به کانال یوتیوب وب سایت ما بروید تا از تمام دروس ویدیویی جدید مطلع شوید.

ابتدا بیایید فرمول های اصلی توان ها و ویژگی های آنها را به یاد بیاوریم.

محصول یک عدد آ n بار روی خودش اتفاق می افتد، می توانیم این عبارت را به صورت a … a=a n بنویسیم

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

قدرت یا معادلات نمایی– اینها معادلاتی هستند که در آنها متغیرها در توان (یا توان) هستند و مبنا یک عدد است.

نمونه هایی از معادلات نمایی:

در این مثال، عدد 6 پایه است؛ همیشه در پایین و متغیر است ایکسدرجه یا نشانگر

اجازه دهید مثال های بیشتری از معادلات نمایی ارائه دهیم.
2*5=10
16 x - 4 x - 6=0

حال بیایید ببینیم معادلات نمایی چگونه حل می شوند؟

بیایید یک معادله ساده در نظر بگیریم:

2 x = 2 3

این مثال حتی در ذهن شما قابل حل است. مشاهده می شود که x=3. از این گذشته ، برای اینکه سمت چپ و راست برابر باشند ، باید به جای x عدد 3 را قرار دهید.
حال بیایید ببینیم که چگونه این تصمیم را رسمی کنیم:

2 x = 2 3
x = 3

برای حل چنین معادله ای حذف کردیم زمینه های یکسان(یعنی دوتایی) و آنچه باقی مانده را بنویسد، اینها درجات است. جوابی که دنبالش بودیم گرفتیم.

حالا بیایید تصمیم خود را خلاصه کنیم.

الگوریتم حل معادله نمایی:
1. نیاز به بررسی همانآیا معادله دارای پایه در سمت راست و چپ است. اگر دلایل یکسان نیستند، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.
2. پس از یکسان شدن پایه ها، برابر کردندرجه و معادله جدید حاصل را حل کنید.

حال به چند نمونه نگاه می کنیم:

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم.

پایه های سمت چپ و راست برابر با عدد 2 هستند، یعنی می توانیم پایه را دور بیندازیم و قدرت آنها را برابر کنیم.

x+2=4 ساده ترین معادله به دست می آید.
x=4 – 2
x=2
پاسخ: x=2

در مثال زیر می بینید که پایه ها متفاوت هستند: 3 و 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

ابتدا 9 را به سمت راست حرکت دهید، دریافت می کنیم:

حالا باید همان پایه ها را درست کنید. می دانیم که 9=3 2. بیایید از فرمول توان (a n) m = a nm استفاده کنیم.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 بدست می آوریم

3 3x = 3 2x+16 حالا مشخص است که در سمت چپ و راست پایه ها یکسان و برابر با سه هستند، یعنی می توانیم آنها را دور بیندازیم و درجه ها را برابر کنیم.

3x=2x+16 ساده ترین معادله را بدست می آوریم
3x - 2x=16
x=16
پاسخ: x=16.

بیایید به مثال زیر نگاه کنیم:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

ابتدا به پایه ها، پایه های دو و چهار نگاه می کنیم. و ما نیاز داریم که آنها یکسان باشند. ما چهار را با استفاده از فرمول (a n) m = a nm تبدیل می کنیم.

4 x = (2 2) x = 2 2x

و همچنین از یک فرمول a n a m = a n + m استفاده می کنیم:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

به معادله اضافه کنید:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

به همین دلایل مثال زدیم. اما اعداد 10 و 24 دیگر ما را آزار می دهند با آنها چه کنیم؟ اگر به دقت نگاه کنید می توانید ببینید که در سمت چپ 2 2 برابر تکرار شده است، در اینجا پاسخ وجود دارد - می توانیم 2 2 برابر را خارج از پرانتز قرار دهیم:

2 2x (2 4 - 10) = 24

بیایید عبارت داخل پرانتز را محاسبه کنیم:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

کل معادله را بر 6 تقسیم می کنیم:

بیایید 4=2 2 را تصور کنیم:

2 2x = 2 2 پایه ها یکسان هستند، آنها را دور می اندازیم و درجه ها را برابر می کنیم.
2x = 2 ساده ترین معادله است. آن را بر 2 تقسیم می کنیم و به دست می آید
x = 1
پاسخ: x = 1.

