Seuraavia menetelmiä käytetään useimmiten kehon tai hahmon painopisteen löytämiseen:

· symmetriamenetelmä;

· osiointimenetelmä;

· negatiivisen massan menetelmä.

Katsotaanpa kussakin luetelluista menetelmistä käytettyjä tekniikoita.

Symmetrinen menetelmä

Kuvitellaan homogeeninen kappale, jolla on symmetriataso. Valitaan sellainen koordinaattijärjestelmä, että akselit x Ja z makaa symmetriatasossa (katso kuva 1).

Tässä tapauksessa jokainen alkuainehiukkanen painovoiman mukaan G i abskissan kanssa y i = +a vastaa samaa alkeishiukkasta, jossa on abskissa y i = -a , Sitten:

y C = Σ(Gi x i)/ΣGi = 0.

Tästä päätelmä: jos homogeenisella kappaleella on symmetriataso, niin kehon painopiste sijaitsee tässä tasossa.

Seuraavat ehdotukset voidaan todistaa samalla tavalla:

· Jos homogeenisella kappaleella on symmetria-akseli, niin kappaleen painopiste sijaitsee tällä akselilla;

· Jos homogeenisella kappaleella on kaksi symmetria-akselia, niin kappaleen painopiste on niiden leikkauspisteessä;

· Homogeenisen pyörimiskappaleen painopiste on pyörimisakselilla.

Jakomenetelmä

Tämä menetelmä koostuu kehon jakamisesta pienimpään määrään osia, joiden painovoimat ja painopisteiden sijainti tunnetaan, minkä jälkeen aiemmin annettujen kaavojen avulla määritetään kehon kokonaispainopiste.

Oletetaan, että murskasimme kehon painovoimalla G kolmeen osaan G" , G"" , G""" , näiden osien painopisteiden abskissat x"C , x""C , x""" C tiedossa.
Kaava koko kehon painopisteen abskissan määrittämiseksi:

x C = Σ(Gi x i)/ΣGi.

Kirjoitetaan se uudelleen seuraavaan muotoon:

x C ΣG i = Σ(G i x i) tai Gx C = Σ(G i x i) .

Kirjoitamme viimeisen yhtälön jokaiselle kolmelle kehon osalle erikseen:

G"x" C = Σ(G"x" i), G""x"" C = Σ(G"" i x""" i), G"""x""" C = Σ(G"""" minä x""" i).

Lisäämällä näiden kolmen yhtälön vasemman ja oikean puolen, saamme:

G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C = Σ(G" i x" i) + Σ(G""x""" i) + Σ(G"""" i x """ i) = Σ(G i x i).

Mutta viimeisen tasa-arvon oikea puoli on tuote GxC , koska

Gx C = Σ(G i x i),

Siten, x C = (G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C)/G , mikä oli todistettava.
Painopisteen koordinaatit koordinaattiakseleilla määritetään samalla tavalla y Ja z :

y C = (G"y" C + G""y"" C + G""y""" C)/G ,
z C = (G"z" C + G""z"" C + G""z""" C)/G .

Tuloksena olevat kaavat ovat samanlaisia ​​kuin edellä johdetut kaavat painopisteen koordinaattien määrittämiseksi. Siksi alkuainehiukkasten painovoimavoimia ei ole mahdollista korvata alkuperäisillä kaavoilla G i , ja lopullisten osien painovoimat; koordinaattien alla x i ,y i ,z i ymmärtää niiden osien painopisteiden koordinaatit, joihin keho on jaettu.

Negatiivimassa menetelmä

Tämä menetelmä perustuu siihen, että kehoa, jossa on vapaita onteloita, pidetään kiinteänä ja vapaiden onteloiden massaa pidetään negatiivisena. Kehon painopisteen koordinaattien määrittämiskaavojen muoto ei muutu.

Siten määritettäessä kappaleen painopistettä, jossa on vapaita onteloita, tulisi käyttää osiointimenetelmää, mutta onteloiden massaa on pidettävä negatiivisena.

Käytännön menetelmiä kappaleiden painopisteen määrittämiseen

Käytännössä niitä käytetään usein monimutkaisen muotoisten litteiden kappaleiden painopisteen määrittämiseen ripustusmenetelmä , joka koostuu litteän rungon ripustamisesta langalle jostain kohdasta. Viiva vedetään lankaa pitkin ja runko ripustetaan toisesta pisteestä, joka ei sijaitse tuloksena olevalla viivalla.
Piirrä sitten viiva uudelleen lankaa pitkin.
Kahden viivan leikkauspiste on tasaisen kappaleen painopiste.

