Множественная регрессия не является результатом преобразования уравнения:

-
;

-
.

Линеаризация подразумевает процедуру …

- приведения уравнения множественной регрессии к парной;

+ приведения нелинейного уравнения к линейному виду;

- приведения линейного уравнения к нелинейному виду;

- приведения нелинейного уравнения относительно параметров к уравнению, линейному относительно результата.

Остатки не изменяются;

Уменьшается количество наблюдений

В стандартизованном уравнении множественной регрессии переменными являются:

Исходные переменные;

Стандартизованные параметры;

Средние значения исходных переменных;

Стандартизованные переменные.

Одним из методов присвоения числовых значений фиктивным переменным является. . .

+– ранжирование;

Выравнивание числовых значений по возрастанию;

Выравнивание числовых значений по убыванию;

Нахождение среднего значения.

В матрице парных коэффициентов корреляции отображены значения парных коэффициентов линейной корреляции между. . . .

Переменными;

Параметрами;

Параметрами и переменными;

Переменными и случайными факторами.

Метод оценки параметров моделей с гетероскедастичными остатками называется ____________ методом наименьших квадратов:

Обычным;

Косвенным;

Обобщенным;

Минимальным.

Дано уравнение регрессии . Определите спецификацию модели.

Полиномиальное уравнение парной регрессии;

Линейное уравнение простой регрессии;

Полиномиальное уравнение множественной регрессии;

Линейное уравнение множественной регрессии.

В стандартизованном уравнении свободный член ….

Равен 1;

Равен коэффициенту множественной детерминации;

Равен коэффициенту множественной корреляции;

Отсутствует.

В качестве фиктивных переменных в модель множественной регрессии включаются факторы,

Имеющие вероятностные значения;

Имеющие количественные значения;

Не имеющие качественных значений;

Не имеющие количественных значений.

Факторы эконометрической модели являются коллинеарными, если коэффициент …

Корреляции между ними по модулю больше 0,7;

Детерминации между ними по модулю больше 0,7;

Детерминации между ними по модулю меньше 0,7;

Обобщенный метод наименьших квадратов отличается от обычного МНК тем, что при применении ОМНК …

Преобразуются исходные уровни переменных;

Остатки не изменяются;

Остатки приравниваются к нулю;

Уменьшается количество наблюдений.

Объем выборки определяется …

Числовыми значением переменных, отбираемых в выборку;

Объемом генеральной совокупности;

Числом параметров при независимых переменных;

Числом результативных переменных.

11. Множественная регрессия не является результатом преобразования уравнения:

+-
;

-
;

-
.

Исходные значения фиктивных переменных предполагают значения …

Качественные;

Количественно измеримые;

Одинаковые;

Значения.

Обобщенный метод наименьших квадратов подразумевает …

Преобразование переменных;

Переход от множественной регрессии к парной;

Линеаризацию уравнения регрессии;

Двухэтапное применение метода наименьших квадратов.

Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид . Определите какой из факторовили:

+- , так как 3,7>2,5;

Оказывают одинаковое влияние;

- , так как 2,5>-3,7;

По этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как коэффициенты регрессии несравнимы между собой.

Включение фактора в модель целесообразно, если коэффициент регрессии при этом факторе является …

Нулевым;

Незначимым;

Существенным;

Несущественным.

Что преобразуется при применении обобщенного метода наименьших квадратов?

Стандартизованные коэффициенты регрессии;

Дисперсия результативного признака;

Исходные уровни переменных;

Дисперсия факторного признака.

Проводится исследование зависимости выработки работника предприятия от ряда факторов. Примером фиктивной переменной в данной модели будет являться ______ работника.

Возраст;

Уровень образования;

Заработная плата.

Переход от точечного оценивания к интервальному возможен, если оценки являются:

Эффективными и несостоятельными;

Неэффективными и состоятельными;

Эффективными и несмещенными;

Состоятельными и смещенными.

Матрица парных коэффициентов корреляции строится для выявления коллинеарных и мультиколлинеарных …

Параметров;

Случайных факторов;

Существенных факторов;

Результатов.

На основании преобразования переменных при помощи обобщенного метода наименьших квадратов получаем новое уравнение регрессии, которое представляет собой:

Взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами
;

;

Нелинейную регрессию, в которой переменные взяты с весами
;

Взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами .

Если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного значения, то гипотеза о статистической незначимости уравнения …

Отвергается;

Незначима;

Принимается;

Несущественна.

Если факторы входят в модель как произведение, то модель называется:

Суммарной;

Производной;

Аддитивной;

Мультипликативной.

Уравнение регрессии, которое связывает результирующий признак с одним из факторов при зафиксированных на среднем уровне значении других переменных, называется:

Множественным;

Существенным;

Частным;

Несущественным.

Относительно количества факторов, включенных в уравнение регрессии, различают …

Линейную и нелинейную регрессии;

Непосредственную и косвенную регрессии;

Простую и множественную регрессию;

Множественную и многофакторную регрессию.

Требованием к уравнениям регрессии, параметры которых можно найти при помощи МНК является:

Равенство нулю значений факторного признака4

Нелинейность параметров;

Равенство нулю средних значений результативной переменной;

Линейность параметров.

