Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х , принимающей конечное число значений х i с вероятностями р i , называется сумма:

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f (x ):

(6б )

Несобственный интеграл (6б ) предполагается абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что математическое ожидание М (Х ) не существует). Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х . Его размерность совпадает с размерностью случайной величины.

Свойства математического ожидания:

Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число:

Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М (Х ). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:

(9)

Здесь m = М (Х ).

Свойства дисперсии:

Среднее квадратичное отклонение:

(11)

Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.

Моменты распределения. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин – моментов распределения . Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х 0 называется математическое ожидание М (Х – х 0 )k . Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментами и обозначаются:

(12)

Начальный момент первого порядка есть центр распределения рассматриваемой случайной величины:

(13)

Моменты относительно центра распределения х = m называются центральными моментами и обозначаются:

(14)

Из (7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю:

Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С ее центр распределения сдвигается на то же значение С , а отклонение от центра не меняется: Х – m = (Х – С ) – (m – С ).
Теперь очевидно, что дисперсия – это центральный момент второго порядка :

Асимметрия. Центральный момент третьего порядка:

(17)

служит для оценки асимметрии распределения . Если распределение симметрично относительно точки х = m , то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков). Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии :

(18)

Знак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 2).

Рис. 2. Виды асимметрии распределений.

Эксцесс. Центральный момент четвертого порядка:

(19)

служит для оценки так называемого эксцесса , определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределения, то в качестве эксцесса принимается величина:

(20)

На рис. 3 приведены примеры кривых распределения с различными значениями эксцесса. Для нормального распределения Е = 0. Кривые, более островершинные, чем нормальная, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.

Рис. 3. Кривые распределения с различной степенью крутости (эксцессом).

Моменты более высоких порядков в инженерных приложениях математической статистики обычно не применяются.

Мода дискретной случайной величины – это ее наиболее вероятное значение. Модой непрерывной случайной величиныназывается ее значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2). Если кривая распределения имеет один максимум, то распределение называется унимодальным . Если кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным . Иногда встречаются распределения, кривые которых имеют не максимум, а минимум. Такие распределения называются антимодальными . В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, для модального , т.е. имеющего моду, симметричного распределения и при условии, что существует математическое ожидание, последнее совпадает с модой и центром симметрии распределения.

Медиана случайной величины Х – это ее значение Ме , для которого имеет место равенство: т.е. равновероятно, что случайная величина Х окажется меньше или больше Ме . Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределения делится пополам (рис. 2). В случае симметричного модального распределения медиана, мода и математическое ожидание совпадают.

Кроме математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные черты распределения.

Определение. Модой Мо(Х) случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность р г или плотность вероятности

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 3.13).

Мода Мо(Х), при которой вероятность р { или плотность вероятности (р(х) достигает глобального максимума, называется наивероятнейшим значением случайной величины (на рис. 3.13 это Мо(Х) 2).

Определение. Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение , для которого

т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее медианы Ме(Х) или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х ), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х ), делит площадь фигуры иод кривой распределения на две равные части (рис. 3.14). Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2, т.е. Р(Ме(Х)) = 1/2 (рис. 3.15).

Отметим важное свойство медианы случайной величины: математическое ожидание абсолютной величины отклонения случайной величины X от постоянной величины С минимально тогда , когда эта постоянная С равна медиане Ме(Х) = т , т.е.

(свойство аналогично свойству (3.10") минимальности среднего квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания).

О Пример 3.15. Найти моду, медиану и математическое ожидание случайной величины X с плотностью вероятности ф(х) = 3х 2 при хе.

Решение. Кривая распределения представлена на рис. 3.16. Очевидно, что плотность вероятности ф(х) максимальна при х = Мо(Х) = 1.

Медиану Ме(Х) = Ь найдем из условия (3.28):

откуда

Математическое ожидание вычислим по формуле (3.25):

Взаимное расположение точек М(Х)> Ме(Х) и Мо(Х) в порядке возрастания абсцисс показано на рис. 3.16. ?

Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.

Определение. Квантилем уровня у-квантилем)

называется такое значение х ц случайной величины , при котором функция ее распределения принимает значение, равное д, т.е.

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, т.е. Ме(Х) = х 05 . Квантили дг 0 2 5 и х 075 получили название соответственно нижнего и верхнего квартилейК

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ЮОуХо-ной точкой подразумевается квантиль х х ({ , т.е. такое значение случайной величины X, при котором

0 Пример 3.16. По данным примера 3.15 найти квантиль х 03 и 30%-ную точку случайной величины X.

Решение. По формуле (3.23) функция распределения

Квантиль.г 0 з найдем из уравнения (3.29), т.е. х$ 3 =0,3, откуда Л"оз -0,67. Найдем 30%-ную точку случайной величины X, или квантиль х 0 7 , из уравнения х$ 7 = 0,7, откуда х 0 7 «0,89. ?

Среди числовых характеристик случайной величины особое значение имеют м о м е н т ы - начальные и центральные.

Определение. Начальным моментом к-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание к-й степени этой величины :

Определение. Центральным моментом к-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание к-й степени отклонения случайной величины X от ее математического ожидания :

Формулы для вычисления моментов для дискретных случайных величин (принимающих значения х 1 с вероятностями р,) и непрерывных (с плотностью вероятности ср(х)) приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Нетрудно заметить, что при к = 1 первый начальный момент случайной величины X есть ее математическое ожидание, т.е. ч х = М[Х) = а, при к = 2 второй центральный момент - дисперсия, т.е. р 2 = Т)(Х).

Центральные моменты р А могут быть выражены через начальные моменты но формулам:

и т.д.

Например, ц 3 = М(Х-а)* = М(Х*-ЗаХ 2 +За 2 Х-а->) = М(Х*)~ -ЗаМ{Х 2)+За 2 М(Х)~ а 3 = у 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = у 3 - Зу^ + 2у^ (при выводе учли, что а = М(Х) = V, - неслучайная величина). ?

Выше отмечено, что математическое ожидание М(Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение или положение, центр распределения случайной величины X на числовой оси; дисперсия О(Х), или второй центральный момент р 2 , - с т с - пень рассеяния распределения X относительно М(Х). Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный момент р 3 служит для характеристики а с и м - м е т р и и (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на о 3 , где а - среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии Л = 0.

На рис. 3.17 показаны две кривые распределения: I и II. Кривая I имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (Л > 0), а кривая II - отрицательную (левостороннюю) (Л

Четвертый центральный момент р 4 служит для характеристики к р у - тост и (о с т р о в е р ш и н н о с т и или п л о с к о в е р ш и н - пости) распределения.

Мода () непрерывной случайной величины – это такое ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности вероятности.

Медианой () непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которое определяется равенством:

В15. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики . Биномиальное распределение описывает повторяющиеся независимые опыты. Этот закон определяет появление события раз при независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом из этих опытов не изменяется от опыта к опыту. Вероятность:

,

где: – известная вероятность появления события в опыте, не изменяющаяся от опыта к опыту;

– вероятность непоявления события в опыте;

– заданное число появления события в опытах;

– число сочетаний из элементов по .

В15. Равномерный закон распределения, графики функции и плотности распределения, числовые характеристики . Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной , если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины, имеющей равномерное распределение:

Дисперсия может быть вычислена следующим образом:

Среднее квадратичное отклонение будет иметь вид:

.

В17. Показательный закон распределения, графики функции и плотности распределения, числовые характеристики . Показательным распределением непрерывной случайной величины называется такое распределение, которое описывается следующим выражением для плотности вероятности:

,

где – постоянная положительная величина.

Функция распределения вероятности в этом случае имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, получаем на основании общей формулы с учетом того, что при :

.

Интегрируя это выражение по частям, находим: .

