Инструкция

Перед началом доказательства убедитесь, что прямые лежат в одной плоскости и их можно изобразить на ней. Наиболее простым способом доказательства является метод измерения линейкой. Для этого при помощи линейки измерьте расстояние между прямыми в нескольких местах как можно дальше друг от друга. Если расстояние остается неизменным, данные прямые параллельны. Но такой метод недостаточно точен, поэтому лучше используйте другие способы.

Проведите третью прямую, так, чтобы она пересекала обе параллельные прямые. Она образует с ними четыре внешних и четыре внутренних угла. Рассмотрите внутренние углы. Те, которые лежат через секущую прямую называются накрестлежащими. Те, что лежат по одной стороне называются односторонними. При помощи транспортира измерьте два внутренних накрестлежащих угла. Если они равны между собой, то прямые будут параллельными. Если остались сомнения, измерьте односторонние внутренние углы и сложите получившиеся значения. Прямые будут параллельными, если сумма односторонних внутренних углов будет равна 180º.

Если нет транспортира, возьмите угольник с углом 90º. С его помощью постройте перпендикуляр к одной из прямых. После этого продолжите этот перпендикуляр таким образом, чтобы он пересек другую прямую. С помощью того же угольника проверьте, под каким углом этот перпендикуляр пересекает ее. Если этот угол тоже равен 90º, то прямые параллельны между собой.

В том случае, если прямые заданы в декартовой системе координат, найдите их направляющие или нормальные векторы. Если эти векторы, соответственно, между собой коллинеарны, то прямые параллельны. Приведите уравнение прямых к общему виду и найдите координаты нормального вектора каждой из прямых. Его координаты равны коэффициентам А и В. В том случае, если отношение соответствующих координат нормальных векторов одинаково, они коллинеарны, а прямые параллельны.

Например, прямые заданы уравнениями 4х-2у+1=0 и х/1=(у-4)/2. Первое уравнение – общего вида, второе – канонического. Приведите второе уравнение к общему виду. Используйте для этого правило преобразования пропорций, в результате получите 2х=у-4. После приведения к общему виду получите 2х-у+4=0. Поскольку уравнение общего вида для любой прямой записывается Ах+Ву+С=0, то для первой прямой: А=4, В=2, а для второй прямой А=2, В=1. Для первой прямой координаты нормального вектора (4;2), а для второй – (2;1). Найдите отношение соответствующих координат нормальных векторов 4/2=2 и 2/1=2. Эти числа равны, а значит вектора коллинеарны. Поскольку вектора коллинеарны, прямые параллельны.

Эта статья о параллельных прямых и о параллельности прямых. Сначала дано определение параллельных прямых на плоскости и в пространстве, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации параллельных прямых. Далее разобраны признаки и условия параллельности прямых. В заключении показаны решения характерных задач на доказательство параллельности прямых, которые заданы некоторыми уравнениями прямой в прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Навигация по странице.

Параллельные прямые – основные сведения.

Определение.

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Определение.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «». То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать а b .

Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b , а также, что прямая b параллельна прямой a .

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых.

Параллельность прямых - признаки и условия параллельности.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых . В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы . Покажем их на чертеже.

Теорема.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7 -9 классы.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Теорема.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Теорема.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Теорема.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Теорема.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат.

В этом пункте статьи мы сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от вида уравнений, определяющих эти прямые, а также приведем подробные решения характерных задач.

Начнем с условия параллельности двух прямых на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy . В основе его доказательства лежит определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой на плоскости.

Теорема.

Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой.

Очевидно, условие параллельности двух прямых на плоскости сводится к (направляющих векторов прямых или нормальных векторов прямых) или к (направляющего вектора одной прямой и нормального вектора второй прямой). Таким образом, если и - направляющие векторы прямых a и b , а и - нормальные векторы прямых a и b соответственно, то необходимое и достаточное условие параллельности прямых а и b запишется как , или , или , где t - некоторое действительное число. В свою очередь координаты направляющих и (или) нормальных векторов прямых a и b находятся по известным уравнениям прямых.

В частности, если прямую a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает общее уравнение прямой вида , а прямую b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие параллельности прямых a и b запишется как .

Если прямой a соответствует уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямой b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности этих прямых примет вид . Следовательно, если прямые на плоскости в прямоугольной системе координат параллельны и могут быть заданы уравнениями прямых с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты прямых будут равны. И обратно: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат могут быть заданы уравнениями прямой с равными угловыми коэффициентами, то такие прямые параллельны.

Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида и , или параметрические уравнения прямой на плоскости вида и соответственно, то направляющие векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности прямых a и b записывается как .

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Параллельны ли прямые и ?

Решение.

Перепишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения прямой: . Теперь видно, что - нормальный вектор прямой , а - нормальный вектор прямой . Эти векторы не коллинеарны, так как не существует такого действительного числа t , для которого верно равенство (). Следовательно, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, поэтому, заданные прямые не параллельны.

Ответ:

Нет, прямые не параллельны.

Пример.

Являются ли прямые и параллельными?

Решение.

Приведем каноническое уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом: . Очевидно, что уравнения прямых и не одинаковые (в этом случае заданные прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, следовательно, исходные прямые параллельны.

Второй способ решения.

Сначала покажем, что исходные прямые не совпадают: возьмем любую точку прямой , например, (0, 1) , координаты этой точки не удовлетворяют уравнению прямой , следовательно, прямые не совпадают. Теперь проверим выполнение условия параллельности этих прямых. Нормальный вектор прямой есть вектор , а направляющий вектор прямой есть вектор . Вычислим и : . Следовательно, векторы и перпендикулярны, значит, выполненяется необходимое и достаточное условие параллельности заданных прямых. Таким образом, прямые параллельны.

Ответ:

Заданные прямые параллельны.

Чтобы доказать параллельность прямых в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве пользуются следующим необходимым и достаточным условием.

Теорема.

Для параллельности несовпадающих прямых в трехмерном пространстве необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы были коллинеарны.

Таким образом, если известны уравнения прямых в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве и нужно ответить на вопрос параллельны эти прямые или нет, то нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых и проверить выполнение условия коллинеарности направляющих векторов. Другими словами, если и - направляющие векторы прямых a заданных прямых имеют координаты и . Так как , то . Таким образом, выполнено необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых в пространстве. Этим доказана параллельность прямых и .

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Определение 1

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Определение 2

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥ . Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b , или прямая b параллельна прямой а.

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Аксиома

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Теорема 1

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10 - 11 классов).

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Определение 3

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Теорема 2

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7 - 9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

Теорема 3

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

Теорема 4

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

Теорема 5

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

Теорема 6

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Проиллюстрируем:

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Теорема 7

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) являются направляющими векторами прямых a и b ;

и n b → = (n b x , n b y) являются нормальными векторами прямых a и b , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

1. Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; прямая b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты (А 1 , В 1) и (А 2 , В 2) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

1. Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y = k 1 x + b 1 . Прямая b - y = k 2 x + b 2 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты (k 1 , - 1) и (k 2 , - 1) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k 1 = t · k 2 - 1 = t · (- 1) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

1. Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x - x 1 a x = y - y 1 a y и x - x 2 b x = y - y 2 b y или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: a x , a y и b x , b y соответственно, а условие параллельности запишем так:

a x = t · b x a y = t · b y

Разберем примеры.

Пример 1

Заданы две прямые: 2 x - 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Мы видим, что n a → = (2 , - 3) - нормальный вектор прямой 2 x - 3 y + 1 = 0 , а n b → = 2 , 1 5 - нормальный вектор прямой x 1 2 + y 5 = 1 .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t , при котором будет верно равенство:

2 = t · 2 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Пример 2

Заданы прямые y = 2 x + 1 и x 1 = y - 4 2 . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x 1 = y - 4 2 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2 x + 1 , например, (0 , 1) , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x 1 = y - 4 2 , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2 x + 1 это вектор n a → = (2 , - 1) , а направляющий вектором второй заданной прямой является b → = (1 , 2) . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 = 0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Теорема 8

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t , чтобы выполнялось равенство:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Пример 3

Заданы прямые x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a → и b → заданных прямых имеют координаты: (1 , 0 , - 3) и (2 , 0 , - 6) .

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Параллельные прямые. Свойства и признаки параллельных прямых

1. Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

2. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

4. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные при этом внутренние накрест лежащие углы равны; соответственные углы равны; внутренние односторонние углы в сумме составляют 180°.

5. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.

6. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.

7. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема Фалеса . Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.

Теорема о пропорциональных отрезках . Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные отрезки.

Треугольник. Признаки равенства треугольников .

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. По двум катетам.

2. По катету и гипотенузе.

3. По гипотенузе и острому углу.

4. По катету и острому углу.

Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.

3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна

4. Сумма внешних углов га-угольника равна 360°.

5. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

6. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.

7. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки - медиана, биссектриса, высота, то он является равнобедренным.

Неравенство треугольника и следствия из него

1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало

первого звена с концом последнего.

3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то

1) перпендикуляр короче наклонных;

2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

Средняя линия треугольника.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Теорема о средней линии треугольника .

Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.

Теоремы о медианах треугольника

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.

2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника . Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Теорема о высотах треугольника . Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Теорема о биссектрисах треугольника . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Свойство биссектрисы треугольника . Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.

