Когда мы обдумываем решение той или иной задачи, необходимо обращать внимание на то, какие в ней используются величины. Целые или дробные? Положительные или отрицательные? Ведь незначительная деталь помогает не только устранить ошибку в решении той или иной задачи, но и найти само решение. Разберем это на примере.
Пусть у Миши (заранее извиняюсь, если посетитель сайта Михаил) есть пятирублёвые и,допустим, восьмирублевые монеты. Всего их на сумму тридцать девять рублей. Сколько монет по пять рублей и сколько по восемь у Миши.
Кажется, что тут не хватает данных, если, например, через x обозначить кол-во 5-рублёвых монет, а за y - 8-рублёвых монет, то условие самой задачи позволяет написать одно единственное уравнение:
Эти и другие уравнения и их системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений, называют неопределёнными.
Из условия видно, что кол-во монет не может измеряться нецелыми или отрицательными числами. Значит, если x - целое неотрицательное число, то и:
должно быть неотрицательным и целым. А значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5x без остатка делилось на 8. С помощью подбора можно убедится, что это возможно при x = 3. Отсюда, y = 3.
Перебор вариантов не удобен, когда мы работаем с большими числами. Гораздо лучше воспользоваться методом рассевания или методом спуска, который придумали древнеиндийские математики. О методе спуска будет сказано чуть ниже.
(материал взят из энциклопедии Аванта+ "Математика")Продолжим рассмотрение неопределённого уравнения вида:
где a, b, c - известные целые коэффициенты.
Разберём это всё на знакомом примере:
Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное:
Теперь выделим целую часть:
Всё число будет целым, если целым окажется значение (4 - 3у)/5. Это возможно лишь тогда когда число (4 - 3у) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее условие запишем в виде
Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его теперь нужно относительно переменных y и z.
Продолжаем действовать всё по тому же принципу:
Для того чтобы у оказалось целым, необходимо, чтобы число 1 - 2z без остатка делилось на 3: 1 - 2z = 3u (вновь введена дополнительная переменная u, принимающая только целые значения). Отсюда по уже отработанной схеме получаем:
Продолжим... Число z будет целым, если число 1 - u без остатка делится на 2: 1 - u = 2v, где v - произвольное целое. Отсюда u =1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.
Осталось теперь благополучно «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом у и, наконец, х:
Формулы х = 3 + 8v, y = 3 - 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. А если нас интересуют только неотрицательные целые числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых
Решить такое уравнение - это значит:
1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.
Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.
При уравнение имеет единственное решение, которое будет: положительным, если или; нулевым, если; отрицательным, если или.
Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b0 решений нет.
Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение; найти при каких а корни больше нуля.
Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х-1 и х0 сводится к таковому: или а-1-х=0.
Мы уже выявили допустимые значения икс (х-1 и х0), выявим теперь допустимые значения параметра а:
а-1-х=0 а=х+1
Из этого видно, что при х0 а1, а при х-1 а0.
Таким образом, при а1 и а0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.
Ответ: при а<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 корни положительны.
Пример 2. Решить уравнение (1).
Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых.
Приведём уравнение к простейшему виду:
(9 - k)x =3k-12 (2)
Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:
Подставив в (2) , получим:
Если подставим, то получим так же.
Таким образом, при уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. - это недопустимые значения параметра k для (1). При мы можем решать только уравнение (2).