بیایید معادله را حل کنیم:

9 x – 12*3 x +27= 0

بیایید تبدیل کنیم:
9 x = (3 2) x = 3 2x

معادله را بدست می آوریم:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

پایه های ما یکسان است، برابر با سه، در این مثال می بینید که سه درجه اول دو برابر (2x) نسبت به دومی (فقط x) درجه دارد. در این صورت می توانید حل کنید روش جایگزینی. عدد را با کوچکترین درجه جایگزین می کنیم:

سپس 3 2x = (3 x) 2 = t 2

تمام توان های x در معادله را با t جایگزین می کنیم:

t 2 - 12t+27 = 0
یک معادله درجه دوم بدست می آوریم. با حل از طریق تفکیک، دریافت می کنیم:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

بازگشت به متغیر ایکس.

t 1 را بگیرید:
t 1 = 9 = 3 x

به این معنا که،

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم از t 2 هستیم:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
پاسخ: x 1 = 2; x 2 = 1.

در وب سایت شما می توانید هر سوالی را که ممکن است در قسمت HELP DECIDE مطرح کنید، ما قطعا به شما پاسخ خواهیم داد.

به گروه ملحق بشید

به طور کلی، معادله درجه بزرگتر از 4 را نمی توان در رادیکال حل کرد. اما گاهی اوقات می‌توانیم ریشه‌های یک چند جمله‌ای در سمت چپ را در معادله‌ای با بالاترین درجه پیدا کنیم، اگر آن را به عنوان حاصلضرب چند جمله‌ای به درجه‌ای بیش از 4 نشان دهیم. حل چنین معادلاتی بر اساس فاکتورگیری یک چند جمله ای است، بنابراین به شما توصیه می کنیم قبل از مطالعه این مقاله این مبحث را مرور کنید.

اغلب شما باید با معادلات درجات بالاتر با ضرایب صحیح برخورد کنید. در این موارد، می‌توانیم سعی کنیم ریشه‌های گویا را پیدا کنیم و سپس چند جمله‌ای را فاکتور کنیم تا بتوانیم آن را به معادله درجه پایین‌تری تبدیل کنیم که به راحتی قابل حل است. در این مطلب ما به نمونه هایی از این دست نگاه خواهیم کرد.

معادلات درجه بالاتر با ضرایب صحیح

همه معادلات به شکل a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0، با ضرب هر دو طرف در n n - 1 و ایجاد یک تغییر متغیر به شکل y = a n x می توانیم معادله ای با درجه یکسان تولید کنیم:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

ضرایب حاصل نیز عدد صحیح خواهد بود. بنابراین، ما باید معادله کاهش یافته درجه n را با ضرایب صحیح حل کنیم، به شکل x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

ما ریشه های عدد صحیح معادله را محاسبه می کنیم. اگر معادله دارای ریشه های اعداد صحیح است، باید آنها را در میان مقسوم علیه های جمله آزاد a 0 جستجو کنید. بیایید آنها را بنویسیم و آنها را یکی یکی با برابری اصلی جایگزین کنیم و نتیجه را بررسی کنیم. هنگامی که هویت را به دست آوردیم و یکی از ریشه های معادله را پیدا کردیم، می توانیم آن را به شکل x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 بنویسیم. در اینجا x 1 ریشه معادله است و P n - 1 (x) ضریب x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 تقسیم بر x - x 1 است.

مقسوم‌گیرنده‌های باقی‌مانده را که با Pn - 1 (x) = 0 شروع می‌کنیم، جایگزین می‌کنیم، زیرا ریشه‌ها را می‌توان تکرار کرد. پس از به دست آوردن هویت، ریشه x 2 پیدا شده در نظر گرفته می شود و معادله را می توان به شکل (x - x 1) (x - x 2) نوشت · P n - 2 (x) = 0. در اینجا P n - 2 (x) ضریب تقسیم P n - 1 (x) بر x - x 2 خواهد بود.

ما به مرتب سازی از طریق مقسوم علیه ها ادامه می دهیم. بیایید تمام ریشه های کل را پیدا کرده و تعداد آنها را m نشان دهیم. پس از این، معادله اصلی را می توان به صورت x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 نشان داد. در اینجا P n - m (x) چند جمله ای با درجه n - m است. برای محاسبه، استفاده از طرح هورنر راحت است.

اگر معادله اصلی ما دارای ضرایب صحیح باشد، در نهایت نمی توانیم ریشه های کسری را بدست آوریم.

ما به معادله P n - m (x) = 0 رسیدیم که ریشه های آن را می توان به هر روشی راحت پیدا کرد. آنها می توانند غیرمنطقی یا پیچیده باشند.

اجازه دهید با یک مثال خاص نشان دهیم که چگونه از این طرح راه حل استفاده می شود.

مثال 1

وضعیت:جواب معادله x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید با یافتن ریشه های کامل شروع کنیم.

ما یک ترم آزاد برابر با منهای سه داریم. مقسوم علیه های 1، - 1، 3 و - 3 دارد. بیایید آنها را در معادله اصلی جایگزین کنیم و ببینیم کدام یک از آنها هویت های حاصل را می دهد.