Toinen käytännössä käytetty menetelmä painopisteen määrittämiseksi on ns punnitusmenetelmä . Tätä menetelmää käytetään usein suurten koneiden ja tuotteiden - autojen, lentokoneiden, pyörillä varustettujen traktoreiden jne. - painopisteen määrittämiseen, joilla on monimutkainen tilavuusmuoto ja pistetuki maassa.
Menetelmä koostuu tasapainoolosuhteiden soveltamisesta, jotka perustuvat siihen, että kaikkien paikallaan olevaan kappaleeseen vaikuttavien voimien momenttien summa on nolla.
Käytännössä tämä tehdään punnitsemalla jokin koneen tuki (taka- tai etupyörät on asennettu vaa'alle), kun taas vaa'an lukemat ovat itse asiassa tuen reaktio, joka huomioidaan piirtämisessä. nosta tasapainoyhtälöä suhteessa toiseen tukipisteeseen (sijaitsee asteikon ulkopuolella).
Vartalon tunnetun massan (vastaavasti painon), yhden tukipisteen vaa'an lukeman ja tukipisteiden välisen etäisyyden perusteella voit määrittää etäisyyden yhdestä tukipisteestä tasoon, jossa painopiste sijaitsee.
Jotta tällä tavalla löydettäisiin viiva (akseli), jolla koneen painopiste sijaitsee, on suoritettava kaksi punnitusta edellä esitetyn ripustusmenetelmän periaatteen mukaisesti (katso kuva 1a).

Kysymys 12

Kehon hitausmomentti.

HITAUSMOMENTTI- suure, joka kuvaa massojen jakautumista kehossa ja on massan ohella kehon hitausmitta sen ollessa liikkumattomana. liikettä. Mekaniikassa on M. ja. aksiaalinen ja keskipakoinen. Osev M. ja. kehoa z-akseliin nähden kutsutaan. tasa-arvon määrittelemä määrä

Missä m i- kehon pisteiden massat, Hei- niiden etäisyydet z-akselista, r - massatiheys, V- kehon tilavuus. Suuruus I z on kappaleen hitausmitta sen pyöriessä akselin ympäri (katso Pyörimisliike ) . Aksiaalinen M. ja. voidaan ilmaista myös lineaarisuureen r z, ns. pyörimissäde suhteessa z-akseliin f-le:n mukaan I z = M r 2 z, missä M- kehomassa. Mitat M ja.- L 2 M; mittayksiköt - kg. m 2.

Keskipako M. ja. suorakaiteen muotoiseen järjestelmään nähden. kirveet x, y, z, suoritettiin kohdassa NOIN, nimeltään yhtälöillä määritetyt määrät

tai vastaavat tilavuusintegraalit. Nämä suureet ovat dynamiikan ominaisuuksia. kehon epätasapaino. Esimerkiksi kun kierretään kappaletta z-akselin ympäri arvoista Minä xz Ja minä yz Laakereihin kohdistuvat painevoimat, joihin akseli on kiinnitetty, riippuvat.

M. ja. suhteessa rinnakkaisiin akseleihin z ja z" liittyvät suhteeseen (Huygensin lause)

jossa z" on kehon massakeskipisteen kautta kulkeva akseli, d- akselien välinen etäisyys.

M. ja. suhteessa lähteen kautta kulkeviin NOIN kirveet Ol suuntakosineilla a, b, g löytyy kaavan mukaan

Tietäen kuusi määrää I x , I y , I z , I xy , I yz , I zx, voit peräkkäin kaavojen (4) ja (3) avulla laskea koko joukon M. ja. kehot suhteessa mihin tahansa akseliin. Nämä kuusi määrää määräävät ns. kehon inertiatensori. Jokaisen kappaleen pisteen läpi voit piirtää 3 tällaista keskenään kohtisuoraa akselia, ns. Ch. hitausakselit, joille Minä xy = minä yz= Izx= 0. Sitten M. ja. kappaleet suhteessa mihin tahansa akseliin voidaan määrittää tuntemalla Ch. hitausakseli ja M. ja. suhteessa näihin akseleihin.

Ennen kuin löydät yksinkertaisten hahmojen, kuten suorakaiteen, pyöreän, pallon tai lieriömäisen tai neliön muotoisten, painopisteen, sinun on tiedettävä, missä kohdassa tietyn hahmon symmetriakeskus sijaitsee. Koska näissä tapauksissa painopiste on sama kuin symmetriakeskus.