1. Если, то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение, которое будет:
а) положительным, если, при 4 б) нулевым, если; в) отрицательным, если и k>9 с учётом Получаем. 2. Если, то уравнение (2) решений не имеет. Ответ: а) при и, причём х>0 для; x=0 при k=4; x<0 при; б) при уравнение не имеет решений. Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным. Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры: Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b. Так как, по определению модуля, |x-2|, то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2. Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b. Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b. Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев: 1. Первый интервал: Второй интервал: Т.е. если а<4, то. Третий интервал: а=4, т.е. если а=4, то. 2. Первый интервал: Второй интервал: a>4,т.е. если 4<а, то Третий интервал: Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 . Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|- a| x - 1| =4. Рассмотрим 3 промежутка: 1) , 2) , 3) и решим исходное уравнение на каждом промежутке. При а=1 уравнение не имеет решений, но при а1 уравнение имеет корень. Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< - 3, т.е. , . Следовательно, исходное уравнение на x< - 3 имеет один корень при, а на остальных а корней не имеет. При а= - 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке. Если а1, то уравнение имеет один корень х=1. При а=1 решением является любое число, но мы решаем на. Если а1, то х=1. Ответ: при; при а= - 1 и при а1 х=1; при а=1 и при а1 х=1. Для начала напомню, что квадратное уравнение - это уравнение вида, где а, b и с - числа, причем, а0. Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения: а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b. б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b. в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней. Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения: 1. Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного. 2. Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного. 3. Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни. Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение: а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня. Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а-1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения: При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи. Пример2. Решить уравнение При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a. При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1. При a<1, но а0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня Ответ: и при a<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1. Пример3. Корни уравнения таковы, что. Найдите а. По теореме Виета и. Возведём обе части первого равенства в квадрат: . Учитывая, что, а, получаем: или, . Проверка показывает, что все значения удовлетворяют условию. Формулы степеней
используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств. Число c
является n
-ной степенью числа a
когда: Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются: a m
·a n = a m + n .
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: 3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей: (abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя: (a/b) n = a n /b n .
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают: (a m) n = a m n .
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот. Например
. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4
. Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей: 2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней: 3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число: 4. Если увеличить степень корня в n
раз и в тоже время возвести в n
-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется: 5. Если уменьшить степень корня в n
раз и в тоже время извлечь корень n
-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется: Степень с отрицательным показателем.
Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя: Формулу a m
:a n =a m - n
можно использовать не только при m
> n
, но и при m
< n
. Например
. a
4:a 7 = a 4 - 7 = a -3
. Чтобы формула a m
:a n =a m - n
стала справедливой при m=n
, нужно присутствие нулевой степени. Степень с нулевым показателем.
Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице. Например
. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем.
Чтобы возвести действительное число а
в степень m/n
, необходимо извлечь корень n
-ой степени из m
-ой степени этого числа а
. 137. Задача.
Из опыта найдено, что слиток из серебра и меди весом в 148 кг теряет в воде весу 14 2 / 3 кг. Определить, сколько в нем серебра и сколько меди, если известно, что в воде 21 кг серебра теряют 2 кг, а 9 кг меди теряют 1 кг. Положим, что в данном слитке содержится серебра х
кг, а меди у
кг. Тогда одно уравнение будет: х + у
=148
. Для составления другого уравнения примем во внимание, что если 21 кг серебра теряют в воде 2 кг весу, то это значит, что 1 кг серебра теряет в воде 2 / 21 кг. Тогда х
кг должны терять в воде 2 / 21 х
кг весу. Подобно этому,
если 9 кг меди теряют в воде 1 кг, то это значит, что 1 кг меди теряет 1 / 9 кг; следовательно, у
кг меди теряют 1 / 9 у
кг. Поэтому второе уравнение
будет: 2 / 21 х
+ 1 / 9 у
= 14 2 / 3 Мы получили таким образом два уравнения с 2 неизвестными: х + у
=148
и 2
/ 21 х
+ 1 / 9 у
= 14 2 /
3
= 44 /
3
Второе уравнение можно упростить, освободив его от дробей. Для этого приведем все дроби к одному знаменателю: 6
/ 63 х
+ 7 / 63 у
= 924 /
63
Теперь умножим обе части уравнения на 63; получим равносильное уравнение: х + у
= 924
Мы имеем теперь два уравнения: х + у
=148
и 6х + 7у
= 924
Мы можем решить эти два уравнения несколькими способами. Напр, так: из первого уравнения определим х
в зависимости от у
(другими словами, определим х
как функцию от у
): x = 148 - у.
