Historiallisen kehityksen aikana he tietysti lisäsivät ja lisääntyivät pitkään, tietämättä näitä toimintoja ohjaavia lakeja. Vasta 1920- ja 1930-luvuilla pääasiassa ranskalaiset ja englantilaiset matemaatikot selvittivät näiden operaatioiden perusominaisuudet. Joka haluaa tutustua tämän kysymyksen historiaan tarkemmin, voin suositella tänne, kuten teen sen toistuvasti alla, suurta "Matematiikan tieteiden tietosanakirjaa".

Palatakseni aiheeseemme, tarkoitan nyt todella luetellakseni viisi peruslakia, joihin lisäystä vähennetään:

1) edustaa aina lukua, toisin sanoen, yhteenlasku on aina mahdollista ilman poikkeuksia (toisin kuin vähennys, joka ei aina ole mahdollista positiivisten lukujen alueella);

2) summa on aina yksiselitteisesti määritetty;

3) on olemassa assosiaatio- tai assosiaatiolaki: , jotta sulut voidaan jättää kokonaan pois;

4) on olemassa kommutatiivista tai kommutatiivista lakia:

5) monotonisuuden laki pätee: jos , niin .

Nämä ominaisuudet ovat ymmärrettävissä ilman lisäselvityksiä, jos meillä on silmiemme edessä visuaalinen esitys luvusta suureena. Mutta ne on ilmaistava tiukasti muodollisesti, jotta niihin voidaan luottaa teorian tiukasti loogisessa jatkokehityksessä.

Mitä tulee kertomiseen, on pääasiassa viisi lakia, jotka ovat samanlaisia ​​kuin juuri luetellut:

1) aina on numero;

2) tuote on yksiselitteinen,

3) yhdistämislaki:

4) liikkuvuuden laki:

5) monotonisuuden laki: jos , niin

Lopuksi, yhteys yhteen- ja kertolaskujen välillä vahvistetaan kuudennen lain avulla:

6) distributiivisuuden laki:

On helppo nähdä, että kaikki laskelmat perustuvat pelkästään näihin 11 lakiin. Pystyn yksinkertaiseen esimerkkiin, sanotaan kertomalla luku 7 12:lla;

jakelulain mukaan

Tässä lyhyessä keskustelussa opit tietysti yksittäiset vaiheet, joita otamme laskettaessa desimaalijärjestelmässä. Jätän sinun selvittää monimutkaisemmat esimerkit itse. Ilmoitamme tässä vain yhteenvetotuloksen: numeeriset laskelmamme koostuvat edellä lueteltujen yhdentoista pääsäännön toistuvasta soveltamisesta sekä operaatioiden tulosten soveltamisesta muistiin tallennettuihin yksinumeroisiin lukuihin (yhteenlaskutaulukko ja kertotaulukko).

Mutta missä monotonisuuden lait löytävät sovelluksensa? Tavallisissa, muodollisissa laskelmissa emme todellakaan luota niihin, mutta ne osoittautuvat tarpeellisiksi hieman erityyppisissä ongelmissa. Muistutan tässä menetelmästä, jota desimaalilaskennassa kutsutaan tulon ja osamäärän suuruuden estimaatiksi. Tämä on käytännössä erittäin tärkeä tekniikka, jota ei valitettavasti vielä tunneta tarpeeksi koulussa ja opiskelijoiden keskuudessa, vaikka joskus siitä puhutaan jo toisella luokalla; Rajatun tässä esimerkkiin. Oletetaan, että meidän täytyy kertoa 567 luvulla 134, ja näissä luvuissa yksiköiden numerot saadaan - vaikkapa fysikaalisten mittausten avulla - vain erittäin epätarkasti. Tässä tapauksessa olisi täysin hyödytöntä laskea tuotetta täydellä tarkkuudella, koska tällainen laskelma ei silti takaa meille meille kiinnostavan määrän tarkkaa arvoa. Mutta se, mikä meille on todella tärkeää, on tietää tuotteen suuruusluokka, eli määrittää, missä kymmenissä tai sadoissa luku on. Mutta monotonisuuden laki todella antaa sinulle tämän arvion suoraan, koska siitä seuraa, että haluttu luku on välillä 560-130 ja 570-140. Jätän jälleen näiden näkemysten jatkokehittämisen sinulle.