Дисперсию для экспоненциального распределения можно получить, используя выражение:

.

Подставляя выражение для плотности вероятности, находим:

Вычисляя интеграл по частям, получаем: .

В16. Нормальный закон распределения, графики функции и плотности распределения. Стандартное нормальное распределение. Функция отраженного нормального распределения . Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:

где – среднее квадратичное отклонение;

– математическое ожидание случайной величины.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса.

В18. Неравенство Маркова. Обобщенное неравенство Чебышева . Если для случайной величины X существует , то для любого справедливо неравенство Маркова .

Оно вытекает из обобщенного неравенства Чебышева : Пусть функция монотонно возрастает и неотрицательна на . Если для случайной величины X существует , то для любого справедливо неравенство .

В19. Закон больших чисел в форме Чебышева. Его смысл. Следствие закона больших чисел в форме Чебышева. Закон больших чисел в форме Бернулли . Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт асимптотического приближения среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию случайной величины. В основе доказательств этих теорем лежит неравенство Чебышева. Это неравенство можно получить, рассматривая дискретную случайную величину, имеющую возможных значений .

Теорема. Пусть имеется конечная последовательность независимых случайных величин, с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной :

Тогда, каково бы ни было число , вероятность события

стремится к единице при .

Теорема Чебышева устанавливает связь между теорией вероятностей, которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой, оперирующей ограниченным множеством значений этой величины. Она показывает, что при достаточно большом числе измерений некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих измерений приближается к математическому ожиданию.

В20. Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Способ отбора . Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов, опирающаяся на теорию вероятностей.

Объектами изучения математической статистики являются случайные события, величины и функции, которые характеризуют рассматриваемое случайное явление. Случайными являются следующие события: выигрыш на один билет денежной лотереи, соответствие контролируемого продукта установленным требованиям, безотказная работа автомобиля в течение первого месяца его эксплуатации, выполнение подрядчиком суточного графика работ.

Выборочной совокупностью называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

В21. Способы отбора.

Способы отбора: 1 Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся а) простой случайный бесповторный отбор и б) простой случайный повторный отбор. 2) Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся а) типический отбор, б) механический отбор и в) серийный отбор.

Простым случайным называют отбор, при котором объекты извлекаются по одному из генеральной совокупности.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части.

Механическим называют отбор, при котором генеральная совокупность механически делится на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы выбирается один объект.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию.

В22. Статистический и вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения и ее свойства . Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение исследуемого параметра наблюдалось раз, - раз и т.д. При этом объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами , а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом . Числа наблюдений называют частотами , а их отношения к объему выборки - относительными частотами . Вариационный ряд можно представить таблицей вида:

X			…..
n			….

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им относительных частот. Статистическое распределение можно представить как:

X			…..
w			….

где относительные частоты .

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X

Цель урока: сформировать у учащихся представление о медиане набора чисел и умение вычислять ее для несложных числовых наборов, закрепление понятия среднего арифметического набора чисел.

Тип урока: объяснение нового материала.

Оборудование: доска, учебник под ред. Ю.Н Тюрина “Теория вероятностей и статистика”, компьютер с проектором.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщить тему урока и сформулировать его цели.

2. Актуализация прежних знаний.

Вопросы учащимся:

• Что называется средним арифметическим набора чисел?
• Где располагается среднее арифметическое внутри набора чисел?
• Что характеризует среднее арифметическое набора чисел?
• Где часто применяется среднее арифметическое набора чисел?

Устные задачи:

Найти среднее арифметическое набора чисел:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Проверка домашнего задания с помощью проектора (Приложение 1 ):

Учебник: :№12(б,г), №18(в,г)

3. Изучение нового материала.

На предыдущем уроке мы познакомились с такой статистической характеристикой как среднее арифметическое набора чисел. Сегодня мы посвятим урок еще одной статистической характеристике – медиане.

