Kun suorakulmaisen kolmion ratkaisutehtävät pohdittiin, lupasin esitellä tekniikan sinin ja kosinin määritelmien muistamiseen. Sen avulla muistat aina nopeasti, mikä jalka kuuluu hypotenuusaan (viereinen tai vastapäätä). Päätin, etten lykkää sitä loputtomiin, tarvittava materiaali on alla, lue se 😉
Tosiasia on, että olen toistuvasti havainnut, kuinka 10-11-luokkien oppilailla on vaikeuksia muistaa nämä määritelmät. He muistavat hyvin, että jalka viittaa hypotenuusaan, mutta kumpi- unohda ja hämmentynyt. Virheen hinta on, kuten kokeessa tiedät, menetetty pistemäärä.
Tiedolla, jonka esitän suoraan matematiikalle, ei ole mitään tekemistä. Se liittyy figuratiiviseen ajatteluun ja verbaal-loogisen yhteyden menetelmiin. Juuri niin, minä itsekin muistan kerta kaikkiaanmääritelmätiedot. Jos unohdat ne silti, esiteltyjen tekniikoiden avulla se on aina helppo muistaa.
Muistutan sinua sinin ja kosinin määritelmät suorakulmaisessa kolmiossa:
Kosini suorakulmaisen kolmion terävä kulma on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
Joten mitä assosiaatioita sana kosini herättää sinussa?
Luultavasti jokaisella on omansaMuista linkki:
Siten sinulla on välittömästi ilmaus muistissasi -
«… vierekkäisen jalan suhde hypotenuusaan».
Kosinin määritelmän ongelma on ratkaistu.
Jos sinun on muistettava suoran kolmion sinin määritelmä, muistamalla kosinin määritelmä, voit helposti todeta, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan. Jalkojahan on vain kaksi, jos viereisen haaran "varaa" kosini, niin sinille jää vain vastakkainen puoli.
Entä tangentti ja kotangentti? Sama hämmennys. Opiskelijat tietävät, että tämä on jalkojen suhde, mutta ongelmana on muistaa, kumpi viittaa mihinkin - joko vastapäätä viereistä vai päinvastoin.
Määritelmät:
Tangentti suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
Kotangentti suorakulmaisen kolmion terävä kulma on viereisen jalan suhde vastakkaiseen:
Kuinka muistaa? On kaksi tapaa. Toinen käyttää myös verbaal-loogista yhteyttä, toinen - matemaattista.
MATEMAATTINEN MENETELMÄ
On olemassa tällainen määritelmä - terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:
* Kun muistat kaavan, voit aina määrittää, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen.
Samoin.Terävän kulman kotangentti on kulman kosinin suhde sen siniin:
Niin! Kun muistat nämä kaavat, voit aina määrittää, että:
- suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen
- suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.
VERBAALILOOGINEN MENETELMÄ
Tietoja tangentista. Muista linkki:
Eli jos sinun on muistettava tangentin määritelmä, käyttämällä tätä loogista yhteyttä, voit helposti muistaa, mikä se on
"... vastakkaisen jalan suhde viereiseen"
Jos kyse on kotangentista, muistamalla tangentin määritelmän voit helposti ilmaista kotangentin määritelmän -
"... viereisen jalan suhde vastakkaiseen"
Sivustolla on mielenkiintoinen tekniikka tangentin ja kotangentin muistamiseen " Matemaattinen tandem " , Katso.
MENETELMÄ UNIVERSAL
Voit vain jauhaa.Mutta kuten käytäntö osoittaa, sanallisten ja loogisten yhteyksien ansiosta ihminen muistaa tiedot pitkään, eikä vain matemaattisia.
Toivottavasti materiaalista oli sinulle hyötyä.
Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh
P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.
Ohje
Menetelmä 1. Pythagoraan lauseen käyttö. Lause sanoo: hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin summa jalkojen neliöt. Tästä seuraa, että mikä tahansa suorakulmaisen kolmion sivuista voidaan laskea tietäen sen kaksi muuta sivua (kuva 2).
Menetelmä 2. Siitä seuraa, että mediaani, joka on vedetty hypotenuusaan, muodostaa 3 samanlaista kolmiota keskenään (kuva 3). Tässä kuvassa kolmiot ABC, BCD ja ACD ovat samanlaisia.
Esimerkki 6: Yksikköympyröiden käyttö koordinaattien etsimiseen
Ensin löydetään annettua kulmaa vastaava vertailukulma. Sitten otamme vertailukulman sini- ja kosiniarvot ja annamme niille merkit, jotka vastaavat kvadrantin y- ja x-arvoja. Seuraavaksi löydämme annetun kulman kosinin ja sinin.
Seulakulma, kulmakolmio ja kuutionjuuri
Monikulmiot, jotka voidaan rakentaa kompassilla ja suoraviivalla, ovat mm.Huomaa: seulakulmaa ei voi piirtää kompassilla ja suoraviivalla. Kun kuution sivun pituus kerrotaan kuution juurella 2, saadaan kuution sivupituus, jonka tilavuus on kaksinkertainen. Käyttämällä ranskalaisen matemaatikon Évariste Galois'n innovatiivista teoriaa voidaan osoittaa, että kaikissa kolmessa klassisessa tehtävässä rakentaminen ympyrällä ja viivalla on mahdotonta.
Hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion sivu, joka on vastapäätä 90 asteen kulmaa. Sen pituuden laskemiseksi riittää, että tietää yhden jalan pituus ja yhden kolmion terävän kulman arvo.
Muista: kolmikomponenttinen kulma- ja kuutiojuurirakenne ei ole mahdollista kompassilla ja suoraviivalla. 
Toisaalta Cardanon kaavan mukaisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisu voidaan esittää jakamalla kulma ja kuutiojuuri. Tulevaisuudessa rakennamme jonkin kulman ympyrän ja viivaimen avulla. Kuitenkin tämän kulman kolmion ja kuutiojuuren määrittämisen jälkeen seulaneliön rakentaminen voidaan tehdä kompassin ja suoraviivan avulla.