Метод наименьших квадратов не применим для …

Линейных уравнений парной регрессии;

Полиномиальных уравнений множественной регрессии;

Уравнений, нелинейных по оцениваемым параметрам;

Линейных уравнений множественной регрессии.

При включении фиктивных переменных в модель им присваиваются …

Нулевые значения;

Числовые метки;

Одинаковые значения;

Качественные метки.

Если между экономическими показателями существует нелинейная связь, то …

Нецелесообразно использовать спецификацию нелинейного уравнения регрессии;

Целесообразно использовать спецификацию нелинейного уравнения регрессии;

Целесообразно использовать спецификацию линейного уравнение парной регрессии;

Необходимо включить в модель другие факторы и использовать линейное уравнение множественной регрессии.

Результатом линеаризации полиномиальных уравнений является …

Нелинейные уравнения парной регрессии;

Линейные уравнения парной регрессии;

Нелинейные уравнения множественной регрессии;

Линейные уравнения множественной регрессии.

В стандартизованном уравнении множественной регрессии
0,3;
-2,1. Определите, какой из факторовилиоказывает более сильное влияние на:

+- , так как 2,1>0,3;

По этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как неизвестны значения «чистых» коэффициентов регрессии;

- , так как 0,3>-2,1;

По этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как стандартизированные коэффициенты несравнимы между собой.

Факторные переменные уравнения множественной регрессии, преобразованные из качественных в количественные называются …

Аномальными;

Множественными;

Парными;

Фиктивными.

Оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно найти при помощи метода:

Средних квадратов;

Наибольших квадратов;

Нормальных квадратов;

Наименьших квадратов.

Основным требованием к факторам, включаемым в модель множественной регрессии, является:

Отсутствие взаимосвязи между результатом и фактором;

Отсутствие взаимосвязи между факторами;

Отсутствие линейной взаимосвязи между факторами;

Наличие тесной взаимосвязи между факторами.

Фиктивные переменные включаются в уравнение множественной регрессии для учета действия на результат признаков …

Качественного характера;

Количественного характера;

Несущественного характера;

Случайного характера.

Из пары коллинеарных факторов в эконометрическую модель включается тот фактор,

Который при достаточно тесной связи с результатом имеет наибольшую связь с другими факторами;

Который при отсутствии связи с результатом имеет максимальную связь с другими факторами;

Который при отсутствии связи с результатом имеет наименьшую связь с другими факторами;

Который при достаточно тесной связи с результатом имеет меньшую связь с другими факторами.

Гетероскедастичность подразумевает …

Постоянство дисперсии остатков независимо от значения фактора;

Зависимость математического ожидания остатков от значения фактора;

Зависимость дисперсии остатков от значения фактора;

Независимость математического ожидания остатков от значения фактора.

Величина остаточной дисперсии при включении существенного фактора в модель:

Не изменится;

Будет увеличиваться;

Будет равно нулю;

Будет уменьшаться.

Если спецификация модели отображает нелинейную форму зависимости между экономическими показателями, то нелинейно уравнение …

Регрессии;

Детерминации;

Корреляции;

Аппроксимации.

Исследуется зависимость, которая характеризуется линейным уравнением множественной регрессии. Для уравнения рассчитано значение тесноты связи результативной переменной с набором факторов. В качестве этого показателя был использован множественный коэффициент …

Корреляции;

Эластичности;

Регрессии;

Детерминации.

Строится модель зависимости спроса от ряда факторов. Фиктивной переменной в данном уравнении множественной регрессии не является _________потребителя.

Семейное положение;

Уровень образования;

Для существенного параметра расчетное значение критерия Стьюдента …

Больше табличного значения критерия;

Равно нулю;

Не больше табличного значения критерия Стьюдента;

Меньше табличного значения критерия.

Систему МНК, построенную для оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно решить …

Методом скользящего среднего;

Методом определителей;

Методом первых разностей;

Симплекс-методом.

Показатель, характеризующий на сколько сигм изменится в среднем результат при изменении соответствующего фактора на одну сигму, при неизменном уровне других факторов, называется ____________коэффициентом регрессии

Стандартизованным;

Нормализованным;

Выровненным;

Центрированным.

Мультиколлинеарность факторов эконометрической модели подразумевает …

Наличие нелинейной зависимости между двумя факторами;

Наличие линейной зависимости между более чем двумя факторами;

Отсутствие зависимости между факторами;

Наличие линейной зависимости между двумя факторами.

Обобщенный метод наименьших квадратов не используется для моделей с _______ остатками.

Автокоррелированными и гетероскедастичными;

Гомоскедастичными;

Гетероскедастичными;

Автокоррелированными.

Методом присвоения числовых значений фиктивным переменным не является:

Ранжирование;

Присвоение цифровых меток;

Нахождения среднего значения;

Присвоение количественных значений.

Нормально распределенных остатков;

Гомоскедастичных остатков;

Автокорреляции остатков;

Автокорреляции результативного признака.

Отбор факторов в модель множественной регрессии при помощи метода включения основан на сравнении значений …

Общей дисперсии до и после включения фактора в модель;

Остаточной дисперсии до и после включения случайных факторов в модель;

Дисперсии до и после включения результата в модель;

Остаточной дисперсии до и после включения фактора модель.

