1.1. Для математической формулировки «квантового микроканонического распределения» надо применить следующий прием. Имея в виду «почти непрерывность» энергетического спектра Макроскопических тел, введем понятие о числе квантовых состоя­ний замкнутой системы, «приходящихся» на определенный бес­конечно малый интервал значений ее энергии. Обозначим это число посредством .

Если рассматривать замкнутую систему как состоящую из подсистем, пренебрегая при этом взаимодействием последних, то каждое состояние системы в целом можно характеризовать зада­нием состояний всех отдельных подсистем, и число
предста­вится в виде произведения:

чисел
квантовых состояний подсистем (таких, чтобы сумма энергий всех подсистем лежала как раз в рассматриваемом интервале значений энергии всей замкнутой системы).

Мы можем теперь сформулировать микроканоническое распре­деление, на­писав для вероятности
нахождения системы в каком-либо из
состояний следующее выражение:

(1)

1.2. Будем рассматривать замкнутую систему в течение времени, большого по сравнению с ее временем релаксации; тем самым подразумевается, что система находится в полном статистическом равновесии.

Проведем нижеследующие рассуждения для квантовой статистики. Разделив систему на большое число макроскопических частей (подсистем), будем рассматривать какую-либо одну из них. Пусть w n есть функция распределения этой подсистемы; для упро­щения формул будем пока опускать уw n (и других величин) индекс, отличающий подсистемы. С помощью функцииw n можно, в част­ности, вычислить распределение вероятностей для различных зна­чений энергииE подсистемы.w n может быть написано как функция только от энергииw n = w (E n ). Для того чтобы получить вероятностьw (E)dEподсистеме иметь энергию в интервале междуЕ иЕ+dЕ , надо умножитьw (Е) на число квантовых состояний с энергиями, лежащими в этом интервале. Обозначим посредствомГ(E ) число квантовых состояний с энергиями, меньшими и равнымиЕ ; тогда интере­сующее нас число состояний с энергией междуЕ и Е + dЕ можно написать в виде:

а распределение вероятностей по энергии будет:

W(E)
(1.1)

Условие нормировки

Означает геометрически, что площадь, заключенная под кривой W = W (E ), равна единице.

Функция W (E ) имеет чрезвычайный максимум наE = , будучи сколько-нибудь заметно отличной от нуля лишь в непо­средственной близости от этой точки. Введем «ширину» ∆EкривойW = W (E ), определив ее как ширину прямоугольника, высота которого равна значению функцииW(E) в точке максимума, а площадь равна единице

Принимая во внимание выражение (1.1) можно переписать это определение в виде:

,

∆Г=

есть число квантовых состояний, соответствующее интервалу ∆Е значений энергии. Об определенной таким образом величине ∆Г можно сказать, что она характеризует «степень размазанности» макроскопического состояния подсистемы по ее микроскопическим состояниям. Что же касается интервала ∆E , то по порядку вели­чины он совпадает со средней флуктуацией энергии подсистемы.

1.3. Привлечем микроканоническое распределение, согласно которому для описания статисти­ческих свойств замкнутой системы можно пользоваться функцией распределения вида (1) .

Здесь
можно понимать как дифференциал функции
(E α ) , представляющей собой число квантовых состояний подсистемыcэнергиями, меньшими или равнымиE α перепишемdw в виде:

(1.2)

Статистический вес ∆Гα по самому своему определению есть функция от средней энергии Е а подсистемы; то же относится и к S а = S а (
) . Будем теперь формально рассматривать ∆Г α иS α как функции истинного значения энергии
(те же функции, которыми они в действительности являются от
). Тогда мы мо­жем заменить в (1.2) производные
отношениями ∆Г α /∆Е α , где ∆Г α -понимаемая в указанном смысле функция отЕ α , а ∆Е α - соответствующий ∆Г α интервал значений энергии (тоже функция отЕ α ). Наконец, заменив ∆Г α на
, получим

(1.3)

где S=
- энтропия всей замкнутой системы, понимаемая как функция точных значений энергий ее частей. Множитель , в экспоненте которого стоит аддитивная величина, есть очень быстро меняющаяся функция энергийЕ а . По сравнению с этой функцией зависимость от энергий величины ∆Е а совершенно несущественна, и поэтому с очень большой точностью можно заменить (1.3) выражением

Выделим из замкнутой системы интересующее нас тело и будем рассматривать систему как составленную из двух частей: из данного тела и всей остальной ее области, которую мы будем называть по отношению к телу «средой».

