Edellisessä luvussa osoitettiin, että valitsemalla tasolle tietyn koordinaattijärjestelmän voimme analyyttisesti ilmaista tarkasteltavan suoran pisteitä kuvaavat geometriset ominaisuudet nykyisten koordinaattien välisellä yhtälöllä. Siten saamme suoran yhtälön. Tässä luvussa tarkastellaan suorien yhtälöitä.

Muodostaaksesi suoran yhtälön suorakulmaisiksi koordinaatteiksi, sinun on jotenkin asetettava ehdot, jotka määrittävät sen sijainnin suhteessa koordinaattiakseleihin.

Ensin esittelemme suoran kaltevuuden käsitteen, joka on yksi suureista, jotka kuvaavat suoran asemaa tasossa.

Kutsutaan suoran kaltevuuskulmaa Ox-akseliin nähden kulmaksi, jolla Ox-akselia on kierrettävä niin, että se osuu yhteen annetun suoran kanssa (tai osoittautuu sen suuntaiseksi). Kuten tavallista, harkitsemme kulmaa ottaen huomioon merkin (merkki määräytyy pyörimissuunnan mukaan: vastapäivään tai myötäpäivään). Koska Ox-akselin lisäkierto 180° kulmassa yhdistää sen jälleen suoran linjan kanssa, suoran kaltevuuskulma akseliin nähden voidaan valita moniselitteisesti (enintään :n kerrannainen).

Tämän kulman tangentti määritetään yksiselitteisesti (koska kulman muuttaminen arvoon ei muuta sen tangenttia).

Suoran viivan kaltevuuskulman tangenttia x-akseliin nähden kutsutaan suoran kaltevuudeksi.

Kaltevuus kuvaa suoran suuntaa (tässä emme erottele suoran kahta keskenään vastakkaista suuntaa). Jos suoran kaltevuus on nolla, suora on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Positiivinen kaltevuus suoran kaltevuuskulma Ox-akseliin on terävä (tarkastelemme tässä kaltevuuskulman pienintä positiivista arvoa) (kuva 39); tässä tapauksessa mitä suurempi kaltevuus on, sitä suurempi on sen kaltevuuskulma Ox-akseliin nähden. Jos kaltevuus on negatiivinen, suoran kaltevuuskulma x-akseliin on tylpä (kuva 40). Huomaa, että suoralla, joka on kohtisuorassa x-akseliin nähden, ei ole kaltevuutta (kulman tangenttia ei ole olemassa).

Numeerisesti yhtä suuri kuin x-akselin positiivisen suunnan ja annetun suoran välisen kulman tangentti (joka muodostaa pienimmän kiertoliikkeen Ox-akselilta Oy-akselille).

Kulman tangentti voidaan laskea vastakkaisen jalan suhteena viereiseen. k on aina yhtä suuri kuin , eli suoran yhtälön johdannainen suhteessa x.

Kulmakertoimen positiivisilla arvoilla k ja siirtokertoimen nolla-arvo b rivi sijaitsee ensimmäisessä ja kolmannessa neljänneksessä (jossa x Ja y sekä positiivisia että negatiivisia). Samaan aikaan suuret kulmakertoimen arvot k jyrkempi suora vastaa ja pienempi - litteämpi.

Linjat ja ovat kohtisuorassa jos , ja yhdensuuntaiset kun .

Huomautuksia

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mitä "Line Slope" on muissa sanakirjoissa:

rinne (suora)- — Aiheet öljy- ja kaasuteollisuus FI rinne… Teknisen kääntäjän käsikirja

- (matemaattinen) luku k suoran yhtälössä tasossa y \u003d kx + b (katso Analyyttinen geometria), joka kuvaa suoran kaltevuutta suhteessa abskissa-akseliin. Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä U. - k \u003d tg φ, missä φ on kulma ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Geometrian haara, joka tutkii yksinkertaisimpia geometrisia kohteita alkeisalgebran avulla koordinaattimenetelmään perustuen. Analyyttisen geometrian luomisen katsotaan yleensä johtuvan R. Descartesista, joka hahmotteli sen perusteita teoksensa viimeisessä luvussa ... ... Collier Encyclopedia

Reaktioajan (RT) mittaaminen on luultavasti arvostetuin aihe empiirisessä psykologiassa. Se sai alkunsa tähtitieteen alalta vuonna 1823 mittaamalla yksilöllisiä eroja nopeudessa, jolla tähti havaitaan ylittävän kaukoputken näkölinjan. Nämä… Psykologinen tietosanakirja

Matematiikan ala, joka antaa menetelmiä erilaisten muutosprosessien kvantitatiiviseen tutkimiseen; käsittelee muutosnopeuden tutkimusta (differentiaalilaskenta) ja käyrien pituuksien, kaarevien ääriviivojen ja ... Collier Encyclopedia

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Suora (merkityksiä). Suora on yksi geometrian peruskäsitteistä, eli sillä ei ole tarkkaa universaalia määritelmää. Geometrian systemaattisessa esittelyssä suoraa pidetään yleensä yhtenä ... ... Wikipedia