Joka tapauksessa näet, että "arvioinnissa laskelmissa" on jatkuvasti käytettävä monotonisuuden lakeja.

Mitä tulee kaikkien näiden asioiden varsinaiseen soveltamiseen kouluopetuksessa, ei voi olla kysymys kaikkien näiden yhteen- ja kertolaskujen peruslakien systemaattisesta esittelystä. Opettaja voi pysähtyä vain assosiatiivisten, kommutatiivisten ja distributiivisten lakeihin, ja sitten vain siirtyessään kirjaimellisiin laskelmiin, johtaen ne heuristisesti yksinkertaisista ja selkeistä numeerisista esimerkeistä.

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com

Diojen kuvatekstit:

22.10.2015 Luokkatehtävät

Laske janan AB a b A B b a B A AB= a + b AB= b + a pituus

11 + 16 = 27 (hedelmät) 16 + 11 = 27 (hedelmät) Muuttuuko hedelmien kokonaismäärä, kun termit järjestetään uudelleen? Masha keräsi 11 omenaa ja 16 päärynää. Kuinka monta hedelmää oli Mashan korissa?

Kirjoita kirjaimellinen lauseke sanallisen lausunnon kirjoittamiseksi: "summa ei muutu termien uudelleenjärjestelystä" a + b \u003d b + kommutiivinen yhteenlaskulaki

(5 + 7) + 3 = 15 (lelut) Mikä on helpoin tapa laskea? Masha koristeli joulukuusta. Hän ripusti 5 joulupalloa, 7 kartiota ja 3 tähteä. Kuinka monta lelua Masha ripusti yhteensä? (7 + 3) + 5 = 15 (lelut)

Laadi kirjaimellinen lauseke sanallisen lausunnon kirjoittamista varten: "Jos haluat lisätä kolmannen termin kahden termin summaan, voit lisätä toisen ja kolmannen termin summan ensimmäiseen termiin" (a + b) + c \u003d a + (b + c) Yhteenlaskulaki

Lasketaan: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Opi laskemaan nopeasti!

Pätevätkö kertolaskussa samat lait kuin yhteenlaskemisessa? a b = b a (a b) c = a (b c)

b=15 a =12 c=2 V = (a b) c = a (b c) V = (12 15) 2= =12 (15 2) = 360 S = a b = b a S = 12 15 = =15 12 = 180

a b = b a (a b) c = a (b c) Kommutatiivinen kertolasku Assosiatiivinen kertolasku

Lasketaan: 25 756 4 = (25 4) 756= 75600 8 (956 125) = = (8 125) 956 = = 1000 956 = 956000 Opi laskemaan nopeasti!

TUNNIN AIHE: Mitä teemme tänään oppitunnilla? Muotoile oppitunnin aihe.

212 (1 sarake), 214 (a, b, c), 231, 230 Luokassa Kotitehtävät 212 (2 saraketta), 214 (d, e, f), 253

Aiheesta: metodologinen kehitys, esitykset ja muistiinpanot

Matematiikan oppitunnin kehittäminen luokassa 5 "Aritmeettisten operaatioiden lait" sisältää tekstitiedoston ja esityksen oppitunnille. Tämä oppitunti toistaa kommutatiivisia ja assosiatiivisia lakeja, esittelemällä ...

Aritmeettisten operaatioiden lait

Tämä esitys on valmistettu 5. luokan matematiikan oppitunnille aiheesta "Aritmeettisten operaatioiden lait" (I.I. Zubarevin, A.G. Mordkovichin oppikirja).

Oppitunti uuden materiaalin oppimisesta ESM:n avulla...