Обобщенный метод наименьших квадратов используется для корректировки …

Параметров нелинейного уравнения регрессии;

Точности определения коэффициента множественной корреляции;

Автокорреляции между независимыми переменными;

Гетероскедастичности остатков в уравнении регрессии.

После применения обобщенного метода наименьших квадратов удается избежать_________ остатков

Гетероскедастичности;

Нормального распределения;

Равенства нулю суммы;

Случайного характера.

Фиктивные переменные включаются в уравнения ____________регрессии

Случайной;

Парной;

Косвенной;

Множественной.

Взаимодействие факторов эконометрической модели означает, что …

Влияние факторов на результирующий признак зависит от значений другого неколлинеарного им фактора;

Влияние факторов на результирующий признак усиливается, начиная с определенного уровня значений факторов;

Факторы дублируют влияние друг друга на результат;

Влияние одного из факторов на результирующий признак не зависит от значений другого фактора.

Тема Множественная регрессия (Задачи)

Уравнение регрессии, построенное по 15 наблюдениям, имеет вид:

Пропущенные значения, а также доверительный интервал для

с вероятностью 0,99 равны:

Уравнение регрессии, построенное по 20 наблюдениям, имеет вид:

с вероятностью 0,9 равны:

Уравнение регрессии, построенное по 16 наблюдениям, имеет вид:

Пропущенные значения, а также доверительный интервал для с вероятностью 0,99 равны:

Уравнение регрессии в стандартизированном виде имеет вид:

Частные коэффициенты эластичности равны:

Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:

Частные коэффициенты эластичности равны:

Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:

Частные коэффициенты эластичности равны:

Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:

Частные коэффициенты эластичности равны:

Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:

Частные коэффициенты эластичности равны:

По 18 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

равны:

По 17 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

По 22 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

По 25 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

По 24 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

По 28 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

По 26 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

В уравнении регрессии:

Восстановить пропущенные характеристики; построить доверительный интервал для с вероятностью 0,95, еслиn=12

Экономические данные представляют собой количественные характеристики каких-либо экономических объектов или процессов. Они формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обусловливать случайность данных, которые они определяют. Одной из основных задач в экономических исследованиях является анализ зависимостей между переменными.

Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить прежде всего два типа связей:

• функциональные - характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины: каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Этот тип связи выражается в виде формульной зависимости. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками. Так, величина заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов;
• корреляционные - между изменением двух признаков нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем, при массовом наблюдении фактических данных. Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

Следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между признаками можно, зная величину факторного признака, точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака.

Изучая взаимосвязи между признаками, их классифицируют по направлению, форме, числу факторов:

• по направлению связи делятся на прямые и обратные. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора. При обратной связи направление изменения результативного признака противоположно направлению изменения признака- фактора. Например, чем выше квалификация рабочего, тем выше уровень производительности его труда (прямая связь). Чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции (обратная связь);
• по форме (виду функции) связи делят на линейные (прямолинейные) и нелинейные (криволинейные). Линейная связь отображается прямой линией, нелинейная - кривой (парабол ой, гиперболой и т.п.). При линейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит равномерное возрастание (убывание) значения результативного признака;
• по количеству факторов, действующих на результативный признак, связи подразделяют на однофакторные (парные) и многофакторные.

Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции .

При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит п наблюдений.

При изучении взаимосвязи между двумя факторами их, как правило, обозначают Х= (х р х 2 , ...,х п) и Y= (у { , у 2 , ...,у и).

Ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух переменных. Например, положительное значение ковариации доходности двух ценных бумаг показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону.

Ковариация между двумя переменными X и Y рассчитывается следующим образом:

где- фактические значения переменных

X и г;

Если случайные величины Хи Y независимы, теоретическая ковариация равна нулю.

Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные Хи У, она является ненормированной величиной. Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции.

Для двух переменных X и Y коэффициент парной корреляции

определяется следующим образом:

где SSy - оценки дисперсий величин Хи Y. Эти оценки характеризуют степень разброса значений х { ,х 2 , ...,х п (у 1 ,у 2 ,у п) вокруг своего среднего х (у соответственно), или вариабельность (изменчивость) этих переменных на множестве наблюдений.

Дисперсия (оценка дисперсии) определяется по формуле

В общем случае для получения несмещенной оценки дисперсии сумму квадратов следует делить на число степеней свободы оценки (п-р), где п - объем выборки, р - число наложенных на выборку связей. Так как выборка уже использовалась один раз для определения среднего X, то число наложенных связей в данном случае равно единице (р = 1), а число степеней свободы оценки (т.е. число независимых элементов выборки) равно (п - 1).

Более естественно измерять степень разброса значений переменных в тех же единицах, в которых измеряется и сама переменная. Эту задачу решает показатель, называемый среднеквадратическим отклонением (стандартным отклонением ) или стандартной ошибкой переменной X (переменной Y) и определяемый соотношением

Слагаемые в числителе формулы (3.2.1) выражают взаимодействие двух переменных и определяют знак корреляции (положительная или отрицательная). Если, например, между переменными существует сильная положительная взаимосвязь (увеличение одной переменной при увеличении второй), каждое слагаемое будет положительным числом. Аналогично, если между переменными существует сильная отрицательная взаимосвязь, все слагаемые в числителе будут отрицательными числами, что в результате дает отрицательное значение корреляции.

