В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.
Таким образом, ставится задача: по заданной функции требуется найти такой степенной ряд
который на некотором
интервале сходился и его сумма была
равна
,
т.е.
= ..
Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.
Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз – это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.
Итак, предположим,
что функция
имеет производные любого порядка. Можно
ли её разложить в степенной ряд, если
можно, то как найти этот ряд? Проще
решается вторая часть задачи, с неё и
начнем.
Допустим, что
функцию
можно представить в виде суммы степенного
ряда, сходящегося в интервале, содержащем
точкух
0 :
= .. (*)
где а 0 ,а 1 ,а 2 ,...,а п ,... – неопределенные (пока) коэффициенты.
Положим в равенстве (*) значение х = х 0 , тогда получим
.
Продифференцируем степенной ряд (*) почленно
= ..
и полагая здесь х = х 0 , получим
.
При следующем дифференцировании получим ряд
= ..
полагая х
= х
0 ,
получим
,
откуда
.
После п -кратного дифференцирования получим
Полагая в последнем
равенстве х
= х
0 ,
получим
,
откуда
Итак, коэффициенты найдены
,
,
,
…,
,….,
подставляя которые в ряд (*), получим
Полученный
ряд называется рядом
Тейлора
для функции
.
Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х - х 0 ), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.
Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х 0 . Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.
3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
Сформулируем утверждение, с помощью которого будет решена поставленная задача.
Если функция
в некоторой
окрестности точки х
0
имеет производные до (n
+
1)-го
порядка включительно, то в этой окрестности
имеет место
формула
Тейлора
где R n (х )-остаточный член формулы Тейлора – имеет вид (форма Лагранжа)
где точка ξ лежит между х и х 0 .
Отметим, что между рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется различие: формула Тейлора представляет собой конечную сумму, т.е. п - фиксированное число.
Напомним, что сумма ряда S (x ) может быть определена как предел функциональной последовательности частичных сумм S п (x ) на некотором промежутке Х :
.
Согласно этому, разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого х X
Запишем формулу Тейлора в виде, где
Заметим, что
определяет ту
ошибку, которую мы получаем, заменяй
функцию f
(x
)
многочленом
S
n
(x
).
Если
,
то
,т.е. функция
разлагается в ряд
Тейлора. Инаоборот,
если
,
то
.
Тем самыммы доказали критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
Для того, чтобы
в некотором промежутке функция
f
(х)
разлагалась в ряд Тейлора, необходимо
и достаточно, чтобы на этом промежутке
,
где
R
n
(x
)
- остаточный член ряда Тейлора.
С помощью сформулированного критерия можно получить достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
Если в некоторой окрестности точки х 0 абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом М ≥ 0, т.е.
, т о в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора.
Из вышеизложенного следует алгоритм разложения функции f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки х 0 :
1. Находим производные функции f (x ):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…
2. Вычисляем значение функции и значения её производных в точке х 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Формально записываем ряд Тейлора и находим область сходимости полученного степенного ряда.
4. Проверяем
выполнение достаточных условий, т.е.
устанавливаем, для каких х
из области
сходимости, остаточный член R
n
(x
)
стремится
к нулю при
или
.
Разложение функций в ряд Тейлора по данному алгоритму называют разложением функции в ряд Тейлора по определению или непосредственным разложением.
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n
– так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.
Правила ввода функций :
Если для некоторого значения х
r n
→0 при n
→∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора
:
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.
При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена
:
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции
Логарифмические функции
, -1
Биномиальные ряды
.
Пример №1
. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=
2 x
.
Решение
. Найдем значения функции и ее производных при х
=0
f(x)
= 2 x
, f(0)
= 2 0
=1;
f"(x)
= 2 x
ln2, f"(0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x)
= 2 x
ln 2 2, f""(0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f (n) (x)
= 2 x
ln n
2, f (n) (0)
= 2 0
ln n
2= ln n
2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x
<+∞.
Пример №2
. Написать ряд Тейлора по степеням (х
+4) для функции f(x)=
e x
.
Решение
. Находим производные функции e x
и их значения в точке х
=-4.
f(x)
= е x
, f(-4)
= е -4
;
f"(x)
= е x
, f"(-4)
= е -4
;
f""(x)
= е x
, f""(-4)
= е -4
;
…
f (n) (x)
= е x
, f (n) ( -4)
= е -4
.
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:
Данное разложение также справедливо для -∞<x
<+∞.
Пример №3
. Разложить функцию f(x)
=lnx
в ряд по степеням (х-
1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х
=1).
Решение
. Находим производные данной функции.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(-1) n-1 (n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,
Ряд сходится, если ½х-
1½<1, т.е. при 0<x
<2. При х
=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].
Пример №4
. Разложить в степенной ряд функцию .
Пример №5
. Разложить в ряд Маклорена функцию .
Замечание
.
Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось. Пример №5а
. Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Пример №6
. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Пример №7
. Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции ln(x+2) .
Пример №8
. Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Пример №1
. Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Пример №2
. Вычислить с точностью до 0,0001.
Пример №3
. Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 sin (x) x с точностью до 10 -5 .
Пример №4
. Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 e x 2 с точностью до 0,001.
