(хотя чаще всего совпадает).

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом :

  r → c = ∑ i m i r → i ∑ i m i , {\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},}

  где r → c {\displaystyle {\vec {r}}_{c}} - радиус-вектор центра масс, r → i {\displaystyle {\vec {r}}_{i}} - радиус-вектор i -й точки системы, m i {\displaystyle m_{i}} - масса i -й точки.

  Для случая непрерывного распределения масс:

  r → c = 1 M ∫ V ρ (r →) r → d V , {\displaystyle {\vec {r}}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,} M = ∫ V ρ (r →) d V , {\displaystyle M=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})dV,}

  где M {\displaystyle M} - суммарная масса системы, V {\displaystyle V} - объём, ρ {\displaystyle \rho } - плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

  Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами M i {\displaystyle M_{i}} , то радиус-вектор центра масс такой системы R c {\displaystyle R_{c}} связан с радиус-векторами центров масс тел R c i {\displaystyle R_{ci}} соотношением :

  R → c = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . {\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}

  Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

  Центры масс плоских однородных фигур

  Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа - Гульдина):

  x s = V y 2 π S {\displaystyle x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}} и y s = V x 2 π S {\displaystyle y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}} , где V x , V y {\displaystyle V_{x},V_{y}} - объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S {\displaystyle S} - площадь фигуры.

  Центры масс периметров однородных фигур

  Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass ): оба термина эквивалентны.

  Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

  v → c = c 2 ∑ i E i ⋅ ∑ i p → i . {\displaystyle {\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}.} вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

  В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

  По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

  Центром тяжести (или центром масс ) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

  Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

  В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта . Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

  Двумерный случай: многоугольники

  На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач :

  • Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
  • Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
  • Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

  Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

  Центр масс системы точек

  Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

  где — массы точек, — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и — искомый радиус-вектор центра масс.

  В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

  

  Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

  

  и, выражая отсюда , мы и получаем требуемую формулу.

  Центр масс каркаса

  Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

  Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

  

  где — точка-середина -ой стороны многоугольника, — длина -ой стороны, — периметр, т.е. сумма длин сторон.

  Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

  Центр масс сплошной фигуры

  Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

  Случай треугольника

  Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид , т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

  

  Случай треугольника: доказательство

  Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

  Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian "Finding Centroids the Easy Way".

  Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

  Разобьём данный треугольник на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

  

  Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику с коэффициентом .

  Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника :

  

  Пусть теперь вектор — вектор, проведённый из вершины к центру масс треугольника №1, и пусть вектор — вектор, проведённый из к точке (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

  

  Наша цель — показать, что вектора и коллинеарны.

  Обозначим через и точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка , являющаяся серединой отрезка . Более того, вектор от точки к точке совпадает с вектором .

  Искомый центр масс треугольника лежит посередине отрезка, соединяющего точки и (поскольку мы разбили треугольник на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

  

  Таким образом, вектор от вершины к центроиду равен . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику с коэффициентом , то этот же вектор равен . Отсюда получаем уравнение:

  

  откуда находим:

  Таким образом, мы доказали, что вектора и коллинеарны, что и означает, что искомый центроид лежит на медиане, исходящей из вершины .

  Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

  Случай многоугольника

  Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника . Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

  Окончательная формула получается следующей:

  

  где — центроид -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, — площадь -го треугольника триангуляции, — площадь всего многоугольника.

  Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники , где .

  Случай многоугольника: альтернативный способ

  С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников , поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

  

  где — произвольная точка, — точки многоугольника, — центроид треугольника , — знаковая площадь этого треугольника, — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. ).

  Трёхмерный случай: многогранники

  Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

  • Центр масс системы точек — вершин многогранника.
  • Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
  • Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
  • Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

  Центр масс системы точек

  Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

  который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

  Центр масс каркаса многогранника

  Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

  Центр масс поверхности многогранника

  Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

  Центр масс сплошного многогранника

  Случай тетраэдра

  Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

  Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

  Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

  Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом . Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

  

  (это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

  Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

  Случай произвольного многогранника

  Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

  Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

  Определение

  При рассмотрении системы частиц, часто удобно найти такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой является центр масс .

  Если у нас две частицы одинаковой массы, то такая точка находится посередине между ними.