Так как во втором уравнении буквы х
и у
означают те же числа, что и в первом уравнении, то мы можем во второе уравнение подставить вместо х
разность 148 - у
. 6 (148 - у) + 7у
= 924
Решим это уравнение с одним неизвестным: 888 - 6у + 7у = 924; у = 924 - 888 = 36.
Тогда х = 148 - 36 = 112.
Таким образом, в данном слитке содержится 112
кг серебра и 36
кг меди. 138. Нормальный вид уравнения первой степени с двумя неизвестными.
Возьмем такой пример уравнения с 2 неизвестными: 2 (2х + 3y - 5) = 5 / 8 (х + 3) + 3 / 4 (y - 4).
С целью упростить это уравнение, сделаем в нем тот же ряд преобразований, какой был указан раньше для уравнения с 1 неизвестным, а именно. 1) Раскроем скобки: 4х + 6y - 10 = 5 / 8 х + 15 / 8 + 3 / 4 y - 3
2) Освободимся от знаменателей, умножив все члены на 8
: 32х + 48y - 80 = 5х + 15 + 6 y - 24
3) Перенесем неизвестные члены в одну часть уравнения, а известные в другую: 32х + 48y -5х - 6 y = 15 - 24 + 80
4) Сделаем приведение подобных членов: 27x + 42y = 71.
Таким образом, данное уравнение после указанных преобразований оказывается такого вида, при котором в левой части уравнения находятся только два члена: один с неизвестным х
(в первой степени) и другой с неизвестным у
(в первой степени), правая же часть уравнения состоит только из одного члена, не содержащего неизвестных. Коэффициенты при х
и у
могут быть или оба положительные (как во взятом нами примере),
или оба отрицательные (этот случай, впрочем, можно свести на предыдущий, умножив все члены уравнения на - 1), или один положительный, а другой отрицательный; член, стоящий в правой части, может быть или положительным числом (как в настоящем примере), или отрицательным и даже нулем. Обозначив коэффициенты при х
и у
буквами а
и b
и член, не содержащий неизвестных, буквою с
, мы можем уравнение с 2 не известными 1-й степени в общем виде
представить так: ах + bу = с.
Такой вид уравнения называется нормальным видом уравнения 1-й степени с 2 неизвестными. 139. Неопределенность одного уравнения с 2 неизвестными.
Одно уравнение c 2 неизвестными имеет бесчисленное множество корней. Действительно, если для одного какого-нибудь неизвестного мы назначим произвольное число и это число подставим в уравнение, то тогда мы получим уравнение только с одним другим неизвестным; из этого уравнения можно найти это другое неизвестное. Так, если в уравнении 3x- 2y = - 6
мы примем, что у = 2
,
то уравнение будет 3x - 4 = -6
, откуда найдем: 3x = - 2
и x
= -
2
/
3
. Значит, если у = 2
, то x
= -
2
/
3
. Теперь назначим для у
какое-нибудь другое число, напр., у = 1
. Тогда получим 3х- 2 = - 6
, 3х
= - 4
, х
= -1
1
/
3
. Значит, если у = 1
, то.х
= -1
1
/
3
. Таким образом, мы можем найти сколько угодно пар решений, и, следовательно, уравнение окажется
неопределенным. Это же можно показать и графически. Из уравнения: 3x- 2y = - 6
(1) определим у
как функцию от х
: Надо привыкнуть быстро и безошибочно из данного уравнения определять одно неизвестное как функцию другого неизвестного. Так, чтобы из нашего уравнения определить у
как функцию от х
, надо мысленно перенести член -2y
направо, а член -6
налево, затем части уравнения переставить и разделить их на 2
; писать надо прямо результат этих преобразований. Функция эта есть двучлен 1-й степени, а такой двучлен изображается в координатных осях в виде прямой линии, которую мы можем построить по двум точкам (отдел3 § 118), напр. таким: Координаты каждой точки этой прямой удовлетворяют уравнению (2) и, следовательно, удовлетворяют и уравнению (1); а так как на прямой бесчисленное множество точек, то уравнение (1) имеет бесчисленное множество решений. 140. Система уравнений.
