Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет равные стороны, равносторонний треугольник - равные углы, четные числа делятся на 2 и т.д. Данные объекты имеют и другие свойства: квадрат имеет прямые углы, равносторонний треугольник - равные стороны, четные числа на 1 больше нечетных в порядке их следования.
При выделении объекта из ряда других объектов различают его существенные и несущественные свойства.
Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него не может существовать.
Несущественные свойства - это свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.
Например, четные числа делятся на 2 - существенное свойство, больше на 1 - несущественное.
Чтобы понимать, что представляет собой объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.
Условимся обозначать понятия строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.
Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Так, говоря о квадрате, имеют в виду геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».
Объем понятия - это множество объектов, обозначаемых одним термином. Соответственно обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C…
Совокупность всех взаимосвязанных существенных свойств объекта, отраженных в данном понятии, составляет содержание понятия.
Рассмотрим,например,понятие «прямоугольник».
Объем понятия - это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.
Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник». В содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник».
Если объемы понятий a и b не пересекаются, т.е. А В=, то говорят, что понятия a и b несовместимы.
Если объемы понятий a и b находятся в отношении пересечения, т.е. А В, то понятия совместимы.
Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b , т.е. А В и АВ , то говорят, что:
1) понятие а является видовым по отношению к понятию b , а понятие b - родовым по отношению к a ;
2) понятие a уже, чем понятие b , а понятие b шире понятия а ;
3) понятие а есть частный случай понятия b , а понятие b есть обобщение понятия а.
Например, если а - «прямоугольник», b - «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения: А В и АВ , поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».
Если объемы понятий равны, т.е. А=В, то говорят, что понятия а и b тождественны.
Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник» тождественны, так как их объемы совпадают.
Рассмотрим подробнее отношение вида и рода между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».
Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовым являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Например, «параллелограмм».
В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами прямоугольника.
Так как объем понятия является множеством, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера. Установим отношения между некоторыми понятиями и изобразим отношения между их объемами на кругах Эйлера: 1) а -
«целое число»,
b
- «натуральное число», с -
«отрицательное число»; 2) а
- «дерево», b
- «растение», с -
«кустарник».
Решение: Выясним, в каком отношении находятся данные объемы.
1) Целое число может быть как положительным, так и отрицательным. Натуральные числа - это целые положительные. Отрицательные числа могут быть и целыми и дробными. Значит В А, АС, ВС. На кругах Эйлера это выглядит так.
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, ромб имеет 4 угла, 4 стороны, противоположные стороны параллельны. Можно указать и другие свойства, например, диагональ АС расположена горизонтально.
Среди свойств различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.
Существенные свойства: иметь 4 равных стороны, 4 угла.
Несущественные свойства: вершина В лежит напротив вершины D , диагональ АС расположена горизонтально.
Чтобы понимать, что представляет собой данный объект, надо знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.
Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Так, говоря о треугольнике, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками.
Любое понятие имеет объем и содержание.
Определение . Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.
Определение . Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.
Пример . Рассмотрим понятие «параллелограмм». Объем понятия – это множество различных параллелограммов (в том числе и ромбов, прямоугольников, квадратов). В содержание понятия входят такие свойства параллелограммов, как «иметь 4 стороны», «иметь параллельные противоположные стороны», «иметь равные противоположные углы» и т.д.
Между объемом и содержанием понятия существует такая связь: чем «больше» объем понятия, тем «меньше» его содержание и наоборот. Например, объем понятия «ромб» является частью понятия «параллелограмм», а в содержании понятия «ромб» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «параллелограмм». Например, в содержании понятия «ромб» есть свойство «все стороны равны», которого нет в содержании понятия «параллелограмм».
Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами.
Условимся понятия обозначать строчными буквами а , b , с , d ,…, а их объемы соответственно А , В , С , D ,… .
Если объемы понятий а и b не пересекаются, т.е. А Ç В = Æ, то говорят, что понятия а и b несовместимы. Примерами несовместимых понятий являются понятия трапеции и треугольника.
