Главная > Документ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .Например. Найти матрицу транспонированную данной. Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц: Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства: Примеры. . Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij ) размера m ×n на матрицу B = (b ij ) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры. Найти элементы c 12 , c 23 и c 21 матрицы C .

Найти произведение матриц.

.
Найти АВ и ВА . Найти АВ и ВА . , B·A – не имеет смысла.Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC .Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A , причём AE=EA=A .Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.Например , если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .Определитель обозначается символом .Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.Примеры. Вычислить определители второго порядка.

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11 , a 12 , a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.
. (x +3)(4x -4-3x )+4(3x -4x +4)=0. (x +3)(x -4)+4(-x +4)=0. (x -4)(x -1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1.Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Доказательство проводится проверкой, т.е. сравнением обеих частей записанного равенства. Вычислим определители, стоящие слева и справа:

При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е., например,

Доказательство проводится аналогично доказательству свойства 1 сравнением обеих частей. Проведём его для определителя второго порядка.

Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно. Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A | = –|A | или |A | = 0. Доказательство проводится проверкой, как и свойство 1. (Самостоятельно)

Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. (Доказательство – проверкой). Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,

.

Доказательство - проверкой, аналогично свойству 1.

Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины. Например,

. Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя.
Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении определителей и в различных задачах.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ Пусть имеем определитель третьего порядка: .Минором , соответствующим данному элементу a ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i -ой строки и j -го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a ij будем обозначать M ij .Например , минором M 12 , соответствующим элементу a 12 , будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a 12 , берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.Введём ещё одно понятие.Алгебраическим дополнением элемента a ij определителя называется его минор M ij , умноженный на (–1) i+j .Алгебраическое дополнение элемента a ij обозначается A ij .Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A ij = (–1) i+j M ij . Например, Пример. Дан определитель . Найти A 13 , A 21 , A 32 .

Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:.Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.

.

Отсюда т.к. определители второго порядка в формуле (2) есть миноры элементов a 21 , a 22 , a 23 . Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки.Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.Таким образом, справедлива следующая теорема.Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.Примеры.

Вычислить определитель, используя его свойства. Прежде чем раскладывать определитель по элементам какой–либо строки, сводя к определителям третьего порядка, преобразуем его, используя свойство 7, сделав в какой–либо строке или столбце все элементы, кроме одного, равными нулю. В данном случае удобно рассмотреть 4-й столбец или 4-ю строку:

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц .Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A -1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)Справедлива следующая теорема:Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.Доказательство :

Необходимость . Пусть для матрицы A существует обратная матрица A -1 . Покажем, что |A | ≠ 0.

Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей . Предположим, что |A | = 0. Тогда . Но с другой стороны . Полученное противоречие и доказывает, что |A | ≠ 0. Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица , где A ij алгебраическое дополнение элемента a ij . Найдём AB=C . Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Действительно, например,

Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c 22 = c 33 = 1. Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C равны нулю. Например,
Следовательно, AB=E . Аналогично можно показать, что BA=E . Поэтому B = A -1 .Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом

,

где A ij - алгебраические дополнения элементов a ij данной матрицы A .Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно: Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .Примеры. |A | = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A . Проверка: . Аналогично A∙A -1 = E . . Вычислим |A | = 4. Тогда . .

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами. Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации: Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .Рассмотрим способы нахождения решений системы.МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в видеили короче A ∙X=B .Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .Примеры. Решить системы уравнений. Найдем матрицу обратную матрице A . , Таким образом, x = 3, y = – 1.
Итак, х 1 =4,х 2 =3,х 3 =5. Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения. Найдем матрицу А -1 . Проверка: Из уравнения получаем . Следовательно,ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы .Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Аналогично можно показать, что и .Наконец несложно заметить, что Таким образом, получаем равенство: .Следовательно, .Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.Примеры. Решить систему уравнений
Итак, х =1, у =2, z =3. Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0. . Поэтому . МЕТОД ГАУССА Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

Только для преподавателей

"Утверждаю"

Начальник кафедры № 9

полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

доцент А.И.СМИРНОВА

"ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"

ЛЕКЦИЯ № 2 / 1

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2004г.

Протокол № ___________

Кострома, 2004.

Введение

1. Определители второго и третьего порядка.

2. Свойства определителей. Теорема разложения.

3. Теорема Крамера.

Заключение

Литература

1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.

2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.

ВВЕДЕНИЕ

На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме "Векторная алгебра" при вычислении векторного произведения векторов.

1-ый учебный вопросОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО

ПОРЯДКА

Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида

Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражение вида :

(1)

Числа а 11, …, а 22 называют э л е м е т а м и определителя.

Диагональ, образованная элементами а 11 ; а 22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а 12 ; а 21 -п о б о ч н ой.

Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Заметим, что в ответе получается число.

ПРИМЕРЫ. Вычислить:

Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида :

Элементы а 11; а 22 ; а 33 – образуют главную диагональ.

