Конспект урока

учителя математики

МБОУ СОШ №2 г. Ворсма

Киселевой Ларисы Алексеевны

Тема: «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»

Цель урока: Введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.

Задачи:

Образовательные:

Ввести понятие приведенного квадратного уравнения,

Вывести формулу корней приведенного квадратного уравнения,

Сформулировать и доказать теорему Виета,

Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета,

Научить учащихся решать приведенные квадратные уравнения, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета.

Развивающие:

развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать;

Воспитательные:

воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: учебник алгебры под ред. Алимова и др., тетрадь, раздаточный материал, презентация к уроку.

План урока.

Этап урока

Содержание (цель)этапа

Время (мин)

Организационный момент

Проверка домашнего задания

Проверочная работа

Разбор работы, ответы на вопросы.

Изучение нового материала

Формирование опорных знаний, формулировка правил, решение задач, анализ результатов, ответы на вопросы учащихся.

Усвоение изученного материала путем его применения при решении задач по аналогии под контролем учителя.

Подведение итогов урока

Оценка знаний отвечавших учеников. Проверка знаний и понимания формулировок правил методом фронтального опроса.

Домашнее задание

Ознакомление учащихся с содержанием задания и получение необходимых пояснений.

Дополнительные задания

Разноуровневые задания для обеспечения развития учащихся.

Ход урока.

Организационный момент. Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.

Проверка домашнего задания. Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.

Уравнение

Количество корней

Учитель: Как, не решая квадратного уравнения, определить количество его корней? (ответы учащихся)

Проверочная работа. Ответы на вопросы.

Текст проверочной работы:

Вариант №1.

Решите уравнения:

А) ,

Б)

имеет:

Один корень,

Два различных корня.

Вариант №2.

Решите уравнения:

А) ,

Б)

2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение имеет:

Один корень,

Два различных корня.

Проверочная работа выполняется на отдельных листах, сдается учителю на проверку.

После сдачи работы решение высвечивается на экран.

Изучение нового материала.

4.1. Франсуа Виет – французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III и Генриха II .

Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом.

Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»

Как связаны между собой корни квадратного трёхчлена и его коэффициенты p и q ? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета, которую мы будем сегодня изучать.

Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.

4.2.Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения.

Определение. Квадратное уравнение вида называется приведенным.

Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице.

Пример. .

Всякое квадратное уравнение может быть приведено к виду . Для этого необходимо разделить обе части уравнения на .

Например , уравнение 7Х 2 – 12Х + 14 = 0 делением на 7 приводится к виду

Х 2 – 12/7Х + 2 = 0

4.3. Вывести формулы корней приведенного квадратного уравнения.

a , b , c

a=1 , b=p , c=q

Решите уравнение Х 2 – 14Х – 15 =0 (Ученик решает у доски)

Вопросы:

Назовите коэффициенты p и q (-14, -15);

Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения;

Найдите корни данного уравнения (Х 1 = 15, Х 2 = -1)

4.4. сформулировать и доказать теорему Виета.

Если и - корни уравнения , то справедливы формулы , т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

После этого учителем проводится доказательство теоремы. Затем совместно с учащимися делает вывод.

Пример. . p =-5,q =6.

Значит числа и - числа

положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых

равно 6, а сумма равна 5. =2, =3 – корни уравнения.

4.5. Применение теоремы Виета .

С её помощью можно:

 Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,

 Зная один из корней, найти другой,

 Определить знаки корней уравнения,

 Подобрать корни уравнения, не решая его.

4.6. Сформулируем теорему обратную теореме Виета.

Если числа p , q , и таковы, что удовлетворяют соотношения , то , - корни квадратного уравнения .

Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, выносится на дом для самостоятельно изучения сильным учащимся.

4.7. рассмотреть решение задачи 5 на странице учебника 125.