Если объемы понятий а и b пересекаются, т.е. А Ç В ¹ Æ, то говорят, что понятия а и b совместимы. Пример – прямоугольник и ромб.
Если объемы понятий а и b совпадают, т.е. А = В , то говорят, что понятия а и b тождественны. Пример – квадрат и ромб с прямым углом.
Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b , т.е. А Ì В , А ¹ В , то говорят, что:
а) понятие а является видовым по отношению к понятию b , понятие b – родовым по отношению к понятию а ;
б) понятие а уже, чем понятие b , понятие b шире, чем понятие а ;
в) понятие а есть частный случай понятия b , а понятие b – обобщение понятия а .
Пример: понятие «квадрат» – видовое по отношению к понятию «прямоугольник», а понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат».
Остановимся подробнее на последнем отношении.
1) Понятие рода и вида относительны. Одно и то же понятие может быть видовым по отношению к одному понятию и родовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» является родовым по отношению к понятию «квадрат» и видовым по отношению к понятию «параллелограмм».
2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий, среди которых можно указать ближайшее. Например, родовыми для понятия «квадрат» будут понятия «прямоугольник», «параллелограмм», «четырехугольник». Ближайшим среди них будет понятие «прямоугольник».
3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, понятие «ромб» является видовым по отношению к понятию «параллелограмм»; ромбы обладают всеми свойствами, присущими параллелограммам.
Рассмотрим отношения между понятиями «отрезок» и «прямая». Объемы этих понятий не пересекаются, т.к. ни один отрезок нельзя назвать прямой и наоборот. Об этих понятиях можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид. Заметим, что часть не всегда обладает свойством целого. Прямая бесконечна, а отрезок – нет.
Понятие рода и вида.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Понятие рода и вида. |
| Рубрика (тематическая категория) | Логика |
 |
Совершать операции обобщения и ограничения понятий можно только с теми понятиями, которые связаны родо-видовыми отношениями.
Нельзя совершать данные операции с понятиями, которые представляют между собой связь части и целого.
К примеру: факультет – университет; звезда – созвездие и т.д.
2.6. Упражнения
1. Укажите, какие группы слов выражают понятия, а какие – нет.
Студент, светает, человек смеется; человек, который смеется, действие или бездействие; деяние есть действие или бездействие.
2. Определите, какие операции произведены с понятиями и правильно ли они произведены:
парламентская республика → республика → форма правления;
общество → классовое общество → интеллигенция;
юридический факультет – факультет → университет;
море → Балтийское море → Финский залив;
Полярная звезда → созвездие Малой Медведицы → созвездие.
3. Обобщите и ограничьте понятия:
кража, ВУЗ, планет, школа, Уголовный кодекс, воспитание, судья.
4. Укажите ближайший род для следующих понятий:
автократия, клевета͵ студент, преступление, коллектив, понятие.
5. Укажите ближайший вид для следующих понятий:
деяние, коллектив, преступление, дивизия, коллектив МГУ, демократия.
3.Виды понятий
Все понятия можно разделить по следующим признакам:
I. По характеру признаков.
II. По числу элементов объёма понятий.
III. По характеру элементов объёма.
3.1.По характеру признаков.
а) Положительные и отрицательные.
Положительным принято называть понятие, в основном содержании которого встречаются только положительные признаки.
Отрицательным принято называть понятие, в основном содержании которого встречается хотя бы один отрицательный признак.
Понятие "преступление" является положительным, так как в его содержание входят только положительные признаки: "предусмотренность уголовным законом", "быть деянием" и "быть общественно "опасным"; понятие "человек" – положительное, так как признаки: "обладать разумом, речью, способностью к орудийной, целесообразной деятельности" - ϶ᴛᴏ положительные признаки.
Понятие "автократия" – отрицательное, так как будучи разновидностью монархии, при этой форме правления отсутствуют подлинно представительные учреждения, ᴛ.ᴇ. наличествует отрицательный признак.
б) Относительные и абсолютные.