با x برابر با یک، 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0 بدست می آوریم، یعنی یک ریشه این معادله خواهد بود.

حالا بیایید چند جمله ای x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 را در یک ستون بر (x - 1) تقسیم کنیم:

بنابراین x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

ما یک هویت به دست آوردیم، یعنی ریشه دیگری از معادله را پیدا کردیم، برابر با - 1.

چند جمله ای x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 را در یک ستون بر (x + 1) تقسیم کنید:

ما آن را دریافت می کنیم

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

مقسوم‌کننده بعدی را با تساوی x 2 + x + 3 = 0 جایگزین می‌کنیم و از - 1 شروع می‌کنیم:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

برابری های حاصل نادرست خواهند بود، به این معنی که معادله دیگر ریشه های اعداد صحیح ندارد.

ریشه های باقی مانده ریشه های عبارت x 2 + x + 3 خواهند بود.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

از این نتیجه می شود که این سه جمله ای درجه دوم ریشه واقعی ندارد، اما مزدوج های پیچیده ای وجود دارد: x = - 1 2 ± i 11 2.

اجازه دهید توضیح دهیم که به جای تقسیم به یک ستون، می توان از طرح هورنر استفاده کرد. این کار به این صورت انجام می شود: پس از اینکه ریشه اول معادله را مشخص کردیم، جدول را پر می کنیم.

در جدول ضرایب بلافاصله می توان ضرایب ضریب تقسیم چندجمله ای ها را مشاهده کرد که به معنای x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 است. .

پس از یافتن ریشه بعدی که - 1 است، موارد زیر را به دست می آوریم:

پاسخ: x = - 1، x = 1، x = - 1 2 ± i 11 2.

مثال 2

وضعیت:معادله x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0 را حل کنید.

راه حل

عبارت آزاد دارای مقسوم علیه های 1، - 1، 2، - 2، 3، - 3، 4، - 4، 6، - 6، 12، - 12 است.

بیایید آنها را به ترتیب بررسی کنیم:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

این بدان معناست که x = 2 ریشه معادله خواهد بود. با استفاده از طرح هورنر x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 را بر x - 2 تقسیم کنید:

در نتیجه، x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 را دریافت می کنیم.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

این بدان معنی است که 2 دوباره ریشه خواهد بود. x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 را بر x - 2 تقسیم کنید:

در نتیجه، ما (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 دریافت می کنیم.

بررسی مقسوم‌گیرنده‌های باقی‌مانده منطقی نیست، زیرا تساوی x 2 + 3 x + 3 = 0 برای حل با استفاده از تفکیک‌کننده سریع‌تر و راحت‌تر است.

بیایید معادله درجه دوم را حل کنیم:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

یک جفت ریشه مزدوج پیچیده بدست می آوریم: x = - 3 2 ± i 3 2 .

پاسخ: x = - 3 2 ± i 3 2 .

مثال 3

وضعیت:ریشه های واقعی معادله x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 را پیدا کنید.

راه حل

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

2 3 را در دو طرف معادله ضرب می کنیم:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

متغیرهای y = 2 x را جایگزین کنید:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

در نتیجه یک معادله استاندارد درجه 4 به دست آوردیم که طبق طرح استاندارد قابل حل است. بیایید مقسوم‌گیرنده‌ها را بررسی کنیم، تقسیم کنیم و در نهایت دریافتیم که دارای 2 ریشه واقعی y = - 2، y = 3 و دو ریشه مختلط است. ما در اینجا کل راه حل را ارائه نمی کنیم. به دلیل جانشینی، ریشه های واقعی این معادله x = y 2 = - 2 2 = - 1 و x = y 2 = 3 2 خواهد بود.

پاسخ: x 1 = - 1، x 2 = 3 2

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در نظر بگیریم حل معادلات با یک متغیر درجه بالاتر از متغیر دوم.

درجه معادله P(x) = 0 درجه چند جمله ای P(x) است، یعنی. بزرگترین توان عبارات آن با ضریب مساوی صفر نیست.

بنابراین، برای مثال، معادله (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 دارای درجه پنجم است، زیرا پس از عملیات باز کردن براکت ها و آوردن موارد مشابه، معادله معادل x 5 – 2x 3 + 3 = 0 درجه پنجم را بدست می آوریم.

اجازه دهید قوانینی را که برای حل معادلات درجه بالاتر از دو مورد نیاز است را به یاد بیاوریم.

جملاتی در مورد ریشه های چند جمله ای و مقسوم علیه های آن:

1. یک چند جمله ای درجه n دارای تعداد ریشه هایی است که از n تجاوز نمی کند و ریشه هایی با تعدد m دقیقاً m برابر می شوند.

