अभाज्य संख्याओं के उत्पाद। अभाज्य सँख्या

लेख अभाज्य और मिश्रित संख्याओं की अवधारणाओं से संबंधित है। ऐसी संख्याओं की परिभाषाएँ उदाहरण सहित दी गई हैं। हम एक प्रमाण देते हैं कि अभाज्य संख्याओं की संख्या असीमित है और एराटोस्थनीज की विधि का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की तालिका में एक प्रविष्टि करें। इस बात का प्रमाण दिया जाएगा कि कोई संख्या अभाज्य है या सम्मिश्र।

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अभाज्य और समग्र संख्याएँ - परिभाषाएँ और उदाहरण

अभाज्य और भाज्य संख्याओं को धनात्मक पूर्णांकों के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। उन्हें एक से बड़ा होना चाहिए। भाजक भी सरल और यौगिक में विभाजित हैं। भाज्य संख्याओं की अवधारणा को समझने के लिए सबसे पहले भाजक और गुणज की अवधारणाओं का अध्ययन करना आवश्यक है।

परिभाषा 1

अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक होती हैं जो एक से बड़ी होती हैं और जिनमें दो धनात्मक भाजक होते हैं, अर्थात स्वयं और 1.

परिभाषा 2

समग्र संख्याएँ पूर्णांक होती हैं जो एक से अधिक होती हैं और जिनमें कम से कम तीन धनात्मक भाजक होते हैं।

एक न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या। इसका केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए यह अन्य सभी धनात्मक संख्याओं से भिन्न है। सभी धनात्मक पूर्णांक प्राकृत कहलाते हैं, अर्थात् गिनती में प्रयुक्त होते हैं।

परिभाषा 3

अभाज्य सँख्यावे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनमें केवल दो धनात्मक भाजक हैं।

परिभाषा 4

संयुक्त संख्याएक प्राकृत संख्या है जिसमें दो से अधिक धनात्मक भाजक हैं।

1 से बड़ी कोई भी संख्या या तो अभाज्य या भाज्य होती है। विभाज्यता के गुण से, हमारे पास वह 1 और संख्या a हमेशा किसी भी संख्या a के लिए विभाजक होगी, अर्थात यह अपने आप और 1 से विभाज्य होगी। हम पूर्णांकों की परिभाषा देते हैं।

परिभाषा 5

वे प्राकृत संख्याएँ जो अभाज्य नहीं हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 11, 17, 131, 523। वे केवल अपने आप से और 1 से विभाज्य हैं। समग्र संख्याएँ: 6, 63, 121, 6697। यानी संख्या 6 को 2 और 3 में और 63 को 1, 3, 7, 9, 21, 63, और 121 को 11, 11 में विभाजित किया जा सकता है, यानी इसके भाजक 1, 11, 121 होंगे। संख्या 6697 37 और 181 में विघटित हो जाएगी। ध्यान दें कि अभाज्य संख्याओं और अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं की अवधारणाएँ अलग-अलग अवधारणाएँ हैं।

अभाज्य संख्याओं का उपयोग करना आसान बनाने के लिए, आपको एक तालिका का उपयोग करना होगा:

सभी मौजूदा प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक तालिका अवास्तविक है, क्योंकि उनमें से एक अनंत संख्या है। जब संख्याएँ 10000 या 10000000 के आकार तक पहुँच जाती हैं, तो आपको इरेटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करने के बारे में सोचना चाहिए।

एक प्रमेय पर विचार करें जो अंतिम कथन की व्याख्या करता है।

प्रमेय 1

1 के अलावा 1 से बड़ी प्राकृत संख्या का सबसे छोटा धनात्मक भाजक एक अभाज्य संख्या होती है।

सबूत 1

मान लें कि a, 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है, b, a का सबसे छोटा गैर-एक भाजक है। हमें यह सिद्ध करना होगा कि विरोधाभास विधि का उपयोग करके b एक अभाज्य संख्या है।

मान लीजिए b एक भाज्य संख्या है। यहाँ से हमारे पास यह है कि b के लिए एक भाजक है, जो 1 और साथ ही b से भिन्न है। ऐसे भाजक को b 1 से निरूपित किया जाता है। यह आवश्यक है कि शर्त 1< b 1 < b पूरा हो चुका है।

