Tämä on sellainen kappale, jonka pinta koostuu äärellisestä määrästä litteitä polygoneja. Monitahoista kutsutaan kupera, jos se sijaitsee kunkin pinnallaan olevan tasomonikulmion tason toisella puolella. Tällaisen tason ja kuperan monikulmion pinnan yhteistä osaa kutsutaan reuna.
Alla olevassa kuvassa näkyy ei-kupera monitahoinen vasemmalla; oikealla olevassa kuvassa - kupera.

Kuperan polyhedronin pinnat ovat litteitä kuperaa monikulmiota. Kasvojen puolia kutsutaan monitahoisen reunat, ja kasvojen kärjet - monitahoisen kärjet.

Prisma

prisma kutsutaan monitahoksi, joka koostuu kahdesta eri tasossa olevasta litteästä monikulmiosta, jotka on yhdistetty rinnakkaissiirrolla, ja kaikista näiden monikulmioiden vastaavia pisteitä yhdistävistä segmenteistä (katso kuva). Monikulmioita kutsutaan prisman pohjat, ja vastaavat kärjet yhdistävät segmentit - prisman sivureunat.

Nimitykset: .
Prisman sivupinta koostuu suunnikasista. Jokaisella niistä on kaksi puolta, jotka ovat pohjan vastaavat sivut, ja kaksi muuta ovat vierekkäisiä sivuripoja. Prisman kantat ovat yhtä suuret ja sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa. Prisman sivureunat ovat yhdensuuntaiset ja tasaiset. Prisman korkeus kutsutaan etäisyydeksi sen kantojen tasojen välillä.
Kutsutaan segmenttiä, joka yhdistää kaksi prisman kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan prisman diagonaali. (Kuvassa - korkeus ja diagonaalit.)
Diagonaaliset osat- nämä ovat prisman poikkileikkauksia tasoilla, jotka kulkevat kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan (katso kuvat).

Prismaa kutsutaan suoraan jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Muuten prismaa kutsutaan vino.
Suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita, suoran prisman korkeus on yhtä suuri kuin sivureuna, lävistäjäleikkaukset ovat suorakulmioita.
Sivupinta prismaa kutsutaan sivupintojen pinta-alojen summaksi. Prisman koko pinta yhtä suuri kuin sivupinnan ja kannan pinta-alojen summa.
Lause 1. Suoran prisman sivupinta on yhtä suuri kuin kannan kehän ja korkeuden tulo eli sivureunan pituus.
Prisman kohtisuora leikkaus kutsumme leikkausta tasoksi, joka on kohtisuorassa prisman sivureunaa vastaan ​​(mikä tarkoittaa, että tämä taso on kohtisuorassa kaikkiin prisman sivureunoihin).
Lause 2. Kaltevan prisman sivupinta on yhtä suuri kuin sivureunan pituuden ja kohtisuoran leikkauksen kehän tulo.
Kuvassa on kohtisuora leikkaus.
S b = H ⋅ P tärkeimmät;
S n = S b + 2 S pää
S b = l ⋅ P ter;
S n = S b + 2 S pää

Ilmeisesti tämä lause pätee myös suoran prisman tapauksessa, koska silloin kohtisuora leikkaus on tason leikkaus, joka on yhdensuuntainen prisman kantojen tasojen kanssa.
Huomaa, että jos tietty monikulmio on prisman kohtisuora leikkaus, niin sen sisäkulmat ovat vastaavien sivupintojen välisten dihedraalisten kulmien lineaariset kulmat.
Suoran prisman tapauksessa sivupintojen välisten dihedraalisten kulmien lineaariset kulmat ovat suoraan pohjan kulmia.
Esimerkki
Kuvassa on suora prisma.

- lineaarinen kulma dihedral kulman kasvojen ja .
Prismaa kutsutaan oikea, Jos:
se perustuu säännölliseen monikulmioon;
prisma on suora.

Suuntaissärmiö

Suuntasärmiö on prisma, joka perustuu suunnikkaaseen.
Suuntasärmiön kaikki pinnat ovat suunnikkaat.
Niitä suuntaissärmiöitä, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, kutsutaan vastapäätä.
Lause 1. Suuntasärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja parilliset.
Suuntasärmiö pysyy suuntaissärmiönä kaikissa tapauksissa, kun tarkastelemme sen perustana mitä tahansa sen pintaa (katso kuva).
Lause 2. Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja leikkauspiste jaetaan puoliksi.
Tästä seuraa, että suuntaissärmiön diagonaalien leikkauspiste on sen symmetriakeskus.
Huomaa: oikeassa suuntaissärmiössä on neljä diagonaalia, jotka ovat pareittain keskenään samansuuruisia.
Kuvassa; .
Tämä seuraa vinon, joten ominaisuuksista - yhtä suuret kohtisuorat pohjan tasoon nähden ABCD.

Jos kaksi suoran suuntaissärmiön lävistäjää tulee naapuripisteistä, niin niistä suurempi on se, joka ulkonee kannan suurempaan lävistäjään eli tylppää kulmaa vastapäätä olevaan suunnikkaaseen. Siksi, jos yllä olevassa kuvassa otetaan huomioon kulma ABC tylsä, mennään, .
Kutsutaan suoraa suuntaissärmiötä, jonka kanta on suorakulmio suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö(katso kuva).

Kaikki kuution pinnat ovat suorakulmioita, jotka voidaan jakaa kolmeen yhtä suureen pariin. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön mielivaltaista pintaa voidaan pitää sen pohjana. Ottaen huomioon, että rinnakkaisessa projektiossa mielivaltainen suuntaissärmiö voidaan esittää mielivaltaisella suuntaissärmiöllä, suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön kuva ei eroa millään tavalla minkään suoran suuntaissärmiön kuvasta.
Ei-samansuuntaisten reunojen pituuksia kutsutaan lineaariset mitat suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön (mittaukset).
Lause 3. Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä kaikki lävistäjät ovat yhtä suuret. Diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa.
Kaikki kuution kaksikulmaiset kulmat ovat suoria kulmia.
Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä on kolme paria yhtä suuria lävistäjäleikkauksia. Jokainen näistä osista on suorakulmio (katso kuvat).

Jokainen leikkauspari leikkaa suoraa viivaa, joka kulkee vastakkaisten pintojen diagonaalien leikkauspisteiden kautta. Näiden pisteiden väliset segmentit ovat yhdensuuntaisia ​​ja yhtä suuria kuin yksi kuution reunasta.
Suorakulmainen kolmio, joka muodostuu suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjästä, sivupinnan lävistäjästä ja pohjan sivusta (katso kuva). Esimerkiksi, .

