Часто бывает так, что вероятность некото-рого события можно найти, зная вероятности других событий, связанных с этим со-бытием.

Теорема сложения вероятностей.

?Теорема 2.6. (Теорема сложения вероятностей ). Вероят-ность суммы (объедине-ния; появления одного из них, безраз-лично какого) двух произвольных событий равна сумме вероят-ностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появле-ния, т.е. P (A +B ) = P (A ) + P (B ) - P (AB ).

Следствие 1. Вероятность суммы (объединения) попарно не-совместных событий равна сумме их вероятностей, т.е. P (A 1 +A 2 +...+A n ) = = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n ).

Следствие 2. Пусть A 1 , A 2 , ... , A n - полная группа попарно несовместных собы-тий. Тогда P (A 1)+P (A 2)+ ... +P (A n ) = 1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных собы-тий равна единице, т.е. P (A ) + P (`A ) = 1.

Пример 2.10. В урне 5 белых, 6 черных и 9 красных шаров. Какова вероятность того, что первый наугад вынутый шар окажется черным или красным?

Решение. Здесь имеется всего 20 элементарных исходов, из кото-рых появлению черного шара бла-гоприятствует 6, а появлению крас-ного - 9. Поэтому вероятность со-бытия A - появление черного шара: P (A ) = 6/20, а вероятность события B - появление красного шара: P (A ) = 9/20. Поскольку собы-тия A и B несовме-стны (вынимается всего один шар), то P (A +B ) = P (A ) + P (B ) = 6/20 + 9/20 = 0,75. Ответ : 0,75.

? Условная вероятность события B (P A (B)) - вероятность события B, вычислен-ная при условии, что событие A уже про-изошло . Если A и B - независимые события, то P A (B ) = P (B ), P B (A ) = P (A ).

Теорема умножения вероятностей.

?Теорема 2.7. (Теорема умножения вероятностей ). Вероят-ность произведения (пе-ресечения; совместного появления) двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при усло-вии, что первое собы-тие уже наступило, т.е. P (AB ) = P (A )·P A (B ) = P (B )·P B (A ).

Пример 2.11. На полке стоят 11 научно-популярных книг и 5 ху-дожественных. Какова вероят-ность того, что две подряд наугад взятые книги окажутся художественными?

Решение. Рассмотрим два события B 1 и B 2: B 1 - при первом испы-та-нии взята художественная книга, B 2 - при втором испытании взята ху-дожественная книга. По теореме 2.7 вероятность такого собы-тия равна P (B 1 B 2)=P (B 1)·P B 1 (B 2). Вероятность события B 1 P (B 1) = 5/16. По-сле первого испытания на полке останется 15 книг, из которых 4 ху-доже-ственные, по-этому условная веро-ятность P B 1 (B 2) = 4/15. Отсюда искомая вероятность равна: P (B 1 B 2) = . Ответ : 1/12.

Следствие 1. Вероятность совместного появления несколь-ких событий равна про-изведению вероятности одного из них на условные вероят-ности всех остальных, при-чем вероятность ка-ждого последующего события вычис-ляют при условии, что все предыдущие события уже наступили, т.е. P (A 1 ·A 2 ·...·A n ) = P (A 1)·P A 1 (A 2) P A 1A 2 (A 3). · ... ·P A 1 A 2… An -1 (A n ).

Пример 2.12. Из десяти карточек составлено слово «МАТЕМА-ТИКА». Из них школьник нау-дачу выбирает поочередно четыре кар-точки и приставляет одну к другой. Какова вероятность того, что по-лучится слово «ТЕМА»?

Решение. Введем события A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , состоящие в том, что пер-вая выбранная буква - Т, вторая - Е, тре-тья - М и четвертая - А. Нам нужно найти вероят-ность произведения этих событий. По след-ствию 1 из тео-ремы 2.7 имеем:

P (A 1 ·A 2 ·A 3 ·A 4) = P (A 1)·P A 1 (A 2)·P A 1A 2 (A 3)·P A 1A 2A 3 (A 4) = Ответ : 1/420.