Hilakannen rakentaminen tämän laskelman mukaan
Rakennusongelman algebrallinen muotoilu johtaa yhtälöön, jonka rakenneanalyysi antaa lisätietoa kolmiosaisen rakenteen rakentamisesta. Tässä käytetään kulman yksi-yhteen-suhdetta sen kosiniin: jos kulman suuruus tiedetään, kulman kosinin pituus voidaan konstruoida yksiselitteisesti yksikköympyrään ja päinvastoin.
Ohje
Tunnetulla haaralla ja suorakulmaisen kolmion terävällä kulmalla hypotenuusan koko voi olla yhtä suuri kuin jalan suhde tämän kulman kosiniin / siniin, jos tämä kulma on sitä vastapäätä / sen vieressä:
h = C1(tai C2)/sina;
h = С1(tai С2)/cosα.
Esimerkki: Annettu suorakulmainen kolmio ABC hypotenuusalla AB ja suoralla kulmalla C. Olkoon kulma B 60 astetta ja kulma A 30 astetta. Jalan BC pituus on 8 cm. Laske hypotenuusan AB pituus. Voit tehdä tämän käyttämällä mitä tahansa yllä ehdotetuista menetelmistä:
Tämän yksitellen tehtävän avulla voit siirtyä kulman määrittelystä kulman kosinin määrittelyyn. Seuraavassa 3 φ tarkoittaa jaettavaa kulmaa. Siten φ on kulma, jonka arvo on määritettävä annetulle 3 φ:lle. Alkaen trigonometriasta tunnetuista yhdisteistä.
Seuraa tietyssä kulmassa 3 φ. Kolmiulotteisen yhtälön ratkaistavuuden algebrallinen tarkastelu johtaa suoraan kysymykseen ratkaisujen muodostamisen mahdollisuudesta ja siten kysymykseen tietyn kulman konstruktiivisen kolmoiskulman mahdollisuudesta tai mahdottomuudesta.
AB=BC/cos60=8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
Hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion sivu, joka on oikeaa kulmaa vastapäätä. Se on suorakulmaisen kolmion pisin sivu. Voit laskea sen käyttämällä Pythagoraan lausetta tai käyttämällä trigonometristen funktioiden kaavoja.
Poistumiskulman arvolla on suuri vaikutus mahdollisuuteen yhdistää kolmas kulma, koska tämä absoluuttisena terminä määrää ratkaisevasti kolmiulotteisen yhtälön ratkaisujen tyypin. Jos kolmiomittausyhtälössä on ainakin yksi todellinen ratkaisu, joka voidaan saada rationaalisilla operaatioilla tai neliöjuurikuviolla tietylle alkukulmalle, tämä ratkaisu on konstruktiivinen.
Breidenbach muotoili kriteeriksi, että kolmen sekunnin kulma voidaan tulkita vain kolmiosaisen yhtälön rationaalisessa ratkaisussa. Jos tällaista ratkaisua ei ole saatavilla, kolmiosaisen rakenteen ongelma on ristiriidassa kompassin ja viivaimen kanssa. Klusterianalyysi on yleinen tekniikka pienten ryhmien kokoamiseen suuresta tietojoukosta. Erotteluanalyysin tapaan klusterianalyysiä käytetään myös havaintojen luokittelemiseen ryhmiin. Toisaalta syrjivä analyysi edellyttää ryhmien jäsenyyksien tuntemista tapauksissa, joissa luokittelusääntö johdetaan.
Ohje
Jalkoja kutsutaan suorakulmaisen kolmion sivuiksi, jotka ovat suoran kulman vieressä. Kuvassa jalat on merkitty AB:ksi ja BC:ksi. Olkoon molempien jalkojen pituudet annettu. Merkitään ne |AB|:lla ja |BC|. Hypotenuusan |AC| pituuden löytämiseksi käytämme Pythagoraan lausetta. Tämän lauseen mukaan jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö, ts. piirustuksemme merkinnöissä |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Kaavasta saadaan, että hypotenuusan AC pituus on |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .
Klusterianalyysi on primitiivisempi menetelmä, koska se ei tee oletuksia ryhmien lukumäärästä tai ryhmän jäsenyydestä. Luokitusklusterianalyysi tarjoaa tavan löytää mahdollisia suhteita ja luoda systemaattinen rakenne useiden muuttujien ja havaintojen kesken. Hierarkkinen klusterianalyysi on tärkein tilastollinen menetelmä suhteellisen homogeenisten tapausklustereiden löytämiseksi mitattujen ominaisuuksien perusteella. Se alkaa jokaisesta tapauksesta erillisenä klusterina.
Klusterit yhdistetään sitten peräkkäin, ja klusterien määrä pienenee joka askeleella, kunnes jäljellä on vain yksi klusteri. Klusterointimenetelmä käyttää objektien välisiä eroja muodostamaan klustereita. Hierarkkinen klusterianalyysi on paras pienille näytteille.
Harkitse esimerkkiä. Olkoon jalkojen pituudet |AB| = 13, |BC| = 21. Pythagoraan lauseella saadaan, että |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. numerosta 610: |AC| = √610. Käyttämällä kokonaislukujen neliötaulukkoa saamme selville, että luku 610 ei ole minkään kokonaisluvun täydellinen neliö. Saadaksemme hypotenuusan pituuden lopullisen arvon, yritetään ottaa täysi neliö juuren merkin alta. Tätä varten jaamme luvun 610 tekijöiksi. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Alkulukutaulukon mukaan näemme, että 61 on alkuluku. Siksi luvun √610 lisääminen on mahdotonta. Saamme lopullisen vastauksen |AC| = √610.
Jos hypotenuusan neliö olisi esimerkiksi 675, niin √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Jos tällainen heitto on mahdollista, suorita käänteinen tarkistus - neliöi tulos ja vertaa alkuperäiseen arvoon.