Принято говорить, что несколько уравнений образуют систему, если во всех этих уравнениях каждая из букв х, у,
. . означает одно и то же число для всехуравнений. Если, напр., два уравнения: рассматриваются при том условии, что буква х
означает одно и то же число в обоих уравнениях, равным образом и буква у
, то такие уравнения образуют систему. Это бывает всякий раз в том случае, когда уравнения составлены из условий одной и той же задачи. Укажем три способа решения системы 2 уравнений 1-й степени с 2 неизвестными. 141. Способ подстановки.
Этот способ мы уже применяли1 раньше, когда решали задачу о слитке из серебра и меди (). Возьмем теперь более сложный пример: 8x - 5y = - 16; 10x + 3у =17
(оба уравнения мы привели к нормальному виду). Из одного уравнения, напр, из первого, определим одно какое-нибудь неизвестное, напр, х
, как функцию другого неизвестного: Так как второе уравнение должно удовлетворяться теми же значениями, как и первое, то мы можем подставить в него вместо х
найденное выражение, от чего получим уравнение с одним неизвестным у
: Решим это уравнение: Мы могли бы определить из одного уравнения у
как функцию от х
и полученное выражение подставить на место у
в другое уравнение; тогда мы получили бы уравнение с неизвестным х
. Способ этот особенно удобен тогда, когда коэффициент при каком-нибудь неизвестном равен 1;
тогда всего лучше определить это неизвестное как функцию другого неизвестного (не придется делить на коэффициент), и т. д. Из второго уравнения находим: у = 22- 4х.
Тогда первое уравнение дает: 3х - 2 (22 - 4x)=11; 3x -44 + 8x = 11; 11x = 44+ 11 = 55.
x = 55 / 11 =5; y = 22 - 4 5 = 2.
Правило.
Чтобы решить систему двух уравнений с 2 неизвестными способом подстановки, надо определить из какого-нибудь уравнения одно неизвестное как функцию другого неизвестного и полученное выражение подставить в другое уравнение; от этого получается уравнение с одним неизвестным. Решив его, находят это неизвестное. Подставив найденное число в выражение, выведенное раньше для первого неизвестного, находят и это другое неизвестное.
142. Способ сложения или вычитания.
Предположим сначала, что в данной системе уравнений (приведенных предварительно к нормальному виду) коэффициенты при каком-нибудь неизвестном, напр, при у
, будут одинаковы. При этом могут представиться два случая: 1) знаки перед такими коэффициентами разные и 2) знаки одинаковые. Рассмотрим эти два случая параллельно. Пусть, напр., даны две системы: Если сложим почленно уравнения первой системы и вычтем почленно уравнения второй системы, то неизвестное у исключится: Откуда: х = 5 х =3
Подставив в одно из данных уравнений вместо х
найденное для него число, найдем у
: Возьмем теперь систему, в которой коэффициенты различны, напр. такую: Мы можем тогда предварительно уравнять коэффициенты при каком-нибудь одном неизвестном, напр, при х
. Для этого найдем кратное (лучше всего наименьшее) коэффициентов 7 и 5 (это будет 35) и умножим обе части каждого уравнения на соответствующий дополнительный множитель (как это делается при приведении дробей к общему знаменателю): После этого остается только сложить или вычесть преобразованные уравнения. В нашем примере знаки перед коэффициентами х
разные; поэтому уравнения надо сложить: Теперь первое уравнение дает: 7x + 6 2 1 / 2 = 29; 7x + 15 = 29; 7x = 14; х = 2.
Правило.
Чтобы решить систему двух уравнений с 2 неизвестными способом сложения или вычитания, надо сначала уравнять в обоих уравнениях коэффициенты при каком-нибудь одном неизвестном, а потом сложить оба уравнения, если знаки перед этими коэффициентами разные, или вычесть уравнения, если знаки одинаковые.
143. Графическое решение.