  Координаты центра масс

  Допустим, что две материальные точки, имеющие массы $m_1$ и $m_2$ находятся на оси абсцисс и имеют координаты $x_1$ и $x_2$. Расстояние ($\Delta x$) между этими частицами равно:

  \[\Delta x=x_2-x_1\left(1\right).\]

  Определение

  Точку С (рис.1), делящую расстояние между этими частицами на отрезки, обратно пропорциональные массам частиц называют центром масс этой системы частиц.

  В соответствии с определением для рис.1 имеем:

  \[\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_2}{m_1}\left(2\right).\]

  где $x_c$ - координата центра масс, то получаем:

  Из формулы (4) получим:

  Выражение (5) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом. При этом абсцисса центра масс равна:

  Аналогично получают выражения для ординаты ($y_c$) центра масс и его аппликаты ($z_c$):

  \ \

  Формулы (6-8) совпадают с выражениями, определяющими центр тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

  Если положение N материальных точек системы задано в векторной форме, то радиус - вектор, определяющий положение центра масс находим как:

  \[{\overline{r}}_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_i{\overline{r}}_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(9\right).\]

  Движение центра масс

  Выражение для скорости центра масс (${\overline{v}}_c=\frac{d{\overline{r}}_c}{dt}$) имеет вид:

  \[{\overline{v}}_c=\frac{m_1{\overline{v}}_1+m_2{\overline{v}}_2+\dots +m_n{\overline{v}}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}=\frac{\overline{P}}{M}\left(10\right),\]

  где $\overline{P}$ - суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (10) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

  Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

  Примеры задач с решением

  Пример 1

  Задание. Запишите координаты центра масс системы из трех шариков, которые находятся в вершинах и центра равностороннего треугольника, сторона которого равна $b\ (м)$ (рис.2).

  

  Решение. Для решения задачи используем выражения, определяющие координаты центра масс:

  \ \

  Из рис.2 мы видим, что абсциссы точек:

  \[\left\{ \begin{array}{c} m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac{b}{2};; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac{b}{2};; \\ m_4=4m,\ \ x_4=b. \end{array} \right.\left(2.3\right).\]

  Тогда абсцисса центра масса равна:

  Найдем ординаты точек.

  \[ \begin{array}{c} m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac{b\sqrt{3}}{2};; \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac{b\sqrt{3}}{6};; \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end{array} \left(2.4\right).\]

  Для нахождения ординаты $y_2$ вычислим, чему равна высота в равностороннем треугольнике:

  Ординату $y_3$ найдем, помня, что медианы в равностороннем треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины, получаем:

  Вычислим ординату центра масс:

  Ответ. $x_c=0,6b\ {\rm \ }{\rm м}$; $y_c=\frac{b\sqrt{3}\ }{6}$ м

  Пример 2

  Задание. Запишите закон движения центра масс.

  Решение. Закон изменения импульса системы частиц является законом движения центра масс. Из формулы:

  \[{\overline{v}}_c=\frac{\overline{P}}{M}\to \overline{P}=M{\overline{v}}_c\left(2.1\right)\]

  при постоянной массе $M$ продифференцировав обе части выражения (2.1), получим:

  \[\frac{d\overline{P}}{dt}=M\frac{d{\overline{v}}_c}{dt}\left(2.2\right).\]

  Выражение (2.2) означает, что скорость изменения импульса системы равняется произведению массы системы на ускорение ее центра масс. Так как

  \[\frac{d\overline{P}}{dt}=\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i\left(2.3\right),}\]

  В соответствии с выражением (2.4) получаем, что центр масс системы движется так, как двигалась бы одна материальная точка массы M, если на нее действует сила, равная сумме всех внешних сил, действующих на частицы, которые входят в рассматриваемую систему. Если $\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i=0,}$ то центр масс движется равномерно и прямолинейно.

  Понятие интеграла широко применимо в жизни. Интегралы применяется в различных областях науки и техники. Основными задачами, вычисляемыми с помощью интегралов являются задачи на:

  1. Нахождение объема тела

  2. Нахождение центра масс тела.

  Рассмотрим каждую из них более подробно. Здесь и далее, для обозначения определенного интеграла от некоторой функции f(x), с пределами интегрирования от a до b, будем использовать следующую запись ∫ a b f(x) .