Hierarkkinen klusterianalyysi on vain yksi tapa tarkkailla homogeenisten muuttujaryhmien muodostumista. Ei ole erityistä tapaa määrittää klusterien määrää analyysiäsi varten. Saatat joutua tarkastelemaan dendrogrammia sekä klusterien ominaisuuksia ja säätämään sitten lukua portaittain saadaksesi hyvän klusteriratkaisun.
Kun muuttujia mitataan eri asteikoilla, sinulla on kolme tapaa standardoida muuttujat. Seurauksena on, että kaikki muuttujat suunnilleen yhtä suurilla suhteilla osallistuvat etäisyyden mittaukseen, vaikka saatat menettää tietoa muuttujien varianssista.
Kerro meille yksi jaloista ja sen vieressä oleva kulma. Varmuuden vuoksi olkoon se jalka |AB| ja kulma α. Sitten voimme käyttää trigonometrisen funktion kosinin kaavaa - kulman kosini on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde hypotenuusaan. Nuo. merkinnässämme cos α = |AB| / |AC|. Tästä saamme hypotenuusan pituuden |AC| = |AB| / cosα.
Jos tunnemme jalan |BC| ja kulma α, niin käytämme kaavaa kulman sinin laskemiseen - kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan: sin α = |BC| / |AC|. Saamme, että hypotenuusan pituus on |AC| = |BC| / cosα.
Euklidinen etäisyys: Euklidinen etäisyys on yleisin mittausmenetelmä. Neliöllinen euklidinen etäisyys: Neliöity euklidinen etäisyys keskittää huomion kauempana toisistaan oleviin objekteihin. Kaupunkikorttelin etäisyys: Sekä kaupunginkorttelit että euklidinen etäisyys ovat Minkowski-metriikan erikoistapauksia. Euklidinen etäisyys vastaa lyhimmän reitin pituutta kahden pisteen välillä, kun taas kaupunkikorttelin etäisyys on kunkin ulottuvuuden etäisyyksien summa. Pearsonin korrelaatioetäisyys Ero 1:n ja kahden havainnon kosinikertoimen välillä Kosinikerroin on kahden vektorin välisen kulman kosini. Jaccard-etäisyys Ero 1:n ja Jacquard-kertoimen välillä kahdelle havainnolle Binääritiedoissa Jaccard-kerroin on yhtä suuri kuin päällekkäisyyden määrän ja kahden havainnon summan suhde. Lähin naapuri Tämä menetelmä olettaa, että kahden klusterin välinen etäisyys vastaa niiden lähimmän naapuruston kohteiden välistä etäisyyttä. Paras naapuri Tässä menetelmässä kahden klusterin välinen etäisyys vastaa eri klusterissa olevien kahden objektin välistä maksimietäisyyttä. Ryhmän keskiarvo: Tällä menetelmällä kahden klusterin välinen etäisyys vastaa eri klustereissa olevien objektiparien keskimääräistä etäisyyttä. Tätä menetelmää suositellaan yleensä, koska se sisältää enemmän tietoa. Mediaani Tämä menetelmä on identtinen sentroidimenetelmän kanssa, paitsi että se on painottamaton. Sitten kullekin tapaukselle lasketaan neliöllinen euklidinen etäisyys klusterin keskiarvoon. Yhdistettävä klusteri on se, joka lisää vähintään summaa. Toisin sanoen tämä menetelmä minimoi klustereiden sisällä olevien neliöetäisyyksien kokonaissumman kasvun. Tällä menetelmällä on taipumus luoda pienempiä klustereita.
- Tämä on geometrinen etäisyys moniulotteisessa avaruudessa.
- Se sopii vain jatkuville muuttujille.
- Kosinietäisyys Kahden arvovektorin välisen kulman kosini.
- Tätä menetelmää suositellaan piirrettäessä piirrettyjä klustereita.
- Jos piirretyt klusterit muodostavat uniikkeja "möykkyjä", menetelmä on sopiva.
- Klusterisentroidi on moniulotteisen avaruuden keskipiste.
- Sitä ei tule käyttää, jos klusterin koot ovat hyvin erilaisia.
- Ward Mean -arvot kaikille muuttujille lasketaan jokaiselle klusterille.
- Nämä etäisyydet lasketaan yhteen kaikissa tapauksissa.
Selvyyden vuoksi harkitse esimerkkiä. Olkoon jalan pituus |AB| = 15. Ja kulma α = 60°. Saamme |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Mieti, kuinka voit tarkistaa tuloksesi Pythagoraan lauseen avulla. Tätä varten meidän on laskettava toisen jalan pituus |BC|. Käyttämällä kaavaa kulman tangentille tg α = |BC| / |AC|, saamme |BC| = |AB| *tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Seuraavaksi sovellamme Pythagoraan lausetta, saamme 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Varmistus on tehty.
Sinifunktio määritellään sinin käsitteestä, koska kulma on aina ilmaistava radiaaneina. Voimme havaita useita sinifunktion ominaisuuksia.
- Verkkotunnuksesi sisältää kaiken todellisen.
- Tässä tapauksessa funktion sanotaan olevan jaksollinen, jaksolla 2π.
Voimme havaita useita kosinifunktion ominaisuuksia. Tämä on siis 2π:n jaksollinen jakso. . Rajoitus ei poista kaavan yleisyyttä, koska voimme aina pienentää toisen, kolmannen ja neljännen kvadrantin kulmat ensimmäiseen. Harjoitus. - Laske 15º:n sini ilman laskinta.
Kun olet laskenut hypotenuusan, tarkista, täyttääkö saatu arvo Pythagoraan lauseen.
Lähteet:
- Taulukko alkuluvuista 1 - 10 000
Jalat Nimeä suorakulmaisen kolmion kaksi lyhyttä sivua, jotka muodostavat sen kärjen, joiden arvo on 90 °. Tällaisen kolmion kolmatta sivua kutsutaan hypotenuusaksi. Kaikki nämä kolmion sivut ja kulmat liittyvät toisiinsa tietyillä suhteilla, joiden avulla voit laskea jalan pituuden, jos tunnetaan useita muita parametreja.
