Yksi todennäköisyysteorian peruskäsitteistä on tapahtuman käsite.
Tapahtuma viittaa mihin tahansa tosiasiaan, joka voi tapahtua tai ei välttämättä ilmene testin seurauksena.
Alla testata (kokea, koe) tässä määritelmässä ymmärretään tietyn ehtojoukon täyttyminen, jossa tämä tai toinen ilmiö havaitaan ja tämä tai toinen tulos kirjataan.
Esimerkiksi ampuja ampuu maaliin. Tässä tapauksessa laukaus on testi, osuma tai ohitus on tapahtuma. Toinen esimerkki: uurnasta, jossa on erivärisiä palloja, vedetään yksi pallo. Tässä tapauksessa pallon hakeminen uurnasta on testi. Tietynvärisen pallon ilmestyminen on tapahtuma.
Tapahtumat merkitään yleensä latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla: A, B, C jne.
Tapahtuma on ns luotettava , jos testin seurauksena sen on välttämättä tapahduttava. Tapahtuma on ns satunnainen , jos se voi testin seurauksena tapahtua tai ei. Tapahtuma on ns mahdotonta , jos se ei testin seurauksena tapahdu ollenkaan.
Esimerkiksi noppaa heitetään. Tässä tapauksessa kokonaisluvun esiintyminen on luotettava tapahtuma, luvun 2 ilmestyminen on satunnainen tapahtuma ja luvun 8 ilmestyminen on mahdoton tapahtuma.
Tapahtumat ovat ns yhteensopimaton , jos yhden niistä esiintyminen sulkee pois minkä tahansa muun esiintymisen. Muuten tapahtumat ovat ns liitos .
Esimerkiksi yhden oppiaineen kokeessa arvosanat "erinomainen", "hyvä" ja "tyydyttävä" ovat yhteensopimattomia tapahtumia, mutta saman arvosanan saaminen kolmesta eri oppiaineesta on yhteistapahtumaa.
Tapahtumat ovat ns ainoa mahdollinen , jos yhden ja vain yhden esiintyminen testin tuloksena on luotettava tapahtuma.
Esimerkiksi kaksi opiskelijaa tuli suorittamaan kokeen. Jokin seuraavista tapahtumista tapahtuu ehdottomasti: molemmat opiskelijat läpäisevät kokeen (tapahtuma A), vain yksi opiskelija läpäisee kokeen (tapahtuma SISÄÄN), kukaan oppilaista ei läpäise koetta (tapahtuma KANSSA). Tapahtumat A, SISÄÄN, KANSSA ovat ainoita mahdollisia.
Tapahtumat ovat ns yhtä mahdollista , jos symmetriaehtojen mukaan on syytä uskoa, että mikään näistä tapahtumista ei ole objektiivisesti mahdollista muita.
Esimerkiksi vaakunan tai pään ilmaantuminen kolikkoa heitettäessä ovat yhtä mahdollisia tapahtumia. Itse asiassa oletetaan, että kolikon on valmistettu homogeenisesta materiaalista, sillä on säännöllinen lieriömäinen muoto, ja lyönnin läsnäolo ei vaikuta kolikon yhden tai toisen puolen menettämiseen.
Muodostuu useita tapahtumia täysi ryhmä , jos ne ovat oikeudenkäynnin ainoat mahdolliset ja yhteensopimattomat tulokset. Tämä tarkoittaa, että yksi ja vain yksi näistä tapahtumista tulee tapahtua testin seurauksena.
Esimerkiksi opiskelija vastaa koepaperin kysymyksiin. Lippu sisältää kaksi kysymystä. Seuraavat testitulokset ovat mahdollisia: opiskelija vastaa molempiin kysymyksiin (tapahtuma A 1), vastaa yhteen kysymykseen (tapahtuma A 2), ei vastaa yhteenkään kysymykseen (tapahtuma A 3). Tapahtumat A 1 , A 2 ja A 3 muodostavat täydellisen ryhmän.
Vastapäätä nimeä kaksi yksilöllisesti mahdollista tapahtumaa, jotka muodostavat täydellisen ryhmän.
Esimerkiksi tapahtuma, jossa oppilas on tällä hetkellä luokkahuoneessa, ja tapahtuma, että hän on luokkahuoneen ulkopuolella, ovat vastakohtia.
Jos toinen kahdesta vastakkaisesta tapahtumasta on merkitty A, silloin jotain muuta merkitään yleensä nimellä .
Tapahtumien luokittelu mahdollisiin, todennäköisiin ja satunnaisiin. Yksinkertaisten ja monimutkaisten alkeistapahtumien käsitteet. Toiminta tapahtumissa. Klassinen määritelmä satunnaisen tapahtuman todennäköisyydestä ja sen ominaisuuksista. Kombinatorian elementit todennäköisyysteoriassa. Geometrinen todennäköisyys. Todennäköisyysteorian aksioomat.
Tapahtuman luokittelu
Yksi todennäköisyysteorian peruskäsitteistä on tapahtuman käsite. Alla tapahtuma ymmärtää kaikki tosiasiat, jotka voivat ilmetä kokemuksen tai testin seurauksena. Alla kokea, tai testata, viittaa tiettyjen ehtojen toteuttamiseen.
Esimerkkejä tapahtumista:
- – maalin osuminen aseesta ammuttaessa (kokemus - laukauksen teko; tapahtuma - maaliin osuminen);
– kahden tunnuksen katoaminen heitettäessä kolikkoa kolme kertaa (kokemus – kolikon heittäminen kolme kertaa; tapahtuma – kahden tunnuksen menetys);
– mittausvirheen esiintyminen määritetyissä rajoissa, kun mitataan etäisyyttä kohteeseen (kokemus - etäisyyden mittaus; tapahtuma - mittausvirhe).
Vastaavia esimerkkejä voidaan antaa lukemattomia. Tapahtumat on merkitty latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla jne.
Erottaa yhteisiä tapahtumia Ja yhteensopimaton. Tapahtumia kutsutaan yhteisiksi, jos yhden tapahtuminen ei sulje pois toisen tapahtumista. Muuten tapahtumia kutsutaan yhteensopimattomiksi. Esimerkiksi kaksi noppaa heitetään. Tapahtuma on kolmen pisteen menetys ensimmäisellä noppalla, tapahtuma on kolmen pisteen menetys toisella noppalla. ja - yhteiset tapahtumat. Anna myymälän saada erä saman tyylisiä ja kokoisia, mutta erivärisiä kenkiä. Tapahtuma - satunnaisesti otettu laatikko sisältää mustia kenkiä, tapahtuma - laatikko sisältää ruskeita kenkiä ja - yhteensopimattomia tapahtumia.
Tapahtuma on ns luotettava, jos se varmasti tapahtuu tietyn kokeen olosuhteissa.
Tapahtumaa kutsutaan mahdottomaksi, jos se ei voi tapahtua tietyn kokemuksen olosuhteissa. Esimerkiksi tapaus, jossa vakioosa otetaan vakioosien erästä, on luotettava, mutta ei-standardiosa on mahdotonta.
