Согласно этому методу средняя рассчитывается по следующей формуле.

x 0 – значение условного нуля

h – ширина интервала

m 1 – условный момент первого порядка

Расчет средней арифметической способом условных моментов применяется для расчета средних в интервальных вариационных рядах.

13. Показатели вариации. При изучении варьирующего признака у единиц совокупности нельзя ограничиваться лишь расчетом средней величины из отдельных вариантов, так как одна и та же средняя может относиться далеко не к одинаковым по составу совокупностям.

Вариацией признака называется различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Термин «вариация» произошел от латинского variatio – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации. Чем больше вариация, тем дальше в среднем отдельные значения лежат друг от друга.

Различают вариацию признака в абсолютных и относительных величинах.

К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия. Все абсолютные показатели имеют ту же размерность, что и изучаемые величины.

К относительным показателям относятся коэффициенты осцилляции, линейного отклонения и вариации.

Показатели абсолютные. Рассчитаем абсолютные показатели, характеризующие вариацию признака.

Размах вариации, представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака.

R = Xmax – Xmin.

(6.1)

Показатель размаха вариации не всегда применим, так как он учитывает только крайние значения признака, которые могут сильно отличаться от всех других единиц.

Более точно можно определить вариацию в ряду при помощи показателей, учитывающих отклонения всех вариантов от средней арифметической.

Таких показателей в статистике два: среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение (L) представляет собой среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от средней.

Практическое использование среднего линейного отклонения заключается в следующем, с помощью этого показателя анализируется состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов.

Недостаток этого показателя заключается в том, что он усложняет расчеты вероятного типа, затрудняет применение методов математической статистики.

Среднее квадратическое отклонение () является наиболее распространенным и общепринятым показателем вариации. Оно несколько больше среднего линейного отклонения. Для умеренно асимметричных распределений установлено следующее соотношение между ними

т.е. среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из средней арифметической квадратов отклонений от средней.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше σ, тем лучше среднее арифметическое отражает собой всю представляемую совокупность.

Средняя арифметическая из квадратов отклонений вариантов значений признака от средней величины носит название дисперсии (), которая рассчитывается по формулам

Отличительной особенностью данного показатели является то, что при возведении в квадрат () удельный вес малых отклонений уменьшается, а больших увеличивается в общей сумме отклонений.

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить её вычисление:

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

Если , то и .

Тогда .

2. Если все варианты значений признака (x) уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится.

Пусть , но тогда в соответствии со свойствами средней арифметической и .

Дисперсия в новом ряду будет равна

Т.е. дисперсия в ряду равна дисперсии первоначального ряда .

3. Если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшится в k2 раз.

Пусть , тогда и .

Дисперсия же нового ряда будет равна

4. Дисперсия, рассчитанная по отношению к средней арифметической, является минимальной. Средний квадрат отклонений, рассчитанный относительно произвольного числа , больше дисперсии, рассчитанной по отношению к средней арифметической, на квадрат разности между средней арифметической и числом , т.е. . Дисперсия от средней имеет свойство минимальности, т.е. она всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин. В этом случае, когда приравниваем к 0 и, следовательно, не вычисляем отклонения, формула принимает такой вид:

(6.9)

Выше был рассмотрен расчет показателей вариации для количественных признаков, но в экономических расчетах может ставиться задача оценки вариации качественных признаков. Например, при изучении качества изготовленной продукции, продукцию можно разделить на качественную и бракованную.

В таком случае речь идет об альтернативных признаках.

Альтернативными признаками называются такие, которыми одни единицы совокупности обладают, а другие нет. Например, наличие производственного стажа у абитуриентов, ученая степень у преподавателей ВУЗов и т.д. Наличие признака у единиц совокупности условно обозначаем через 1, а отсутствие – 0. Тогда, если долю единиц, обладающих признаком (в общей численности единиц совокупности), обозначить через р, а долю единиц, не обладающих признаком, через q, дисперсию альтернативного признака можно рассчитать по общему правилу. При этом p + q = 1 и, значит, q = 1– p.

Сначала рассчитываем среднее значение альтернативного признака:

Рассчитаем среднее значение альтернативного признака

,

т.е. среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих данным признаком.

Дисперсия же альтернативного признака будет равна:

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равняется произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

А среднее квадратическое отклонение будет равно = .

Показатели относительные. Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, выраженные в относительных величинах. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане.

Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Различают следующие относительные показатели вариации:

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

3. Коэффициент вариации оценивает типичность средних величин.

.

(6.12)

Чем меньше , тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя. Если ≤33%, то распределение близко к нормальному, а совокупность считается однородной. Из приведенного примера вторая совокупность однородна.

14. Изменение социально-экономических явлений во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических рядов.

Ряды динамики - это значения статистических показателей, которые представлены в определенной хронологической последовательности.

Каждый динамический ряд содержит две составляющие:

1) показатели периодов времени (годы, кварталы, месяцы, дни или даты);

2) показатели, характеризующие исследуемый объект за временные периоды или на соответствующие даты, которые называют уровнями ряда.

По времени различают моментные и интервальные ряды динамики .

В моментных рядах уровни выражают состояние явления на критический момент времени – начало месяца, квартала, года и т.д. Например, численность населения, численность работающих и т.д. В такихрядах каждый последующий уровень полностью или частично содержит значение предыдущего уровня, поэтому суммировать уровни нельзя, так как это приводит к повторному счету.

В интервальных – уровни отражают состояние явления за определенный период времени – сутки, месяц, год и т.д. Это ряды показателей объема производства, объема продаж по месяцам года, количества отработанных человеко-дней и т.д.

По форме представления уровней различают ряды абсолютных, относительных и средних величин .

Абсолютное изменение уровней - в данном случае его можно назвать абсолютным приростом - это разность между сравниваемым уровнем и уровнем более раннего периода, принятым за базу сравнения. Если эта база непосредственно предыдущий уровень, показатель называют цепным, если за базу взят, например, начальный уровень, показатель называют базисным. Формулы абсолютного изменения уровня:

Если абсолютное изменение отрицательно, его следует называть абсолютным сокращением.

Ускорение - это разность между абсолютным изменением за данный период и абсолютным изменением за предыдущий период одинаковой длительности:

Показатель абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте, но не в базисном. Отрицательная величина ускорения говорит о замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда.