Следствие 2. Если A 1 ,A 2 ,...,A n - независимые события, то ве-роятность их произве-дения (совместного появления) равна про-изведению вероятностей этих собы-тий, т.е. P (A 1 ·A 2 · ... ·A n ) = P (A 1)·P (A 2)· ... ·P (A n ).

Пример 2.13. Два стрелка независимо один от другого де-лают по одному выстрелу по од-ной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком - 0,7, вторым - 0,8. Какова вероят-ность того, что ми-шень будет поражена?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что мишень поразил пер-вый стрелок, а событие В - в том, что ми-шень поразил второй стрелок. По условию Р (А ) = 0,7 и Р (В ) =0,8.

1-й способ . Рассмотрим противоположные события:`A - промах первого стрелка,`B - промах вто-рого. По следствию 3 из тео-ремы 2.6 получаем Р (`A ) = 1-0,7 = 0,3 и Р (`B ) = 1-0,8 = 0,2. Произведение собы-тий `A ·`B означает промах обоих стрелков. По смыслу задачи собы-тия А и В являются незави-симыми, поэтому и противоположные со-бытия`A и`B также будут независимыми. По следствию 2 из теоремы 2.7 получаем вероят-ность того, что оба стрелка промахнутся: Р(`А·`В) = 0,3·0,2 = 0,06. Нас же интересу-ет вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень поражена. По-этому искомую вероят-ность мы находим по следствию 3 из теоремы 2.6: 1 - 0,06 = 0,94.

2-й способ . Искомая событие (мишень будет поражена хотя бы од-ним стрелком) есть сумма собы-тий A и B . По теореме 2.6. P (A +B ) = P (A ) + P (B ) - P (AB ) = 0,7 + 0,8 - 0,7·0,8 = 1,5 - 0,56 = 0,94. Ответ : 0,94.

Пример 2.14 . В студенческой группе 25 человек. Какова вероят-ность того, что дни рождения хотя бы у двоих совпадают?

Решение . Вероятность того, что дни рождения у двух произвольно взятых людей совпадают, равна 1/365 (считаем, что попадания дня рождения на любой день в году - равновозможные случаи). Тогда ве-роятность того, что дни рожде-ния двух людей не совпадают, т.е. веро-ятно-сть противопо-ложного события равна 1-1/365 = 364/365. Вероят-ность того, что день рожде-ния третьего отличается от дней рождения двух предыдущих, составит 363/365 (363 случая из 365 благо-приятст-вуют этому событию). Рассуждая аналогично, находим, что для 25-го члена группы эта веро-ятность равна 341/365. Далее найдем вероят-ность того, что дни рождения всех 25 членов группы не совпадают. По-скольку все эти события (несовпадение дня рождения каждого оче-редного члена группы с днями ро-ждения преды-дущих) независимы, то по следствию 2 из теоремы 2.7 получаем:

P (A 2 A 3 ... A 25) = · · ... · » 0,43.

Это вероятность того, что дни рождения у всех 25 человек не сов-падают. Ве-роятность противопо-ложного события будет вероятностью того, что хотя бы у двоих дни рождения совпадают, т.е. иско-мой веро-ятностью P » 1-0,43 = 0,57. Ответ : » 0,57.

Формула полной вероятно-сти.

?Теорема 2.8. Пусть B 1 , B 2 , …, B n - полная группа попарно не-совместных событий. Ве-роятность события A , которое может наступить лишь при условии наступления од-ного из событий B 1 , B 2 , …, B n , равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность собы-тия A , т.е.

P(A ) = P (B 1)·P B 1 (A ) + P (B 2)·P B 2 (A ) + … + P (B n )·P Bn (A ).

Эта формула называется формулой полной вероятно-сти . События B 1 , B 2 , …, B n , удовлетворяющие условию теоремы 2.8, называют гипотезами .