Tapahtuma on ns mahdollista, tai satunnainen, jos kokemuksen seurauksena se saattaa ilmestyä, mutta se ei välttämättä näy. Esimerkki satunnaisesta tapahtumasta voi olla tuotevirheiden tunnistaminen valmiiden tuotteiden erän tarkastuksen aikana, jalostetun tuotteen ja määritellyn tuotteen koon välinen ero tai jonkin automatisoidun ohjausjärjestelmän linkin vikaantuminen.
Tapahtumat ovat ns yhtä mahdollista, jos mikään näistä tapahtumista ei ole testiolosuhteiden mukaan objektiivisesti mahdollisempi kuin muut. Antaa esimerkiksi useiden tuotantolaitosten toimittaa myymälään hehkulamppuja (yhtenä määränä). Tapahtumat, joihin liittyy hehkulampun ostaminen mistä tahansa näistä tehtaista, ovat yhtä mahdollisia.
Tärkeä käsite on koko joukko tapahtumia. Useat tapahtumat tietyssä kokeilussa muodostavat täydellisen ryhmän, jos ainakin yksi niistä tulee varmasti näkyviin kokeilun tuloksena. Esimerkiksi uurnassa on kymmenen palloa, joista kuusi on punaista, neljä valkoista ja viidessä pallossa on numeroita. - punaisen pallon ilmestyminen yhden vedon aikana, - valkoisen pallon esiintyminen, - numerolla varustetun pallon esiintyminen. Tapahtumat muodostavat kokonaisen ryhmän yhteisiä tapahtumia.
Otetaan käyttöön vastakkaisen tai lisätapahtuman käsite. Alla vastapäätä Tapahtuma ymmärretään tapahtumaksi, jonka täytyy välttämättä tapahtua, jos jotakin tapahtumaa ei tapahdu. Vastakkaiset tapahtumat ovat yhteensopimattomia ja ainoita mahdollisia. Ne muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän. Jos esimerkiksi erä valmistettuja tuotteita koostuu hyvistä ja viallisista tuotteista, niin yksi tuote voi poistettaessa osoittautua joko hyväksi tai vialliseksi tapahtumaksi.
Toiminta tapahtumissa
Kun kehitetään laitteistoa ja metodologiaa satunnaisten tapahtumien tutkimiseen todennäköisyysteoriassa, tapahtumien summan ja tulon käsite on erittäin tärkeä.
Useiden tapahtumien summa tai liitto on tapahtuma, joka koostuu vähintään yhden näistä tapahtumista.
Tapahtumien summa ilmoitetaan seuraavasti:
Esimerkiksi, jos tapahtuma osuu maaliin ensimmäisellä laukauksella, tapahtuma - toisella, niin tapahtuma osuu maaliin yleensä, sillä ei ole väliä millä laukauksella - ensimmäisellä, toisella vai molemmilla.
Useiden tapahtumien tulo tai leikkauspiste on tapahtuma, joka koostuu kaikkien näiden tapahtumien yhteisestä esiintymisestä.
Tapahtumien tuotanto ilmoitetaan
Esimerkiksi jos tapahtuma on, että maali osuu ensimmäisellä laukauksella, tapahtuma on, että maali osuu toisella laukauksella, niin tapahtuma on, että maali osui molemmilla laukauksilla.
Tapahtumien summan ja tulon käsitteillä on selkeä geometrinen tulkinta. Olkoon tapahtuma pisteestä, joka pääsee alueelle, tapahtuma koostuu alueelle pääsystä, sitten tapahtuma koostuu pisteestä, joka pääsee kuvan 2 varjostetulle alueelle. 1, ja tapahtuma on, kun piste osuu kuvassa 1 varjostettuun alueeseen. 2.
Klassinen määritelmä satunnaisen tapahtuman todennäköisyydestä
Tapahtumien kvantitatiiviseen vertaamiseen niiden esiintymismahdollisuuden mukaan otetaan käyttöön numeerinen mitta, jota kutsutaan tapahtuman todennäköisyydeksi.
Tapahtuman todennäköisyys on luku, joka ilmaisee tapahtuman objektiivisen mahdollisuuden mittaa.
Tapahtuman todennäköisyys merkitään symbolilla.
Tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin sille suotuisten tapausten lukumäärän suhde yksilöllisesti mahdollisten, yhtä mahdollisten ja yhteensopimattomien tapausten kokonaismäärästä eli
Tämä on todennäköisyyden klassinen määritelmä. Näin ollen tapahtuman todennäköisyyden selvittämiseksi on testin eri tulosten huomioimisen jälkeen tarpeen löytää joukko yksilöllisesti mahdollisia, yhtä mahdollisia ja yhteensopimattomia tapauksia, laskea niiden kokonaismäärä, tietylle suotuisten tapausten lukumäärä. tapahtuma ja suorita sitten laskutoimitus kaavan (1.1) avulla.
Kaavasta (1.1) seuraa, että tapahtuman todennäköisyys on ei-negatiivinen luku ja voi vaihdella nollasta yhteen riippuen tapausten suotuisan lukumäärän osuudesta tapausten kokonaismäärästä:
Todennäköisyyden ominaisuudet
Kiinteistö 1. Jos kaikki tapaukset ovat suotuisia tietylle tapahtumalle, tämä tapahtuma varmasti tapahtuu. Näin ollen kyseessä oleva tapahtuma on luotettava ja sen toteutumisen todennäköisyys on , koska tässä tapauksessa
Kiinteistö 2. Jos tietylle tapahtumalle ei ole yhtä suotuisaa tapausta, tämä tapahtuma ei voi tapahtua kokemuksen seurauksena. Näin ollen kyseessä oleva tapahtuma on mahdoton ja sen toteutumisen todennäköisyys on , koska tässä tapauksessa:
Kiinteistö 3. Täydellisen ryhmän muodostavien tapahtumien toteutumisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi.
Kiinteistö 4. Vastakkaisen tapahtuman todennäköisyys määritetään samalla tavalla kuin tapahtuman todennäköisyys:
missä on niiden tapausten lukumäärä, jotka suosivat päinvastaisen tapahtuman toteutumista. Siten päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin erotuksen yhtenäisyyden ja tapahtuman todennäköisyyden välillä:
Klassisen tapahtuman todennäköisyyden määritelmän tärkeä etu on, että sen avulla voidaan määrittää tapahtuman todennäköisyys turvautumatta kokemukseen, vaan loogiseen päättelyyn perustuen.
Esimerkki 1. Puhelinnumeroa valitessaan tilaaja unohti yhden numeron ja valitsi sen satunnaisesti. Selvitä todennäköisyys, että oikea numero valitaan.
Ratkaisu. Merkitään tapahtumaa, jossa haluttu numero valitaan. Tilaaja voi valita minkä tahansa 10 numerosta, joten mahdollisten tulosten kokonaismäärä on 10. Nämä tulokset ovat ainoita mahdollisia (yksi numeroista on valittava) ja yhtä mahdollisia (numero valitaan satunnaisesti). Vain yksi tulos suosii tapahtumaa (pakollinen määrä on vain yksi). Vaadittu todennäköisyys on yhtä suuri kuin tapahtumalle suotuisten tulosten lukumäärän suhde kaikkien tulosten määrään:
Kombinatoriikan elementit
Todennäköisyysteoriassa käytetään usein sijoitteluja, permutaatioita ja yhdistelmiä. Jos joukko annetaan, niin sijoitus (yhdistelmä) alkioista by on mikä tahansa joukon elementtien järjestetty (järjestämätön) osajoukko. Kun sijoitetaan, kutsutaan uudelleenjärjestely elementeistä.