Микроканоническое распределение (1) напишется в виде:

где
относятся соответственно к телу и среде, а
- заданное значение энергии замкнутой системы; этому значению должна быть равна сумма
энергий тела и среды.

Наличие - функции обеспечивает превращение
в нуль во всех точках фазового пространства, в которых величина
не равна своему заданному значению
.

Нашей целью является нахождение вероятности такого состояния всей системы, при котором данное тело находится в некотором определенном квантовом состоянии (с энергией), т. е. в состоянии, описанном микроскопическим образом. Ми­кроскопическим же состоянием среды мы при этом не инте­ресуемся, т. е. будем считать, что она находится в некотором макроскопически описанном состоянии. Пусть
есть стати­стический вес макроскопического состояния среды; обозначим также посредством
интервал значений энергии среды, соот­ветствующий интервалу
квантовых состояний.

Искомую вероятность мы найдем, заменив в (1.4)
единицей, положив
и проинтегрировав по
квантовых состояний указанных в п.1.2 смысле:

Пусть Г"(E ") - полное число квантовых состояний среды с энергией, меньшей или равной Е". Поскольку подынтегральное выражение зависит только от
, можно перейти к интегри­рованию по
написав:

Производную
заменяем (см. п.1.1) отношением

где
энтропия среды как функция ее энергии (функци­ейЕ" является, конечно, также и
). Таким образом,

Благодаря наличию
функции интегрирование сводится к за­мене
на
, и получаем

Учтем теперь, что мала по сравнению с
Величина
относительно очень мало меняется при незначительном изменении
; поэтому в ней можно просто положить
, после чего она превратит­ся в не зависящую отпостоянную. В экспоненциальном же множителе
надо разложить
по степеням, сохранив также и линейный член:

Но производная от энтропии
по энергии есть не что иное, как
, где
температура системы (температура тела и сре­ды одинакова, так как система предполагается находящейся в равновесии).

Таким образом, получаем окончательно для следующее выражение:

(1.5)

где
не зависящая отнормировочная постоянная. Это одна из важнейших формул статистики; она определяет статистическое распределение любого макроскопического тела, являющегося сравнительно малой частью некоторой большой замкнутой системы. Это распределение называется распределением Гиббса или каноническим распределением; оно былооткрыто Гиббсом для классической статистики в 1901 г.

Нормировочная постоянная определяется условием
откуда

.

Среднее значение любой физической величины , характеризующей данное тело, может быть вычислено с помощью распределения Гиббса по формуле

В классической статистике выражение, в точности соответ­ствующее формуле (1.5), получается для функции распределе­ния в фазовом пространстве:

где
энергия тела как функция его координат и импуль­сов. Нормировочная постояннаяопределяется условием:

На практике часто приходится иметь дело со случаями, ко­гда квазиклассическим является не все микроскопическое дви­жение частиц, а лишь движение, соответствующее части сте­пеней свободы, в то время как по остальным степеням свобо­ды движение является квантовым (так, например, может быть квазиклассическим поступательное движение молекул при кван­товом характере внутримолекулярного движения атомов). В та­ком случае уровни энергии тела можно написать в виде функций от квазиклассических координат и импульсов:
гдеобозначает совокупность квантовых чисел, определяющих “квантовую часть” движения, для которого значенияиигра­ют роль параметров. Формула распределения Гиббса напишется тогда в виде

где
- произведение дифференциалов “квазиклассиче­ских” координат и импульсов.

