قضیه فیثاغورث می گوید:

در یک مثلث قائم الزاویه مجموع مربع های پاها برابر است با مربع هیپوتانوس:

a 2 + b 2 = c 2,

• آو ب- پاها که زاویه راست تشکیل می دهند.
• باهیپوتانوز مثلث است.

فرمول های قضیه فیثاغورث

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

اثبات قضیه فیثاغورث

مساحت مثلث قائم الزاویه با فرمول محاسبه می شود:

S = \frac(1)(2)ab

برای محاسبه مساحت یک مثلث دلخواه، فرمول مساحت به صورت زیر است:

• پ- نیمه محیطی p=\frac(1)(2)(a+b+c)،
• rشعاع دایره محاطی است. برای یک مستطیل r=\frac(1)(2)(a+b-c).

سپس ضلع سمت راست هر دو فرمول را برای مساحت یک مثلث برابر می کنیم:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \راست)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

قضیه فیثاغورث معکوس:

اگر مربع یک ضلع مثلث با مجموع مربع های دو ضلع دیگر برابر باشد، آن مثلث یک مثلث قائم الزاویه است. یعنی برای هر سه عدد از اعداد مثبت الف، بو ج، به طوری که

a 2 + b 2 = c 2,

یک مثلث قائم الزاویه با پاها وجود دارد آو بو هیپوتانوز ج.

قضیه فیثاغورس- یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی، ایجاد رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه. توسط دانشمند ریاضیدان و فیلسوف فیثاغورث ثابت شد.

معنای قضیهبه این صورت که می توان از آن برای اثبات قضایای دیگر و حل مسائل استفاده کرد.

مواد اضافی:

راه حل مشکل:

252 \u003d 242 + 72، سپس مثلث قائم الزاویه است و مساحت آن برابر با نصف حاصلضرب پاهای آن است، یعنی. S \u003d hc * s: 2، که در آن c هیپوتانوز است، hc ارتفاع کشیده شده به هیپوتنوز است، سپس hc = = = 6.72 (سانتی متر)

جواب: 6.72 سانتی متر.

هدف صحنه:

اسلاید شماره 4

"4" - 1 پاسخ اشتباه

"3" - پاسخ ها نادرست است.

پیشنهاد می کنم انجام دهید:

اسلاید شماره 5

هدف صحنه:

در پایان درس:

عبارات روی تابلو نوشته شده است:

درس مفید است، همه چیز روشن است.

هنوز هم باید سخت کار کرد.

بله، یادگیری آن سخت است!

مشاهده محتوای سند
"پروژه یک درس در ریاضیات "قضیه، معکوس قضیه فیثاغورث""

پروژه درس "قضیه، معکوس قضیه فیثاغورث"

درس "کشف" دانش جدید

اهداف درس:

فعالیت: شکل گیری توانایی های دانش آموزان برای ایجاد مستقل شیوه های جدید عمل بر اساس روش خودسازماندهی بازتابی.

آموزشی: گسترش پایه مفهومی با گنجاندن عناصر جدید در آن.

مرحله انگیزش فعالیت آموزشی (5 دقیقه)

احوالپرسی متقابل معلم و دانش آموزان، بررسی آمادگی برای درس، سازماندهی توجه و آمادگی درونی، درگیر کردن سریع دانش آموزان در یک ریتم تجاری با حل مسائل مطابق نقشه های آماده:

اگر ABCD لوزی است BC را پیدا کنید.

ABCD یک مستطیل است. AB:AD = 3:4. AD را پیدا کنید.

AD را پیدا کنید.

AB را پیدا کنید.

خورشید را پیدا کن

پاسخ به وظایف مطابق نقشه های آماده:

1.BC = 3; 2.AD=4cm; 3.AB = 3√2cm.

مرحله "کشف" دانش جدید و راه های عمل (15 دقیقه)

هدف صحنه:فرمول بندی موضوع و اهداف درس با کمک یک گفتگوی پیشرو (پذیرش "وضعیت مشکل").