Абсолютным принято называть понятие, в основном содержании которого встречаются только признаки – свойства. К примеру, квадрат - ϶ᴛᴏ прямоугольный равносторонний четырехугольник.
Относительным принято называть понятие, в основном содержании которого встречается хотя бы один признак – отношение.
К примеру: должник – кредитор, истец – ответчик, мать – ребенок и т.п.
3.2. По числу элементов объёма.
а) пустые
б) единичные
Пустым принято называть понятие, объём которого представляет собой пустое множество, ᴛ.ᴇ. не содержит в себе ни одного предмета.
Это – вечный двигатель, круглый квадрат, русалка и др.
Единичным принято называть понятие, в объём которого входит ровно один элемент. Это – "Луна", "первый космонавт", "нынешний президент России".
Общим принято называть понятие, в объём которого входит более одного элемента. Это – "спутник Земли", "президент", "космонавт" и т.д.
3.3. По характеру элементов объёма
а) Собирательные и разделительные.
Собирательным принято называть понятие, элементы объёма которого сами составляют множества однородных объектов.
К примеру, понятие "толпа" является собирательным, поскольку элементами объёма являются отдельные толпы, которые, в свою очередь, состоят из однородных предметов – людей.
Понятие "библиотека" – собирательное, поскольку элементы объёма этого понятия состоят из однородных предметов – книᴦ.
Разделительным принято называть понятие, элементы объёма которых не представляют из себямножеств однородных объектов.
К примеру, человек, студент, стул, логика, преступление и т.п.
б) Абстрактные и конкретные.
Абстрактными называются понятия, элементами объёма которых являются свойства или отношения.
Примеры: "Справедливость", "белизна", "преступность", "отцовство" – все это абстрактные понятия.
Конкретными называются понятия, элементами объёма которых являются сами предметы.
Примеры: "Стул", "стол", "тень", "преступление", "музыка" – все это конкретные понятия.
Понятие рода и вида. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Понятие рода и вида." 2017, 2018.
Род – логическая характеристика класса предметов, в объем которого входят другие классы предметов, являющиеся видами данного рода. Так, класс треугольников является родом в отношении к классам остроугольных треугольников, прямоугольных треугольников и тупоугольных треугольников.
Видом, соответственно, называется каждый класс предметов, который входит в объем более широкого родового класса.
Выделяется высший род (summum genus) и низший вид (infima species). Высший род – это такой род, который уже не может служить видом для другого рода. Соответственно, низший вид – это такой вид, в который входят не меньшие по объему виды, а отдельные индивиды (individuum (лат.) – неделимое, особь). Кроме того, используется понятие ближайший род. Класс, который непосредственно делится на виды, называется по отношению к этим видам ближайшим родом (genus proximum). Например, ближайшим родом для понятий “сосна”, “ель”, “кедр”, “пихта” является понятие “хвойное дерево”. (Отношения рода и вида основываются на принципе гилиморфизма Аристотеля. Суть данного принципа состоит в том, что каждая конкретная вещь обладает формой и материей. При этом материя понимается как некоторый субстрат, а форма – как способ связи элементов этого субстрата. То, что в одном отношении является формой – в другом может быть материей и наоборот.)
Родовое понятие – понятие, которое выражает существенные признаки класса предметов, являющегося родом каких-либо видов. Родовое понятие является подчиняющим понятием, в состав которого входят меньшие по объему видовые понятия.
Видовое понятие – понятие, которое выражает существенные признаки класса предметов, являющегося видом какого-либо рода. Видовое понятие является подчиненным понятием, входящим в состав другого, более общего понятия, которое называется родовым. Так, понятие “европеец” является видовым по отношению к понятию “человек”, которое в данном случае берется как родовое понятие. Всем предметам, отображенным в видовом понятии, присущи все признаки родового понятия, но вместе с тем им присущи и свои видовые признаки. Одно и то же понятие (за исключением высшего родового и низшего видового понятий) может быть как видовым, так и родовым одновременно в зависимости от того, по отношению к какому понятию оно рассматривается. Так, понятие “европеец” является видовым по отношению к понятию “человек” и одновременно родовым – по отношению к понятию “грек”.