Homogeenisen sauvan painopiste sijaitsee sen geometrisessa keskipisteessä. Jos sinun on määritettävä homogeenisen rakenteen pyöreän kiekon painopiste, etsi ensin ympyrän halkaisijoiden leikkauspiste. Se tulee olemaan tämän kehon painopiste. Kun otetaan huomioon sellaiset hahmot kuin pallo, vanne ja yhtenäinen suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, voimme varmuudella sanoa, että vanteen painopiste on hahmon keskellä, mutta sen pisteiden ulkopuolella pallon painopiste on pallon geometrisen keskipisteen ja jälkimmäisessä tapauksessa painopisteen katsotaan olevan suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön leikkauslävistäjät.

Epähomogeenisten kappaleiden painopiste

Painopisteen koordinaattien sekä itse epähomogeenisen kappaleen painopisteen löytämiseksi on tarpeen selvittää, missä tietyn kappaleen segmentissä sijaitsee piste, jossa kaikki gravitaatiovoimat leikkaavat ja vaikuttavat figuuri, jos se käännetään. Käytännössä tällaisen pisteen löytämiseksi runko ripustetaan kierteeseen ja vaihdetaan vähitellen langan kiinnityspisteitä runkoon. Siinä tapauksessa, että keho on tasapainossa, kehon painopiste sijaitsee linjalla, joka on sama kuin langan linja. Muuten painovoima saa kehon liikkumaan.

Ota lyijykynä ja viivain, piirrä pystysuorat suorat viivat, jotka ovat visuaalisesti yhtenevät langan suuntien kanssa (langat on kiinnitetty rungon eri kohtiin). Jos kehon muoto on melko monimutkainen, piirrä useita viivoja, jotka leikkaavat yhdessä pisteessä. Siitä tulee sen kehon painopiste, jolla suoritit kokeen.

Kolmion painopiste

Kolmion painopisteen löytämiseksi sinun on piirrettävä kolmio - kuva, joka koostuu kolmesta segmentistä, jotka on yhdistetty toisiinsa kolmessa pisteessä. Ennen kuin löydät hahmon painopisteen, sinun on mitattava viivaimella kolmion yhden sivun pituus. Aseta merkki sivun keskelle ja yhdistä vastakkainen kärki ja segmentin keskikohta viivalla, jota kutsutaan mediaaniksi. Toista sama algoritmi kolmion toiselle puolelle ja sitten kolmannelle. Työsi tuloksena on kolme mediaania, jotka leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on kolmion painopiste.

Jos edessäsi on tehtävä, joka koskee tasasivuisen kolmion muotoisen kappaleen painopisteen löytämistä, sinun on piirrettävä korkeus jokaisesta kärjestä suorakaiteen muotoisella viivaimella. Tasasivuisen kolmion painopiste on korkeuksien, mediaanien ja puolittajien leikkauskohdassa, koska samat segmentit ovat samanaikaisesti korkeuksia, mediaaneja ja puolittajia.

Kolmion painopisteen koordinaatit

Ennen kuin löydämme kolmion painopisteen ja sen koordinaatit, katsotaanpa itse kuvaa tarkemmin. Tämä on homogeeninen kolmiolevy, jossa on kärjet A, B, C ja vastaavasti koordinaatit: pisteille A - x1 ja y1; kärjelle B - x2 ja y2; kärkipisteille C - x3 ja y3. Kun etsitään painopisteen koordinaatteja, emme ota huomioon kolmiolevyn paksuutta. Kuvasta näkyy selvästi, että kolmion painopiste on merkitty kirjaimella E - sen löytämiseksi piirsimme kolme mediaania, joiden leikkauspisteeseen sijoitimme pisteen E. Sillä on omat koordinaatit: xE ja yE.

Huipusta A segmenttiin B vedetyn mediaanin toisessa päässä on koordinaatit x 1 , y 1 (tämä on piste A), ja mediaanin toiset koordinaatit saadaan sen perusteella, että piste D (mediaanin toinen pää) on segmentin BC keskellä. Tämän segmentin päillä on meille tiedossa olevat koordinaatit: B(x 2, y 2) ja C(x 3, y 3). Pisteen D koordinaatit on merkitty xD:llä ja yD:llä. Perustuu seuraaviin kaavoihin:

x=(X1+X2)/2; y=(U1+U2)/2

Määritä janan keskikohdan koordinaatit. Saamme seuraavan tuloksen:

xd=(X2+X3)/2; уd=(У2+У3)/2;

D *((X2+X3)/2, (U2+U3)/2).

Tiedämme mitkä koordinaatit ovat tyypillisiä janan AD päille. Tiedämme myös pisteen E koordinaatit eli kolmiolevyn painopisteen. Tiedämme myös, että painopiste sijaitsee segmentin AD keskellä. Nyt voimme löytää meille tunnetuilla kaavoilla ja tiedoilla painopisteen koordinaatit.