Suorakaiteen muotoisella suuntaissärmiöllä on symmetriakeskus - tämä on sen diagonaalien leikkauspiste.
Siinä on myös kolme symmetriatasoa, jotka kulkevat symmetriakeskuksen läpi yhdensuuntaisesti kasvojen kanssa.
Kutsutaan suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuutio.
Minkä tahansa kuution diagonaalisen leikkauksen taso on sen symmetriataso. Siten kuutiolla on yhdeksän symmetriatasoa.
Tarkastellaan kuvassa joidenkin suoran suuntaissärmiön elementtien suhteellista sijaintia:

- sivupinnan diagonaalin ja alustan tason välinen kulma ( - kohtisuorassa, - kaltevassa, CD- projektio).
- oikean suuntaissärmiön lävistäjän ja kannan tason välinen kulma ( - kohtisuorassa, - vinossa, AC- projektio).
- diagonaalin kaltevuuskulma sivupintaan ( ILMOITUS- kohtisuora, - vino, - projektio).
Antaa olla oikea suuntaissärmiö (katso kuva), missä ABCD- rombi. Piirrämme sen poikkileikkauksen pohjan diagonaalin läpi kulkevalla tasolla BD ja ylhäältä.

Jaksossa saamme tasakylkisen kolmion.
- dihedraalisen kulman lineaarinen kulma kanta- ja leikkaustasojen välillä. rombin diagonaalien ominaisuudella - kohtisuorassa, - vinossa, NIIN- projektio. Kolmen kohtisuoran lauseen mukaan: .

Pyramidi

Pyramidi kutsutaan polyhedroniksi, joka koostuu litteästä monikulmiosta - pyramidin pohjasta, pisteestä, joka ei ole pohjan tasossa - pyramidin huipusta ja kaikista segmenteistä, jotka yhdistävät pyramidin huipun pohjan pisteisiin . Segmenttejä, jotka yhdistävät pyramidin huipun jalustan huipulle, kutsutaan kylkiluut.
pyramidin korkeus- kohtisuora, joka on pudonnut pyramidin huipulta pohjan tasoon.
Pyramidi on ns n-hiiltä jos sen pohja on n-gon. Kolmiopyramidia kutsutaan myös tetraedri. Pyramidin sivupinnat- kolmio. Yksi sen huipuista on pyramidin huippu ja vastakkainen puoli on pyramidin pohjan sivu.
Kuvan päällä NIIN on pyramidin korkeus. Sitten - sivureunan ja alustan tason välinen kulma ( NIIN- kohtisuorassa, SA- taipuvainen, OA- projektio).

Pyramidin korkeuden tyvestä (pisteet SISÄÄN) piirrä kohtisuora pohjan sivuun (esim. AE). Tämän kohtisuoran kanta (piste F) yhdistä pyramidin huipulle (piste S). Kolmen kohtisuoran lauseen mukaan: . ( NIIN- kohtisuorassa, SP- taipuvainen, OF- projektio, rakentamisen perusteella.) Siksi - dihedraalisen kulman lineaarinen kulma sivupinnan tason välillä ASE ja pohjataso.
Pyramidiongelmien ratkaisemiseksi on erittäin tärkeää selvittää, missä sen korkeuden pohja sijaitsee.
1. Jos vähintään yksi seuraavista ehdoista täyttyy:
pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä suuret;
kaikki sivurivat on kallistettu perustasoon nähden samassa kulmassa;
kaikki sivureunat muodostavat samat kulmat pyramidin korkeuden kanssa;
kaikki sivureunat ovat yhtä kaukana korkeuden pohjasta, jolloin pyramidin korkeuden kanta on pyramidin pohjan ympärille piirretyn ympyrän keskipiste.
Sivujousi l, korkeus H ja säde R ympyrän pohjan ympärille rajattu suorakulmainen kolmio:

Tässä tapauksessa sivupinta löytyy kaavasta , missä l- sivureunan pituus, , ... - tasaiset kulmat yläosassa.
2. Jos vähintään yksi seuraavista ehdoista täyttyy:
kaikki sivupinnat ovat kallistettuina perustasoon nähden samassa kulmassa;
kaikilla sivupinnoilla on sama korkeus;
sivupintojen korkeudet muodostavat samat kulmat pyramidin korkeuden kanssa;
sivupinnat ovat yhtä kaukana korkeuden pohjasta, jolloin korkeuden kanta sijaitsee pyramidin pohjaan piirretyn ympyrän keskellä.
Kuvan päällä - suorakaiteen muotoinen, - piirretyn ympyrän säde sisään A B C D E F;

- pyramidin korkeus, SP- sivupintojen korkeus;
- dihedraalisen kulman lineaarinen kulma sivupinnan ja pohjan tason välillä;
NOIN- kantaan piirretyn ympyrän keskipiste, eli puolittajien leikkauspiste A B C D E F.
Tässä tapauksessa .
3. Jos sivureuna on kohtisuorassa pohjan tasoon nähden, tämä reuna on pyramidin korkeus (katso kuvat).

Tässä tapauksessa Ja - sivuripojen kaltevuuskulmat SB Ja SC vastaavasti perustasoon. on sivupintojen välisen dihedraalisen kulman lineaarinen kulma SAC Ja SBA.
4. Jos sivupinta on kohtisuorassa perustasoon nähden (katso kuva), niin pyramidin korkeus on tämän pinnan korkeus (lauseen "Jos toisessa kahdesta kohtisuorasta tasosta oleva suora viiva on kohtisuorassa niiden leikkausviiva, niin se on kohtisuorassa toiseen tasoon nähden).
5. Jos kaksi sivupintaa ovat kohtisuorassa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin korkeus on niiden yhteinen sivureuna.

Etäisyydet pyramidin korkeuden pohjasta

Etäisyys pyramidin korkeuden pohjasta sivureunaan on pisteestä pudonnut kohtisuora NOIN tällä reunalla (katso kuva). Huomaa: , mutta kuvassa ei saa olla suora: kulmat eivät säily rinnakkaisen suunnittelun aikana.
OF- etäisyys korkeuden pohjasta sivureunaan SE;
PÄÄLLÄ- etäisyys korkeuden pohjasta sivupintaan ASB(Katso alta lisää tästä etäisyydestä.)

, missä on reunan välinen kulma SE ja pohjataso.

Etäisyys korkeuden pohjasta sivupintaan

Antaa , Sitten lause kolmen kohtisuorassa. Siten, AB kohtisuorassa tasoon nähden S.O.K.. Eli jos , niin sitten PÄÄLLÄ kohtisuorassa tasoon nähden ASB.
.
Pyramidi on ns oikea, jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja sen korkeuden kanta on sama kuin monikulmion keskipiste. akseli säännöllistä pyramidia kutsutaan suoraksi viivaksi, joka sisältää sen korkeuden. Säännöllisen pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret, sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita. Pyramidin huipulta vedetyn sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteemi. Se on sivupinnan puolittaja ja mediaani, koska se on tasakylkinen kolmio.
Lause. Säännöllisen pyramidin sivupinta on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja apoteemin tulo.
; ,
Missä R- pohjan kehä, A- pohjapuoli l- apoteemi pituus.
Säännöllinen kolmiopyramidi
Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pohjalla on tasasivuinen kolmio, jota edustaa mielivaltainen kolmio (katso kuva).