Закрепление изученного материала

№ 450 (1)

№ 451 (1, 3, 5) - устно

№ 452 (устно)

№ 455 (1,3)

№ 456 (1, 3)

Подведение итогов урока.

Ответьте на вопросы:

Сформулируйте теорему Виета.

 Зачем нужна теорема Виета?

 Сформулируйте обратную теорему теореме Виета.

Домашнее задание.

§29 (до задачи 6), № 450(2,4,6); 455(2,4); 456(2,4,6).

Дополнительные задания.

Уровень А.

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.

Уровень В.

1.Найдите сумму и произведение корней уравнения:

2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и .

Уровень С.

1. Разобрать доказательство теоремы, обратной теореме Виета

2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

Схема конспекта урока

Этапы работы

Содержание этапа

Организационный момент , включающий:

постановку цели, которая должна быть достигнута учащимися на данном этапе урока (что должно быть сделано учащимися, чтобы их дальнейшая работа на уроке была эффективной)

описание методов организации работы учащихся на начальном этапе урока, настроя учеников на учебную деятельность, предмет и тему урока (с учетом реальных особенностей класса, с которым работает педагог)

Программные требования к математической подготовке учащихся по этой теме заключается в введении понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы (из программы для общеобразовательных учреждений).

Учащиеся 8-го класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Лучший способ организовать внимание – так организовать учебную деятельность, чтобы у учеников не было ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.

На основании сказанного выше целью урока является решение следующих задач:
а) образовательные: введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.

б) развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать;
в) воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.

Для того, чтобы учащиеся восприняли урок как логически законченный, целостный, ограниченный во времени отрезок учебно-воспитательного процесса, он начинается с постановки обоснования задач и заканчивается подведением итогов и постановкой задач на следующие уроки.

Опрос учащихся по заданному на дом материалу , включающий:

определение целей, которые учитель ставит перед учениками на данном этапе урока (какой результат должен быть достигнут учащимися);

определение целей и задач, которых учитель хочет достичь на данном этапе урока;

описание методов, способствующих решению поставленных целей и задач;

описание критериев достижения целей и задач данного этапа урока;

определение возможных действий педагога в случае, если ему или учащимся не удается достичь поставленных целей;

описание методов организации совместной деятельности учащихся с учетом особенностей класса, с которым работает педагог;

описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе опроса;

описание методов и критериев оценивания ответов учащихся в ходе опроса.

На первом этапе происходит фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся. При этом происходит повторение решения квадратных уравнений и закрепление определения количества корней по его дискриминанту. Осуществляется переход к определению приведенного квадратного уравнения.

На втором этапе рассматриваются уравнения двух видов. Чтобы учащиеся не уставали от однообразной работы, применяются различные формы работы и варианты заданий, включены задания более высокого уровня (с параметром).

Устная работа учащихся чередуется с письменной, которая состоит в обосновании выбора способа решения квадратного уравнения, анализе решения уравнения

Одним из приёмов педагогической поддержки, является использование в качестве наглядности информационных технологий, которые помогают учащимся разных уровней подготовленности легко усваивать материал, поэтому отдельные моменты урока проводятся с использованием презентации (показ решения самостоятельной работы, вопросы, домашнее задание)

Изучение нового учебного материала. Данный этап предполагает:

изложение основных положений нового учебного материала, который должен быть освоен учащимися;

описание форм и методов изложения (представления) нового учебного материала;

описание основных форм и методов организации индивидуальной и групповой деятельности учащихся с учетом особенностей класса, в котором работает педагог;

описание критериев определения уровня внимания и интереса учащихся к излагаемому педагогом учебному материалу;

описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе освоения нового учебного материала

Дается определение приведенного квадратного уравнения. Учитель совместно с учениками проводит вывод формул корней приведенного квадратного уравнения, учащиеся осознают значимость учебного материала урока. Разбор формулировки и доказательства теоремы Виета также происходит совместно с учениками

Такая работа является также закреплением изучения нового материала.