Siten voimme löytää kolmion painopisteen koordinaatit tai pikemminkin kolmiolevyn painopisteen koordinaatit, koska sen paksuus on meille tuntematon. Ne ovat yhtä suuria kuin kolmiolevyn kärkien homogeenisten koordinaattien aritmeettinen keskiarvo.

Suorakulmio. Koska suorakulmiolla on kaksi symmetria-akselia, sen painopiste on symmetria-akselien leikkauskohdassa, ts. suorakulmion diagonaalien leikkauspisteessä.

Kolmio. Painopiste sijaitsee sen mediaanien leikkauspisteessä. Geometriasta tiedetään, että kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä ja jaetaan suhteessa 1:2 kantasta.

Ympyrä. Koska ympyrässä on kaksi symmetria-akselia, sen painopiste on symmetria-akselien leikkauskohdassa.

Puoliympyrä. Puoliympyrässä on yksi symmetria-akseli, jolloin painopiste on tällä akselilla. Toinen painopisteen koordinaatti lasketaan kaavalla: .

Monet rakenneosat on valmistettu tavallisista valssatuista tuotteista - kulmat, I-palkit, kanavat ja muut. Kaikki mitat sekä valssattujen profiilien geometriset ominaisuudet ovat taulukkotietoja, jotka löytyvät viitekirjallisuudesta normaalivalikoiman taulukoissa (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Esimerkki 1. Määritä kuvassa esitetyn kuvan painopisteen sijainti.

Ratkaisu:

Koordinaattiakselit valitaan siten, että Ox-akseli kulkee alinta kokonaismittaa pitkin ja Oy-akseli vasemmanpuoleisinta kokonaismittaa pitkin.

Jaamme monimutkaisen luvun yksinkertaisten lukujen vähimmäismäärään:

suorakulmio 20x10;

kolmio 15x10;

ympyrä R=3 cm.

Laskemme jokaisen yksinkertaisen kuvan alueen ja sen painopisteen koordinaatit. Laskentatulokset syötetään taulukkoon

Kuva nro	Kuvan A alue,	Painopisteen koordinaatit

Vastaus: C(14,5; 4,5)

Esimerkki 2 . Määritä levystä ja valssatuista osista koostuvan komposiittiprofiilin painopisteen koordinaatit.

Ratkaisu.

Valitsemme koordinaattiakselit kuvan osoittamalla tavalla.

Nimetään luvut numeroilla ja kirjoitetaan tarvittavat tiedot taulukosta:

Kuva nro	Kuvan A alue,	Painopisteen koordinaatit

Laskemme kuvan painopisteen koordinaatit käyttämällä kaavoja:

Vastaus: C(0; 10)

Laboratoriotyö nro 1 “Yhdistelmätasoisten hahmojen painopisteen määritys”

Kohde: Määritä tietyn litteän kompleksihahmon painopiste kokeellisilla ja analyyttisilla menetelmillä ja vertaa niiden tuloksia.

Työmääräys

Piirrä litteä figuuri muistivihkoon kokoon osoittaen koordinaattiakselit.

Määritä painopiste analyyttisesti.

1. Jaa kuva vähimmäismäärään hahmoja, joiden painopisteet osaamme määrittää.

   Ilmoita kunkin kuvion aluenumerot ja painopisteen koordinaatit.

   Laske kunkin kuvion painopisteen koordinaatit.

   Laske jokaisen hahmon pinta-ala.

   Laske koko kuvan painopisteen koordinaatit kaavoilla (painopisteen sijainti on piirretty kuvan piirustukseen):

Asennus painopisteen koordinaattien kokeelliseen määrittämiseen ripustusmenetelmällä koostuu pystysuorasta telineestä 1 (katso kuva), johon neula on kiinnitetty 2 . Litteä figuuri 3 Valmistettu pahvista, johon on helppo tehdä reikiä. Reikiä A Ja SISÄÄN lävistetään satunnaisesti sijaitsevista kohdista (mieluiten kauimpana toisistaan). Litteä hahmo ripustetaan neulan päälle ensin pisteessä A , ja sitten siihen pisteeseen SISÄÄN . Luotiviivaa käyttämällä 4 , kiinnitetty samaan neulaan, piirrä pystysuora viiva kuvioon lyijykynällä, joka vastaa luotiviivan lankaa. Painovoiman keskipiste KANSSA figuuri sijoittuu pystysuorien viivojen leikkauspisteeseen, kun hahmo ripustetaan pisteisiin A Ja SISÄÄN .

