جدول مقادیر توابع مثلثاتی

توجه داشته باشید. این جدول از مقادیر تابع مثلثاتی از علامت √ برای نمایش ریشه دوم استفاده می کند. برای نشان دادن کسری، از علامت "/" استفاده کنید.

همچنین ببینیدمواد مفید:

برای تعیین مقدار یک تابع مثلثاتی، آن را در تقاطع خط نشان دهنده تابع مثلثاتی پیدا کنید. به عنوان مثال، سینوس 30 درجه - ما به دنبال ستون با عنوان sin (سینوس) می گردیم و تقاطع این ستون جدول را با ردیف "30 درجه" پیدا می کنیم، در تقاطع آنها نتیجه را می خوانیم - یک نیمه. به همین ترتیب ما پیدا می کنیم کسینوس 60درجه، سینوس 60درجه (یک بار دیگر، در تقاطع ستون sin و خط 60 درجه، مقدار sin 60 = √3/2 را پیدا می کنیم) و غیره. مقادیر سینوس ها، کسینوس ها و مماس های دیگر زوایای "محبوب" به همین ترتیب یافت می شوند.

سینوس پی، کسینوس پی، مماس پی و زوایای دیگر بر حسب رادیان

جدول کسینوس، سینوس و مماس زیر نیز برای یافتن مقدار توابع مثلثاتی مناسب است که آرگومان آنها به رادیان داده می شود. برای این کار از ستون دوم مقادیر زاویه استفاده کنید. به لطف این، می توانید مقدار زوایای محبوب را از درجه به رادیان تبدیل کنید. برای مثال، زاویه 60 درجه را در خط اول پیدا کرده و مقدار آن را بر حسب رادیان در زیر آن بخوانیم. 60 درجه برابر است با π/3 رادیان.

عدد پی به طور واضح وابستگی محیط را به درجه اندازه گیری زاویه بیان می کند. بنابراین رادیان پی برابر با 180 درجه است.

هر عددی که بر حسب پی (رادیان) بیان می شود را می توان به راحتی با جایگزینی عدد پی (π) با 180 به درجه تبدیل کرد..

مثال ها:
1. سینو پی.
sin π = گناه 180 = 0
بنابراین، سینوس پی همان سینوس 180 درجه و برابر با صفر است.

2. کسینوس پی.
cos π = cos 180 = -1
بنابراین کسینوس پی همان کسینوس 180 درجه و برابر با منهای یک است.

3. مماس پی
tg π = tg 180 = 0
بنابراین مماس پی همان مماس 180 درجه و برابر با صفر است.

جدول مقادیر سینوس، کسینوس، مماس برای زوایای 0 - 360 درجه (مقادیر رایج)

مقدار زاویه α (درجه)	مقدار زاویه α در رادیان (از طریق پی)	گناه (سینوس)	cos (کسینوس)	tg (مماس)	ctg (کتانژانت)	ثانیه (بخشی)	cosec (همراه)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

اگر در جدول مقادیر توابع مثلثاتی یک خط تیره به جای مقدار تابع (مماس (tg) 90 درجه، کتانژانت (ctg) 180 درجه نشان داده شده باشد، سپس برای یک مقدار معین از درجه زاویه، تابع ارزش خاصی ندارد اگر خط تیره وجود نداشته باشد، سلول خالی است، یعنی هنوز مقدار لازم را وارد نکرده ایم. ما علاقه مندیم که کاربران برای چه سؤالاتی به ما مراجعه می کنند و جدول را با مقادیر جدید تکمیل می کنند، علیرغم این واقعیت که داده های فعلی در مورد مقادیر کسینوس، سینوس و مماس رایج ترین مقادیر زاویه کاملاً برای حل اکثر موارد کافی است. چالش ها و مسائل.

جدول مقادیر توابع مثلثاتی sin، cos، tg برای محبوب ترین زوایا
0، 15، 30، 45، 60، 90 ... 360 درجه
(مقادیر عددی "طبق جداول برادیس")

مقدار زاویه α (درجه)	مقدار زاویه α بر حسب رادیان	گناه (سینوس)	cos (کسینوس)	tg (تانژانت)	ctg (کتانژانت)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

جداول مقادیر سینوس ها (sin)، کسینوس ها (cos)، مماس ها (tg)، کوتانژانت ها (ctg) ابزاری قدرتمند و مفید هستند که به حل بسیاری از مسائل، چه از لحاظ نظری و چه کاربردی، کمک می کند. در این مقاله جدولی از توابع مثلثاتی اصلی (سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها) برای زوایای 0، 30، 45، 60، 90، ...، 360 درجه (0، π 6، π 3، π) ارائه خواهیم کرد. 2،... .، 2 رادیان π). جداول Bradis جداگانه برای سینوس ها و کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها نیز نشان داده می شود، همراه با توضیح نحوه استفاده از آنها برای یافتن مقادیر توابع مثلثاتی پایه.

جدول توابع مثلثاتی پایه برای زوایای 0، 30، 45، 60، 90، ...، 360 درجه

بر اساس تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت، می توانید مقادیر این توابع را برای زوایای 0 و 90 درجه پیدا کنید.

sin 0 = 0، cos 0 = 1، t g 0 = 0، کاتانژانت صفر تعریف نشده است،

sin 90° = 1، cos 90° = 0، c t g 90° = 0، مماس نود درجه تعریف نشده است.