Числа а 13; а 22 ; а 31 – образуют побочную диагональ.

Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:

" + " " – "

С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.

Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.

Это правило вычисления определителя третьего порядка называют

п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.

ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:

ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.

2-ой учебный вопросСВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

.

Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.

Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.

Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину .

.

Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца ) можно выносить за знак определителя.

.

Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.

Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.

Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца ) равны нулю, то определитель равен нулю.

Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при

Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов ) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

.

Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.

.

Доказывается непосредственной проверкой.

Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.

Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента а i j обозначается М i j . Так для элемента а 11 минор

Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1) k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Алгебраическое дополнение элемента а i j обозначается А i j .

Таким образом, А i j =

.

Выпишем алгебраические дополнения для элементов а 11 и а 12.

. .

Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс , если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус , если эта сумма нечетная .

1. Определители второго и третьего порядков и их свойства 1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка

Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число т

строк и произвольное число и столбцов, называют матрицей. Для обозначения

матрицы используют либо сдвоенные вертикальные черточки, либо круглые

скобки. Например:

28 20 18 28 20 18

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица

называется квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее

элементами .

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1),

называется число, равное - и обозначаемое символом

Итак, по определению

Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно

называют элементами этого определителя.

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель

второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы

элементы его строк (или соответственно его столбцов) были

пропорциональны .

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая

из пропорций / = / и / = / эквивалентна равенству = , а последнее равенство в

силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.

1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Покажем, как применяются определители второго порядка для

исследования и отыскания решений системы двух линейных уравнений с

двумя неизвестными

(коэффициенты, и свободные члены, считаются при этом

заданными). Напомним, что пара чисел, называется решением системы (3.3),

если подстановка этих чисел на место и в данную систему обращает оба

уравнения (3.3) в тождества.

Умножая первое уравнение системы (3.3) на -, а второе - на - и затем

складывая полученные при этом равенства, получим

Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на - и соответственно

Введем следующие обозначения:

= , = , = . (3.6)

С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго

порядка уравнения (3.4) и (3.5) могут быть переписаны в виде:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных

системы (3.3), принято называть определителем этой системы . Заметим, что

определители и получаются из определителя системы посредством замены

его первого или соответственно второго столбца свободными членами.

Могут представиться два случая: 1) определитель системы отличен от

нуля; 2) этот определитель равен нулю.

Рассмотрим сначала случай 0. Из уравнений (3.7) мы сразу же получаем

формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера :

Полученные формулы Крамера (3.8) дают решение системы (3.7) и

потому доказывают единственность решения исходной системы (3.3). В самом

деле, система (3.7) является следствием системы (3.3), поэтому всякое

решение системы (3.3) (в случае, если оно существует!) должно являться

решением и системы (3.7). Итак, пока доказано, что если у исходной системы

(3.3) существует при 0 решение, то это решение однозначно определяется

формулами Крамера (3.8).

Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том. что при 0 два

числа и. определяемые формулами Крамера (3.8). будучи поставлены на

место неизвестных в уравнения (3.3), обращают эти уравнения в тождества.

(Предоставляем читателю самому расписать выражения для определителей,

и, и убедиться в справедливости указанных тождеств.)

Мы приходим к следующему выводу: если определитель системы (3.3)

отличен от нуля, то существует, и притом единственное решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (3.8).

Рассмотрим теперь случай, когда определитель системы равен нулю .

Могут представиться два подслучая : а) хотя бы один из определителей или,

отличен от нуля; б) оба определителя и равны нулю. (если определитель и

один из двух определителей и равны нулю, то и другой из указанных двух

определителей равен нулю. В самом деле, пусть, например = 0 = 0, т.е. / = /

и / = /. Тогда из этих пропорций получим, что /= /, т. е. = 0).

В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств

(3.7), т. е. система (3.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и

исходная система (3.3) (следствием которой является система (3.7)).

В подслучае б) исходная система (3.3) имеет бесчисленное множество

решений. В самом деле, из равенств === 0 и из утверждения в конце разд. 1.1

заключаем, что второе уравнение системы (3.3) является следствием первого

и его можно отбросить. Но одно уравнение с двумя неизвестными

имеет бесконечно много решений (хотя бы один из коэффициентов, или

отличен от нуля, и стоящее при нем неизвестное может быть определено из

уравнения (3.9) через произвольно заданное значение другого неизвестного).

Таким образом, если определитель системы (3.3) равен нулю, то

система (3.3) либо вовсе не имеет решений (в случае, если хотя бы один из

определителей или отличен от нуля), либо имеет бесчисленное множество

решений (в случае, когда == 0). В последнем случае два уравнения (3.3)

можно заменить одним и при решении его одно неизвестное задавать

произвольно.

Замечание . В случае, когда свободные члены и равны нулю, линейная

система (3.3) называется однородной . Отметим, что однородная система

всегда имеет так называемое тривиальное решение: = 0, = 0 (эти два числа

обращают оба однородных уравнения в тождества).

