Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника Геометрия 7 класс

Цель урока: Доказать теорему о теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника Научить применять теорему при решении задач

План урока: Орг. Момент Устный опрос по теории Решите устно Объяснение нового материала Закрепление нового материала Итоги урока Домашнее задание

Решите устно В  АВС А=37 ° , В=109 ° .Найдите величину С. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 32 ° .Какова величина другого угла? Вычислите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине треугольника равен 28 ° .

Решите устно 4. Вычислите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании 77 ° . 5. Вычислите величины острых углов прямоугольного равнобедренного треугольника. Объясните, почему в треугольнике не может быть больше одного: 1) тупого угла; 2) прямого угла.

Задача м О С К 1 2 3 Дано:  МОС, М-К-С, КМ=МО. Доказать: а) 1= 3; б) МОС > 3 Решение: 1 является часть угла МОС, значит, 1 1 . 2 – внешний для  ОКС, 2 = 3 + КОС. Значит, 2 > 3.  MOD – равнобедренный, следовательно, 1= 2. Значит, 1 > 3, MOC > 3.

Теорема В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В С А Дано:  АВС, АВ > АС Доказать: С > В Доказательство: 1. Отложим на стороне АВ отрезок А D =АС. 2. Так как А D 1. 2- внешний угол  В D С, поэтому 2 > В. 1 = 2 ( А D С- равнобедренный) 5. С > 1, 1= 2, 2 > В, следовательно С > В 2 1 D

Обратная теорема Против большего угла лежит большая сторона В А С Дано:  АВС, С > В Доказать: АВ > АС Доказательство: Предположим, что это не так. Тогда: 1) либо АВ = АС; 2)либо АВ C (против большей стороны лежит больший угол). Противоречие условию: С > В. Предположение неверно, и, следовательно АВ > АС,что и требовалось доказать.

Решение задач № 236 и №237-устно № 238

Домашнее задание п.32(до следствия1) № 299

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Контрольная работа по теме «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника»...

Билетик на выход: Неравенство треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Сумма углов треугольника.

Самостоятельная работа по темам: неравенство треугольника, сумма углов треугольника, соотношение между сторонами и углами треугольника....

Эта теорема сформулирована и доказана в учебнике Атанасяна Л.С. , в учебнике Погорелова А.В. такой теоремы нет. Видимо, связанно это с тем, что неравенство треугольника у Атанасяна Л.С. доказывается с использованием выше указанной теоремы. У Погорелова А.В. же неравенство треугольника доказывается с использованием понятия проекции наклонной.

Приведем доказательство теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника дословно.

Теорема: В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство. 1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С >угла В. Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС (рис.1). Так как АD<АВ, то тока D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, угол С >угла 1. Угол 2 - внешний угол треугольника ВDС, поэтому угол 2>угла В. Углы 1 и 2 равны, как углы при основании равнобедренного треугольника АDС. Таким образом, угол С >угла 1, угол 1 = углу 2, угол 2>угла В. Отсюда следует, что угол С >угла В.

2) Пусть в треугольнике АВС угол С >угла В. Докажем, что АВ>АС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=АС, либо АВ<АС. В первом случае треугольник АВС - равнобедренный и, значит, Угол С= углу В. Во втором случае угол В> угла С (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: угол С >угла В. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ>АС. Теорема доказана.

Из приведенного доказательства видно, что его идея заключается в проведении дополнительного построения, разбивающего рассматриваемый треугольник на два треугольника, один из которых равнобедренный. Реконструируем идею такого дополнительного построения, доказав эту теорему с использованием понятия о мысленном эксперименте.

Доказательство теоремы с использованием мысленного эксперимента.

Итак, предмет мысли нашего мысленного эксперимента - углы и стороны треугольника. Поместим его мысленно в такие условия (рис.2), в которых его сущность может раскрыться с особой определенностью(1этап).

Такими условиями являются:

Равенство всех углов и сторон треугольника (условия равностороннего треугольника);

Способность сторон треугольника «сжиматься» и «растягиваться» сохраняя при этом прямизну линии;

Вершины треугольника могут «скользить» по линиям, содержащим стороны треугольника;

Такие сконструированные условия позволяют нам раскрыть сущность соотношения сторон и углов треугольника с особой определенностью (1 этап) - зависимость величины противолежащего угла от величины противолежащей стороны и обратно.

В самом деле, проводя последующие мысленные трансформации (2 этап) путем «растяжения» одной из сторон треугольника (рис.3) мы сможем наблюдать соответственно и увеличение противолежащего угла.

Производя обозначение углов и вершин треугольников (рис.4), получаемых при «растяжении» сторон равностороннего треугольника, мы тем самым мысленно формируем ту среду, ту систему связей, в которую помещаем наш предмет мысли (3 этап).

Увеличивая сторону АС путем «растяжения» до стороны АС1, мы тем самым будем наблюдать увеличение угла 1 и соответственное уменьшение угла 2. Но мы также будем наблюдать увеличение и стороны ВС до стороны ВС1. Если сторона ВС увеличилась больше, чем сторона АС (ВС1>АС1), то теорема не верна. Покажем что это не так.