Методы:

наглядный;

практический;

словесный;

частично-поисковый

Закрепление учебного материала , предполагающее:

постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);

определение целей и задач, которые ставит перед собой учитель на данном этапе урока;

описание форм и методов достижения поставленных целей в ходе закрепления нового учебного материала с учетом индивидуальных особенностей учащихся, с которыми работает педагог.

описание критериев, позволяющих определить степень усвоения учащимися нового учебного материала;

описание возможных путей и методов реагирования на ситуации, когда учитель определяет, что часть учащихся не освоила новый учебный материал.

Закрепление учебного материала происходит при ответах на вопросы и в работе с учебником:

Разбор задачи №5 на странице 125;

Решение упражнений

№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) – устно, 452 (устно);

455 (1,3); 456 (1, 3)

На протяжении всего урока наблюдается высокая активность учащихся, учитель имеет возможность опросить всех учащихся класса, а некоторых даже не один раз.

Подводится итог урока в форме фронтального опроса учащихся по вопросам:

Какие уравнения называются приведенными?

Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?

Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения

Сформулируйте теорему Виета.

Чему равна сумма и произведение корней уравнения:

Задание на дом , включающее:

постановку целей самостоятельной работы для учащихся (что должны сделать учащиеся в ходе выполнения домашнего задания);

определение целей, которые хочет достичь учитель, задавая задание на дом;

определение и разъяснение учащимся критериев успешного выполнения домашнего задания.

В домашней работе предполагается, что учащиеся работают в соответствии со своими возможностями. Сильные учащиеся работают самостоятельно и в конце работы имеют возможность проверить правильность своих решений, сверив их с решениями, записанными на доске в начале следующего урока. Другие учащиеся могут получить консультацию своих одноклассников или учителя. Слабые учащиеся работают, опираясь на примеры, используют решения уравнений, разобранных в классе. Таким образом, создаются условия для работы на различных уровнях сложности.

Квадратные уравнения. Дискриминант. Решение, примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является "квадратное". Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение - это уравнение вида:

Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе...

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде - первый этап делать не нужно.) Главное - правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём - ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения .

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым - абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1 - то, что меньше, а х 2 - то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х 1 = -3 , х 2 = 3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D . Формула дискриминанта:

D = b 2 - 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально никак не называют... Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не обойтись. Особенно - в уравнениях с параметрами. Такие уравнения - высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось - надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке "Как решать уравнения? Тождественные преобразования". При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 - 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 - 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 = 2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х - любое число

х 1 = -3
х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения - не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные - нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Видеоурок 2: Решение квадратных уравнений

Лекция: Квадратные уравнения

Уравнение

Уравнение - это некое равенство, в выражениях которого имеется переменная.

Решить уравнение - значит найти такое число вместо переменной, которое будет приводить его в верное равенство.

Уравнение может иметь одно решение или несколько, или же не иметь его вообще.

Для решения любого уравнения его следует максимально упростить до вида:

Линейное: a*x = b;

Квадратное: a*x 2 + b*x + c = 0.

То есть любые уравнение перед решением нужно преобразовать до стандартного вида.

Любое уравнение можно решить двумя способами: аналитическим и графическим.

На графике решением уравнения считаются точки, в которых график пересекает ось ОХ.

Квадратные уравнения

Уравнение можно назвать квадратным, если при упрощении оно приобретает вид:

a*x 2 + b*x + c = 0.

При этом a, b, c являются коэффициентами уравнения, отличающиеся от нуля. А "х" - корень уравнения. Считается, что квадратное уравнение имеет два корня или могут не иметь решения вообще. Полученные корни могут быть одинаковыми.

"а" - коэффициент, который стоит перед корнем в квадрате.

"b" - стоит перед неизвестной в первой степени.

"с" - свободный член уравнения.