Пусть дана система: 8х - 5у = - 16; 10x + 3у = 17.
Из каждого уравнения определим у
как функцию от х
: Графики этих функций должны быть прямые линии. Построим на одном чертеже каждую из них по двум точкам, напр, по таким: из уравнения.......у = 1 3 / 5 x + 3 1 /
5
: из уравнения.......у = 5 2 / 3 - 3 1 / 3 х:
На чертеже видно, что две прямые пересекаются в точке, абсцисса которой равна 1
/
2
, а ордината 4
. Эти значения х
и у
, удовлетворяя обоим уравнениям, и будут решениями данной системы. Замечания
. 1) Если бы случилоcь, что прямые,выражающие данные уравнения, оказались параллельными и, следовательно, не существовало бы точки их пересечения, то это значило бы, что уравнения не имеют корней. 2) Может иногда случиться, что 2 прямые сливаются в одну; тогда координаты всякой точки этой прямой удовлетворяют данным уравнениям, и, значит, система неопределенна. 3) В конце 2-й части этой книги указаны общие формулы для решения системы двух уравнений с 2 неизвестными первой степени (§ 396 и след.). Глава вторая.
Система трех уравнений с тремя неизвестными.
144. Нормальный вид уравнения первой степени с тремя неизвестными.
Если в уравнении 1-й степени с 3 неизвестными х, у
и z
сделаны те же преобразования, какие были нами раньше указаны для уравнения с 1 и 2 неизвестными, то мы приведем уравнение к такому виду (называемому нормальным), при котором в левой части уравнения находятся только три члена: один с х
, другой с у
и третий с z
, а в правой
части будет один член, не содержащий неизвестных. Таково, напр., уравнение: 5х - 3у - 4z = -12.
Общий вид его есть следующий: ах + by + cz = d,
где а, b, с
и d
какие-нибудь относительные числа. 145. Неопределенность двух и одного уравнения с тремя неизвестными.
Положим, нам дана система 2 уравнений с 3 неизвестными: 5х- 3у + z = 2; 2х + у- z = 6.
Назначим одному неизвестному, напр. z
, какое-нибудь произвольное число, положим 1, и подставим это число на место z
: Мы получили таким образом систему 2 уравнений с 2 неизвестными. Решив ее каким-нибудь способом, найдем: х = 2, у = 3
; значит, данная система с 3 неизвестными удовлетворяется при х = 2
, у = 3
и z =1
. Дадим теперь неизвестному z какое-нибудь иное значение, напр. z = 0
, и подставим это значение в данные уравнения: 5х- 3у = 2; 2х + у = 6.
Мы снова получим систему 2 уравнений с 2 неизвестными. Решив ее каким-нибудь способом, найдем: x
= 20
/
11
= 1
9
/
11
y
= 2
4
/
11
Значит, данная система удовлетворяется при x
= 1
9
/
11
y
= 2
4
/
11
и z = 0
. Назначив для z
еще какое-нибудь (третье) значение, мы снова получим систему 2 уравнений с 2 неизвестными, из которой найдем новые значения для х
и у
. Так
как для z
мы можем назначать сколько угодно различных чисел, то и для х
и у
можем получить сколько угодно значений (соответствующих взятым значениям z
). Значит, 2 уравнения с 3 неизвестными допускают бесчисленное множество решений; другими словами,
такая система неопределенна. Еще большая неопределенность будет, если имеется всего 1 уравнение c 3 неизвестными. Тогда можно будет для каких-нибудь 2 неизвестных назначить произвольные числа; третье же неизвестное найдется из данного уравнения, если подставить в него значения, взятые произвольно для двух неизвестных. 146. Система 3 уравнений с 3 неизвестными.
Для того, чтобы можно было найти определенные численные значения для трех неизвестных х, у
и z
, необходимо, чтобы была задана система 3 уравнений. Такая система может быть решена способом подстановки, а также и способом сложения или вычитания уравнений. Покажем применение этих способов на следующем примере (каждое уравнение предварительно приведено к нормальному виду): 147. Способ подстановки.