Коэффициент роста Ki определяется как отношение данного уровня к предыдущему или базисному, показывает относительную скорость изменения ряда. Если коэффициент роста выражается в процентах, то его называют темпом роста.

Коэффициент роста

базисный -

Или же темпом прироста.

Значения цепных темпов прироста, рассчитанных каждый к своей базе, различаются не только числом процентов, но и величиной абсолютного изменения, составляющей каждый процент. Поэтому складывать или вычитать цепные темпы прироста нельзя. Абсолютное значение 1% прироста равно сотой части предыдущего уровня, или базисного уровня.

В общем виде темп роста одной из альтернативных долей зависит от темпа роста другой доли и величины этой доли следующим образом:

Абсолютное изменение долей в пунктах зависит от величины доли и темпа роста таким образом:

При наличии в совокупности не двух, а более групп абсолютное изменение каждой из долей в пунктах зависит от доли этой группы в базисный период и от соотношения темпа роста абсолютной величины объемного признака этой группы со средним темпом роста объемного признака во всей совокупности. Доля f-й группы в сравниваемый (текущий) период определяется как

Средние показатели динамики - средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средние темпы роста - характеризуют тенденцию.

Средний уровень интервального ряда динамики определяется как простая арифметическая средняя из уровней за равные промежутки времени:

или как взвешенная арифметическая средняя из уровней за неравные промежутки времени, длительность которых и является весами.

Особая форма средней арифметической величины, называемой хронологической средней:

Если известны точные даты изменения уровней моментного ряда то средний уровень определяется как

где ti - время, в течение которого сохранялся уровень.

Средний абсолютный прирост (абсолютное изменение) определяется как простая арифметическая средняя из абсолютных изменений за равные промежутки времени (цепных абсолютных изменений) или как частное от деления базисного абсолютного изменения на число осредняемых отрезков времени от базисного до сравниваемого периода:

Средний темп изменения определяется наиболее точно при аналитическом выравнивании динамического ряда по экспоненте. Если можно пренебречь колеблемостью, то средний темп определяют какгеометрическую среднюю из цепных темпов роста за п лет или из общего (базисного) темпа роста за п лет:

Средний коэффициент роста () рассчитывается по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды:

где Кр1 , Кр2 , ..., Кр n-1 - коэффициенты роста по сравнению с предыдущим периодом; n - число уровней ряда.

Средний коэффициент роста можно определить иначе:

ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЯДОВ ДИНАМИКИ

При изучении динамики используются различные показатели и методы анализа, как элементарные, более простые, так и более сложные, требующие соответственно применения более сложных разделов математики. Простейшими показателями анализа, которые используются при решении ряда задач, в первую очередь при измерении скорости изменения уровня ряда динамики, являются абсолютный прирост, темпы роста и прироста, а также абсолютное значение (содержание) одного процента прироста. Расчет этих показателей основан на сравнении между собой уровней ряда динамики. При этом уровень, с которым производится сравнение, называется базисным, так как он является базой сравнения. Обычно за базу сравнения принимается либо предыдущий, либо какой-либо предшествующий уровень, например первый уровень ряда. Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными, так как они представляют собой как бы звенья «цепи», связывающей между собой уровни ряда. Если же все уровни связываются с одним и тем же уровнем, выступающим как постоянная база сравнения, то полученные при этом показатели называются базисными. Часто построение ряда динамики начинают с того уровня, который будет использован в качестве постоянной базы сравнения. Выбор этой базы должен быть обоснован историческими и социально-экономическими особенностями развития изучаемого явления. В качестве базисного целесообразно брать какой-либо характерный, типичный уровень, например конечный уровень предыдущего этапа развития (или средний его уровень, если на предыдущем этапе уровень то повышался, то понижался). Абсолютныш прирост показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, т. е. за тот или иной промежуток (период) времени. Абсолютный прирост равен разности между сравниваемыми уровнями и измеряется в тех же единицах, что и эти уровни: ? =yi?yi?1; ? =yi ?y0 , где уi – уровень i-го года; yi-1 – уровень предшествующего года; y0 – уровень базисного года. Если уровень уменьшился по сравнению с базисным, то ? ‹ 0; он характеризует абсолютное уменьшение уровня. Абсолютный прирост за единицу времени (месяц, год) измеряет абсолютную скорость роста (или снижения) уровня. Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных приростов равна соответствующему базисному приросту, т. е. общему приросту за весь период. Более полную характеристику роста можно получить только тогда, когда абсолютные величины дополняются относительными. Относительными показателями динамики являются темпы роста и темпы прироста, характеризующие интенсивность процесса роста. Темп роста (Тр) – статистический показатель, который отражает интенсивность изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным, а в случае уменьшения – какую часть базисного уровня составляет сравниваемый уровень; измеряется отношением текущего уровня к предыдущему или базисному: Как и другие относительные величины, темп роста может быть выражен не только в форме коэффициента (простого отношения уровней), но и в процентах. Как и абсолютные приросты, темпы роста для любых рядов динамики сами по себе являются интервальными показателями, т. е. характеризуют тот или иной промежуток (интервал) времени. Между цепными и базисными темпами роста, выраженными в форме коэффициентов, существует определенная взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста за весь соответствующий период, например: y2/ y1 y3/ y2 = y3/ y1 . Темп прироста (Тпр) характеризует относительную величину прироста, т. е. представляет собой отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню: Темп прироста, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, принятым за 100 %. При анализе темпов развития никогда не следует упускать из виду, какие абсолютные величины – уровни и абсолютные приросты – скрываются за темпами роста и прироста. Нужно, в частности, иметь в виду, что при снижении (замедлении) темпов роста и прироста абсолютный прирост может возрастать. В связи с этим важно изучать еще один показатель динамики – абсолютное значение (содержание) 1 % прироста, который определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста: Эта величина показывает, сколько в абсолютном выражении дает каждый процент прироста. Иногда уровни явления за одни годы несопоставимы с уровнями за другие годы из-за территориальных, ведомственных и иных изменений (изменения методологии учета и исчисления показателей и т. п.). Чтобы обеспечить сопоставимость и получить пригодный для анализа временной ряд, нужно произвести прямой пересчет уровней, несопоставимых с другими. Однако иногда нет необходимых для этого данных. В таких случаях можно использовать особый прием, называемый смыканием рядов динамики. Пусть, например, произошло изменение границ территории, по которой изучалась динамика развития какого-то явления в i-м году. Тогда данные, полученные до этого года, окажутся несопоставимы с данными за последующие годы. Чтобы сомкнуть эти ряды и получить возможность анализа динамики ряда за весь период, примем в каждом из них за базу сравнения уровень i-го года, за который есть данные как в прежних, так и в новых границах территории. Эти два ряда с одинаковой базой сравнения можно затем заменить одним сомкнутым рядом динамики. По данным сомкнутого ряда можно вычислить темпы роста по сравнению с любым годом, можно рассчитать и абсолютные уровни за весь период в новых границах. Тем не менее надо иметь в виду, что результаты, полученные путем смыкания рядов динамики, содержат в себе некоторую погрешность. Графически динамика явлений наиболее часто изображается в виде столбиковых и линейных диаграмм. Применяются и другие формы диаграмм: фигурные, квадратные, секторные и т. п. Аналитические графики обычно строятся в виде линейных диаграмм.