Знаменатель выражения для коэффициента парной корреляции [см. формулу (3.2.2)] просто нормирует числитель таким образом, что коэффициент корреляции оказывается легко интерпретируемым числом, не имеющим размерности, и принимает значения от -1 до +1.

Числитель выражения для коэффициента корреляции, который трудно интерпретировать из-за необычных единиц измерения, есть ковариация ХиУ. Несмотря на то что иногда она используется как самостоятельная характеристика (например, в теории финансов для описания совместного изменения курсов акций на двух биржах), удобнее пользоваться коэффициентом корреляции. Корреляция и ковариация представляют, по сути, одну и ту же информацию, однако корреляция представляет эту информацию в более удобной форме.

Для качественной оценки коэффициента корреляции применяются различные шкалы, наиболее часто - шкала Чеддока. В зависимости от значения коэффициента корреляции связь может иметь одну из оценок:

• 0,1-0,3 - слабая;
• 0,3-0,5 - заметная;
• 0,5-0,7 - умеренная;
• 0,7-0,9 - высокая;
• 0,9-1,0 - весьма высокая.

Оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции проводится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. В связи с этим возникает необходимость оценки существенности линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность.

Оценка значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием 7-критерия Стьюдента. При этом фактическое (наблюдаемое) значение этого критерия определяется по формуле

Вычисленное по этой формуле значение / набл сравнивается с критическим значением 7-критерия, которое берется из таблицы значений /-критерия Стьюдента (см. Приложение 2) с учетом заданного уровня значимости ос и числа степеней свободы (п - 2).

Если 7 набл > 7 табл, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Если значение г у х близко к нулю, связь между переменными слабая. Если корреляция между случайными величинами:

• положительная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать;
• отрицательная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем убывать. Удобным графическим средством анализа парных данных является диаграмма рассеяния , которая представляет каждое наблюдение в пространстве двух измерений, соответствующих двум факторам. Диаграмму рассеяния, на которой изображается совокупность значений двух признаков, называют еще корреляционным полем. Каждая точка этой диаграммы имеет координаты х (. и у г По мере того как возрастает сила линейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой линии, а величина г будет ближе к единице.

Коэффициенты парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Для множества признаков получают матрицу коэффициентов парной корреляции.

Пусть вся совокупность данных состоит из переменной Y = = (у р у 2 , ..., у п) и т переменных (факторов) X, каждая из которых содержит п наблюдений. Значения переменных Y и X, содержащиеся в наблюдаемой совокупности, записываются в таблицу (табл. 3.2.1).

Таблица 3.2.1

Переменная Номер наблюдения
					Х тЗ
					Х тп

На основании данных, содержащихся в этой таблице, вычисляют матрицу коэффициентов парной корреляции R, она симметрична относительно главной диагонали:

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции используют при построении моделей множественной регрессии.

Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим в многомерном корреляционном анализе рассматривается две задачи:

• 1. Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ.
• 2. Определение тесноты связи между двумя величинами при фиксировании или исключении влияния остальных величин.

Эти задачи решаются соответственно с помощью коэффициентов множественной и частной корреляции.

Решение первой задачи (определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ) осуществляется с помощью выборочного коэффициента множественной корреляции по формуле

где R - R [см. формулу (3.2.6)]; Rjj - алгебраическое дополнение элемента той же матрицы R.

Квадрат коэффициента множественной корреляции Щ j 2 j _j J+l m принято называть выборочным множественным коэффициентом детерминации ; он показывает, какую долю вариации (случайного разброса) исследуемой величины Xj объясняет вариация остальных случайных величин Х { , Х 2 ,..., Х т.

Коэффициенты множественной корреляции и детерминации являются величинами положительными, принимающими значения в интервале от 0 до 1. При приближении коэффициента R 2 к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случайных величин, но не о ее направлении. Коэффициент множественной корреляции может только увеличиваться, если в модель включать дополнительные переменные, и не увеличится, если исключать какие-либо из имеющихся признаков.

Проверка значимости коэффициента детерминации осуществляется путем сравнения расчетного значения /’-критерия Фишера

с табличным F raбл. Табличное значение критерия (см. Приложение 1) определяется заданным уровнем значимости а и степенями свободы v l = mnv 2 = n-m-l. Коэффициент R 2 значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство

Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других величин. В связи с этим возникает необходимость исследования частной корреляции между величинами при исключении влияния других случайных величин (одной или нескольких).

Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по формуле

где R Jk , Rjj, R kk - алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы R [см. формулу (3.2.6)].

Частный коэффициент корреляции, также как и парный коэффициент корреляции, изменяется от -1 до +1.

Выражение (3.2.9) при условии т = 3 будет иметь вид

Коэффициент г 12(3) называется коэффициентом корреляции между х { и х 2 при фиксированном х у Он симметричен относительно первичных индексов 1, 2. Его вторичный индекс 3 относится к фиксированной переменной.

Пример 3.2.1. Вычисление коэффициентов парной,

множественной и частной корреляции.

В табл. 3.2.2 представлена информация об объемах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.

• 1. Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объем продаж» и «индекс потребительских расходов».
• 2. Определить степень влияния индекса потребительских расходов на объем продаж (вычислить коэффициент парной корреляции).
• 3. Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции.
• 4. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным.
• 5. Найти оценку множественного коэффициента корреляции.
• 6. Найти оценки коэффициентов частной корреляции.