यह इस शर्त से देखा जा सकता है कि a, b से विभाज्य है, b, b 1 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि विभाज्यता की अवधारणा इस तरह व्यक्त की जाती है: ए = बी क्यूऔर बी = बी 1 क्यू 1, जहां से ए = बी 1 (क्यू 1 क्यू), जहां क्यू और क्यू 1पूर्णांक हैं। पूर्णांकों के गुणन के नियम के अनुसार, हमारे पास पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होता है जिसमें a = b 1 · (q 1 · q) के रूप की समानता होती है। यह देखा जा सकता है कि बी 1 a का भाजक है। असमानता 1< b 1 < b नहींमेल खाता है, क्योंकि हम पाते हैं कि b, a का सबसे छोटा धनात्मक अ-1 भाजक है।

प्रमेय 2

अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं।

सबूत 2

मान लीजिए कि हम प्राकृत संख्या n की एक सीमित संख्या लेते हैं और इसे p 1, p 2 , … , p n के रूप में निरूपित करते हैं। आइए संकेतित संख्याओं से भिन्न अभाज्य संख्या ज्ञात करने के एक प्रकार पर विचार करें।

संख्या p पर विचार करें, जो p 1 , p 2 , … , p n + 1 के बराबर है। यह p 1 , p 2 , … , p n के रूप में अभाज्य संख्याओं के संगत प्रत्येक संख्या के बराबर नहीं है। संख्या p अभाज्य है। तब प्रमेय को सिद्ध माना जाता है। यदि यह मिश्रित है, तो हमें अंकन p n + 1 . लेना होगा और p 1 , p 2 ,… , p n में से किसी के साथ भाजक बेमेल दिखाएँ।

यदि ऐसा नहीं होता, तो गुणन p 1 , p 2 , … , p n के विभाज्यता गुण के आधार पर , हम पाते हैं कि यह p n + 1 से विभाज्य होगा। ध्यान दें कि व्यंजक p n + 1 संख्या p विभाजित होने पर p 1 , p 2 , … , p n + 1 के योग के बराबर होती है। हम पाते हैं कि व्यंजक p n + 1 इस राशि का दूसरा पद, जो 1 के बराबर है, विभाजित किया जाना चाहिए, लेकिन यह असंभव है।

यह देखा जा सकता है कि दिए गए अभाज्य संख्याओं में से कोई भी अभाज्य संख्या ज्ञात की जा सकती है। यह इस प्रकार है कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं।

चूँकि बहुत सारी अभाज्य संख्याएँ हैं, तालिकाएँ 100, 1000, 10000 और इसी तरह की संख्याओं तक सीमित हैं।

अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस तरह के कार्य के लिए संख्याओं की क्रमिक जाँच की आवश्यकता होती है, जो 2 से 100 तक होती है। यदि कोई भाजक नहीं है, तो इसे तालिका में दर्ज किया जाता है; यदि यह संयुक्त है, तो इसे तालिका में दर्ज नहीं किया गया है।

आइए चरण दर चरण विचार करें।

यदि आप संख्या 2 से शुरू करते हैं, तो इसमें केवल 2 भाजक हैं: 2 और 1, जिसका अर्थ है कि इसे तालिका में दर्ज किया जा सकता है। नंबर 3 के साथ भी। संख्या 4 मिश्रित है, इसे 2 और 2 में विघटित किया जाना चाहिए। संख्या 5 अभाज्य है, जिसका अर्थ है कि इसे तालिका में नियत किया जा सकता है। इसे 100 की संख्या तक करें।

यह विधि असुविधाजनक और समय लेने वाली है। आप एक टेबल बना सकते हैं, लेकिन आपको बहुत समय देना होगा। विभाज्यता मानदंड का उपयोग करना आवश्यक है, जिससे भाजक खोजने की प्रक्रिया में तेजी आएगी।

एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करने की विधि सबसे सुविधाजनक मानी जाती है। आइए नीचे दी गई तालिकाओं पर एक नज़र डालें। आरंभ करने के लिए, संख्याएँ 2, 3, 4, ..., 50 लिखी जाती हैं।

अब आपको उन सभी संख्याओं को काट देना है जो 2 के गुणज हैं। क्रमिक स्ट्राइकथ्रू करें। हमें फॉर्म की एक तालिका मिलती है:

आइए 5 के गुणजों को क्रासिंग आउट करने के लिए आगे बढ़ते हैं। हम पाते हैं:

हम उन संख्याओं को काटते हैं जो 7, 11 के गुणज हैं। अंत में तालिका दिखती है

आइए हम प्रमेय के निरूपण पर चलते हैं।

प्रमेय 3

आधार संख्या a का सबसे छोटा धनात्मक और गैर-1 भाजक a से अधिक नहीं है, जहां a दी गई संख्या का अंकगणितीय मूल है।