Пример 2.15. Турист равновероятно выбирает один из трех маршру-тов: конный, водный и горный. Вероятность, что он успешно преодолеет путь при выборе конного способа передвижения, равна 0,75, при выборе водного пути - 0,8, при выборе горного маршрута - 0,55. Найдите вероятность, что турист успешно преодолеет весь путь при любом выборе маршрута.

Решение . Введем события: A - «Турист успешно преодолеет весь путь при любом выборе маршрута», B 1 , B 2 , B 3 - выбран соответственно, конный, водный и горный маршрут. Поскольку выбор маршрута равновероятен, то вероятно-сти выбора каждого маршрута P (B 1) = P (B 2) = P (B 3) = 1/3. По условию P B 1 (A ) = 0,75; P B 2 (A ) = 0,8; P B 3 (A ) = 0,55. Тогда по формуле полной вероятности: P (A ) = P (B 1)·P B 1 (A ) + P (B 2)·P B 2 (A ) + P (B 3)·P B 3 (A ) = (1/3)·0,75 + (1/3) ·0,8 + (1/3)0,55 = 0,7.

Ответ : 0,7.

?Теорема 2.9. Условная вероятность любой гипотезы B i (i = 1, 2, … ,n ) вычисляется по формуле Бейеса :

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как ста-но-вится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие A .

Пример 2.16. Имеется три набора микросхем, первый из которых содержит 100, второй 300 и тре-тий 600 микросхем. Вероятность того, что микросхема, взятая наугад из первого набора, исправна, равна 0,9, а для второго и третьего наборов - соответственно 0,85 и 0,8. Какова вероятность того, что: а) произвольно взятая микросхема исправна: б) исправная микросхема извлечена из второго на-бора?

Решение . а) В данном случае имеется три гипотезы, вероятности которых P (B 1) = 0,1, P (B 2) = 0,3, P (B 3) = 0,6. Пользуясь формулой полной вероятности, находим P (A ) = P (B 1)·P B 1 (A ) + P (B 2)·P B 2 (A ) + P (B 3)·P B 3 (A ) = 0,1·0,9 + 0,3·0,85 + 0,6·0,8 = 0,825.

б) Допустим, что искомое событие A произошло - извлечена ис-правная микросхема. Найдем ве-ро-ятность P A (B 2) того, что эта микро-схема извлечена из второго набора. Согласно формулы Бейеса,

Ответ : а) 0,825; б) 17/55.

Пример 2.17. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по ма-тематике, трое подготовились от-лично, четверо - хорошо, двое - удовлетворительно, а один совсем не готовился. В билетах 20 вопро-сов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 во-просов, хорошо - на 16 вопросов, удовлетворительно - на 10, и непод-готовившийся - на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 во-проса из 20. Ученик, приглашенный первым, ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

P A (B 1). По фор-муле Бейеса P A (B 1) = » 0,58.

Как видим, искомая вероятность сравнительно не велика, Поэтому учителю придется предложить ученику еще несколько дополнитель-ных вопросов. Ответ : 0,58.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Лекция для студентов землеустроительного факультета

заочной формы обучения

Горки, 2012

Сложение и умножение вероятностей. Повторные

независимые испытания

1. Сложение вероятностей

Суммой двух совместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В . Аналогично суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении или события А , или события В . Аналогично суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.

Справедлива теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий , т.е. . Эту теорему можно распространить на любое конечное число несовместных событий.

Из данной теоремы следует:

сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице;

сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.
.

Пример 1 . В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих шара. Шары перемешивают и наугад извлекают один. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

Решение . Обозначим события:

A ={извлечён цветной шар};

B ={извлечён белый шар};

C ={извлечён красный шар};

D ={извлечён синий шар}.

Тогда A = C + D . Так как события C , D несовместны, то воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий: .

Пример 2 . В урне находятся 4 белых шара и 6 – чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они одного цвета?

Решение . Обозначим события:

A ={вынуты шары одного цвета};

B ={вынуты шары белого цвета};

C ={вынуты шары чёрного цвета}.

Так как A = B + C и события В и С несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий
. Вероятность события В равна
, где
4,

. Подставим k и n в формулу и получим
Аналогично найдём вероятность события С :
, где
,
, т.е.
. Тогда
.

