На краю горизонтальной платформы стоит человек массой 80 кг . Платформа представляет собой круглый однородный диск массой 160 кг , вращающийся вокруг вертикальной оси, проходящий через ее центр, с частотой 6 об/мин . Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Момент инерции рассчитывать как для материальной точки.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 19 сентября 2007 года.
Решение:
Система «человек–платформа» замкнута в проекции на ось Y , т. к. моменты сил M m 1 g = 0 и M m 2 g = 0 на эту ось. Следовательно, можно воспользоваться законом сохранения момента импульса. В проекции на ось Y :
Решаем последнее уравнение относительно неизвестной частоты вращения "платформы-человек" n 2 :
| n 2 = | m 2 + 2m 1 | n 1 . |
| m 2 |
После вычислений: n 2 = 0.2 (об/с) = 12 об/мин . Задача это ВУЗовская и решена здесь по просьбе посетителей в виде исключения.
Задача: Горизонтальная платформа равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На расстоянии, равном трети радиуса платформы, отрывается от ее поверхности небольшое тело и скользит по ней без трения. Через сколько времени тело слетит с платформы, если до отрыва оно двигалось с ускорением 0,1 м/с^2? Радиус платформы 60 см.
Решение:
Обозначим а - ускорение тела, R - радиус платформы, t - время, через которое тело слетит с платформы, v - линейную скорость тела на платформе, S - путь, который пройдет тело.
Чтобы легче представить движение тела по платформе, выполним чертеж (рис. 15). Посмотрим на платформу сверху и нарисуем круг, покажем его центр О и проведем горизонтальный радиус R. Затем на расстоянии, равном трети радиуса от края платформы, изобразим тело в точке М в момент отрыва. Значит, в этот момент от тела до центра платформы расстояние составило две трети радиуса.
Теперь давайте думать. Нам известно ускорение тела а перед отрывом от поверхности платформы. Но платформа вращается равномерно, значит, это его центростремительное ускорение. В момент отрыва линейная скорость тела v направлена по касательной к окружности, по которой оно двигалось до отрыва. Радиус этой окружности составлял
(2/3)R . А мы знаем формулу, связывающую линейную скорость с центростремительным ускорением. Применительно
к нашей задаче она будет выглядеть так:
После отрыва тело станет двигаться к краю платформы без трения. Значит, это движение будет равномерным и прямолинейным со скоростью v. Тогда тело слетит с платформы в точке С, проделав путь S. Если этот путь разделить на линейную скорость тела, мы найдем искомое время t, через которое тело слетит с платформы:
Дальнейший ход решения ясен. Путь S находим из прямоугольного треугольника МСО по теореме Пифагора, а линейную скорость v - из выражения (1), и все это подставляем в равенство (2). Приступим. По теореме Пифагора
Теперь из (1) находим линейную скорость v:
Нам осталось подставить правые части равенств (3) и (4) в формулу (2), и задача в общем виде будет решена. Подставляем:
Задача в общем виде решена. Подставим числа и вычислим. 60 см = 0,6 м.
Ответ: 2,2 c.
3.41. Какую работу А совершает человек при переходе от края платформы к ее центру в условиях предыдущей задачи? Радиус платформы R = 1,5 м.
3.42. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой n, = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой n2 будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J1 = 2,94 до J2 = 0,98 кг м2? Считать платформу однородным диском.
3.43. Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия платформы с человеком в условиях предыдущей задачи?
3.44. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r = 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы v0 = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10м. Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.
3.45. Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальный оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня.