Наконец, необходимо сделать следующее замечание по по­воду круга вопросов, для решения которых можно применять распределение Гиббса. Мы все время говорили о последнем как о статистическом распределении для подсистемы, каковым оно в действительности и является. Весьма важно, однако, что это же распределение можно с полным успехом применять и для определения основных статистических свойств замкнутых тел. Действительно, такие свойства тела, как значения его термо­динамических величин или распределения вероятностей для ко­ординат и скоростей отдельных его частиц, очевидно, не за­висят от того, рассматриваем ли мы тело как замкнутое или как помещенное в воображаемый термостат. В последнем случае, однако, тело становится «подсистемой», и распределение Гиббса применимо к нему буквально. Отличие замкнутого те­ла от незамкнутого проявляется при применении распределения Гиббса по существу лишь при рассмотрении сравнительно мало интересного вопроса о флуктуациях полной энергии тела. Рас­пределение Гиббса дает для средней флуктуации этой величины отличное от нуля значение, которое для тела, находящегося в среде, имеет реальный смысл, а для замкнутого тела - совер­шенно фиктивно, так как энергия такого тела по определению постоянна и не флуктуирует.

Возможность применения (в указанном смысле) распреде­ления Гиббса к замкнутым телам видна также и из того, что оно по существу очень слабо отличается от микроканоническо­го (и в то же время несравненно удобнее для проведения кон­кретных расчетов). Действительно, микроканоническое распре­деление эквивалентно, грубо говоря, признанию равновероят­ными всех микросостояний тела, отвечающих заданному значе­нию его энергии. Каноническое же распределение “размазано” по некоторому интервалу значений энергии, ширина которого (порядка величины средней флуктуации энергии), однако, для макроскопического тела ничтожно мала.

Перейдем теперь к поставленной в главе I задаче о нахождении функции распределения для любого макроскопического тела, являющегося малой частью какой-либо большой замкнутой системы (подсистемой). Наиболее удобный и общий способ подхода к решению этой задачи основан на применении ко всей системе микроканонического распределения.

Выделим из замкнутой системы интересующее нас тело и будем рассматривать систему как составленную из двух частей: изданного тела и всей остальной ее области, которую мы будем называть по отношению к телу «средой».

Микроканоническое распределение (6,6) напишется в виде

где относятся соответственно к телу и среде, а - заданное значение энергии замкнутой системы; этому значению должна быть равна сумма энергий тела и среды.

Нашей целью является нахождение вероятности такого состояния всей системы, при котором данное тело находится в некотором определенном квантовом состоянии (с энергией ), т. е. в состоянии, описанном микроскопическим образом. Микроскопическим же состоянием среды мы при этом не интересуемся, т. е. будем считать, что она находится в некотором макроскопически описанном состоянии. Пусть есть статистический вес макроскопического состояния среды; обозначим также посредством интервал значений энергии среды, соответствующий интервалу квантовых состояний в указанном в § 7 смысле.

Искомую вероятность мы найдем, заменив в (28,1) единицей, положив и проинтегрировав по

Пусть - полное число квантовых состояний среды с энергией, меньшей или равной Е.

Поскольку подынтегральное выражение зависит только от Е, можно перейти к интегрированию по , написав:

Производную заменяем (ср. § 7) отношением

где - энтропия среды как функция ее энергии (функцией Е является, конечно, также и ). Таким образом,

Благодаря наличию - функции интегрирование сводится к замене Е на и получаем

(28,2)

Учтем теперь, что вследствие малости тела его энергия мала по сравнению с Величина относительно очень мало меняется при незначительном изменении ; поэтому в ней можно просто положить после чего она превратится в независящую от постоянную. В экспоненциальном же множителе надо разложить по степеням сохранив также и линейный член:

Но производная от энтропии S по энергии есть не что иное, как , где Т - температура системы (температура тела и среды одинакова, так как система предполагается находящейся в равновесии).

Таким образом, получаем окончательно для следующее выражение:

где А - не зависящая от нормировочная постоянная. Это - одна из важнейших формул статистики; она определяет статистическое распределение любого макроскопического тела, являющегося сравнительно малой частью некоторой большой замкнутой системы. Распределение (28,3) называется распределением Гиббса или каноническим распределением; оно было открыто Гиббсом (J. W. Gibbs) для классической статистики в 1901 г.