  Нахождение объема тела

  Рассмотрим следующий рисунок. Допустим, имеется некоторое тело, объем которого равен V. Так же имеется прямая такая, что если мы возьмем некоторую плоскость, перпендикулярную этой прямой, на будет известна площадь сечения S данного тела этой плоскостью.

  Каждая такая плоскость будет перпендикуляра оси Ох, а следовательно будет пересекать её в некоторой точке х. То есть каждой точке х, из отрезка будет поставлена в соответствие число S(x) - площадь сечения тела плоскость проходящей через эту точку.

  Получается, на отрезке будет задана некоторая функция S(x). Если эта функция будет непрерывна на этом отрезке, то будет справедлива следующая формула:

  V = ∫ a b S(x)dx.

  Доказательство этого утверждения выходит за рамки программы школьного курса.

  Вычисление центра масс тела

  Центр масс чаще всего используется в физике. Например, есть некоторое тело которое движется с какой-либо скорость. Но большое тело рассматривать неудобно, и поэтому в физике рассматривается это тело, как движение точки, в предположении, что эта точка имеет такую же массу, как и все тело.

  А задача вычисления цетра масс тела, является основной в этом вопросе. Потому как тело-то большое, и какую именно точку надо взять за центр масс? Может быть ту, которая находится в середине тела? Или может саму ближнюю точку к переднему краю? Тут приходит на помощь интегрирование.

  Для нахождения центра масс используется следующие два правила:

  1. Координата x’ центра масс некоторой системы материальных точек A1, A2,A3, … An с массами m1,m2,m3, … mn соответственно расположенных на прямой в точках с координатами x1, x2, x3, … xn находится последующей формуле:

  x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

  2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть рассматриваемой фигуры заменить на материальную точку, при этом поместив ее в центр масс этой отдельной части фигуры, а массу взять равную массе этой части фигуры.

  Например, если вдоль стержня - отрезка оси Ох распределена масса плотностью p(x), где p(x) есть непрерывная функция, то координата центра масс x’ будет равняться.

  Любое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек, в качестве которых можно, например, брать молекулы. Пусть тело состоит из n материальных точек с массами m1, m2, ...mn.

  Центром масс тела , состоящего из n материальных точек, называется точка (в геометрическом смысле), радиус-вектор которой определяется формулой :

  Здесь R1 – радиус-вектор точки с номером i (i = 1, 2, ... n).

  Это определение выглядит непривычно, но на самом деле оно даёт положение того самого центра масс, о котором у нас имеется интуитивное представление. Например, центр масс стержня будет находиться в его середине. Сумма масс всех точек, входящая в знаменатель вышеопределённой формулы, называется массой тела. Массой тела называется сумма масс всех его точек : m = m1 + m2 + ... + mn .

  

  В симметричных однородных телах ЦМ всегда расположен в центре симметрии или лежит на оси симметрии, если у фигуры центра симметрии нет. Центр масс может находиться как внутри тела (диск, квадрат, треугольник), так и вне его (кольцо, рамка, угольник).

  Для человека положение ЦМ зависит от принятой позы. Во многих видах спорта важным слагаемым успеха является способность сохранять равновесие. Так, в спортивной гимнастике, акробатике

  большое количество элементов включат в себя разные виды равновесия. Важна способность сохранять равновесие в фигурном катании, в беге на коньках, где опора имеет очень малую площадь.

  Условиями равновесия покоящегося тела являются одновременное равенство нулю суммы сил и суммы моментов сил , действующих на тело.

  Выясним, какое положение должна занимать ось вращения, чтобы закреплённое на ней тело оставалось в равновесии под действием сил тяжести. Для этого разобьём тело на множество маленьких кусочков и нарисуем действующие на них силы тяжести.

  

  В соответствии с правилом моментов для равновесия необходимо, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно оси равнялась нулю.

  Можно показать, что для каждого тела существует единственная точка, где сумма моментов сил тяжести относительно любой оси, проходящей через эту точку, равна нулю. Эта точка называется центром тяжести (обычно совпадает с центром масс).

  Центром тяжести тела (ЦТ) называется точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующей на все частицы тела, равна нулю .

  Таким образом, силы тяжести не вызывают вращения тела вокруг центра тяжести. Поэтому все силы тяжести можно было бы заменить единственной силой, которая приложена к этой точке и равна силе тяжести.