Keskipiste on sen puolittajien leikkauspiste, jotka ovat sekä korkeuksia että mediaaneja. Rinnakkaisprojektion mediaaneja edustavat mediaanit. Siksi rakennamme pohjan kaksi mediaania. Niiden leikkauspiste on pyramidin korkeuden kanta. Kuvaamme korkeutta ja yhdistämme sitten pyramidin yläosan pohjan yläosaan. Saamme kylkiluut.
Kuvassa: - sivurivan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden (sama kaikille ripoille); - sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden (sama kaikille pinnoille).
Antaa .
Sitten; ; ;
; ; .
Siksi,.
; .
Aksiaalileikkauksen taso ASD on säännöllisen kolmiopyramidin symmetriataso.
Tämä taso on kohtisuorassa pohjan tasoon ja kasvojen tasoon nähden BSC.
On myös mielenkiintoista huomata, että pyramidin risteävät reunat ( SA Ja eKr, SB Ja AC, SC Ja AB) ovat kohtisuorassa. Jos sitten PÄÄLLÄ on etäisyys korkeuden pohjasta paitsi anatemaan, myös sivupintaan BSC.
.
Säännöllinen nelikulmainen pyramidi
Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjalla on neliö, jota edustaa mielivaltainen suuntaviiva. Sen keskipiste on diagonaalien leikkauspiste. Tämä piste on pyramidin korkeuden perusta.
Anna neliön puolella A(katso kuva).
Sitten;
;
;
;
.

Huomaa: , , eli .
Rinnakkaissuunnittelu säilyttää yhdensuuntaisuuden.
; .
Etäisyys korkeuspohjasta sivupintaan:
; .

Säännöllinen kuusikulmainen pyramidi
Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin ytimessä on säännöllinen kuusikulmio (katso kuva). Sen keskipiste on diagonaalien leikkauspiste. Tämä piste on pyramidin korkeuden perusta.
Sitten;
Anna säännöllisen kuusikulmion sivu A.
;
;

.
; .

Katkaistu pyramidi
Leikattu pyramidi kutsutaan monitahoja, joka jää jäljelle, jos pyramidi, jolla on sama kärki, erotetaan pyramidista kannan suuntaisella tasolla.
Lause. Taso, joka on yhdensuuntainen pyramidin kannan kanssa ja leikkaa sen, katkaisee samanlaisen pyramidin.
Huomaa: jotta leikattu pyramidi voidaan kuvata oikein, sinun on aloitettava alkuperäisen täyden pyramidin kuvasta (katso kuva).

Katkaistun pyramidin pohjat ovat samanlaisia ​​monikulmioita. Sivupinnat - puolisuunnikkaan muotoiset. - katkaistun pyramidin korkeus, - sivupinnan korkeus, - sivureunan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden (mikä tahansa), - sivupinnan kaltevuuskulma alemman tasoon nähden pohja.
Oikea katkaistu pyramidi- tämä on katkaistu pyramidi, joka on otettu pois tavallisesta pyramidista.
Sen lateraaliset rivat ovat yhtä suuret ja kallistuneet pohjan tasoon nähden samassa kulmassa. Sen sivupinnat ovat yhtä suuret kuin tasasivuinen puolisuunnikas ja ovat kaltevia alemman pohjan tasoon nähden samassa kulmassa. Pyramidin sivupintojen korkeuksia kutsutaan apoteemeja.
Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta on yhtä suuri kuin kannan kehän ja apoteemin puolen summan tulo.
, Missä P n ja P- vastaavien tukikohtien kehät, l- apoteemi.
Kuviot esittävät lukuja, joita voi olla erittäin hyödyllistä ottaa huomioon ratkaistaessa katkaistun pyramidin tehtäviä.
;
.

;


- suorakaiteen muotoinen puolisuunnikas.
- katkaistun pyramidin korkeus.
- sivureunan korkeus.

Siinä tapauksessa, että katkaistu pyramidi on säännöllinen, segmentit OD ja ovat rajatun ympyrän säteet ja OF ja - piirretyn ympyrän säteet alemmalle ja ylemmälle kannalle, vastaavasti.

Tavallinen polyhedra

Kuperaa polyhedriaa kutsutaan oikea, jos sen pinnat ovat säännöllisiä monitahoja, joilla on sama määrä sivuja ja sama määrä reunoja, jotka osuvat yhteen monitahoisen jokaisessa kärjessä.
Säännöllisiä kuperia monitahoja on viisi tyyppiä: säännöllinen tetraedri, kuutio, oktaedri, dodekaedri, ikosaedri.
1. Säännöllisellä tetraedrillä on pinnat - säännölliset kolmiot; jokaisessa kärjessä on kolme reunaa. Tetraedri on kolmion muotoinen pyramidi, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret.
2. Kuution kaikki pinnat ovat neliöitä; jokaisessa kärjessä on kolme reunaa. Kuutio on suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, jolla on samat reunat.
3. Oktaedrin pinnat ovat säännöllisiä kolmioita. Jokaisella sen kärjellä on neljä reunaa.
4. Dodekaedrin pinnat ovat säännöllisiä p "yatikutnikkeja. Kolme reunaa osuu yhteen sen jokaisessa kärjessä.
5. Ikosaedrin edessä - säännölliset kolmiot. Jokaisella sen kärjellä on viisi reunaa.
Kuvissa on esimerkkejä säännöllisistä monitahoista nimiineen.

Kunnan oppilaitos

Kuntosali nro 26

Geometria

Polyedrien päätyypit ja niiden ominaisuudet

Esitetty:

9 luokan oppilas

Baisakova Lyazzat

Opettaja:

Sysoeva Elena Alekseevna

Tšeljabinsk

Johdanto

Tähän asti olemme geometrian aikana harjoittaneet planimetriaa - olemme tutkineet litteiden geometristen kuvioiden ominaisuuksia, eli täysin tasossa sijaitsevia kuvioita. Mutta suurin osa ympärillämme olevista esineistä ei ole täysin litteitä, ne sijaitsevat avaruudessa. Geometrian osaa, joka tutkii kuvioiden ominaisuuksia avaruudessa, kutsutaan stereometria ( muusta kreikasta. στερεός, "stereos" - "kiinteä, spatiaalinen" ja μετρέω - "mittaan").

Avaruuden päähahmot ovat piste , suoraan Ja kone. Näiden yksinkertaisten kuvioiden ohella stereometria ottaa huomioon geometriset kappaleet ja niiden pinnat. Kun tutkit geometrisia kappaleita, käytä piirustuksen kuvia.