Annetaan esimerkiksi joukko. Tämän kahden joukon kolmen elementin sijoittelut ovat , , , , , ; yhdistelmät - , , .
Kaksi yhdistelmää eroavat toisistaan ainakin yhdessä elementissä, ja sijoittelut eroavat joko itse elementeistä tai niiden esiintymisjärjestyksestä. Elementtien yhdistelmien lukumäärä by lasketaan kaavalla
on elementtien sijoittelujen lukumäärä ; - elementtien permutaatioiden lukumäärä.
Esimerkki 2. 10 osan erässä on 7 vakioosaa. Laske todennäköisyys, että 6 satunnaisesti otetusta osasta on täsmälleen 4 vakioosaa.
Ratkaisu. Mahdollisten testitulosten kokonaismäärä on yhtä suuri kuin kuinka monta tapaa voidaan erottaa 6 osaa 10:stä, eli yhtä monta kuin 10 elementin yhdistelmiä 6:sta. Tapahtumalle suotuisten tulosten määrä (6 joukossa otettuja osia on tarkalleen 4 vakioosaa) määritetään seuraavasti: 4 vakioosaa voidaan ottaa 7 vakioosasta eri tavoin; tässä tapauksessa muiden osien on oltava epästandardeja; On olemassa tapoja ottaa 2 ei-standardista osaa epästandardeista osista. Siksi myönteisten tulosten määrä on yhtä suuri kuin . Alkutodennäköisyys on yhtä suuri kuin tapahtumalle suotuisten tulosten lukumäärän suhde kaikkien tulosten määrään:
Todennäköisyyden tilastollinen määritelmä
Kaavaa (1.1) käytetään tapahtumien todennäköisyyksien suoraan laskemiseen vain, kun kokemus pelkistetään tapausmalliksi. Käytännössä klassista todennäköisyyden määritelmää ei useinkaan voida soveltaa kahdesta syystä: ensinnäkin klassinen todennäköisyyden määritelmä olettaa, että tapausten kokonaismäärän on oltava äärellinen. Itse asiassa sitä ei useinkaan ole rajoitettu. Toiseksi on usein mahdotonta esittää kokeilun tuloksia yhtä mahdollisina ja yhteensopimattomina tapahtumina.
Tapahtumien esiintymistiheydellä toistuvien kokeiden aikana on taipumus vakiintua jonkin vakioarvon ympärille. Tarkasteltavaan tapahtumaan voidaan siis liittää tietty vakioarvo, jonka ympärille taajuudet ryhmitellään ja joka on ominaista objektiiviselle yhteydelle kokeiden suorittamisen edellytysten joukon ja tapahtuman välillä.
Satunnaistapahtuman todennäköisyys on luku, jonka ympärille tämän tapahtuman esiintymistiheydet ryhmitellään kokeiden määrän kasvaessa.
Tätä todennäköisyyden määritelmää kutsutaan tilastollinen.
Tilastollisen todennäköisyyden määritysmenetelmän etuna on, että se perustuu todelliseen kokeeseen. Sen merkittävä haittapuoli on kuitenkin se, että todennäköisyyden määrittämiseksi on suoritettava suuri määrä kokeita, jotka usein liittyvät materiaalikustannuksiin. Tapahtuman todennäköisyyden tilastollinen määritelmä, vaikka se paljastaakin täysin tämän käsitteen sisällön, ei mahdollista todennäköisyyden tosiasiallista laskemista.
Klassinen todennäköisyyden määritelmä ottaa huomioon äärellisen määrän yhtä mahdollisia tapahtumia. Käytännössä hyvin usein mahdollisten testitulosten määrä on ääretön. Tällaisissa tapauksissa klassista todennäköisyyden määritelmää ei voida soveltaa. Joskus tällaisissa tapauksissa voit kuitenkin käyttää toista todennäköisyyden laskentatapaa. Varmuuden vuoksi rajoitamme itsemme kaksiulotteiseen tapaukseen.
Olkoon tasossa tietty aluealue , joka sisältää toisen pinta-alan alueen (kuva 3). Piste heitetään alueelle satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä piste putoaa alueelle? Oletetaan, että satunnaisesti heitetty piste voi osua mihin tahansa alueen pisteeseen, ja todennäköisyys osua mihin tahansa alueen osaan on verrannollinen osan pinta-alaan eikä riipu sen sijainnista ja muodosta. Tässä tapauksessa todennäköisyys osua alueelle heitettäessä piste satunnaisesti alueelle on
Näin ollen yleisessä tapauksessa, jos pisteen mahdollisuus ilmaantua satunnaisesti tietyn alueen sisällä viivalla, tasossa tai avaruudessa, ei määräydy tämän alueen sijainnin ja sen rajojen perusteella, vaan vain sen koon eli pituuden perusteella. , pinta-ala tai tilavuus todennäköisyys, että satunnainen piste putoaa tietyn alueen sisään, määritellään tämän alueen koon suhteeksi koko sen alueen kokoon, jossa tietty piste voi esiintyä. Tämä on todennäköisyyden geometrinen määritelmä.
Esimerkki 3. Pyöreä kohde pyörii vakiokulmanopeudella. Viidesosa maalitaulusta on maalattu vihreäksi ja loput valkoiseksi (kuva 4). Laukaus ammutaan maaliin siten, että maaliin osuminen on luotettava tapahtuma. Sinun on määritettävä todennäköisyys osua vihreäksi väritettyyn kohdesektoriin.
Ratkaisu. Merkitään "laukaus osui vihreään sektoriin". Sitten . Todennäköisyys saadaan vihreäksi maalatun kohteen pinta-alan suhteena kohteen koko alueeseen, koska osumat mihin tahansa kohteen osaan ovat yhtä mahdollisia.
Todennäköisyysteorian aksioomat
Satunnaistapahtuman todennäköisyyden tilastollisesta määritelmästä seuraa, että tapahtuman todennäköisyys on luku, jonka ympärille tämän kokeellisesti havaitun tapahtuman taajuudet ryhmitellään. Siksi todennäköisyysteorian aksioomat otetaan käyttöön niin, että tapahtuman todennäköisyydellä on taajuuden perusominaisuudet.
Aksiooma 1. Jokainen tapahtuma vastaa tiettyä määrää, joka täyttää ehdon ja jota kutsutaan sen todennäköisyydeksi.
Todennäköisyysteoria – matemaattinen tiede, joka tutkii satunnaisten ilmiöiden kuvioita. Satunnaiset ilmiöt ymmärretään ilmiöiksi, joiden lopputulos on epävarma ja jotka tapahtuvat, kun tietty joukko olosuhteita toistetaan toistuvasti.