Kahden kulman summan kosini
Kahden kulman eron kosini
Kaavan saamiseksi voimme edetä samalla tavalla kuin edellisessä osiossa, mutta näemme toisen hyvin yksinkertaisen Pythagoraan lauseeseen perustuvan esityksen. Meillä on yksinkertaistaminen ja merkin muuttaminen Kahden kulman tangentin summa ja erotus.Harjoitus. Tämänpäiväisessä artikkelissa tarkastellaan hyvin erityistä osajoukkoa: trigonometriset funktiot. Jotta voimme nauttia kaikesta, mitä matematiikalla on tarjota, meidän on tuotava se. Näemme seuraavassa artikkelissa muita tuontityylejä, joista jokaisella on omat etunsa ja haittansa. Mutta tällä yksinkertaisella ohjeella sinulla on jo pääsy koko matematiikan moduulin nimiavaruuteen, joka on täynnä kymmeniä toimintoja, mukaan lukien ne, joita käsittelemme tänään.
Ohje
Käytä Pythagoraan lausetta laskeaksesi haaran (A) pituus, jos tiedät suorakulmaisen kolmion kahden muun sivun (B ja C) pituuden. Tämä lause sanoo, että jalkojen pituuksien neliösumma on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö. Tästä seuraa, että kunkin haaran pituus on yhtä suuri kuin hypotenuusan ja toisen haaran pituuksien neliöiden erotuksen neliöjuuri: A=√(C²-B²).
Pohjimmiltaan meidän on laskettava kulman sini, kosini ja tangentti sekä sen käänteisfunktiot. Lisäksi haluaisimme pystyä työskentelemään sekä radiaaneissa että asteina, jotta voimme käyttää myös sopivia muunnosfunktioita.
Muista, että nämä funktiot odottavat argumentin olevan radiaaneina, ei asteina. Tätä varten sinua kiinnostaa tietää, että sinulla on seuraava vakio. Joten voimme käyttää tätä lauseketta numeerisen arvon sijasta.
Kosekantilla, sekantilla ja kotangentilla ei ole suoraa funktiota, koska tämä ei ole välttämätöntä, koska ne ovat yksinkertaisesti sinin, kosinin ja tangentin käänteisarvo. Kuten aiemmin, myös palautettu kulma on radiaaneina. Toinen hyödyllinen matematiikan funktio antaa meille mahdollisuuden tietää suorakulmaisen kolmion hypotenuusan arvon sen jaloineen, minkä avulla voimme laskea niiden neliöiden summan neliöjuuren.
Käytä suoran trigonometrisen funktion "sini" määritelmää terävälle kulmille, jos tiedät laskettua haaraa vastapäätä olevan kulman arvon (α) ja hypotenuusan pituuden (C). Tämä määritelmä sanoo, että tämän tunnetun kulman sini on yhtä suuri kuin halutun haaran pituuden suhde hypotenuusan pituuteen. Tämä tarkoittaa, että halutun haaran pituus on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden ja tunnetun kulman sinin tulo: A=C∗sin(α). Samoille tunnetuille arvoille voidaan käyttää kosekanttifunktion määritelmää ja laskea haluttu pituus jakamalla hypotenuusan pituus tunnetun kulman A=C/cosec(α) kosekantilla.
Käytä suoran trigonometrisen funktion kosinin määritelmää, jos hypotenuusan (C) pituuden lisäksi tunnetaan myös halutun haaran vieressä olevan terävän kulman (β) arvo. Tämän kulman kosini määritellään halutun jalan ja hypotenuusan pituuksien suhteeksi, ja tästä voidaan päätellä, että jalan pituus on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden ja tunnetun kosinin tulo. kulma: A=C∗cos(β). Voit käyttää sekanttifunktion määritelmää ja laskea halutun arvon jakamalla hypotenuusan pituuden tunnetun kulman A=C/s(β) sekantilla.
Johda tarvittava kaava samanlaisesta määritelmästä trigonometrisen funktion tangentin derivaatalle, jos haluttua haaraa (A) vastapäätä olevan terävän kulman (α) arvon lisäksi toisen haaran (B) pituus on tiedossa. Haluttua haaraa vastakkaisen kulman tangentti on tämän haaran pituuden suhde toisen haaran pituuteen. Tämä tarkoittaa, että haluttu arvo on yhtä suuri kuin tunnetun haaran pituuden ja tunnetun kulman tangentin tulo: A=B∗tg(α). Näistä samoista tunnetuista suureista voidaan johtaa toinen kaava käyttämällä kotangenttifunktion määritelmää. Tässä tapauksessa jalan pituuden laskemiseksi on tarpeen löytää tunnetun haaran pituuden suhde tunnetun kulman kotangenttiin: A=B/ctg(α).
Liittyvät videot
Sana "katet" tuli venäjäksi kreikasta. Tarkassa käännöksessä se tarkoittaa luotiviivaa, toisin sanoen kohtisuoraa maan pintaan nähden. Matematiikassa jalkoja kutsutaan sivuiksi, jotka muodostavat suoran kolmion suoran kulman. Tätä kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi. Termiä "jalka" käytetään myös arkkitehtuurissa ja hitsaustekniikassa.
Piirrä suorakulmainen kolmio ACB. Merkitse sen jalat a ja b ja merkitse sen hypotenuusa c. Suorakulmaisen kolmion kaikki sivut ja kulmat on yhdistetty tietyillä suhteilla. Terävän kulman vastapäätä olevan jalan suhdetta hypotenuusaan kutsutaan tämän kulman siniksi. Tässä kolmiossa sinCAB=a/c. Kosini on suhde viereisen haaran hypotenuusaan, eli cosCAB=b/c. Käänteisiä suhteita kutsutaan sekantiksi ja kosekantiksi.
Tämän kulman sekantti saadaan jakamalla hypotenuusa viereisellä haaralla, eli secCAB=c/b. Osoittautuu kosinin käänteisluku, eli se voidaan ilmaista kaavalla secCAB=1/cosSAB.