16. Экономические и хозяйственные процессы в предприятии находятся в непрерывном развитии. Их изменение во времени можно изучить при помощи построения и анализа рядов динамики.

Ряд динамики – числовые значения показателя, представленные во временной последовательности. Он состоит из двух граф: в первой указываются периоды (или даты), во второй – показатели, характеризующие изучаемый объект за эти периоды (или на эти даты).

В связи с этим ряды динамики могут быть двух видов: интервальные (данные о годовом надое молока за ряд лет) и моментные (данные о стоимости основных средств предприятия на начало года).

Для изучения интенсивности изменения уровней ряда во времени исчисляются следующие показатели динамики.

Представленные показатели динамики можно исчислять с переменной или постоянной базой. Если производится сравнение каждого уровня с предыдущим уровнем, то получаются показатели динамики с переменной базой (цепные показатели динамики). Если каждый уровень сравнивается с начальным уровнем, то получаются показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели динамики).

Абсолютный прирост показывает, на сколько в абсолютном выражении (руб., га, чел., ц) уровень текущего периода больше (меньше) базисного.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз уровень текущего периода больше (или меньше) базисного.

Темп роста – это коэффициент роста, выраженный в процентах; показывает сколько процентов уровень текущего периода составляет по отношению к уровню базисного периода.

Темп прироста – показывает, на сколько процентов уровень текущего периода больше (+), или меньше (-) уровня базисного периода.

Абсолютное значение 1% прироста показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем – одним процентом прироста.

Методы расчета показателей динамики представлены в таблице 1, они одинаковы для моментных и для интервальных рядов.

Таблица 1 – Показатели динамики

Показатель	Метод расчета
с переменной базой (цепные)	с постоянной базой (базисные)
1. Абсолютный прирост (Δ)
2. Коэффициент роста (К Р )
3. Темп роста (Т Р ), %
4. Темп прироста (Т П ), %
5. Абсолютное значение 1% прироста (А )

где: у i – уровень любого периода (кроме первого), называемый уровнем текущего периода;

у i-1 – уровень периода, предшествующего текущему;

у k – уровень, принятый за постоянную базу сравнения (часто начальный уровень).

17-21. 1. Понятие индексов, классификация индексов

Индексы относятся к важнейшим обобщающим показателям. Слово «индекс» в переводе означает показатель, указатель. Оно используется как понятие в математике, экономике, в метрологии и др. науках.

Статистический индекс - это относительная величина, используемая для сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц во времени пространстве или по сравнению с эталоном. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию. Например, данные о количестве произведенных и реализованных различных видов продовольственных или непродовольственных товаров в натуральном выражении. Бессмысленно для получения общего объема реализации суммировать, например, данные о продаже тканей (в метрах), костюмов (в штуках), обуви (в парах) и т.д.

Основой индексного метода при определении изменений, например, в производстве и обращении товаров является переход от натурально-вещественной формы выражения товарных масс к стоимостным, трудовым или затратным измерителям. Поскольку не смотря на различия потребительных стоимостей отдельных товаров, все они являются результатом труда и поэтому могут быть выражены общей мерой через стоимость, трудовые затраты и издержки производства.

Все индексы можно классифицировать по следующим признакам: по охвату явлений (элементов совокупности) они делятся на индивидуальные и общие, по содержанию индексируемых величин - объемные и качественные, по форме построения - на агрегатные и средние из индивидуальных (среднеарифметические взвешенные и среднегармонические взвешенные), по базе сравнения - динамические (цепные, базисные) и территориальные, по применяемым весам - с постоянными весами, с переменными весами, по составу - индексы переменного состава и индексы постоянного состава, по периодам исчисления - годовые, квартальные, месячные, недельные.

2. Индивидуальные и общие индексы

Введем обозначения:

i - индивидуальные (простые, одинарные) индексы;

I - сводные общие индексы.

Буквы для обозначения признаков могут быть любыми, но чаще всего обозначают:

р - цена единицы продукции;

z - себестоимость единицы продукции;

q - физический объем продукции произведенной, проданной и потребленной;

f - заработная плата;

w - производительность труда (средняя выработка);

t - трудоемкость изготовления единицы продукции;

Т - общие затраты труда (tq), (человеко-часов, человеко-дней, человек);

Z - общие издержки производства (zq) на продукцию данного вида;

Р - общая стоимость произведенной продукции (pq) данного вида.

Отчетные данные (которые сравнивают) в статистике обозначают подстрочным значком «1», базисные (с которыми сравнивают) - «О». В качестве баз в индексных отношениях могут выступать плановые данные, данные за предшествующие периоды, данные по другим аналогичным объектам.

Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложной совокупности, представляют собой относительные величины динамики, выполнения плана, сравнения. Их расчет не требует знания специальных правил. Они вычисляются просто как темпы роста. Если требуется, например, показать по каждому товару динамику цены или объема, то берут соответствующую величину отчетного периода и делят на величину базисного периода.

Индивидуальный индекс физического объема

Индивидуальный индекс цены

Индивидуальный индекс товарооборота

Общие индексы отражают изменения, служат для характеристики изменения всех элементов сложного явления. Если индексы охватывают часть элементов сложного явления, то их называют групповыми или субиндексами .