Suorien esitys suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Suora on yksi geometrian peruskäsitteistä. Geometrian systemaattisessa esittelyssä yhdeksi alkukäsitteeksi otetaan yleensä suora, joka määräytyy vain epäsuorasti ... ... Wikipedia

Suorien esitys suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Suora on yksi geometrian peruskäsitteistä. Geometrian systemaattisessa esittelyssä yhdeksi alkukäsitteeksi otetaan yleensä suora, joka määräytyy vain epäsuorasti ... ... Wikipedia

Ei pidä sekoittaa termiin "ellipsi". Ellipsi ja sen polttopisteet Ellipsi (muu kreikkalainen ἔλλειψις haitta, epäkeskisyyden puutteessa 1 asti) euklidisen tason pisteiden M paikka, jolle etäisyyksien summa kahdesta annetusta pisteestä F1 ... ... Wikipedia

Opi ottamaan funktioiden johdannaisia. Derivaata kuvaa funktion muutosnopeutta tietyssä pisteessä, joka sijaitsee tämän funktion kaaviossa. Tässä tapauksessa kaavio voi olla joko suora tai kaareva viiva. Eli derivaatta luonnehtii funktion muutosnopeutta tietyllä hetkellä. Muista yleiset säännöt, joiden mukaan johdannaiset otetaan, ja siirry vasta sitten seuraavaan vaiheeseen.

• Lue artikkeli.
• Kuvataan kuinka yksinkertaisimmat derivaatat otetaan, esimerkiksi eksponentiaaliyhtälön derivaatta. Seuraavissa vaiheissa esitetyt laskelmat perustuvat niissä kuvattuihin menetelmiin.

Opi erottamaan ongelmat, joissa kulmakerroin on laskettava funktion derivaatan avulla. Tehtävissä ei aina suositella funktion kulmakertoimen tai derivaatan löytämistä. Sinua voidaan esimerkiksi pyytää etsimään funktion muutosnopeus pisteessä A(x, y). Sinua voidaan myös pyytää löytämään tangentin kulmakerroin pisteessä A(x, y). Molemmissa tapauksissa on tarpeen ottaa funktion derivaatta.

Ota annetun funktion derivaatta. Sinun ei tarvitse rakentaa kuvaajaa täällä - tarvitset vain funktion yhtälön. Otetaan esimerkissämme funktion derivaatta f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Ota johdannainen edellä mainitussa artikkelissa kuvattujen menetelmien mukaisesti:

Korvaa sinulle annetun pisteen koordinaatit löydetyllä derivaatalla kaltevuuden laskemiseksi. Funktion derivaatta on yhtä suuri kuin kulmakerroin tietyssä pisteessä. Toisin sanoen f "(x) on funktion kaltevuus missä tahansa pisteessä (x, f (x)). Esimerkissämme:

Olkoon tasossa, jossa on suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä, suora l kulkee suuntavektorin suuntaisen pisteen M 0 kautta A (Kuva 96).

Jos suoraan l ylittää O-akselin X(pisteessä N), sitten suoran kulmassa l O-akselilla X ymmärrämme kulman α, jolla akselia O on kierrettävä X pisteen N ympäri kelloosoittimen pyörimistä vastakkaiseen suuntaan, niin että akseli O X osui yhteen linjan kanssa l. (Tämä viittaa alle 180° kulmaan.)

Tätä nurkkaa kutsutaan kallistuskulma suoraan. Jos suoraan l yhdensuuntainen O-akselin kanssa X, niin kaltevuuskulmaksi oletetaan nolla (kuva 97).

Suoran viivan kaltevuuden tangenttia kutsutaan suoran viivan kaltevuus ja se on yleensä merkitty kirjaimella k:

tgα = k. (1)

Jos α = 0, niin k= 0; tämä tarkoittaa, että suora on yhdensuuntainen o-akselin kanssa X ja sen kaltevuus on nolla.

Jos α = 90°, niin k= tg α ei ole järkevää: tämä tarkoittaa, että suora on kohtisuorassa O-akselia vastaan X(eli yhdensuuntainen O-akselin kanssa klo), siinä ei ole kaltevuutta.

Suoran viivan kaltevuus voidaan laskea, jos tämän suoran minkä tahansa kahden pisteen koordinaatit tunnetaan. Olkoon kaksi suoran pistettä: M 1 ( x 1 ; klo 1) ja M 2 ( x 2 ; klo 2) ja olkoon esimerkiksi 0< α < 90°, а x 2 > x 1 , klo 2 > klo 1 (kuvio 98).

Sitten suorakulmaisesta kolmiosta M 1 RM 2 löydämme

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2) $$

Samoin todistamme, että kaava (2) on totta myös 90°:n tapauksessa< α < 180°.

Kaava (2) menettää merkityksensä, jos x 2 - x 1 = 0, eli jos rivi l yhdensuuntainen O-akselin kanssa klo. Tällaisilla linjoilla kaltevuutta ei ole olemassa.

Tehtävä 1. Määritä pisteiden läpi kulkevan priman kaltevuus

M1 (3; -5) ja M2 (5; -7).