Пример 3 . Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трёх тузов.

Решение . Обозначим события:

A ={среди вынутых карт не менее трёх тузов};

B ={среди вынутых карт три туза};

C ={среди вынутых карт четыре туза}.

Так как A = B + C , а события В и С несовместны, то
. Найдём вероятности событий В и С :

,
. Следовательно, вероятность того, что среди вынутых карт не менее трёх тузов, равна

0.0022.

1. Умножение вероятностей

Произведением двух событий А и В называется событие С , состоящее в совместном наступлении этих событий:
. Это определение распространяется на любое конечное число событий.

Два события называются независимыми , если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. События , , … , называются независимыми в совокупности , если вероятность наступления каждого из них не зависит от того, произошли или не произошли другие события.

Пример 4 . Два стрелка стреляют по цели. Обозначим события:

A ={первый стрелок попал в цель};

B ={второй стрелок попал в цель}.

Очевидно, что вероятность попадания в цель первым стрелком не зависит от того, попал или не попал второй стрелок, и наоборот. Следовательно, события А и В независимы.

Справедлива теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий : .

Эта теорема справедлива и для n независимых в совокупности событий: .

Пример 5 . Два стрелка стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка одновременно делают по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будут иметь место два попадания в цель.

Решение . Обозначим события:

A

B

C ={оба стрелка попадут в цель}.

Так как
, а события А и В независимы, то
, т.е. .

События А и В называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое событие или нет. Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается
или
.

Пример 6 . В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны извлекаются шары. Обозначим события:

A ={извлечён белый шар} ;

B ={извлечён чёрный шар}.

Перед началом извлечения шаров из урны
. Из урны извлекли один шар и он оказался чёрным. Тогда вероятность события А после наступления события В будет уже другой, равной . Это означает, что вероятность события А зависит от события В , т.е. эти события будут зависимыми.

Справедлива теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило , т.е. или .

Пример 7 . В урне находятся 4 белых шара и 8 красных. Из неё наугад последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут чёрными.

Решение . Обозначим события:

A ={первым извлечён чёрный шар};

B ={вторым извлечён чёрный шар}.

События А и В зависимы, так как
, а
. Тогда
.

Пример 8 . Три стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.5, для второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение . Обозначим события:

A ={произойдут два попадания в цель};

B ={первый стрелок попадёт в цель};

C ={второй стрелок попадёт в цель};

D ={третий стрелок попадёт в цель};

={первый стрелок не попадёт в цель};

={второй стрелок не попадёт в цель};

={третий стрелок не попадёт в цель}.

По условию примера
,
,
,

,
,
. Так как , то используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим:

Пусть события
образуют полную группу событий некоторого испытания, а событии А может наступить только с одним из этих событий. Если известны вероятности и условные вероятности события А , то вероятность события А вычисляется по формуле:

Или
. Эта формула называется формулой полной вероятности , а события
гипотезами .

Пример 9 . На сборочный конвейер поступает 700 деталей с первого станка и 300 деталей со второго. Первый станок даёт 0.5% брака, а второй – 0.7%. Найти вероятность того, что взятая деталь будет бракованной.

Решение . Обозначим события:

A ={взятая деталь будет бракованной};

={деталь изготовлена на первом станке};

={деталь изготовлена на втором станке}.

Вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, равна
. Для второго станка
. По условию вероятность получения бракованной детали, изготовленной на первом станке, равна
. Для второго станка эта вероятность равна
. Тогда вероятность того, что взятая деталь будет бракованной, вычисляется по формуле полной вероятности

Если известно, что в результате испытания наступило некоторое событие А , то вероятность того, что это событие наступило с гипотезой
, равна
, где
- полная вероятность события А . Эта формула называется формулой Байеса и позволяет вычислять вероятности событий
после того, как стало известно, что событие А уже наступило.

Пример 10 . Однотипные детали к автомобилям производятся на двух заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 80% общего количества деталей, а второй – 20%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных деталей, а второго – 95%. Покупатель купил одну деталь и она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором заводе.