Важной особенностью общих индексов является то, что они обладают синтетическими и аналитическими свойствами. Синтетические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода производится соединение (агрегирование) в целое единиц статистической совокупности. Аналитические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя. На основе изучения состава и роли факторов, выявления силы их действия, осуществляются возможности квалифицированного управления развитием экономических процессов не только в нужном направлении, но и с заранее заданными параметрами.

Пример 1. Имеются следующие данные (гр. 1-5)

Товары	Базисный период	Отчетный период	Индивидуальные индексы	Товарооборот, тыс. руб.	Индивидуальный индекс товарооборота
Кол-во товаров, тыс. шт.,	Цена единицы, руб.	Кол-во товаров, тыс. шт.,	Цена единицы, руб.	Цены	Количества	Базисный период	Отчетный период
А В					20/6= =3,333 30/15==2,000	50/40==1,25 600/500= =1,2	40х6= =240 500х15= =7500	50х20= 600х30= =18000	1000/240=4,167 18000/7500=2,4
	Х	Х	Х	Х	Х	Х	∑p 0 q 0 =7740	∑p 1 q 1 =19000	Х

Определить индивидуальные индексы (i p , i q , i pq) общие индексы ( , J p , J pq).

1. Величины индивидуальных индексов см. гр.6,7,10. Выражаются индексы в коэффициентах или в виде процентов.

В статистике часто приходится иметь дело с такими показателями, которые связаны между собой, как сомножители связаны с произведением. Например, товарооборот равен произведению цены на физический объем товарооборота. Связь между индивидуальными индексами в таких случаях, такая же, как между соответствующими показателями:

Такая взаимосвязь дает возможность по двум имеющимся индексам находить третий. Такие индексы называются сопряженными и образуют систему взаимосвязанных индексов.

Индивидуальный индекс товарооборота в данном случае можно определить двумя способами (см. гр. 10):

Общие индексы можно определить тремя способами: 1) по агрегатной формуле; 2) по формуле средневзвешенного индекса и 3) на основе взаимосвязи индексов. В зависимости от цели исследования используют ту или иную форму построения.

3. Агрегатные индексы

Агрегатный индекс характеризует среднее изменение сложного явленная. Латинское слово «агрегат» (aggregatus) означает «складываемый», суммируемый. Особенность этой формы индекса состоит в том, что в агрегатной форме сравниваются две суммы одноименных показателей. Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Индексируемой величиной называется признак, изменение которого изучается. Вес индекса - это величина, служащая для целей соизмерения индексируемых величин.

Каждый экономический индекс решает определенную задачу. Экономическое содержание индекса предопределяет методику его расчета. Методика построения агрегатного индекса предусматривает решение трех вопросов:

1. Какая величина будет индексируемой;

2. По какому составу разнородных элементов явления необходимо исчислить индекс;

3. Что будет служить весом при расчете индекса.

При выборе веса индекса принято руководствоваться правилом: если строится индекс количественного показателя, то веса берутся за базисный период, при построении индекса качественного показателя используются веса отчетного периода. Количественные (объемные) индексы характеризуют изменение экстенсивных факторов, например, всевозможных количеств. К ним относятся все индексы физического объема: физического объема товарооборота, ВВП, объема продаж валюты и др.

Качественные индексы - это индексы цен, себестоимости, производительности труда, курса валют и др. Индексируемые величины этих индексов - качественные (интенсивные) показатели, характеризующие уровень явления в расчете на единицу совокупности (цена единицы продукции, себестоимость единицы продукции др.).

Построим три агрегатных индекса: индекс товарооборота, индекс цены и индекс физического объема товарооборота.

Товарооборот отчетного периода в отчетных ценах

Товарооборот базисного периода в базисных ценах

, 245,5%

это значит, что товарооборот вырос в среднем в 2,455 раза, что в абсолютном выражении составит

Тыс. руб.

Аналогично рассчитываются индексы стоимости произведенной продукции, стоимости потребленной продукции и др.

Из этой формулы общего индекса товарооборота видно, что его величина зависит от изменения двух факторов:

Физического объема товарооборота (количества проданных товаров),

Р цены за каждую единицу реализованных товаров.

Чтобы выявить влияние каждой переменной в отдельности следует исключить влияние одной их них, то есть принять ее условно в качестве постоянной величины на уровне отчетного или базисного периодов.

Общее изменение цен можно определить при условии, что в качестве постоянной величины (весов) взято количество проданных товаров за отчетный или базисный периоды.

Товарооборот отчетного периода в базисных ценах

Это агрегатный индекс Г.Пааше (по имени немецкого ученого предложившего этот индекс).

Индекс Пааше показывает, как изменился уровень цен на товарную массу, которую население купило в отчетном периоде и каков выигрыш (потери) населения от снижения (повышения) цен на товары. В примере 1

Это значит, что цены в среднем по двум товарам выросли в отчетном периоде по сравнению с базисным в 2,043 раза и потери, которые несет население от роста цен составляют:

Тыс. руб.

Можно также сказать, что товарооборот вырос вследствие среднего роста цен на 9700 тыс. руб. в отчетном периоде по сравнению с базисным. Можно определить индекс цен и по формуле Ласпейреса, если веса (количество товаров) взяты в базисном периоде.

Индекс Э. Ласпейреса, показывает, как в среднем изменились цены на товары, проданные в базисном периоде. Разность между числителем и знаменателем этого индекса дает представление об условном изменении объема товарооборота при продаже в предстоящем периоде такого же количества товаров, что в базисном, но по новым ценам

Этот индекс применяют при прогнозировании изменения объема товарооборота в связи с намечаемыми изменениями цен на товары в предстоящем периоде.

Идеальный индекс Фишера - средняя геометрическая из произведения двух агрегатных индексов Ласпейреса и Паше

Агрегатный индекс физического объема товарооборота должен отражать изменение физического объема в отчетном периоде по сравнению с базисным, и поэтому при его построении в качестве весов берутся цены отчетного периода или сопоставимые (базисные) цены.

Товарооборот базисного периода в сопоставимых (базисных) ценах

Это индекс Ласпейреса

В примере 1

120,2%.

Это значит, что в отчетном периоде по сравнению с базисным физический объем товарооборота увеличился в среднем на 20,2%, что в абсолютном выражении составило:

Тыс. руб.

Это значит, что в отчетном периоде по сравнению с базисным товарооборот вследствие изменения только объемов проданных товаров вырос в среднем на 1560 тыс. руб.

