Алгебраическая форма записи комплексного числа................................................................ | |||
Плоскость комплексных чисел.................................................................................................... | |||
Комплексно сопряжённые числа................................................................................................. | |||
Действия с комплексными числами в алгебраической форме............................................... | |||
Сложение комплексных чисел................................................................................................. | |||
Вычитание комплексных чисел............................................................................................... | |||
Умножение комплексных чисел.............................................................................................. | |||
Деление комплексных чисел.................................................................................................... | |||
Тригонометрическая форма записи комплексного числа....................................................... | |||
Действия с комплексными числами в тригонометрической форме...................................... | |||
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме......................................... | |||
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме............................................... | |||
Возведение комплексного числа в целую положительную степень.................................. | |||
Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа..................... | |||
Возведение комплексного числа в рациональную степень................................................. | |||
Комплексные ряды...................................................................................................................... | |||
Комплексные числовые ряды................................................................................................. | |||
Степенные ряды в комплексной плоскости......................................................................... | |||
Двусторонние степенные ряды в комплексной плоскости............................................... | |||
Функции комплексного переменного....................................................................................... | |||
Основные элементарные функции........................................................................................ | |||
Формулы Эйлера...................................................................................................................... | |||
Показательная форма представления комплексного числа.............................................. | |||
Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.......................... | |||
Логарифмическая функция..................................................................................................... | |||
Общая показательная и общая степенная функции........................................................... | |||
Дифференцирование функций комплексного переменного................................................. | |||
Условия Коши-Римана............................................................................................................ | |||
Формулы для вычисления производной............................................................................... | |||
Свойства операции дифференцирования............................................................................. | |||
Свойства действительной и мнимой частей аналитической функции............................ | |||
Восстановление функции комплексного переменного по её действительной или мнимой |
|||
Способ №1. С помощью криволинейного интеграла..................................................... | |||
Способ №2. Непосредственное применение условий Коши-Римана.......................... | |||
Способ №3. Через производную искомой функции....................................................... | |||
Интегрирование функций комплексного переменного......................................................... | |||
Интегральная формула Коши.................................................................................................... | |||
Разложение функций в ряды Тейлора и Лорана..................................................................... | |||
Нули и особые точки функции комплексного переменного................................................ | |||
Нули функции комплексного переменного..................................................................... | |||
Изолированные особые точки функции комплексного переменного......................... | |||
14.3 Бесконечно удалённая точка как особая точка функции комплексного переменного
Вычеты........................................................................................................................................... | |||
Вычет в конечной точке...................................................................................................... | |||
Вычет функции в бесконечно удаленной точке.............................................................. | |||
Вычисление интегралов с помощью вычетов......................................................................... | |||
Вопросы для самопроверки........................................................................................................ | |||
Литература.................................................................................................................................... | |||
Предметный указатель................................................................................................................ | |||
Предисловие
Правильно распределить время и силы при подготовке к теоретической и практической частям экзамена или аттестации по модулю достаточно сложно, тем более что в период сессии времени всегда не хватает. И как показывает практика, справиться с этим получается не у всех. В результате на экзамене одни студенты правильно решают задачи, но затрудняются ответить на простейшие теоретические вопросы, а другие могут сформулировать теорему, но не могут её применить.
Настоящие методические рекомендации для подготовки к экзамену по курсу «Теория функций комплексного переменного» (ТФКП) являются попыткой разрешить это противоречие и обеспечить одновременное повторение теоретического и практического материала курса. Руководствуясь принципом «Теория без практики мертва, практика без теории слепа», они содержат как теоретические положения курса на уровне определений и формулировок, так и примеры, иллюстрирующие применение каждого приведенного теоретического положения, и, тем самым, облегчающие его запоминание и понимание.
Цель предлагаемых методических рекомендаций – помочь студенту подготовиться к экзамену на базовом уровне. Иными словами, составлен расширенный рабочий справочник, содержащий основные моменты, используемые на занятиях по курсу ТФКП, и необходимые при выполнении домашнего задания и подготовке к контрольным мероприятиям. Помимо самостоятельной работы студентов, настоящее электронное учебное издание можно использовать при проведении занятий в интерактивной форме с использованием электронной доски или для размещения в системе дистанционного обучения.
Обращаем внимание, что настоящий труд не заменяет собой ни учебников, ни конспекта лекций. Для углублённого изучения материала рекомендуется обращаться к соответствующим разделам изданного в МГТУ им. Н.Э. Баумана базового учебника .
В конце пособия помещён список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят все выделенные в текстеполужирным курсивом термины. Предметный указатель состоит из гиперссылок на разделы, в которых эти термины строго определены или описаны и где приведены примеры, иллюстрирующие их применение.
Пособие предназначено для студентов 2 курса всех факультетов МГТУ им. Н.Э. Баумана.
1. Алгебраическая форма записи комплексного числа
Запись вида z = x + iy , гдеx ,y - действительные числа,i - мнимая единица (т.е.i 2 = − 1)
называют алгебраической формой записи комплексного числаz. При этом x называют действительной частью комплексного числаи обозначают Re z (x = Re z ), y называют мнимой частью комплексного числаи обозначают Im z (y = Im z ).
Пример. У комплексного числаz = 4− 3i действительная часть Rez = 4 , а мнимая Imz = − 3 .
2. Плоскость комплексных чисел
В теории функций комплексного переменного рассматривают плоскость комплексных чисел , которую обозначают либо, либо используют буквы, обозначающие комплексные числаz ,w и т.п.