Если определитель однородной системы отличен от нуля, то эта

система имеет только тривиальное решение. Если же = 0, то однородная

система имеет бесчисленное множество решений (поскольку для

однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким

образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только

в том случае, когда определитель ее равен нулю.

1.3. Определители третьего порядка

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов

Определителем третьего порядка , соответствующим матрице (3.10), называется число, равное:

и обозначаемое символом

Итак, по определению

Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы (3.10) будем

называть элементами самого определителя . Кроме того, договоримся

называть диагональ, образованную элементами, и, главной , а диагональ,

образованную элементами, и - побочной .

Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в выражение для

определителя (3.11), укажем следующее правило, не требующее большого

напряжения внимания и памяти. Для этого к матрице, из которой составлен

определитель, допишем справа еще раз первый, а затем второй столбец. В

полученной при этом матрице

сплошной чертой соединены три тройки членов, получаемые параллельным

переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в

выражение (3.11) со знаком «плюс»; пунктирной же чертой соединены три

другие тройки членов, получаемые параллельным переносом побочной

диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (3.11) со

знаком «минус».

1.4. Свойства определителей

Свойство 1 . Величина определителя не изменится, если строки и

столбцы этого определителя поменять ролями, т.е.

Для доказательства этого свойства достаточно расписать определители,

стоящие в левой и правой частях (3.13), по указанному в разд. 1.3 правилу и

убедиться в равенстве полученных при этом членов.

Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Поэтому

все дальнейшие свойства определителя можно формулировать и для строк, и

для столбцов, а доказывать - или только для строк, или только для столбцов.

Свойство 2 . Перестановка двух строк (или двух столбцов)

определителя равносильна умножению его на число -1.

Доказательство также получается из правила, указанного в предыдущем

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два

одинаковых столбца), то он равен нулю .

Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, с одной

стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2

он изменит знак на противоположный. Таким образом, = -, т.е. 2 = 0 или = 0.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или

некоторого столбца) определителя на число равносильно умножению

определителя на это число.

Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки

(или некоторого столбца) определителя можно выносить за знак этого

определителя.

Например,

Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что

определитель выражается в виде суммы (3.12), каждый член которой

содержит один и только один, элемент из каждой строки и один и только

один элемент из каждого столбца.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (или некоторого

столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Это свойство вытекает из предыдущего (при = 0).

Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов)

определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

В самом деле, в силу свойства 4 множитель пропорциональности можно

вынести за знак определителя, после чего остается определитель с двумя

одинаковыми строками, равный нулю согласно свойству 3.

Свойство 7. Если каждый элемент п-й строки (или п-го столбца)

определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель

может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из

которых имеет в п-й строке (или в п-м столбце) первые из упомянутых

слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных

строках (столбцах), а второй определитель имеет в п-й строке (в п-м

столбце) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и

исходный определитель, в остальных строках (столбцах).

Например,

Для доказательства этого свойства снова достаточно заметить, что

определитель выражается в виде суммы слагаемых, каждое из которых

содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один

элемент из каждого столбца.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (или некоторого

столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой

строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель, то

величина определителя не изменится .

Действительно, полученный в результате указанного прибавления

определитель можно (в силу свойства 7) разбить на сумму двух

определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен

нулю вследствие пропорциональности элементов двух строк (или столбцов) и

свойства 6.

1.5. Алгебраические дополнения и миноры

Соберем в выражении (3.12) для определителя члены, содержащие

какой-нибудь один элемент этого определителя, и вынесем указанный элемент

за скобки; величина, остающаяся при этом в скобках, называется

алгебраическим дополнением указанного элемента.

Алгебраическое дополнение данного элемента мы будем обозначать

прописной латинской буквой того же наименования, что и данный элемент, и

снабжать тем же номером, который имеет данный элемент. Например,

алгебраическое дополнение элемента будем обозначать через алгебраическое

дополнение элемента - через и т. д.

Непосредственно из выражения для определителя (3.12) и из того, что

каждое слагаемое в правой части (3.12) содержит один и только один элемент

из каждой строки (из каждого столбца), вытекают следующие равенства:

Эти равенства выражают следующее свойство определителя:

определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки

(какого-либо столбца) на соответствующие алгебраические дополнения

элементов этой строки (этого столбца).

Равенства (3.14) принято называть разложением определителя по

элементам соответственно первой, второй или третьей строки, а равенства

(3.15) - разложением определителя по элементам соответственно первого,

второго или третьего столбца.

Введем теперь важное понятие минора данного элемента определителя

Минором данного элемента определителя n-го порядка (в нашем случае n = 3)

называется определитель (n-1)-го порядка, получаемый из данного

определителя путем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении

которых стоит данный элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется

минору этого элемента, взятому со таком «плюс», если сумма номеров

строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть

число четное, и со знаком «минус» - в противном случае.

Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение и минор

могут отличаться только знаком.

Следующая таблица дает наглядное представление о том, каким знаком

связаны соответствующие алгебраическое дополнение и минор:

Установленное правило позволяет в формулах (3.14) и (3.15) разложения

определителя по элементам строк и столбцов всюду вместо алгебраических

дополнений писать соответствующие миноры (с нужным знаком).

Так, например, первая из формул (3.14), дающая разложение

определителя по элементам первой строки, принимает вид

В заключение установим следующее фундаментальное свойство

определителя.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо столбца

определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов

этого {другого) столбца равна величине этого определителя (равна нулю).

Конечно, аналогичное свойство справедливо и в применении к строкам

определителя. Случай, когда алгебраические дополнения и элементы

отвечают одному и тому же столбцу, уже рассмотрен выше. Остается доказать,

что сумма произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие

алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю.

Докажем, например, что сумма произведений элементов первого или

третьего столбца равна нулю.

Будем исходить из третьей формулы (3.15), дающей разложение

определителя по элементам третьего столбца:

Так как алгебраические дополнения, и элементов третьего столбца не

зависят от самих элементов, и этого столбца, то в равенстве (3.17) числа, и

можно заменить произвольными числами, и, сохраняя при этом в левой

части (3.17) первые два столбца определителя, а в правой части - величины,

и алгебраических дополнений.

Таким образом, при любых , и справедливо равенство:

Беря теперь в равенстве (3.18) в качестве, и сначала элементы, и

первого столбца, а затем элементы, и второго столбца и учитывая, что

определитель с двумя совпадающими столбцами в силу свойства 3 равен

нулю, мы придем к следующим равенствам:

Тем самым доказано, что сумма произведений элементов первого или

второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов

третьего столбца равна нулю: Аналогично доказываются равенства:

и соответствующие равенства, относящиеся не к столбцам, а к строкам:

2. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными 2.1. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными с

определителем, отличным от нуля.

В качестве приложения изложенной выше теории рассмотрим систему

трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(коэффициенты, , и свободные члены, считаются заданными).

Тройка чисел, называется решением системы (3.19), если подстановка этих

чисел на место, в систему (3.19) обращает все три уравнения (3.19) в

тождества.

Фундаментальную роль в дальнейшем будут играть следующие четыре

определителя:

Определитель принято называть определителем системы (3.19) (он

составлен из коэффициентов при неизвестных). Определители, и

получаются из определителя системы посредством замены свободными

членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Для исключения из системы (3.19) неизвестных и умножим уравнения

(3.19) соответственно на алгебраические дополнения, элементов первого

столбца определителя системы, и после этого сложим полученные при этом

уравнения. В результате получим:

Учитывая, что сумма произведений элементов данного столбца

определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов

этого (другого) столбца равна определителю (нулю) (см. свойство 9),

0, ++= 0.

Кроме того, посредством разложения определителя по элементам первого столбца получается формула:

С помощью формул (3.21) и (3.22) равенство (3.20) перепишется в

следующем (не содержащем неизвестных и) виде:

Совершенно аналогично выводятся из системы (3.19) равенства = и

Таким образом, мы установили, что система уравнений = , = , =

является следствием исходной системы (3.19).

В дальнейшем мы отдельно рассмотрим два случая:

1) когда определитель системы отличен от нуля ,

2) когда этот определитель равен нулю .

Итак, пусть 0. Тогда из системы (3.23) мы сразу получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера :

Полученные нами формулы Крамера дают решение системы (3.23) и

потому доказывают единственность решения исходной системы (3.19), ибо

система (3.23) является следствием системы (3.19), и всякое решение системы

(3.19) обязано быть решением и системы (3.23).

Итак, мы доказали, что если у исходной системы (3.19) существует при

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера

Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы должны

подставить в исходную систему (3.19) на место х, у и z их значения,

определяемые формулами Крамера (3.24), и убедиться в том, что все три

уравнения (3.19) обращаются при этом в тождества. Убедимся, например, что

первое уравнение (3.19) обращается в тождество при подстановке значений х,

у и z, определяемых формулами Крамера (3.24). Учитывая, что

получим, подставив в левую часть первого из уравнений (2.19) значения, и,

определяемые формулами Крамера:

Группируя внутри фигурной скобки члены относительно A, А2 и Л3,

получим, что:

В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скобки равны

нулю, а круглая скобка равна определителю. Таким образом, мы получим ++

И обращение в тождество первого уравнения системы (3.19) установлено.

Аналогично устанавливается обращение в тождество второго и третьего

уравнений (3.19).

Мы приходим к следующему выводу: если определитель системы (3.19)

отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (3.24).