Можно определить I q и по формуле Пааше

Взаимосвязь общих индексов. Взаимосвязь между общими индексами такая же как между соответствующими показателями не всегда, а лишь в том случае, когда предположения об изменении весов сопоставимы. Например,

Если 2 фактора, то

11260=9700 + 1560

Если более 2-х факторов, то схема следующая:

1. Сначала выбираем очередность изменения факторов, учитывая, что качественные индексы строятся на весах отчетного периода, а объемные – на весах базисного периода.

3. Вычисляем 2-ой индекс в предположении, что после изменения 1-го фактора меняется 2-й.

4. Вычисляем 3-й индекс в предположении, что после изменения первых двух факторов меняется третий и т.д.

Системы агрегатных индексов

Уравнение связи	Качественные индексы	Объемные индексы	Индексы результативной величины	Системы взаимосвязанных индексов

4. Средневзвешенные индексы

Средневзвешенные индексы исчисляются тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитывать общий агрегатный индекс.

В статистической практике средние индексы рассчитываются преимущественно в форме среднего арифметического и среднего гармонического индексов:

где - индивидуальные индексы изучаемого показателя (индексируемой величины);

Веса соответственно в среднем арифметическом и среднем гармоническом индексах.

Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при

Свойство 2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: для несгруппированных данных и для рядов распределения.

Это свойство означает, что сумма положительных отклонений равна сумме отрицательных отклонений, т.е. все отклонения, обусловленные случайными причинами взаимно погашаются.

Свойство 3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное: для несгруппировочных данных и для рядов распределения. Это свойство означает, что сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической всегда меньше суммы отклонений вариантов признака от любого другого значения, даже мало отличающегося от средней.

Второе и третье свойство средней арифметической применяются для проверки правильности расчета средней величины; при изучении закономерностей изменения уровней ряда динамики; для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.

Все три первых свойства выражают сущностные черты средней как статистической категории.

Следующие свойства средней рассматриваются как вычислительные, поскольку они имеют некоторое прикладное значение.

Свойство 4. Если все веса (частоты) разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая не изменится, поскольку это сокращение в равной степени коснется и числителя и знаменателя формулы расчета средней.

Из этого свойства вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Если все веса равны между собой, то вычисление средней арифметической взвешенной можно заменить вычислением средней арифметической простой.

Следствие 2 . Абсолютные значения частот (весов) можно заменять их удельными весами.

Свойство 5. Если все варианты разделить или умножить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая уменьшиться или увеличиться в d раз.

Свойство 6. Если все варианты уменьшить или увеличить на постоянной число A, то и со средней произойдут аналогичные изменения.

Прикладные свойства средней арифметической можно проиллюстрировать, применив способ расчета средней от условного начала (способ моментов).

Средняя арифметическая способом моментов вычисляется по формуле:

где А – середина какого-либо интервала (предпочтение отдается центральному);

d – величина равновеликого интервала, или наибольший кратный делитель интервалов;

m 1 – момент первого порядка.

Момент первого порядка определяется следующим образом:

.

Технику применения этого способа расчета проиллюстрируем по данным предшествующего примера.

Таблица 5.6

Стаж работы, лет	Число рабочих	Середина интервала x
до 5		2,5	-10	-2	-28
5-10		7,5	-5	-1	-22
10-15		12,5
15-20		17,5	+5	+1	+25
20 и выше		22,5	+10	+2	+22
Итого		Х	Х	Х	-3

Как видно из расчетов, приведенных в табл. 5.6 из всех вариантов вычитается одно из их значений 12,5, которое приравнивается нулю и служит условным началом отсчета. В результате деления разностей на величину интервала – 5 получают новые варианты.

Согласно итогу табл. 5.6 имеем: .

Результат вычислений по способу моментов аналогичен результату, который был получен применением основного способа расчета по средней арифметической взвешенной.

Структурные средние

В отличие от степенных средних, которые рассчитываются на основе использования всех вариант значений признака, структурные средние выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами ряда распределения. Мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду.

Мода – это величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Нахождение моды в дискретном ряду распределения не требует вычислений. Путем просмотра столбца частот находят наибольшую частоту.

Например, распределение рабочих предприятия по квалификации характеризуются данными табл. 5.7.

Таблица 5.7

Наибольшая частота в этом ряду распределения 80, значит мода равна четвертому разряду. Следовательно, наиболее часто встречаются рабочие, имеющие четвертый разряд.

Если ряд распределения интервальный , то по наибольшей частоте устанавливают только модальный интервал, а затем уже вычисляют моду по формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота предмодального интервала;

– частота послемодального интервала.

Вычислим моду по данным, приведенным в табл. 5.8.

Таблица 5.8

Это значит, что чаще всего предприятия имеют прибыль 726 млн р.

Практическое применение моды ограниченно. На значение моды ориентируются, когда определяют наиболее ходовые размеры обуви и одежды при планировании их производства и реализации, при изучении цен на оптовых и розничных рынках (метод основного массива). Моду используют вместо средней величины при подсчете возможных резервов производства.

Медиана соответствует варианте, стоящей в центре ранжированного ряда распределения. Это значение признака, которое делит всю совокупность на две равные части.

Положение медианы определяется ее номером (N).

где – число единиц совокупности. Используем данные примера, приведенные в табл. 5.7 для определения медианы.

, т.е. медиана равна средней арифметической из 100-го и 110-го значений признака. По накопленным частотам определяем, что 100-я и 110-я единицы ряда имеют величину признака, равную четвертому разряду, т.е. медиана равна четвертому разряду.

Медиана в интервальном ряду распределения определяется в следующем порядке.

1. Подсчитываются накопленные частоты по данному ранжированному ряду распределения.

2. На основе накопленных частот устанавливается медианный интервал. Он находится там, где первая накопленная частота равна или больше половины совокупности (всех частот).

3. Вычисляется медиана по формуле:

,

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина интервала;

– сумма всех частот;

– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

– частота медианного интервала.

Вычислим медиану по данным табл. 5.8.

Первая накопленная частота, которая равна половине совокупности 30, значит медиана находится в интервале 500-700.

Это означает, что половина предприятий получает прибыль до 676 млн р., а другая половина свыше 676 млн р.