Решение . Обозначим события:

A ={куплена стандартная деталь};

={деталь изготовлена на первом заводе};

={деталь изготовлена на втором заводе}.

По условию примера
,
,
и
. Вычислим полную вероятность события А : 0.91. Вероятность того, что деталь изготовлена на втором заводе, вычислим по формуле Байеса:

.

Задания для самостоятельной работы

Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.7 и для третьего – 0.9. Стрелки произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что имеет место не менее двух попаданий в цель.

В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются в замене двигателя, а остальные – в замене отдельных узлов. Случайным образом отбираются три трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима не более, чем двум отобранным тракторам.

На железобетонном заводе изготавливают панели, 80% из которых – высшего качества. Найти вероятность того, что из трёх наугад выбранных панелей не менее двух будут высшего сорта.

Три рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0.7, вторым – 0.8 и третьим – 0.6. Для контроля наугад взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Найти вероятность того, что не менее двух из них будут высшего качества.

Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0.2, второго – 0.3 и третьего – 0.25. Имеются по одному билету каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграет не менее двух билетов.

Бухгалтер выполняет расчёты, пользуясь тремя справочниками. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом справочнике, равна 0.6, во втором – 0.7 ив третьем – 0.8. Найти вероятность того, что интересующие бухгалтера данные содержатся не более, чем в двух справочниках.

Три автомата изготавливают детали. Первый автомат изготавливает деталь высшего качества с вероятностью 0.9, второй – с вероятностью 0.7 и третий – с вероятностью 0.6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что среди них не менее двух высшего качества.

На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления нестандартной детали для первого станка равна 0.03, в для второго – 0.02. Обработанные детали складываются в одном месте. Среди них 67% с первого станка, а остальные – со второго. Наугад взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

В мастерскую поступили две коробки однотипных конденсаторов. В первой коробке было 20 конденсаторов, из которых 2 неисправных. Во второй коробки 10 конденсаторов, из которых 3 неисправных. Конденсаторы были переложены в один ящик. Найти вероятность того, что наугад взятый из ящика конденсатор окажется исправным.

На трёх станках изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Среди всех деталей 20% с первого автомата, 30% - со второго и 505 – с третьего. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0.8, на втором – 0.6 и на третьем – 0.7. Взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, эта деталь изготовлена на третьем станке.

Комплектовщик получает для сборки 40% деталей с завода А , а остальные – с завода В . Вероятность того, что деталь с завода А – высшего качества, равна 0.8, а с завода В – 0.9. Комплектовщик наугад взял одну деталь и она оказалась не высшего качества. Найти вероятность того, что эта деталь с завода В .

Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 студентов из первой группы и 8 – из второй. Вероятность того, что студент из первой группы попадёт в сборную академии, равна 0.8, а со второй – 0.7. Наугад выбранный студент попал в сборную. Найти вероятность того, что он из первой группы.

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей . Решение простейших задач на определение вероятности с использованием сложения вероятностей.

Методические указания по теме 3.1:

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей:

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связан с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, - невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Вероятностью события называется отношение числа исходов m , благоприятствующих наступлению данного события , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. . Невозможному событию соответствует вероятность , а достоверному - вероятность

Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле, получим .

Пример 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через . Общее число случаев . Число случаев m , благоприятствующих появлению события , равно 3. По формуле получим .

Пример 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров через . Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два:

Число случаев m , благоприятствующих событию , составляет

По формуле находим вероятность появления двух черных шаров:

Теорема сложения вероятностей. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равно сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Пример 4. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере она из взятых деталей окажется стандартной.

Очевидно, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: B - одна деталь стандартная, две нестандартные; C - две детали стандартные, одна нестандартная и D - три детали стандартные.