Не только среднее арифметическое показывает, где на числовой прямой располагаются числа какого-либо набора и где их центр. Другим показателем является медиана.

Медианой набора чисел называется такое число, которое разделяет набор на две равные по численности части. Вместо “медиана” можно было бы сказать “середина”.

Сначала на примерах разберем, как найти медиану, а затем дадим строгое определение.

Рассмотрим следующий устный пример с применением проектора (Приложение 2 )

В конце учебного года 11 учеников 7-го класса сдали норматив по бегу на 100 метров. Были зафиксированы следующие результаты:

После того как ребята пробежали дистанцию, к преподавателю подошел Петя и спросил, кокой у него результат.

“Самый средний результат: 16,9 секунды”, – ответил учитель

“Почему?” – удивился Петя. – Ведь среднее арифметическое всех результатов – примерно 18,3 секунды, а я пробежал на секунду с лишним лучше. И вообще, результат Кати (18,4) гораздо ближе к среднему, чем мой”.

“Твой результат средний, так как пять человек пробежали лучше, чем ты, и пять – хуже. То есть ты как раз посередине”, – сказал учитель. [ 2 ]

Записать алгоритм нахождения медианы набора чисел:

1. Упорядочить числовой набор (составить ранжированный ряд).
2. Одновременно зачеркиваем “самое большое” и “самое маленькое” числа данного набора чисел до тех пор пока не останется одно число или два числа.
3. Если осталось одно число, то оно и есть медиана.
4. Если осталось два числа, то медианой будет среднее арифметическое двух оставшихся чисел.

Предложить учащимся самостоятельно сформулировать определение медианы набора чисел, затем прочитать в учебнике два определения медианы (стр. 50), далее разобрать примеры 4 и 5 учебника (стр.50-52)

Замечание:

Обратить внимание учащихся на важное обстоятельство: медиана практически не чувствительна к значительным отклонениям отдельных крайних значений наборов чисел. В статистике это свойство называется устойчивостью. Устойчивость статистического показателя – очень важное свойство, оно страхует нас от случайных ошибок и отдельных недостоверных данных.

4. Закрепление изученного материала.

Решение номеров из учебника к п.11 “Медиана”.

Набор чисел: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Набор чисел: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

а) Набор чисел: 3,4,11,17,21

б) Набор чисел: 17,18,19,25,28

в) Набор чисел:25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Вывод: медиана набора чисел, состоящего из нечетного числа членов равна числу, стоящему посередине.

а) Набор чисел:2, 4, 8 , 9.

Ме = (4+8):2=12:2=6

б) Набор чисел:1,3,5,7 ,8,9.

Ме = (5+7):2=12:2=6

Медиана набора чисел, содержащего четное число членов равна полусумме двух чисел, стоящих посередине.

Ученик получил в течении четверти следующие оценки по алгебре:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Найдите средний балл и медиану этого набора. [ 3 ]

Упорядочим набор чисел: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Всего 10 чисел, чтобы найти медиану надо взять два средних числа и найти их полусумму.

Ме = (5+5):2 = 5

Вопрос к учащимся: Если бы вы были учителем, какую бы вы поставили оценку за четверть этому ученику? Ответ обоснуйте.

Президент компании получает зарплату 300000 руб. три его заместителя получают по 150000 руб., сорок служащих – по 50000 руб. и зарплата уборщицы составляет 10000 руб. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат в компании. Какую из этих характеристик выгоднее использовать президенту в рекламных целях?

= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (руб.)

Задача 3. (Предложить учащимся решить самостоятельно, задачу спроецировать с помощью проектора)

В таблице показан примерный объем воды крупнейших озер и водохранилищ России в куб. км. (Приложение 3 ) [ 4 ]

А) Найдите средний объем воды в данных водоемах (среднее арифметическое);

Б) Найдите объем воды в среднем по величине водоеме (медиану данных);

В) По вашему мнению, какая из этих характеристик – среднее арифметическое или медиана – лучше описывает объем типичного крупного водоема России? Ответ объясните.