2. 5. Виды (классы) понятий
Все понятия могут быть разделены на отдельные виды.
1. Единичные и общие
Единичными (индивидуальными) понятиями называются такие, которые относятся к одному какому-нибудь определенному предмету, событию, отдельному явлению. Объем таких понятий имеет только один элемент. Например, “Петербург”, “Отечественная война 1812 года”.
Общими называются понятия, объем которых включает более одного элемента, например, “четное число” (в объеме бесконечно много элементов), “петербургские вузы” (в объеме несколько элементов).
2. Собирательные и разделительные
Собирательные понятия – это такие понятия, в которых отображены признаки совокупности, собрания, группы однородных предметов, представляющих единое целое, например, “полк”, “собрание”, “человечество”. То, что утверждается в собирательном понятии, относится ко всем предметам, обозначаемым данным понятием, но не может быть приложимо к отдельным предметам, входящим в это целое. Например, в сообщении о том, что “собрание учеников десятого класса проходило очень шумно” понятие “собрание учеников десятого класса” употребляется в собирательном смысле. Это сообщение нельзя распространить на каждого ученика. Возможно, что некоторые ученики не шумели. Собирательные понятия тем отличаются от общих понятий, что ими нельзя характеризовать отдельный предмет, а только их совокупность.
Разделительное понятие – это такое понятие, которое характеризует каждый отдельный член какого-либо класса, но не может быть приложимо к классу в целом. Например, “Студенты второго курса сдали экзамен по философии”. Хотя здесь говорится обо всех студентах, но экзамен сдавал каждый.
3. Конкретные и абстрактные
Если элемент объема – предмет (материальный или идеальный), явление, ситуация, то понятие конкретное. Если же элементом является свойство или отношение – понятие абстрактное. Например, понятия: “дружба”, “параллельность”, “работоспособность” являются абстрактными, так как в них мыслятся отношения или свойства. Понятия же “идеализм”, “вечный двигатель”, “революция” – конкретные, потому что в них мыслятся предметы, события пусть даже не существующие.
4. Положительные и отрицательные
Положительным называется такое понятие, которое отображает наличие в предмете того или иного качества (например, “красивый”, “высокий”, “здоровый”).
Отрицательным называется такое понятие, которое отображает отсутствие в предмете того или иного качества (например, “некрасивый”, “невысокий”, “нездоровый”). Следует отметить, что с логической точки зрения понятие “неумный” является отрицательным, а понятие “глупый” – положительным, ибо в нем указывается на наличие, а не отсутствие признака, хотя этот признак может быть плохим с чьей-то точки зрения.
5. Относительные и безотносительные
Относительными называются такие понятия, в содержании которых имеется признак, прямо указывающий на отношение к какому-то другому предмету. Например, “сосед” – понятие относительное, потому что сосед это – человек, проживающий рядом с каким-нибудь другим человеком, или предмет, занимающий ближайшее к какому-то другому предмету место. Во всех относительных понятиях обобщаются предметы, рассматриваемые не сами по себе, а как вступившие в какие-то отношения, как выполняющие некоторые функции.
В содержание безотносительных понятий включены только признаки-свойства, которые присущи или не присущи предмету самому по себе и существенны для него самого по себе. Рассматривая некоторый предмет, безотносительно к чему бы то ни было, мы можем обнаружить у него, например, свойства живого существа с позвоночником, с постоянной температурой тела и молочными железами. На основании этих свойств мы можем считать предмет элементом объемов понятий: “животное”, “позвоночное животное”, “теплокровное животное”, “млекопитающее животное”, каждое из которых является безотносительным.
Любое понятие можно охарактеризовать сразу по всем указанным рубрикам. Например, понятие “рабочий класс” – общее, собирательное, конкретное, положительное, безотносительное. Оно – общее, потому что рабочий класс бывает разный, например, рабочий класс Англии. Оно – собирательное, поскольку элементом объема является, например, рабочий класс Англии XIX в. , который есть множество наемных рабочих. Это понятие – конкретное, так как в нем мыслится не свойство и не отношение, а предмет. Оно – положительное и безотносительное, потому что в его содержании нет отрицательного признака, и признаки его содержания не указывают на отношение к чему-либо.