Таким образом, событие A можно представить в виде суммы этих трех событий: A = B + C + D. По теореме сложения имеем P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Находим вероятность каждого из этих событий:

Сложив найденные величины, получим

Пример 5. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Пусть A - событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а B - в том, что оно кратно 5. Найдем Так как A и B совместные события, то воспользуемся формулой:

Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события A ); 18 - кратными 5 (благоприятствуют наступлению события B ) и 6 - кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события AB ). Таким образом, т.е.

Теорема умножения вероятностей:

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

Пример 6. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой - 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Пусть - появление белого шара из первой урны, а - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события и независимы. Найдем

По формуле получим:

Вопросы для самопроверки по теме 3.1:

1. Что такое событие?

2. Какие события называются достоверными?

3. Какие события называются невозможными?

4. Дать определение вероятности.

5. Сформулировать теорему сложения вероятностей.

6. Сформулировать теорему умножения вероятностей.

Задания для самостоятельного решения по теме 3.1:

1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.

3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

4. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один и автоматов не потребует внимания рабочего.

5. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

6. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.

Теорема сложения вероятностей

Рассмотрим несовместные случайные события.

Известно, что несовместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ несовместные, то событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий. Имеем $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Теорема 1

Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме их вероятностей.

Примечание 1

Следствие 1. Вероятность суммы любого количества несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.

Следствие 2. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий (сумма вероятностей всех элементарных событий) равна единице.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поскольку они образуют полную группу несовместных событий.

Пример 1

Вероятность того, что на протяжении некоторого времени в городе ни разу не будет идти дождь, $p=0,7$. Найти вероятность $q$ того, что на протяжении этого же времени дождь в городе будет идти хотя бы один раз.

События "на протяжении некоторого времени в городе ни разу не шел дождь" и "на протяжении некоторого времени дождь в городе шел хотя бы один раз" противоположные. Поэтому $p+q=1$, откуда $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Рассмотрим совместные случайные события.

Известно, что совместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ совместны, то из всего количества $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий определенное количество $m_{AB} $ благоприятствует одновременно и событию $A$, и событию $B$, то есть совместному их наступлению (произведению событий $A\cdot B$). Это количество $m_{AB} $ вошло одновременно и в $m_{A} $, и в $m_{B} $ Итак событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} -m_{AB} $ элементарных событий. Имеем: $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} -m_{AB} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} -\frac{m_{AB} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\right)$.

Теорема 2

Вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий за минусом вероятности их произведения.

Замечание. Если события $A$ и $B$ несовместны, то их произведение $A\cdot B$ является невозможным событием, вероятность которого $P\left(A\cdot B\right)=0$. Следовательно, формула сложения вероятностей несовместных событий является частным случаем формулы сложения вероятностей совместных событий.

Пример 2

Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных кубиков цифра 5 выпадет хотя бы один раз.

При одновременном бросании двух игральных кубиков число всех равновозможных элементарных событий равно $n=36$, поскольку на каждую цифру первого кубика может выпасти шесть цифр второго кубика. Из них событие $A$ -- выпадение цифры 5 на первом кубике -- осуществляется 6 раз, событие $B$ -- выпадение цифры 5 на втором кубике -- тоже осуществляется 6 раз. Из всех двенадцати раз цифра 5 один раз выпадает на обоих кубиках. Таким образом, $P\left(A+B\right)=\frac{6}{36} +\frac{6}{36} -\frac{1}{36} =\frac{11}{36} $.

Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим независимые события.

События $A$ и $B$, которые происходят в двух последовательных испытаниях, называются независимыми, если вероятность появления события $B$ не зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шар а. Испытанием является извлечение шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар положили назад и провели второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании"". Вероятность $P\left(B\right)=\frac{1}{2} $. Вероятность $P\left(B\right)$ не зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно события $A$ и $B$ независимы.

Известно, что независимые случайные события $A$ и $B$ двух последовательных испытаний имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность произведения $A\cdot B$ этих событий, то есть вероятность совместного их появления.