Kosekantti on yhtä suuri kuin hypotenuusan jakaminen vastakkaisella jalalla ja on sinin käänteisluku. Se voidaan laskea kaavalla cosecCAB=1/sinCAB
Molemmat jalat on yhdistetty tangentilla ja kotangentilla. AT Tämä tapaus tangentti on sivun a suhde sivuun b, eli viereisen haaran vastakkainen jalka. Tämä suhde voidaan ilmaista kaavalla tgCAB=a/b. Vastaavasti käänteissuhde on kotangentti: ctgCAB=b/a.
Muinainen kreikkalainen matemaatikko Pythagoras määritti hypotenuusan ja molempien jalkojen koon välisen suhteen. Hänen mukaansa nimetty lause on edelleen ihmisten käytössä. Siinä sanotaan, että hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa, eli c2 \u003d a2 + b2. Vastaavasti jokainen haara on yhtä suuri kuin hypotenuusan ja toisen jalan neliöiden välisen eron neliöjuuri. Tämä kaava voidaan kirjoittaa muodossa b=√(c2-a2).
Jalan pituus voidaan ilmaista myös tuntemillasi suhteilla. Sinien ja kosinien lauseiden mukaan jalka on yhtä suuri kuin hypotenuusan ja yhden näistä funktioista tulo. Se voidaan ilmaista myös tangenttina tai kotangenttina. Jalka a löytyy esimerkiksi kaavasta a \u003d b * tan CAB. Täsmälleen samalla tavalla, riippuen annetusta tangentista tai kotangentista, määritetään toinen haara.
Arkkitehtuurissa käytetään myös termiä "jalka". Sitä käytetään ionipääkaupunkiin ja se tarkoittaa luotiviivaa sen selän keskellä. Eli tässä tapauksessa tämä termi tarkoittaa kohtisuoraa tiettyyn viivaan nähden.
Hitsaustekniikassa on käsite "jalkafilehitsaus". Kuten muissakin tapauksissa, tämä on lyhin etäisyys. Tässä puhutaan yhden hitsattavan osan välisestä rakosta toisen osan pinnalla olevan sauman reunaan.
Liittyvät videot
Lähteet:
- mikä on jalka ja hypotenuusa
Liittyvät videot
Huomautus
Kun lasketaan suorakulmaisen kolmion sivuja, sen ominaisuuksien tuntemus voi pelata:
1) Jos suoran kulman haara on 30 asteen kulmaa vastapäätä, se on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta;
2) hypotenuusa on aina pidempi kuin mikään jalka;
3) Jos ympyrä on rajattu suorakulmaisen kolmion ympärille, sen keskipisteen on oltava hypotenuusan keskellä.
Kun suorakulmaisen kolmion ratkaisutehtävät pohdittiin, lupasin esitellä tekniikan sinin ja kosinin määritelmien muistamiseen. Sen avulla muistat aina nopeasti, mikä jalka kuuluu hypotenuusaan (viereinen tai vastapäätä). Päätin, etten lykkää sitä loputtomiin, tarvittava materiaali on alla, lue se 😉
Tosiasia on, että olen toistuvasti havainnut, kuinka 10-11-luokkien oppilailla on vaikeuksia muistaa nämä määritelmät. He muistavat erittäin hyvin, että jalka viittaa hypotenuusaan, mutta kumman he unohtavat ja hämmentynyt. Virheen hinta on, kuten kokeessa tiedät, menetetty pistemäärä.
Tiedolla, jonka esitän suoraan matematiikalle, ei ole mitään tekemistä. Se liittyy figuratiiviseen ajatteluun ja verbaal-loogisen yhteyden menetelmiin. Juuri niin, minä itsekin muistan kerta kaikkiaan määritelmätiedot. Jos unohdat ne silti, esiteltyjen tekniikoiden avulla se on aina helppo muistaa.
Muistutan sinua sinin ja kosinin määritelmät suorakulmaisessa kolmiossa:
Kosini suorakulmaisen kolmion terävä kulma on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
Joten mitä assosiaatioita sana kosini herättää sinussa?
Luultavasti jokaisella on omansa Muista linkki:
Siten sinulla on välittömästi ilmaus muistissasi -
«… vierekkäisen jalan suhde hypotenuusaan».
Kosinin määritelmän ongelma on ratkaistu.
Jos sinun on muistettava suoran kolmion sinin määritelmä, muistamalla kosinin määritelmä, voit helposti todeta, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan. Jalkojahan on vain kaksi, jos viereisen haaran "varaa" kosini, niin sinille jää vain vastakkainen puoli.
Entä tangentti ja kotangentti? Sama hämmennys. Opiskelijat tietävät, että tämä on jalkojen suhde, mutta ongelmana on muistaa, kumpi viittaa mihinkin - joko vastapäätä viereistä vai päinvastoin.
Määritelmät:
Tangentti suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
Kotangentti suorakulmaisen kolmion terävä kulma on viereisen jalan suhde vastakkaiseen:
Kuinka muistaa? On kaksi tapaa. Toinen käyttää myös verbaal-loogista yhteyttä, toinen - matemaattista.
MATEMAATTINEN MENETELMÄ
On olemassa tällainen määritelmä - terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:
* Kun muistat kaavan, voit aina määrittää, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen.
Samoin. Terävän kulman kotangentti on kulman kosinin suhde sen siniin:
Niin! Kun muistat nämä kaavat, voit aina määrittää, että:
Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen
Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen haaran ja vastakkaisen haaran suhde.
VERBAALILOOGINEN MENETELMÄ
Tietoja tangentista. Muista linkki:
Eli jos sinun on muistettava tangentin määritelmä, käyttämällä tätä loogista yhteyttä, voit helposti muistaa, mikä se on
"... vastakkaisen jalan suhde viereiseen"
Jos kyse on kotangentista, muistamalla tangentin määritelmän voit helposti ilmaista kotangentin määritelmän -
"... viereisen jalan suhde vastakkaiseen"
Sivustolla on mielenkiintoinen tekniikka tangentin ja kotangentin muistamiseen " Matemaattinen tandem " , Katso.