عباراتی را که معکوس با داده ها هستند فرموله کنید و صحت آنها را دریابید:اسلاید شماره 1

در حالت دوم، دانش‌آموزان می‌توانند گزاره‌ای بر خلاف این بیان کنند.

دستورالعمل کار دو نفره در مورد بررسی اثبات قضیه، برعکس قضیه فیثاغورث.

من به دانش آموزان در مورد روش فعالیت، در مورد محل مطالب آموزش می دهم.

تکلیف به زوجین: اسلاید شماره 2

برای مطالعه اثبات قضیه، عکس قضیه فیثاغورث، به صورت دو نفره مستقل کار کنید. دفاع عمومی از شواهد

یکی از جفت ها ارائه خود را با فرمول یک قضیه آغاز می کند. بحث فعالی در مورد شواهد وجود دارد که در طی آن یک یا گزینه دیگری با کمک سؤالات معلم و دانش آموزان اثبات می شود.

مقایسه اثبات قضیه با برهان معلم

معلم روی تخته سیاه کار می کند و دانش آموزانی را که در یک دفترچه کار می کنند خطاب می کند.

داده شده: ABC - مثلث، AB 2 \u003d AC 2 + BC 2

دریابید که آیا ABC مستطیلی است یا خیر. اثبات:

A 1 B 1 C 1 را طوری در نظر بگیرید که ˂C = 90 0، A 1 C 1 = AC، B 1 C 1 = BC. سپس، طبق قضیه فیثاغورث، A 1 B 1 2 \u003d A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2.

از آنجایی که A 1 C 1 \u003d AC، B 1 C 1 \u003d قبل از میلاد، پس: A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d AB 2، بنابراین، AB 2 \u003d A 1 B 1 2 و AB \u003d A 1 B 1.

A 1 B 1 C 1 = ABC در سه ضلع، از این رو ˂C = ˂C 1 = 90 0، یعنی ABC مستطیل شکل است. بنابراین، اگر مربع یک ضلع مثلث برابر با مجموع مربع های دو ضلع دیگر باشد، آن مثلث یک مثلث قائم الزاویه است.

این بیانیه نامیده می شود یک قضیه در مقابل قضیه فیثاغورث.

ارائه عمومی یکی از دانش آموزان در مورد مثلث فیثاغورث (اطلاعات از قبل آماده شده).

اسلاید شماره 3

بعد از اطلاعات چند سوال از دانش آموزان می پرسم.

آیا مثلث های زیر مثلث فیثاغورثی هستند؟

با هیپوتانوز 25 و پای 15;

با پاهای 5 و 4؟

مرحله تثبیت اولیه با تلفظ در گفتار خارجی (10 دقیقه)

هدف صحنه:کاربرد قضیه، معکوس قضیه فیثاغورث را در فرآیند حل مسائل نشان دهید.

پیشنهاد می کنم مشکل شماره 499 الف) را از کتاب درسی حل کنید. یکی از دانش آموزان به هیئت دعوت می شود، مشکل را با کمک معلم و دانش آموزان حل می کند و راه حل را در گفتار بیرونی تلفظ می کند. در حین ارائه دانشجوی مدعو، چند سوال می پرسم:

چگونه بررسی کنیم که مثلث قائم الزاویه است؟

کوچکترین ارتفاع مثلث به کدام ضلع کشیده می شود؟

چه روشی برای محاسبه ارتفاع مثلث اغلب در هندسه استفاده می شود؟

با استفاده از فرمول محاسبه مساحت یک مثلث، ارتفاع مورد نظر را پیدا کنید.

راه حل مشکل:

25 2 \u003d 24 2 + 7 2، سپس مثلث قائم الزاویه است و مساحت آن برابر با نصف حاصلضرب پاهای آن است، یعنی. S = h s * s: 2، که در آن s هیپوتانوز است، h s ارتفاع کشیده شده به هیپوتانوز، سپس h s = = = 6.72 (سانتی متر)

جواب: 6.72 سانتی متر.