Если, например, мы имеем уравнение вида:

2х 2 -5х+3=0

В нем "2" - это коэффициент при старшем члене уравнения, "-5" - второй коэффициент, а "3" - свободный член.

Решение квадратного уравнения

Существует огромное множество способов решения квадратного уравнения. Однако, в школьном курсе математики изучается решение по теореме Виета, а также с помощью дискриминанта.

Решение по дискриминанту:

При решении с помощью данного метода необходимо вычислить дискриминант по формуле:

Если при вычислениях Вы получили, что дискриминант меньше нуля, это значит, что данное уравнение не имеет решений.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых решения. В таком случае многочлен можно свернуть по формуле сокращенного умножения в квадрат суммы или разности. После чего решить его, как линейное уравнение. Или воспользоваться формулой:

Если же дискриминант больше нуля, то необходимо воспользоваться следующим методом:

Теорема Виета

Если уравнение приведенное, то есть коэффициент при старшем члене равен единице, то можно воспользоваться теоремой Виета .

Итак, предположим, что уравнение имеет вид:

Корни уравнения находятся следующим образом:

Неполное квадратное уравнение

Существует несколько вариантов получения неполного квадратного уравнения, вид которых зависит от наличия коэффициентов.

1. Если второй и третий коэффициент равен нулю (b = 0, с = 0) , то квадратное уравнение будет иметь вид:

Данное уравнение будет иметь единственное решение. Равенство будет верным только в том случае, когда в качестве решения уравнения будет ноль.

Квадратные уравнения. Общая информация.

В квадратном уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате (поэтому оно и называется

«квадратным»). Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и

просто число (свободный член ). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Алгебраическое уравнение общего вида.

где x — свободная переменная, a , b , c — коэффициенты, причём a ≠0 .

Например :

Выражение называют квадратным трёхчленом .

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:

· называют первым или старшим коэффициентом,

· называют вторым или коэффициентом при ,

· называют свободным членом.

Полное квадратное уравнение.

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с

коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с. В се коэффициенты

должны быть отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме

старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Предположим, что b = 0, - пропадёт икс в первой степени. Получается, например:

2х 2 -6х=0,

И т.п. А если оба коэффициента, b и c равны нулю, то всё ещё проще, например:

2х 2 =0,

Обратите внимание, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Почему а не может быть равно нулю? Тогда исчезнет икс в квадрате и уравнение станет линейным .

И решается уже совсем иначе...

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Пример квадратного уравнения:

3x 2 + 2x – 5 = 0.

Здесь а = 3, b = 2, c = –5.

Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения.

Число a называют первым коэффициентом , число b – вторым коэффициентом , а число c – свободным членом .

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением .

Примеры приведенного квадратного уравнения:

x 2 + 10x – 11 = 0

x 2 – x – 12 = 0

x 2 – 6х + 5 = 0

здесь коэффициент при x 2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).

Неполное квадратное уравнение.

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением .

Примеры неполного квадратного уравнения:

2x 2 + 18 = 0

здесь есть коэффициент а , который равен -2, есть коэффициент c , равный 18, а коэффициента b нет – он равен нулю.

x 2 – 5x = 0

здесь а = 1, b = -5, c = 0 (поэтому коэффициент c в уравнении отсутствует).

Как решать квадратные уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:

1) Найти дискриминант D по формуле:

D = b 2 – 4 ac .

Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то

2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:

– b ± √ D
х 1,2 = -----.
2а

Пример : Решить квадратное уравнение 3х 2 – 5х – 2 = 0.

Решение :

Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:

а = 3, b = –5, c = –2.

Вычисляем дискриминант:

D = b 2 – 4ac = (–5) 2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.

Находим корни квадратного уравнения:

–b + √D 5 + 7 12
х 1 = ----- = ---- = -- = 2
2а 6 6

–b – √D 5 – 7 2 1
х 2 = ----- = ---- = – -- = – --.
2а 6 6 3

1
Ответ : х 1 = 2, х 2 = – --.