  Для изучения движений тела спортсмена часто вводится термин общий центр тяжести (ОЦТ). Основные свойства центра тяжести:

  Если тело закреплено на оси, проходящей через центр тяжести, то сила тяжести не будет вызывать его вращения;

  Центр тяжести является точкой приложения силы тяжести;

  В однородном поле центр тяжести совпадает с центром масс.

  Равновесным называется такое положение тела, при котором оно может оставаться в покое сколь угодно долго. При отклонении тела от положения равновесия, силы, действующие на него, изменяются, и равновесие сил нарушается.

  Существуют различные виды равновесия (рис. 9). Принято различать три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

  Устойчивое равновесие (рис. 9, а) характеризуется тем, что тело возвращается в первоначальное положение при его отклонении. В таком случае возникают силы, или моменты сил, стремящаяся возвратить тело в исходное положение. Примером может служить положение тела с верхней опорой (например, вис на перекладине), когда при любых отклонениях тело стремится возвратиться в начальное положение.

  Безразличное равновесие (рис. 9, б) характеризуется тем, что при изменении положения тела не возникает сил или моментов сил, стремящихся возвратить тело в начальное положение или ещё более удалить тело от него. Это редко наблюдаемый у человека случай. Примером может служить состояние невесомости на космическом корабле.

  Неустойчивое равновесие (рис. 9, в) наблюдается тогда, когда при малых отклонениях тела возникают силы или моменты сил, стремящихся ещё больше отклонить тело от начального положения. Такой случай можно наблюдать, когда человек, стоя на опоре очень малой площади (значительно меньшей площади его двух ног или даже одной ноги), отклоняется в сторону.

  Рисунок 9. Равновесие тела : устойчивое (а), безразличное (б), неустойчивое (в)

  

  Наряду с перечисленными видами равновесия тел в биомеханике рассматривают ещё один вид равновесия – ограниченно-устойчивое. Этот вид равновесия отличается тем, что тело может вернуться в начальное положение при отклонении от него до некоторого предела, например, определяемого границей площади опоры. Если же отклонение переходит этот предел, равновесие становится неустойчивым.

  Основная задача при обеспечении равновесия тела человека состоит в том, чтобы проекция ОЦМ тела находилась в пределах площади опоры. В зависимости от вида деятельности (сохранение статического положения, ходьба, бег и т. п.) и требований к устойчивости частота и быстрота корригирующих воздействий изменяются, но процессы сохранения равновесия одинаковы.

  Распределение массы в теле человека

  Масса тела и массы отдельных сегментов очень важны для различных аспектов биомеханики. Во многих видах спорта необходимо знать распределение массы для выработки правильной техники выполнения упражнений. Для анализа движений тела человека используется метод сегментирования: оно условно рассекается на определённые сегменты. Для каждого сегмента определяются его масса и положение центра масс. В табл. 1 определены массы частей тела в относительных единицах.

  Таблица 1. Массы частей тела в относительных единицах

  Часто вместо понятия центра масс используют другое понятие – центр тяжести. В однородном поле тяжести центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Положение центра тяжести звена указывают как его расстояние от оси проксимального сустава и выражают относительно длины звена, принятой за единицу.

  В табл. 2 приведены анатомическое положение центров тяжести различных звеньев тела.

  Таблица 2. Центры тяжести частей тела

  Часть тела	Положение центра тяжести
  Бедро	0,44 длины звена
  Голень	0,42 длины звена
  Плечо	0,47 длины звена
  Предплечье	0,42 длины звена
  Туловище
  Голова
  Кисть
  Стопа
  Плечо	0,47 длины звена
  Предплечье	0,42 длины звена
  Туловище	0,44 расстояния от поперечной оси плечевых суставов до оси тазобедренных
  Голова	Расположена в области турецкого седла клиновидной кости (проекция спереди между бровями, сбоку – на 3,0 – 3,5 выше наружного слухового прохода)
  Кисть	В области головки третьей пястной кости
  Стопа	На прямой, соединяющей пяточный бугор пяточной кости с концом второго пальца на расстоянии 0,44 от первой точки
  Общий центр масс тяжести при вертикальном положении тела	Расположен при основной стойке в области малого таза, впереди крестца