مرحله کار مستقل با خودآزمایی طبق استاندارد (10 دقیقه)

هدف صحنه:بهبود فعالیت مستقل در درس، انجام خودآزمایی، آموزش ارزیابی فعالیت ها، تجزیه و تحلیل، نتیجه گیری.

پیشنهاد شده است که به طور مستقل با یک پیشنهاد برای ارزیابی کافی کار خود و انجام یک ارزیابی مناسب کار کنند.

اسلاید شماره 4

معیارهای ارزیابی: "5" - همه پاسخ ها صحیح است

"4" - 1 پاسخ اشتباه

"3" - پاسخ ها نادرست است.

مرحله آگاه سازی دانش آموزان در مورد تکالیف، اطلاع رسانی در مورد اجرای آن (3 دقیقه).

من دانش آموزان را در مورد تکالیف آگاه می کنم، روش اجرای آن را توضیح می دهم، درک محتوای کار را بررسی می کنم.

پیشنهاد می کنم انجام دهید:

اسلاید شماره 5

مرحله انعکاس فعالیت آموزشی در درس (2 دقیقه)

هدف صحنه:به دانش آموزان بیاموزد که آمادگی خود را برای کشف جهل ارزیابی کنند، دلایل مشکلات را بیابند، نتیجه فعالیت های خود را تعیین کنند.

در این مرحله، من به هر دانش آموز پیشنهاد می کنم فقط یکی از بچه هایی را انتخاب کند که می خواهد از همکاری آنها تشکر کند و توضیح دهد که این همکاری دقیقاً در چه چیزی ظاهر شد.

تشکر استاد آخرین کلمه است. در عین حال کسانی را انتخاب می کنم که کمترین تعارف را داشته باشند.

در پایان درس:

عبارات روی تابلو نوشته شده است:

درس مفید است، همه چیز روشن است.

فقط چند چیز کمی نامشخص است.

هنوز هم باید سخت کار کرد.

بله، یادگیری آن سخت است!

بچه ها بالا می آیند و علامت (تیک) را در کنار کلماتی که برای آنها مناسب تر است در پایان درس قرار می دهند.

قابل توجه است که ویژگی نشان داده شده در قضیه فیثاغورث ویژگی مشخصه یک مثلث قائم الزاویه است. این از یک قضیه برعکس قضیه فیثاغورث نتیجه می گیرد.

قضیه: اگر مربع یک ضلع مثلث برابر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر باشد، آن مثلث یک مثلث قائم الزاویه است.

فرمول هرون

ما فرمولی را استخراج می کنیم که صفحه یک مثلث را بر حسب طول اضلاع آن بیان می کند. این فرمول با نام هرون اسکندریه، ریاضیدان و مکانیک یونان باستان که احتمالاً در قرن اول پس از میلاد می زیسته، مرتبط است. هرون توجه زیادی به کاربردهای عملی هندسه داشت.

قضیه. مساحت S مثلثی که اضلاع آن a,b,c است با فرمول S= محاسبه می شود که p نصف محیط مثلث است.

اثبات

داده می شود: ?ABC، AB=c، BC=a، AC=b زوایای A و B حاد هستند. CH - ارتفاع.

ثابت كردن:

اثبات:

مثلثی ABC را در نظر بگیرید که در آن AB=c، BC=a، AC=b. هر مثلث حداقل دو زاویه تند دارد. فرض کنید A و B زوایای تند مثلث ABC باشند. سپس قاعده H ارتفاع CH مثلث روی ضلع AB قرار دارد. بیایید نماد را معرفی کنیم: CH = h، AH=y، HB=x. طبق قضیه فیثاغورث a 2 - x 2 \u003d h 2 \u003d b 2 -y 2، از آنجا

Y 2 - x 2 \u003d b 2 - a 2، یا (y - x) (y + x) \u003d b 2 - a 2، و از آنجایی که y + x \u003d c، سپس y- x \u003d (b2 - a2).