Esimerkiksi kolikkoa heittäessä ei voi ennustaa, kummalle puolelle se laskeutuu. Kolikon heittämisen tulos on satunnainen. Mutta riittävän suurella kolikonheittomäärällä on tietty kuvio (vaakuna ja hash-merkki putoavat suunnilleen saman monta kertaa).
Todennäköisyysteorian peruskäsitteet
Testi (kokemus, kokeilu) - tietyn olosuhteiden toteuttaminen, joissa tämä tai tämä ilmiö havaitaan ja tämä tai tuo tulos kirjataan.
Esimerkiksi: nopan heittäminen ja pistemäärän saaminen; ilman lämpötilaero; menetelmä taudin hoitamiseksi; jonkun ajanjakson ihmisen elämästä.
Satunnainen tapahtuma (tai vain tapahtuma) -testin tulos.
Esimerkkejä satunnaisista tapahtumista:
yhden pisteen saaminen noppaa heittäessä;
sepelvaltimotaudin paheneminen ja ilman lämpötilan jyrkkä nousu kesällä;
taudin komplikaatioiden kehittyminen väärän hoitomenetelmän valinnan vuoksi;
yliopistoon pääsy onnistuneiden opintojen jälkeen.
Tapahtumat on merkitty latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla: A , B , C , …
Tapahtuma on ns luotettava , jos testin seurauksena sen on välttämättä tapahduttava.
Tapahtuma on ns mahdotonta , jos se ei testin seurauksena tapahdu ollenkaan.
Esimerkiksi jos kaikki erän tuotteet ovat vakiotuotteita, niin vakiotuotteen irrottaminen siitä on luotettava tapahtuma, mutta viallisen tuotteen erottaminen samoissa olosuhteissa on mahdoton tapahtuma.
TODENNÄKÖISYYDEN KLASSINEN MÄÄRITELMÄ
Todennäköisyys on yksi todennäköisyysteorian peruskäsitteistä.
Klassinen tapahtumatodennäköisyys 
kutsutaan tapahtumalle suotuisten tapausten lukumäärän suhteeksi 
, tapausten kokonaismäärään, ts.
, (5.1)
Missä 
- tapahtuman todennäköisyys 
,
- tapahtumalle suotuisten tapausten määrä 
,
- tapausten kokonaismäärä.
Tapahtuman todennäköisyyden ominaisuudet
Minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on nollan ja yhden välillä, ts.
Luotettavan tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri, ts.
.
Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla, ts.
.
(Tarjoa ratkaisemaan useita yksinkertaisia ongelmia suullisesti).
TODENNÄKÖISUUDEN TILASTOINEN MÄÄRITTÄMINEN
Käytännössä tapahtumien todennäköisyyksien arvioiminen perustuu usein siihen, kuinka usein tietty tapahtuma esiintyy suoritetuissa testeissä. Tässä tapauksessa käytetään tilastollista todennäköisyyden määritelmää.
Tapahtuman tilastollinen todennäköisyys 
jota kutsutaan suhteelliseksi taajuusrajaksi (tapausten lukumäärän suhde m, suotuisa tapahtuman toteutumiselle 
, kokonaismäärään 
suoritetut testit), kun testien määrä pyrkii äärettömään, ts.
Missä 
- tapahtuman tilastollinen todennäköisyys 
,
- niiden kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma esiintyi 
,
- testien kokonaismäärä.
Toisin kuin klassinen todennäköisyys, tilastollinen todennäköisyys on kokeellisen todennäköisyyden ominaisuus. Klassinen todennäköisyys laskee teoreettisesti tapahtuman todennäköisyyden tietyissä olosuhteissa, eikä se vaadi testien suorittamista todellisuudessa. Tilastollisen todennäköisyyskaavan avulla määritetään kokeellisesti tapahtuman todennäköisyys, ts. oletetaan, että testit todella suoritettiin.
Tilastollinen todennäköisyys on suunnilleen yhtä suuri kuin satunnaisen tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys, joten käytännössä suhteellinen todennäköisyys otetaan tilastolliseksi todennäköisyydeksi, koska tilastollista todennäköisyyttä on käytännössä mahdotonta löytää.
Todennäköisyyden tilastollista määritelmää voidaan soveltaa satunnaisiin tapahtumiin, joilla on seuraavat ominaisuudet:
Todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskulauseet
Peruskonseptit
a) Ainoat mahdolliset tapahtumat
Tapahtumat 
Niitä kutsutaan ainoiksi mahdollisiksi, jos jokaisen testin tuloksena vähintään yksi niistä varmasti tapahtuu.
Nämä tapahtumat muodostavat kokonaisen tapahtumaryhmän.
Esimerkiksi noppaa heitettäessä ainoat mahdolliset tapahtumat ovat sivut, joilla on yksi, kaksi, kolme, neljä, viisi ja kuusi pistettä. Ne muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän.
b) Tapahtumia kutsutaan yhteensopimattomiksi, jos yhden niistä esiintyminen sulkee pois muiden tapahtumien esiintymisen samassa kokeessa. Muuten niitä kutsutaan yhteisiksi.
c) päinvastoin nimeä kaksi yksilöllisesti mahdollista tapahtumaa, jotka muodostavat täydellisen ryhmän. Nimeä 
Ja 
.
G) Tapahtumia kutsutaan itsenäisiksi, jos yhden niistä toteutumisen todennäköisyys ei riipu muiden toimeksiannosta tai suorittamatta jättämisestä.
Toimenpiteet tapahtumissa
Useiden tapahtumien summa on tapahtuma, joka koostuu vähintään yhden näistä tapahtumista.
Jos 
Ja 
– yhteistapahtumat, sitten niiden summa 
tai 
tarkoittaa joko tapahtuman A tai tapahtuman B tai molempien tapahtumien esiintymistä yhdessä.
Jos 
Ja 
– yhteensopimattomat tapahtumat, sitten niiden summa 
tarkoittaa tapahtumaa tai tapahtumia 
tai tapahtumia 
.
Määrä 
tapahtumat tarkoittavat: 
Useiden tapahtumien tulo (leikkauskohta) on tapahtuma, joka koostuu kaikkien näiden tapahtumien yhteisestä esiintymisestä.
Kahden tapahtuman tuloa merkitään 
tai 
.
Tehdä työtä 
tapahtumat edustavat 
Lause yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien lisäämiseksi
Kahden tai useamman yhteensopimattoman tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:
kahdelle tapahtumalle;
- Sillä 
Tapahtumat.
Seuraukset:
a) Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa 
Ja 
yhtä kuin yksi:
Vastakkaisen tapahtuman todennäköisyys on merkitty 
:
.
b) Todennäköisyyksien summa 
tapahtumista, jotka muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän, on yhtä suuri kuin yksi: tai 
.
Lause yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien lisäämiseksi
Kahden yhteistapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa ilman niiden leikkauksen todennäköisyyksiä, ts.
