два перпендикулярны. Какая часть объема шара ограничена четвертями больших кругов шара ОАВ, ОАС, ОВС и поверхностью? А какая часть поверхности?

Думаем

6.75. Две правильные четырехугольные пирамиды и имеют общее основание ABCD. Точка К - середина ребра , точка L - середина ребра точка М - точка пересечения медиан в грани , точка N - точка пересечения медиан в грани . Докажите, что:

д) расстояние от точки К до плоскости равно расстоянию от точки L до плоскости РХВС.

Исследуем

6.76. Возьмите композицию любых двух известных вам движений и выясните: а) меняет ли она ориентацию плоскости; б) имеет ли она неподвижные точки?

6.77. Сколько неподвижных точек может иметь каждое известное вам движение? Как они расположены? А сколько оно может иметь неподвижных прямых? Плоскостей?

6.78. Прямая b получается из прямой а некоторым движением. Установите расположение этих прямых между собой, если это движение: а) винт; б) зеркальный поворот; в) зеркальное отражение.

Переключаемся

6.79. На цилиндре радиусом R и высотой Н намотана проволока. Как вы узнаете ее длину?

6.80. Вам нужно спроектировать винтовую лестницу. Как вы будете действовать?

6.81. Можете ли вы объяснить принцип действия уголкового отражателя? Он составлен из трех попарно перпендикулярных зеркал.