Kuva 1 Kuva 2

Kuva 1 esittää pyramidia, kuva 2 - kuutiota. Näitä geometrisia kappaleita kutsutaan monitahoinen. Harkitse joitakin polyhedratyyppejä ja ominaisuuksia.

monipuolinen pinta. Polyhedron

Monitahoinen pinta on äärellisen määrän tasopolygonien liitto siten, että minkä tahansa monikulmion jokainen sivu on samanaikaisesti toisen (mutta vain yhden) monikulmion sivu, jota kutsutaan ensimmäisen monikulmion viereiseksi.

Mistä tahansa monikulmioista, jotka muodostavat monitahoisen pinnan, pääsee mihin tahansa toiseen liikkumalla vierekkäisiä polygoneja pitkin.

Monikulmioita, jotka muodostavat monitahoisen pinnan, kutsutaan sen pinnoiksi; polygonien sivuja kutsutaan reunoiksi, ja kärjet ovat monitahoisen pinnan huippuja.

Kuvassa 1 on esitetty määrätyt vaatimukset täyttävien monikulmioiden liitokset, jotka ovat monitahoisia pintoja. Kuva 2 esittää kuvioita, jotka eivät ole monitahoisia pintoja.

Monitahoinen pinta jakaa tilan kahteen osaan - monitahoisen pinnan sisäalueeseen ja ulkoalueeseen. Kahdesta uloimmasta alueesta tulee olemaan yksi, jolle on mahdollista piirtää suoria viivoja, jotka kuuluvat kokonaan alueelle.

5 Monitahoisen pinnan ja sen sisäosan liittoa kutsutaan monitahoiseksi. Tässä tapauksessa monitahoista pintaa ja sen sisäaluetta kutsutaan vastaavasti monitahoisen pinnaksi ja sisäalueeksi. Monitahoisen pinnan pintoja, reunoja ja kärkikohtia kutsutaan vastaavasti monitahoisen pinnaksi, reunoksi ja kärjeksi.

Pyramidi

Monitahoista, jonka yksi pinoista on mielivaltainen monitahoinen ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yksi yhteinen kärki, kutsutaan pyramidiksi.

Monikulmiota kutsutaan pyramidin pohjaksi ja muita pintoja (kolmioita) kutsutaan pyramidin sivupinnoiksi.

On kolmion, nelikulmaisen, viisikulmaisen jne. pyramidit riippuen pyramidin pohjalla olevan monikulmion tyypistä.

Kolmion muotoista pyramidia kutsutaan myös tetraedriksi. Kuvassa 1 on nelikulmainen pyramidi SABCD, jonka pohja on ABCD ja sivupinnat SAB, SBC, SCD, SAD.

Pyramidin pintojen sivuja kutsutaan pyramidin reunoksi. Pyramidin pohjaan kuuluvia kylkiluita kutsutaan perusrivoiksi ja kaikkia muita kylkiluita kutsutaan sivuripoiksi. Kaikkien kolmioiden yhteistä kärkeä (sivupinta) kutsutaan pyramidin huipuksi (kuvassa 1 piste S on pyramidin huippu, segmentit SA, SB, SC, SD ovat sivureunat, segmentit AB, BC , CD, AD ovat pohjan reunat).

Pyramidin korkeus on kohtisuoran segmentti, joka on vedetty pyramidin S huipulta pohjan tasoon (tämän segmentin päät ovat pyramidin huippu ja kohtisuoran kanta). Kuvassa 1 SO - pyramidin korkeus.

Oikea pyramidi. Pyramidia kutsutaan säännölliseksi, jos pyramidin kanta on säännöllinen monikulmio ja kärjen ortogonaalinen projektio kannan tasoon osuu pyramidin pohjalla olevan monikulmion keskipisteen kanssa.

Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret; kaikki sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta, joka on vedetty sen huipulta, kutsutaan tämän pyramidin apoteemiksi. Kuvassa 2 SN on apoteemi. Kaikki säännöllisen pyramidin apoteemit ovat keskenään samanarvoisia.

Prisma

Monitahoinen, jonka kaksi pintaa ovat yhtä suuret n-gonit makaavat yhdensuuntaisissa tasoissa ja loput n kasvot - suunnikkaat, ns n- hiiliprisma.

monitahoinen pyramidiprisma suuntaissärmiö

Pari yhtäläistä n-goneja kutsutaan prisman kannaksi. Prisman muita pintoja kutsutaan sen sivupinnoiksi ja niiden liittämistä kutsutaan prisman sivupinnaksi. Kuvassa 1 on viisikulmainen prisma.

Prisman pintojen sivuja kutsutaan ripoiksi ja ripojen päitä prisman pisteiksi. Reunoja, jotka eivät kuulu prisman pohjaan, kutsutaan sivureunoksi.

Prismaa, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa kannan tasoihin nähden, kutsutaan suoraksi prismaksi. Muuten prismaa kutsutaan vinoksi.

Prisman kantojen tasoihin nähden kohtisuorassa olevaa segmenttiä, jonka päät kuuluvat näihin tasoihin, kutsutaan prisman korkeudeksi.

Suoraa prismaa, jonka kanta on säännöllinen monikulmio, kutsutaan säännölliseksi prismaksi.

Suuntaissärmiö

Suuntasärmiö on heksaedri, jonka vastakkaiset pinnat ovat pareittain yhdensuuntaiset. Suuntaissärmiö siinä on 8 kärkeä, 12 reunaa; sen pinnat ovat pareittain yhtä suuret suunnikkaat.

Suuntaissärmiö kutsutaan suoraksi, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa pohjan tasoon nähden (tässä tapauksessa 4 sivupintaa ovat suorakulmioita); suorakaiteen muotoinen, jos suuntaissärmiö suora viiva ja suorakulmio toimivat pohjana (siis 6 pintaa ovat suorakulmioita);

Suuntaissärmiö, jonka kaikki pinnat ovat neliöitä, kutsutaan kuutioksi.

Äänenvoimakkuus Suuntaissärmiö on yhtä suuri kuin sen pohjan pinta-alan ja sen korkeuden tulo.

kehon tilavuus

Jokaisella polyhedronilla on tilavuus, joka voidaan mitata valitulla tilavuusyksiköllä. Tilavuuksien mittayksiköksi otetaan kuutio, jonka reuna on yhtä suuri kuin segmenttien mittayksikkö. Kuutiota, jonka reuna on 1 cm, kutsutaan kuutiosenttimetriä. Samalla tavalla määritelty kuutiometri Ja kuutiomillimetri, jne.