Медиану часто используют вместо средней величины, когда совокупность неоднородна, т.к. она не находится под влиянием крайних значений признака. Практическое применение медианы также связано с ее свойством минимальности. Абсолютная сумма отклонений индивидуальных значений от медианы есть величина наименьшая. Поэтому медиану применяют в расчетах при проектировании места расположения объектов, которые будут использоваться различными организациями и лицами.

М ср - рассчитанная при помощи метода моментов = 61,6 кг

Средняя арифметическая величина обладает тремя свой­ствами.

1. Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду . В строго симметричном ряду: М = М 0 =М е.

2. Средняя является обобщающей величиной и за средней не видны случайные колебания, различия в индивидуальных данных, она вскрывает то типичное, что характерно для всей совокуп­ности . К средней обращаются всякий раз, когда надо исклю­чить случайное влияние от­дельных факторов, выявить об­щие черты, существующие за­кономерности, получить полное и глубокое представление о наиболее общих и характерных особенностях всей группы.

3. Сумма отклоне­ний всех вариант от средней равна нулю : S (V-M)= 0 . Это происходит потому, что средняя величина превышает размеры одних вариант и мень­ше размеров других вариант.

Иначе говоря, истинное отклонение вариант от истинной средней (d =v-М) может быть положительной и отрицательной величи­ной, поэтому сумма S всех "+"d и "-"d равна нулю.

Данное свойство средней используется при проверке правильности расчетов М. Если сумма отклонений вариант от средней равна нулю, то можно сделать вывод, что средняя вычислена правильно. На этом свойстве основан способ моментов для определения М. Ведь если условная средняя А будет равна истинной М, то сумма отклонений вариант от условной средней будет равна нулю.

Роль средних величин в биологии чрезвычайно велика. С одной стороны их используют для характеристики явлений в целом, с другой - они необходимы для оценки отдельных величин. При сравнении отдельных величин со средними получают ценные харак­теристики для каждой из них. Использование средних величин требует строгого соблюдения принципа однородности совокупности. Нарушение этого принципа искажает представление о реальных процессах.

Вычисление средних из неоднородной в социально-экономическом отношении совокупности делает их фик­тивными, искаженными. Следовательно, для того чтобы правильно использовать средние величины, надо быть уверенным в том, что они характеризуют однородные статистические совокупности.

ХАРАКТЕРИСТИКА РАЗНООБРАЗИЯ ПРИЗНАКА В

СТАТИСТИЧЕСКОЙ СОВОКУПНОСТИ

Величина того или иного признака неодинакова у всех членов совокупности, несмотря на ее относительную однородность. Напри­мер, в группе детей, однородной по возрасту, полу и месту житель­ства, рост каждого ребенка отличается от роста сверстников. То же можно сказать о числе посещений, сделанных отдельными лицами в поликлинику, об уровне белка крови у каждого больного ревматизмом, об уровне артериального давления у отдельных лиц, больных гипертонической болезнью и т. п. В этом проявляется разнообразие, колеблемость признака в изучаемой совокупности. Вариабельность демонстративно можно представить на примере роста в группах подростков.

Статистика позволяет охарактеризовать это специальными крите­риями, определяющими уровень разнообразия каждого признака в той или иной группе. К таким критериям относятся лимит (lim), амплитуда ряда (Am), среднее квадратическое отклонение (s) и коффициент вариации (C v). Так как каждый из этих крите­риев имеет свое самостоятельное значение, то следует остановиться на них отдельно.

Лимит - опреде­ляется крайними значе­ниями вариант в вариа­ционном ряду

Амплитуда (Am) - разность край­них вариант

Лимит и амплитуда - дают определен­ную информацию о степени разнообразия роста в каждой группе. Однако как лимит, так и амплитуда ряда обладает одним существенным недостатком. Они учитывают только разно­образие крайних вариант и не позволяют получить информацию о разнообразии признака в совокупности с учетом ее внутренней структуры. Дело в том, что разнообразие проявляется не столько в крайних вариантах, сколько при анализе всей внутренней структуры группы. Поэтому этими критериями можно пользоваться для при­ближенной характеристики разнообразия, особенно при малом чис­ле наблюдений (n<30).

Наиболее полную характеристику разноо­бразию признака в совокупности дает так называемое среднее квадратическое отклоне­ние , обозначаемое греческой буквой "сигма" - s.

Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения : среднеарифметический и способ моментов .

При сред­неарифметическом способе расчета применяют формулу, где d - истинное отклонение вариант от истинной средней (V-M).

Формула используется при небольшом числе наблюдений (n<30), когда в вариационном ряду все частоты р= 1.

При р > 1 используют формулу такого вида:

При наличии вычислительной техники эту формулу приме­няют и при большом количестве наблюдений.

Эта формула предназначена для определения "сигмы" по способу моментов:

где: a - условное отклонение от условной средней (V-A ); p - частота встречаемости для варианты; n - число вариант; i - величина интервала между группами.

Этот способ применяется в тех случаях, когда нет вычислитель­ной техники, а вариационный ряд громоздкий как за счет большого числа наблюдений, так и за счет вариант, выраженных многознач­ными числами. При числе наблюдений, равном 30 и менее, в момен­те второй степени п заменяют за (п -1).

Как видно из формулы среднего квадратичного отклонения (4), в знаменателе стоит (п -1), т.е. при числе наблюдений, равном или меньшем 30 (n£30), необходимо в знаменатель формулы брать (п -1). Если при определении средней арифметической М учиты­вают все элементы ряда, то, рассчитывая а, надо брать не все случаи, а на единицу меньше (п-1).

При большом числе наблюдений (n>30) в знаменатель формулы берут п, так как единица не изменяет результаты расчета и поэтому автоматически опускается.

Следует обратить внимание на то, что среднее квадратическое отклонение - именованная величина , поэтому оно должно иметь обозначение, общее для вариант и средней арифметической вели­чины (размерность – кг, см. км и др).

Расчет среднего квадратического отклонения по способу момен­тов производится после расчета средней величины.

Существует еще один критерий, характеризующий уровень раз­нообразия величин признака в совокупности, - коэффициент ва­риации .

Коэффициент вариации (Сv) - является относительной мерой разнообразия, так как исчисляется как процентное отноше­ние среднего квадратического отклонения (а) к средней арифме­тической величине (М). Формула коэффициента вариации такова:

Для ориентировочной оценки степени разнообразия признака пользуются следующими градациями коэффициента вариации. Если коэффициент составляет более 20%, то отмечают сильное разно­образие; при 20-10% - среднее, и если коэффициент менее 10%, то считают, что разнообразие слабое.