1. В нашем примере диаграмма рассеяния имеет вид, приведенный на рис. 3.2.1. Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями переменных Х 2 Y (объем продаж).

Рис. 3.2.1.

2. Промежуточные расчеты при вычислении коэффициента корреляции между переменными Х 2 (индекс потребительских расходов) и Y (объем продаж) приведены в табл. 3.2.3.

Средние значения случайных величин Х 2 и Y, которые являются наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности jCj, х 2 , ..., х 16 и y v y 2 , ..., у 16 , рассчитаем по следующим формулам:

Объем продаж Y, тыс. руб.		Индекс потреби тельских расходов	Объем продаж Y, тыс. руб.		Индекс потреби тельских расходов

Таблица 3.2.3

				л:, - х	(И - У)(х, - х)	(х, - х) 2	(у,- - у) 2

Дисперсия характеризует степень разброса значений x v x 2 ,х :

Рассмотрим теперь решение примера 3.2.1 в Excel.

Чтобы вычислить корреляцию средствами Excel, можно воспользоваться функцией =коррел (), указав адреса двух столбцов чисел, как показано на рис. 3.2.2. Ответ помещен в D8 и равен 0,816.

Рис. 3.2.2.

(Примечание. Аргументы функции коррел должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

Если массив! и массив2 имеют различное количество точек данных, то функция коррел возвращает значение ошибки #н/д.

Если массив1 либо массив2 пуст или если о (стандартное отклонение) их значений равно нулю, то функция коррел возвращает значение ошибки #дел/0 !.)

Критическое значение /-статистики Стьюдента может быть также получено с помощью функции стьюдраспробр 1 пакета Excel. В качестве аргументов функции необходимо задать число степеней свободы, равное п - 2 (в нашем примере 16 - 2= 14) и уровень значимости а (в нашем примере а = 0,1) (рис. 3.2.3). Если фактическое значение /-статистики, взятое по модулю, больше критического, то с вероятностью (1 - а) коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Рис. 3.2.3. Критическое значение /-статистики равно 1,7613

В Excel входит набор средств анализа данных (так называемый пакет анализа), предназначенный для решения различных статистических задач. Для вычисления матрицы коэффициентов парной корреляции R следует воспользоваться инструментом Корреляция (рис. 3.2.4) и установить параметры анализа в соответствующем диалоговом окне. Ответ будет помещен на новый рабочий лист (рис. 3.2.5).

1 В Excel 2010 название функции стьюдраспробр изменено на стью-

ДЕНТ.ОБР.2Х.

Рис. 3.2.4.

Рис. 3.2.5.

• Основоположниками теории корреляции считаются английские статистики Ф. Гальтон (1822-1911) и К. Пирсон (1857-1936). Термин «корреляция» был заимствован из естествознания и обозначает «соотношение, соответствие». Представление о корреляции как взаимозависимости между случайными переменными величинами лежит воснове математико-статистической теории корреляции.

Для определения степени зависимости между несколькими показателями применяется множественные коэффициенты корреляции. Их затем сводят в отдельную таблицу, которая имеет название корреляционной матрицы. Наименованиями строк и столбцов такой матрицы являются названия параметров, зависимость которых друг от друга устанавливается. На пересечении строк и столбцов располагаются соответствующие коэффициенты корреляции. Давайте выясним, как можно провести подобный расчет с помощью инструментов Excel.

Принято следующим образом определять уровень взаимосвязи между различными показателями, в зависимости от коэффициента корреляции:

• 0 – 0,3 – связь отсутствует;
• 0,3 – 0,5 – связь слабая;
• 0,5 – 0,7 – средняя связь;
• 0,7 – 0,9 – высокая;
• 0,9 – 1 – очень сильная.

Если корреляционный коэффициент отрицательный, то это значит, что связь параметров обратная.

Для того, чтобы составить корреляционную матрицу в Экселе, используется один инструмент, входящий в пакет «Анализ данных» . Он так и называется – «Корреляция» . Давайте узнаем, как с помощью него можно вычислить показатели множественной корреляции.

Этап 1: активация пакета анализа

Сразу нужно сказать, что по умолчанию пакет «Анализ данных» отключен. Поэтому, прежде чем приступить к процедуре непосредственного вычисления коэффициентов корреляции, нужно его активировать. К сожалению, далеко не каждый пользователь знает, как это делать. Поэтому мы остановимся на данном вопросе.

После указанного действия пакет инструментов «Анализ данных» будет активирован.

Этап 2: расчет коэффициента

Теперь можно переходить непосредственно к расчету множественного коэффициента корреляции. Давайте на примере представленной ниже таблицы показателей производительности труда, фондовооруженности и энерговооруженности на различных предприятиях рассчитаем множественный коэффициент корреляции указанных факторов.

Этап 3: анализ полученного результата

Теперь давайте разберемся, как понимать тот результат, который мы получили в процессе обработки данных инструментом «Корреляция» в программе Excel.