Mittattaessa tilavuuksia valitulla mittayksiköllä kehon tilavuus ilmaistaan ​​positiivisena numerona, joka osoittaa kuinka monta tilavuuden mittayksikköä ja sen osia mahtuu tähän kappaleeseen. Rungon tilavuutta ilmaiseva luku riippuu tilavuuden mittausyksikön valinnasta. Siksi tilavuuksien mittayksikkö on merkitty tämän numeron jälkeen.

Volyymien tärkeimmät ominaisuudet:

1. Samansuuruisilla kappaleilla on sama tilavuus.

2. Jos kappale koostuu useista kappaleista, niin sen tilavuus on yhtä suuri kuin näiden kappaleiden tilavuuksien summa.

Kappaleiden tilavuuksien löytämiseksi on useissa tapauksissa kätevää käyttää lausetta nimeltä Cavalierin periaate .

Cavalierin periaate on seuraava: jos kahden kappaleen leikkauspisteessä minkä tahansa tason kanssa, joka on yhdensuuntainen jonkin tietyn tason kanssa, saadaan yhtä suuret osat, niin kappaleiden tilavuudet ovat keskenään yhtä suuret.

Johtopäätös

Joten polyhedra tutkii geometrian osaa, jota kutsutaan stereometriaksi. Polyhedraa on eri tyyppejä (pyramidi, prisma jne.) ja niillä on erilaisia ​​ominaisuuksia. On myös huomattava, että polyhedrillä, toisin kuin litteillä hahmoilla, on tilavuus ja ne sijaitsevat avaruudessa.

Suurin osa ympärillämme olevista esineistä on avaruudessa, ja monitahojen tutkiminen auttaa meitä saamaan käsityksen ympärillämme olevasta todellisuudesta geometrian suhteen.

Bibliografia

1. Geometria. Oppikirja luokille 7-9.

3. Wikipedia

Polyhedron- kappale, jonka pinta koostuu äärellisestä määrästä monikulmioita, joita kutsutaan monitahojen pinoiksi. Näiden monikulmioiden sivuja ja kärkejä kutsutaan vastaavasti polyhedronin reunoksi ja kärjeksi, pintojen lukumäärän mukaan erotetaan 4-hedrat, 5-hedrat jne. Janaa, joka yhdistää kaksi kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan, kutsutaan monitahoisen diagonaaliksi.

Monitahoisen löydön historia juontaa juurensa antiikin ajoista. Ensimmäinen maininta polyhedrasta tunnetaan jo kolme tuhatta vuotta eKr. Egyptissä ja Babylonissa.

Monitahoinen on spatiaalinen hahmo (spatial body), joka visuaalisesti tulee kuvitella osana tilaa, jonka miehittää fyysinen kappale ja jota rajaa pinta. Polyhedraa tutkitaan kiinteän geometrian osiossa. Geometrian ala, joka tutkii tilahahmojen sijaintia, muotoa, kokoa ja ominaisuuksia. Sana "stereometria" tulee kreikan sanoista "στερεοσ" - tilavuus, tila ja "μετρεο" - mitta.

Esimerkkejä polyhedraista ovat:

Kuutio- monitahoinen, jonka pinta koostuu kuudesta neliöstä Kuutiolla (säännöllinen heksaedri) on kaikki pinnat - neliöt; kolme reunaa konvergoi jokaisessa kärjessä. Kuutio on suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, jolla on yhtäläiset reunat, suuntaissärmiön ja prisman erikoistapaus. Kuutiossa on 12 reunaa, 6 pintaa, 8 kärkeä.

Suuntaissärmiö- monitahoinen, jonka pinta koostuu kuudesta suunnikkaasta. Suuntasärmiön pintoja, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, kutsutaan vastakkaisiksi. Suuntaissärmiöllä on vastakkaiset pinnat, jotka ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret. Suuntasärmiön lävistäjä, kuten monitahoinen, on yleensä segmentti, joka yhdistää suuntaissärmiön kärjet, jotka eivät ole sen yhdellä pinnalla.

kuutiomainen- suuntaissärmiö, jonka pinnat ovat suorakulmioita Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön yhdestä kärjestä lähtevien reunojen pituuksia kutsutaan sen mitoiksi tai lineaarimittauksiksi. Kuutiolla on kolme ulottuvuutta.

Oikea suuntaissärmiö- tämä on suuntaissärmiö, jossa on 4 suorakulmiota sivupinnalla.

Kalteva laatikko on suuntaissärmiö, jonka sivupinnat eivät ole kohtisuorassa kantaan nähden.

Prisma- monikulmio, jonka pinta koostuu kahdesta yhtä suuresta monikulmiosta, joita kutsutaan prisman kannaksi, ja suunnikasista, joilla on yhteiset sivut kummankin kannan kanssa. Monikulmioita kutsutaan prisman kammiksi ja niitä vastaavia kärkejä yhdistäviä segmenttejä ovat sivut Prisman kantat ovat yhtä suuret ja sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa. Prisman sivureunat ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset. Prisman pinta koostuu kahdesta pohjasta ja sivupinnasta. Minkä tahansa prisman sivupinta koostuu suunnikasista, joista jokaisella on kaksi puolta vastaavista kannan sivuista ja kaksi muuta ovat vierekkäisiä sivureunoja. prisma on mikä tahansa kohtisuora, joka on piirretty prisman yhden kannan pisteestä prisman toisen kannan tasoon.

suora prisma- kutsutaan, jos sen reunat ovat kohtisuorassa kantajen tasoihin nähden. Muuten prismaa kutsutaan vinoksi. Sivupinnat ovat suorakulmioita. Suoran prisman sivureuna on sen korkeus.

Oikea prisma- suora prisma, jonka kantat ovat säännöllisiä monikulmioita.

Pyramidi- monitahoinen, jonka pinta koostuu monikulmiosta, jota kutsutaan pyramidin pohjaksi, ja kolmioista, joilla on yhteinen kärki. Segmenttejä, jotka yhdistävät pyramidin yläosan pohjan yläosaan, kutsutaan sivureunoksi. Pyramidin pinta koostuu pohjasta ja sivupinnasta. Jokainen sivupinta on kolmio. Yksi sen huipuista on pyramidin huippu ja vastakkainen puoli on pyramidin pohjan sivu. Pyramidin korkeudeksi kutsutaan kohtisuoraa, joka on vedetty pyramidin huipulta pohjan tasoon ja pyramidia kutsutaan n-kulmaiseksi, jos sen kanta on n-kulmio. Kolmion muotoista pyramidia kutsutaan myös tetraedriksi.

Oikea pyramidi- pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja jonka kaikki sivureunat ovat yhtä suuret. Säännöllisen pyramidin akseli on suora, joka sisältää sen korkeuden. Säännöllisen pyramidin sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita. Säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta, joka on vedetty sen ylhäältä pohjan sivulle, kutsutaan apoteemiksi.