Коэффициент вариации применяют при сравнении степени раз­нообразия признаков, имеющих различия в величине признаков или неодинаковую их размерность. Допустим, необходимо сравнить степень разнообразия массы тела у новорожденных и 5-летних детей. Понятно, что у новорожденных "сигма" всегда будет меньше, чем у семилетних детей, так как меньше их индивидуальная масса. Среднее квадратическое отклонение будет меньше там, где меньше величина самого признака. В этом случае для определения различия в степени разнообразия необходимо ориентироваться не на среднее квадратическое отклонение, а на относительную меру разнообразия - коэффициент вариации Сv.

Большое значение коэффициент вариации также имеет для оцен­ки и сопоставления степени разнообразия нескольких признаков с разной размерностью. По среднему квадратическому отклонению нельзя еще судить о различии в сте­пени разнообразия указанных признаков. Для этого необходимо использовать коэффициент вариации – Сv.

Среднее квадратическое отклонение связано со структурой ряда распределения признака. Схематич­но это можно изобразить следующим образом.

Теорией статистики доказано, что при нормальном распределе­нии в пределах М±s находится 68% всех случаев, в пределах М±2s - 95,5% всех случаев, а в пределах М±3s - 99,7% всех случаев, составляющих совокупность. Таким образом, М±3s охва­тывает почти весь вариационный ряд.

Это теоретическое положение статистики о закономерностях структуры ряда имеет огромное значение для практического при­менения среднего квадратического отклонения. Можно восполь­зоваться этим правилом для выяснения - вопроса о типичности средней величины. Если 95% всех вариант находятся в пределах М±2s, то средняя - является характерной для данного ряда и не требуется увеличивать число наблюдений в совокупности. Для опре­деления типичности средней сравнивается фактическое распреде­ление с теоретическим, путем расчета сигмальных отклонений.

Практическое значение среднего квадратического отклонения заключается также в том, что зная М и s , можно построить необходимые вариационные ряды для практического использования. Сигму (s ) также используют для сравнения степени разнообразия однород­ных признаков, например при сравнении колебаний (вариабель­ности) роста детей в городе и селе местности. Зная сигму (s ), можно рассчитать коэффициент вариации (Сv), необходимой для сравнения степени разнообразия признаков, выраженных в различных единицах измерения (сантиметрах, килограммах и др.). Это позволяет выявить более устойчивые (постоянные) и менее устойчивые признаки в совокупности.

Сравнивая коэффициенты вариации (C v), можно сделать выводы о том, что является наиболее устойчивым признаком в совокупности признаков. Среднее квадратическое отклонение (s) используется также для оценки отдельных признаков у одного объекта. Стандартное отклонение указывает, на сколько сигм (s ) от средней (М) отклоняются индивидуальные измерения.

Среднее квадратическое отклонение (s) может быть исполь­зовано в биологии и экологии при разработке проблем нормы и патологии.

Наконец, среднее квадратическое отклонение является важным компонентом формулы т м - сред­ней ошибки средней арифметической (ошибки ре­презентативности):

где т м - средняя ошибка средней арифметической величины (ошибка репрезентативности), п - число наблюдений.

Репрезентативность. Важнейшие теоретические основы репрезентативности были освещены выше в разделе, посвященном выборочной и генеральной совокупности. Репрезентативность означает представительность в выборочной совокупности всех учитываемых признаков (пол, возраст, профессия, стаж и др.) единиц наблюдения, составляющих генеральную совокупность. Достигается эта репрезентативность выборочной совокупности по отношению к генеральной с помощью специальных методов отбора, которые излагаются ниже.

Оценка достоверности результатов исследования базируется на теоретических основах репрезентативности.

ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

Под достоверностью статистических показа­телей следует понимать степень их соответствия отображаемой ими действительности. Достоверными результатами считаются те, которые не искажают и правильно отражают объективную реальность.

Оценить достоверность результатов исследования означает определить, с какой вероятностью возможно перенести результаты, полученные на выборочной совокупности, на всю генеральную совокупность.

В большинстве исследований исследователю приходится, как правило, иметь дело с частью изучаемого явления, а выводы по результатам такого исследования переносить на все явление в целом - на генеральную совокупность.

Таким образом, оценка достоверности необходима для того, чтобы по части явления должно было бы судить о явлении в целом, о его закономерностях.

Оценка достоверности результатов исследования предусматривает определение:

1) ошибок репрезентативности (средних ошибок средних арифметических и относительных величин) - т ;

2) доверительных границ средних (или относительных) величин;

3) достоверности разности средних (или относительных) величин
(по критерию t );

4) достоверности различия сравниваемых групп по критерию c 2 .

1. Определение средней ошибки средней (или относительной) величины (ошибки репре­зентативности) - т.

Ошибка репрезентативности (m ) является важнейшей стати­стической величиной, необходимой для оценки достоверности ре­зультатов исследования. Эта ошибка возникает в тех случаях, когда требуется по части охарактеризовать явление в целом. Эти ошибки неизбежны. Они проистекают из сущности выбороч­ного исследования; генеральная совокупность может быть охарак­теризована по выборочной совокупности только с некоторой по­грешностью, измеряемой ошибкой репрезентативности.

Ошибки репрезентативности нельзя смешивать с обычным пред­ставлением об ошибках: методических, точности измерения, ариф­метических и др.

По величине ошибки репрезентативности определяют, насколько результаты, полученные при выборочном наблюдении, отличаются от результатов, которые могли бы быть получены при проведении сплошного исследования всех без исключения элементов генераль­ной совокупности.

Этот единственный вид ошибок, учитываемых статистическими методами, которые не могут быть устранены, если не осуществлен переход на сплошное изучение. Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине, т. е. к величине допустимой погрешности. Делается это путем привлечения в выборку достаточ­ного количества наблюдений (п).