2. یک چند جمله ای با درجه فرد حداقل یک ریشه واقعی دارد.

3. اگر α ریشه P(x) باشد، آنگاه P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x)، که در آن Q n – 1 (x) چند جمله ای درجه (n – 1) است. .

4.

5. چند جمله ای کاهش یافته با ضرایب صحیح نمی تواند ریشه های گویا کسری داشته باشد.

6. برای چند جمله ای درجه سوم

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d یکی از دو چیز ممکن است: یا به حاصل ضرب سه دوجمله ای تجزیه می شود.

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ)، یا به حاصل ضرب یک دو جمله ای و یک مثلث مربعی تجزیه می شود Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7. هر چند جمله ای درجه چهارم را می توان به حاصل ضرب دو مثلث مربع گسترش داد.

8. یک چند جمله ای f(x) بر یک چند جمله ای g(x) بدون باقیمانده قابل تقسیم است اگر چند جمله ای q(x) وجود داشته باشد به طوری که f(x) = g(x) · q(x). برای تقسیم چند جمله ای ها از قانون "تقسیم گوشه" استفاده می شود.

9. برای اینکه چند جمله ای P(x) بر یک دو جمله ای (x – c) بخش پذیر باشد، کافی و لازم است که عدد c ریشه P(x) باشد (نتیجه قضیه بزوت).

10. قضیه ویتا: اگر x 1، x 2، ...، x n ریشه های واقعی چند جمله ای باشند.

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n، سپس برابری های زیر برقرار است:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0،

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0،

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0،

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

حل مثال ها

مثال 1.

باقیمانده تقسیم P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 بر (x – 1/3) را بیابید.

راه حل.

در نتیجه قضیه بزوت: "باقیمانده یک چند جمله ای تقسیم بر یک دو جمله ای (x - c) برابر است با مقدار چند جمله ای c." بیایید P(1/3) = 0 را پیدا کنیم. بنابراین، باقیمانده 0 و عدد 1/3 ریشه چند جمله ای است.

پاسخ: R = 0.

مثال 2.

با یک "گوشه" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 تقسیم بر (x + 2). ضریب باقیمانده و ناقص را پیدا کنید.

راه حل:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 - x

X 2 - 2 x

پاسخ: R = 3; ضریب: 2x2 – x.

روشهای اساسی برای حل معادلات درجه بالاتر

1. معرفی یک متغیر جدید

روش معرفی یک متغیر جدید از قبل از مثال معادلات دو درجه ای آشنا است. این شامل این واقعیت است که برای حل معادله f(x) = 0، یک متغیر جدید (جایگزینی) t = x n یا t = g(x) معرفی می شود و f(x) از طریق t بیان می شود و معادله جدید r به دست می آید. (t). سپس با حل معادله r(t)، ریشه ها به دست می آیند:

(t 1، t 2، ...، t n). پس از این، مجموعه ای از n معادله q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n به دست می آید که ریشه های معادله اصلی از آنها پیدا می شود.

مثال 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

راه حل:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

تعویض (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2، t 2 = 1. تعویض معکوس:

x 2 + x + 1 = 2 یا x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 یا x 2 + x = 0;

پاسخ: از معادله اول: x 1، 2 = (-1 ± √5)/2، از رابطه دوم: 0 و -1.

2. فاکتورسازی با گروه بندی و فرمول های ضرب اختصاری

اساس این روش نیز جدید نیست و عبارت است از گروه بندی اصطلاحات به گونه ای که هر گروه شامل یک عامل مشترک باشد. برای این کار گاهی لازم است از برخی تکنیک های مصنوعی استفاده شود.

مثال 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

راه حل.

بیایید تصور کنیم - 3x 2 = -2x 2 - x 2 و گروه:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 یا x 2 + x – 3 = 0.

پاسخ: در معادله اول هیچ ریشه ای وجود ندارد، از معادله دوم: x 1، 2 = (-1 ± √13)/2.

3. فاکتورسازی به روش ضرایب نامشخص

ماهیت روش این است که چند جمله ای اصلی با ضرایب مجهول فاکتورسازی می شود. با استفاده از خاصیت مساوی بودن چند جمله ای ها در صورتی که ضرایب آنها در توان های یکسان برابر باشد، ضرایب بسط مجهول پیدا می شود.

مثال 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

راه حل.

یک چند جمله ای درجه 3 را می توان به حاصل ضرب عوامل خطی و درجه دوم گسترش داد.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c)،

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

پس از حل سیستم:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2،

(a = -1،
(b = 3,
(c = 2، به عنوان مثال

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

ریشه های معادله (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 به راحتی پیدا می شود.