Нормировочная постоянная А определяется условием откуда

Среднее значение любой физической величины f, характеризующей данное тело, может быть вычислено с помощью распределения Гиббса по формуле

В классической статистике выражение, в точности соответствующее формуле (28,3), получается для функции распределения в фазовом пространстве:

где - энергия тела как функция его координат и импульсов. Нормировочная постоянная А определяется условием

На практике часто приходится иметь дело со случаями, когда квазиклассическим является не все микроскопическое движение частиц, а лишь движение, соответствующее части степеней свободы, в то время как по остальным степеням свободы движение является квантовым (так, например, может быть квазиклассическим поступательное движение молекул при квантовом характере внутримолекулярного движения атомов). В таком случае уровни энергии тела можно написать в виде функций от квазиклассических координат и импульсов: где обозначает совокупность квантовых чисел, определяющих «квантовую часть» движения, для которого значения и q играют роль параметров. Формула распределения Гиббса напишется тогда в виде

где - произведение дифференциалов «квазиклассических» координат и импульсов.

Наконец, необходимо сделать следующее замечание по поводу круга вопросов, для решения которых можно применять распределение Гиббса. Мы все время говорили о последнем как о статистическом распределении для подсистемы, каковым оно в действительности и является. Весьма важно, однако, что это же распределение можно с полным успехом применять и для определения основных статистических свойств замкнутых тел.

Действительно, такие свойства тела, как значения его термодинамических величин или распределения вероятностей для координат и скоростей отдельных его частиц, очевидно, не зависят от, того, рассматриваем ли мы тело как замкнутое или как помещенное в воображаемый термостат (§ 7). В последнем случае, однако, тело становится «подсистемой» и распределение Гиббса применимо к нему буквально. Отличие замкнутого тела от незамкнутого проявляется при применении распределения Гиббса по существу лишь при рассмотрении сравнительно мало интересного вопроса о флуктуациях полной энергии тела. Распределение Гиббса дает для средней флуктуации этой величины отличное от нуля значение, которое для тела, находящегося в среде, имеет реальный смысл, а для замкнутого тела совершенно фиктивно, так как энергия такого тела по определению постоянна и не флуктуирует.

Возможность применения (в указанном смысле) распределения Гиббса к замкнутым телам видна также и из того, что оно по существу очень слабо отличается от микроканонического (и в то же время несравненно удобнее для проведения конкретных расчетов). Действительно, микроканоническое распределение эквивалентно, грубо говоря, признанию равновероятными всех микросостояний тела, отвечающих заданному значению его энергии. Каноническое же распределение «размазано» по некоторому интервалу значений энергии, ширина которого (порядка величины средней флуктуации энергии), однако, для макроскопического тела ничтожно мала.

фундаментальный закон статистической физики (См. Статистическая физика), определяющий вероятность данного микроскопического состояния системы, т. е. вероятность того, что координаты и импульсы частиц системы имеют определённые значения.

Для систем, находящихся в тепловом равновесии с окружающей средой, в которой поддерживается постоянная температура (с термостатом), справедливо каноническое Г. р., установленное Дж. У. Гиббсом в 1901 для классической статистики. Согласно этому распределению, вероятность определённого микроскопического состояния пропорциональна функции распределения f (q i , p i ), зависящей от координат q i и импульсов p i частиц системы:

где H (q i , p i ) - функция Гамильтона системы, т. е. её полная энергия, выраженная через координаты и импульсы частиц, k - Больцмана постоянная, Т - абсолютная температура; постоянная А не зависит от q i и p i и определяется из условия нормировки (сумма вероятностей пребывания системы во всех возможных состояниях должна равняться единице). Т. о., вероятность микросостояния определяется отношением энергии системы к величине kT (которая является мерой интенсивности теплового движения молекул) и не зависит от конкретных значений координат и импульсов частиц, реализующих данное значение энергии.

В квантовой статистике вероятность w n данного микроскопического состояния определяется значением энергетического уровня системы Ε п .