6.1. Yleistä tietoa

Rinnakkaisvoimien keskus
Tarkastellaan kahta rinnakkaista voimaa, jotka on suunnattu yhteen suuntaan, ja , joita sovelletaan kehoon kohdissa A 1 ja A 2 (kuva 6.1). Tällä voimajärjestelmällä on resultantti, jonka toimintalinja kulkee tietyn pisteen kautta KANSSA. Pisteasema KANSSA löytyy Varignonin lauseella:

Jos käännät voimia ja lähelle pisteitä A 1 ja A 2 yhteen suuntaan ja samassa kulmassa, niin saadaan uusi rinnakkaisten salas-järjestelmä, jossa on samat moduulit. Tässä tapauksessa niiden resultantti kulkee myös pisteen läpi KANSSA. Tätä pistettä kutsutaan rinnakkaisten voimien keskipisteeksi.
Tarkastellaan järjestelmää, jossa kiinteään kappaleeseen kohdistetaan yhdensuuntaisia ​​ja identtisesti suunnattuja voimia. Tällä järjestelmällä on tulos.
Jos järjestelmän jokaista voimaa kierretään niiden kohdistamispisteiden lähellä samaan suuntaan ja samaan kulmaan, saadaan uusia identtisesti suunnattujen rinnakkaisten voimien järjestelmiä, joissa on samat moduulit ja käyttöpisteet. Tällaisten järjestelmien resultantilla on sama moduuli R, mutta joka kerta eri suuntaan. Taitettuani voimani F 1 ja F 2 huomaamme, että niiden resultantti R 1, joka kulkee aina pisteen läpi KANSSA 1, jonka paikan määrää tasa-arvo . Taitettava edelleen R 1 ja F 3, löydämme niiden resultantin, joka kulkee aina pisteen läpi KANSSA 2 suoralla linjalla A 3 KANSSA 2. Saatuamme loppuun voimien lisäämisprosessin tulemme siihen tulokseen, että kaikkien voimien resultantti todellakin kulkee aina saman pisteen läpi KANSSA, jonka sijainti pisteisiin nähden pysyy muuttumattomana.
Piste KANSSA, jonka kautta tuloksena olevan rinnakkaisten voimien järjestelmän toimintalinja kulkee näiden voimien missä tahansa pyörimispisteessä lähellä niiden kohdistuskohtia samassa suunnassa samassa kulmassa, kutsutaan rinnakkaisten voimien keskipisteeksi (kuva 6.2).

Kuva 6.2

Määritetään rinnakkaisten voimien keskipisteen koordinaatit. Pisteen sijainnista lähtien KANSSA suhteessa kehoon on muuttumaton, silloin sen koordinaatit eivät riipu koordinaattijärjestelmän valinnasta. Käännetään kaikki voimat niiden soveltamisen ympärillä niin, että ne tulevat yhdensuuntaisiksi akselin kanssa OU ja soveltaa Varignonin lausetta pyöriviin voimiin. Koska R" on näiden voimien resultantti, niin meillä on Varignonin lauseen mukaan , koska , , saamme

Täältä löydämme rinnakkaisten voimien keskipisteen koordinaatin zc:

Koordinaattien määrittämiseen xc Luodaan lauseke akselin ympärillä olevien voimien momentille Oz.

Koordinaattien määrittämiseen yc käännetään kaikki voimat niin, että ne tulevat yhdensuuntaisiksi akselin kanssa Oz.

Yhdensuuntaisten voimien keskipisteen sijainti suhteessa origoon (kuva 6.2) voidaan määrittää sen sädevektorilla:

6.2. Jäykän kappaleen painopiste

Painovoiman keskipiste jäykän kappaleen piste on aina tähän runkoon liittyvä piste KANSSA, jonka kautta tietyn kappaleen resultanttien painovoimavoimien vaikutuslinja kulkee kehon missä tahansa asemassa avaruudessa.
Painopistettä käytetään tutkittaessa kappaleiden ja jatkuvien väliaineiden tasapainoasemien vakautta painovoiman vaikutuksesta ja joissakin muissa tapauksissa, nimittäin: materiaalien lujuudessa ja rakennemekaniikassa - käytettäessä Vereshchaginin sääntöä.
On kaksi tapaa määrittää kehon painopiste: analyyttinen ja kokeellinen. Analyyttinen menetelmä painopisteen määrittämiseksi seuraa suoraan rinnakkaisten voimien keskipisteen käsitteestä.
Painopisteen koordinaatit rinnakkaisten voimien keskipisteenä määritetään seuraavilla kaavoilla:

Missä R- koko kehon paino; pk- kehon hiukkasten paino; xk, yk, zk- kehon hiukkasten koordinaatit.
Homogeenisessa kappaleessa koko kehon ja sen minkä tahansa osan paino on verrannollinen tilavuuteen P = Vγ, pk = vk γ, Missä γ - paino tilavuusyksikköä kohti, V- kehon tilavuus. Ilmaisujen korvaaminen P, pk kaavaan, jolla määritetään painopisteen koordinaatit ja vähennetään yhteisellä kertoimella γ , saamme:

Piste KANSSA, jonka koordinaatit määritetään tuloksena olevilla kaavoilla, kutsutaan tilavuuden painopiste.
Jos runko on ohut homogeeninen levy, painopiste määritetään kaavoilla:

Missä S- koko levyn pinta-ala; sk- sen osan pinta-ala; xk, yk- levyosien painopisteen koordinaatit.
Piste KANSSA tässä tapauksessa sitä kutsutaan painopistealue.
Tasohahmojen painopisteen koordinaatit määrittävien lausekkeiden osoittajia kutsutaan kanssa alueen staattiset hetket suhteessa akseleihin klo Ja X:

Sitten alueen painopiste voidaan määrittää kaavoilla:

Sellaisten kappaleiden osalta, joiden pituus on monta kertaa suurempi kuin poikkileikkauksen mitat, määritä viivan painopiste. Viivan painopisteen koordinaatit määritetään seuraavilla kaavoilla:

Missä L- rivin pituus; lk- sen osien pituus; xk, yk, zk- linjan osien painopisteen koordinaatit.

6.3. Menetelmät kappaleiden painopisteiden koordinaattien määrittämiseksi

Saatujen kaavojen perusteella on mahdollista ehdottaa käytännön menetelmiä kappaleiden painopisteiden määrittämiseksi.
1. Symmetria. Jos kappaleella on symmetriakeskus, niin painopiste on symmetrian keskipisteessä.
Jos keholla on symmetriataso. Esimerkiksi XOU-taso, sitten painopiste sijaitsee tässä tasossa.
2. Halkaisu. Yksinkertaisen muotoisista kappaleista koostuville kappaleille käytetään halkaisumenetelmää. Runko on jaettu osiin, joiden painopiste määräytyy symmetriamenetelmällä. Koko kehon painopiste määräytyy tilavuuden (pinta-alan) painopisteen kaavoilla.

Esimerkki. Määritä levyn painopiste alla olevan kuvan mukaisesti (Kuva 6.3). Levy voidaan jakaa eri tavoin suorakulmioiksi ja määrittää kunkin suorakulmion painopisteen koordinaatit ja niiden pinta-ala.

Kuva 6.3

Vastaus: xc=17,0 cm; yc= 18,0 cm.

3. Lisäys. Tämä menetelmä on osiointimenetelmän erikoistapaus. Sitä käytetään, kun rungossa on leikkauksia, viipaleita jne., jos tunnetaan kappaleen painopisteen koordinaatit ilman leikkausta.

Esimerkki. Määritä pyöreän levyn, jolla on leikkaussäde, painopiste r = 0,6 R(Kuva 6.4).

Kuva 6.4

Pyöreällä levyllä on symmetriakeskus. Laitetaan koordinaattien origo levyn keskelle. Levyalue ilman aukkoa, leikkausalue. Neliömäinen levy leikkauksella; .
Leikkauksella varustetussa levyssä on symmetria-akseli О1 x, siis, yc=0.

4. Liittäminen. Jos kappaletta ei voida jakaa äärelliseen määrään osia, joiden painopisteiden paikat ovat tiedossa, kappale jaetaan mielivaltaisiin pieniin tilavuuksiin, joille osiointimenetelmää käyttävä kaava saa muodon: .
Sitten ne menevät rajalle, ohjaamalla alkeistilavuudet nollaan, ts. volyymit pisteiksi. Summat korvataan integraaleilla, jotka on laajennettu koko kehon tilavuuteen, sitten kaavat tilavuuden painopisteen koordinaattien määrittämiseksi ovat muotoa:

Kaavat alueen painopisteen koordinaattien määrittämiseksi:

Alueen painopisteen koordinaatit on määritettävä levyjen tasapainoa tutkittaessa rakennemekaniikan Mohrin integraalia laskettaessa.

Esimerkki. Määritä säteisen ympyränkaaren painopiste R keskikulmalla AOB= 2α (kuva 6.5).