Korvaamalla pisteiden M 1 ja M 2 koordinaatit kaavaan (2) saadaan

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3) \) tai k = -1

Tehtävä 2. Määritä pisteiden M 1 (3; 5) ja M 2 (3; -2) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Koska x 2 - x 1 = 0, silloin yhtälö (2) menettää merkityksensä. Tätä suoraa kaltevuutta ei ole olemassa. Suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen O-akselin kanssa klo.

Tehtävä 3. Määritä origon ja pisteen M 1 kautta kulkevan suoran kaltevuus (3; -5)

Tässä tapauksessa piste M 2 on sama kuin origo. Kaavaa (2) soveltamalla saadaan

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Laadi yhtälö suorasta viivasta, jossa on kaltevuus k kulkee pisteen läpi

M 1 ( x 1 ; klo 1). Kaavan (2) mukaan suoran kaltevuus löydetään sen kahden pisteen koordinaateista. Meidän tapauksessamme piste M 1 on annettu ja toiseksi pisteeksi voit ottaa minkä tahansa pisteen M( X; klo) halutusta rivistä.

Jos piste M on suoralla viivalla, joka kulkee pisteen M 1 kautta ja jolla on kaltevuus k, niin kaavalla (2) meillä on

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

Jos piste M ei ole suoralla, yhtälö (3) ei päde. Siksi yhtälö (3) on pisteen M 1 kautta kulkevan suoran yhtälö x 1 ; klo 1) kaltevuudella k; tämä yhtälö kirjoitetaan yleensä muodossa

y- y 1 = k(x - x 1). (4)

Jos suora leikkaa O-akselin klo jossain vaiheessa (0; b), yhtälö (4) saa muodon

klo - b = k (X- 0),

y = kx + b. (5)

Tätä yhtälöä kutsutaan yhtälö suorasta kulmasta k ja alkuordinaatista b.

Tehtävä 4. Etsi suoran kaltevuuskulma √3 x + 3klo - 7 = 0.

Tuomme tämän yhtälön muotoon

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

Siten, k= tg α = - 1 / √ 3 , josta α = 150°

Tehtävä 5. Muodosta pisteen P (3; -4) kautta kulkevan suoran yhtälö, jossa on kaltevuus k = 2 / 5

Korvaaminen k = 2 / 5 , x 1 = 3, y 1 = - 4 yhtälössä (4), saamme

klo - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) tai 2 X - 5klo - 26 = 0.

Tehtävä 6. Muodosta yhtälö pisteen Q kautta kulkevasta suorasta (-3; 4) ja komponentista, jolla on positiivinen O-akselin suunta X kulma 30°.

Jos α = 30°, niin k= tan 30° = √ 3/3. Korvaamalla arvot yhtälöön (4). x 1 , y 1 ja k, saamme

klo -4 = √ 3 / 3 (x+ 3) tai √3 x-3y + 12 + 3√3 = 0.

Sertifiointikokeen aiheelle "Tangentin kulmakerroin kaltevuuskulman tangenttina" annetaan useita tehtäviä kerralla. Tilastaan ​​​​riippuen valmistuneelta voidaan vaatia sekä täydellinen että lyhyt vastaus. Matematiikan kokeeseen valmistautuessaan opiskelijan tulee ehdottomasti toistaa tehtävät, joissa tangentin kaltevuus on laskettava.

Shkolkovon koulutusportaali auttaa sinua tässä. Asiantuntijamme ovat laatineet ja esittäneet teoreettisen ja käytännön materiaalin mahdollisimman helposti saatavilla. Kun olet tutustunut siihen, minkä tahansa koulutustason valmistuneet pystyvät ratkaisemaan menestyksekkäästi johdannaisiin liittyviä ongelmia, joissa on löydettävä tangentin kulman tangentti.

Perushetkiä

Oikean ja rationaalisen ratkaisun löytämiseksi tällaisiin tehtäviin USE:ssa on muistettava perusmääritelmä: derivaatta on funktion muutosnopeus; se on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakertoimen tangentti tietyssä pisteessä. Yhtä tärkeää on saada piirustus valmiiksi. Sen avulla voit löytää oikean ratkaisun derivaatan USE-ongelmiin, joissa on tarpeen laskea tangentin kulman tangentti. Selvyyden vuoksi on parasta piirtää kuvaaja OXY-tasolle.

Jos olet jo perehtynyt derivaatan aiheeseen liittyvään perusmateriaaliin ja olet valmis aloittamaan USE-tehtävien tapaan tangentin kaltevuuden tangentin laskentaan liittyvien ongelmien ratkaisemisen, voit tehdä tämän verkossa. Jokaiseen tehtävään, esimerkiksi tehtäviä aiheesta "Dirivaatan suhde kehon nopeuteen ja kiihtyvyyteen", kirjoitimme oikean vastauksen ja ratkaisualgoritmin. Tällöin opiskelijat voivat harjoitella eri monimutkaisten tehtävien suorittamista. Harjoituksen voi tarvittaessa tallentaa "Suosikit"-osioon, jolloin voit myöhemmin keskustella päätöksestä opettajan kanssa.