Для идеального газа, т. е. газа. в котором энергией взаимодействия частиц можно пренебречь, каноническое Г. р. переходит в Больцмана распределение, определяющее вероятность того, что координата и импульс (энергия) отдельной частицы имеют данные значения (см. Больцмана статистика).

Если система изолирована, то её энергия постоянна; в этом случае справедливо микроканоническое Г. р., согласно которому все микроскопические состояния изолированной системы равновероятны. Микроканоническое Г. р. лежит в основе Г. р. канонического.

Лит . см. при статье Статистическая физика.

Г. Я. Мякишев.

• - ...

  Физическая энциклопедия

• -  ...

  Физическая энциклопедия

• -  ...

  Физическая энциклопедия

• - равновесные распределения вероятностей состояний статистич. систем в разл. физ. условиях - фундам. законы статистич. физики, установленные Дж. У. Гиббсом...

  Физическая энциклопедия

• - , один из потенциалов термодинамических; характеристическая функция термодинамич. системы при независимых параметрах р, Т и N ...

  Физическая энциклопедия

• - распределение вероятностей состояний статистич...

  Физическая энциклопедия

• -  ...

  Физическая энциклопедия

• - см. Фаз правило...

  Химическая энциклопедия

• - см. Термодинамические потенциалы...

  Химическая энциклопедия

• - см. Частота распределения...

  Медицинские термины

• - в термодинамике: число равновесно сосуществующих в к.-л. системе фаз не может быть больше числа образующих эти фазы компонентов плюс, как правило, 2. Установлено Дж. У. Гиббсом в 1873-76...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - см. Потенциал термодинамический...

  Геологическая энциклопедия

• - основной закон гетерогенных равновесий, согласно которому в гетерогенной физико-химической системе, находящейся в устойчивом термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать числа компонентов,...
• - фундаментальный закон статистической физики, определяющий вероятность данного микроскопического состояния системы, т. е. вероятность того, что координаты и импульсы частиц системы имеют определённые...

  Большая Советская энциклопедия

• - в термодинамике: число равновесно сосуществующих в какой-либо системе фаз не может быть больше числа образующих эти фазы компонентов плюс - как правило, 2. Установлено Дж. У. Гиббсом в 1873-76...
• - ГИББСА распределение каноническое - распределение вероятностей различных состояний макроскопической системы с постоянным объемом и постоянным числом частиц, находящейся в равновесии с окружающей средой заданной...

  Большой энциклопедический словарь

"Гиббса распределение" в книгах

Распределение

Из книги Воспоминания и размышления о давно прошедшем автора Болибрух Андрей Андреевич

Распределение Еще задолго до окончания аспирантуры я определился с выбором будущей профессии, решив стать преподавателем математики в ВУЗе. Я совершенно сознательно не хотел идти работать в какое-либо НИИ, руководствуясь при этом следующими двумя

Глава 10. «Самое ужасное воспоминание» Гиббса

Из книги Подлинная судьба Николая II, или Кого убили в Ипатьевском доме? автора Сенин Юрий Иванович

Глава 10. «Самое ужасное воспоминание» Гиббса Первоначальный план предусматривал вывоз детей из Тобольска в Екатеринбург Чрезвычайным комиссаром ВЦИК В.В.Яковлевым. Сам Яковлев также считал это своей задачей. Выше было рассказано о вызове В.В. Яковлева в Уральский

Распределение

Из книги Рота, подъем! автора Ханин Александр

Распределение Город Ковров Владимирской области, знаменитый тем, что именно в этом месте жил создатель российского, а позже советского оружия, легендарный Дягтерев, был небольшим, провинциальным населенным пунктом, где проживало около ста пятидесяти тысяч

Значение работы Гиббса

автора Уилсон Митчел

Значение работы Гиббса До Ньютона люди полагали, что равновесие - это такое состояние, когда все предметы находятся в полном покое. Вертикальная колонна греческого храма находится в равновесии, потому что все силы, действующие на нее - собственный вес, вес покоящегося