Из какого-нибудь уравнения, напр, из первого, определим одно неизвестное, напр, х,
как функцию от двух остальных неизвестных: Так как во всех уравнениях х
означает одно и то же число, то мы можем подставить найденное выражение на место х
в остальные уравнения: Мы приходим таким образом к системе 2 уравнений с 2 неизвестными у
и z
. Решив эту систему по какому-нибудь из способов, указанных раньше, найдем численные значения для у
и г
. В нашем примере это будут значения: у = 3, z = 2
; подставив эти числа в выражение, выведенное нами для х
, найдем и это неизвестное: Таким образом, предложенная система имеет решение х = 1, у = 3, z = 2
(в чем можно убедиться поверкою). 148. Способ сложения или вычитания.
Из 3 данных уравнений возьмем какие-нибудь два, напр. 1-е и 2-е, и, уравняв в них коэффициенты перед одним неизвестным, напр, перед z
, исключим из них это неизвестное способом сложения или вычитания; от этого получим одно уравнение c 2 неизвестными х
и у
. Потом, возьмем какие-нибудь два других уравнения из 3 данных, напр. 1-е и 3-е (или 2-е и 3-е), и тем же способом исключим
из них то же неизвестное т. е. z
; от этого получим еще
одно уравнение с х
и у
: Решим получившиеся два уравнения: x = 1, у = 3
. Вставим эти числа в одно из трех данных уравнений, напр, в первое: 3 1 - 2 3 + 5z = 7; 5z = 7 -3 + 6 = 10; z =2.
Замечание.
Теми же двумя способами мы можем привести систему 4 уравнений с 4 неизвестными к системе 3 уравнений с 3 неизвестными (а эту систему -к системе 2 уравнений с 2 неизвестными и т. д.). Вообще систему m
уравнений с m
неизвестными мы можем привести к системе m
- 1
уравнений с m
- 1
неизвестными (а эту систему к системе m
-
2
уравнений с m
- 2
неизвестными и т. д.). Глава третья.
Некоторые особые случаи систем уравнений.
149. Случай, когда не все неизвестные входят в каждое из данных уравнений
; напр.: В этом случае система решается быстрее, чем обыкновенно, так как в некоторых уравнениях уже исключены те или другие неизвестные. Надо только сообразить, какие неизвестные и из каких уравнений следует исключить, чтобы возможно скорее дойти до одного уравнения с одним неизвестным. В нашем примере, исключив z
из 1-го и 3-го уравнений и v
из 2-го и 1-го, получим 2 уравнения с х
и у
: Решив эти уравнения, найдем: х = 0, y = 1 / 3 .
Теперь вставим эти числа во 2-е и 3-е уравнения; тогда получим: v
= 3 / 2 ; z
= 16 / 9
= 1 7 / 9
150. Случай, когда неизвестные входят в виде дробей: 1 / x
x" = 2, y" = 1 / 2 , z" = 5 ;
1 / x = 2, 1 / y = 1 / 2 , 1 / z = 5
x = 1 / 2 , y = 2 , z = 1 / 5 ;
151. Случай, когда полезно все данные уравнения сложить.
Пусть имеем, напр., систему: Сложив все три уравнения, найдем: Вычтя из последнего уравнения каждое из данных, получим: ___________________
Внимание! Что такое показательное уравнение
? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях
каких-то степеней. И только там! Это важно. Вот вам примеры показательных уравнений
: 3 х ·2 х = 8 х+3 Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа
. В показателях
степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например: это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений
в чистом виде. Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим. Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например: Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения: Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку! Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые
числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение. Здорово, правда?) Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве!
Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях: 2 х +2 х+1 = 2 3 , или двойки убирать нельзя! Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от злых показательных выражений к более простым уравнениям. "Вот те раз!" - скажете вы. "Кто ж даст такой примитив на контрольных и экзаменах!?" Вынужден согласиться. Никто не даст. Но теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении замороченных примеров. Надо приводить его к виду, когда слева - справа стоит одно и то же число-основание. Дальше всё будет легче. Собственно, это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам
виду. По правилам математики, разумеется. Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.