Platonin kiinteät aineet- Monitahoista, jonka kaikki pinnat ovat säännöllisiä ja yhtä suuria monikulmioita, kutsutaan säännöllisiksi. Kulmat tällaisen monitahoisen kärjessä ovat keskenään yhtä suuret.

Tavallisia polyhedraja on viisi tyyppiä. Muinainen kreikkalainen filosofi Platon kuvaili nämä polyhedrat ja niiden ominaisuudet yli kaksi tuhatta vuotta sitten, mikä selittää niiden yleisen nimen.

Jokainen säännöllinen monitaho vastaa toista säännöllistä monitahoa, jonka pintojen määrä on yhtä suuri kuin tietyn polyhedronin kärkien lukumäärä. Reunojen määrä molemmille polyhedraille on sama. Nämä sisältävät:

Tetraedri (tuli) on säännöllinen tetraedri. Sitä rajoittaa neljä tasasivuista kolmiota (tämä on säännöllinen kolmiopyramidi) Tetraedrillä on 4 pintaa, 4 kärkeä ja 6 reunaa.

Säännöllisellä tetraedrillä on pinnat - säännölliset kolmiot; Säännöllinen tetraedri on yksi viidestä säännöllisestä polyhedrasta.

Oktaedri (ilma)- säännöllinen oktaedri. Se koostuu kahdeksasta tasasivuisesta ja yhtä suuresta kolmiosta, joita yhdistää neljä kussakin kärjessä. Oktaedrin pinnat ovat säännölliset kolmiot, mutta toisin kuin tetraedrin, neljä reunaa suppenee jokaisessa sen kärjessä. Säännöllinen oktaedri on kaksoiskappale kuution kanssa. Se on tetraedrin täydellinen katkaisu. Säännöllinen oktaedri on neliön muotoinen kaksoispyramidi missä tahansa kolmesta ortogonaalisesta suunnasta. Se on myös kolmion muotoinen antiprisma missä tahansa neljästä suunnasta.Oktaedri on kolmiulotteinen versio yleisemmästä hyperoktaedrista.

Heksaedri (maa)- oikea kuusikulmio. Se on kuutio, joka koostuu kuudesta yhtä suuresta neliöstä.

Dodekaedri- säännöllinen dodekaedri, koostuu kahdestatoista säännöllisestä ja yhtä suuresta viisikulmiosta, jotka on yhdistetty kolmella lähellä kutakin kärkeä. Dodekaedrilla on 12 pintaa (viisikulmainen), 30 reunaa ja 20 kärkeä (3 reunaa suppenee kussakin).

Ikosaedri (vesi)- koostuu 20 tasasivuisesta ja yhtä suuresta kolmiosta, joita yhdistää viisi jokaisen kärjen lähellä. Reunojen lukumäärä on 30, pisteiden lukumäärä 12. Ikosaedrissa on 59 stellatiota.

Polyhedrat ovat joko kuperia tai ei-kupera. Monitahoista kutsutaan kuperaksi, jos se sijaitsee kunkin pinnansa tason toisella puolella. Tetraedri, suuntaissärmiö ja oktaedri ovat kuperia monitahoja.On selvää, että kuperan monitahoisen kaikki pinnat ovat kuperia monikulmio. Voidaan helposti todistaa, että kuperassa monitahossa kaikkien tasokulmien summa kussakin sen kärjessä on pienempi kuin 360°.

Kuperalle polyhedrille on totta Eulerin lause B + G − P = 2, missä B on monitahoisen kärkien lukumäärä, G on pintojen lukumäärä, P on reunojen lukumäärä.

Kuperaa monitahoista, jonka kaikki kärjet sijaitsevat kahdessa yhdensuuntaisessa tasossa, kutsutaan prismatoidiksi. Prisma, pyramidi ja katkaistu pyramidi ovat prismatoidin erikoistapauksia. Kaikki prismatoidin sivupinnat ovat kolmioita tai nelikulmioita, ja nelikulmaiset pinnat ovat puolisuunnikkaita tai suunnikkaita.

Monitahoinen on myös jaettu säännölliseen ja epäsäännölliseen. Monitahoista kutsutaan säännölliseksi, jos sen pinnat ovat säännöllisiä monikulmioita (eli niitä, joissa kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret) ja kaikki monitahoiset kulmat pisteissä ovat yhtä suuret. Säännölliset polyhedrat ovat olleet tiedossa muinaisista ajoista lähtien. Säännöllisiä polyhedraja tutkivat suurelta osin muinaiset kreikkalaiset. Eukleides antoi täydellisen matemaattisen kuvauksen säännöllisistä monitahoista viimeisessä, XIII Alkukirjassa. On myös puolisäännöllinen polyhedra- Yleisesti ottaen nämä ovat erilaisia ​​kuperia monikulmioita, joilla, vaikka ne eivät ole säännöllisiä, on joitain piirteitään, esimerkiksi: kaikki pinnat ovat tasa-arvoisia, tai kaikki pinnat ovat säännöllisiä monikulmioita tai on tiettyjä tilasymmetrioita. Määritelmä voi vaihdella ja sisältää erilaisia ​​polyhedratyyppejä, mutta ensisijaisesti tämä sisältää Arkhimedoksen kiinteät aineet.

Tähtipolyhedron ( Tähtirunko on ei-kupera monitahoinen, jonka pinnat leikkaavat toisiaan. Kuten ei-stellaattiset polyhedrat, pinnat yhdistetään pareittain reunoista (tässä tapauksessa sisäisiä leikkausviivoja ei pidetä reunoilla). Monitahoisen tähtimuoto on monitahoinen, joka saadaan pidentää tietyn monitahoisen pinnat reunojen läpi niiden seuraavaan syntymiseen asti. leikkaus muiden kasvojen kanssa uusia reunoja pitkin.

Tavallinen tähtipolyhedra ovat tähtikuvioita, joiden pinnat ovat identtisiä (yhtenäisiä) säännöllisiä tai tähtikuvioita. Toisin kuin viisi klassista säännöllistä polyhedraa (platoniset kiinteät aineet), nämä polyhedrat eivät ole kuperia kiinteitä aineita.

Vuonna 1811 Augustin Lou Cauchy totesi, että on olemassa vain 4 säännöllistä tähtikappaletta (niitä kutsutaan Kepler-Poinsot-kappaleiksi), jotka eivät ole platonisten ja tähtikappaleiden yhdisteitä. Näitä ovat Johannes Keplerin vuonna 1619 löytämä pieni tähtikuvioinen dodekaedri ja suuri tähtikuvioinen dodekaedri sekä Louis Poinsotin vuonna 1809 löytämä suuri dodekaedri ja suuri ikosaedri. Jäljelle jääneet säännölliset tähtipolyhedrat ovat joko platonisten kiinteiden aineiden yhdisteitä tai Kepler-Poinsot-kiinteiden aineiden yhdisteitä.