Если функция f(x)
имеет на некотором интервале, содержащем точку а
, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора: где r n
– так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа: , где число x заключено между х
и а
. Если для некоторого значения х r n
®0 при n
®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора
: Таким образом, функция f(x)
может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х
, если: 1) она имеет производные всех порядков; 2) построенный ряд сходится в этой точке. При а
=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена
: Пример 1
f(x)=
2 x
. Решение
. Найдем значения функции и ее производных при х
=0 f(x)
= 2 x
, f(0)
= 2 0
=1; f¢(x)
= 2 x
ln2, f¢(0)
= 2 0
ln2= ln2; f¢¢(x)
= 2 x
ln 2 2, f¢¢(0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2; f (n) (x)
= 2 x
ln n
2, f (n) (0)
= 2 0
ln n
2= ln n
2. Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим: Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥<x
<+¥. Пример 2
х
+4) для функции f(x)=
e x
. Решение
. Находим производные функции e x
и их значения в точке х
=-4. f(x)
= е x
, f(-4)
= е -4
; f¢(x)
= е x
, f¢(-4)
= е -4
; f¢¢(x)
= е x
, f¢¢(-4)
= е -4
; f (n) (x)
= е x
, f (n) ( -4)
= е -4
. Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид: Данное разложение также справедливо для -¥<x
<+¥. Пример 3
. Разложить функцию f(x)
=lnx
в ряд по степеням (х-
1), (т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х
=1). Решение
. Находим производные данной функции. Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора: С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-
1½<1. Действительно, Ряд сходится, если ½х-
1½<1, т.е. при 0<x
<2. При х
=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х
=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2]. Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х
=0) для некоторых элементарных функций: (2) , (3) , (последнее разложение называют биномиальным рядом)
Пример 4
. Разложить в степенной ряд функцию Решение
. В разложении (1) заменяем х
на –х
2 , получаем: Пример 5
. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение
. Имеем Пользуясь формулой (4), можем записать: подставляя вместо х
в формулу –х
, получим: Отсюда находим: Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале. Замечание
. Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а
). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х
стоит k(х-а
) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t
=х-а
и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена. Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось. Пример 6
. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х
=3. Решение
. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х
=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5): Полученный ряд сходится при или –3<x-
3<3, 0<x
< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции. Пример 7
. Написать ряд Тейлора по степеням (х
-1) функции . Решение
. Ряд сходится при , или -2 < x
£ 5. Изучающим высшую математику должно быть известно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и безграничное число раз дифференцированная функция. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что заданная произвольная функция f(х) - это сумма некоего степенного ряда? То есть при каких условиях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Важность такого вопроса состоит в том, что существует возможность приближенно заменить ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Такая замена функции довольно простым выражением - многочленом - является удобной и при решении некоторых задач а именно: при решении интегралов, при вычислении и т. д. Доказано, что для некой ф-ии f(х), в которой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в окрестности (α - R; x 0 + R) некоторой точки х = α справедливой является формула: Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора. Ряд, который получают из предыдущего, называется ряд Маклорена: Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена: R n (х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если таковой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена. Рассмотрим теперь ряды Маклорена для отдельных функций. 1. Итак, первой будет f(x) = е х. Разумеется, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых разных порядков, причем f (k) (х) = e x , где k равняется всем Подставим х=0. Получим f (k) (0) = e 0 =1, k=1,2... Исходя из вышесказанного, ряд е х будет выглядеть следующим образом: 2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу же уточним, что ф-ия для всех неизвестных будет иметь производные, к тому же f " (х) = cos х = sin(х+п/2), f "" (х) = -sin х = sin(х+2*п/2)..., f (k) (х) = sin(х+k*п/2), где k равняется любому натуральному числу. То есть, произведя несложные расчеты, можем прийти к выводу, что ряд для f(х) = sin х будет такого вида: 3. Теперь попробуем рассмотреть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неизвестных имеет производные произвольного порядка, причем |f (k) (x)| = |cos(х+k*п/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так: Итак, мы перечислили важнейшие функции, которые могут быть разложены в ряд Маклорена, однако их дополняют ряды Тейлора для некоторых функций. Сейчас мы перечислим и их. Стоит также отметить, что ряды Тейлора и Маклорена являются важной частью практикума решения рядов в высшей математике. Итак, ряды Тейлора. 1. Первым будет ряд для ф-ии f(х) = ln(1+x). Как и в предыдущих примерах, для данной нам f(х) = ln(1+х) можно сложить ряд, используя общий вид ряда Маклорена. однако для этой функции ряд Маклорена можно получить значительно проще. Проинтегрировав некий геометрический ряд, мы получим ряд для f(х) = ln(1+х) такого образца: 2. И вторым, который будет заключительным в нашей статье, будет ряд для f(х) = arctg х. Для х, принадлежащего промежутку [-1;1] справедливым является разложение: На этом все. В данной статье были рассмотрены наиболее употребляемые ряды Тейлора и Маклорена в высшей математике, в частности, в экономических и технических вузах.
Решение
. В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:
, -∞
Решение
. Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:
подставляя вместо х в формулу –х, получим:
Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а
). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х
стоит k(х-а
) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t
=х-а
и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
на элементарные:
с областью сходимости |x| < 1/3.
Решение
. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х
=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
=
Полученный ряд сходится при или –3
Решение
.
Ряд сходится при , или -2 < x < 5.
Решение
. Сделаем замену t=х-2:
Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π / 4 t, получим:
Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:
Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х
, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n
членов (n
– конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:
Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x) . Для этого применяют следующие приемы:
Решение
. Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем
Решение
. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.
так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Решение
. Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx
на x
, получим:
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.
Решение
.
. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
≈0.0001<0.001. Следовательно, .