Всякий математический объект обладает какими-то свойствами. Так, например, треугольник обладает такими свойствами: имеет три стороны; 2) три внутренних угла; 3) шесть попарно равных внешних углов и т. д. Подобные утверждения о наличии или отсутствии у данного объекта какого-либо свойства называются суждениями. Вот еще примеры суждений: 1) четырехугольник имеет две диагонали; 2) за каждым натуральным числом непосредственно следует в натуральном ряду другое натуральное число; 3) четное число делится на два и т. д.
Суждениями являются также предложения, указывающие на отношения или связи объектов, например: "5 больше 3", "АВ является стороной треугольника ABC ", "Угол А не является смежным с углом В " и т. д. А вот вопросы или требования не являются суждениями.?
Среди свойств какого-либо объекта имеются существенные и несущественные для его определения. Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него оно не может существовать. Несущественные свойства - это обычно случайные, их отсутствие, как правило, не влияет на существование объекта. Заметим, что при решении конкретных задач несущественные вообще свойства объектов могут иметь и существенное значение для решения данной задачи.
Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник, изображенный на рис. 3. Его свойства: 1) стороны треугольника АВ и ВС равны; 2) медиана BD перпендикулярна основанию АС и делит угол В пополам - это существенные свойства этого треугольника. А вот свойства: 3) основание АС равнобедренного треугольника ABC горизонтально или 4) вершина равнобедренного треугольника обозначена буквой В - являются несущественными. Если мы как-то повернем этот треугольник и его основание при этом окажется расположено не горизонтально или обозначим вершину какой-то другой буквой, то ведь треугольник не перестанет быть равнобедренным.
Поэтому, чтобы понимать, что это за объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. Следовательно, понятие - это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте.
Заметим, что когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду все множество объектов, обозначаемых одним термином (названием). Так, когда говорят о математическом объекте - треугольнике, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками. Множество всех треугольников составляет объем понятия о треугольнике. Точно так же множество всех натуральных чисел составляет объем понятий о натуральном числе. Следовательно, объем понятия - это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.
Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содержание . Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия. Так, например, объем понятия "равнобедренный треугольник" меньше объема понятия "треугольник", ибо в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.
В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входят много различных существенных свойств этого объекта. Однако, для того чтобы распознать объект, установить, принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта понятия, которые достаточны для распознавания этого объекта, называется определением понятия.
Всякое определение математического понятия строится обычно так: сначала указывается название объекта этого понятия, затем перечисляются такие его существенные свойства, которые позволяют установить, является ли тот или иной предмет объектом данного понятия или нет.
Например, определение параллелограмма: "Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны". Как видим, это определение построено так: сначала указано название объекта определяемого понятия - параллелограмм, затем указаны такие его свойства: 1) параллелограмм - это четырехугольник; 2) противоположные его стороны параллельны. Первое свойство - это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство - это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольника. Вот еще пример определения: "Четными числами называются такие натуральные числа, которые кратны числу 2". Это определение, так же как и предыдущее, построено по такой схеме:
В данном случае мы имеем: название определяемого понятия - четные числа, родовое понятие - натуральные числа, видовые отличия - кратны числу 2.
Определение понятий по этой схеме называется определением через род и видовые отличия.
Иногда в математике встречаются и другие способы определения понятий. Рассмотрим, например, определение треугольника: "Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков". В этом определении указано родовое понятие для треугольника - фигура, а в качестве видового отличия указан способ построения такой фигуры, которая является треугольником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение называется генетическим (от слова генезис - происхождение). Вот еще пример генетического определения: "Симметрией относительно точки называется такое преобразование фигуры F в фигуру F " при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X " фигуры F " , построенной следующим образом: на продолжении отрезка ОХ за точку О откладывается отрезок ОХ " , равный ОХ ". Здесь в качестве видовых отличий преобразования симметрии относительно точки от других видов преобразований указан способ построения точек фигуры F " , симметричной фигуре F относительно точки О .