सबूत 3

एक भाज्य संख्या a के सबसे छोटे भाजक के रूप में b को निरूपित करना आवश्यक है। एक पूर्णांक q है, जहाँ a = b · q है, और हमारे पास वह b q है। फॉर्म की असमानता बी> क्यूक्योंकि शर्त का उल्लंघन किया गया है। असमानता के दोनों पक्षों b ≤ q को किसी भी धनात्मक संख्या b से गुणा किया जाना चाहिए जो 1 के बराबर न हो। हमें वह b b ≤ b q मिलता है, जहां b 2 a और b ≤ a ।

सिद्ध प्रमेय से यह देखा जा सकता है कि तालिका में संख्याओं को पार करने से यह तथ्य सामने आता है कि एक संख्या से शुरू करना आवश्यक है जो कि बी 2 के बराबर है और असमानता बी 2 ≤ ए को संतुष्ट करता है। अर्थात्, यदि आप उन संख्याओं को काट देते हैं जो 2 के गुणज हैं, तो प्रक्रिया 4 से शुरू होती है, और जो 3 के गुणज हैं वे 9 से शुरू होती हैं, और इसी तरह 100 तक।

एराटोस्थनीज के प्रमेय का उपयोग करते हुए ऐसी तालिका को संकलित करते हुए कहता है कि जब सभी मिश्रित संख्याओं को काट दिया जाता है, तो वहाँ अभाज्य संख्याएँ बनी रहती हैं जो n से अधिक नहीं होती हैं। उदाहरण में जहां n = 50, हमारे पास वह n = 50 है। यहां से हमें पता चलता है कि एराटोस्थनीज की छलनी उन सभी मिश्रित संख्याओं को निकाल देती है जो 50 के मूल के मान से अधिक नहीं होती हैं। संख्याओं की खोज क्रॉस आउट करके की जाती है।

हल करने से पहले, यह पता लगाना आवश्यक है कि संख्या अभाज्य है या संयुक्त। विभाज्यता मानदंड अक्सर उपयोग किए जाते हैं। आइए इसे नीचे दिए गए उदाहरण में देखें।

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि 898989898989898989 एक भाज्य संख्या है।

फेसला

दी गई संख्या के अंकों का योग 9 8 + 9 9 = 9 17 है। अतः 9 से विभाज्यता के चिन्ह के आधार पर संख्या 9 17, 9 से विभाज्य है। यह इस प्रकार है कि यह मिश्रित है।

ऐसे चिन्ह किसी संख्या की प्रधानता को सिद्ध करने में सक्षम नहीं होते हैं। यदि सत्यापन की आवश्यकता है, तो अन्य कदम उठाए जाने चाहिए। सबसे उपयुक्त तरीका संख्याओं की गणना करना है। प्रक्रिया के दौरान, अभाज्य और मिश्रित संख्याएँ पाई जा सकती हैं। अर्थात्, मान में संख्याएँ a से अधिक नहीं होनी चाहिए। अर्थात्, संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाना चाहिए। यदि यह सत्य है, तो संख्या a को अभाज्य माना जा सकता है।

उदाहरण 2

मिश्रित या अभाज्य संख्या 11723 निर्धारित करें।

फेसला

अब आपको संख्या 11723 के लिए सभी भाजक खोजने होंगे। 11723 का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है।

यहाँ से हम देखते हैं कि 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , और 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

संख्या 11723 के अधिक सटीक अनुमान के लिए, अभिव्यक्ति 108 2 = 11 664 लिखना आवश्यक है, और 109 2 = 11 881 , तब 108 2 < 11 723 < 109 2 . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

विघटित होने पर, हम प्राप्त करते हैं कि 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं। इस पूरी प्रक्रिया को एक कॉलम द्वारा एक विभाजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। यानी 11723 को 19 से भाग दें। संख्या 19 इसका एक गुणनखंड है, क्योंकि हमें शेषफल के बिना भाग मिलता है। आइए एक कॉलम द्वारा विभाजन को चित्रित करें:

यह इस प्रकार है कि 11723 एक भाज्य संख्या है, क्योंकि स्वयं और 1 के अतिरिक्त इसमें 19 का भाजक है।