Каждая средняя величина - М (средняя длительность лечения, средний рост, средняя масса тела, средний уровень белка крови и др.), а также каждая относительная величина - Р (уровень ле­тальности, заболеваемости и др.) должны быть представлены со своей средней ошибкой - т. Так, средняя арифметическая вели­чина выборочной совокупности (М) имеет ошибку репрезентатив­ности, которая называется средней ошибкой средней арифметической (m м) и определяется по формуле:

Как видно из этой формулы, величина средней ошибки средней арифметической прямо пропорциональна степени разнообразия признака и обратно пропорциональна корню квадратному из числа наблюдений. Следовательно, уменьшение величины этой ошибки при определении степени разнообразия (s ) возможно путем увели­чения числа наблюдений.

На этом принципе основан метод определения достаточного числа наблюдений для выборочного исследования.

Относительные величины (Р), полученные при выборочном исследовании, также имеют свою ошибку репрезентативности, которая называется средней ошибкой относительной величины и обозначается m р

Для определения средней ошибки относительной величины (Р) используется следующая формула:

где Р - относительная величина. Если показатель выражен в про­центах, то q=100-P, если Р- в промиллях, то q=1000-P, если Р- в продецимиллях, то q= 10000-Р и т.д.; п - число наблю­дений. При числе наблюдений менее 30 в знаменатель следует взять (п – 1 ).

Каждая средняя арифметическая или относительная величина, полученная на выборочной совокупности, должна быть представ­лена со своей средней ошибкой. Это дает возможность" рассчи­тать доверительные границы средних и относительных величин, а также определить достоверность разности сравниваемых пока­зателей (результатов исследования).

1.имеется абстрактный характер так как является обобщающей величиной, в ней стираются

случайные колебания

2.занимает срединное положение в ряду (в строго симметричном ряду)

3.сумма отклонений всех вариант от средней величины равна нулю. Данное свойство средней

величины используется для проверки правильности расчета средней величины.

Виды средних величин

1. Мода (Мо) - варианта, наиболее часто встречающая и в вариационном ряду.

2. Медиана (Ме) - варианта занимающая в вариационном ряду срединное

положение, т.е., центральная варианта, делящая вариационный ряд на две

равные части.

М о и М е - условные средние.

3. Средняя арифметическая:

а).Средняя арифметическая простая

б).Средняя арифметическая взвешенная

в). Средняя арифметическая, вычисленная по способу моментов.

Вычисление средней арифметической, простой и взвешенной

В случаях, когда мы имеем простой вариационный ряд, в котором каждой варианте

соответствует частота (Р) равная 1, вычисляется средняя арифметическая простая по

где М средняя арифметическая - знак суммирования V - варианта, n - число наблюдений

Таким образом, средняя арифметическая простая равна сумме всех вариант, деленной на число

наблюдений.

Пример: Определение средней массы тела юношей в возрасте 18 лет (в кг)

Однако чаще всего приходится вычислять среднюю арифметическую взвешенную, которая

получается из взвешенных рядов, где каждая вариантавстречается различное количество раз

или, как говорят, имеет различный вес.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле:

М =  VР ,

n где М средняя арифметическая - знак суммирования, V - варианта,

Р -частота встречаемости, n - число наблюдений

Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений вариант на их

частоты, деленной на число всех наблюдений.

Пример: определение средней массы тела юношей в возрасте 18 лет (в кг.)

			кг.

Вычисление средней арифметической по способу моментов

При большом числе наблюдений или при большом числовом значении вариант применяют

упрощенный способ вычисления средней арифметической- способ моментов.

М = А+ i  ар

где М - средняя арифметическая; А - условная средняя; i - интервал между группами вариант;

 - знак суммирования.; а- условное отклонение каждой варианты от условной средней;

р - частота встречаемости вариант; n - число наблюдений.

Пример вычисления средней арифметической по способу моментов (средней массы тела

юношей в возрасте 18 лет)

			ар = - 10кг

Этапы расчета средней по способу моментов:

2) определяем "а" - условное отклонение варианты от условной средней, для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю: а = V - А, (например, а = 64 - 62 = +2 и т.д.).

3) умножаем условное отклонение "а" на частоту "р" каждой варианты и получаем произведение а р;

4) находим сумму а. р = - 10кг

5) рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:

М = А + i  аР = 62 - 10,4 = 61,6кг

Таким образом, можно сделать вывод, что в изучаемой нами группе юношей средняя масса тела

Средняя арифметическая сама по себе ничего не говорит о том вариационном ряде, из которого

она была вычислена. На ее типичность (достоверность) влияет однородность рассматриваемого

материала и колеблемость ряда.

Пример: даны два одинаковых по числу наблюдений вариационных ряда, в которых

представлены данные измерений окружности головы детей в возрасте от 1 года до 2-х лет

Имея одинаковое число наблюдений и одинаковые средние арифметические (М= 46 см), ряды

имеют различия в распределении внутри. Так варианты первого ряда отклоняются в целом от

средней арифметической с меньшим значением, чем варианты второго ряда, что дает

возможность предположить, что средняя арифметическая (46 см) более типична для первого

ряда, чем для второго.

В статистике для характеристики разнообразия вариационного ряда употребляют среднее

квадратическое отклонение ()

Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический

способ и способ моментов. При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу:

где d истинное отклонение каждой варианты от истиной средней М. Формула используется при

небольшом числе наблюдений (п 30)

Формула для определения по способу моментов:

где а - условное отклонение варианты от условной средней
;

момент второй степени, а
момент первой степени, возведенный в квадрат.

Теоретически и практически доказано, что если при большом числе наблюдений к средней

арифметической прибавить и отнять от нее 1(М1), то в пределах полученных величин

будет находится 68,3% всех вариант вариационного ряда. Если к средней арифметической

прибавить и отнять 2(М2), то в пределах полученных величин будет находиться 95,5%

всех вариант. М 3включает в себя 99,7% всех вариант вариационного ряда.

Исходя из этого положения можно проверить типичность средней арифметической для

вариационного ряда, из которого она была вычислена. Для этого надо к средней

арифметической прибавить и от нее отнять утроенную (М3). Если в полученные пределы

данный вариационный ряд укладывается, то средняя арифметическая типична, т.е. она

выражает основную закономерность ряда и ей можно пользоваться.

Указанное положение широко применяется при выработке различных стандартов (одежды,

обуви, школьной мебели и т.д).

Степень разнообразия признака в вариационном ряду можно оценить покоэффициенту

вариации (отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической,

умноженное на 100%)

С v = х 100

При С v менее 10% отмечается слабое разнообразие, при С v 10-20% - среднее, а при более 20% -

сильное разнообразие признака.