Aritmeettisten operaatioiden lait

Esitys luotiin visuaalisesti täydentämään oppituntia 5. luokalla aiheesta "Aritmeettiset operaatiot kokonaislukujen kanssa". Se tarjoaa valikoiman tehtäviä sekä yleisiin että itsenäisiin ratkaisuihin.

oppitunnin kehitys Matematiikan luokka 5 Aritmeettisten operaatioiden lait

oppitunnin kehitys Matematiikka luokka 5 Aritmeettisten operaatioiden lait nro p / p Abstrakti rakenne Annotaatiosisältö 1231 Nimi Maljasova Ljudmila Gennadievna 2 Asema, opetettu aine Ma...

18.-19.10.2010

Aihe: "ARITMEettisten toimintojen lait"

Kohde: tutustuttaa opiskelijat aritmeettisten operaatioiden lakeihin.

Oppitunnin tavoitteet:

paljastaa konkreettisilla esimerkeillä yhteen- ja kertolaskujen kommutatiiviset ja assosiatiiviset lait, opettaa niitä soveltamaan lausekkeiden yksinkertaistamiseen;

muodostaa kyky yksinkertaistaa ilmaisuja;

työ lasten loogisen ajattelun ja puheen kehittämiseksi;

kasvattaa itsenäisyyttä, uteliaisuutta, kiinnostusta aihetta kohtaan.

UUD: kyky toimia merkki-symbolisten symbolien kanssa,

kyky valita kohteiden vertailun, vertailun, arvioinnin ja luokittelun perusteet, kriteerit.

Laitteet: oppikirja, TVET, esitys

Riisi. 30 Kuva. 31

Selitä kuvan 30 avulla, miksi yhtäläisyys on totta

a + b = b + a.

Tämä yhtäläisyys ilmaisee hyvin tunnettua lisäyksen ominaisuutta. Yritä muistaa kumpi.

Tarkista itse:

Summa ei muutu ehtojen paikkojen vaihtamisesta

Tämä ominaisuus on kommutatiivinen summauslaki.

Mikä yhtäläisyys voidaan kirjoittaa kuvaan 31? Mikä summausominaisuus ilmaisee tämän yhtäläisyyden?

Testaa itsesi.

Kuvasta 31 seuraa, että (a + b) + c = a + (b + c): Jos kahden ehdon summaan lisätään kolmas termi, saadaan sama luku kuin lisäämällä toisen ja kolmannen termin summa ensimmäiseen termiin.

(a + b) + c:n sijaan, aivan kuten | a + (b + c) sijaan voit kirjoittaa a + b + c.

Tämä ominaisuus on assosiatiivinen summauslaki.

Matematiikassa aritmeettisten operaatioiden lait kirjoitetaan kuten | | sanamuodossa ja tasa-arvon muodossa kirjaimilla:

Selitä, kuinka voit yksinkertaistaa seuraavia laskelmia summauslakeja käyttäen ja suorittaa ne:

212. a) 48 + 56 + 52; e) 25 + 65 + 75;

b) 34 + 17 + 83; f) 35 + 17 + 65 + 33;

c) 56 + 24 + 38 + 62; g) 27 + 123 + 16 + 234;

d) 88 + 19 + 21 + 12; h) 156 + 79 + 21 + 44.

213. Selitä kuvan 32 avulla, miksi yhtäläisyys on totta ab = b A.

Oletko arvannut, mikä laki kuvaa tätä tasa-arvoa? Voiko sen puolesta väittää

Pätevätkö kertolaskussa samat lait kuin yhteenlaskemisessa? Yritä muotoilla ne

ja testaa sitten itsesi:

Laske seuraavien lausekkeiden arvot kertolaskujen lakeja käyttäen suullisesti:

214. a) 76 5 2; c) 69 125 8; e) 8 941 125; B C

b) 465 25 4; d) 4 213 5 5; f) 2 5 126 4 25.

215. Etsi suorakulmion pinta-ala ABCD(Kuva 33) kahdella tavalla.

216. Selitä kuvan 34 avulla, miksi yhtälö on tosi: a(b + c) = ab + ac.

Riisi. 34 Mitä aritmeettisten operaatioiden ominaisuutta se ilmaisee?