Todennäköisyyksien kertolaskulause
a) kahdelle itsenäiselle tapahtumalle:
b) Kahdelle riippuvaiselle tapahtumalle
Missä 
– tapahtuman ehdollinen todennäköisyys 
, eli tapahtuman todennäköisyys 
, lasketaan sillä ehdolla, että tapahtuma 
tapahtui.
c) varten 
itsenäiset tapahtumat:
.
d) Ainakin yhden tapahtuman todennäköisyys 
muodostaen täydellisen ryhmän itsenäisiä tapahtumia:
Ehdollinen todennäköisyys
Tapahtuman todennäköisyys 
, lasketaan olettaen, että tapahtuma tapahtui 
, kutsutaan tapahtuman ehdolliseen todennäköisyyteen 
ja on nimetty 
tai 
.
Laskettaessa ehdollista todennäköisyyttä käyttämällä klassista todennäköisyyskaavaa, tulosten lukumäärä 
Ja 
lasketaan ottaen huomioon se tosiasia, että ennen tapahtuman toteutumista 
tapahtui tapahtuma 
.
Tapahtumat ja niiden luokittelu
Todennäköisyysteorian peruskäsitteet
Mitä tahansa matemaattista teoriaa rakennettaessa tunnistetaan ensinnäkin yksinkertaisimmat käsitteet, jotka hyväksytään alkufaktoiksi. Tällaisia todennäköisyysteorian peruskäsitteitä ovat käsite satunnainen kokeilu, satunnainen tapahtuma, satunnaisen tapahtuman todennäköisyys.
Satunnainen kokeilu– tämä on prosessi, jossa tallennetaan havainnointi meitä kiinnostavasta tapahtumasta, joka suoritetaan tietyn paikallaan olevan (ei muutu ajan myötä) todellinen ehtojoukko, mukaan lukien suuren määrän satunnaisten (jota ei voida soveltaa tiukkaan kirjanpitoon ja valvontaan) vaikutuksen väistämättömyys.
Nämä tekijät puolestaan ei salli meidän tehdä täysin luotettavia johtopäätöksiä siitä, toteutuuko meitä kiinnostava tapahtuma vai ei. Tässä tapauksessa oletetaan, että meillä on perustavanlaatuinen mahdollisuus (ainakin henkisesti toteutettavissa oleva) toistaa kokeilumme tai havainnointimme monta kertaa saman olosuhteen puitteissa.
Tässä on esimerkkejä satunnaisista kokeista.
1. Täysin symmetrisen kolikon heittämisestä koostuva satunnainen kokeilu sisältää satunnaisia tekijöitä, kuten kolikon heittovoiman, kolikon liikeradan, alkunopeuden, pyörimismomentin jne. Nämä satunnaiset tekijät tekevät mahdottomaksi määrittää tarkasti jokaisen yksittäisen kokeen lopputuloksen: "kolikkoa heittäessä tulee näkyviin vaakuna" tai "kolikkoa heittäessä tulee näkyviin hännät".
2. Stalkanat-tehdas testaa valmistetut kaapelit suurimmalle sallitulle kuormitukselle. Kuorma vaihtelee tietyissä rajoissa kokeesta toiseen. Tämä johtuu sellaisista satunnaisista tekijöistä, kuten mikroviat materiaalissa, josta kaapelit on valmistettu, erilaiset häiriöt laitteiden toiminnassa kaapelien valmistuksen aikana, varastointiolosuhteet, koeolosuhteet jne.
3. Sarja laukauksia ammutaan samasta aseesta tiettyyn kohteeseen. Kohteeseen osuminen riippuu monista satunnaisista tekijöistä, joita ovat aseen ja ammuksen kunto, aseen asennus, ampujan taidot, sääolosuhteet (tuuli, valo jne.).
Määritelmä. Tietyn ehtojoukon toteuttamista kutsutaan testata. Testin tulos on ns tapahtuma.
Satunnaiset tapahtumat on merkitty latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla: A, B, C...tai iso kirjain indeksillä: .
Esimerkiksi kokeen läpäiseminen tietyin ehdoin (kirjallinen koe, mukaan lukien luokitusjärjestelmä jne.) on opiskelijalle koe, ja tietyn arvosanan saaminen on tapahtuma;
aseen ampuminen tietyissä olosuhteissa (sääolosuhteet, aseen kunto jne.) on testi, ja kohteen osuminen tai puuttuminen on tapahtuma.
Voimme toistaa saman kokeen monta kertaa samoissa olosuhteissa. Kunkin tällaisen kokeen olosuhteita kuvaavien satunnaisten tekijöiden suuren määrän läsnäolo tekee mahdottomaksi tehdä täysin varmaa johtopäätöstä siitä, toteutuuko meitä kiinnostava tapahtuma erillisessä testissä vai ei. Huomaa, että todennäköisyysteoriassa tällaista ongelmaa ei esiinny.
Tapahtuman luokittelu
Tapahtumia tapahtuu luotettava, mahdoton Ja satunnainen.
Määritelmä. Tapahtuma on ns luotettava, jos tietyissä olosuhteissa se välttämättä tapahtuu.
Kaikki luotettavat tapahtumat on merkitty kirjaimella (englannin sanan ensimmäinen kirjain universaali- yleinen)
Esimerkkejä luotettavista tapahtumista ovat: valkoisen pallon ilmaantuminen uurnasta, joka sisältää vain valkoisia palloja; voittaa win-win lotossa.
Määritelmä. Tapahtuma on ns mahdotonta, jos se ei voi tapahtua tietyissä olosuhteissa.
Kaikki mahdottomat tapahtumat on merkitty kirjaimella.
Esimerkiksi euklidisessa geometriassa kolmion kulmien summa ei voi olla suurempi kuin , etkä voi saada arvosanaa "6" kokeessa viiden pisteen arvostusjärjestelmällä.
Määritelmä. Tapahtuma on ns satunnainen, jos se saattaa esiintyä tietyissä olosuhteissa tai ei.
Esimerkiksi satunnaisia tapahtumia ovat: ässän ilmestyminen korttipakasta; jalkapallojoukkueottelun voittotapahtuma; raha- ja vaatearpajaisten voittotapahtuma; viallisen television osto jne.
Määritelmä. Tapahtumat kutsutaan yhteensopimaton, jos jokin näistä tapahtumista sulkee pois muiden tapahtumien.
Esimerkki 1. Jos ajatellaan testiä, joka koostuu kolikon heittämisestä, niin tapahtumat - vaakunan ilmestyminen ja numeron ilmestyminen - ovat yhteensopimattomia tapahtumia.
Määritelmä. Tapahtumat kutsutaan yhteinen, jos jokin näistä tapahtumista ei sulje pois muiden tapahtumien toteutumista.
Esimerkki 2. Jos laukaus ammutaan kolmesta aseesta, seuraavat tapahtumat yhdistetään: osuma ensimmäisestä aseesta; osuma toisesta aseesta; osui kolmannesta aseesta.
Määritelmä. Tapahtumat kutsutaan ainoa mahdollinen, jos tietty ehtojoukko toteutuu, vähintään yhden määritetyistä tapahtumista on tapahduttava.