При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями.
Без знаний этих действий ничего не получится. К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде. Посмотрим, как это делается на практике? Пусть нам дан пример: 2 2х - 8 х+1 = 0 Первый зоркий взгляд - на основания.
Они... Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние - рано. Самое время вспомнить, что Двойка и восьмёрка - родственнички по степени.) Вполне можно записать: 8 х+1 = (2 3) х+1 Если вспомнить формулку из действий со степенями: (а n) m = a nm , то вообще отлично получается: 8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1) Исходный пример стал выглядеть вот так: 2 2х - 2 3(х+1) = 0 Переносим 2 3 (х+1)
вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем: 2 2х = 2 3(х+1) Вот, практически, и всё. Убираем основания: Решаем этого монстра и получаем Это правильный ответ. В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали
в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) - очень популярный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений. Дело в том, что возвести любое число в любую степень - не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот... Узнавать, какое число в какой степени
скрывается за числом 243, или, скажем, 343... Здесь вам никакой калькулятор не поможет. Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да... Потренируемся? Определить, какими степенями и каких чисел являются числа: 2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024. Ответы (в беспорядке, естественно!): 5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 . Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает... Например, 2 6 , 4 3 , 8 2 - это всё 64. Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь
запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?) Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик: 3 2х+4 -11·9 х = 210 И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что: 9 х = (3 2) х = 3 2х По тем же правилам действий со степенями: 3 2х+4 = 3 2х ·3 4 Вот и отлично, можно записать: 3 2х ·3 4 - 11·3 2х = 210 Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать... Тупик? Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех
математических заданий: Не знаешь, что нужно - делай, что можно!
Глядишь, всё и образуется). Что в этом показательном уравнении можно
сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3 2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет: 3 2х (3 4 - 11) = 210 3 4 - 11 = 81 - 11 = 70 Пример становится всё лучше и лучше! Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем: Оп-па! Всё и наладилось! Это окончательный ответ. Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип. Решим уравнение: 4 х - 3·2 х +2 = 0 Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке. 4 х = (2 2) х = 2 2х Получаем уравнение: 2 2х - 3·2 х +2 = 0 А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.
Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2 х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным! Итак, пусть Тогда 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2 Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t: Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем: Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t 1: Стало быть, Один корень нашли. Ищем второй, из t 2: Гм... Слева 2 х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое
число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит: Вот теперь всё. Получили 2 корня: Это ответ. При решении показательных уравнений
в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа: Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Кто-то, может и растеряется... А вот человек, который прочитал на этом сайте тему "Что такое логарифм?" , только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ: Такого ответа в заданиях "В" на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях "С" - запросто. В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное. Практические советы:
1. Первым делом смотрим на основания
степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми.
Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями.
Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени! 2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые
числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями
и разложение на множители.
То что можно посчитать в числах - считаем. 3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному. 4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо". Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному. Решить показательные уравнения:
Посложнее: 2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48 9 х - 8·3 х = 9 2 х - 2 0,5х+1 - 8 = 0 Найти произведение корней: 2 3-х + 2 х = 9 Получилось? Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме...): 7 0.13х + 13 0,7х+1 + 2 0,5х+1 = -3 Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.) 2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х Пример попроще, для отдыха): 9·2 х - 4·3 х = 0 И на десерт. Найти сумму корней уравнения: х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0 Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна... И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!). Ответы (в беспорядке, через точку с запятой): 1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0. Всё удачно? Отлично. Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.) Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ?
В уравнениях - это очень важная штука, между прочим... Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Решение линейных уравнений с модулем
Решение квадратных уравнений с параметром
Решение показательных уравнений. Примеры.
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")Решение простейших показательных уравнений.
Решение простых показательных уравнений. Примеры.
Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.
Если Вам нравится этот сайт...