MENETELMÄ UNIVERSAL
Voit vain jauhaa. Mutta kuten käytäntö osoittaa, sanallisten ja loogisten yhteyksien ansiosta ihminen muistaa tiedot pitkään, eikä vain matemaattisia.
Toivottavasti materiaalista oli sinulle hyötyä.
Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh
P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.
Keskitaso
Suorakulmainen kolmio. Täydellinen kuvitettu opas (2019)
SUORAKULMAINEN KOLMIO. ENSIMMÄINEN TASO.
Ongelmissa suora kulma ei ole ollenkaan välttämätön - alempi vasen, joten sinun on opittava tunnistamaan suorakulmainen kolmio tässä muodossa,
ja sellaisissa
ja sellaisissa 
Mitä hyvää suorakulmaisessa kolmiossa on? No... Ensinnäkin hänen juhliillaan on erityisiä kauniita nimiä.
Huomio piirustukseen!
Muista äläkä sekoita: jalat - kaksi ja hypotenuusa - vain yksi(ainoa, ainutlaatuinen ja pisin)!
No, keskustelimme nimistä, nyt tärkein asia: Pythagoraan lause.
Pythagoraan lause.
Tämä lause on avain monien suorakulmaiseen kolmioon liittyvien ongelmien ratkaisemiseen. Pythagoras todisti sen täysin ikimuistoisina aikoina, ja siitä lähtien se on tuonut monia etuja niille, jotka sen tuntevat. Ja parasta hänessä on, että hän on yksinkertainen.
Niin, Pythagoraan lause:
Muistatko vitsin: "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia joka puolelta!"?
Piirretään nämä hyvin pythagoralaiset housut ja katsotaan niitä. 
Näyttääkö se todella shortsilta? No, millä puolella ja missä ne ovat tasa-arvoisia? Miksi ja mistä vitsi tuli? Ja tämä vitsi liittyy juuri Pythagoraan lauseeseen, tarkemmin sanottuna tapaan, jolla Pythagoras itse muotoili lauseensa. Ja hän muotoili sen näin:
"Summa neliöiden pinta-ala, rakennettu jalkoihin, on yhtä suuri kuin neliön alue rakennettu hypotenuusalle.
Eikö se kuulosta hieman erilaiselta, eikö? Ja niin, kun Pythagoras piirsi lauseensa lausunnon, juuri tällainen kuva osoittautui.
Tässä kuvassa pienten neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin suuren neliön pinta-ala. Ja jotta lapset muistavat paremmin, että jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö, joku nokkela keksi tämän vitsin Pythagoran housuista.
Miksi muotoilemme nyt Pythagoraan lausetta
Kärsikö Pythagoras ja puhuiko neliöistä?
Muinaisina aikoina ei ollut... algebraa! Ei ollut merkkejä ja niin edelleen. Ei ollut kirjoituksia. Voitteko kuvitella, kuinka kauheaa oli muinaisten köyhien opiskelijoiden muistaa kaikki sanoin??! Ja voimme olla iloisia, että meillä on yksinkertainen Pythagoraan lauseen muotoilu. Toistetaan se uudelleen muistaakseni paremmin:
Nyt sen pitäisi olla helppoa:
| Hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa. |
No, tärkein lause suorakulmaisesta kolmiosta keskusteltiin. Jos olet kiinnostunut kuinka se todistetaan, lue seuraavat teoriatasot, ja nyt mennään... trigonometrian pimeään metsään! Kauheisiin sanoihin sini, kosini, tangentti ja kotangentti.
Sini, kosini, tangentti, kotangentti suorakulmaisessa kolmiossa.
Itse asiassa kaikki ei ole ollenkaan niin pelottavaa. Tietenkin sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin "todellista" määritelmää tulisi tarkastella artikkelissa. Mutta et todellakaan halua, ethän? Voimme iloita: ratkaistaksesi suorakulmaista kolmiota koskevat ongelmat, voit yksinkertaisesti täyttää seuraavat yksinkertaiset asiat:
Miksi kaikki on kiinni nurkasta? Missä kulma on? Tämän ymmärtämiseksi sinun on tiedettävä, kuinka lauseet 1 - 4 kirjoitetaan sanoin. Katso, ymmärrä ja muista!
1.
Se itse asiassa kuulostaa tältä:
Entä kulma? Onko kulmaa vastapäätä oleva jalka, toisin sanoen vastakkainen jalka (kulmalle)? Tietysti on! Tämä on kateti!
Mutta entä kulma? Katso tarkkaan. Mikä jalka on kulman vieressä? Tietysti kissa. Joten kulman osalta jalka on vierekkäinen ja
Ja nyt huomio! Katso mitä saimme:
Katso kuinka hieno se on:
Siirrytään nyt tangenttiin ja kotangenttiin.
Miten se nyt puetaan sanoiksi? Mikä on jalka suhteessa kulmaan? Tietenkin vastapäätä - se "makaa" nurkkaa vastapäätä. Ja kateti? Kulman vieressä. Mitä saimme?
Katso kuinka osoittaja ja nimittäjä käännetään?
Ja nyt taas kulmat ja vaihto tehty:
Yhteenveto
Kirjoitetaan lyhyesti ylös, mitä olemme oppineet.
 |
Pythagoraan lause: |
Oikean kolmion päälause on Pythagoraan lause.
Pythagoraan lause
Muuten, muistatko hyvin, mitä jalat ja hypotenuusa ovat? Jos ei, katso kuvaa - päivitä tietosi
On mahdollista, että olet jo käyttänyt Pythagoraan lausetta monta kertaa, mutta oletko koskaan miettinyt, miksi tällainen lause on totta. Miten sen todistaisit? Tehdään kuten muinaiset kreikkalaiset. Piirretään neliö, jossa on sivu.