با جمع دو برابری آخر، به دست می‌آییم:

2y = +c، از آنجاست

y \u003d، و بنابراین، h 2 \u003d b 2 -y 2 \u003d (b - y) (b + y) \u003d

بنابراین، h = .

اهداف درس:

آموزشی: قضیه فیثاغورث و عکس قضیه فیثاغورث را فرموله و اثبات کنید. اهمیت تاریخی و عملی آنها را نشان دهید.

در حال توسعه: برای توسعه توجه، حافظه، تفکر منطقی دانش آموزان، توانایی استدلال، مقایسه، نتیجه گیری.

آموزشی: پرورش علاقه و عشق به موضوع، دقت، توانایی گوش دادن به رفقا و معلمان.

تجهیزات: پرتره فیثاغورث، پوسترهایی با وظایف ادغام، کتاب درسی "هندسه" کلاس های 7-9 (I.F. Sharygin).

طرح درس:

I. لحظه سازمانی - 1 دقیقه.

II. بررسی تکالیف - 7 دقیقه.

III. سخنرانی مقدماتی معلم، پیشینه تاریخی - 4-5 دقیقه.

IV. فرمول بندی و اثبات قضیه فیثاغورث - 7 دقیقه.

V. فرمول بندی و اثبات قضیه برعکس قضیه فیثاغورث - 5 دقیقه.

تعمیر مواد جدید:

الف) خوراکی - 5-6 دقیقه.
ب) نوشته شده - 7-10 دقیقه.

VII. تکالیف - 1 دقیقه.

هشتم. جمع بندی درس - 3 دقیقه.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

II. بررسی تکالیف

p.7.1، شماره 3 (در تخته طبق نقشه تمام شده).

شرایط. شرط: ارتفاع مثلث قائم الزاویه هیپوتنوس را به قطعاتی به طول 1 و 2 تقسیم می کند. ساق های این مثلث را پیدا کنید.

BC = a; CA=b; BA=c; BD = a 1 ; DA = b 1 ; CD = hC

سوال اضافی: نسبت ها را در یک مثلث قائم الزاویه بنویسید.

مورد 7.1، شماره 5. مثلث قائم الزاویه را به سه مثلث شبیه به هم ببرید.

توضیح.

ASN ~ ABC ~ SVN

(توجه دانش آموزان را به ثبت صحیح رئوس متناظر مثلث های مشابه جلب کنید)

III. سخنرانی مقدماتی معلم، پیشینه تاریخی.

حقیقت جاودانه خواهد ماند، به محض اینکه یک فرد ضعیف آن را بداند!

و اکنون قضیه فیثاغورث درست است، مانند دوران دور او.

تصادفی نیست که درس خود را با سخنان Chamisso رمان نویس آلمانی آغاز کردم. درس امروز ما در مورد قضیه فیثاغورث است. بیایید موضوع درس را بنویسیم.

پیش روی شما پرتره ای از فیثاغورث بزرگ است. متولد 576 ق.م. پس از 80 سال زندگی، در سال 496 قبل از میلاد درگذشت. معروف به فیلسوف و معلم یونان باستان. او پسر تاجر منسارخوس بود که اغلب او را به سفرهای خود می برد و به لطف آن پسر کنجکاوی و میل به یادگیری چیزهای جدید پیدا کرد. فیثاغورث لقبی است که به دلیل شیوایی او به او داده شده است ("فیثاغورث" به معنای "گفتار متقاعد کننده" است). خودش هم چیزی ننوشت. تمام افکار او توسط شاگردانش ثبت شد. فیثاغورث در نتیجه اولین سخنرانی که ایراد کرد، 2000 دانش آموز به دست آورد که به همراه همسران و فرزندان خود مدرسه ای عظیم تشکیل دادند و دولتی به نام "یونان بزرگ" ایجاد کردند که بر اساس قوانین و قوانین فیثاغورث مورد احترام است. به عنوان احکام الهی او اولین کسی بود که استدلال خود را درباره معنای زندگی فلسفه (فلسفه) نامید. او مستعد عرفان و رفتار نمایشی بود. یک بار فیثاغورس در زیر زمین پنهان شد و از مادرش در مورد همه چیزهایی که اتفاق می افتاد مطلع شد. سپس، مانند یک اسکلت پژمرده، در مجلس عمومی اعلام کرد که در هادس بوده است و آگاهی شگفت انگیزی از رویدادهای زمینی نشان داد. برای این، ساکنان لمس او را به عنوان خدا شناختند. فیثاغورث هرگز گریه نمی کرد و به طور کلی برای احساسات و هیجانات غیرقابل دسترس بود. او معتقد بود که از دانه ای می آید که در مقایسه با انسان بهتر است. کل زندگی فیثاغورث افسانه ای است که به زمان ما رسیده است و از با استعدادترین مرد دنیای باستان برای ما می گوید.