Esimerkki 3. Kun heitetään noppaa, seuraavat ovat ainoat mahdolliset tapahtumat:
A 1 – yhden pisteen ilmestyminen,
A 2 – kahden pisteen ilmestyminen,
A 3 – kolmen pisteen ilmestyminen,
A 4 – neljän pisteen esiintyminen,
A 5 – viiden pisteen esiintyminen,
A 6 – kuuden pisteen ilmestyminen.
Määritelmä. He sanovat, että tapahtumat muodostuvat koko joukko tapahtumia, jos nämä tapahtumat ovat ainoita mahdollisia ja yhteensopimattomia.
Esimerkeissä 1, 3 käsitellyt tapahtumat muodostavat täydellisen ryhmän, koska ne ovat yhteensopimattomia ja ainoita mahdollisia.
Määritelmä. Kaksi tapahtumaa, jotka muodostavat täydellisen ryhmän, kutsutaan vastapäätä.
Jos on jokin tapahtuma, niin vastakkainen tapahtuma on merkitty .
Esimerkki 4. Jos tapahtuma on vaakuna, niin tapahtuma on häntä.
Vastakkaisia tapahtumia ovat myös: "opiskelija läpäisi kokeen" ja "opiskelija ei läpäissyt tenttiä", "tehdas täytti suunnitelman" ja "tehdas ei täyttänyt suunnitelmaa".
Määritelmä. Tapahtumat kutsutaan yhtä todennäköistä tai yhtä mahdollista, jos niillä kaikilla on testin aikana objektiivisesti katsottuna sama mahdollisuus esiintyä.
Huomaa, että yhtä mahdollisia tapahtumia voi esiintyä vain kokeissa tulossymmetrialla, mikä varmistetaan erikoismenetelmin (esim. ehdottoman symmetristen kolikoiden, noppien tekeminen, korttien huolellinen sekoittaminen, domino, pallojen sekoittaminen uurnassa jne.).
Määritelmä. Jos jonkin testin tulokset ovat ainoat mahdolliset, yhteensopimattomat ja yhtä mahdolliset, niitä kutsutaan alkeellisia tuloksia, tapauksia tai mahdollisuudet, ja itse testiä kutsutaan tapauskaavio tai "uurnasuunnitelma"(koska kaikki kyseessä olevan testin todennäköisyysongelmat voidaan korvata vastaavalla ongelmalla eriväristen uurnojen ja pallojen kanssa) .
Esimerkki 5. Jos uurnassa on 3 valkoista ja 3 mustaa palloa, jotka ovat identtisiä kosketuksella, tapahtuma A 1 – valkoisen pallon ja tapahtuman ilmestyminen A 2 – mustan pallon ilmestyminen ovat yhtä todennäköisiä tapahtumia.
Määritelmä. He sanovat, että tapahtuma suosii tapahtuma tai tapahtuma aiheuttaa tapahtuma , jos ilmestyessä tapahtuma ehdottomasti tulee.
Jos tapahtuma sisältää tapahtuman, se ilmaistaan symboleilla vastaava tai vastaava ja merkitsee
Siten vastaavat tapahtumat ja jokaisessa testissä joko molemmat tapahtuvat tai kumpaakaan ei tapahdu.
Todennäköisyysteorian rakentamiseksi jo esiteltyjen peruskäsitteiden (satunnainen kokeilu, satunnainen tapahtuma) lisäksi on tarpeen ottaa käyttöön yksi peruskäsite - satunnaisen tapahtuman todennäköisyys.
Huomaa, että käsitykset tapahtuman todennäköisyydestä muuttuivat todennäköisyysteorian kehittymisen aikana. Jäljitetään tämän käsitteen kehityshistoriaa.
Alla todennäköisyys satunnainen tapahtuma ymmärtää tapahtuman objektiivisen mahdollisuuden mitta.
Tämä määritelmä heijastaa todennäköisyyden käsitettä laadullisesta näkökulmasta. Se tunnettiin muinaisessa maailmassa.
Tapahtuman todennäköisyyden kvantitatiivinen määritelmä annettiin ensin todennäköisyysteorian perustajien teoksissa, jotka tarkastelivat satunnaisia kokeita symmetrialla tai tulosten objektiivisella yhtäläisyydellä. Kuten yllä mainittiin, tällaiset satunnaiset kokeet sisältävät useimmiten keinotekoisesti järjestettyjä kokeita, joissa käytetään erityisiä menetelmiä tasavertaisten tulosten varmistamiseksi (korttien tai dominon sekoittaminen, täysin symmetristen noppien, kolikoiden jne. tekeminen). Suhteessa sellaisiin satunnaisiin kokeisiin 1600-luvulla. Ranskalainen matemaatikko Laplace muotoili klassisen todennäköisyyden määritelmän.
Monet "todennäköisyysteorian" käsitteen kohtaamisen yhteydessä pelkäävät ja ajattelevat, että se on jotain ylivoimaista, hyvin monimutkaista. Mutta kaikki ei itse asiassa ole niin traagista. Tänään tarkastelemme todennäköisyysteorian peruskäsitettä ja opimme ratkaisemaan ongelmia tiettyjen esimerkkien avulla.
Tiede
Mitä sellainen matematiikan haara kuin "todennäköisyysteoria" tutkii? Hän panee merkille kuviot ja määrät. Tiedemiehet kiinnostuivat tästä aiheesta ensimmäisen kerran 1700-luvulla, kun he tutkivat uhkapelejä. Todennäköisyysteorian peruskäsite on tapahtuma. Se on mikä tahansa kokemuksen tai havainnon perusteella vahvistettu tosiasia. Mutta mitä on kokemus? Toinen todennäköisyysteorian peruskäsite. Se tarkoittaa, että tämä joukko olosuhteita ei luotu sattumalta, vaan tiettyyn tarkoitukseen. Mitä tulee havaintoon, tässä tutkija itse ei osallistu kokeeseen, vaan on yksinkertaisesti näiden tapahtumien todistaja, hän ei vaikuta tapahtuvaan millään tavalla.
Tapahtumat
Opimme, että todennäköisyysteorian peruskäsite on tapahtuma, mutta emme huomioineet luokittelua. Kaikki ne on jaettu seuraaviin luokkiin:
- Luotettava.
- Mahdotonta.
- Satunnainen.
Riippumatta siitä, millaisia tapahtumia ne ovat, havaittuja tai luotuja kokemuksen aikana, ne kaikki ovat tämän luokituksen alaisia. Kutsumme sinut tutustumaan jokaiseen tyyppiin erikseen.
Luotettava tapahtuma
Tämä on tilanne, jonka vuoksi tarvittavat toimenpiteet on toteutettu. Ymmärtääksesi paremmin olemuksen, on parempi antaa muutama esimerkki. Fysiikka, kemia, taloustiede ja korkeampi matematiikka ovat tämän lain alaisia. Todennäköisyysteoria sisältää niin tärkeän käsitteen kuin luotettava tapahtuma. Tässä muutamia esimerkkejä:
- Teemme työtä ja saamme korvauksen palkan muodossa.
- Läpäisimme kokeet hyvin, läpäisimme kilpailun, ja tästä saamme palkinnon pääsyn muodossa oppilaitokseen.