जवाब: 11723 एक भाज्य संख्या है।

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विभाजकों की सूची।परिभाषा के अनुसार, संख्या एनकेवल तभी अभाज्य है जब यह 2 और 1 और स्वयं के अलावा किसी भी पूर्णांक से समान रूप से विभाज्य नहीं है। उपरोक्त सूत्र अनावश्यक चरणों को हटाता है और समय बचाता है: उदाहरण के लिए, यह जाँचने के बाद कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, यह जाँचने की कोई आवश्यकता नहीं है कि क्या यह 9 से विभाज्य है।

फ़्लोर (x) फ़ंक्शन x को x से कम या उसके बराबर के निकटतम पूर्णांक तक ले जाता है।

मॉड्यूलर अंकगणित के बारे में जानें।ऑपरेशन "x mod y" (मॉड लैटिन शब्द "मॉड्यूलो" के लिए छोटा है, जिसका अर्थ है "मॉड्यूल") का अर्थ है "x को y से विभाजित करें और शेष खोजें"। दूसरे शब्दों में, मॉड्यूलर अंकगणित में, एक निश्चित मूल्य तक पहुंचने पर, जिसे कहा जाता है मापांक, संख्याएं "बारी" वापस शून्य हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक घड़ी मॉड्यूलस 12 में समय को मापती है: यह 10, 11 और 12 बजे दिखाती है और फिर 1 पर लौट आती है।

कई कैलकुलेटर में एक आधुनिक कुंजी होती है। इस खंड का अंत दिखाता है कि बड़ी संख्या में इस फ़ंक्शन की मैन्युअल रूप से गणना कैसे करें।

Fermat's Little Theorem के नुकसान के बारे में जानें।वे सभी संख्याएँ जिनके लिए परीक्षण की शर्तें पूरी नहीं हुई हैं, मिश्रित हैं, लेकिन शेष संख्याएँ केवल हैं शायदसरल माने जाते हैं। यदि आप गलत परिणामों से बचना चाहते हैं, तो देखें एन"कारमाइकल नंबर" (इस परीक्षण को संतुष्ट करने वाली मिश्रित संख्याएं) और "छद्म-अभाज्य फ़र्मेट नंबर" की सूची में (ये संख्याएं केवल कुछ मानों के लिए परीक्षण की शर्तों को पूरा करती हैं ए).

यदि सुविधाजनक हो, तो मिलर-राबिन परीक्षण का उपयोग करें।यद्यपि यह विधि मैन्युअल गणना के लिए काफी बोझिल है, लेकिन इसका उपयोग अक्सर कंप्यूटर प्रोग्राम में किया जाता है। यह स्वीकार्य गति प्रदान करता है और फर्मेट की विधि से कम त्रुटियां देता है। यदि से अधिक मानों के लिए गणना की जाती है तो एक समग्र संख्या को एक प्रमुख संख्या के रूप में नहीं लिया जाएगा ए. यदि आप बेतरतीब ढंग से विभिन्न मूल्यों का चयन करते हैं एऔर उन सभी के लिए परीक्षण एक सकारात्मक परिणाम देगा, हम काफी उच्च स्तर के विश्वास के साथ यह मान सकते हैं कि एनएक अभाज्य संख्या है।

बड़ी संख्या के लिए, मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करें।यदि आपके पास मॉड कैलकुलेटर नहीं है, या यदि आपका कैलकुलेटर इतनी बड़ी संख्या को संभालने के लिए डिज़ाइन नहीं किया गया है, तो अपनी गणना को आसान बनाने के लिए पावर प्रॉपर्टीज और मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करें। नीचे एक उदाहरण है 3 50 (\displaystyle 3^(50))मॉड 50:

अधिक सुविधाजनक रूप में अभिव्यक्ति को फिर से लिखें: मॉड 50। मैन्युअल रूप से गणना करते समय, और सरलीकरण आवश्यक हो सकता है।
(3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25)))मॉड 50 = मॉड 50 मॉड 50) मॉड 50। यहाँ हमने मॉड्यूलर गुणन की संपत्ति को ध्यान में रखा है।
3 25 (\displaystyle 3^(25))मॉड 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25)))मॉड 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25))मॉड 50) मॉड 50 = (43 43) (\displaystyle (43*43))मॉड 50.
= 1849 (\displaystyle =1849)मॉड 50.
= 49 (\displaystyle=49).