Riisi. 6.5

Ympyrän kaari on symmetrinen akseliin nähden vai niin, siksi kaaren painopiste on akselilla vai niin, yс = 0.
Viivan painopisteen kaavan mukaan:

6.Kokeellinen menetelmä. Monimutkaisten konfiguraatioiden epähomogeenisten kappaleiden painopisteet voidaan määrittää kokeellisesti: ripustus- ja punnitusmenetelmällä. Ensimmäinen tapa on ripustaa runko kaapeliin eri kohdissa. Kaapelin suunta, johon runko on ripustettu, antaa painovoiman suunnan. Näiden suuntien leikkauspiste määrää kehon painopisteen.
Punnitusmenetelmään kuuluu ensin korin, kuten auton, painon määrittäminen. Sitten vaa'alta määritetään ajoneuvon taka-akselin paine tukeen. Laatimalla tasapainoyhtälön suhteessa pisteeseen, esimerkiksi etupyörien akseliin, voit laskea etäisyyden tästä akselista auton painopisteeseen (kuva 6.6).

Kuva 6.6

Joskus tehtäviä ratkaistaessa on tarpeen käyttää samanaikaisesti erilaisia ​​menetelmiä painopisteen koordinaattien määrittämiseen.

6.4 Joidenkin yksinkertaisten geometristen kuvioiden painopisteet

Usein esiintyvien muotoisten kappaleiden (kolmio, ympyräkaari, sektori, segmentti) painopisteiden määrittämiseen on kätevää käyttää vertailutietoja (taulukko 6.1).

Taulukko 6.1

Joidenkin homogeenisten kappaleiden painopisteen koordinaatit

№	Figuurin nimi	Piirustus
	Ympyrän kaari: tasaisen ympyrän kaaren painopiste on symmetria-akselilla (koordinaatti uc=0). R- ympyrän säde.
	Homogeeninen pyöreä sektori uc=0). jossa α on puolet keskikulmasta; R- ympyrän säde.
	Segmentti: painopiste sijaitsee symmetria-akselilla (koordinaatilla uc=0). jossa α on puolet keskikulmasta; R- ympyrän säde.
	Puoliympyrä:
	Kolmio: homogeenisen kolmion painopiste on sen mediaanien leikkauspisteessä. Missä x1, y1, x2, y2, x3, y3- kolmion kärjen koordinaatit
	Kartio: tasaisen pyöreän kartion painopiste sijaitsee sen korkeudella ja sijaitsee 1/4 etäisyydellä kartion pohjasta.

Kuinka löytää painopiste

Tekijä: Otetaan mielivaltaisen muotoinen kappale. Onko mahdollista ripustaa se langan päälle niin, että se pysyy ripustamisen jälkeen asennossaan (eli ei lähde kääntymään), kun minkä tahansa alkusuuntaus (kuva 27.1)?

Toisin sanoen, onko olemassa pistettä, johon nähden kehon eri osiin vaikuttavien painovoimamomenttien summa olisi nolla minkä tahansa kehon suuntautuminen avaruudessa?

Lukija: Kyllä, luulen niin. Tätä kohtaa kutsutaan kehon painopiste.

Todiste. Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi mielivaltaisen muotoisen litteän levyn muodossa olevaa kappaletta, joka on mielivaltaisesti suunnattu avaruuteen (kuva 27.2). Otetaan koordinaattijärjestelmä X 0klo jonka alku on massakeskipisteessä - piste KANSSA, Sitten x C = 0, paikassa C = 0.

Kuvitellaan tämä keho kokoelmana suuresta määrästä pistemassoja m i, joiden kunkin sijainnin määrittää sädevektori.

Määritelmän mukaan massakeskipiste on , ja koordinaatti x C = .

Koska koordinaattijärjestelmässä hyväksyimme x C= 0, sitten . Kerrotaan tämä yhtäläisyys g ja saamme

Kuten kuvasta voidaan nähdä. 27.2, | x i| - Tämä on vallan olkapää. Ja jos x i> 0, sitten voimamomentti M i> 0 ja jos x j < 0, то M j < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i voimamomentti on yhtä suuri M i = m i gx i . Silloin yhtäläisyys (1) vastaa yhtäläisyyttä , jossa M i- painovoimamomentti. Tämä tarkoittaa, että kehon mielivaltaisella suunnalla kehoon vaikuttavien painovoimamomenttien summa on nolla suhteessa sen massakeskukseen.

Jotta harkitsemamme keho olisi tasapainossa, siihen on sovellettava pisteessä KANSSA pakottaa T = mg, suunnattu pystysuoraan ylöspäin. Tämän voiman momentti suhteessa pisteeseen KANSSA yhtä kuin nolla.

Koska päättelymme ei millään tavalla riippunut siitä, kuinka tarkasti keho on avaruudessa suunnattu, osoitimme, että painopiste on sama kuin massakeskipiste, mikä meidän piti todistaa.