Встречаются в математике и такие определения, в которых указывается, как можно получить объекты определяемого понятия один за другим по порядку. Например, определение арифметической прогрессии дается таким образом: "Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией". Здесь определяемое понятие - арифметическая прогрессия, родовое понятие - числовая последовательность, в качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число. Это определение можно записать в виде следующей формулы:
Такое определение называется индуктивным (от слова индукция - наведение на умозаключение от частного к общему) или рекуррентным (от слова рекурсия - возвращение).
Однако не все математические понятия могут быть логически определены указанными выше способами. Действительно, каждое определение математического понятия сводит определяемое понятие к более широкому (более общему, т. е. имеющему больший объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит его к еще более широкому понятию и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения одних понятий к более широким, более общим понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным. Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы должны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим, т. е. они логически не определяемы. Такие понятия в математике называются первичными или основными .
Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к понятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим его к понятию многоугольника, затем к понятию геометрической фигуры, которая сводится при определении к понятию точки. Понятие точки уже является не определяемым, т. е. первичным. Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются понятия прямой, плоскости, принадлежать, числа, множества (совокупность) и некоторые другие.
Итак, второе, чему нужно научиться в математике, - это умению строить определения математических понятий каким-либо способом. Это умение довольно сложное, и мы о нем поговорим еще в следующей беседе. А пока выполните следующее задание, чтобы закрепить те сведения, которые вы получили в данной беседе.
Задание 3
3.1. Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а какие несущественными:
а) Две стороны трапеции параллельны.
б) Оба угла при большем основании острые.
в) Сумма углов трапеции, принадлежащих к одной боковой стороне, равна 180°.
г) Основания трапеции горизонтальны.
д) Оба угла при меньшем основании трапеции тупые.
3.2. Как связаны между собой математические объекты и математические понятия?
3.3. Укажите, какие из приведенных ниже предложений являются суждениями, а какие ими не являются:
а) В треугольнике проведены три медианы.
б) Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
в) Чему равно произведение степеней с одинаковыми основаниями?
г) Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
3.4. В приведенных ниже определениях выделите название объектов определяемых понятий, родовое понятие и видовые отличия:
а) Числа, которые можно записать в виде обыкновенных дробей, называются рациональными.
б) Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а .
в) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
г) Если точка О является серединой отрезка АВ , то точки A и В называются симметричными точками относительно точки О .
3.5. Сформулируйте генетическое определение окружности, зная, что она образуется в результате вращения отрезка на плоскости вокруг одного из его концов, второй конец этого отрезка в этом случае описывает окружность.
3.6. Члены последовательности Фибоначчи (ок. 1170-1250) задаются с помощью следующей формулы: а n+2 =а n+1 +a n . Сформулируйте определение этой последовательности. Какое это определение?
3.7. Приводим следующее описание построения перпендикулярных прямых: "Пусть а и b - две пересекающиеся прямые. При их пересечении образуются четыре угла. Пусть α - один из этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом α, либо вертикальным с углом α. Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом, и называем их перпендикулярными ".
На основе этого описания сформулируйте определение перпендикулярных прямых.
3.8. Модуль числа определяется следующей формулой:
Сформулируйте словесное определение модуля числа.
3.9. Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего члена. Запишите это определение с помощью формулы.
3.10. Как вы знаете, равнобедренный треугольник - это такой треугольник, у которого две стороны равны, а правильный треугольник - это такой, у которого все стороны равны. Является ли правильный треугольник равнобедренным?
3.11. Укажите ближайшие родовые понятия для следующих понятий: а) квадрат; б) степень с натуральным показателем; в) вертикальные углы; г) простое число; д)хорда.
3.12. Укажите несколько родовых понятий для понятия ромб.
3.13. Нужно ли (и можно ли) доказывать определения?