Мир изменений Гиббса

Из книги Американские ученые и изобретатели автора Уилсон Митчел

Мир изменений Гиббса Вещество представляет собой на самом деле бесчисленное множество мельчайших частиц, находящихся в движении. Каждая из этих частиц требует собственного ньютоновского уравнения. Тает ли лед, превращаясь в воду, или испаряется вода, характер движения

«Распределение»

Из книги Повседневная жизнь европейских студентов от Средневековья до эпохи Просвещения автора Глаголева Екатерина Владимировна

«Распределение» Доходы клириков: бенефиции и пребенды. - Конкуренция среди врачей. - Смена профессии. - Цена диплома «Dat Galenus opes et Justinianus honores… sed genum et species cigitum ire pedes» - «Дает Гален богатство, a Юстиниан почет… но род и вид вынуждены ходить пешком», - говорили в

Распределение

Из книги Тюремная энциклопедия автора Кучинский Александр Владимирович

Распределение Распределение по отрядам, по работам происходит по-разному. Иногда это делают два-три человека: «хозяин», начальник «промки» (рабочей части зоны), «кум» (начальник оперчасти… Иногда собирается за большим столом целая кодла: кроме вышеперечисленных –

Распределение

Из книги История марксизма-ленинизма. Книга вторая (70 – 90-е годы XIX века) автора Коллектив авторов

Распределение В «Анти-Дюринге» затронуты и вопросы распределения в социалистическом обществе. Энгельс прежде всего раскрыл полную несостоятельность дюринговских представлений, не отражающих существенную связь распределения с производством и обменом, рассмотрел

IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Из книги Том 20 автора Энгельс Фридрих

IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Мы уже видели выше, что дюринговская политическая экономия сводится к положению: капиталистический способ производства вполне хорош и может быть сохранен, но капиталистический способ распределения - от лукавого, и он должен исчезнуть. Теперь мы

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ

Из книги На пути к сверхобществу автора Зиновьев Александр Александрович

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ В современных больших обществах многие миллионы людей занимают какие-то социальные позиции. Сложилась грандиозная система подготовки людей для занятия этих позиций - для замены отработанного

5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана

Из книги Медицинская физика автора Подколзина Вера Александровна

5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана Распределение Максвелла – в равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) остаются неизменными, однако микросостояния – взаимное расположение молекул, их

Жизнь Чарльза Гиббса

Из книги автора

Жизнь Чарльза Гиббса Содержит рассказ о зверствах, совершенных им в Вест-Индии.Этот свирепый и жестокий пират, будучи еще совсем молодым человеком, предавался порокам, которые были совсем не свойственны юношам того времени. Друзья мягко упрекали его и советовали

Гиббса правило фаз

БСЭ

Гиббса распределение

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ГИ) автора БСЭ

Гиббса термодинамический потенциал

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ГИ) автора БСЭ

В §7 главы I мы показали, что вероятность того, что замкнутая система находится в состоянии с энергией Е„ определяется соотношением

Это соотношение применимо лишь к замкнутым системам. Получим теперь распределение вероятностей для незамкнутой системы. Очевидно, что всякая незамкнутая система может рассматриваться как часть некоторой большей системы, которую уже можно считать замкнутой. Эту большую систему, частью которой является рассматриваемая система, называют термостатом , а о самой незамкнутой системе говоря т как о системе погруженной в термостат.

Полная энергия системы равна

где Е 0 - энергия термостата, Е 0п - энергия взаимодействия системы с термостатом. Поскольку речь идёт о макросистемах, то всегда можно считать, что

Применим равенство (3.1) к системе в термостате:

где теперь w - вероятность того, что система находится в состоянии с энергией Е п, а термостат - в состоянии с энергией Eq.