а) 2459 куб. км

б) 60 куб. км

в) Медиана, т.к. данные содержат значения сильно отличающиеся от всех прочих.

Задача 4. Устно.

А) Сколько чисел в наборе, если его медианой служит ее девятый член?

Б) Сколько чисел в наборе, если его медианой служит среднее арифметическое 7-го и 8-го членов?

В) В наборе из семи чисел наибольшее число увеличили на 14. Изменится ли при этом и как среднее арифметическое и медиана?

Г) Каждое из чисел набора увеличили на 3. Что произойдет со средним арифметическим и медианой?

Конфеты в магазине продают на вес. Чтобы узнать, сколько конфет содержится в одном килограмме, Маша решила найти вес одной конфеты. Она взвесила несколько конфет и получила следующие результаты:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Для оценки веса одной конфеты пригодны обе характеристики, т.к. они не сильно отличаются друг от друга.

Итак, для характеристики статистической информации используют среднее арифметическое и медиану. Во многих случаях какая-то из характеристик может не иметь никакого содержательного смысла(например, имея сведения о времени дорожно-транспортных происшествий, вряд ли имеет смысл говорить о среднем арифметическом этих данных).

1. Домашнее задание:пункт 11, № 3,4,9,11.
2. Итоги урока. Рефлексия.

Литература:

1. Ю.Н. Тюрин и др. “Теория вероятностей и статистика”, Издательство МЦНМО, ОАО “Московские учебники”, Москва 2008.
2. Е.А. Бунимович, В.А. Булычев “Основы статистики и вероятность”, ДРОФА, Москва 2004.
3. Газета “Математика” №23, 2007 год.
4. Демоверсия контрольной работы по теории вероятностей и статистике для 7 класса, 2007/2008 уч. год.

Мода - значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто

Мо = X Mо + h Мо * (f Мо - f Мо-1) : ((f Мо - f Мо-1) + (f Мо - f Мо+1)),

здесь X Mо - левая граница модального интервала, h Мо - длина модального интервала, f Мо-1 - частота премодального интервала, f Мо - частота модального интервала, f Мо+1 - частота послемодального интервала.

Модой абсолютно непрерывного распределения называют любую точку локального максимума плотности распределения. Для дискретных распределений модой считают любое значение a i , вероятность которого p i больше, чем вероятности соседних значений

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме , т.е.

М е =(n+1) /2 Р(Х < Ме) = Р(X > Ме )

Равномерно распределенная НСВ

Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке (), если ее функция плотности распределения (рис. 1.6,а ) имеет вид :

Обозначение: – СВ распределена равномерно на .

Соответственно функция распределения на отрезке (рис. 1.6, б ):

Рис. 1.6. Функции случайной величины, распределенной равномерно на [a ,b ]: а – плотности вероятностей f (x ); б – распределения F (x )

Математическое ожидание и дисперсия данной СВ определяются выражениями:

В силу симметрии функции плотности, совпадает с медианой. Моды равномерное распределение не имеет

Пример 4. Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 2 минут. Найти интегральную и дифференциальную функции распределения этой случайной величины.

27.Нормальный закон распределения вероятностей

Непрерывная случайная величина x имеет нормальльное распределение с параметрами: m,s > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид:

где: m – математическое ожидание, s– среднеквадратическое отклонение.

Нормальное распределение называют еще гауссовским по имени немецкого математика Гаусса . Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: m, , обозначают так: N (m,s), где: m=a=M[X];

Достаточно часто в формулах математическое ожидание обозначают через а . Если случайная величина распределена по закону N(0,1), то она называется нормированной или стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:

График плотности нормального распределения, который называют нормальной кривой или кривой Гаусса, изображен на рис.5.4.

Рис. 5.4. Плотность нормального распределения

свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения.

1. Если , то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал (х 1 ;х 2 ) используется формула:

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна.