سه قلوهای فیثاغورثی اعداد فیثاغورثی مثلث مصری همه اعداد

خواص

از آنجایی که معادله ایکس 2 + y 2 = z 2 همگن، وقتی ضرب شود ایکس , yو zبه ازای همان عدد یک سه گانه فیثاغورثی دیگر دریافت می کنید. سه گانه فیثاغورثی نامیده می شود اولیه، اگر از این طریق نمی توان به دست آورد، یعنی - اعداد نسبتا اول.

مثال ها

برخی از سه گانه های فیثاغورثی (به ترتیب صعودی حداکثر تعداد مرتب شده اند، موارد اولیه برجسته شده اند):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

بر اساس ویژگی های اعداد فیبوناچی، می توانید آنها را، به عنوان مثال، سه گانه فیثاغورثی بسازید:

داستان

سه گانه فیثاغورثی برای مدت بسیار طولانی شناخته شده است. در معماری سنگ قبرهای باستانی بین النهرین، یک مثلث متساوی الساقین یافت می شود که از دو مستطیل با اضلاع 9، 12 و 15 ذراع تشکیل شده است. اهرام فرعون اسنفرو (قرن XXVII قبل از میلاد) با استفاده از مثلث هایی با ضلع های 20، 21 و 29 و همچنین 18، 24 و 30 ده ها ذراع مصری ساخته شده اند.

را نیز ببینید

پیوندها

E. A. Gorinقدرت اعداد اول در سه گانه فیثاغورثی // آموزش ریاضی. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

ببینید «اعداد فیثاغورثی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

سه گانه اعداد طبیعی به گونه ای که مثلثی که طول اضلاع آن متناسب (یا مساوی) با این اعداد باشد قائم الزاویه باشد، به عنوان مثال. سه اعداد: 3، 4، 5 … فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

سه گانه اعداد طبیعی به گونه ای که مثلثی که طول اضلاع آن متناسب (یا مساوی) با این اعداد است مستطیل شکل باشد، مثلاً 3 اعداد: 3، 4، 5. که...... فرهنگ لغت دایره المعارفی

سه گانه اعداد طبیعی به طوری که مثلثی که طول اضلاع آن متناسب (یا مساوی) با این اعداد باشد، مثلث قائم الزاویه است. طبق قضیه، معکوس قضیه فیثاغورث (نگاه کنید به قضیه فیثاغورث)، برای این کافی است که آنها ... ...

سه گانه از اعداد صحیح مثبت x، y، z که معادله x2+y 2=z2 را برآورده می کند. تمام جواب های این معادله و در نتیجه تمام P. p. با فرمول های x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 بیان می شوند که a, b اعداد صحیح مثبت دلخواه (a>b) هستند. پ.س... دایره المعارف ریاضی

سه گانه اعداد طبیعی به گونه ای که مثلاً مثلثی که طول اضلاع آن متناسب (یا مساوی) با این اعداد است مستطیل باشد. سه اعداد: 3، 4، 5 … علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

در ریاضیات، اعداد فیثاغورثی (سه گانه فیثاغورثی) چند عددی از سه عدد صحیح است که رابطه فیثاغورثی را برآورده می کند: x2 + y2 = z2. مطالب 1 خواص 2 نمونه ... ویکی پدیا

اعداد فرفری نام کلی اعداد مرتبط با یک شکل هندسی خاص است. این مفهوم تاریخی به فیثاغورثی ها برمی گردد. احتمالاً عبارت "مربع یا مکعب" از اعداد فرفری ناشی شده است. مطالب ... ... ویکی پدیا

اعداد فرفری نام کلی اعداد مرتبط با یک شکل هندسی خاص است. این مفهوم تاریخی به فیثاغورثی ها برمی گردد. اعداد فرفری انواع زیر را دارند: اعداد خطی اعدادی هستند که به عوامل تجزیه نمی شوند، یعنی ... ... ویکی پدیا

- "پارادوکس پی" شوخی با موضوع ریاضیات است که تا دهه 80 (در واقع قبل از توزیع انبوه ماشین حساب ها) در بین دانش آموزان رایج بود و با دقت محدود محاسبه توابع مثلثاتی همراه بود و ... ... ویکیپدیا

- (یونانی arithmetika، از arithmys number) علم اعداد، در درجه اول اعداد طبیعی (اعداد صحیح مثبت) و کسرهای (گویا) و عملیات روی آنها. داشتن یک مفهوم به اندازه کافی توسعه یافته از یک عدد طبیعی و توانایی ... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

کتاب ها

تابستان ارشمیدوس یا تاریخ جامعه ریاضیدانان جوان. سیستم اعداد باینری، بوبروف سرگئی پاولوویچ. سیستم اعداد دودویی، "برج هانوی"، حرکت شوالیه، مربع های جادویی، مثلث حسابی، اعداد فرفری، ترکیب ها، مفهوم احتمالات، نوار موبیوس و بطری کلاین.

مثال مهمی از معادله دیوفانتین توسط قضیه فیثاغورث ارائه شده است که طول های x و y پایه های یک مثلث قائم الزاویه را به طول z هیپوتانوس آن مرتبط می کند:

البته شما با یکی از راه حل های فوق العاده این معادله در اعداد طبیعی مواجه شده اید، یعنی سه گانه اعداد فیثاغورثی. x=3، y=4، z=5.آیا سه قلو دیگری وجود دارد؟

معلوم می شود که بی نهایت سه گانه فیثاغورثی وجود دارد و همه آنها مدت ها پیش پیدا شده اند. آنها را می توان با فرمول های شناخته شده به دست آورد که در این پاراگراف با آنها آشنا خواهید شد.

اگر معادلات دیوفانتین درجه یک و دو قبلا حل شده باشد، با وجود تلاش ریاضیدانان برجسته، مسئله حل معادلات درجات بالاتر همچنان باز است. در حال حاضر، به عنوان مثال، حدس معروف فرما که برای هر مقدار صحیح n2معادله

هیچ راه حلی در اعداد صحیح ندارد.

برای حل انواع خاصی از معادلات دیوفانتین به اصطلاح اعداد مختلط.چیست؟ اجازه دهید حرف i نشانگر شیئی باشد که شرط را برآورده می کند i 2 \u003d -1(مشخص است که هیچ عدد واقعی این شرط را برآورده نمی کند). عبارات فرم را در نظر بگیرید α+iβ،که در آن α و β اعداد واقعی هستند. ما چنین عباراتی را اعداد مختلط می نامیم، با تعریف عملیات جمع و ضرب بر روی آنها، و همچنین بر روی دوجمله ای، اما تنها با این تفاوت که عبارت من 2همه جا عدد -1 را جایگزین می کنیم:

7.1. بسیاری از این سه

ثابت کن که اگر x0، y0، z0- سه گانه فیثاغورثی، سپس سه گانه y 0، x 0، z 0و x 0 k، y 0 k، z 0 kبرای هر مقدار از پارامتر طبیعی k نیز فیثاغورثی هستند.

7.2. فرمول های خصوصی

آن را برای مقادیر طبیعی بررسی کنید m>nتثلیث فرم

فیثاغورثی است آیا این سه گانه فیثاغورثی است؟ x، y، zمی توان به این شکل نشان داد، اگر اجازه دهید اعداد x و y را در سه گانه مرتب کنید؟

7.3. سه قلوهای تقلیل ناپذیر

سه گانه فیثاغورثی از اعدادی که مقسوم علیه مشترک بزرگتر از 1 ندارند، تقلیل ناپذیر نامیده می شوند. ثابت کنید که یک ثلاث فیثاغورثی فقط در صورتی تقلیل ناپذیر است که هر دو عدد از اعداد سه گانه هم اول باشند.

7.4. خاصیت سه گانه تقلیل ناپذیر

ثابت کنید که در هر سه گانه فیثاغورثی تقلیل ناپذیر x، y، z عدد z و دقیقاً یکی از اعداد x یا y فرد هستند.

7.5. همه سه گانه تقلیل ناپذیر

ثابت کنید که سه گانه از اعداد x، y، z یک ثلاث فیثاغورثی تقلیل ناپذیر است اگر و فقط اگر با ثلاث تا مرتبه دو عدد اول منطبق باشد. 2 دقیقه، متر 2 - n 2، متر 2 + n 2،جایی که m>n- اعداد طبیعی با برابری های مختلف را همزمان.

7.6. فرمول های عمومی

ثابت کنید که تمام راه حل های معادله

در اعداد طبیعی با فرمول به ترتیب مجهول x و y داده می شود

که در آن m>n و k پارامترهای طبیعی هستند (برای جلوگیری از تکرار هر سه گانه، کافی است اعدادی از نوع coprime و علاوه بر این، از برابری های مختلف انتخاب کنید).

7.7. 10 سه قلو اول

تمام سه گانه های فیثاغورثی را پیدا کنید x، y، zارضای شرط ایکس

7.8. خواص سه قلوهای فیثاغورثی

برای هر سه گانه فیثاغورثی ثابت کنید x، y، zگفته ها درست است:

الف) حداقل یکی از اعداد x یا y مضرب 3 باشد.

ب) حداقل یکی از اعداد x یا y مضرب 4 باشد.

ج) حداقل یکی از اعداد x، y یا z مضرب 5 باشد.

7.9. کاربرد اعداد مختلط

مدول یک عدد مختلط α + iβیک عدد غیر منفی نامیده می شود

آن را برای اعداد مختلط بررسی کنید α + iβو γ + iδاموال اجرا می شود

با استفاده از خواص اعداد مختلط و مدول آنها، ثابت کنید که هر دو عدد صحیح m و n برابری را برآورده می کنند.

یعنی برای معادله جواب می دهند

اعداد صحیح (مقایسه با مسئله 7.5).

7.10. سه گانه غیر فیثاغورثی

با استفاده از خواص اعداد مختلط و مدول های آنها (به مسئله 7.9 مراجعه کنید)، فرمول هایی را برای هر جواب اعداد صحیح معادله پیدا کنید:

الف) x 2 + y 2 \u003d z 3; ب) x 2 + y 2 \u003d z 4.

راه حل ها

7.1. اگر یک x 0 2 + y 0 2 = z 0 2،سپس y 0 2 + x 0 2 = z 0 2،و برای هر مقدار طبیعی k داریم

Q.E.D.

7.2. از برابری ها

نتیجه می گیریم که سه گانه نشان داده شده در مسئله معادله را برآورده می کند x 2 + y 2 = z 2در اعداد طبیعی با این حال، نه هر سه گانه فیثاغورثی x، y، zرا می توان به این شکل نشان داد. برای مثال، سه گانه 9، 12، 15 فیثاغورثی است، اما عدد 15 را نمی توان به عنوان مجموع مجذورات هر دو عدد طبیعی m و n نشان داد.

7.3. اگر هر دو عدد از ثلاث فیثاغورثی باشد x، y، zیک مقسوم علیه مشترک d داشته باشید، سپس مقسوم علیه عدد سوم نیز خواهد بود (بنابراین، در مورد x = x 1 d، y = y 1 dما داریم z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2,از آنجایی که z 2 بر d 2 بخش پذیر است و z بر d بخش پذیر است. بنابراین، برای اینکه یک ثلاث فیثاغورثی تقلیل ناپذیر باشد، لازم است که هر دو عدد از اعداد سه گانه هم اول باشند.

7.4. توجه داشته باشید که یکی از اعداد x یا y، مثلا x، یک سه گانه فیثاغورثی تقلیل ناپذیر x، y، zفرد است زیرا در غیر این صورت اعداد x و y هم اول نخواهند بود (مسئله 7.3 را ببینید). اگر عدد دیگر y نیز فرد باشد، هر دو عدد

پس از تقسیم بر 4، باقیمانده 1 و عدد را بدهید z 2 \u003d x 2 + y 2وقتی بر 4 تقسیم می شود، باقیمانده 2 را می دهد، یعنی بر 2 بخش پذیر است، اما بر 4 بخش پذیر نیست، که نمی تواند باشد. بنابراین، عدد y باید زوج باشد و عدد z باید فرد باشد.

7.5. اجازه دهید فیثاغورث سه برابر شود x، y، zتقلیل ناپذیر است و برای قطعیت، عدد x زوج است، در حالی که اعداد y، z فرد هستند (به مسئله 7.4 مراجعه کنید). سپس

اعداد کجا هستند کامل هستند. اجازه دهید ثابت کنیم که اعداد a و b هم اول هستند. در واقع، اگر آنها یک مقسوم علیه مشترک بزرگتر از 1 داشته باشند، آنگاه اعداد مقسوم علیه یکسان خواهند داشت. z = a + b، y = a - b،یعنی سه گانه تقلیل ناپذیر نخواهد بود (مشکل 7.3 را ببینید). حال، با گسترش اعداد a و b به حاصلضرب های اول، متوجه می شویم که هر عامل اول باید در حاصل ضرب شود. 4ab = x2فقط در حد زوج است و اگر در بسط عدد a قرار گیرد در بسط عدد ب نمی گنجد و بالعکس. بنابراین، هر عامل اولی در بسط عدد a یا b به طور جداگانه فقط تا یک درجه زوج گنجانده می شود، به این معنی که خود این اعداد مربعی از اعداد صحیح هستند. بگذاریم سپس برابری ها را بدست می آوریم

علاوه بر این، پارامترهای طبیعی m>n هم اول هستند (به دلیل هم اولی بودن اعداد a و b) و برابری متفاوتی دارند (به دلیل عدد فرد). z \u003d m 2 + n 2).

حال اجازه دهید اعداد طبیعی m>n با توازن مختلف، همزمان اول باشند. سپس تروئیکا x \u003d 2 دقیقه، y \u003d m 2 - n 2، z \u003d m 2 + n 2طبق مسئله 7.2 فیثاغورثی است. اجازه دهید ثابت کنیم که کاهش ناپذیر است. برای انجام این کار، کافی است بررسی کنید که اعداد y و z مقسوم علیه مشترک نداشته باشند (مسئله 7.3 را ببینید). در واقع، هر دوی این اعداد فرد هستند، زیرا اعداد نوع دارای برابری متفاوتی هستند. اگر اعداد y و z چند مقسوم علیه مشترک ساده داشته باشند (پس باید فرد باشد)، هر یک از اعداد و و با آنها و هر یک از اعداد m و n دارای مقسوم علیه یکسان هستند که با سادگی متقابل آنها در تضاد است.

7.6. با توجه به ادعاهای فرموله شده در مسائل 7.1 و 7.2، این فرمول ها فقط سه گانه فیثاغورثی را تعریف می کنند. از سوی دیگر، هر سه گانه فیثاغورثی x، y، zپس از تقلیل آن توسط بزرگترین مقسوم علیه مشترک k، جفت اعداد x و y تقلیل ناپذیر می شوند (مسئله 7.3 را ببینید) و بنابراین می توان تا ترتیب اعداد x و y را به شکل توضیح داده شده در مسئله 7.5 نشان داد. بنابراین، هر سه گانه فیثاغورثی با فرمول های مشخص شده برای برخی از مقادیر پارامترها ارائه می شود.

7.7. از نابرابری z و فرمول مسئله 7.6، برآورد را بدست می آوریم m 2 یعنی m≤5. با فرض اینکه m = 2، n = 1و k = 1، 2، 3، 4، 5،ما سه قلو می گیریم 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. با فرض اینکه m=3، n=2و k = 1، 2،ما سه قلو می گیریم 5, 12, 13; 10, 24, 26. با فرض اینکه m = 4، n = 1، 3و k = 1،ما سه قلو می گیریم 8, 15, 17; 7, 24, 25. در نهایت با فرض m=5، n=2و k = 1،سه می گیریم 20, 21, 29.

Belotelov V.A. سه گانه فیثاغورثی و تعداد آنها // دایره المعارف نستروف ها

این مقاله پاسخی است به یک استاد - یک پینچر. ببین پروفسور در روستای ما چطور این کار را می کنند.

منطقه نیژنی نووگورود، زاولژیه.

دانش الگوریتم حل معادلات دیوفانتین (ADDE) و دانش پیشروی های چند جمله ای الزامی است.

IF یک عدد اول است.

MF یک عدد ترکیبی است.

عدد فرد N وجود داشته باشد. برای هر عدد فرد به جز یک می توانید معادله بنویسید.

p 2 + N \u003d q 2،

که در آن р + q = N، q - р = 1.

به عنوان مثال، برای اعداد 21 و 23، معادلات به صورت -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

اگر N اول باشد، این معادله منحصر به فرد است. اگر عدد N مرکب باشد، می توان معادلات مشابهی را برای تعداد جفت عوامل نشان دهنده این عدد از جمله 1 x N ایجاد کرد.

بیایید عدد N = 45 را در نظر بگیریم، -

1 x 45 = 45، 3 x 15 = 45، 5 x 9 = 45.

من خواب دیدم، اما آیا ممکن است، با چسبیدن به این تفاوت بین IF و MF، روشی برای شناسایی آنها پیدا کنم.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم.

بیایید معادله پایین را تغییر دهیم، -

N \u003d در 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

اجازه دهید مقادیر N را با توجه به معیار - a گروه بندی کنیم، یعنی. بیا یه میز درست کنیم

اعداد N در یک ماتریس خلاصه شدند، -

برای این کار بود که من باید با پیشرفت چندجمله ای ها و ماتریس های آنها سر و کار داشتم. معلوم شد که همه چیز بیهوده است - دفاع PCh با قدرت نگه داشته می شود. بیایید یک ستون در جدول 1 وارد کنیم، جایی که در - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

یک بار دیگر. جدول 2 در نتیجه تلاش برای حل مشکل شناسایی IF و MF به دست آمده است. از جدول بر می آید که برای هر عدد N به تعداد معادلات a 2 + N \u003d در 2 وجود دارد که عدد N را می توان به چند جفت عامل تقسیم کرد، از جمله عامل 1 x N. علاوه بر این. به اعداد N \u003d ℓ 2، که در آن

ℓ - اف سی. برای N = ℓ 2، جایی که ℓ IF است، یک معادله منحصر به فرد p 2 + N = q 2 وجود دارد. اگر جدول عوامل کوچکتر را از جفت عوامل تشکیل دهنده N، از یک تا ∞ فهرست کند، در مورد چه اثبات دیگری می توانیم صحبت کنیم. ما جدول 2 را در یک صندوقچه قرار می دهیم و سینه را در یک کمد پنهان می کنیم.

برگردیم به موضوعی که در عنوان مقاله بیان شده است.

این مقاله پاسخی است به یک استاد - یک پینچر.

من درخواست کمک کردم - به یک سری شماره نیاز داشتم که نتوانستم آنها را در اینترنت پیدا کنم. با سوالاتی مانند "برای چی؟"، "اما روش را به من نشان بده." به طور خاص، این سؤال وجود داشت که آیا مجموعه سه گانه فیثاغورثی بی نهایت است، "چگونه آن را ثابت کنیم؟". او به من کمک نکرد. ببین پروفسور در روستای ما چطور این کار را می کنند.

بیایید فرمول سه گانه فیثاغورثی را در نظر بگیریم، -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (یک)

بیایید از ARDU عبور کنیم.

سه موقعیت ممکن است:

I. x یک عدد فرد است،

y یک عدد زوج است

z یک عدد زوج است.

و یک شرط x > y > z وجود دارد.

II. x یک عدد فرد است

y یک عدد زوج است

z یک عدد فرد است.

x > z > y.

III.x - یک عدد زوج،

y یک عدد فرد است

z یک عدد فرد است.

x > y > z.

بیایید با من شروع کنیم.

بیایید متغیرهای جدید را معرفی کنیم

معادله (1) را جایگزین کنید.

اجازه دهید با متغیر کوچکتر 2γ لغو کنیم.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

اجازه دهید متغیر 2β - 2γ را با یک پارامتر کوچکتر با معرفی همزمان پارامتر جدید ƒ کاهش دهیم، -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

سپس، 2α - 2β = x - y - 1.

معادله (2) به شکل -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

بیایید آن را مربع کنیم -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU از طریق پارامترها رابطه بین عبارت های اصلی معادله را نشان می دهد، بنابراین ما معادله (3) را به دست آوردیم.

پرداختن به انتخاب راه حل ها سخت نیست. اما اولاً جایی برای رفتن وجود ندارد و ثانیاً چندین مورد از این راه حل ها مورد نیاز است و ما می توانیم بی نهایت راه حل را بازیابی کنیم.

برای ƒ = 1، k = 1، x – y = 1 داریم.

با ƒ = 12، k = 16، x - y = 9 داریم.

با ƒ = 4، k = 32، x - y = 25 داریم.

شما می توانید آن را برای مدت طولانی انتخاب کنید، اما در پایان این سری شکل خواهد گرفت -

x - y \u003d 1، 9، 25، 49، 81، ....

گزینه II را در نظر بگیرید.

اجازه دهید متغیرهای جدیدی را در رابطه (1) وارد کنیم.

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

ما با یک متغیر کوچکتر 2 β کاهش می دهیم، -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

اجازه دهید با متغیر کوچکتر 2α - 2β، - کاهش دهیم.

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z و معادله (4) را جایگزین کنید.

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

با ƒ = 3، k = 4، x - z = 2 داریم.

با ƒ = 8، k = 14، x - z = 8 داریم.

با ƒ = 3، k = 24، x - z = 18 داریم.

x - z \u003d 2، 8، 18، 32، 50، ....

بیایید یک ذوزنقه بکشیم -

بیایید یک فرمول بنویسیم.

که در آن n=1، 2،...∞.

مورد III شرح داده نخواهد شد - هیچ راه حلی وجود ندارد.

برای شرط دوم، مجموعه سه گانه به صورت زیر خواهد بود:

معادله (1) برای وضوح به صورت x 2 = z 2 + y 2 ارائه شده است.

برای شرط I، مجموعه سه گانه به صورت زیر خواهد بود:

در مجموع 9 ستون سه تایی رنگ آمیزی شده است که در هر کدام پنج سه تایی. و هر یک از ستون های ارائه شده را می توان تا ∞ نوشت.

به عنوان مثال، سه گانه آخرین ستون را در نظر بگیرید، جایی که x - y \u003d 81.

برای مقادیر x، یک ذوزنقه می نویسیم، -

بیایید فرمول را بنویسیم

برای مقادیر یک ذوزنقه می نویسیم، -

بیایید فرمول را بنویسیم

برای مقادیر z، یک ذوزنقه می نویسیم، -

بیایید فرمول را بنویسیم

جایی که n = 1 ÷ ∞.

همانطور که وعده داده شده بود، یک سری از سه قلوها با x - y = 81 به ∞ پرواز می کنند.

تلاشی برای موارد I و II برای ساخت ماتریس هایی برای x، y، z انجام شد.

پنج ستون آخر x را از ردیف های بالا بنویسید و یک ذوزنقه بسازید.

کار نکرد و الگو باید درجه دوم باشد. برای ساختن همه چیز در روباز، معلوم شد که لازم است ستون های I و II را ترکیب کنیم.

در مورد II، کمیت‌های y، z دوباره مبادله می‌شوند.

ما به یک دلیل موفق به ادغام شدیم - کارت ها به خوبی در این کار قرار می گیرند - ما خوش شانس بودیم.

اکنون می توانید ماتریس هایی برای x، y، z بنویسید.

بیایید از پنج ستون آخر مقدار x از ردیف های بالا را برداریم و یک ذوزنقه بسازیم.

همه چیز خوب است، شما می توانید ماتریس بسازید، و اجازه دهید با یک ماتریس برای z شروع کنیم.

به سمت کمد می روم تا یک صندوقچه بگیرم.

مجموع: علاوه بر یک، هر عدد فرد از محور عددی با تعداد مساوی از جفت عوامل تشکیل دهنده این عدد N، از جمله عامل 1 x N، در تشکیل سه گانه فیثاغورثی شرکت می کند.

عدد N \u003d ℓ 2، که در آن ℓ - IF، یک سه گانه فیثاغورثی را تشکیل می دهد، اگر ℓ MF باشد، در فاکتورهای ℓхℓ سه گانه وجود ندارد.

بیایید ماتریس هایی برای x، y بسازیم.

بیایید با ماتریس x شروع کنیم. برای انجام این کار، شبکه مختصات را از مشکل شناسایی IF و MF روی آن می کشیم.

شماره گذاری ردیف های عمودی با عبارت عادی می شود

بیایید ستون اول را حذف کنیم، زیرا

ماتریس به شکل -

بیایید ردیف های عمودی را توصیف کنیم، -

اجازه دهید ضرایب "a" را توصیف کنیم، -

بیایید اعضای رایگان را توصیف کنیم، -

بیایید یک فرمول کلی برای "x" بسازیم، -

اگر کار مشابهی را برای "y" انجام دهیم، دریافت می کنیم -

می توانید از طرف دیگر به این نتیجه نزدیک شوید.

بیایید معادله را در نظر بگیریم،

و 2 + N = در 2 .

بیایید کمی آن را تغییر دهیم -

N \u003d در 2 - a 2.

بیایید آن را مربع کنیم -

N 2 \u003d در 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

به سمت چپ و راست معادله، قدر 4v 2 a 2 را اضافه کنید، -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d در 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

و در نهایت -

(در 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

سه گانه فیثاغورثی به شرح زیر تشکیل شده است:

مثالی با عدد N = 117 در نظر بگیرید.

1 x 117 = 117، 3 x 39 = 117، 9 x 13 = 117.

ستون های عمودی جدول 2 با مقادیر - a شماره گذاری شده اند، در حالی که ستون های عمودی جدول 3 با مقادیر x - y شماره گذاری شده اند.

x - y \u003d (c - a) 2،

x \u003d y + (c - a) 2.

بیایید سه معادله بسازیم.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2،

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2،

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845، y 1 = 6844، z 1 = 117.

x 2 = 765، y 2 = 756، z 2 = 117 (x 2 = 85، y 2 = 84، z 2 = 13).

x 3 = 125، y 3 = 44، z 3 = 117.

فاکتورهای 3 و 39 اعداد نسبتاً اول نیستند، بنابراین یک ثلاث با ضریب 9 به دست آمد.

اجازه دهید موارد فوق را به صورت نمادهای کلی به تصویر بکشیم، -

در این کار همه چیز از جمله مثالی برای محاسبه فیثاغورث با عدد سه برابر می شود

N = 117، به عامل کوچکتر در - a گره خورده است. تبعیض صریح در رابطه با عامل در + a. بیایید این بی عدالتی را تصحیح کنیم - سه معادله با ضریب + a می سازیم.

اجازه دهید به مسئله شناسایی IF و MF برگردیم.

کارهای زیادی در این راستا انجام شده است و امروز این فکر به دست آمده است - نه معادله شناسایی وجود دارد و نه چیزی که عوامل را تعیین کند.

فرض کنید رابطه F = a, b (N) را پیدا کرده ایم.

یک فرمول وجود دارد

شما می توانید در فرمول F از in خلاص شوید و یک معادله همگن از درجه n نسبت به a، یعنی. F = a (N).

برای هر درجه n از این معادله، یک عدد N با m جفت عامل وجود دارد، برای m > n.

و در نتیجه، یک معادله همگن درجه n باید دارای m ریشه باشد.

بله، این نمی تواند باشد.

در این مقاله، اعداد N برای معادله x 2 = y 2 + z 2 زمانی که در معادله در مکان z هستند در نظر گرفته شد. وقتی N به جای x است، این یک کار دیگر است.

با احترام، Belotelov V.A.

خواص

مثال ها

برخی از سه گانه های فیثاغورثی (به ترتیب صعودی حداکثر تعداد مرتب شده اند، موارد اولیه برجسته شده اند):

داستان

X سمپوزیوم تمام روسیه در ریاضیات کاربردی و صنعتی. سن پترزبورگ، 19 مه 2009

گزارش: الگوریتم حل معادلات دیوفانتین.

این مقاله روش مطالعه معادلات دیوفانتین را در نظر می گیرد و راه حل های حل شده با این روش را ارائه می دهد: - قضیه بزرگ فرما. - جستجوی سه قلوهای فیثاغورثی و غیره http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

پیوندها

E. A. Gorinقدرت اعداد اول در سه گانه فیثاغورثی // آموزش ریاضی. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

ببینید "سه گانه فیثاغورثی" در فرهنگ های دیگر چیست:

در ریاضیات، اعداد فیثاغورثی (سه گانه فیثاغورثی) چند عددی از سه عدد صحیح است که رابطه فیثاغورثی را برآورده می کند: x2 + y2 = z2. مطالب 1 خواص ... ویکی پدیا

در ریاضیات، ثلاث فیثاغورثی عبارت است از چند عدد از سه عدد طبیعی که رابطه فیثاغورثی را برآورده می کند: در این حالت، اعدادی که یک ثلاث فیثاغورثی را تشکیل می دهند، اعداد فیثاغورثی نامیده می شوند. مطالب 1 سه گانه اولیه ... ویکی پدیا

قضیه فیثاغورث یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی است که رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را برقرار می کند. مطالب 1 ... ویکی پدیا

قضیه فیثاغورث یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی است که رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را برقرار می کند. مطالب 1 بیانیه 2 اثبات ... ویکی پدیا

این معادله ای از فرم است که در آن P یک تابع عدد صحیح است (به عنوان مثال، یک چند جمله ای با ضرایب صحیح)، و متغیرها مقادیر صحیح می گیرند. به نام دیوفانتوس ریاضیدان یونان باستان نامگذاری شده است. مطالب 1 نمونه ... ویکی پدیا

در مرحله بعد، روش های شناخته شده برای تولید سه گانه فیثاغورثی موثر را در نظر می گیریم. شاگردان فیثاغورث اولین کسانی بودند که با استفاده از فرمولی که اجزای آن یک سه گانه فیثاغورثی را نشان می دهد، روشی ساده برای تولید سه گانه فیثاغورثی ابداع کردند:

متر 2 + ((متر 2 − 1)/2) 2 = ((متر 2 + 1)/2) 2 ,

جایی که متر- جفت نشده، متر> 2. واقعا،

4متر 2 + متر 4 − 2متر 2 + 1
متر 2 + ((متر 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((متر 2 + 1)/2) 2 .
4

فرمول مشابهی توسط افلاطون فیلسوف یونان باستان ارائه شده است:

(2متر) 2 + (متر 2 − 1) 2 = (متر 2 + 1) 2 ,

جایی که متر- هر عددی برای متر= 2،3،4،5 سه قلوهای زیر تولید می شوند:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

همانطور که می بینید، این فرمول ها نمی توانند تمام سه گانه های اولیه ممکن را ارائه دهند.

چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید که به مجموع چند جمله ای ها تجزیه می شود:

(2متر 2 + 2متر + 1) 2 = 4متر 4 + 8متر 3 + 8متر 2 + 4متر + 1 =
=4متر 4 + 8متر 3 + 4متر 2 + 4متر 2 + 4متر + 1 = (2متر(متر+1)) 2 + (2متر +1) 2 .

از این رو فرمول های زیر برای به دست آوردن سه گانه ابتدایی:

آ = 2متر +1 , ب = 2متر(متر+1) = 2متر 2 + 2متر , ج = 2متر 2 + 2متر + 1.

این فرمول‌ها سه‌گانه‌هایی را تولید می‌کنند که در آنها میانگین عدد با بزرگ‌ترین آنها دقیقاً یک تفاوت دارد، یعنی همه سه‌گانه‌های ممکن نیز تولید نمی‌شوند. در اینجا اولین سه گانه عبارتند از: (5،12،13)، (7،24،25)، (9،40،41)، (11،60،61).

برای تعیین چگونگی تولید همه سه گانه های اولیه، باید ویژگی های آنها را بررسی کرد. ابتدا اگر ( الف، ب، ج) یک سه گانه ابتدایی است، پس آو ب, بو ج, آو ج- باید coprime باشد. بگذار باشد آو بتقسیم می شوند د. سپس آ 2 + ب 2 نیز بر بخش پذیر است د. به ترتیب، ج 2 و جباید تقسیم شود د. یعنی سه گانه ابتدایی نیست.

ثانیاً در میان اعداد آ, بیکی باید جفت شود و دیگری بدون جفت. در واقع، اگر آو ب- پس جفت شد باجفت خواهند شد و اعداد را می توان بر حداقل 2 تقسیم کرد. اگر هر دو جفت نشده باشند، می توان آنها را به صورت 2 نشان داد. ک+1 i 2 ل+1، کجا ک,ل- تعدادی اعداد سپس آ 2 + ب 2 = 4ک 2 +4ک+1+4ل 2 +4ل+1 یعنی با 2 و همچنین آ 2 + ب 2 با تقسیم بر 4 باقیمانده 2 دارد.

بگذار باشد با- هر عددی که باشد با = 4ک+من (من=0،…،3). سپس با 2 = (4ک+من) 2 باقیمانده 0 یا 1 دارد و نمی تواند باقیمانده 2 داشته باشد. آو بنمی توان جفت نشد، یعنی آ 2 + ب 2 = 4ک 2 +4ک+4ل 2 +4ل+1 و باقیمانده با 2 در 4 باید 1 باشد که به این معنی است باباید جفت نشد

چنین الزاماتی برای عناصر سه گانه فیثاغورثی با اعداد زیر برآورده می شود:

آ = 2دقیقه, ب = متر 2 − n 2 , ج = متر 2 + n 2 , متر > n, (2)

جایی که مترو nبا جفت های مختلف هم پرایم هستند. برای اولین بار، این وابستگی ها از آثار اقلیدس، که 2300 r زندگی می کرد، شناخته شد. بازگشت.

اجازه دهید اعتبار وابستگی ها را اثبات کنیم (2). بگذار باشد آ- دو برابر، پس بو ج- جفت نشده سپس ج + بمن ج − ب- زوج ها. آنها را می توان به عنوان نشان داد ج + ب = 2توو ج − ب = 2v، جایی که تو,vتعدادی اعداد صحیح هستند بنابراین

آ 2 = با 2 − ب 2 = (ج + ب)(ج − ب) = 2تو 2 v = 4UV

و بنابراین ( آ/2) 2 = UV.

می توان با تناقض ثابت کرد که توو v coprime هستند. بگذار باشد توو v- تقسیم می شوند د. سپس ( ج + ب) و ( ج − ب) به تقسیم می شوند د. و بنابراین جو بباید تقسیم شود د، و این با شرط سه گانه فیثاغورثی تناقض دارد.

مانند UV = (آ/2) 2 و توو v coprime، اثبات آن آسان است توو vباید مربع برخی از اعداد باشد.

بنابراین اعداد صحیح مثبت وجود دارد مترو n، به طوری که تو = متر 2 و v = n 2. سپس

آ 2 = 4UV = 4متر 2 n 2 بنابراین
آ = 2دقیقه; ب = تو − v = متر 2 − n 2 ; ج = تو + v = متر 2 + n 2 .

مانند ب> 0، سپس متر > n.

باقی مانده است که نشان دهیم مترو nجفت های مختلف دارند اگر یک مترو n- پس جفت شد توو vباید جفت شوند، اما این غیرممکن است، زیرا آنها coprime هستند. اگر یک مترو n- بدون جفت، پس ب = متر 2 − n 2 و ج = متر 2 + n 2 جفت می شود که غیرممکن است زیرا جو ب coprime هستند.

بنابراین، هر سه گانه فیثاغورثی اولیه باید شرایط (2) را برآورده کند. در عین حال اعداد مترو nتماس گرفت تولید اعدادسه قلوهای اولیه به عنوان مثال، بیایید یک سه گانه فیثاغورثی اولیه (120,119,169) داشته باشیم. در این مورد

آ= 120 = 2 12 5، ب= 119 = 144 - 25، و ج = 144+25=169,

جایی که متر = 12, n= 5 - تولید اعداد، 12 > 5. 12 و 5 هم پرایم و از جفت های مختلف هستند.

می توان ثابت کرد که اعداد متر, nفرمول (2) یک سه گانه اولیه فیثاغورثی (a,b,c) را به دست می دهد. واقعا،

آ 2 + ب 2 = (2دقیقه) 2 + (متر 2 − n 2) 2 = 4متر 2 n 2 + (متر 4 − 2متر 2 n 2 + n 4) =
= (متر 4 + 2متر 2 n 2 + n 4) = (متر 2 + n 2) 2 = ج 2 ,

یعنی ( آ,ب,ج) سه گانه فیثاغورثی است. اجازه دهید ثابت کنیم که در حالی که آ,ب,جاعداد همزمان اول بر اساس تضاد هستند. بگذارید این اعداد بر تقسیم شوند پ> 1. از آنجا که مترو nپس جفت های مختلف داشته باشید بو ج- جفت نشده، یعنی پ≠ 2. چون آرتقسیم می کند بو ج، سپس آرباید 2 تقسیم کرد متر 2 و 2 n 2، که غیر ممکن است زیرا پ≠ 2. بنابراین متر, n coprime هستند و آ,ب,جنیز coprime هستند.

جدول 1 تمام سه گانه های فیثاغورثی اولیه را نشان می دهد که توسط فرمول (2) برای متر≤10.

جدول 1. سه گانه فیثاغورثی اولیه برای متر≤10

متر	n	آ	ب	ج	متر	n	آ	ب	ج
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

تجزیه و تحلیل این جدول وجود سری الگوهای زیر را نشان می دهد:

یا آ، یا ببر 3 تقسیم می شوند؛
یکی از اعداد آ,ب,جبر 5 بخش پذیر است؛
عدد آبر 4 بخش پذیر است؛
کار آ· ببر 12 بخش پذیر است.

در سال 1971، تیگان و هدوین، ریاضیدانان آمریکایی، پارامترهای کمتر شناخته شده یک مثلث قائم الزاویه مانند ارتفاع (ارتفاع) آن را برای تولید سه قلو پیشنهاد کردند. ساعت = ج- ب و مازاد (موفقیت) ه = آ + ب − ج. در شکل 1. این مقادیر روی یک مثلث قائم الزاویه مشخص نشان داده شده است.

شکل 1. مثلث قائم الزاویه و رشد و مازاد آن

نام "زیاد" از این واقعیت گرفته شده است که این فاصله اضافی است که باید در امتداد پاهای مثلث از یک راس به طرف مقابل طی شود، اگر در امتداد مورب آن حرکت نکنید.

از طریق افزایش و رشد، اضلاع مثلث فیثاغورث را می توان به صورت زیر بیان کرد:

ه 2 ه 2
آ = ساعت + ه, ب = ه + ——, ج = ساعت + ه + ——, (3)
2ساعت 2ساعت

نه همه ترکیب ها ساعتو هممکن است با مثلث های فیثاغورثی مطابقت داشته باشد. برای یک معین ساعتمقادیر ممکن هحاصلضرب عددی است د. این شماره درشد نامیده می شود و به ساعتبه روش زیر: دکوچکترین عدد صحیح مثبتی است که مربع آن بر 2 بخش پذیر است ساعت. مانند هچندگانه د، سپس به صورت نوشته می شود ه = kd، جایی که کیک عدد صحیح مثبت است

با کمک جفت ( ک,ساعت) می توانید تمام مثلث های فیثاغورث اعم از غیر ابتدایی و تعمیم یافته را به صورت زیر تولید کنید:

(dk) 2 (dk) 2
آ = ساعت + dk, ب = dk + ——, ج = ساعت + dk + ——, (4)
2ساعت 2ساعت

علاوه بر این، یک سه گانه اولیه است اگر کو ساعت coprime هستند و اگر ساعت =± q 2 در q- جفت نشده
علاوه بر این، دقیقاً یک سه گانه فیثاغورثی اگر خواهد بود ک> √2 ساعت/دو ساعت > 0.

برای پیدا کردن کو ساعتاز جانب ( آ,ب,ج) موارد زیر را انجام دهید:

ساعت = ج − ب;
بنویس ساعتمانند ساعت = pq 2، کجا پ> 0 و مانند آن که مربع نباشد.
د = 2pqاگر پ- جفت نشده و د = pqاگر p جفت شود.
ک = (آ − ساعت)/د.

به عنوان مثال، برای سه (8،15،17) ما داریم ساعت= 17-15 = 2 1، بنابراین پ= 2 و q = 1, د= 2 و ک= (8 − 2)/2 = 3. بنابراین این سه برابر به صورت ( ک,ساعت) = (3,2).

برای سه گانه (459,1260,1341) داریم ساعت= 1341 − 1260 = 81، بنابراین پ = 1, q= 9 و د= 18، بنابراین ک= (459 − 81)/18 = 21، بنابراین کد این سه برابر است ( ک,ساعت) = (21, 81).

مشخص کردن سه برابر با ساعتو کدارای تعدادی خواص جالب پارامتر کبرابر است

ک = 4اس/(dP), (5)

جایی که اس = اب/2 مساحت مثلث است و پ = آ + ب + جمحیط آن است. این از برابری ناشی می شود eP = 4اس، که از قضیه فیثاغورث می آید.

برای مثلث قائم الزاویه هبرابر با قطر دایره محاط شده در مثلث است. این از این واقعیت ناشی می شود که هیپوتنوز با = (آ − r)+(ب − r) = آ + ب − 2r، جایی که rشعاع دایره است. از اینجا ساعت = ج − ب = آ − 2rو ه = آ − ساعت = 2r.

برای ساعت> 0 و ک > 0, کعدد ترتیبی سه قلوها است آ-ب-جدر دنباله ای از مثلث های فیثاغورثی با افزایش ساعت. از جدول 2، که چندین گزینه برای سه قلوهای تولید شده توسط جفت نشان می دهد ساعت, ک، مشاهده می شود که با افزایش کاضلاع مثلث افزایش می یابد. بنابراین، بر خلاف شماره گذاری کلاسیک، شماره گذاری به صورت جفت ساعت, کدر توالی های سه قلو مرتبه بالاتری دارد.

جدول 2. سه گانه فیثاغورثی که توسط جفت های h، k ایجاد شده است.

ساعت	ک	آ	ب	ج	ساعت	ک	آ	ب	ج
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

برای ساعت > 0, دنابرابری 2√ را برآورده می کند ساعت ≤ د ≤ 2ساعت، که در آن به کران پایین می رسد پ= 1، و بالا، در q= 1. بنابراین، مقدار دبا توجه به 2√ ساعتمعیاری برای میزان است ساعتدور از مربع فلان عدد

پورتال برای دانش آموز. خود آموزی

خواص

مثال ها

داستان

را نیز ببینید

پیوندها

ببینید «اعداد فیثاغورثی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

کتاب ها

راه حل ها

خواص

مثال ها

داستان

پیوندها

ببینید "سه گانه فیثاغورثی" در فرهنگ های دیگر چیست:

مقالات مرتبط