Puolisäännöllinen tähtipolyhedra ovat tähtikuvioita, joiden pinnat ovat säännöllisiä tai tähtikuvioita, mutta eivät välttämättä identtisiä. Tässä tapauksessa kaikkien kärkien rakenteen on oltava sama (homogeenisuusehto). G. Coxeter, M. Longuet-Higgins ja J. Miller listasivat vuonna 1954 53 tällaista ruumista ja esittivät hypoteesin luettelon täydellisyydestä. Vasta paljon myöhemmin, vuonna 1969, Sopov S.P. onnistui todistamaan, että heidän esittämänsä monitahoisten luettelo on todella täydellinen.

Luonto itse ehdottaa monia monitahoisten monitahojen muotoja. Esimerkiksi lumihiutaleet ovat litteitä heijastuksia tähtikuvioisista polyhedraista. Joillakin molekyyleillä on kolmiulotteisten hahmojen oikeat rakenteet.

Polyhedran ominaisuudet:

Ominaisuus 1. Kuperassa monitahossa kaikki pinnat ovat kuperia polygoneja.

Ominaisuus 2. Kupera monitaho voi koostua pyramideista, joilla on yhteinen kärki ja joiden kantat muodostavat monitahoisen pinnan.

Ominaisuus 3. Kupera monitahoinen on kunkin pinnansa tason toisella puolella.

Ominaisuus 4. Jokaisessa kuperassa monitahoisessa on pinta, jonka reunojen lukumäärä on pienempi tai yhtä suuri kuin viisi.

Kaikkia lueteltuja polyhedratyyppejä ei tutkita ja sovelleta peruskoulussa. Useimmiten matematiikan tunneilla opiskelijat tutustuvat kuutioon, monikulmioon, pyramidiin, sylinteriin, suuntaissärmiöön. Esimerkki oppikirjojen kirjoittajista on Istomina A.I. Luokka 3, Dorofeev G.V., Mirakova T.N., Buka T.B. Luokka 3, Demidova T.E., Kozlova S.A., Tonkikh A.P. luokka 3; he myös aloittavat, tutustuvat toisella luokalla, tämä on esimerkki oppikirjoista Dorofeev G.V., Mirakova T.N. Luokka 2

Näin ollen tarkastelimme polyhedronin käsitteitä ja sen ominaisuuksia. Luetteloi polyhedratyypit. Tutustuimme monitahoisen löydön historiaan. Todettiin, että polyhedrat ovat erittäin tärkeitä luonnossa ja ihmisille. Joten esimerkiksi polyhedraa käytetään rakentamisessa.

Kolmi- ja monitahoiset kulmat:
Kolmikulmainen kulma on muoto
muodostuu kolmesta tasosta, joita rajoittaa kolme sädettä, jotka lähtevät
yksi piste eikä valehtele yhdessä
lentokoneita.
Harkitse tasaista
monikulmio ja piste sen ulkopuolella
tämän monikulmion taso.
Vedetään säteitä tästä pisteestä,
kulkee huippujen läpi
monikulmio. Saadaan kuva
jota kutsutaan monitahoiseksi
kulma.

Kolmikulmainen kulma on osa tilaa
jota rajoittaa kolme tasaista kulmaa, joissa on yhteinen
kokous
Ja
pareittain
yleistä
juhlia,
Ei
makaa samassa tasossa. Yhteinen alkuun Tietoja näistä
kulmat
nimeltään
kokous
kolmikantainen
kulma.
Kulmien sivuja kutsutaan reunoiksi, litteiksi kulmiksi
kolmiokulman kärjessä kutsutaan sen
kasvot. Jokainen kolmikulmaisen kulman kolmesta pintaparista
muodostaa dihedraalisen kulman

Kolmikulmaisen kulman perusominaisuudet
1. Kolmikulmaisen kulman jokainen tasokulma on pienempi kuin summa
sen kaksi muuta litteää kulmaa.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - tasaiset kulmat,
A, B, C - tasoista koostuvat dihedraaliset kulmat
kulmat β ja γ, α ja γ, α ja β.
2. Kolmikulmaisen kulman tasokulmien summa on pienempi kuin
360 astetta
3. Ensimmäinen kosinilause
kolmiokulmalle
4. Kolmikulmaisen kulman toinen kosinilause

,
5. Sinilause
Monitahoinen kulma, jonka sisäpuoli on
sijaitsevat kunkin tason toisella puolella
sen pintaa kutsutaan kuperaksi monitahoiseksi
kulma. Muuten monitahoinen kulma
kutsutaan ei-konveksiksi.

Monitaho on kappale, pinta
joka koostuu äärellisestä luvusta
litteitä polygoneja.

Monitahoiset elementit
Monitahoisen pinnat ovat
monikulmiot että
muodossa.
Monitahoisen reunat ovat sivuja
monikulmiot.
Monitahoisen kärjet ovat
monikulmion kärjet.
Monitahoisen diagonaali on
jana, joka yhdistää 2 kärkeä
eivät kuulu samoihin kasvoihin.

Polyhedra
kupera
ei-kupera

Monitahoista kutsutaan kuperaksi,
jos se on toisella puolella
kunkin sen monikulmion taso
pinnat.

KUPERAT MONITARISET KULMAT

Monitahoista kulmaa kutsutaan kuperaksi, jos se on kupera
kuva, eli yhdessä minkä tahansa kahden pisteensä kanssa se sisältää kokonaan ja
niitä yhdistävä linja.
Kuvassa on esimerkkejä
kupera
Ja
ei-kupera
monitahoiset kulmat.
Lause. Kuperan monitahoisen kulman kaikkien tasokulmien summa on pienempi kuin 360°.

KUPERAT POLYTOOPIT

Kulmapolyedria kutsutaan kuperaksi, jos se on kupera,
eli yhdessä minkä tahansa kahden pisteensä kanssa se sisältää kokonaan liitoksen
heidän segmenttinsä.
Kuutio, suuntaissärmiö, kolmioprisma ja pyramidi ovat kuperia
monitahoinen.
Kuvassa on esimerkkejä kuperasta ja ei-kuperasta pyramidista.

KIINTEISTÖ 1

Ominaisuus 1. Kuperassa monitahoisessa kaikki pinnat ovat
kuperat monikulmiot.
Todellakin, olkoon F jokin monitahoisen pinta
M, ja pisteet A, B kuuluvat kasvoon F. Konveksiteettiehdosta
polyhedron M, tästä seuraa, että segmentti AB sisältyy kokonaan
monitahoisessa M. Koska tämä segmentti on tasossa
monikulmio F, se sisältyy kokonaan tähän
monikulmio, eli F on kupera monikulmio.