IV. صورت بندی و اثبات قضیه فیثاغورث.

فرمول قضیه فیثاغورث را از درس جبر برای شما می دانید. به یادش باشیم

در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر با مجموع مربع های پاها است.

با این حال، این قضیه سال ها قبل از فیثاغورس شناخته شده بود. 1500 سال قبل از فیثاغورس، مصریان باستان می دانستند که مثلثی با ضلع های 3، 4 و 5 مستطیل شکل است و از این ویژگی برای ایجاد زوایای قائمه هنگام برنامه ریزی زمین و ساختن ساختمان ها استفاده می کردند. در قدیمی‌ترین اثر ریاضی و نجومی چینی که به ما رسیده است، «ژیو بی»، که 600 سال قبل از فیثاغورث نوشته شده است، در میان جملات دیگر مربوط به مثلث قائم‌الزاویه، قضیه فیثاغورث نیز وجود دارد. حتی قبل از آن، این قضیه برای هندوها شناخته شده بود. بنابراین فیثاغورث این خاصیت مثلث قائم الزاویه را کشف نکرد، احتمالاً او اولین کسی بود که آن را تعمیم و اثبات کرد و آن را از حوزه عمل به حوزه علم منتقل کرد.

از زمان های قدیم، ریاضیدانان شواهد بیشتری برای قضیه فیثاغورث پیدا کرده اند. بیش از صد و پنجاه شناخته شده وجود دارد. بیایید اثبات جبری قضیه فیثاغورث را که از درس جبر برای ما شناخته شده است، یادآوری کنیم. ("ریاضیات. جبر. توابع. تجزیه و تحلیل داده ها" G.V. Dorofeev، M.، "Bubblehead"، 2000).

از دانش‌آموزان دعوت کنید تا اثبات نقاشی را به خاطر بسپارند و آن را روی تخته بنویسند.

(a + b) 2 \u003d 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 \u003d 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

هندوهای باستان، که این استدلال به آنها تعلق دارد، معمولاً آن را یادداشت نمی کردند، بلکه نقاشی را تنها با یک کلمه همراه می کردند: "ببین".

اجازه دهید در یک ارائه مدرن یکی از شواهد متعلق به فیثاغورث را در نظر بگیریم. در ابتدای درس، قضیه نسبت های قائم الزاویه را به خاطر آوردیم:

h 2 \u003d a 1 * b 1 a 2 \u003d a 1 * c b 2 \u003d b 1 * c

دو برابری آخر را به صورت ترم اضافه می کنیم:

b 2 + a 2 \u003d b 1 * c + a 1 * c \u003d (b 1 + a 1) * c 1 \u003d c * c \u003d c 2; a 2 + b 2 = c 2

علیرغم سادگی ظاهری این اثبات، از ساده ترین آنها دور است. از این گذشته ، برای این کار لازم بود که ارتفاعی را در یک مثلث قائم الزاویه ترسیم کنیم و مثلث های مشابه را در نظر بگیریم. لطفا این مدرک را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.

V. بیان و اثبات قضیه برعکس قضیه فیثاغورث.

معکوس این قضیه چیست؟ (... اگر شرط و نتیجه معکوس شود.)

اکنون بیایید سعی کنیم قضیه را، برعکس قضیه فیثاغورث، فرمول بندی کنیم.

اگر در مثلثی با اضلاع a، b و c برابری با 2 \u003d a 2 + b 2 درست باشد، این مثلث قائم الزاویه است و زاویه قائم مقابل ضلع c است.

(اثبات قضیه معکوس روی پوستر)

ABC، BC = a،

AC = b، BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

ثابت كردن:

ABC - مستطیل شکل،

اثبات:

یک مثلث قائم الزاویه A 1 B 1 C 1 را در نظر بگیرید،

که در آن C 1 \u003d 90 درجه، A 1 C 1 \u003d a، A 1 C 1 \u003d b.

سپس، طبق قضیه فیثاغورث، B 1 A 1 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d c 2.

یعنی B 1 A 1 \u003d c A 1 B 1 C 1 \u003d ABC در سه طرف ABC - مستطیل شکل

C = 90 درجه که قرار بود ثابت شود.

VI. تلفیق مطالب مورد مطالعه (شفاهی).

1. طبق پوستر با نقشه های آماده.

شکل 1: اگر BD = 8، BDA = 30 درجه، AD را پیدا کنید.

شکل 2: اگر BE = 5، BAE = 45 درجه، CD را پیدا کنید.

شکل 3: اگر BC = 17، AD = 16، BD را بیابید.

2. یک مثلث قائم الزاویه است اگر اضلاع آن با اعداد بیان شود:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (خیر)	9 2 + 12 2 = 15 2 (بله)	15 2 + 20 2 = 25 2 (بله)

سه گانه اعداد در دو حالت آخر چه نامیده می شوند؟ (فیثاغورثی).

VI. حل مسئله (به صورت کتبی).

شماره 9. ضلع مثلث متساوی الاضلاع برابر با a است. ارتفاع این مثلث، شعاع دایره محصور، شعاع دایره محاطی را بیابید.

№ 14. ثابت کنید که در یک مثلث قائم الزاویه شعاع دایره محصور برابر با میانه رسم شده به هیپوتنوز و برابر با نیمی از هیپوتانوس است.

VII. مشق شب.

مورد 7.1، صفحات 175-177، قضیه 7.4 (قضیه فیثاغورث تعمیم یافته)، شماره 1 (شفاهی)، شماره 2، شماره 4 را تجزیه و تحلیل کنید.

هشتم. نتایج درس

امروز در درس چه چیز جدیدی یاد گرفتید؟ …………

فیثاغورث قبل از هر چیز یک فیلسوف بود. اکنون می خواهم چند مورد از سخنان او را که در زمان ما برای من و شما مناسب است، برای شما بخوانم.

• در مسیر زندگی غبار بلند نکنید.
• فقط کاری را انجام دهید که در آینده شما را ناراحت نکند و شما را مجبور به توبه نکند.
• هرگز کاری را که نمیدانی انجام نده، بلکه هر آنچه را که باید بدانی بیاموز، آنگاه زندگی آرامی خواهی داشت.
• وقتی می‌خواهید بخوابید، چشم‌هایتان را نبندید، بدون اینکه تمام کارهای روز قبل خود را درک کنید.
• یاد بگیرید ساده و بدون تجمل زندگی کنید.

در نظر گرفتن سرفصل های برنامه درسی مدرسه با کمک دروس ویدیویی راه مناسبی برای مطالعه و جذب مطالب است. ویدئو کمک می کند تا توجه دانش آموزان بر روی نکات نظری اصلی متمرکز شود و جزئیات مهم از دست نرود. در صورت لزوم، دانش آموزان همیشه می توانند دوباره به درس ویدیویی گوش دهند یا چند موضوع را به عقب برگردانند.

این فیلم آموزشی برای پایه هشتم به دانش آموزان کمک می کند تا یک مبحث جدید در هندسه را بیاموزند.

