Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Определение 2

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Рисунок 1. Вписанная окружность

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

Теорема 1

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Определение 3

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Определение 4

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Рисунок 3. Описанная окружность

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Теорема 2

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

Пример 1

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Рисунок 5.

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \

Ответ: $\frac{4}{3}$.

В данном уроке мы вспомним основы, на которых базируется теория вписанных и описанных окружностей, вспомним признаки четырехугольников описанных и вписанных. Кроме того, выведем формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружности в различных случаях.

Тема: Повторение курса геометрии 8 класса

Урок: Вписанные и описанные окружности

В курсе геометрии мы встречались с самыми разнообразными многоугольниками - это и треугольники, и четырехугольники, и n-угольники. Среди четырехугольников можно отметить параллелограмм и его частные случаи - ромб, прямоугольник и квадрат. Кроме того, это трапеция, произвольные выпуклые четырехугольники и т.д. В некоторые из вышеупомянутых фигур можно вписать окружность, около некоторых - описать окружность.

Вспомним, какими свойствами должен обладать многоугольник, чтобы в него можно было вписать окружность, как найти центр этой окружности и каким образом ее радиус соотносится со сторонами многоугольника.

Также вспомним, около каких многоугольников можно описать окружность, как найти ее центр и как соотносится ее радиус со сторонами многоугольника.

Рассмотрим описанную окружность (см. Рис. 1). Вся теория о ней базируется на простом факте. Пусть задан отрезок ВС, который может быть стороной произвольного многоугольника. Через середину данного отрезка М проходит серединный перпендикуляр р. Свойство точек серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка А равноудалена от концов отрезка В и С: . Таким образом, если необходимо описать окружность около отрезка, то центр этой окружности должен лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.

Рис. 1

Если задана произвольная точка О, и не известно, принадлежит ли она серединному перпендикуляру, но сказано, что она равноудалена от концов отрезка, то несложно доказать, что точка О принадлежит серединному перпендикуляру и является центром одной из окружностей, описанных около отрезка.

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Мы доказывали, что для любого треугольника существует точка пересечения его серединных перпендикуляров, причем одна и единственная, и эта точка является центром описанной окружности для данного треугольника. То есть эта точка равноудалена от всех вершин треугольника (см. Рис. 2).

Рис. 2

Теорема

Если около произвольного многоугольника можно описать окружность, то ее центр будет расположен на пересечении всех серединных перпендикуляров ко всем сторонам многоугольника.

Чтобы определить для треугольника радиус описанной окружности, можно воспользоваться формулой:

Или следствием из теоремы синусов:

В любой треугольник можно вписать окружность.

Вся теория вписанных окружностей базируется на свойстве биссектрисы угла. Точки, принадлежащие биссектрисе угла, обладают следующим свойством: любая точка биссектрисы и только точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.

Для нас важен тот факт, что в один угол можно вписать окружность, таких окружностей бесчисленное множество, и их центры находятся на биссектрисе угла (см. Рис. 3).

Рис. 3

Для треугольника мы доказывали теорему о пересечении биссектрис, в которой говорится, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, такая точка единственная, и она является центром вписанной в треугольник окружности (см. Рис. 4).

Рис. 4

Теорема

Если в многоугольник можно вписать окружность, то ее центр находится в точке пересечения биссектрис всех углов многоугольника.

Для вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности можно выразить его из формулы:

Где S - площадь треугольника, р - его полупериметр.

Рассмотрим соотношения окружностей и четырехугольников.

Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника.

Задана окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD (см. Рис. 5). Рассмотрим свойства этого четырехугольника. Все четыре серединных перпендикуляра данного четырехугольника пересекаются в одной точке: эта точка - центр описанной окружности.

Доказать, что все четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, было бы утомительно. Есть другой признак. Рассмотрим угол ےА, это вписанный угол окружности, он опирается на дугу и измеряется половиной градусной меры данной дуги. Обозначим угол ےА за , тогда дуга . Аналогично обозначим противоположный угол ےС за , он вписан в окружность и опирается на дугу . Отсюда дуга .

Рис. 5

Дуги и составляют полную окружность. Отсюда:

, .

Поделим полученное выражение на два, получаем:

Итак, мы доказали прямую теорему.

Теорема

Если около четырехугольника описана окружность, сумма его противоположных углов составляет .

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если сумма противоположных углов четырехугольника составляет , около этого четырехугольника можно описать окружность.

Перейдем к вписанной в четырехугольник окружности (см. Рис. 6).

Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника.

Напомним, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Проведем биссектрисы углов заданного четырехугольника. Все они пересекаются в одной точке - точке О, центре вписанной окружности.

Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки K, L, M, N и определяем точки касания.

Из каждой вершины выходит пара равных касательных:

Рис. 6

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать:

Раскроем скобки:

Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему.

Теорема

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

На основании приведенных теорем можно сделать следующие выводы:

В произвольный параллелограмм нельзя ни вписать окружность, ни описать ее вокруг него;

В четырехугольники, являющиеся частным случаем параллелограмма, можно вписать или описать окружность. Например, около прямоугольника можно описать окружность, так как сумма его противоположных углов составляет . В ромб можно вписать окружность, так как суммы его противоположных сторон равны;

Иногда в трапецию можно вписать окружность, а около равнобедренной трапеции - описать окружность.

Рассмотрим правильный n-угольник, заданный длиной стороны . Центры вписанной и описанной окружностей в нем совпадают, и полученная точка называется центром n-угольника (см. Рис. 7).

Заданы длина стороны n-угольника и количество сторон.

Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.