پاسخ 1؛ -2.

4. روش انتخاب ریشه با استفاده از ضریب بالاتر و آزاد

این روش مبتنی بر کاربرد قضایای زیر است:

1) هر ریشه صحیح یک چند جمله ای با ضرایب صحیح مقسوم علیه جمله آزاد است.

2) برای اینکه کسر تقلیل ناپذیر p/q (p یک عدد صحیح است، q یک عدد طبیعی است) ریشه یک معادله با ضرایب صحیح باشد، لازم است که عدد p یک مقسوم‌گیرنده صحیح از جمله آزاد a 0 باشد. و q مقسوم علیه طبیعی ضریب پیشرو باشد.

مثال 1.

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

راه حل:

6: q = 1، 2، 3، 6.

بنابراین، p/q = 1±، 2±، 1/2 ±، 1/3 ±، 2/3 ±، 1/6 ±.

با پیدا کردن یک ریشه، به عنوان مثال - 2، ریشه های دیگر را با استفاده از تقسیم گوشه، روش ضرایب نامشخص یا طرح هورنر پیدا خواهیم کرد.

پاسخ: -2; 1/2; 1/3.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

کلاس: 9

اهداف اساسی:

1. مفهوم کل معادله منطقی درجه هفتم را تقویت کنید.
2. روش‌های اساسی برای حل معادلات درجات بالاتر (n > 3).
3. آموزش روش های اساسی برای حل معادلات مرتبه بالاتر.
4. یاد بگیرید که از نوع معادله برای تعیین موثرترین راه حل آن استفاده کنید.

فرم ها، روش ها و تکنیک های آموزشی مورد استفاده معلم در کلاس درس:

• سیستم تدریس سخنرانی - سمینار (سخنرانی - توضیح مطالب جدید، سمینارها - حل مسئله).
• فناوری اطلاعات و ارتباطات (نظرسنجی پیشانی، کار شفاهی با کلاس).
• یادگیری متمایز، اشکال گروهی و فردی.
• استفاده از روش تحقیق در تدریس با هدف توسعه دستگاه ریاضی و توانایی های تفکر هر دانش آموز.
• مطالب چاپی - خلاصه ای مختصر از درس (مفاهیم اساسی، فرمول ها، بیانیه ها، مطالب سخنرانی به شکل نمودار یا جداول فشرده شده است).

طرح درس:

1. زمان سازماندهی
   هدف مرحله: شامل کردن دانش آموزان در فعالیت های آموزشی، تعیین محتوای درس.
2. به روز رسانی دانش دانش آموزان.
   هدف از مرحله: به روز رسانی دانش دانش آموزان در مورد موضوعات مرتبط قبلا مطالعه شده است
3. مطالعه یک موضوع جدید (سخنرانی). هدف مرحله: فرموله کردن روش های اساسی برای حل معادلات درجات بالاتر (n > 3)
4. خلاصه کردن.
   هدف مرحله: یک بار دیگر نکات کلیدی در مطالب مورد مطالعه در درس برجسته شود.
5. مشق شب.
   هدف از مرحله: تدوین تکالیف برای دانش آموزان.

خلاصه درس

1. لحظه سازمانی.

فرمول بندی موضوع درس: «معادلات قدرت های بالاتر. روش‌هایی برای حل آن‌ها.»

2. به روز رسانی دانش دانش آموزان.

نظرسنجی - گفتگو. تکرار برخی از اطلاعات قبلاً مطالعه شده از نظریه. دانش آموزان تعاریف اساسی را تدوین می کنند و قضایای لازم را بیان می کنند. برای نشان دادن سطح دانشی که قبلاً کسب کرده اید مثال هایی بزنید.

• مفهوم معادله با یک متغیر.
• مفهوم ریشه یک معادله، حل یک معادله.
• مفهوم معادله خطی با یک متغیر، مفهوم معادله درجه دوم با یک متغیر.
• مفهوم هم ارزی معادلات، معادلات-پیامدها (مفهوم ریشه های خارجی)، انتقال نه بر اساس پیامد (مورد از دست دادن ریشه ها).
• مفهوم یک عبارت منطقی کامل با یک متغیر.
• مفهوم یک معادله عقلی کامل nدرجه ام شکل استاندارد یک معادله کل منطقی. معادله کل منطقی کاهش یافت.
• انتقال به مجموعه ای از معادلات درجات پایین تر با فاکتورگیری معادله اصلی.
• مفهوم چند جمله ای nدرجه ام از ایکس. قضیه بزوت. نتایج حاصل از قضیه بزوت. قضایای ریشه ( ز-ریشه و س-ریشه ها) یک معادله گویا با ضرایب صحیح (به ترتیب کاهش یافته و کاهش نیافته).
• طرح هورنر

3. مطالعه یک موضوع جدید.