Как видим из таблицы, коэффициент корреляции фондовооруженности (Столбец 2 ) и энерговооруженности (Столбец 1 ) составляет 0,92, что соответствует очень сильной взаимосвязи. Между производительностью труда (Столбец 3 ) и энерговооруженностью (Столбец 1 ) данный показатель равен 0,72, что является высокой степенью зависимости. Коэффициент корреляции между производительностью труда (Столбец 3 ) и фондовооруженностью (Столбец 2 ) равен 0,88, что тоже соответствует высокой степени зависимости. Таким образом, можно сказать, что зависимость между всеми изучаемыми факторами прослеживается довольно сильная.

Как видим, пакет «Анализ данных» в Экселе представляет собой очень удобный и довольно легкий в обращении инструмент для определения множественного коэффициента корреляции. С его же помощью можно производить расчет и обычной корреляции между двумя факторами.

	y	x (1)	x (2)	x (3)	x (4)	x (5)
y	1.00	0.43	0.37	0.40	0.58	0.33
x (1)	0.43	1.00	0.85	0.98	0.11	0.34
x (2)	0.37	0.85	1.00	0.88	0.03	0.46
x (3)	0.40	0.98	0.88	1.00	0.03	0.28
x (4)	0.58	0.11	0.03	0.03	1.00	0.57
x (5)	0.33	0.34	0.46	0.28	0.57	1.00

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный показатель наиболее тесно связан с показателем x (4) - количество удобрений, расходуемых на 1 га ().

В то же время связь между признаками-аргументами достаточно тесная. Так, существует практически функциональная связь между числом колесных тракторов (x (1)) и числом орудий поверхностной обработки почвы .

О наличии мультиколлинеарности свидетельствуют также коэффициенты корреляции и . Учитывая тесную взаимосвязь показателей x (1) , x (2) и x (3) , в регрессионную модель урожайности может войти лишь один из них.

Чтобы продемонстрировать отрицательное влияние мультиколлинеарности, рассмотрим регрессионную модель урожайности, включив в нее все исходные показатели:

F набл = 121.

В скобках указаны значения исправленных оценок среднеквадратических отклонений оценок коэффициентов уравнения .

Под уравнением регрессии представлены следующие его параметры адекватности: множественный коэффициент детерминации ; исправленная оценка остаточной дисперсии , средняя относительная ошибка аппроксимации и расчетное значение -критерия F набл = 121.

Уравнение регрессии значимо, т.к. F набл = 121 > F kp = 2,85 найденного по таблице F -распределения при a=0,05; n 1 =6 и n 2 =14.

Из этого следует, что Q¹0, т.е. и хотя бы один из коэффициентов уравнения q j (j = 0, 1, 2, ..., 5) не равен нулю.

Для проверки гипотезы о значимости отдельных коэффициентов регрессии H0: q j =0, где j =1,2,3,4,5, сравнивают критическое значение t kp = 2,14, найденное по таблице t -распределения при уровне значимости a=2Q =0,05 и числе степеней свободы n=14, с расчетным значением . Из уравнения следует, что статистически значимым является коэффициент регрессии только при x (4) , так как ½t 4 ½=2,90 > t kp =2,14.

Не поддаются экономической интерпретации отрицательные знаки коэффициентов регрессии при x (1) и x (5) . Из отрицательных значений коэффициентов следует, что повышение насыщенности сельского хозяйства колесными тракторами (x (1)) и средствами оздоровления растений (x (5)) отрицательно сказывается на урожайности. Таким образом, полученное уравнение регрессии неприемлемо.

Для получения уравнения регрессии со значимыми коэффициентами используем пошаговый алгоритм регрессионного анализа. Первоначально используем пошаговый алгоритм с исключением переменных.

Исключим из модели переменную x (1) , которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение ½t 1 ½=0,01. Для оставшихся переменных вновь построим уравнение регрессии:

Полученное уравнение значимо, т.к. F набл = 155 > F kp = 2,90, найденного при уровне значимости a=0,05 и числах степеней свободы n 1 =5 и n 2 =15 по таблице F -распределения, т.е. вектор q¹0. Однако в уравнении значим только коэффициент регрессии при x (4) . Расчетные значения ½t j ½ для остальных коэффициентов меньше t кр = 2,131, найденного по таблице t -распределения при a=2Q =0,05 и n=15.

Исключив из модели переменную x (3) , которой соответствует минимальное значение t 3 =0,35 и получим уравнение регрессии:

(2.9)

В полученном уравнении статистически не значим и экономически не интерпретируем коэффициент при x (5) . Исключив x (5) получим уравнение регрессии:

(2.10)

Мы получили значимое уравнение регрессии со значимыми и интерпретируемыми коэффициентами.

Однако полученное уравнение является не единственно “хорошей” и не “самой лучшей” моделью урожайности в нашем примере.

Покажем, что в условии мультиколлинеарности пошаговый алгоритм с включением переменных является более эффективным. На первом шаге в модель урожайности y входит переменная x (4) , имеющая самый высокий коэффициент корреляции с y , объясняемой переменной -r (y , x (4))=0,58. На втором шаге, включая уравнение наряду с x (4) переменные x (1) или x (3) , мы получим модели, которые по экономическим соображениям и статистическим характеристикам превосходят (2.10):

(2.11)

(2.12)

Включение в уравнение любой из трех оставшихся переменных ухудшает его свойства. Смотри, например, уравнение (2.9).

Таким образом, мы имеем три “хороших” модели урожайности, из которых нужно выбрать по экономическим и статистическим соображениям одну.