- Sijoitimme rahaa pankkiin ja saamme tarvittaessa takaisin.
Tällaiset tapahtumat ovat luotettavia. Jos olemme täyttäneet kaikki vaadittavat ehdot, saamme varmasti odotetun tuloksen.
Mahdottomat tapahtumat
Nyt tarkastelemme todennäköisyysteorian elementtejä. Ehdotamme siirtymistä seuraavan tyyppisen tapahtuman, nimittäin mahdoton, selittämiseen. Ensin määritellään tärkein sääntö - mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla.
Tästä muotoilusta ei voi poiketa ongelmia ratkaistaessa. Selvyyden vuoksi tässä on esimerkkejä tällaisista tapahtumista:
- Vesi jäätyi plus kymmenen lämpötilassa (tämä on mahdotonta).
- Sähkön puute ei vaikuta tuotantoon millään tavalla (yhtä mahdotonta kuin edellisessä esimerkissä).
Ei kannata antaa lisää esimerkkejä, koska edellä kuvatut heijastavat erittäin selvästi tämän luokan olemusta. Mahdotonta tapahtumaa ei koskaan tapahdu kokeen aikana missään olosuhteissa.
Satunnaiset Tapahtumat
Elementtejä tutkittaessa on kiinnitettävä erityistä huomiota tähän tapahtumatyyppiin. Tätä tiede tutkii. Kokemuksen seurauksena jotain voi tapahtua tai ei. Lisäksi testi voidaan suorittaa rajoittamattoman määrän kertoja. Eläviä esimerkkejä ovat:
- Kolikon heittäminen on kokemus tai koe, päiden laskeutuminen on tapahtuma.
- Pallon vetäminen pussista sokeasti on testi, punaisen pallon saaminen on tapahtuma ja niin edelleen.
Tällaisia esimerkkejä voi olla rajoittamaton määrä, mutta yleisesti ottaen olemuksen pitäisi olla selvä. Tapahtumasta saadun tiedon tiivistämiseksi ja systematisoimiseksi tarjotaan taulukko. Todennäköisyysteoria tutkii vain viimeistä tyyppiä kaikista esitetyistä.
Nimi | määritelmä | |
Luotettava | Tapahtumat, jotka tapahtuvat 100 %:n takuulla, jos tietyt ehdot täyttyvät. | Pääsy oppilaitokseen, kun pääsykokeet on suoritettu hyvin. |
Mahdotonta | Tapahtumia, joita ei koskaan tapahdu missään olosuhteissa. | Sataa lunta ja ilman lämpötila on plus kolmekymmentä celsiusastetta. |
Satunnainen | Tapahtuma, joka voi tapahtua tai ei tapahdu kokeen/testin aikana. | Osuma tai epäonnistuminen heitettäessä koripalloa vanteeseen. |
lait
Todennäköisyysteoria on tiede, joka tutkii tapahtuman mahdollisuutta. Kuten muillakin, sillä on joitain sääntöjä. Seuraavat todennäköisyysteorian lait ovat olemassa:
- Satunnaismuuttujien sekvenssien konvergenssi.
- Suurten lukujen laki.
Kun lasket jonkin monimutkaisen mahdollisuutta, voit käyttää yksinkertaisia tapahtumia saavuttaaksesi tuloksen helpommin ja nopeammin. Huomaa, että todennäköisyysteorian lait on helppo todistaa käyttämällä tiettyjä lauseita. Suosittelemme, että tutustut ensin ensimmäiseen lakiin.
Satunnaismuuttujien sekvenssien konvergenssi
Huomaa, että konvergenssityyppejä on useita:
- Satunnaismuuttujien sarja konvergoi todennäköisyydellä.
- Lähes mahdotonta.
- Keskimääräinen neliökonvergenssi.
- Jakelun lähentyminen.
Joten heti alkuun on erittäin vaikea ymmärtää ydintä. Tässä ovat määritelmät, jotka auttavat sinua ymmärtämään tätä aihetta. Aloitetaan ensimmäisestä näkymästä. Sarjaa kutsutaan todennäköisyydellä lähentyvä, jos seuraava ehto täyttyy: n pyrkii äärettömään, luku, johon sekvenssi pyrkii, on suurempi kuin nolla ja lähellä yhtä.
Siirrytään seuraavaan näkymään, melko varmasti. Sarjan sanotaan suppenevan melko varmasti satunnaismuuttujaan, jossa n pyrkii äärettömyyteen ja P lähellä yksikköä olevaan arvoon.
Seuraava tyyppi on keskimääräinen neliökonvergenssi. SC-konvergenssia käytettäessä vektorisatunnaisprosessien tutkimus pelkistyy niiden koordinaattisatunnaisprosessien tutkimiseen.
Jäljelle jää viimeinen tyyppi, katsotaanpa sitä lyhyesti, jotta voimme siirtyä suoraan ongelmien ratkaisemiseen. Jakauman konvergenssilla on toinen nimi - "heikko", ja selitämme miksi myöhemmin. Heikko konvergenssi on jakaumafunktioiden konvergenssi rajoittavan jakaumafunktion jatkuvuuden kaikissa kohdissa.
Pidämme ehdottomasti lupauksemme: heikko konvergenssi eroaa kaikesta edellä mainitusta siinä, että satunnaismuuttujaa ei ole määritelty todennäköisyysavaruudessa. Tämä on mahdollista, koska ehto muodostetaan yksinomaan jakelufunktioiden avulla.
Suurten lukujen laki
Todennäköisyysteorian lauseet, kuten:
- Chebyshevin epätasa-arvo.
- Tšebyshevin lause.
- Yleistetty Chebyshevin lause.
- Markovin lause.
Jos tarkastelemme kaikkia näitä lauseita, tämä kysymys voi kestää useita kymmeniä arkkeja. Päätehtävänämme on soveltaa todennäköisyysteoriaa käytännössä. Suosittelemme, että teet tämän heti. Mutta ennen sitä tarkastellaan todennäköisyysteorian aksioomia; ne ovat tärkeimpiä avustajia ongelmien ratkaisemisessa.
Aksioomit
Tapasimme jo ensimmäisen, kun puhuimme mahdottomasta tapahtumasta. Muistakaamme: mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Annoimme erittäin elävän ja mieleenpainuvan esimerkin: lunta satoi kolmenkymmenen celsiusasteen ilman lämpötilassa.
Toinen on seuraava: luotettava tapahtuma tapahtuu todennäköisyydellä yksi. Nyt näytämme kuinka tämä kirjoitetaan käyttämällä matemaattista kieltä: P(B)=1.
Kolmanneksi: Satunnainen tapahtuma voi tapahtua tai ei, mutta mahdollisuus vaihtelee aina nollasta yhteen. Mitä lähempänä arvo on yhtä, sitä suuremmat mahdollisuudet; jos arvo lähestyy nollaa, todennäköisyys on hyvin pieni. Kirjoitetaan tämä matemaattisella kielellä: 0<Р(С)<1.
Tarkastellaan viimeistä, neljättä aksioomaa, joka kuulostaa tältä: kahden tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa. Kirjoitamme sen matemaattisella kielellä: P(A+B)=P(A)+P(B).