ما کل معادله عقلی را در نظر خواهیم گرفت n-ام قدرت فرم استاندارد با یک متغیر ناشناخته x:Pn(x)= 0، کجا P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- چند جمله ای nدرجه ام از ایکس, آ n ≠ 0. اگر آ n = 1 پس چنین معادله ای معادله گویا عدد صحیح کاهش یافته نامیده می شود nدرجه ام اجازه دهید چنین معادلاتی را برای مقادیر مختلف در نظر بگیریم nو روشهای اصلی برای حل آنها را فهرست کنید.

n= 1 - معادله خطی.

n= 2 - معادله درجه دوم.فرمول تشخیصی فرمول محاسبه ریشه قضیه ویتا انتخاب یک مربع کامل

n= 3 - معادله مکعب.

روش گروه بندی

مثال: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 ایکس 1 = 4 , x 2 = 1,ایکس 3 = -1.

معادله مکعب متقابل فرم تبر 3 + bx 2 + bx + آ= 0. ما با ترکیب عبارت با ضرایب یکسان حل می کنیم.

مثال: ایکس 3 – 5ایکس 2 – 5ایکس + 1 = 0 (ایکس + 1)(ایکس 2 – 6ایکس + 1) = 0 ایکس 1 = -1, ایکس 2 = 3 + 2, ایکس 3 = 3 – 2.

انتخاب ریشه های Z بر اساس قضیه. طرح هورنر هنگام استفاده از این روش، لازم است تأکید شود که جستجو در این مورد محدود است و ریشه ها را با استفاده از الگوریتم خاصی مطابق با قضیه انتخاب می کنیم. ز-ریشه های کل معادله گویا با ضرایب صحیح.

مثال: ایکس 3 – 9ایکس 2 + 23ایکس– 15 = 0. معادله داده شده است. بیایید مقسوم‌کننده‌های عبارت آزاد را بنویسیم ( + 1; + 3; + 5; + 15). بیایید طرح هورنر را اعمال کنیم:

	ایکس 3	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0	نتیجه
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 × 15 - 15 = 0	1 - ریشه
	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0

ما گرفتیم ( ایکس – 1)(ایکس 2 – 8ایکس + 15) = 0 ایکس 1 = 1, ایکس 2 = 3, ایکس 3 = 5.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب ریشه های Q بر اساس قضیه. طرح هورنر هنگام اعمال این روش، لازم است تاکید شود که جستجو در این مورد محدود است و ریشه ها را با استفاده از الگوریتم خاصی مطابق با قضیه در مورد انتخاب می کنیم. س-ریشه های یک معادله گویا عدد صحیح تقلیل نشده با ضرایب صحیح.

مثال: 9 ایکس 3 + 27ایکس 2 – ایکس– 3 = 0. معادله کاهش نیافته است. بیایید مقسوم‌کننده‌های عبارت آزاد را بنویسیم ( + 1; + 3). اجازه دهید مقسوم علیه های ضریب را در بالاترین توان مجهول بنویسیم. ( + 1; + 3; + 9) در نتیجه، ما به دنبال ریشه در میان مقادیر ( + 1; + ; + ; + 3). بیایید طرح هورنر را اعمال کنیم:

	ایکس 3	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0	نتیجه
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 - نه ریشه
-1	9	-1 × 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 - نه ریشه
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	ریشه
	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0

ما گرفتیم ( ایکس – )(9ایکس 2 + 30ایکس + 9) = 0 ایکس 1 = , ایکس 2 = - , ایکس 3 = -3.

برای سهولت محاسبه هنگام انتخاب Q -ریشه هامی تواند راحت باشد که متغیر را تغییر دهید، به معادله داده شده بروید و Z را انتخاب کنید -ریشه ها.

• اگر عبارت ساختگی 1 باشد

.

• اگر می توانید از فرم جایگزین استفاده کنید y = kx

.

فرمول کاردانو یک روش جهانی برای حل معادلات مکعبی وجود دارد - این فرمول کاردانو است. این فرمول با نام های ریاضیدانان ایتالیایی جرولامو کاردانو (1501-1576)، نیکولو تارتالیا (1500-1557)، و اسکیپیون دل فرو (1465-1526) مرتبط است. این فرمول خارج از محدوده درس ما است.

n= 4 – معادله درجه چهارم.