Предположим, что в первом испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{1} $. Из них событию $A$ благоприятствуют $m_{1} $ элементарных событий. Предположим также, что во втором испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{2} $. Из них событию $B$ благоприятствуют $m_{2} $ элементарных событий. Теперь рассмотрим новое элементарное событие, которое состоит в последовательном наступлении событий из первого и второго испытаний. Общее количество таких равновозможных элементарных событий равно $n_{1} \cdot n_{2} $. Поскольку события $A$ и $B$ независимы, то из этого числа совместному наступлению события $A$ и события $B$ (произведения событий $A\cdot B$) благоприятствует $m_{1} \cdot m_{2} $ событий. Имеем: $P\left(A\cdot B\right)=\frac{m_{1} \cdot m_{2} }{n_{1} \cdot n_{2} } =\frac{m_{1} }{n_{1} } \cdot \frac{m_{2} }{n_{2} } =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Теорема 3

Вероятность произведения двух независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий.

Рассмотрим зависимые события.

В двух последовательных испытаниях происходят события $A$ и $B$. Событие $B$ называется зависимым от события $A$, если вероятность появления события $B$ зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$. Тогда вероятность события $B$, которая была вычислена при условии, что событие $A$ состоялось, называется условной вероятностью события $B$ при условии $A$ и обозначается $P\left(B/A\right)$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечением шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар назад не кладут и выполняют второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании"". Если в первом испытании был вынут белый шар, то вероятность $P\left(B/A\right)=\frac{1}{3} $. Если же в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность $P\left(B/\overline{A}\right)=\frac{2}{3} $. Таким образом вероятность события $B$ зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно, событие $B$ зависит от события $A$.

Предположим, что события $A$ и $B$ происходят в двух последовательных испытаниях. Известно, что событие $A$ имеет вероятность появления $P\left(A\right)$. Известно также, что событие $B$ является зависимым от события $A$ и его условная вероятность при условии $A$ равна $P\left(B/A\right)$.

Теорема 4

Вероятность произведения события $A$ и зависимого от него события $B$, то есть вероятность совместного их появления, может быть найдена по формуле $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Справедливой является также симметричная формула $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, где событие $A$ предполагается зависимым от события $B$.

Для условий последнего примера найдем вероятность того, что белый шар будет извлечен в обоих испытаниях. Такое событие является произведением событий $A$ и $B$. Его вероятность равна $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} =\frac{1}{6} $.

Начнем с задачи.

Предположим, что вероятность получения вами пятерки за контрольную равна 0,5, а четверки - 0,3. Какова вероятность того, что за контрольную вы получите 4 или 5?

Некоторые сразу выпалят: «0,8», но почему именно так? Почему, например, не 0,15 (перемножили, а не сложили)? Разберемся.

Предположим, есть некоторый опыт, у которого есть исходов. Из них наступлению события благоприятны , а событию - . Нетрудно по формуле найти вероятности наступления каждого из событий - это соответственно и . Но какова вероятность того, что наступит либо первое событие, либо второе? Иначе говоря, мы ищем вероятность объединения этих событий. Для этого надо выяснить, сколько у нас благоприятных исходов. ? Не совсем. Ведь может случиться так, что эти события выполнятся одновременно.

Тогда предположим, что события непересекающиеся, то есть не могут выполняться одновременно. Вот тогда получаем, что благоприятных исходов для объединения - . Значит, вероятность объединения будет равна:

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Обратим внимание: здесь речь идет об ОДНОМ эксперименте, в результате которого может наступить либо первое событие, либо второе, но не оба сразу.

В частности, в примере с контрольной мы понимаем, что ученик не может одновременно получить за контрольную и 5, и 4 (речь идет об одной оценке за одну и ту же контрольную), значит, вероятность того, что он получит 4 или 5, равна сумме вероятностей, то есть, все-таки, 0,8.

Ответ: 0,8.

А что делать, если события пересекаются, то есть существуют исходы, благоприятные для них обоих? Такая ситуация будет рассмотрена в конце урока.

2. Математический форум Math Help Planet ()

3. Интернет-сайт "Математика, которая мне нравится" ()

Домашнее задание

1. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,9. Второй стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

2. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая - в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число 3, а на красной игральной кости выпадет число 4.