Ongelma 27.1. Etsi painottoman pituisen sauvan painopiste l, jonka päihin on kiinnitetty kaksi pistemassaa T 1 ja T 2 .

T 1 T 2 l	Ratkaisu. Emme etsi painopistettä, vaan massakeskusta (koska nämä ovat sama asia). Esittelemme akselin X(Kuva 27.3). Riisi. 27.3
x C =?

Vastaus: etäisyyden päässä massasta T 1 .

LOPETTAA! Päätä itse: B1-B3.

Lausunto 1 . Jos homogeenisella litteällä kappaleella on symmetria-akseli, painopiste on tällä akselilla.

Todellakin, mille tahansa pistemassalle m i, joka sijaitsee symmetria-akselin oikealla puolella, on sama pistemassa symmetrisesti suhteessa ensimmäiseen (kuva 27.4). Tässä tapauksessa voimien momenttien summa.

Koska koko keho voidaan esittää jaettuna samanlaisiin pistepareihin, painovoiman kokonaismomentti suhteessa mihin tahansa symmetria-akselilla olevaan pisteeseen on nolla, mikä tarkoittaa, että kappaleen painopiste sijaitsee tällä akselilla. . Tästä seuraa tärkeä johtopäätös: jos kappaleessa on useita symmetriaakseleita, niin painopiste on näiden akselien leikkauskohdassa(Kuva 27.5).

Riisi. 27.5

Lausuma 2. Jos kahdella kappaleella on massat T 1 ja T 2 on yhdistetty yhdeksi, silloin tällaisen kappaleen painopiste sijaitsee suoralla segmentillä, joka yhdistää ensimmäisen ja toisen kappaleen painopisteet (kuva 27.6).

Riisi. 27.6 Riisi. 27.7

Todiste. Sijoitetaan komposiittikappale siten, että kappaleiden painopisteitä yhdistävä segmentti on pystysuora. Sitten ensimmäisen kappaleen painovoimamomenttien summa suhteessa pisteeseen KANSSA 1 on yhtä kuin nolla ja toisen kappaleen painomomenttien summa suhteessa pisteeseen KANSSA 2 on yhtä suuri kuin nolla (kuva 27.7).

huomaa, että olkapää minkä tahansa pistemassan painovoima t i sama suhteessa mihin tahansa segmentillä olevaan pisteeseen KANSSA 1 KANSSA 2, ja siksi painovoiman momentti suhteessa mihin tahansa segmentillä olevaan pisteeseen KANSSA 1 KANSSA 2, sama. Näin ollen koko kehon gravitaatiovoima on nolla suhteessa mihin tahansa segmentin pisteeseen KANSSA 1 KANSSA 2. Siten komposiittikappaleen painopiste sijaitsee segmentillä KANSSA 1 KANSSA 2 .

Tärkeä käytännön johtopäätös seuraa lausunnosta 2, joka on selkeästi muotoiltu ohjeiksi.

Ohjeet,

kuinka löytää kiinteän kappaleen painopiste, jos se voidaan rikkoa

osiin, joiden jokaisen painopisteiden sijainti tunnetaan

1. Jokainen osa on korvattava massalla, joka sijaitsee kyseisen osan painopisteessä.

2. Etsi massan keskipiste(ja tämä on sama kuin painopiste) tuloksena olevasta pistemassajärjestelmästä valitsemalla sopiva koordinaattijärjestelmä X 0klo, kaavojen mukaan:

Itse asiassa järjestäkäämme komposiittikappale niin, että segmentti KANSSA 1 KANSSA 2 oli vaakasuora, ja ripusta se lankojen päälle kohdista KANSSA 1 ja KANSSA 2 (kuva 27.8, A). On selvää, että keho on tasapainossa. Ja tämä tasapaino ei häiriinny, jos korvaamme jokaisen kappaleen pistemassoilla T 1 ja T 2 (kuva 27.8, b).

Riisi. 27.8

LOPETTAA! Päätä itse: C3.

Ongelma 27.2. Massapallot asetetaan tasasivuisen kolmion kahteen kärkeen T joka. Pallo, jonka massa on 2, asetetaan kolmanteen kärkeen T(Kuva 27.9, A). Kolmion puoli A. Määritä tämän järjestelmän painopiste.

T 2T A	Riisi. 27.9
x C = ? paikassa C = ?

Ratkaisu. Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä X 0klo(Kuva 27.9, b). Sitten

,

.

Vastaus: x C = A/2; ; painopiste on puolikorkeudella ILMOITUS.