Todennäköisyysteorian aksioomat ovat yksinkertaisimmat säännöt, joita ei ole vaikea muistaa. Yritetään ratkaista joitakin ongelmia jo hankkimiemme tietojen perusteella.
Arvonta kuponki
Katsotaanpa ensin yksinkertaisinta esimerkkiä - arpajaisia. Kuvittele, että ostit yhden arpalipun onnea varten. Millä todennäköisyydellä voitat vähintään kaksikymmentä ruplaa? Kaikkiaan kiertoon osallistuu tuhat lippua, joista yhden palkinto on viisisataa ruplaa, kymmenessä sata ruplaa, viidelläkymmenellä kahdenkymmenen ruplan palkinto ja sadalla viiden. Todennäköisyysongelmat perustuvat onnenmahdollisuuden löytämiseen. Nyt analysoimme yhdessä ratkaisua yllä olevaan tehtävään.
Jos käytämme kirjainta A merkitsemään viidensadan ruplan voittoa, niin todennäköisyys saada A on 0,001. Miten saimme tämän? Sinun tarvitsee vain jakaa "onnekkaiden" lippujen määrä niiden kokonaismäärällä (tässä tapauksessa: 1/1000).
B on sadan ruplan voitto, todennäköisyys on 0,01. Nyt toimimme samalla periaatteella kuin edellisessä toimessa (10/1000)
C - voitot ovat kaksikymmentä ruplaa. Löydämme todennäköisyyden, se on 0,05.
Jäljellä olevat liput eivät ole kiinnostuneita, koska niiden palkintorahasto on pienempi kuin ehdossa ilmoitettu. Sovelletaan neljättä aksioomaa: Todennäköisyys voittaa vähintään kaksikymmentä ruplaa on P(A)+P(B)+P(C). Kirjain P ilmaisee tietyn tapahtuman todennäköisyyttä, olemme löytäneet ne jo aikaisemmissa toimissa. Jäljelle jää vain tarvittavien tietojen summa, ja saamme vastauksen 0,061. Tämä numero on vastaus tehtävään.
Korttipakka
Todennäköisyysteorian ongelmat voivat olla monimutkaisempia; otetaan esimerkiksi seuraava tehtävä. Edessäsi on 36 kortin pakka. Sinun tehtäväsi on nostaa kaksi korttia peräkkäin sekoittamatta pinoa, ensimmäisen ja toisen kortin tulee olla ässää, maalla ei ole väliä.
Ensin selvitetään todennäköisyys, että ensimmäinen kortti on ässä, tätä varten jaamme neljä kolmellakymmenelläkuudella. He laittoivat sen sivuun. Otamme toisen kortin, se on ässä, jonka todennäköisyys on kolme 3/5. Toisen tapahtuman todennäköisyys riippuu siitä, minkä kortin vedimme ensin, mietimme, oliko se ässä vai ei. Tästä seuraa, että tapahtuma B riippuu tapahtumasta A.
Seuraava askel on löytää samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys, eli kerrotaan A ja B. Niiden tulo saadaan seuraavasti: kerromme yhden tapahtuman todennäköisyyden toisen ehdollisella todennäköisyydellä, jonka laskemme olettaen, että ensimmäinen tapahtui, eli vedimme ässän ensimmäisellä kortilla.
Jotta kaikki olisi selvää, nimetään sellainen elementti tapahtumaksi. Se lasketaan olettaen, että tapahtuma A on tapahtunut. Se lasketaan seuraavasti: P(B/A).
Jatketaan ongelmamme ratkaisemista: P(A * B) = P(A) * P(B/A) tai P(A * B) = P(B) * P(A/B). Todennäköisyys on (4/36) * ((3/35)/(4/36). Laskemme pyöristämällä lähimpään sadasosaan. Meillä on: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Todennäköisyys, että vedämme kaksi ässää peräkkäin, on yhdeksän sadasosaa. Arvo on hyvin pieni, tästä seuraa, että tapahtuman todennäköisyys on erittäin pieni.
Unohtunut numero
Ehdotamme useiden muiden todennäköisyysteorian tutkimien tehtävien muunnelmien analysointia. Olet jo nähnyt esimerkkejä joidenkin niiden ratkaisemisesta tässä artikkelissa. Yritetään ratkaista seuraava ongelma: poika unohti ystävänsä puhelinnumeron viimeisen numeron, mutta koska puhelu oli erittäin tärkeä, hän alkoi soittaa kaikki yksitellen . Meidän on laskettava todennäköisyys, että hän soittaa enintään kolme kertaa. Ongelman ratkaisu on yksinkertaisin, jos tunnetaan todennäköisyysteorian säännöt, lait ja aksioomit.
Ennen kuin tarkastelet ratkaisua, yritä ratkaista se itse. Tiedämme, että viimeinen numero voi olla nollasta yhdeksään, eli yhteensä kymmenen arvoa. Todennäköisyys saada oikea on 1/10.
Seuraavaksi meidän on harkittava tapahtuman alkuperän vaihtoehtoja, oletetaan, että poika arvasi oikein ja näppäili heti oikean, tällaisen tapahtuman todennäköisyys on 1/10. Toinen vaihtoehto: ensimmäinen puhelu puuttuu ja toinen on tavoite. Lasketaan tällaisen tapahtuman todennäköisyys: kerrotaan 9/10 luvulla 1/9, ja tuloksena saadaan myös 1/10. Kolmas vaihtoehto: ensimmäinen ja toinen soitto osoittautuivat väärään osoitteeseen, vasta kolmannella poika pääsi minne halusi. Laskemme tällaisen tapahtuman todennäköisyyden: 9/10 kerrottuna 8/9:lla ja 1/8:lla, tuloksena on 1/10. Emme ole kiinnostuneita muista vaihtoehdoista ongelman ehtojen mukaan, joten meidän täytyy vain laskea yhteen saadut tulokset, lopulta meillä on 3/10. Vastaus: todennäköisyys, että poika soittaa enintään kolme kertaa, on 0,3.
Kortit numeroilla
Edessäsi on yhdeksän korttia, joista jokaiseen on kirjoitettu numero yhdestä yhdeksään, numeroita ei toisteta. Ne laitettiin laatikkoon ja sekoitettiin huolellisesti. Sinun on laskettava todennäköisyys
- parillinen luku tulee näkyviin;
- kaksinumeroinen.
Ennen kuin siirrymme ratkaisuun, täsmennetään, että m on onnistuneiden tapausten lukumäärä ja n on vaihtoehtojen kokonaismäärä. Selvitetään todennäköisyys, että luku on parillinen. Ei ole vaikeaa laskea, että parillisia lukuja on neljä, tämä on meidän m, mahdollisia vaihtoehtoja on yhteensä yhdeksän, eli m=9. Tällöin todennäköisyys on 0,44 tai 4/9.
Tarkastellaan toista tapausta: vaihtoehtoja on yhdeksän, eikä onnistuneita tuloksia voi olla ollenkaan, eli m on nolla. Todennäköisyys, että vedetty kortti sisältää kaksinumeroisen luvun, on myös nolla.