2.2. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными

В этом и в разделе мы разовьем аппарат, необходимый для рассмотрения неоднородной системы (3.19) с определителем, равным нулю. Сначала рассмотрим однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

Если все три определителя второго порядка, которые можно

составить из матрицы

равны нулю , то в силу утверждения из разд. 1.1 коэффициенты первого из

уравнений (3.25) пропорциональны соответствующим коэффициентам

второго из этих уравнений. Стало быть, в этом случае второе уравнение (3.25)

является следствием первого, и его можно отбросить. Но одно уравнение с

тремя неизвестными ++= 0, естественно, имеет бесчисленное множество

решений (двум неизвестным можно предписывать произвольные значения, а

третье неизвестное определять из уравнения).

Рассмотрим теперь систему (3.25) для случая, когда хотя бы один из

определителей второго порядка, составленных из матрицы (3.26), отличен

от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что отличен от нуля

определитель

0 Тогда мы можем переписать систему (3.25) в виде

и утверждать, что для каждого z существует единственное решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (см. разд. 1.2, формулы (3.8)):

третьей строки определителя:

В силу результатов разд. 1.5 о связи алгебраических дополнений и

миноров можно записать

Основываясь на (3.29), мы можем переписать формулы (3.28) в виде

Для того чтобы получить решение в виде, симметричном

относительно всех неизвестных х, у, и z, положим (отметим, что в силу (3.27)

определитель отличен от нуля). Поскольку z может принимать любые

значения, то и новая переменная t может принимать любые значения .

Мы приходим к выводу, что в случае, когда определитель (3.27) отличен от нуля, однородная система (3.25) имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулами

в которых t принимает какие угодно значения, а алгебраические

дополнения, и определяются формулами (3.29).

2.3. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим теперь однородную систему трех уравнений с тремя

неизвестными:

Очевидно, что эта система всегда имеет так называемое тривиальное

решение: х = 0, у = 0, z = 0.

В случае, когда определитель системы, это тривиальное решение

является единственным (в силу разд. 2.1).

Докажем, что в случае, когда определитель равен нулю, однородная

система (3.32) имеет бесчисленное множество решений.

Если все определители второго порядка, которые можно составить из

равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 соответствующие

коэффициенты всех трех уравнений (3.32) пропорциональны. Но тогда второе

и третье уравнения (3.32) являются следствиями первого и могут быть

отброшены, а одно уравнение ++= 0, как уже отмечалось в разд. 2.2, имеет

бесчисленное множество решений.

Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрицы (3.33)

отличен от нуля. Так как порядок следования уравнений и неизвестных

находится в нашем распоряжении, то, не ограничивая общности, мы можем

разд. 2.2, система первых двух уравнений (3.32) имеет бесчисленное

множество решений, определяемых формулами (3.31) (при любом t).

Остается доказать, что х, у, z, определяемые формулами (3.31) (при

любом t, обращают в тождество и третье уравнение (3.32). Подставляя в

левую часть третьего уравнения (3.32) х, у и z, определяемые формулами

(3.31), получим

Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в круглых

скобках равно определителю системы (3.32). Но определитель по условию

равен нулю, и поэтому при любом t мы получим ++= 0.

Итак, доказано, что однородная система (3.32) с определителем А.

равным нулю, имеет бесчисленное множество решений . Если отличен от нуля

минор (3.27), то эти решения определяются формулами (3.31) при

произвольно взятом t.

Полученный результат можно сформулировать еще и так: однородная

система (3.32) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае,

когда определитель ее равен нулю .

2.4. Неоднородная система трех линейных уравнений с тремя

неизвестными с определителем, равным нулю.

Теперь мы располагаем аппаратом для рассмотрения неоднородной

системы (3.19) с определителем, равным нулю. Могут представиться два

случая: а) хотя бы один из определителей, или - отличен от нуля; б) все три

определителя, и равны нулю.

В случае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.23),

т. е. система (3.23) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная

система (3.19) (следствием которой является система (3.23)).

Переходим к рассмотрению случая б), когда все четыре определителя , ,

и равны нулю. Начнем с примера, показывающего, что и в этом случае

система может не иметь ни одного решения. Рассмотрим систему:

Ясно, что эта система не имеет решений. В самом деле, если бы

решение, существовало, то из первых двух уравнений мы получили бы, а

отсюда, умножая первое равенство на 2, получили бы, что 2 = 3. Далее,

очевидно, что все четыре определителя , , и равны нулю. Действительно,

определитель системы

имеет три одинаковых столбца , определители, и получаются путем замены

одного из этих столбцов свободными членами и, стало быть, имеют по два

одинаковых столбца. В силу свойства 3 все эти определители равны нулю.

Докажем теперь, что если система (3.19) с определителем, равным

нулю, имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесчисленное множество

различных решений.