अनुवाद

अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन सबसे पहले प्राचीन यूनान के गणितज्ञों ने किया था। पाइथागोरस स्कूल (500 - 300 ईसा पूर्व) के गणितज्ञ मुख्य रूप से अभाज्य संख्याओं के रहस्यमय और संख्यात्मक गुणों में रुचि रखते थे। वे सबसे पहले पूर्ण और मैत्रीपूर्ण संख्याओं के बारे में विचार लेकर आए।

एक पूर्ण संख्या के अपने भाजक स्वयं के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 के उचित भाजक हैं: 1, 2 और 3. 1 + 2 + 3 = 6. संख्या 28 के भाजक 1, 2, 4, 7 और 14 हैं। इसके अलावा, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28।

संख्याएँ मित्रवत कहलाती हैं यदि एक संख्या के उचित भाजक का योग दूसरी संख्या के बराबर हो, और इसके विपरीत - उदाहरण के लिए, 220 और 284। हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण संख्या स्वयं के अनुकूल होती है।

300 ईसा पूर्व में यूक्लिड के "बिगिनिंग्स" के काम की उपस्थिति के समय तक। अभाज्य संख्याओं के बारे में कई महत्वपूर्ण तथ्य पहले ही सिद्ध हो चुके हैं। तत्वों की पुस्तक IX में, यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होती है। वैसे, यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण के उपयोग के पहले उदाहरणों में से एक है। उन्होंने अंकगणित के मूल प्रमेय को भी सिद्ध किया - प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक अद्वितीय तरीके से दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने यह भी दिखाया कि यदि संख्या 2 n -1 अभाज्य है, तो संख्या 2 n-1 * (2 n -1) पूर्ण होगी। एक अन्य गणितज्ञ, यूलर, 1747 में यह दिखाने में सक्षम था कि सभी सम पूर्ण संख्याओं को इस रूप में लिखा जा सकता है। आज तक, यह ज्ञात नहीं है कि विषम पूर्ण संख्याएँ मौजूद हैं या नहीं।

वर्ष 200 ई.पू. ग्रीक एराटोस्थनीज ने अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक एल्गोरिथम का आविष्कार किया जिसे इरेटोस्थनीज की छलनी कहा जाता है।

और फिर मध्य युग से जुड़ी अभाज्य संख्याओं के अध्ययन के इतिहास में एक बड़ा विराम आया।

निम्नलिखित खोजें 17वीं शताब्दी की शुरुआत में गणितज्ञ फ़र्मेट द्वारा की गई थीं। उन्होंने अल्बर्ट गिरार्ड के इस अनुमान को साबित कर दिया कि 4n+1 के रूप की किसी भी अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है, और एक प्रमेय भी तैयार किया कि किसी भी संख्या को चार वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने बड़ी संख्याओं के लिए एक नई गुणनखंडन विधि विकसित की, और इसे संख्या 2027651281 = 44021 × 46061 पर प्रदर्शित किया। उन्होंने फ़र्मेट की छोटी प्रमेय को भी सिद्ध किया: यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो किसी भी पूर्णांक a के लिए, a p = a modulo p सत्य होगा। .

यह कथन "चीनी परिकल्पना" के रूप में जाना जाने वाला आधा साबित होता है और 2000 साल पहले की तारीखें: एक पूर्णांक n अभाज्य है यदि और केवल यदि 2n-2 n से विभाज्य है। परिकल्पना का दूसरा भाग गलत निकला - उदाहरण के लिए, 2341 - 2, 341 से विभाज्य है, हालाँकि संख्या 341 संयुक्त है: 341 = 31 × 11।

Fermat's Little Theorem संख्या सिद्धांत और परीक्षण के तरीकों में कई अन्य परिणामों का आधार था कि क्या संख्याएं अभाज्य हैं, जिनमें से कई आज भी उपयोग में हैं।

फ़र्मेट ने अपने समकालीनों के साथ बड़े पैमाने पर पत्राचार किया, विशेष रूप से मारिन मेर्सन नामक एक भिक्षु के साथ। अपने एक पत्र में, उन्होंने अनुमान लगाया कि 2 n + 1 के रूप की संख्या हमेशा अभाज्य होगी यदि n दो की शक्ति है। उन्होंने n = 1, 2, 4, 8, और 16 के लिए इसका परीक्षण किया, और यह सुनिश्चित था कि जब n दो की शक्ति नहीं है, तो संख्या अनिवार्य रूप से अभाज्य नहीं थी। इन नंबरों को फ़र्मेट नंबर कहा जाता है, और 100 साल बाद तक यूलर ने यह नहीं दिखाया कि अगली संख्या, 232 + 1 = 4294967297, 641 से विभाज्य है और इसलिए अभाज्य नहीं है।