Площади подобных треугольников

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

В прямоугольном треугольнике

1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.

2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к этому катету острого угла.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.

5. R = ; г = , где а, b - катеты, а с - гипотенуза прямоугольного треугольника; г и R - радиусы вписанной и описанной окружности соответственно.

Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора

1. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

2. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник - прямоугольный.

Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

Метрические соотношения в треугольнике

1. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

3. Формула для медианы треугольника. Если m - медиана треугольника, проведенная к стороне с, то m = , где а и b - остальные стороны треугольника.

4. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

5. Обобщённая теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

Формулы площади треугольника

1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

4. Площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус описанной окружности.

5. Формула Герона: S=, где p - полупериметр; а, b, с - стороны треугольника.

Элементы равностороннего треугольника . Пусть h, S, r, R - высота, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной а. Тогда
Четырёхугольники

Параллелограмм. Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства и признаки параллелограмма .

1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.

4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

5. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

6. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

7. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Свойство середин сторон четырёхугольника . Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырёхугольника.

Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.

Свойства и признаки прямоугольника.

1. Диагонали прямоугольника равны.

2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

Ромб. Ромбом называется четырёхугольник, все стороны которого равны.

Свойства и признаки ромба.

1. Диагонали ромба перпендикулярны.

2. Диагонали ромба делят его углы пополам.

3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб.

4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб.

Трапеция. Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Замечательное свойство трапеции . Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Равнобедренная трапеция . Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции.

1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали - полусумме оснований.

Формулы площади четырёхугольника

1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

2. Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.

3. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.

4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

6. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

7. Формула Герона для четырёхугольника, около которого можно описать окружность:

S = , где а, b, с, d - стороны этого четырёхугольника, p - полупериметр, а S - площадь.

Подобные фигуры

1. Отношение соответствующих линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия.

2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Правильный многоугольник .

Пусть а n - сторона правильного n-угольника, а г n и R n - радиусы вписанной и описанной окружностей. Тогда

Окружность.

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же положительное расстояние.

Основные свойства окружности

1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

2. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

3. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

4. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

5. Хорды окружности, удалённые от центра на равные расстояния, равны.

6. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

7. Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны.

8. Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.

9. Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

Касательная к окружности . Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.

1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

2. Если прямая а, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то прямая а - касательная к окружности.

3. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в точках А и В, то MA = MB и ﮮАМО = ﮮВМО, где точка О - центр окружности.

4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Касающиеся окружности . Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания).

1. Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.

2. Окружности радиусов г и R с центрами О 1 и О 2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + г = O 1 O 2 .

3. Окружности радиусов г и R (г

4. Окружности с центрами О 1 и O 2 касаются внешним образом в точке К. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А и В и пересекается с общей касательной, проходящей через точку К, в точке С. Тогда ﮮАК В = 90° и ﮮО 1 СО 2 = 90°.

5. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов г и R равен отрезку общей внутренней касательной, заключённому между общими внешними. Оба эти отрезка равны .

Углы, связанные с окружностью

1. Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося.

2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.

5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

6. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой величины дуги, высекаемой на окружности этой хордой.

Свойства хорд окружности

1. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

2. Произведения длин отрезков хорд АВ и CD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть АЕ ЕВ = СЕ ED.

Вписанные и описанные окружности

1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, - середина гипотенузы.

3. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

4. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.

5. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.

7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.

8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.

Теорема о касательной и секущей и следствие из неё

1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

2. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

Длина окружности радиуса R равна C= 2πR

ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

§ 35. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ.

Теорема о том, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны (§ 33), даёт признак параллельности двух прямых. Можно вывести более общие признаки параллельности двух прямых.

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и / 1 = / 2. Возьмём точку О - середину отрезка КL секущей ЕF (черт. 189).

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ_|_МN. Докажем, что и СD_|_МN.
Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: / 1 = / 2 по условию теоремы; ОK = ОL - по построению;
/ МОL = / NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, /\ МОL = /\ NОК, а отсюда и
/ LМО = / КNО, но / LМО прямой, значит, и / КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны (§ 33), что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например / 3 = / 2 (черт. 190);
/ 3 = / 1, как углы вертикальные; значит, / 2 будет равен / 1. Но углы 2 и 1 - внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на чертеже 191. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (черт. 192).

Пусть / 1 и / 2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d .
Но / 3 + / 2 = 2d , как углы смежные. Следовательно, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Отсюда / 1 = / 3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2 d, то эти две прямые параллельны.

Упражнение.

Доказать, что прямые параллельны:
а) если внешние накрест лежащие углы равны (черт. 193);
б) если сумма внешних односторонних углов равняется 2d (черт. 194).