Предположим, что указанная система имеет решение, . Тогда

справедливы тождества

Вычитая почленно из уравнений (3.19) тождества (3.34), получим

систему уравнений

эквивалентную системе (3.19). Но система (3.35) является однородной

системой трех линейных уравнений относительно трех неизвестных, и с

определителем, равным нулю. Согласно разд. 2.3 последняя система (а стало

быть, и система (3.19)) имеет бесчисленное множество решений. Например, в

случае, когда отличен от нуля минор (3.27), мы с помощью формул (3.31)

получим следующее бесконечное множество решений системы (3.19):

(t принимает любые значения).

Сформулированное утверждение доказано, и мы можем сделать

следующее заключение: если = = = = 0, то неоднородная система уравнений

(3.19) либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество.

3. Понятие об определителях любого порядка и о линейных

системах с любым числом неизвестных Установленное нами свойство разложения определителя третьего

порядка до элементам любой (например, первой) строки может быть

положено в основу последовательного введения по индукции определителя

четвертого, пятого и всех последующих порядков.

Предположим, что нами уже введено понятие определителя порядка

(n-1), и рассмотрим произвольную квадратную матрицу состоящую из

элементов

Назовем минором любого элемента матрицы (3.36) уже введенный нами

определитель порядка (n-1), отвечающий матрице (3.36), у которой удалены i-

я строка и j-й столбец. Договоримся обозначать минор элемента символом.

Например, минор любого элемента первой строки матрицы (3.36)

является следующим определителем порядка (n-1):

Назовем определителем порядка n, отвечающим матрице (3.36), число,

равное сумме

и обозначаемое символом

= Заметим, что при n = 3 разложение (3.37) совпадает с разложением

(3.16) определителя третьего порядка по первой строке.

Рассмотрим теперь неоднородную систему n уравнений с n неизвестными:

Определитель порядка n, составленный из коэффициентов при

неизвестных системы (3.39) и совпадающий с определителем из равенства

(3.38), называется определителем этой системы При любом j, равном 1, 2, ...,

n, обозначим символом определитель порядка n, полученный из определителя

системы путем замены его j-го столбца столбцом свободных членов, ..., .

В полной аналогии со случаем n = 3 оказывается справедлив

следующий результат: если определитель неоднородной системы (3.39)

отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение,

определяемое формулами Крамера :

хотя бы один из определителей, ..., отличен от нуля, то система (3.39) не

имеет решений .

В случае же, если n > 2 и все определители, ..., равны нулю, система

(3.39) может также не иметь решений, но если она имеет хотя бы одно

решение, то она имеет их бесчисленное множество.

4. Отыскание решения линейной системы методом Гаусса Рассмотрим неоднородную систему (3.39), в которой мы теперь для

сокращения записи переобозначим свободные члены, ..., используя для них

обозначение при i = 1, 2 ..., n. Изложим один из самых простых методов

решения этой системы, заключающийся в последовательном исключении

неизвестных и называемый методом Гаусса .

Выберем из коэффициентов при неизвестных коэффициент, отличный

от нуля, и назовем его ведущим. Не ограничивая общности, будем считать,

что таким коэффициентом является (иначе мы могли бы поменять порядок

следования неизвестных и уравнений).

Поделив все члены первою уравнения (3.39) на, получим первое приведенное уравнение

в котором при j = 1, 2, ..., (n+1).

Напомним, что, и, в частности, .

Для исключения неизвестного вычтем из i-го уравнения системы (3.39)

(i = 2, 3 ..., n)

умноженное на приведенное уравнение (3.40).

В результате получим для любого i = 2, 3, ..., n уравнение

в котором

при j = 2, 3, ..., (n+1).

Таким образом, мы получаем первую укороченную систему:

коэффициенты которой определяются по формулам (3.41).

В системе (3.42) находим отличный от нуля ведущий коэффициент.

Пусть это будет. Тогда, поделив первое уравнение (3.42) на этот

коэффициент, мы получим второе приведенное уравнение и, исключив с

помощью этого уравнения по описанной выше схеме неизвестное, придем ко

второй укороченной системе, не содержащей и.

Продолжая рассуждения по этой схеме, называемой прямым ходом

метода Гаусса , мы либо завершим ее реализацию, дойдя до линейного

уравнения, содержащего только одно неизвестное, либо не сможем завершить

ее реализацию (вследствие того, что исходная система (3.39) не имеет

решений). В случае, если исходная система (3.39) имеет решения, мы получим

цепочку приведенных уравнений

из которой обратным xодом метода Гаусса последовательно находятся

неизвестные

Подчеркнем, что все операции при обратном ходе метода Гаусса (1.43)

выполняются без деления,

В качестве примера рассмотрим неоднородную систему трех уравнений

с тремя неизвестными

Конечно, можно убедиться в том, что определитель системы (3.44)

отличен от нуля, и найти, и по формулам Крамера, но мы применим метод

Поделив первое уравнение системы (3.44) на 2, получим первое

приведенное уравнение:

Вычитая из второго уравнения системы (3.44) приведенное уравнение

(3.45), умноженное на 3, и вычитая из третьего уравнения системы (3.44)

приведенное уравнение (3.45), умноженное на 4, мы получим укороченную

систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Поделив первое уравнение (3.46) на, получим второе приведенное

уравнение:

Вычитая из второго уравнения (3.46) приведенное уравнение (3.47),

умноженное на 8, получим уравнение:

которое после сокращения на дает = 3.