Testaa itsesi. Tämä yhtäläisyys kuvaa seuraavaa ominaisuutta: kun kerrot luvun summalla, voit kertoa tämän luvun kullakin termillä ja lisätä tulokset.

Tämä ominaisuus voidaan muotoilla toisella tavalla: kahden tai useamman saman tekijän sisältävän tuotteen summa voidaan korvata tämän tekijän ja muiden tekijöiden summalla.

Tämä ominaisuus on toinen aritmeettisten operaatioiden laki - jakavia. Kuten näette, tämän lain sanallinen muotoilu on erittäin hankalaa, ja matemaattinen kieli tekee siitä tiiviin ja ymmärrettävän:

Mieti kuinka suoritat suullisesti laskutoimitukset tehtävissä nro 217 - 220 ja tee ne.

217. a) 15 13; b) 26 22; c) 34 12; d) 27 21.

218. a) 44 52; b) 16 42; c) 35 33; d) 36 26.

219. a) 43 16 + 43 84; e) 62 16 + 38 16;

b) 85 47 + 53 85; f) 85 44 + 44 15;

c) 54 60 + 460 6. g) 240 710 + 7100 76;

d) 23 320 + 230 68; h) 38 5800 + 380 520.

220. a) 4 63 + 4 79 + 142 6; c) 17 27 + 23 17 + 50 19;

b) 7 125 + 3 62 + 63 3; d) 38 46 + 62 46 + 100 54.

221. Piirrä muistikirjaasi tasa-arvon todistamiseksi. A ( b - c) = a b - ässä

222. Laske suullisesti jakautumislakia soveltaen: a) 6 28; b) 18 21; c) 17 63; d) 19 98.

223. Laske suullisesti: a) 34 84 - 24 84; c) 51 78 - 51 58;

b) 45 40 - 40 25; d) 63 7 – 7 33

224 Laske: a) 560 188 - 880 56; c) 490 730 - 73 900;

b) 84 670 - 640 67; d) 36 3400 - 360 140.

Laske suullisesti tuntemillasi tekniikoilla:

225. a) 13 5 + 71 5; c) 87 5 - 23 5; e) 43 25 + 25 17;

b) 58 5 - 36 5; d) 48 5 + 54 5; f) 25 67 - 39 25.

226. Vertaa lausekkeiden arvoja suorittamatta laskelmia:

a) 258 (764 + 548) ja 258 764 + 258 545; c) 532 (618 – 436) ja 532 618 – 532 436;

b) 751 (339 + 564) ja 751 340 + 751 564; d) 496 (862 - 715) ja 496 860 - 496 715.

227. Täytä taulukko:

Pitikö sinun tehdä laskelmia toisen rivin täyttämiseksi?

228. Miten tämä tuote muuttuu, jos tekijöitä muutetaan seuraavasti:

229. Kirjoita ylös, mitkä luonnolliset luvut sijaitsevat koordinaattisäteellä:

a) numeron 7 vasemmalla puolella; c) numeroiden 2895 ja 2901 väliltä;

b) numeroiden 128 ja 132 väliltä; d) numeron 487 oikealla puolella, mutta numeron 493 vasemmalla puolella.

230. Lisää toimintamerkit saadaksesi oikean yhtäläisen: a) 40 + 15? 17 = 72; c) 40? 15 ? 17 = 8;

b) 40? 15 ? 17 = 42; d) 120? 60? 60 = 0.

231 . Toisessa laatikossa on siniset sukat ja toisessa valkoiset sukat. Sinisiä sukkia on 20 paria enemmän kuin valkoisia, ja kahdessa laatikossa on vain 84 laraa sukkia. Kuinka monta paria kutakin väriä sukkia?

232 . Myymälässä on kolmenlaisia ​​viljalajeja: tattari, ohra ja riisi, yhteensä 580 kg. Jos myytäisiin 44 kg tattaria, 18 kg ohraa ja 29 kg riisiä, kaikkien viljalajien massa olisi sama. Kuinka monta kiloa kutakin viljalajia kaupasta on saatavilla.