روش گروه بندی

مثال: ایکس 4 + 2ایکس 3 + 5ایکس 2 + 4ایکس – 12 = 0 (ایکس 4 + 2ایکس 3) + (5ایکس 2 + 10ایکس) – (6ایکس + 12) = 0 (ایکس + 2)(ایکس 3 + 5ایکس - 6) = 0 (ایکس + 2)(ایکس– 1)(ایکس 2 + ایکس + 6) = 0 ایکس 1 = -2, ایکس 2 = 1.

روش جایگزینی متغیر

• معادله دو درجه ای فرم تبر 4 + bx 2 + ثانیه = 0 .

مثال: ایکس 4 + 5ایکس 2 – 36 = 0. تعویض y = ایکس 2. از اینجا y 1 = 4, y 2 = -9. از همین رو ایکس 1,2 = + 2 .

• معادله متقابل درجه چهارم فرم تبر 4 + bx 3+c ایکس 2 + bx + آ = 0.

ما با ترکیب عبارت با ضرایب مشابه با جایگزین کردن فرم حل می کنیم

• تبر 4 + bx 3 + cx 2 – bx + آ = 0.

• معادله برگشتی تعمیم یافته درجه چهارم فرم تبر 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• تعویض کلی برخی از جایگزین های استاندارد

مثال 3 . تعویض نمای کلی(از نوع معادله خاص به دست می آید).

n = 3.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب Q-roots n = 3.

فرمول کلی یک روش جهانی برای حل معادلات درجه چهارم وجود دارد. این فرمول با نام لودویکو فراری (1522-1565) مرتبط است. این فرمول خارج از محدوده درس ما است.

n > 5- معادلات درجات پنجم و بالاتر.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب ریشه های Z بر اساس قضیه. طرح هورنر الگوریتم مشابهی است که در بالا توضیح داده شد n = 3.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب Q-rootsبر اساس قضیه طرح هورنر الگوریتم مشابهی است که در بالا توضیح داده شد n = 3.

معادلات متقارن هر معادله متقابلی با درجه فرد ریشه دارد ایکس= -1 و پس از فاکتورگیری آن در فاکتورها متوجه می شویم که یک عامل دارای شکل ( ایکس+ 1) و عامل دوم یک معادله متقابل با درجه زوج است (درجه آن یک درجه کمتر از درجه معادله اصلی است). هر معادله متقابلی با درجه زوج همراه با یک ریشه شکل x = φهمچنین حاوی ریشه گونه است. با استفاده از این عبارات، با کاهش درجه معادله مورد مطالعه، مشکل را حل می کنیم.

روش جایگزینی متغیر استفاده از همگنی

هیچ فرمول کلی برای حل کل معادلات درجه پنجم وجود ندارد (این توسط ریاضیدان ایتالیایی پائولو روفینی (1765-1822) و ریاضیدان نروژی نیلز هنریک آبل (1802-1829) نشان داده شد) و درجات بالاتر (این را نشان داد. ریاضیدان فرانسوی Evariste Galois (1811-1832)).

• اجازه دهید یک بار دیگر یادآوری کنیم که در عمل امکان استفاده وجود دارد ترکیباتروش های ذکر شده در بالا راحت است که به مجموعه ای از معادلات درجات پایین تر منتقل شود فاکتورگیری معادله اصلی.
• خارج از محدوده بحث امروز ما مواردی هستند که به طور گسترده در عمل مورد استفاده قرار می گیرند. روش های گرافیکیحل معادلات و روش های حل تقریبیمعادلات درجات بالاتر
• شرایطی وجود دارد که معادله ریشه R ندارد.
سپس راه حل به این می رسد که نشان دهد معادله ریشه ندارد. برای اثبات این موضوع، رفتار توابع مورد بررسی را در فواصل یکنواختی تحلیل می‌کنیم. مثال: معادله ایکس 8 – ایکس 3 + 1 = 0 هیچ ریشه ای ندارد.
• استفاده از خاصیت یکنواختی توابع
. موقعیت هایی وجود دارد که استفاده از ویژگی های مختلف توابع به شما امکان می دهد کار را ساده کنید.
مثال 1: معادله ایکس 5 + 3ایکس– 4 = 0 یک ریشه دارد ایکس= 1. به دلیل خاصیت یکنواختی توابع تحلیل شده، ریشه دیگری وجود ندارد.
مثال 2: معادله ایکس 4 + (ایکس– 1) 4 = 97 ریشه دارد ایکس 1 = -2 و ایکس 2 = 3. پس از تجزیه و تحلیل رفتار توابع مربوطه در فواصل یکنواختی، نتیجه می گیریم که هیچ ریشه دیگری وجود ندارد.

4. جمع بندی.