Горизонтальная ось комплексной плоскости называется действительной осью , на ней располагают действительные числаz = x + 0i = x .
Вертикальная ось комплексной плоскости называется мнимой осью , на ней располагают
3. Комплексно сопряжённые числа
Числа z = x + iy иz = x − iy называюткомплексно сопряжёнными . На комплексной плоскости им соответствуют точки, симметричные относительно действительной оси.
4. Действия с комплексными числамив алгебраической форме
4.1 Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел | z 1= x 1+ iy 1 | и z 2 = x 2 + iy 2 называется комплексное число |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | операция | сложения |
||||||||||
комплексных чисел аналогична операции сложения алгебраических двучленов. | |||||||||||||
Пример. Суммой двух комплексных чиселz 1 = 3+ 7i иz 2 | = −1 +2 i | будет комплексное число |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Очевидно, | суммой комплексно | сопряжённых | является | действительное | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Вычитание комплексных чисел | |||||||||||||
Разностью двух комплексных чисел z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | называется | комплексное |
||||||||||
число z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Пример. Разностью двух комплексных чисел | z 1 =3 −4 i | и z 2 | = −1 +2 i | будет комплексное |
|||||||||
число z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Разностью | комплексно сопряжённых | является | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Умножение комплексных чисел | |||||||||||||
Произведением двух комплексных чисел | z 1= x 1+ iy 1 | и z 2= x 2+ iy 2 | называется комплексное |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x ) . | ||||||||||||
образом, операция умножения комплексных чисел аналогична операции умножения алгебраических двучленов с учётом того, что i 2 = − 1.
Комплексные числа - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и - вещественные числа, - мнимая единица.
Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.
Свойства комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме:
Рассмотрим правила, по которым производятся арифметические действия над комплексными числами.
Если даны два комплексных числа α = a + bi и β = c + di, то
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i . (11)
Это следует из определения действий сложения и вычитания двух упорядоченных пар действительных чисел (см. формулы (1) и (3)). Мы получили правила сложения и вычитания комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, надо отдельно сложить их действительные части и соответственно мнимые части; чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, необходимо вычесть соответственно их действительные и мнимые части.
Число – α = – a – bi называют противоположным числу α = a + bi . Сумма двух этих чисел равна нулю: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
Для получения правила умножения комплексных чисел воспользуемся формулой (6), т. е. тем, что i2 = -1. Учитывая это соотношение, находим (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, т.е.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
Эта формула соответствует формуле (2), которой определялось умножение упорядоченных пар действительных чисел.
Отметим, что сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами. Всамомделе, еслиα = a + bi, = a – bi, тоα = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, т.е.
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
При делении двух комплексных чисел в алгебраической форме следует ожидать, что частное выражается также числом того же вида, т. е. α/β = u + vi, где u, v R. Выведем правило деления комплексных чисел. Пусть даны числа α = a + bi, β = c + di, причем β ≠ 0, т. е. c2 + d2 ≠ 0. Последнее неравенство означает, что c и d одновременно в нуль не обращаются (исключается случай, когда с = 0, d = 0). Применяя формулу (12) и второе из равенств (13), находим:
Следовательно, частное двух комплексных чисел определяется формулой:
соответствующей формуле (4).
С помощью полученной формулы для числа β = с + di можно найти обратное ему число β-1 = 1/β. Полагая в формуле (14) а = 1, b = 0, получаем
Эта формула определяет число, обратное данному комплексному числу, отличному от нуля; это число также является комплексным.
Например: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
55. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа (вывод).
Арг.ком.числа. – между положительным направлением действительной оси Х вектором изображающим данное число.
Формула тригон. Числа: ,
Страница 2 из 3
Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.
С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.
Сложение комплексных чисел
Пример 1
Сложить два комплексных числа ,
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.
Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: 
– от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Найти разности комплексных чисел и , если ,
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .
Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная:
Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.
Умножение комплексных чисел
Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел ,
Очевидно, что произведение следует записать так:
Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным .
Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Я распишу подробно:
Надеюсь, всем было понятно, что
Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .
В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.
Деление комплексных чисел
Пример 4
Даны комплексные числа , . Найти частное .
Составим частное:
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение .
Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на наш знаменатель : . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :
Распишу подробно:
Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .
В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: 
. Для любителей порешать приведу правильный ответ:
Редко, но встречается такое задание:
Пример 5
Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).
Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :
На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны , соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что .
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы, методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы . Без таблиц далеко не уехать.
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа
, а – аргумент комплексного числа
. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.
Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что :
Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.
Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».
Примечание : модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа , как расстояния от точки до начала координат.
Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .
Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами , где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.
Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или
Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
. Внимание!
Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.
Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.
Пример 7
Выполним чертёж:
На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа: 
Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна ), аргумент – угол .
1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: 
.
Ясно, как день, обратное проверочное действие:
2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: 
.
Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: 
.
Проверка:
4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно: 
. Проверка:
Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов , то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что и – это один и тот же угол.
Таким образом, запись принимает вид: 
Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:
Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций . И комплексные числа усвоятся заметно легче!
В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен...». Это действительно очевидно и легко решается устно.
Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):
1) Если (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .
2) Если (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле 
.
3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле 
.
Пример 8
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .
Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить . Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.
Эх, сто лет от руки ничего не чертил, держите:
Как всегда, грязновато получилось =)
Я представлю в комплексной форме числа и , первое и третье числа будут для самостоятельного решения.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