По статистическим критериям наиболее адекватна модель (2.11). Ей соответствуют минимальные значения остаточной дисперсии =2,26 и средней относительной ошибки аппроксимации и наибольшие значения и F набл = 273.

Несколько худшие показатели адекватности имеет модель (2.12), а затем - модель (2.10).

Будем теперь выбирать наилучшую из моделей (2.11) и (2.12). Эти модели отличаются друг от друга переменными x (1) и x (3) . Однако в моделях урожайностей переменная x (1) (число колесных тракторов на 100 га) более предпочтительна, чем переменная x (3) (число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га), которая является в некоторой степени вторичной (или производной от x (1)).

В этой связи из экономических соображений предпочтение следует отдать модели (2.12). Таким образом, после реализации алгоритма пошагового регрессионного анализа с включением переменных и учета того, что в уравнение должна войти только одна из трех связанных переменных (x (1) , x (2) или x (3)) выбираем окончательное уравнение регрессии:

Уравнение значимо при a=0,05, т.к. F набл = 266 > F kp = 3,20, найденного по таблице F -распределения при a=Q =0,05; n 1 =3 и n 2 =17. Значимы и все коэффициенты регрессии и в уравнении ½t j ½>t kp (a=2Q =0,05; n=17)=2,11. Коэффициент регрессии q 1 следует признать значимым (q 1 ¹0) из экономических соображений, при этом t 1 =2,09 лишь незначительно меньше t kp = 2,11.

Из уравнения регрессии следует, что увеличение на единицу числа тракторов на 100 га пашни (при фиксированном значении x (4)) приводит к росту урожайности зерновых в среднем на 0,345 ц/га.

Приближенный расчет коэффициентов эластичности э 1 »0,068 и э 2 »0,161 показывает, что при увеличении показателей x (1) и x (4) на 1% урожайность зерновых повышается в среднем соответственно на 0,068% и 0,161%.

Множественный коэффициент детерминации свидетельствует о том, что только 46,9% вариации урожайности объясняется вошедшими в модель показателями (x (1) и x (4)), то есть насыщенностью растениеводства тракторами и удобрениями. Остальная часть вариации обусловлена действием неучтенных факторов (x (2) , x (3) , x (5) , погодные условия и др.). Средняя относительная ошибка аппроксимации характеризует адекватность модели, так же как и величина остаточной дисперсии . При интерпретации уравнения регрессии интерес представляют значения относительных ошибок аппроксимации . Напомним, что - модельное значение результативного показателя, характеризует среднее для совокупности рассматриваемых районов значение урожайности при условии, что значения объясняющих переменных x (1) и x (4) зафиксированы на одном и том же уровне, а именно x (1) = x i (1) и x (4) = x i (4) . Тогда по значениям d i можно сопоставлять районы по урожайности. Районы, которым соответствуют значения d i >0, имеют урожайность выше среднего, а d i <0 - ниже среднего.

В нашем примере, по урожайности наиболее эффективно растениеводство ведется в районе, которому соответствует d 7 =28%, где урожайность на 28% выше средней по региону, и наименее эффективно - в районе с d 20 =-27,3%.

Задачи и упражнения

2.1. Из генеральной совокупности (y , x (1) , ..., x (p)), где y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием и дисперсией s 2 , взята случайная выборка объемом n , и пусть (y i , x i (1) , ..., x i (p)) - результат i -го наблюдения (i =1, 2, ..., n ). Определить: а) математическое ожидание МНК-оценки вектора q ; б) ковариационную матрицу МНК-оценки вектора q ; в) математическое ожидание оценки .

2.2. По условию задачи 2.1 найти математическое ожидание суммы квадратов отклонений, обусловленных регрессией, т.е. EQ R , где

.

2.3. По условию задачи 2.1 определить математическое ожидание суммы квадратов отклонений, обусловленных остаточной вариацией относительно линий регрессии, т.е. EQ ост, где

2.4. Доказать, что при выполнении гипотезы Н 0: q=0 статистика

имеет F-распределение с числами степеней свободы n 1 =p+1 и n 2 =n-p-1.

2.5. Доказать, что при выполнении гипотезы Н 0: q j =0 статистика имеет t-распределение с числом степеней свободы n=n-p-1.

2.6. На основании данных (табл.2.3) о зависимости усушки кормового хлеба (y ) от продолжительности хранения (x ) найти точечную оценку условного математического ожидания в предположении, что генеральное уравнение регрессии - линейное.

Таблица 2.3.

Требуется: а) найти оценки и остаточной дисперсии s 2 в предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет вид ; б) проверить при a=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу Н 0: q=0; в) с надежностью g=0,9 определить интервальные оценки параметров q 0 , q 1 ; г) с надежностью g=0,95 определить интервальную оценку условного математического ожидания при х 0 =6; д) определить при g=0,95 доверительный интервал предсказания в точке х =12.

2.7. На основании данных о динамике темпов прироста курса акций за 5 месяцев, приведенных в табл. 2.4.

Таблица 2.4.

месяцы (x )
y (%)

и предположения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид , требуется: а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s 2 ; б) проверить при a=0,01 значимость коэффициента регрессии, т.е. гипотезы H 0: q 1 =0;

в) с надежностью g=0,95 найти интервальные оценки параметров q 0 и q 1 ; г) с надежностью g=0,9 установить интервальную оценку условного математического ожидания при x 0 =4; д) определить при g=0,9 доверительный интервал предсказания в точке x =5.