خلاصه: اکنون ما بر روش های اساسی برای حل معادلات مختلف درجات بالاتر (برای n) مسلط شده ایم. > 3). وظیفه ما یادگیری نحوه استفاده موثر از الگوریتم های ذکر شده در بالا است. بسته به نوع معادله، ما باید یاد بگیریم که تعیین کنیم کدام روش حل در یک مورد معین مؤثرتر است و همچنین روش انتخاب شده را به درستی اعمال کنیم.

5. تکالیف.

: بند 7، صفحات 164-174، شماره های 33-36، 39-44، 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

موضوعات احتمالی برای گزارش یا چکیده در این موضوع:

• فرمول کاردانو
• روش گرافیکی برای حل معادلات. نمونه هایی از راه حل ها
• روش های حل تقریبی معادلات

تجزیه و تحلیل یادگیری و علاقه دانش آموزان به موضوع:

تجربه نشان می دهد که علاقه دانش آموزان در درجه اول با امکان انتخاب برانگیخته می شود ز-ریشه و س- ریشه معادلات با استفاده از یک الگوریتم نسبتاً ساده با استفاده از طرح هورنر. دانش آموزان همچنین به انواع استاندارد جایگزینی متغیرها علاقه مند هستند که می تواند به طور قابل توجهی نوع مسئله را ساده کند. روش های حل گرافیکی معمولاً مورد توجه خاص هستند. در این مورد، می توانید علاوه بر این، مسائل را با استفاده از یک روش گرافیکی برای حل معادلات تجزیه و تحلیل کنید. در مورد شکل کلی نمودار برای یک چند جمله ای درجه 3، 4، 5 بحث کنید. بررسی کنید که چگونه تعداد ریشه های معادلات 3، 4، 5 درجه با ظاهر نمودار مربوطه مرتبط است. در زیر فهرستی از کتاب ها آمده است که در آن می توانید اطلاعات بیشتری در مورد این موضوع پیدا کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب:

1. ویلنکین N.Ya.و دیگران «جبر. کتاب درسی برای دانش آموزان پایه نهم با مطالعه عمیق ریاضیات" - M., Prosveshchenie, 2007 - 367 p.
2. Vilenkin N.Ya.، Shibasov L.P.، Shibasova Z.F.«پشت صفحات کتاب ریاضی. حسابی. جبر. 10-11 کلاس ها” – M., Education, 2008 – 192 p.
3. ویگودسکی ام.یا."راهنمای ریاضیات" - M., AST, 2010 - 1055 p.
4. گالیتسکی ام.ال.«مجموعه مسائل جبر. کتاب درسی برای کلاس های 8-9 با مطالعه عمیق ریاضیات" - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 p.
5. زواویچ ال.آی.و دیگران «جبر و آغاز تحلیل. کلاس های 8 تا 11 کتابچه راهنمای مدارس و کلاس های با مطالعه پیشرفته ریاضیات - م.، درفا، 1999 - 352 ص.
6. Zvavich L.I.، Averyanov D.I.، Pigarev B.P.، Trushanina T.N."تکالیف ریاضی برای آماده شدن برای امتحان کتبی در کلاس نهم" - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 p.
7. ایوانف A.A., Ivanov A.P."آزمون های موضوعی برای نظام مند کردن دانش در ریاضیات" قسمت 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
8. ایوانف A.A., Ivanov A.P."آزمون های موضوعی برای نظام مند کردن دانش در ریاضیات" قسمت 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
9. ایوانف A.P."تست و تست در ریاضیات. آموزش". – م.، فیزمتکنگا، 1387 – 304 ص.
10. لیبسون K.L.«مجموعه کارهای عملی در ریاضیات. پارت 2-9 نمرات” – M., MTSNM, 2009 – 184 p.
11. Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G."جبر. فصل های اضافی کتاب درسی نهم دبستان. کتاب درسی برای دانش آموزان در مدارس و کلاس ها با مطالعه عمیق ریاضیات. – م.، آموزش و پرورش، 1385 – 224 ص.
12. موردکوویچ A.G."جبر. مطالعه عمیق. کلاس هشتم. کتاب درسی – M., Mnemosyne, 2006 – 296 p.
13. ساوین A.P."فرهنگ دایره المعارف یک ریاضیدان جوان" - M., Pedagogy, 1985 - 352 p.
14. Survillo G.S.، Simonov A.S."مواد آموزشی در مورد جبر برای کلاس 9 با مطالعه عمیق ریاضیات" - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 p.
15. چولکوف P.V.معادلات و نابرابری ها در درس ریاضیات مدرسه. Lectures 1-4” – M., 1 سپتامبر 2006 – 88 p.
16. چولکوف P.V.معادلات و نابرابری ها در درس ریاضیات مدرسه. Lectures 5-8” – M., 1 سپتامبر 2009 – 84 p.