В силу неравенства (3.2) термостат и система могут считаться статистически независимыми, и, следовательно,

Нетрудно убедиться, что единственная возможность удовлетворить системе равенств (3.3) - (3.5) это положить

Таким образом, вероятность того, что система находится в квантовом состоянии с энергией Е„ равна

В равенстве (3.6) необходимо учесть, что квантовые состояния могут быть вырождены. Пусть Г(Е п) - число состояний системы, соответствующих значению энергии Е = Е„. Тогда

Распределение вероятностей (3.7) должно удовлетворять условию нормировки

Поскольку уровни энергии системы пронумерованы в порядке возрастания: Е 0 <...> О слагаемые в выражении (3.8) быстро растут и сумма не может быть равна единице (понятно, что число состояний Г(/?„) > 1).

Поэтому величина р должна быть отрицательной, обозначим ее как

где 0 > 0. Тогда

Поскольку в показателе экспоненты должна стоять безразмерная величина, то 0 имеет размерность энергии.

Из (3.8) следует, что Величину

называют статистической суммой.

С учётом введённых обозначений распределение (3.7) принимает вид

Соотношение (3.9) и называют каноническим распределением Гиббса. Параметр 0>О называют модулем канонического распределения или статистической температурой.

Из вывода распределения Гиббса следуют условия его применимости:

• 1. Наличие некоторой замкнутой макроскопической системы, составляющей окружение рассматриваемой системы (термостат).
• 2. Наличие слабого взаимодействия между системой и термостатом.

В остальном свойства системы являются совершенно произвольными. Замечательной особенностью распределения Гиббса является го, что в нем никак не фиг урирует механизм взаимодействия подсистемы со средой.

Распределение Гиббса для какой-либо конкретной физической системы можно считать известным, если известны уровни энергии системы, то есть возможные значения энергии Е„ и кратность вырождения состояний системы - число различных состояний Г(?„), соответствующих данному уровню энергии Е п.

Зная распределение Гиббса можно вычислить среднее значение любой величины описывающей состояние системы по общим правилам теории вероятностей:

В том случае, когда состояния системы невырождены, выражения (3.9)-(3.10) принимают вид

Полученные результаты легко обобщаются на случай систем, подчиняющихся классической статистике. В этом случае мы должны говорить не о состояниях, соответствующих данному значению энергии Е п, а о состояниях, энергия которых лежит в интервале от Е до E + dE. Соответственно Г(Е п) переходит в элемент объёма фазового пространства

Тогда, соответствующая вероятность где величину

называют интегралом состояний.

При этом, однако, необходимо учесть следующее обстоятельство. Если, например, поменять местами две одинаковые частицы, то, после такой перестановки, состояние тела будет изображаться другой фазовой точкой, получающейся из первоначальной заменой координат и импульсов одной частицы на координаты и импульсы другой частицы. Однако, ввиду того, что переставляются одинаковые частицы, эти состояния тела физически тождественны. Таким образом, одному и тому же состоянию тела соответствует ряд точек в фазовом пространстве. Между тем, при интегрировании в выражении (3.14), каждое состояние должно учитываться лишь однократно. Другими словами, мы должны интегрировать только по тем областям фазового пространства, которые соответствуют физически различным состояниям тела. Поэтому удобнее записать (3.13) и (3.14) в виде

где а штрих над значком интеграла означает, что интегрирование проводится по физически различным областям пространства.

Если, например, речь идёт о газе, состоящем из N одинаковых атомов, то интегрирование в (3.16) необходимо проводить по всему объёму газа, учитывая, однако, что любые перестановки двух его атомов не изменят его состояния, то есть конечный результат необходимо поделить на число возможных перестановок N атомов. Таким образом, в этом случае:

где интегрирование ведётся уже по всему объёму газа.

• См. §4 главы I.

Канонический ансамбль. Распределение Гиббса. Статистическая сумма.

Рассмотрим скоростные и энергетические состояния, которые представляют изучаемую в данном случае систему. Но эта система уже теперь не замкнута. Поскольку она обменивается энергией с другими частицами, составляющими вместе с ней замкнутую систему.

Совокупность незамкнутых статистических систем называется каноническим ансамблем.