2.8. Результаты исследования динамики привеса молодняка приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5.

Предполагая, что генеральное уравнение регрессии - линейное, требуется: а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s 2 ; б) проверить при a=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезы H 0: q=0;

в) с надежностью g=0,8 найти интервальные оценки параметров q 0 и q 1 ; г) с надежностью g=0,98 определить и сравнить интервальные оценки условного математического ожидания при x 0 =3 и x 1 =6;

д) определить при g=0,98 доверительный интервал предсказания в точке x =8.

2.9. Себестоимость (y ) одного экземпляра книги в зависимости от тиража (x ) (тыс.экз.) характеризуется данными, собранными издательством (табл.2.6). Определить МНК-оценки и параметров уравнения регрессии гиперболического вида , с надежностью g=0,9 построить доверительные интервалы для параметров q 0 и q 1 , а также условного математического ожидания при x =10.

Таблица 2.6.

Определить оценки и параметров уравнения регрессии вида , проверить при a=0,05 гипотезу Н 0: q 1 =0 и построить с надежностью g=0,9 доверительные интервалы для параметров q 0 и q 1 и условного математического ожидания при x =20.

2.11. В табл. 2.8 представленные данные о темпах прироста (%) следующих макроэкономических показателей n =10 развитых стран мира за 1992г.: ВНП - x (1) , промышленного производства - x (2) , индекса цен - x (3) .

Таблица 2.8.

Страны

x и параметров уравнения регрессии, оценку остаточной дисперсии; б) проверить при a=0,05 значимость коэффициента регрессии, т.е. Н 0: q 1 =0; в) с надежностью g=0,9 найти интервальные оценки q 0 и q 1 ; г) найти при g=0,95 доверительный интервал для в точке х 0 =х i , где i =5; д) сравнить статистические характеристики уравнений регрессий: 1, 2 и 3. 2.12. Задачу 2.11 решить, приняв за объясняемую величину (у ) показатель x (1) , а за объясняющую (х ) переменную x (3) . 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник. М., ЮНИТИ, 1998 (2-е издание 2001); 2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: Учебник. М. ЮНИТИ – ДАНА, 2001; 3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М., Финансы и статистика, 1985, 487с.; 4. Айвазян С.А., Бухштабер В. М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерностей. М., Финансы и статисика, 1989, 607с.; 5. Джонстон Дж. Эконометрические методы, М.: Статистика, 1980, 446с.; 6. Дубров А.В., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М., Финансы и статистика, 2000; 7. Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Исследование зависимостей методами корреляции и регрессии. М., МЭСИ, 1995, 120с.; 8. Мхитарян В.С., Дубров А.М., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы в экономике. М., МЭСИ, 1995, 149с.; 9. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Математическая статистика для бизнесменов и менеджеров. М., МЭСИ, 2000, 140с.; 10. Лукашин Ю.И. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования: Учебное пособие, М., МЭСИ, 1997. 11. Лукашин Ю.И. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. ‑ М., Статистика, 1979. ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 . Варианты заданий для самостоятельных компьютерных исследований.

Коэффициент корреляции отражает степень взаимосвязи между двумя показателями. Всегда принимает значение от -1 до 1. Если коэффициент расположился около 0, то говорят об отсутствии связи между переменными.

Если значение близко к единице (от 0,9, например), то между наблюдаемыми объектами существует сильная прямая взаимосвязь. Если коэффициент близок к другой крайней точке диапазона (-1), то между переменными имеется сильная обратная взаимосвязь. Когда значение находится где-то посередине от 0 до 1 или от 0 до -1, то речь идет о слабой связи (прямой или обратной). Такую взаимосвязь обычно не учитывают: считается, что ее нет.

Расчет коэффициента корреляции в Excel

Рассмотрим на примере способы расчета коэффициента корреляции, особенности прямой и обратной взаимосвязи между переменными.

Значения показателей x и y:

Y – независимая переменная, x – зависимая. Необходимо найти силу (сильная / слабая) и направление (прямая / обратная) связи между ними. Формула коэффициента корреляции выглядит так:

Чтобы упростить ее понимание, разобьем на несколько несложных элементов.

Между переменными определяется сильная прямая связь.

Встроенная функция КОРРЕЛ позволяет избежать сложных расчетов. Рассчитаем коэффициент парной корреляции в Excel с ее помощью. Вызываем мастер функций. Находим нужную. Аргументы функции – массив значений y и массив значений х:

Покажем значения переменных на графике:

Видна сильная связь между y и х, т.к. линии идут практически параллельно друг другу. Взаимосвязь прямая: растет y – растет х, уменьшается y – уменьшается х.



Матрица парных коэффициентов корреляции в Excel

Корреляционная матрица представляет собой таблицу, на пересечении строк и столбцов которой находятся коэффициенты корреляции между соответствующими значениями. Имеет смысл ее строить для нескольких переменных.

Матрица коэффициентов корреляции в Excel строится с помощью инструмента «Корреляция» из пакета «Анализ данных».

Между значениями y и х1 обнаружена сильная прямая взаимосвязь. Между х1 и х2 имеется сильная обратная связь. Связь со значениями в столбце х3 практически отсутствует.