Näet kuinka ovelasti jaoimme sen sivut pituisiksi segmenteiksi ja!
Yhdistämme nyt merkityt pisteet
Tässä kuitenkin huomautimme jotain muuta, mutta sinä itse katsot kuvaa ja mieti miksi.
Mikä on suuremman neliön pinta-ala? Oikein,. Entä pienempi alue? Varmasti,. Neljän kulman kokonaispinta-ala säilyy. Kuvittele, että otimme niistä kaksi ja nojasimme toisiamme vasten hypotenuusilla. Mitä tapahtui? Kaksi suorakulmiota. Joten "pistokkaiden" pinta-ala on yhtä suuri.
Laitetaan nyt kaikki yhteen.
Muunnetaan:
Joten vierailimme Pythagorassa - todistimme hänen lauseensa muinaisella tavalla.
Suorakulmainen kolmio ja trigonometria
Suorakulmaiselle kolmiolle seuraavat suhteet ovat voimassa:
Terävän kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan
Terävän kulman kosini on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Terävän kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.
Terävän kulman kotangentti on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde vastakkaiseen jalkaan.
Ja jälleen kerran, kaikki tämä lautasen muodossa:
Se on erittäin mukava!
Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit
I. Kahdella jalalla
II. Jalkojen ja hypotenuusan kautta
III. Hypotenuusan ja terävän kulman mukaan
IV. Jalkaa pitkin ja terävä kulma
a) 
b) 
Huomio! Tässä on erittäin tärkeää, että jalat ovat "vastaavia". Jos se menee esimerkiksi näin:
SITÄ KOLMIOT EIVÄT OLE SAMALLA, huolimatta siitä, että niillä on yksi identtinen terävä kulma.
Tarvitsee molemmissa kolmioissa jalka oli vierekkäinen tai molemmissa - vastapäätä.
Oletko huomannut, kuinka suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit eroavat tavallisista kolmioiden tasa-arvomerkeistä? Katso aihetta "ja kiinnitä huomiota siihen, että "tavallisten" kolmioiden yhtäläisyyteen tarvitaan niiden kolmen elementin yhtäläisyys: kaksi sivua ja niiden välinen kulma, kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tai kolme sivua. Mutta suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyyteen riittää vain kaksi vastaavaa elementtiä. Se on hienoa, eikö?
Suunnilleen sama tilanne, jossa on merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta.
Merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta
I. Akuutti kulma
II. Kahdella jalalla
III. Jalkojen ja hypotenuusan kautta
Mediaani suorakulmaisessa kolmiossa
Miksi se on niin?
Harkitse kokonaista suorakulmiota suorakulmaisen kolmion sijaan.
Piirretään diagonaali ja tarkastellaan pistettä - diagonaalien leikkauspistettä. Mitä tiedät suorakulmion diagonaaleista?
Ja mitä tästä seuraa?
Niin kävi niin
- - mediaani:
Muista tämä tosiasia! Auttaa paljon!
Vielä yllättävämpää on, että myös päinvastainen on totta.
Mitä hyötyä voidaan saada siitä, että hypotenuusaan vedetty mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta? Katsotaanpa kuvaa
Katso tarkkaan. Meillä on: , eli etäisyydet pisteestä kolmion kaikkiin kolmeen kärkeen osoittautuivat yhtä suuriksi. Mutta kolmiossa on vain yksi piste, etäisyydet, joista suurin piirtein kaikki kolmion kolme kärkeä ovat yhtä suuret, ja tämä on kuvatun YMPÄRISTÖN KESKUS. Mitä tapahtui?
Joten aloitetaan tästä "paitsi...".
Katsotaanpa i.
Mutta samanlaisissa kolmioissa kaikki kulmat ovat yhtä suuret!
Samaa voidaan sanoa ja
Piirretään se nyt yhdessä:
Mitä hyötyä tästä "kolminkertaisesta" samankaltaisuudesta voi olla.
No esimerkiksi - kaksi kaavaa suorakulmaisen kolmion korkeudelle.
Kirjoitamme vastaavien osapuolten suhteet:
Korkeuden löytämiseksi ratkaisemme suhteet ja saamme ensimmäinen kaava "Korkeus suorakulmaisessa kolmiossa":
Joten sovelletaan samankaltaisuutta: .
Mitä nyt tapahtuu?
Jälleen ratkaisemme suhteet ja saamme toisen kaavan:
Molemmat näistä kaavoista on muistettava erittäin hyvin ja se, joka on helpompi soveltaa. Kirjoitetaan ne uudestaan muistiin.
Pythagoraan lause:
Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa:.
Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit:
- kahdella jalalla:
- jalkaa ja hypotenuusa pitkin: tai
- jalkaa ja sen vieressä olevaa terävää kulmaa pitkin: tai
- jalkaa pitkin ja vastakkaiseen terävään kulmaan: tai
- hypotenuusan ja terävän kulman mukaan: tai.
Merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta:
- yksi terävä kulma: tai
- kahden jalan suhteellisuudesta:
- jalan ja hypotenuusan suhteellisuudesta: tai.
Sini, kosini, tangentti, kotangentti suorakulmaisessa kolmiossa
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen haaran suhde vastakkaiseen:.
Suorakulmaisen kolmion korkeus: tai.
Suorakulmaisessa kolmiossa suoran kulman kärjestä vedetty mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta: .
Suorakulmaisen kolmion pinta-ala:
- katetrien kautta:
Aloitamme trigonometrian tutkimisen suorakulmaisella kolmiolla. Määritellään mitä ovat sini ja kosini sekä terävän kulman tangentti ja kotangentti. Nämä ovat trigonometrian perusteet.
Muista tuo oikea kulma on 90 asteen kulma. Toisin sanoen puolet avatusta kulmasta.
Terävä kulma- alle 90 astetta.
Tylppä kulma- yli 90 astetta. Suhteessa sellaiseen kulmaan "tyhmä" ei ole loukkaus, vaan matemaattinen termi :-)
Piirretään suorakulmainen kolmio. Yleensä merkitään suora kulma. Huomaa, että kulman vastakkainen puoli on merkitty samalla kirjaimella, vain pienellä. Joten kulmaa A vastapäätä olevaa sivua merkitään.