مقادیر سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها در درس هندسه به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تعریف می شود که زوایای آن 30، 60 و 90 درجه و همچنین 45، 45 و 90 درجه است.

تعریف توابع مثلثاتی برای زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه

سینوسی- نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز.

کسینوس- نسبت پای مجاور به هیپوتنوز.

مماس- نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.

کوتانژانت- نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.

مطابق با تعاریف، مقادیر توابع یافت می شود:

sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1، sin 60° = 3 2، cos 45° = 1 2، tg 45° = 3، c tg 45° = 3 3.

بیایید این مقادیر را در یک جدول قرار دهیم و آن را جدولی از مقادیر اساسی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت بنامیم.

جدول مقادیر پایه سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها

α °	0	30	45	60	90
گناه α	0	1 2	2 2	3 2	1
cos α	1	3 2	2 2	1 2	0
t g α	0	3 3	1	3	تعریف نشده
c t g α	تعریف نشده	3	1	3 3	0
α، r a d i a n	0	π 6	π 4	π 3	π 2

یکی از ویژگی های مهم توابع مثلثاتی تناوب است. بر اساس این ویژگی، این جدول را می توان با استفاده از فرمول های کاهش گسترش داد. در زیر جدول گسترده ای از مقادیر توابع مثلثاتی اصلی برای زوایای 0، 30، 60، ...، 120، 135، 150، 180، ...، 360 درجه (0، π 6، π 3) ارائه می کنیم. ، π 2 ، ... ، 2 π رادیان).

جدول سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها

α °	0	30	45	60	90	120	135	150	180	210	225	240	270	300	315	330	360
گناه α	0	1 2	2 2	3 2	1	3 2	2 2	1 2	0	- 1 2	- 2 2	- 3 2	- 1	- 3 2	- 2 2	- 1 2	0
cos α	1	3 2	2 2	1 2	0	- 1 2	- 2 2	- 3 2	- 1	- 3 2	- 2 2	- 1 2	0	1 2	2 2	3 2	1
t g α	0	3 3	1	3	-	- 1	- 3 3	0	0	3 3	1	3	-	- 3	- 1		0
c t g α	-	3	1	3 3	0	- 3 3	- 1	- 3	-	3	1	3 3	0	- 3 3	- 1	- 3	-
α، r a d i a n	0	π 6	π 4	π 3	π 2	2 π 3	3 π 4	5 π 6	π	7 π 6	5 π 4	4 π 3	3 π 2	5 π 3	7 π 4	11 π 6	2π

تناوب سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به شما این امکان را می دهد که این جدول را به مقادیر دلخواه زاویه بزرگ بسط دهید. مقادیر جمع آوری شده در جدول بیشتر هنگام حل مسائل استفاده می شود، بنابراین توصیه می شود آنها را به خاطر بسپارید.

نحوه استفاده از جدول مقادیر پایه توابع مثلثاتی

اصل استفاده از جدول مقادیر سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها در سطح شهودی روشن است. تقاطع یک سطر و یک ستون مقدار تابع را برای یک زاویه خاص نشان می دهد.

مثال. نحوه استفاده از جدول سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها

ما باید بفهمیم که 7 π 6 برابر با چه گناهی است

ستونی را در جدول پیدا می کنیم که آخرین مقدار سلول آن 7 π 6 رادیان است - همان 210 درجه. سپس عبارت جدولی را انتخاب می کنیم که در آن مقادیر سینوس ها ارائه شده است. در تقاطع سطر و ستون مقدار مورد نظر را پیدا می کنیم:

sin 7 π 6 = - 1 2

میزهای بردیس

جدول Bradis به شما این امکان را می دهد که بدون استفاده از فناوری رایانه، مقدار سینوس، کسینوس، مماس یا کوتانژانت را با دقت 4 رقم اعشار محاسبه کنید. این یک نوع جایگزینی برای ماشین حساب مهندسی است.

ارجاع

ولادیمیر مودستوویچ برادیس (1890 - 1975) - معلم ریاضیدان شوروی، از سال 1954 عضو متناظر آکادمی علوم تربیتی اتحاد جماهیر شوروی. جداول لگاریتم های چهار رقمی و کمیت های مثلثاتی طبیعی که توسط برادیس ایجاد شده بود، اولین بار در سال 1921 منتشر شد.

ابتدا جدول بردیس برای سینوس و کسینوس را ارائه می دهیم. این به شما امکان می دهد مقادیر تقریبی این توابع را برای زوایای حاوی تعداد صحیح درجه و دقیقه محاسبه کنید. ستون سمت چپ جدول نشان دهنده درجات و ردیف بالا نشان دهنده دقیقه است. توجه داشته باشید که تمام مقادیر زاویه جدول برادیس مضرب شش دقیقه است.

جدول بردیس برای سینوس و کسینوس

گناه	0"	6"	12"	18"	24"	30"	36"	42"	48"	54"	60"	cos	1"	2"	3"
											0.0000	90 درجه
0°	0.0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89 درجه	3	6	9
1 درجه	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88 درجه	3	6	9
2 درجه	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523	87 درجه	3	6	9
3 درجه	0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0698	86 درجه	3	6	9
4 درجه	0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0.0872	85 درجه	3	6	9
5 درجه	0.0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028	1045	84 درجه	3	6	9
6 درجه	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	83 درجه	3	6	9
7 درجه	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	82 درجه	3	6	9
8 درجه	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	81 درجه	3	6	9
9 درجه	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	0.1736	80 درجه	3	6	9
10 درجه	0.1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	79 درجه	3	6	9
11 درجه	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	78 درجه	3	6	9
12 درجه	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	77 درجه	3	6	9
13 درجه	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	76 درجه	3	6	8
14 درجه	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	0.2588	75 درجه	3	6	8
15 درجه	0.2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	74 درجه	3	6	8
16 درجه	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	73 درجه	3	6	8
17 درجه	2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	72 درجه	3	6	8
18 درجه	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	71 درجه	3	6	8
19 درجه	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	0.3420	70 درجه	3	5	8
20 درجه	0.3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	69 درجه	3	5	8
21 درجه	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	68 درجه	3	5	8
22 درجه	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	67 درجه	3	5	8
23 درجه	3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	66 درجه	3	5	8
24 درجه	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	0.4226	65 درجه	3	5	8
25 درجه	0.4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	64 درجه	3	5	8
26 درجه	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	63 درجه	3	5	8
27 درجه	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	62 درجه	3	5	8
28 درجه	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	61 درجه	3	5	8
29 درجه	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	0.5000	60 درجه	3	5	8
30 درجه	0.5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	59 درجه	3	5	8
31 درجه	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	58 درجه	2	5	7
32 درجه	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	57 درجه	2	5	7
33 درجه	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	56 درجه	2	5	7
34 درجه	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	0.5736	55 درجه	2	5	7
35 درجه	0.5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	0.5878	54 درجه	2	5	7
36 درجه	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	53 درجه	2	5	7
37 درجه	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	52 درجه	2	5	7
38 درجه	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	51 درجه	2	5	7
39 درجه	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	0.6428	50 درجه	2	4	7
40 درجه	0.6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	49 درجه	2	4	7
41 درجه	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	48 درجه	2	4	7
42 درجه	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	47 درجه	2	4	6
43 درجه	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	8909	6921	6934	6947	46 درجه	2	4	6
44 درجه	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	0.7071	45 درجه	2	4	6
45 درجه	0.7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	44 درجه	2	4	6
46 درجه	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	43 درجه	2	4	6
47 درجه	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	42 درجه	2	4	6
48 درجه	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	41 درجه	2	4	6
49 درجه	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	0.7660	40 درجه	2	4	6
50 درجه	0.7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	39 درجه	2	4	6
51 درجه	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	38 درجه	2	4	5
52 درجه	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	37 درجه	2	4	5
53 درجه	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	36 درجه	2	3	5
54 درجه	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	0.8192	35 درجه	2	3	5
55 درجه	0.8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	34 درجه	2	3	5
56 درجه	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	33 درجه	2	3	5
57 درجه	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	32 درجه	2	3	5
58 درجه	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	31 درجه	2	3	5
59 درجه	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	0.8660	30 درجه	1	3	4
60 درجه	0.8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	29 درجه	1	3	4
61 درجه	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	28 درجه	1	3	4
62 درجه	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	27 درجه	1	3	4
63 درجه	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	26 درجه	1	3	4
64 درجه	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	0.9063	25 درجه	1	3	4
65 درجه	0.9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	24 درجه	1	2	4
66 درجه	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	23 درجه	1	2	3
67 درجه	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9256	9272	22 درجه	1	2	3
68 درجه	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	21 درجه	1	2	3
69 درجه	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9383	9391	0.9397	20 درجه	1	2	3
70 درجه	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	0.9455	19 درجه	1	2	3
71 درجه	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	18 درجه	1	2	3
72 درجه	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	17 درجه	1	2	3
73 درجه	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	16 درجه	1	2	2
74 درجه	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	0.9659	15 درجه	1	2	2
75 درجه	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	14 درجه	1	1	2
76 درجه	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	13 درجه	1	1	2
77 درجه	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	12 درجه	1	1	2
78 درجه	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	11 درجه	1	1	2
79 درجه	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	0.9848	10 درجه	1	1	2
80 درجه	0.9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	9 درجه	0	1	1
81 درجه	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	8 درجه	0	1	1
82 درجه	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	7 درجه	0	1	1
83 درجه	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	6 درجه	0	1	1
84 درجه	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	5 درجه	0	1	1
85 درجه	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	4 درجه	0	0	1
86 درجه	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	3 درجه	0	0	0
87 درجه	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	2 درجه	0	0	0
88 درجه	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	0.9998	1 درجه	0	0	0
89 درجه	9998	9999	9999	9999	9999	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0°	0	0	0
90 درجه	1.0000
گناه	60"	54"	48"	42"	36"	30"	24"	18"	12"	6"	0"	cos	1"	2"	3"

برای یافتن مقادیر سینوس ها و کسینوس های زاویه هایی که در جدول ارائه نشده اند، باید از اصلاحات استفاده کرد.

اکنون جدول برادیس را برای مماس ها و کوتانژانت ها ارائه می کنیم. این شامل مقادیر مماس زوایای 0 تا 76 درجه و کتانژانت زاویه از 14 تا 90 درجه است.

میز برادیس برای مماس و کوتانژانت

tg	0"	6"	12"	18"	24"	30"	36"	42"	48"	54"	60"	ctg	1"	2"	3"
											0	90 درجه
0°	0,000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89 درجه	3	6	9
1 درجه	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88 درجه	3	6	9
2 درجه	0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507	0524	87 درجه	3	6	9
3 درجه	0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0699	86 درجه	3	6	9
4 درجه	0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,0875	85 درجه	3	6	9
5 درجه	0,0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033	1051	84 درجه	3	6	9
6 درجه	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210	1228	83 درجه	3	6	9
7 درجه	1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388	1405	82 درجه	3	6	9
8 درجه	1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	1584	81 درجه	3	6	9
9 درجه	1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,1763	80 درجه	3	6	9
10 درجه	0,1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926	1944	79 درجه	3	6	9
11 درجه	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107	2126	78 درجه	3	6	9
12 درجه	2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290	2309	77 درجه	3	6	9
13 درجه	2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	2493	76 درجه	3	6	9
14 درجه	2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,2679	75 درجه	3	6	9
15 درجه	0,2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849	2867	74 درجه	3	6	9
16 درجه	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038	3057	73 درجه	3	6	9
17 درجه	3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230	3249	72 درجه	3	6	10
18 درجه	3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	3443	71 درجه	3	6	10
19 درجه	3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,3640	70 درجه	3	7	10
20 درجه	0,3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819	3839	69 درجه	3	7	10
21 درجه	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020	4040	68 درجه	3	7	10
22 درجه	4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224	4245	67 درجه	3	7	10
23 درجه	4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	4452	66 درجه	3	7	10
24 درجه	4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,4663	65 درجه	4	7	11
25 درجه	0,4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856	4877	64 درجه	4	7	11
26 درجه	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073	5095	63 درجه	4	7	11
27 درجه	5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295	5317	62 درجه	4	7	11
28 درجه	5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	5543	61 درجه	4	8	11
29 درجه	5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,5774	60 درجه	4	8	12
30 درجه	0,5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985	6009	59 درجه	4	8	12
31 درجه	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224	6249	58 درجه	4	8	12
32 درجه	6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469	6494	57 درجه	4	8	12
33 درجه	6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	6745	56 درجه	4	8	13
34 درجه	6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,7002	55 درجه	4	9	13
35 درجه	0,7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239	7265	54 درجه	4	8	13
36 درجه	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508	7536	53 درجه	5	9	14 درجه
37 درجه	7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785	7813	52 درجه	5	9	14
38 درجه	7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	8098	51 درجه	5	9	14
39 درجه	8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,8391	50 درجه	5	10	15
40 درجه	0,8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662	0,8693	49 درجه	5	10	15
41 درجه	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972	9004	48 درجه	5	10	16
42 درجه	9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	9325	47 درجه	6	11	16
43 درجه	9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,9657	46 درجه	6	11	17
44 درجه	9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1,0000	45 درجه	6	11	17
45 درجه	1,0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319	0355	44 درجه	6	12	18
46 درجه	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686	0724	43 درجه	6	12	18
47 درجه	0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067	1106	42 درجه	6	13	19
48 درجه	1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1504	41 درجه	7	13	20
49 درجه	1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1,1918	40 درجه	7	14	21
50 درجه	1,1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305	2349	39 درجه	7	14	22
51 درجه	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753	2799	38 درجه	8	15	23
52 درجه	2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222	3270	37 درجه	8	16	24
53 درجه	3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	3764	36 درجه	8	16	25
54 درجه	3764	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,4281	35 درجه	9	17	26
55 درجه	1,4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770	4826	34 درجه	9	18	27
56 درجه	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340	5399	33 درجه	10	19	29
57 درجه	5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941	6003	32 درجه	10	20	30
58 درجه	6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	6643	31 درجه	11	21	32
59 درجه	6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,7321	30 درجه	11	23	34
60 درجه	1,732	1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1,804	29 درجه	1	2	4
61 درجه	1,804	1,811	1,819	1,827	1,834	1,842	1,849	1,857	1,865	1,873	1,881	28 درجه	1	3	4
62 درجه	1,881	1,889	1,897	1,905	1,913	1,921	1,929	1,937	1,946	1,954	1,963	27 درجه	1	3	4
63 درجه	1,963	1,971	1,980	1,988	1,997	2,006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,05	26 درجه	1	3	4
64 درجه	2,050	2,059	2,069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145	25 درجه	2	3	5
65 درجه	2,145	2,154	2,164	2,174	2,184	2,194	2,204	2,215	2,225	2,236	2,246	24 درجه	2	3	5
66 درجه	2,246	2,257	2,267	2,278	2,289	2,3	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356	23 درجه	2	4	5
67 درجه	2,356	2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475	22 درجه	2	4	6
68 درجه	2,475	2,488	2,5	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2,605	21 درجه	2	4	6
69 درجه	2,605	2,619	2,633	2,646	2,66	2,675	2,689	2,703	2,718	2,733	2,747	20 درجه	2	5	7
70 درجه	2,747	2,762	2,778	2,793	2,808	2,824	2,840	2,856	2,872	2,888	2,904	19 درجه	3	5	8
71 درجه	2,904	2,921	2,937	2,954	2,971	2,989	3,006	3,024	3,042	3,06	3,078	18 درجه	3	6	9
72 درجه	3,078	3,096	3,115	3,133	3,152	3,172	3,191	3,211	3,230	3,251	3,271	17 درجه	3	6	10
73 درجه	3,271	3,291	3,312	3,333	3,354	3,376							3	7	10
							3,398	3,42	3,442	3,465	3,487	16 درجه	4	7	11
74 درجه	3,487	3,511	3,534	3,558	3,582	3,606							4	8	12
							3,630	3,655	3,681	3,706	3,732	15 درجه	4	8	13
75 درجه	3,732	3,758	3,785	3,812	3,839	3,867							4	9	13
							3,895	3,923	3,952	3,981	4,011	14 درجه	5	10	14
tg	60"	54"	48"	42"	36"	30"	24"	18"	12"	6"	0"	ctg	1"	2"	3"

نحوه استفاده از جداول برادیس

جدول Bradis را برای سینوس ها و کسینوس ها در نظر بگیرید. همه چیز مربوط به سینوس ها در بالا و سمت چپ است. اگر به کسینوس نیاز داریم، به سمت راست در پایین جدول نگاه کنید.

برای یافتن مقادیر سینوس یک زاویه، باید تقاطع ردیف حاوی تعداد درجه لازم را در سمت چپ ترین سلول و ستون حاوی تعداد دقیقه لازم را در سلول بالا پیدا کنید.

اگر مقدار دقیق زاویه در جدول برادیس نباشد، به اصلاحات متوسل می شویم. اصلاحات یک، دو و سه دقیقه در سمت راست ترین ستون جدول آورده شده است. برای یافتن مقدار سینوس زاویه ای که در جدول نیست، نزدیک ترین مقدار را به آن می یابیم. پس از این، تصحیح مربوط به اختلاف زاویه ها را اضافه یا کم می کنیم.

اگر به دنبال سینوس زاویه ای بزرگتر از 90 درجه هستیم، ابتدا باید از فرمول های کاهش استفاده کنیم و فقط از جدول Bradis استفاده کنیم.

مثال. نحوه استفاده از جدول برادیس

فرض کنید باید سینوس زاویه 17 درجه و 44 اینچ را پیدا کنیم. با استفاده از جدول، سینوس 17 درجه و 42 اینچ برابر است و یک تصحیح دو دقیقه ای به مقدار آن اضافه می کنیم:

17°44" - 17°42" = 2" (اصلاح ضروری) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0. 3046

اصل کار با کسینوس، مماس و کوتانژانت مشابه است. با این حال، مهم است که نشانه اصلاحات را به خاطر بسپارید.

مهم!

هنگام محاسبه مقادیر سینوس ها، تصحیح علامت مثبت دارد و هنگام محاسبه کسینوس، تصحیح باید با علامت منفی گرفته شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

همانطور که می بینید، این دایره در سیستم مختصات دکارتی ساخته شده است. شعاع دایره برابر با یک است، در حالی که مرکز دایره در مبدا مختصات قرار دارد، موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور ثابت است (در مثال ما، این شعاع است).

هر نقطه روی دایره مربوط به دو عدد است: مختصات محور و مختصات محور. این اعداد مختصات چیست؟ و در کل چه ربطی به موضوع مورد بحث دارن؟ برای انجام این کار، باید مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده را به خاطر بسپاریم. در شکل بالا دو مثلث کامل قائم الزاویه را مشاهده می کنید. مثلثی را در نظر بگیرید. مستطیل است زیرا بر محور عمود است.

مثلث برابر چیست؟ درست است. علاوه بر این، می دانیم که شعاع دایره واحد است، که به معنای . بیایید این مقدار را با فرمول کسینوس جایگزین کنیم. این چیزی است که اتفاق می افتد:

مثلث برابر چیست؟ خوب البته، ! مقدار شعاع را در این فرمول جایگزین کنید و بدست آورید:

بنابراین، آیا می توانید بگویید یک نقطه متعلق به یک دایره چه مختصاتی دارد؟ خوب، هیچ راهی؟ اگر متوجه شوید که فقط اعداد هستند چه؟ با کدام مختصات مطابقت دارد؟ خب البته مختصات! و با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ درست است، مختصات! بنابراین، دوره.

پس با چه چیزهایی برابری می کنند؟ درست است، بیایید از تعاریف متناظر مماس و کوتانژانت استفاده کنیم و دریافت کنیم که، a.

اگر زاویه بزرگتر باشد چه؟ برای مثال مانند این تصویر:

چه چیزی در این مثال تغییر کرده است؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، اجازه دهید دوباره به یک مثلث قائم الزاویه بچرخیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید: زاویه (در مجاورت یک زاویه). مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت برای یک زاویه چیست؟ درست است، ما به تعاریف مربوط به توابع مثلثاتی پایبند هستیم:

خوب، همانطور که می بینید، مقدار سینوس زاویه همچنان با مختصات مطابقت دارد. مقدار کسینوس زاویه - مختصات؛ و مقادیر مماس و کتانژانت به نسبت های مربوطه. بنابراین، این روابط برای هر چرخش بردار شعاع اعمال می شود.

قبلاً ذکر شد که موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور است. تاکنون این بردار را در خلاف جهت عقربه های ساعت چرخانده ایم، اما اگر آن را در جهت عقربه های ساعت بچرخانیم چه اتفاقی می افتد؟ هیچ چیز خارق العاده ای نیست، شما همچنین زاویه ای با مقدار مشخصی دریافت خواهید کرد، اما فقط آن منفی خواهد بود. بنابراین، هنگام چرخش بردار شعاع در خلاف جهت عقربه های ساعت، به دست می آوریم زوایای مثبتو هنگام چرخش در جهت عقربه های ساعت - منفی.

بنابراین، می دانیم که یک دور کامل بردار شعاع حول یک دایره یا است. آیا می توان بردار شعاع را به یا به چرخاند؟ خوب، البته که می توانید! بنابراین، در حالت اول، بردار شعاع یک دور کامل می‌کند و در موقعیت یا توقف می‌کند.

در حالت دوم، یعنی بردار شعاع سه دور کامل می‌کند و در موقعیت یا توقف می‌کند.

بنابراین، از مثال‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که زوایایی که با یا (جایی که هر عدد صحیحی است) متفاوت هستند، با موقعیت یکسان بردار شعاع مطابقت دارند.

شکل زیر یک زاویه را نشان می دهد. همان تصویر مربوط به گوشه و غیره است. این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد. همه این زوایا را می توان با فرمول کلی یا (هر عدد صحیح کجاست) نوشت.

حال با دانستن تعاریف توابع مثلثاتی اساسی و با استفاده از دایره واحد سعی کنید به مقادیر زیر پاسخ دهید:

در اینجا یک حلقه واحد برای کمک به شما وجود دارد:

داشتن مشکلات؟ سپس بیایید آن را بفهمیم. پس می دانیم که:

از اینجا، مختصات نقاط مربوط به معیارهای زاویه خاص را تعیین می کنیم. خوب، بیایید به ترتیب شروع کنیم: زاویه در مربوط به یک نقطه با مختصات است، بنابراین:

وجود ندارد؛

علاوه بر این، با رعایت همان منطق، متوجه می شویم که گوشه ها به ترتیب با نقاط دارای مختصات مطابقت دارند. با دانستن این موضوع، تعیین مقادیر توابع مثلثاتی در نقاط مربوطه آسان است. ابتدا خودتان آن را امتحان کنید و سپس پاسخ ها را بررسی کنید.

پاسخ ها:

وجود ندارد

وجود ندارد

وجود ندارد

وجود ندارد

بنابراین می توانیم جدول زیر را تهیه کنیم:

نیازی به یادآوری تمام این ارزش ها نیست. کافی است مطابقت بین مختصات نقاط روی دایره واحد و مقادیر توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید:

اما مقادیر توابع مثلثاتی زوایا در و در جدول زیر آورده شده است. باید به یاد آورد:

نترسید، اکنون یک نمونه را به شما نشان می دهیم به خاطر سپردن مقادیر مربوطه بسیار ساده است:

برای استفاده از این روش، یادآوری مقادیر سینوس برای هر سه معیار زاویه () و همچنین مقدار مماس زاویه بسیار مهم است. با دانستن این مقادیر، بازیابی کل جدول بسیار ساده است - مقادیر کسینوس مطابق با فلش ها منتقل می شوند، یعنی:

با دانستن این موضوع، می توانید مقادیر را بازیابی کنید. صورت " " مطابقت دارد و مخرج " " مطابقت دارد. مقادیر کوتانژانت مطابق با فلش های نشان داده شده در شکل منتقل می شوند. اگر این را فهمیدید و نمودار را با فلش ها به خاطر بسپارید، کافی است تمام مقادیر جدول را به خاطر بسپارید.

مختصات یک نقطه روی یک دایره

آیا می توان نقطه ای (مختصات آن) را روی یک دایره پیدا کرد؟ دانستن مختصات مرکز دایره، شعاع و زاویه چرخش آن?

خوب، البته که می توانید! بیا بیرونش کنیم فرمول کلی برای یافتن مختصات یک نقطه.

برای مثال، یک دایره در مقابل ما قرار دارد:

به ما داده می شود که نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش آن نقطه به درجه به دست می آید، پیدا کنیم.

همانطور که از شکل مشخص است، مختصات نقطه مطابق با طول قطعه است. طول پاره مطابق با مختصات مرکز دایره است، یعنی برابر است. طول یک قطعه را می توان با استفاده از تعریف کسینوس بیان کرد:

سپس آن را برای مختصات نقطه داریم.

با استفاده از همین منطق، مقدار مختصات y را برای نقطه پیدا می کنیم. بدین ترتیب،

بنابراین، به طور کلی، مختصات نقاط با فرمول تعیین می شود:

مختصات مرکز دایره،

شعاع دایره،

زاویه چرخش شعاع برداری.

همانطور که می بینید، برای دایره واحد مورد نظر ما، این فرمول ها به طور قابل توجهی کاهش می یابد، زیرا مختصات مرکز برابر با صفر و شعاع برابر با یک است:

خوب، بیایید این فرمول ها را با تمرین یافتن نقاط روی یک دایره امتحان کنیم؟

1. مختصات یک نقطه را در دایره واحد که با چرخاندن نقطه روی آن به دست می آید، بیابید.

2. مختصات یک نقطه را بر روی دایره واحد که با چرخاندن نقطه به دست می آید، پیدا کنید.

3. مختصات یک نقطه را در دایره واحد که با چرخاندن نقطه روی آن به دست می آید، بیابید.

4. نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش بردار شعاع اولیه به دست می آید، پیدا کنیم.

5. نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش بردار شعاع اولیه به دست می آید، پیدا کنیم.

آیا در یافتن مختصات یک نقطه روی یک دایره مشکل دارید؟

این پنج مثال را حل کنید (یا در حل آنها خوب شوید) و یاد خواهید گرفت که آنها را پیدا کنید!

1.

می توانید متوجه آن شوید. اما ما می دانیم که چه چیزی مربوط به یک انقلاب کامل نقطه شروع است. بنابراین، نقطه مورد نظر در همان موقعیتی قرار خواهد گرفت که هنگام چرخش به. با دانستن این موضوع، مختصات مورد نیاز نقطه را پیدا می کنیم:

2. دایره واحد در یک نقطه متمرکز است، به این معنی که می توانیم از فرمول های ساده شده استفاده کنیم:

می توانید متوجه آن شوید. ما می دانیم که چه چیزی مربوط به دو چرخش کامل نقطه شروع است. بنابراین، نقطه مورد نظر در همان موقعیتی قرار خواهد گرفت که هنگام چرخش به. با دانستن این موضوع، مختصات مورد نیاز نقطه را پیدا می کنیم:

سینوس و کسینوس مقادیر جدول هستند. معانی آنها را به خاطر می آوریم و دریافت می کنیم:

بنابراین نقطه مورد نظر دارای مختصاتی است.

3. دایره واحد در یک نقطه متمرکز است، به این معنی که می توانیم از فرمول های ساده شده استفاده کنیم:

می توانید متوجه آن شوید. بیایید مثال مورد نظر را در شکل به تصویر بکشیم:

شعاع زوایایی را با محور و برابر می سازد. با دانستن اینکه مقادیر جدول کسینوس و سینوس برابر هستند و با تعیین اینکه کسینوس در اینجا مقدار منفی و سینوس مقدار مثبت می گیرد، داریم:

هنگام مطالعه فرمول های کاهش توابع مثلثاتی در مبحث، چنین مثال هایی با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار می گیرند.

بنابراین نقطه مورد نظر دارای مختصاتی است.

4.

زاویه چرخش شعاع بردار (بر اساس شرایط)

برای تعیین علائم مربوط به سینوس و کسینوس، دایره و زاویه واحد می سازیم:

همانطور که می بینید، مقدار، یعنی مثبت است و مقدار، یعنی منفی. با دانستن مقادیر جدولی توابع مثلثاتی مربوطه، به دست می آوریم که:

بیایید مقادیر به دست آمده را در فرمول خود جایگزین کنیم و مختصات را پیدا کنیم:

بنابراین نقطه مورد نظر دارای مختصاتی است.

5. برای حل این مشکل از فرمول هایی به صورت کلی استفاده می کنیم که کجا

مختصات مرکز دایره (در مثال ما،

شعاع دایره (بر اساس شرایط)

زاویه چرخش شعاع بردار (بر اساس شرایط).

بیایید همه مقادیر را در فرمول جایگزین کنیم و دریافت کنیم:

و - مقادیر جدول. بیایید به خاطر بسپاریم و آنها را در فرمول جایگزین کنیم:

بنابراین نقطه مورد نظر دارای مختصاتی است.

خلاصه و فرمول های اساسی

سینوس یک زاویه نسبت پای مقابل (دور) به هیپوتنوز است.

کسینوس یک زاویه نسبت ساق مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

مماس یک زاویه نسبت ضلع مقابل (دور) به ضلع مجاور (نزدیک) است.

کتانژانت یک زاویه نسبت ضلع مجاور (نزدیک) به طرف مقابل (دور) است.

زاویه بر اساس سینوس را پیدا کنید

بنابراین، ما این فرصت را داریم که سینوس هر زاویه را از 0 تا 90 درجه e در دو رقم اعشار محاسبه کنیم. نیازی به میز آماده نیست. برای محاسبات تقریبی، در صورت تمایل، همیشه می توانیم آن را خودمان جمع آوری کنیم.

اما برای حل مسائل مثلثاتی، باید بتوانید برعکس عمل کنید - زوایا را از یک سینوس مشخص محاسبه کنید. این نیز آسان است. فرض کنید باید زاویه ای را پیدا کنید که سینوس آن برابر با 0.38 باشد. از آنجایی که این سینوس کمتر از 0.5 است، زاویه مورد نظر کمتر از 30 درجه است. اما بزرگتر از 15 درجه است، زیرا ما می دانیم که 15 درجه برابر با 0.26 است. برای یافتن این زاویه که بین 15 تا 30 درجه قرار دارد، همانطور که قبلا توضیح داده شد عمل می کنیم:

بنابراین، زاویه مورد نظر تقریباً 22.5 درجه است. مثال دیگر: زاویه ای را پیدا کنید که سینوس آن 0.62 باشد.

زاویه مورد نیاز تقریباً 38.6 درجه است.

در نهایت مثال سوم: زاویه ای را پیدا کنید که سینوس آن 0.91 باشد.

از آنجایی که این سینوس بین 0.71 و 1 قرار دارد، زاویه مورد نظر بین 45 درجه و 90 درجه قرار دارد. در: شکل 91 آفتابسینوس زاویه L است اگر VA= 1. دانستن آفتاب،به راحتی می توان سینوس یک زاویه را پیدا کرد که در:

حالا بیایید زاویه را پیدا کنیم که در،که سینوس آن 0.42 است. پس از این، به راحتی می توان زاویه A برابر با 90 درجه را پیدا کرد - که در.

از آنجایی که 0.42 بین 0.26 و 0.5 قرار دارد، پس زاویه که دربین 15 تا 30 درجه قرار دارد که به صورت زیر تعریف می شود:

و بنابراین، زاویه A = 90° - B = 90° - 25° = 65°.

ما اکنون به طور کامل برای حل تقریباً مسائل مثلثاتی مجهز شده ایم، زیرا می توانیم سینوس ها را از زوایا و زوایایی از سینوس ها را با دقت کافی برای اهداف میدانی پیدا کنیم.

اما آیا سینوس به تنهایی برای این کار کافی است؟ آیا ما به بقیه توابع مثلثاتی - کسینوس، مماس و غیره نیاز نداریم؟ اکنون با تعدادی مثال نشان خواهیم داد که برای مثلثات ساده شده ما می توانیم فقط با سینوس به طور کامل از پس آن برآییم.

مثال ها:

\(\sin(⁡30^°)=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\sin⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\sin⁡2=0.909…\)

برهان و معنا

سینوس زاویه حاد

سینوس زاویه حادرا می توان با استفاده از یک مثلث قائم الزاویه تعیین کرد - برابر است با نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز.

مثال :

1) بگذارید یک زاویه داده شود و باید سینوس این زاویه را تعیین کنید.

2) هر مثلث قائم الزاویه را در این زاویه کامل می کنیم.

3) با اندازه گیری اضلاع مورد نیاز، می توانیم \(sinA\) را محاسبه کنیم.

سینوس یک عدد

دایره اعداد به شما امکان می دهد سینوس هر عددی را تعیین کنید، اما معمولاً سینوس اعداد را به نوعی مرتبط می بینید: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) ، \(-2π\ ).

به عنوان مثال، برای عدد \(\frac(π)(6)\) - سینوس برابر با \(0.5\) خواهد بود. و برای عدد \(-\)\(\frac(3π)(4)\) برابر است با \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (تقریبا \(-\) (-0,71\)).

برای سینوس برای اعداد دیگری که اغلب در عمل با آن مواجه می شوند، نگاه کنید به.

مقدار سینوس همیشه در محدوده \(-1\) تا \(1\) قرار دارد. علاوه بر این، می توان آن را برای هر زاویه و عددی محاسبه کرد.

سینوس از هر زاویه ای

به لطف دایره واحد، می توان توابع مثلثاتی را نه تنها از یک زاویه حاد، بلکه همچنین یک زاویه مبهم، منفی و حتی بزرگتر از \(360 درجه\) را تعیین کرد (چرخش کامل). نحوه انجام این کار یک بار دیدن آسان تر از شنیدن \(100\) بار است، بنابراین به تصویر نگاه کنید.

حالا یک توضیح: اجازه دهید باید \(sin∠KOA\) را با اندازه درجه در \(150°\) تعریف کنیم. ترکیب نقطه در بارهبا مرکز دایره و کنار خوب– با محور \(x\). پس از این، \(150 درجه\) را در خلاف جهت عقربه های ساعت کنار بگذارید. سپس ترتیب نقطه آ\(\sin⁡∠KOA\) را به ما نشان خواهد داد.

اگر به زاویه ای با اندازه درجه علاقه مندیم، برای مثال، در \(-60°\) (زاویه KOV)، همین کار را انجام می دهیم، اما \(60°\) را در جهت عقربه های ساعت تنظیم می کنیم.

و در نهایت، زاویه بزرگتر از \(360 درجه\) (زاویه است سی بی اس) - همه چیز شبیه احمقانه است ، فقط پس از چرخش کامل در جهت عقربه های ساعت ، به دایره دوم می رویم و "فقدان درجه" را دریافت می کنیم. به طور خاص، در مورد ما، زاویه \(405°\) به صورت \(360° + 45°\) رسم می شود.

به راحتی می توان حدس زد که برای ترسیم یک زاویه، به عنوان مثال، در \(960°\)، باید دو چرخش (\(360°+360°+240°\)) و برای زاویه در \(2640 °\) - هفت کامل.

همانطور که می توانید جایگزین کنید، هم سینوس یک عدد و هم سینوس یک زاویه دلخواه تقریباً یکسان تعریف می شوند. فقط نحوه یافتن نقطه روی دایره تغییر می کند.

ارتباط با سایر توابع مثلثاتی:

تابع \(y=\sin⁡x\)

اگر زاویه ها را بر حسب رادیان در امتداد محور \(x\) و مقادیر سینوسی مربوط به این زوایا را در امتداد محور \(y\) رسم کنیم، نمودار زیر را بدست می آوریم:

این نمودار موج سینوسی نامیده می شود و دارای ویژگی های زیر است:

دامنه تعریف هر مقدار x است: \(D(\sin⁡x)=R\)
- محدوده مقادیر - از \(-1\) تا \(1\) شامل: \(E(\sin⁡x)=[-1;1]\)
- فرد: \(\sin⁡(-x)=-\sin⁡x\)
- تناوبی با دوره \(2π\): \(\sin⁡(x+2π)=\sin⁡x\)
- نقاط تقاطع با محورهای مختصات:
محور آبسیسا: \((πn;0)\)، جایی که \(n ϵ Z\)
محور Y: \((0;0)\)
- فواصل ثبات علامت:
تابع در فواصل مثبت است: \((2πn;π+2πn)\)، جایی که \(n ε Z\)
تابع در فواصل منفی است: \((π+2πn;2π+2πn)\)، که در آن \(n ϵ Z\)
- فواصل افزایش و کاهش:
تابع در فواصل زمانی افزایش می یابد: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn)\ ، جایی که \(n ϵ Z\)
تابع در فواصل کاهش می یابد: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\) ، جایی که \(n ϵ Z\)
- حداکثر و حداقل تابع:
تابع دارای حداکثر مقدار \(y=1\) در نقاط \(x=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\)، جایی که \(n ϵ Z\)
تابع دارای حداقل مقدار \(y=-1\) در نقاط \(x=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\)، جایی که \(n ϵ Z\) .