Отдельная система канонического ансамбля может содержать как одну, так и много частиц. Важным является только то, чтобы число ее частиц было значительно меньше числа частиц большой системы. Энергия различных систем канонического ансамбля различна. И проблема заключается в определении вероятности различных энергетических состояний систем этого ансамбля. Согласно распределению Гиббса или канонического распределения вероятность того, что система находится в состоянии с энергией ε а:

P a =A*e - βεа,

A=Гα 0 / Г 0 ,

где Г 0 - это число состояний, принадлежащих микроканоническому ансамблю, а Гα 0 - число микросостояний полной системы, посредством которых осуществляется состояние с нулевой энергией у рассматриваемой канонической подсистемы. Распределение Гиббса может быть также записано через статистическую сумму

P a =(e - βεа)/(∑ a e - βεа)

Статистическая сумма представляет собой функцию всех микросостояний одновременно.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газа (для давления)

Давление газа на стенки сосуда возникают вследствие ударов молекул. Молекулы движутся совершенно беспорядочно. Все направления движений равновероятны. Основанием для такого утверждения служит тот опытный факт, что давление газа на стенки сосуда всюду одинаков. Для математического упрощения решения задачи о вычисления давления примем два допущения:

1) Молекулы движутся вдоль трех взаимно перпендикулярных направлениях.

2) Все молекулы имеют одинаковое значение скорости.

Выделим в газе площадку площадью дельта S, положение которой будет задано внешней нормалью n. (3) За время дельта t до элемента дельта S долетят все молекулы, которые находятся в цилиндре с площадью основания ∆S и высотой v*∆t.

1/6n*v*∆t*∆S=N

∆k=2mv*1/6n*v*∆t*∆S=1/3nmv 2 ∆S

∆F=∆k/∆t=1/3 nmv 2 ∆S

P=∆F/∆S=1/3 nmv 2 =2/3nε

Данное выражение получено в предположении, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью. Учет того факта, что молекулы движутся с разными скоростями, что давление равно

Если при данной температуре имеется смесь различных газов, то разные по массе молекулы будут иметь различную среднюю скорость, но средняя энергия молекул будет одинаковой. Полное давление в этом случае будет равно

p = nkT = (n 1 +n 2 +…+n i)kT= n 1 kT+n 2 kT+n i kT

Это закон Дальтона: давление в смеси газов равно сумме парциальных давлений газов, образующих данную смесь.

Воздух: 77% N 2 + 20% O 2

Это уравнение учитывает только энергию поступательного движения молекул. Однако возможно также вращение молекулы и колебание атомов, входящих в состав молекулы. Естественно, что эти оба вида движения также связаны с определенным запасом энергии, вычислить которые позволяет устанавливаемое статистической физикой положение о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы. Числом степеней свободы механической системы является число независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы. Материальная точка, например, имеет три степени свободы. Для того чтобы перейти от материальной точки к твердому телу необходимо ввести понятие центр инерции. Центр инерции твердого тела – это такая материальная точка, которая обладает массой этого тела и которая движется под действием сил действующих на тело так, как движется само тело. Абсолютно твердое тело обладает шестью степенями свободы.

Если положение атома, входящих в составе молекулы не фикс, то добавляется степень свободы колебания. Нужно иметь ввиду, что колебательная степень свободы обладает вдвое большей энергетической емкостью по сравнению с поступательной или вращательной. Это связано с тем, что при колебаниях изменяется как кинетическая, так и потенциальная энергия, средние значения которых равны.

i=n пост +n вращ +2n кол

Внутренняя энергия идеального газа

Поскольку молекулы идеального газа не взаимодействуют между собой на расстоянии, то внутренняя энергия системы будет складываться из энергий отдельных молекул

Теплоемкость – это физическая величина, равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить телу для того, чтобы увеличить его температуру на один градус(К).

Помимо этого в молекулярной физике вводится теплоемкость при постоянном объеме и при постоянном давлении, в зависимости от того, при каких условиях к системе подводится тепло. Если нагревание происходит при постоянном объеме, то система не совершает работы над внешними телами и все тепло, которое сообщается системе, идет на изменение внутренней энергии.

В том случае, если нагревание происходит при постоянном давлении, то газ может расширяться и совершать работу над внешними телами

Используя уравнение Майера можно вычислить