Kulma on merkitty vastaavalla kreikkalaisella kirjaimella.
Hypotenuusa Suorakulmainen kolmio on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu.
Jalat- teräviä kulmia vastapäätä olevat sivut.
Kulmaa vastapäätä olevaa jalkaa kutsutaan vastapäätä(suhteessa kulmaan). Toista jalkaa, joka sijaitsee kulman toisella puolella, kutsutaan vieressä.
Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
Kosini terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
Tangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
Toinen (ekvivalentti) määritelmä: terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:
Kotangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde vastakkaiseen (tai vastaavasti kosinin ja sinin suhde):
Kiinnitä huomiota sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin perussuhteisiin, jotka on annettu alla. Niistä on meille hyötyä ongelmien ratkaisemisessa.
Todistakaamme joitain niistä.
Okei, olemme antaneet määritelmät ja kirjoitetut kaavat. Mutta miksi tarvitsemme siniä, kosinia, tangenttia ja kotangenttia?
Tiedämme sen minkä tahansa kolmion kulmien summa on.
Tiedämme välisen suhteen juhlia suorakulmainen kolmio. Tämä on Pythagoraan lause: .
Osoittautuu, että kun tiedät kolmion kaksi kulmaa, voit löytää kolmannen. Kun tiedät suoran kolmion kaksi sivua, voit löytää kolmannen. Joten kulmille - niiden suhde, sivuille - omansa. Mutta mitä tehdä, jos suorakulmaisessa kolmiossa tunnetaan yksi kulma (paitsi oikea) ja yksi sivu, mutta sinun on löydettävä muut sivut?
Tätä ihmiset kohtasivat menneisyydessä tehdessään karttoja alueesta ja tähtitaivasta. Loppujen lopuksi ei aina ole mahdollista mitata suoraan kolmion kaikkia sivuja.
Sini, kosini ja tangentti - niitä kutsutaan myös kulman trigonometriset funktiot- anna välinen suhde juhlia ja kulmat kolmio. Kun tiedät kulman, voit löytää kaikki sen trigonometriset funktiot erityisten taulukoiden avulla. Ja kun tiedät kolmion ja sen yhden sivun kulmien sinit, kosinit ja tangentit, voit löytää loput.
Piirrämme myös taulukon sini-, kosini-, tangentti- ja kotangenttiarvoista "hyville" kulmille välillä -.
Huomaa kaksi punaista viivaa taulukossa. Kulmien vastaaville arvoille tangenttia ja kotangenttia ei ole olemassa.
Analysoidaan useita trigonometrian ongelmia FIPI-tehtävien pankista.
1. Kolmion kulma on , . Löytö .
Ongelma ratkeaa neljässä sekunnissa.
Sikäli kuin , .
2. Kolmiossa kulma on , , . Löytö .
Etsitään Pythagoraan lauseella.
Ongelma ratkaistu.
Usein ongelmissa on kolmioita, joissa on kulmat ja tai kulmat ja . Muista niiden perussuhteet ulkoa!
Kolmiolle, jossa on kulmat ja kulmaa vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.
Kolmio, jossa on kulmia ja on tasakylkinen. Siinä hypotenuusa on kertaa suurempi kuin jalka.
Pohdimme tehtäviä suorakulmaisten kolmioiden ratkaisemiseksi - eli tuntemattomien sivujen tai kulmien löytämiseksi. Mutta ei siinä vielä kaikki! Matematiikan kokeen muunnelmissa on monia tehtäviä, joissa esiintyy kolmion ulkokulman sini, kosini, tangentti tai kotangentti. Tästä lisää seuraavassa artikkelissa.
Sinus Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on suhde vastapäätä katetri hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: sin α.
Kosini Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on viereisen haaran suhde hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: cos α.
Tangentti terävä kulma α on vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.
Se merkitään seuraavasti: tg α.
Kotangentti terävä kulma α on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.
Se on merkitty seuraavasti: ctg α.
Kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti riippuvat vain kulman suuruudesta.
Säännöt:
Trigonometriset perusidentiteetit suorakulmaisessa kolmiossa:
(α - terävä kulma jalkaa vastapäätä b ja jalan vieressä a . Sivu kanssa - hypotenuusa. β - toinen terävä kulma).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sinα |
Terävän kulman kasvaessasinα jatg α:n nousu jacos α pienenee.
Kaikille terävälle kulmille α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Selittävä esimerkki:
Merkitään suorakulmainen kolmio ABC
AB = 6,
BC = 3,
kulma A = 30º.
Etsi kulman A sini ja kulman B kosini.
Päätös.
1) Ensin löydämme kulman B arvon. Tässä kaikki on yksinkertaista: koska suorakulmaisessa kolmiossa terävien kulmien summa on 90º, niin kulma B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Laske sini A. Tiedämme, että sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Kulman A vastakkainen jalka on sivu BC. Niin:
eKr. 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Nyt lasketaan cos B. Tiedämme, että kosini on yhtä suuri kuin viereisen haaran suhde hypotenuusaan. Kulman B viereinen haara on sama sivu BC. Tämä tarkoittaa, että meidän on jälleen jaettava BC AB:ksi - eli suoritettava samat toiminnot kuin laskettaessa kulman A siniä:
eKr. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Tulos on:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Tästä seuraa, että suorakulmaisessa kolmiossa yhden terävän kulman sini on yhtä suuri kuin toisen terävän kulman kosini - ja päinvastoin. Juuri tätä kaksi kaavaamme tarkoittavat:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Katsotaanpa uudestaan:
1) Olkoon α = 60º. Korvaamalla α:n arvon sinikaavaan saadaan:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Olkoon α = 30º. Korvaamalla α:n arvon kosinikaavaan, saamme:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.
(Lisätietoja trigonometriasta on Algebra-osiossa)