در مبحث قبل قضیه فیثاغورث را بررسی کردیم و اثبات آن را تحلیل کردیم.

همچنین یک قضیه وجود دارد که به قضیه فیثاغورث معکوس معروف است. بیایید آن را با جزئیات بیشتر در نظر بگیریم.

قضیه. یک مثلث قائم الزاویه است اگر تساوی را برآورده کند: مقدار یک ضلع مثلث با مجذور مجذور دو ضلع دیگر یکسان است.

اثبات فرض کنید یک مثلث ABC به ما داده می شود که در آن برابری AB 2 = CA 2 + CB 2 درست است. باید ثابت کنیم که زاویه C 90 درجه است. مثلثی A 1 B 1 C 1 را در نظر بگیرید که در آن زاویه C 1 90 درجه، ضلع C 1 A 1 برابر با CA و ضلع B 1 C 1 برابر با BC است.

با اعمال قضیه فیثاغورث، نسبت اضلاع را در مثلث A 1 C 1 B 1 می نویسیم: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . با جایگزینی عبارت با اضلاع مساوی، A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 به دست می آوریم.

از شرایط قضیه می دانیم که AB 2 = CA 2 + CB 2 . سپس می‌توانیم A 1 B 1 2 = AB 2 بنویسیم که به این معنی است که A 1 B 1 = AB.

ما دریافتیم که در مثلث های ABC و A 1 B 1 C 1 سه ضلع برابر هستند: A 1 C 1 = AC، B 1 C 1 = BC، A 1 B 1 = AB. بنابراین این مثلث ها متجانس هستند. از تساوی مثلث ها نتیجه می شود که زاویه C برابر با زاویه C 1 و بر این اساس برابر با 90 درجه است. ما مشخص کردیم که مثلث ABC یک مثلث قائم الزاویه و زاویه C آن 90 درجه است. ما این قضیه را ثابت کردیم.

سپس نویسنده مثالی می آورد. فرض کنید یک مثلث دلخواه به ما داده شده است. ابعاد اضلاع آن مشخص است: 5، 4 و 3 واحد. بیایید گزاره از قضیه برعکس قضیه فیثاغورث را بررسی کنیم: 5 2 = 3 2 + 4 2 . اگر عبارت صحیح باشد، مثلث داده شده یک مثلث قائم الزاویه است.

در مثال‌های زیر، اگر اضلاع مثلث‌ها مساوی باشد، قائم‌زاویه خواهند بود:

5، 12، 13 واحد; برابری 13 2 = 5 2 + 12 2 درست است.

8، 15، 17 واحد; معادله 17 2 = 8 2 + 15 2 درست است.

7، 24، 25 واحد; معادله 25 2 = 7 2 + 24 2 درست است.

مفهوم مثلث فیثاغورث شناخته شده است. مثلث قائم الزاویه ای است که مقادیر اضلاع آن اعداد صحیح هستند. اگر پایه های مثلث فیثاغورث با a و c و فرض b نشان داده شوند، می توان مقادیر اضلاع این مثلث را با استفاده از فرمول های زیر نوشت:

b \u003d k x (m 2 - n 2)

c \u003d k x (m 2 + n 2)

که در آن m، n، k هر اعداد طبیعی هستند و مقدار m بزرگتر از مقدار n است.

یک واقعیت جالب: مثلثی با اضلاع 5، 4 و 3 نیز مثلث مصری نامیده می شود، چنین مثلثی در مصر باستان شناخته شده بود.

در این فیلم آموزشی با قضیه، برعکس قضیه فیثاغورث آشنا شدیم. اثبات را با جزئیات در نظر بگیرید. دانش آموزان همچنین یاد گرفتند که به کدام مثلث ها مثلث فیثاغورثی می گویند.

دانش آموزان با کمک این درس تصویری می توانند به راحتی با مبحث "قضیه، معکوس قضیه فیثاغورث" آشنا شوند.