KIINTEISTÖ 2

Ominaisuus 2. Mikä tahansa kupera polyhedri voi koostua
pyramidit, joilla on yhteinen kärki, joiden pohjat muodostavat pinnan
monitahoinen.
Todellakin, olkoon M kupera monitaho. Otetaan vähän
monitahoisen M sisäpiste S, eli sen piste, joka ei ole
ei kuulu mihinkään monitahoisen M pintaan. Yhdistämme pisteen S kanssa
monitahoisen M kärjet segmentteinä. Huomaa, että kuperuuden vuoksi
polyhedron M, kaikki nämä segmentit sisältyvät M. Tarkastellaan pyramideja
kärki S, jonka kantat ovat monitahoisen M pinnat. Nämä
pyramidit sisältyvät kokonaan M:ään ja yhdessä ne muodostavat monitahoisen M.

Tavallinen polyhedra

Jos monitahoisen pinnat ovat
säännölliset polygonit yhdellä ja
sama määrä sivuja ja jokaisessa kärjessä
monitaho konvergoi saman luvun
reunat, sitten kupera monitaho
kutsutaan oikeaksi.

Polyhedrien nimet

tuli muinaisesta Kreikasta,
ne osoittavat kasvojen määrän:
"hedra" kasvot;
"tetra" 4;
"heksa" 6;
"okta" 8;
"ikosa" 20;
dodeka 12.

säännöllinen tetraedri

Riisi. 1
Koostuu neljästä
tasasivuinen
kolmiot. Jokainen
sen yläosa on
kolmen kärjessä
kolmiot.
Siksi summa
tasaiset kulmat
jokainen kärkipiste on yhtä suuri kuin
180º.

Säännöllinen oktaedri
Riisi. 2
Koostuu kahdeksasta
tasasivuinen
kolmiot. Jokainen
oktaedrin kärki
on huippu
neljä kolmiota.
Siksi summa
tasaiset kulmat
jokainen kärki 240º.

Säännöllinen ikosaedri
Riisi. 3
Koostuu kahdestakymmenestä
tasasivuinen
kolmiot. Jokainen
ikosaedrin kärki
on viisi parasta
kolmiot.
Siksi summa
tasaiset kulmat
jokainen kärkipiste on yhtä suuri kuin
300º.

Kuutio (heksaedri)

Riisi.
4
Koostuu kuudesta
neliöitä. Jokainen
kuution yläosa on
kolmen ruudun yläosassa.
Siksi summa
tasaiset kulmat kullekin
yläkulma on 270º.

Säännöllinen dodekaedri
Riisi. 5
Koostuu kahdestatoista
oikea
viisikulmioita. Jokainen
dodekaedrin kärki
on kolmen huippu
oikea
viisikulmioita.
Siksi summa
tasaiset kulmat
jokainen kärkipiste on yhtä suuri kuin
324º.

Taulukko 1
Oikea
monitahoinen
Määrä
kasvot
huiput
kylkiluut
Tetraedri
4
4
6
Kuutio
6
8
12
Oktaedri
8
6
12
Dodekaedri
12
20
30
ikosaedri
20
12
30

Eulerin kaava
Minkä tahansa kasvojen ja kärkien lukumäärän summa
monitahoinen
on yhtä kuin reunojen lukumäärä plus 2.
G+W=R+2
Kasvojen lukumäärä plus kärkien määrä miinus numero
kylkiluut
missä tahansa polyhedrissä on 2.
H+W R=2

Taulukko numero 2
Määrä
Oikea
monitahoinen
Tetraedri
kasvot ja
huiput
(G+V)
kylkiluut
(R)
4+4=8
6
"tetra" 4;
Kuutio
6 + 8 = 14
12
"heksa"
6;
Oktaedri
8 + 6 = 14
12
"okta"
Dodekaedri
12 + 20 = 32
30
dodeka"
12.
30
"ikosa"
20
ikosaedri
20 + 12 = 32
8

Säännöllisten monitahojen kaksinaisuus

Heksaedri (kuutio) ja oktaedri muodostuvat
polyhedra-kaksoispari. Määrä
yhden polyhedronin pinnat on yhtä suuri kuin luku
toisen kärjet ja päinvastoin.

Ota mikä tahansa kuutio ja harkitse monitahoista
kärjet sen kasvojen keskipisteissä. Kuinka helppoa
varmista, että saamme oktaedrin.

Oktaedrin pintojen keskipisteet toimivat kuution kärkipisteinä.

Polyhedrat luonnossa, kemiassa ja biologiassa
Joidenkin meille tuttujen aineiden kiteet ovat säännöllisten monitahojen muodossa.
Kristalli
rikkikiisu-
luonnollinen
malli
dodekaedri.
kiteitä
ruoanlaitto
suolat kulkevat
kuution muoto.
Yksikiteinen
antimonia
Kristalli
alumiinisulfaatti
(prisma)
kaliumalunanatrium - tetraedri.
on muotoa
oktaedri.
Molekyylissä
metaanilla on
muodossa
oikea
tetraedri.
Ikosaedri on ollut biologien huomion keskipisteenä heidän muotokiistassaan
viruksia. Virus ei voi olla täysin pyöreä, kuten aiemmin luultiin. Vastaanottaja
muodostaakseen sen muodon he ottivat erilaisia ​​monitahoja, suuntasivat valoa niihin
samoissa kulmissa kuin atomien virtaus virukseen. Kävi ilmi, että vain yksi
monitahoinen antaa täsmälleen saman varjon - ikosaedrin.
Munanjakoprosessissa muodostuu ensin neljän solun tetraedri, sitten
gastrulan oktaedri, kuutio ja lopuksi dodekaedri-ikosaedrirakenne. Ja lopuksi
ehkä tärkein asia - elämän geneettisen koodin DNA-rakenne - edustaa
pyörivän dodekaedrin neliulotteinen pyyhkäisy (aika-akselia pitkin)!

Polyhedra taiteessa
"Monna Lisan muotokuva"
Piirustuksen sommittelu perustuu kultaiseen
kolmiot, jotka ovat osia
tavallinen tähtikuvioinen viisikulmio.
kaiverrus "Melankolia"
Maalauksen etualalla
kuvattu dodekaedri.
"Viimeinen ehtoollinen"
Kristus opetuslastensa kanssa on kuvattu
taustalla valtava läpinäkyvä dodekaedri.

Polyhedra arkkitehtuurissa
Hedelmämuseot
Yamanashin hedelmämuseo luotiin avulla
3D-mallinnus.
pyramidit
Aleksandrian majakka
Spasskaja torni
Kremlin.
Nelikerroksinen Spasskaja-torni ja Vapahtajan kirkko
Ei käsin tehty - Kazanin Kremlin pääsisäänkäynti.
Pihkovan arkkitehdit Ivan pystyttivät sen 1500-luvulla
Shiryayem ja Postnik Yakovlev, lempinimeltään
"Barma". Tornin neljä kerrosta ovat
kuutio, polyhedra ja pyramidi.