प्रपत्र 2 n - 1 की संख्याएँ भी शोध का विषय रही हैं, क्योंकि यह दिखाना आसान है कि यदि n संयुक्त है, तो संख्या स्वयं भी संमिश्र है। इन नंबरों को मेर्सन नंबर कहा जाता है क्योंकि उन्होंने सक्रिय रूप से उनका अध्ययन किया था।

लेकिन 2 n-1 के रूप की सभी संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं, जहाँ n अभाज्य है। उदाहरण के लिए, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89। यह पहली बार 1536 में खोजा गया था।

कई सालों तक, इस तरह की संख्याओं ने गणितज्ञों को सबसे बड़ा ज्ञात अभाज्य संख्या दी। यह कि संख्या M 19 को कैटलडी द्वारा 1588 में सिद्ध किया गया था, और 200 वर्षों के लिए सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या थी, जब तक कि यूलर ने यह साबित नहीं कर दिया कि M 31 भी अभाज्य है। यह रिकॉर्ड एक और सौ वर्षों तक रहा, और फिर लुकास ने दिखाया कि एम 127 प्राइम है (और यह पहले से ही 39 अंकों की संख्या है), और उसके बाद, कंप्यूटर के आगमन के साथ शोध जारी रहा।

1952 में, M 521, M 607, M 1279, M 2203 और M 2281 संख्याओं की प्रधानता साबित हुई।

2005 तक, 42 Mersenne primes पाए गए थे। उनमें से सबसे बड़ा, एम 25964951 , 7816230 अंकों का होता है।

यूलर के काम का अभाज्य संख्याओं सहित संख्या सिद्धांत पर बहुत प्रभाव पड़ा। उन्होंने फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का विस्तार किया और -फ़ंक्शन की शुरुआत की। 5वें फ़र्मेट नंबर 2 32 +1 का गुणनखंडन किया, अनुकूल संख्याओं के 60 जोड़े मिले, और पारस्परिकता के द्विघात नियम को तैयार किया (लेकिन साबित करने में विफल)।

वह गणितीय विश्लेषण के तरीकों को पेश करने वाले पहले व्यक्ति थे और उन्होंने संख्याओं के विश्लेषणात्मक सिद्धांत को विकसित किया था। उन्होंने साबित किया कि न केवल हार्मोनिक श्रृंखला ∑ (1/n), बल्कि रूप की एक श्रृंखला भी है

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

अभाज्य संख्याओं के प्रतिलोम राशियों के योग से प्राप्त होने पर भी विचलन होता है। हार्मोनिक श्रृंखला के n पदों का योग लगभग लॉग (n) की तरह बढ़ता है, जबकि दूसरी श्रृंखला अधिक धीरे-धीरे विचलन करती है, जैसे लॉग [लॉग (एन)]। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, आज तक मिली सभी अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग केवल 4 देगा, हालाँकि श्रृंखला अभी भी अलग है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि अभाज्य संख्याओं को पूर्णांकों के बीच यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1000000 से ठीक पहले की 100 संख्याओं में से 9 अभाज्य संख्याएँ हैं, और इस मान के ठीक बाद की 100 संख्याओं में से केवल 2 हैं। लेकिन बड़े खंडों पर, अभाज्य संख्याएँ समान रूप से वितरित की जाती हैं। लीजेंड्रे और गॉस ने उनके वितरण से निपटा। गॉस ने एक बार एक दोस्त से कहा था कि किसी भी खाली 15 मिनट में वह हमेशा अगले 1000 नंबरों में अभाज्य संख्याओं की गणना करता है। अपने जीवन के अंत तक, उन्होंने सभी अभाज्य संख्याओं को 3 मिलियन तक गिन लिया था। लीजेंड्रे और गॉस ने समान रूप से गणना की कि बड़े एन के लिए प्राइम की घनत्व 1/लॉग (एन) है। लीजेंड्रे ने 1 और n के बीच अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाया था

(एन) = एन/(लॉग(एन) - 1.08366)

और गॉस - एक लघुगणकीय समाकल के रूप में

(एन) = / 1/लॉग(टी) डीटी

2 से n के एकीकरण अंतराल के साथ।

अभाज्य संख्याओं के घनत्व के बारे में कथन 1/log(n) को अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने 19वीं शताब्दी में इसे साबित करने की कोशिश की और चेबीशेव और रीमैन ने प्रगति की। उन्होंने इसे रीमैन हाइपोथिसिस के साथ जोड़ा, जो अब तक रीमैन जेटा फ़ंक्शन के शून्य के वितरण के बारे में एक अप्रमाणित अनुमान है। 1896 में हैडमर्ड और डे ला वेली-पॉसिन द्वारा प्राइम्स के घनत्व को एक साथ साबित किया गया था।

अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत में, अभी भी कई अनसुलझे प्रश्न हैं, जिनमें से कुछ सैकड़ों वर्ष पुराने हैं:

जुड़वां अभाज्य परिकल्पना - अभाज्य संख्याओं के युग्मों की अनंत संख्या के बारे में जो एक दूसरे से 2 . से भिन्न होते हैं
गोल्डबैक का अनुमान: 4 से शुरू होने वाली किसी भी संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
क्या n 2 + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
क्या n 2 और (n + 1) 2 के बीच एक अभाज्य संख्या ज्ञात करना हमेशा संभव है? (तथ्य यह है कि n और 2n के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है जिसे चेबीशेव ने सिद्ध किया था)
क्या फ़र्मेट अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? क्या चौथे के बाद कोई फ़र्मेट प्राइम हैं?
क्या किसी दी गई लंबाई के लिए लगातार अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति है? उदाहरण के लिए, लंबाई 4: 251, 257, 263, 269 के लिए। अधिकतम लंबाई 26 मिली है।
क्या एक समान्तर श्रेणी में तीन क्रमागत अभाज्य संख्याओं के समुच्चय अनंत हैं?
n 2 - n + 41 0 n ≤ 40 के लिए एक अभाज्य संख्या है। क्या ऐसी अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? सूत्र n 2 - 79 n + 1601 के लिए वही प्रश्न। ये संख्याएँ 0 n 79 के लिए अभाज्य हैं।
क्या n# + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? (n# n से कम सभी अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है)
क्या n# -1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! +1?
क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! - एक?
यदि p अभाज्य है, तो क्या 2 p -1 हमेशा चुकता अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडों में शामिल नहीं होता है
क्या फाइबोनैचि अनुक्रम में अनंत अभाज्य संख्याएँ होती हैं?

सबसे बड़ी जुड़वां अभाज्य संख्याएँ 2003663613 × 2 195000 ± 1 हैं। इनमें 58711 अंक होते हैं और 2007 में पाए गए थे।

सबसे बड़ी भाज्य अभाज्य संख्या (प्ररूप n! ± 1 का) 147855 है! - 1. इसमें 142891 अंक होते हैं और 2002 में पाए गए थे।

सबसे बड़ी मूल अभाज्य संख्या (n# ± 1 के रूप की एक संख्या) 1098133# + 1 है।

अनुवाद

1952 में, M 521, M 607, M 1279, M 2203 और M 2281 संख्याओं की प्रधानता साबित हुई।

2005 तक, 42 Mersenne primes पाए गए थे। उनमें से सबसे बड़ा, एम 25964951 , 7816230 अंकों का होता है।

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

(एन) = एन/(लॉग(एन) - 1.08366)

और गॉस - एक लघुगणकीय समाकल के रूप में

(एन) = / 1/लॉग(टी) डीटी

2 से n के एकीकरण अंतराल के साथ।

जुड़वां अभाज्य परिकल्पना - अभाज्य संख्याओं के युग्मों की अनंत संख्या के बारे में जो एक दूसरे से 2 . से भिन्न होते हैं
गोल्डबैक का अनुमान: 4 से शुरू होने वाली किसी भी संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
क्या n 2 + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
क्या n 2 और (n + 1) 2 के बीच एक अभाज्य संख्या ज्ञात करना हमेशा संभव है? (तथ्य यह है कि n और 2n के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है जिसे चेबीशेव ने सिद्ध किया था)
क्या फ़र्मेट अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? क्या चौथे के बाद कोई फ़र्मेट प्राइम हैं?
क्या किसी दी गई लंबाई के लिए लगातार अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति है? उदाहरण के लिए, लंबाई 4: 251, 257, 263, 269 के लिए। अधिकतम लंबाई 26 मिली है।
क्या एक समान्तर श्रेणी में तीन क्रमागत अभाज्य संख्याओं के समुच्चय अनंत हैं?
n 2 - n + 41 0 n ≤ 40 के लिए एक अभाज्य संख्या है। क्या ऐसी अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? सूत्र n 2 - 79 n + 1601 के लिए वही प्रश्न। ये संख्याएँ 0 n 79 के लिए अभाज्य हैं।
क्या n# + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? (n# n से कम सभी अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है)
क्या n# -1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! +1?
क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! - एक?
यदि p अभाज्य है, तो क्या 2 p -1 हमेशा चुकता अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडों में शामिल नहीं होता है
क्या फाइबोनैचि अनुक्रम में अनंत अभाज्य संख्याएँ होती हैं?