Может быть два случая: ВС1=АС1 и ВС1 ВС1>АС1АС1. В первом случаи треугольник АВС1 был бы равнобедренным, а угол 1 был бы равен углу 3. Но это не так: угол 3 не изменялся и равен 60°, а угол 1 увеличился и стал > 60° - значит стороны ВС1 и АС1 не равны (рис.5). Во втором случае сторону АС1 можно увеличить до стороны ВС1 путем «растяжения» до стороны А1С1 (т.е. А1С1=ВС1) (рис.5). Полученный треугольник А1ВС1 - равнобедренный, а следовательно углы при основании должны быть равны. Но угол 3 уменьшился (т.е. стал < 60°), а угол 1 снова увеличился - значит стороны А1С1 и ВС1 не равны.

Если увеличивать не сторону а угол, мы снова будем решать вопрос о том, какая из двух сторон (АС или ВС) увеличилась больше.

Исходя из проведенного мысленного эксперимента, мы можем заключить истинность утверждения о том, что против большей стороны лежит больший угол и обратно.

Теорема: В треугольнике

1. Дано: АВ>АС

Доказать: ∠С>∠В.

Доказательство: Отложим отрезок AD равный отрезку АС и тогда точка D будет лежать между точек А и В. Луч CD рассечёт угол АСВ на два угла, при этом ∠1=∠2. ΔАСВ состоит из углов ∠1 и ∠3. ∠2 - внешний для треугольника CDB, значит он больше угла В.

Рис. 1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠ACB>∠B, что и требовалось доказать.

2. Дано: ∠С>∠В

Доказать: ∠АВ>∠AC

Рис. 2. Обратная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника , но ∠С>∠В по условию, следовательно, остается только случай, если АВ>АС, что и требовалось доказать.

Ещё раз сформулируем теорему и распространим её на все углы треугольника.

Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Рис. 3. Чертёж к теореме

Если АВ>AC>BC, то ∠C>∠B>∠A.

Если ∠C>∠B>∠A, то АВ>AC>BC.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство:

Рис. 4. Чертёж к следствию 1

∠А+∠В+90=180, ∠А+∠В=90=∠С. Отсюда следует, что ∠А<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано.

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Дано: ∠В=∠С

Доказать: АС=АВ

Доказательство: Докажем методом от противного.

Рис. 5. Чертёж к следствию 2

АВ>АС ∠С>∠В, то есть АВ=АС. Следствие доказано.

Обсудим следствие 2. Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Из этого вытекает его свойство: углы при основании равны. А теперь у нас есть признак, что если углы при какой-либо стороне равны, то треугольник равнобедренный. Мы имеем признак равнобедренного треугольника.

Пример 1: Сравните углы треугольника и выясните, может ли быть угол А тупым, если АВ=АС<ВС.

Рис. 6. Чертёж к примеру 1

АВ=АС ∠С=∠В. АС<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В ∠А=180-(∠В+∠С).

Пример: ∠В=∠С=10, тогда ∠А=180-(10+10)=160.

Ответ: 1) ∠В=∠С<∠А 2) ∠А может быть тупым.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели теорему об отношении между сторонами и углами треугольника. На следующем уроке мы рассмотрим тему о неравенстве треугольников.

1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.
3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().
2. Kaknauchit.ru ().

1. №50. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Отрезок АК - медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите, что ∠ВАК<∠АВС<∠АКС<∠АСВ.
3. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
4. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен a.

Теорема: В треугольнике

1. Дано: АВ>АС

Доказать: ∠С>∠В.

Доказательство: Отложим отрезок AD равный отрезку АС и тогда точка D будет лежать между точек А и В. Луч CD рассечёт угол АСВ на два угла, при этом ∠1=∠2. ΔАСВ состоит из углов ∠1 и ∠3. ∠2 - внешний для треугольника CDB, значит он больше угла В.

Рис. 1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠ACB>∠B, что и требовалось доказать.

2. Дано: ∠С>∠В

Доказать: ∠АВ>∠AC

Рис. 2. Обратная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника , но ∠С>∠В по условию, следовательно, остается только случай, если АВ>АС, что и требовалось доказать.

Ещё раз сформулируем теорему и распространим её на все углы треугольника.

Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Рис. 3. Чертёж к теореме

Если АВ>AC>BC, то ∠C>∠B>∠A.

Если ∠C>∠B>∠A, то АВ>AC>BC.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство:

Рис. 4. Чертёж к следствию 1

∠А+∠В+90=180, ∠А+∠В=90=∠С. Отсюда следует, что ∠А<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано.

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Дано: ∠В=∠С

Доказать: АС=АВ

Доказательство: Докажем методом от противного.

Рис. 5. Чертёж к следствию 2

АВ>АС ∠С>∠В, то есть АВ=АС. Следствие доказано.

Обсудим следствие 2. Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Из этого вытекает его свойство: углы при основании равны. А теперь у нас есть признак, что если углы при какой-либо стороне равны, то треугольник равнобедренный. Мы имеем признак равнобедренного треугольника.

Пример 1: Сравните углы треугольника и выясните, может ли быть угол А тупым, если АВ=АС<ВС.

Рис. 6. Чертёж к примеру 1

АВ=АС ∠С=∠В. АС<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В ∠А=180-(∠В+∠С).

Пример: ∠В=∠С=10, тогда ∠А=180-(10+10)=160.

Ответ: 1) ∠В=∠С<∠А 2) ∠А может быть тупым.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели теорему об отношении между сторонами и углами треугольника. На следующем уроке мы рассмотрим тему о неравенстве треугольников.

1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.
3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().
2. Kaknauchit.ru ().

1. №50. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Отрезок АК - медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите, что ∠ВАК<∠АВС<∠АКС<∠АСВ.
3. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
4. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен a.