Подставляя это значение во второе приведенное уравнение (3.47), получим,

что = -2. Наконец, подставляя найденные значения = -2 и = 3 в первое

приведенное уравнение (3.45), получим, что = 1.

ЛИТЕРАТУРА 1. Ильин В.А., Куркина А.В. – «Высшая математика», М.:ТК Велби, изд-во Проспект,

1.1. Системы двух линейных уравнений и определители второго порядка

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Коэффициенты при неизвестных и имеют два индекса: первый указывает номер уравнения, второй – номер переменной.

Правило Крамера: Решение системы находят путем деления вспомогательных определителей на главный определитель системы

,

Замечание 1. Использование правила Крамера возможно, если определитель системы не равен нулю.

Замечание 2. Формулы Крамера обобщаются и на системы большего порядка.

Пример 1. Решить систему:
.

Решение.

;
;

;

Проверка:

Вывод: Система решена верно:
.

1.2. Системы трех линейных уравнений и определители третьего порядка

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы или главным определителем:

.

Если
то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

где определители
– называются вспомогательными и получаются из определителя путем замены его первого, второго или третьего столбца столбцом свободных членов системы.

Пример 2. Решить систему
.

Сформируем главный и вспомогательные определители:

Осталось рассмотреть правила вычисления определителей третьего порядка. Их три: правило дописывания столбцов, правило Саррюса, правило разложения.

а) Правило дописывания первых двух столбцов к основному определителю:

Вычисление проводятся следующим образом: со своим знаком идут произведения элементов главной диагонали и по параллелям к ней, с обратным знаком берут произведения элементов побочной диагонали и по параллелям к ней.

б) Правило Саррюса:

Со своим знаком берут произведения элементов главной диагонали и по параллелям к ней, причем недостающий третий элемент берут из противоположного угла. С обратным знаком берут произведения элементов побочной диагонали и по параллелям к ней, третий элемент берут из противоположного угла.

в) Правило разложения по элементам строки или столбца:

Если
, тогда .

Алгебраическое дополнение – это определитель более низкого порядка, получаемый путем вычеркивания соответствующей строки и столбца и учитывающий знак
, где– номер строки,– номер столбца.

Например,

,
,
и т.д.

Вычислим по этому правилу вспомогательные определители и , раскрывая их по элементам первой строки.

Вычислив все определители, по правилу Крамера найдем переменные:

Проверка:

Вывод: система решена верно: .

Основные свойства определителей

Необходимо помнить, что определитель – это число , найденное по некоторым правилам. Его вычисление может быть упрощено, если пользоваться основными свойствами, справедливыми для определителей любого порядка.

Свойство 1. Значение определителя не изменится от замены всех его строк соответствующими по номеру столбцами и наоборот.

Операция замены строк столбцами называется транспонированием. Из этого свойства вытекает, что всякое утверждение, справедливое для строк определителя, будет справедливым и для его столбцов.

Свойство 2. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то знак определителя поменяется на противоположный.

Свойство 3. Если все элементы какой-нибудь строки определителя равны 0, то определитель равен 0.

Свойство 4. Если элементы строки определителя умножить (разделить) на какое-нибудь число , то и значение определителя увеличится (уменьшится) в раз.

Если элементы какой-нибудь строки, имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если определитель имеет две одинаковые или пропорциональные строки, то такой определитель равен 0.

Свойство 6. Если элементы какой-нибудь строки определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей.

Свойство 7. Значение определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки добавить элементы другой строки, умноженной на одно и то же число.

В этом определителе вначале ко второй строке прибавили третью, умноженную на 2, затем из третьего столбца вычли второй, после чего вторую строку прибавили к первой и третьей, в результате получили много нулей и упростили подсчет.

Элементарными преобразованиями определителя называются упрощения его благодаря использованию указанных свойств.

Пример 1. Вычислить определитель

Непосредственный подсчет по одному из рассмотренных выше правил приводит к громоздким вычислениям. Поэтому целесообразно воспользоваться свойствами:

а) из І строки вычтем вторую, умноженную на 2;

б) из ІІ строки вычтем третью, умноженную на 3.

В результате получаем:

Разложим этот определитель по элементам первого столбца, содержащего лишь один ненулевой элемент.

.

Системы и определители высших порядков

Систему линейных уравнений с неизвестными можно записать в таком виде:

Для этого случая также можно составить главный и вспомогательные определители, а неизвестные определять по правилу Крамера. Проблема состоит в том, что определители более высокого порядка могут быть вычислены только путем понижения порядка и сведения их к определителям третьего порядка. Это может быть осуществлено способом прямого разложения по элементам строк или столбцов, а также с помощью предварительных элементарных преобразований и дальнейшего разложения.

Пример 4. Вычислить определитель четвертого порядка

Решение найдем двумя способами:

а) путем прямого разложения по элементам первой строки:

б) путем предварительных преобразований и дальнейшего разложения

	а) из І строки вычтем ІІІ
	б) ІІ строку прибавим к ІV

Пример 5. Вычислить определитель пятого порядка, получая нули в третьей строке с помощью четвертого столбца

из первой строки вычтем вторую, из третьей вычтем вторую, из четвертой вычтем вторую, умноженную на 2.

из второго столбца вычтем третий:

из второй строки вычтем третью:

Пример 6. Решить систему:

Решение. Составим определитель системы и, применив свойства определителей, вычислим его:

(из первой строки вычтем третью, а затем в полученном определителе третьего порядка из третьего столбца вычитаем первый, умноженный на 2). Определитель
, следовательно, формулы Крамера применимы.

Вычислим остальные определители:

Четвертый столбец умножили на 2 и вычли из остальных

Четвертый столбец вычли из первого, а затем, умножив на 2, вычли из второго и третьего столбцов.

.

Здесь выполнили те же преобразования, что и для
.

.

При нахождении первый столбец умножили на 2 и вычли из остальных.

По правилу Крамера имеем:

После подстановки в уравнения найденных значений убеждаемся в правильности решения системы.

2. МАТРИЦЫ и ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

В РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

• Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
  Решение системы линейных уравнений — это такое множество чисел {x 1 , x 2 , …, x n }, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
  где a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n — коэффициенты системы;
  b i , i = 1, …, m — свободные члены;
  x j , j = 1, …, n — неизвестные.
  Вышеприведенная система может быть записана в матричном виде: A · X = B ,
  
  
  
  
  где (A |B ) — основная матрица системы;
  A — расширенная матрица системы;
  X — столбец неизвестных;
  B — столбец свободных членов.
  Если матрица B не является нуль-матрицей ∅, то данная система линейных уравнений называется неоднородной.
  Если матрица B = ∅, то данная система линейных уравнений называется однородной. Однородная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0 .
  Совместная система линейных уравнений — это имеющая решение система линейных уравнений.
  Несовместная система линейных уравнений — это не имеющая решение система линейных уравнений.
  Определённая система линейных уравнений — это имеющая единственное решение система линейных уравнений.
  Неопределённая система линейных уравнений — это имеющая бесконечное множество решений система линейных уравнений.
• Системы n линейных уравнений с n неизвестными
  Если число неизвестных равно числу уравнений, то матрица – квадратная. Определитель матрицы называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Δ.
  Метод Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
  Правило Крамера.
  Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
  где Δ i — определители, получаемые из главного определителя системы Δ заменой i -го столбца на столбец свободных членов. .
• Системы m линейных уравнений с n неизвестными
  Теорема Кронекера−Капелли .
  
  
  Для того чтобы данная система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang(Α|B) .
  Если rang(Α) ≠ rang(Α|B) , то система заведомо не имеет решений.
  Eсли rang(Α) = rang(Α|B) , то возможны два случая:
  1) rang(Α) = n (числу неизвестных) − решение единственно и может быть получено по формулам Крамера;
  2) rang(Α) < n − решений бесконечно много.
• Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
  
  
  Составим расширенную матрицу (A |B ) данной системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей.
  Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы (A |B ) с помощью элементарных преобразований над ее строками к диагональному виду (к верхнему треугольному виду). Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
  К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:
  1) перемена местами двух строк;
  2) умножение строки на число, отличное от 0;
  3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;
  4) выбрасывание нулевой строки.
  Расширенной матрице, приведенной к диагональному виду, соответствует линейная система, эквивалентная данной, решение которой не вызывает затруднений. .
• Система однородных линейных уравнений.
  Однородная система имеет вид:
  
  ей соответствует матричное уравнение A · X = 0 .
  1) Однородная система всегда совместна, так как r(A) = r(A|B) , всегда существует нулевое решение (0, 0, …, 0).
  2) Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) < n , что равносильно Δ = 0.
  3) Если r < n , то заведомо Δ = 0, тогда возникают свободные неизвестные c 1 , c 2 , …, c n-r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
  4) Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
  X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r ,
  где решения X 1 , X 2 , …, X n-r образуют фундаментальную систему решений.
  5) Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы:
  
  ,
  если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
  Разложение общего решения по фундаментальной системе решений — это запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе.
  Теорема . Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.
  Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
  Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
  Теорема . Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n .
  Доказательство :
  1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк);
  2) r < n , т.к. если r = n , то главный определитель системы Δ ≠ 0, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 , что противоречит условию. Значит, r(A) < n .
  Следствие . Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.