सबसे बड़ी मूल अभाज्य संख्या (n# ± 1 के रूप की एक संख्या) 1098133# + 1 है।

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एक को छोड़कर सभी प्राकृत संख्याएँ अभाज्य और भाज्य में विभाजित हैं। एक अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या है जिसमें केवल दो भाजक होते हैं: एक और स्वयं।. अन्य सभी को समग्र कहा जाता है। अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन गणित के एक विशेष खंड - संख्या सिद्धांत से संबंधित है। रिंग थ्योरी में, अभाज्य संख्याएँ अघुलनशील तत्वों से संबंधित होती हैं।

यहां 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 से शुरू होने वाली अभाज्य संख्याओं का एक क्रम दिया गया है। , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... आदि।

अंकगणित के मूल प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक प्राकृत संख्या जो एक से बड़ी होती है, उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। हालांकि, कारकों के क्रम तक प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का यही एकमात्र तरीका है। इसके आधार पर हम कह सकते हैं कि अभाज्य संख्याएँ प्राकृत संख्याओं के प्राथमिक भाग हैं।

किसी प्राकृत संख्या का ऐसा निरूपण किसी प्राकृत संख्या का अभाज्य संख्याओं में अपघटन या किसी संख्या का गुणनखंडन कहलाता है।

अभाज्य संख्याओं की गणना करने के सबसे पुराने और सबसे प्रभावी तरीकों में से एक "इरास्टोथेनीज़ की छलनी" है।

अभ्यास से पता चला है कि एरास्टोफेन चलनी का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की गणना करने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि दी गई संख्या अभाज्य है या नहीं। इसके लिए विशेष परीक्षण, तथाकथित सरलता परीक्षण विकसित किए गए हैं। इन परीक्षणों के एल्गोरिथ्म संभाव्य हैं। अक्सर उनका उपयोग क्रिप्टोग्राफी में किया जाता है।

वैसे, संख्याओं के कुछ वर्गों के लिए विशेष प्रभावी प्रारंभिक परीक्षण हैं। उदाहरण के लिए, सरलता के लिए Mersenne संख्याओं का परीक्षण करने के लिए, Lucas-Lehmer परीक्षण का उपयोग किया जाता है, और Fermat संख्याओं की सरलता के परीक्षण के लिए, Pepin परीक्षण का उपयोग किया जाता है।

हम सभी जानते हैं कि अपरिमित रूप से कई संख्याएँ होती हैं। प्रश्न ठीक ही उठता है: तब कितनी अभाज्य संख्याएँ होती हैं? अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या भी होती है। इस निर्णय का सबसे प्राचीन प्रमाण यूक्लिड का प्रमाण है, जिसे तत्वों में वर्णित किया गया है। यूक्लिड का प्रमाण इस प्रकार है:

कल्पना कीजिए कि primes की संख्या सीमित है। आइए उन्हें गुणा करें और एक जोड़ें। परिणामी संख्या को अभाज्य संख्याओं के किसी भी परिमित समुच्चय से विभाजित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उनमें से किसी एक से भाग देने पर शेषफल मिलता है। इस प्रकार, संख्या को कुछ ऐसे अभाज्यों से विभाज्य होना चाहिए जो इस सेट में शामिल नहीं हैं।

अभाज्य संख्या वितरण प्रमेय में कहा गया है कि n से कम अभाज्य संख्याओं की संख्या, जिसे (n) के रूप में दर्शाया जाता है, n / ln(n) के रूप में बढ़ती है।

अभाज्य संख्याओं का अध्ययन करने के हज़ारों वर्षों के दौरान, यह पाया गया है कि सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या 243112609 - 1 है। इस संख्या में 12,978,189 दशमलव अंक हैं और यह एक मेर्सन अभाज्य (एम43112609) है। यह खोज 23 अगस्त 2008 को यूसीएलए विश्वविद्यालय के गणित विभाग में GIMPS वितरित खोज के हिस्से के रूप में Mersenne primes के लिए की गई थी।

Mersenne संख्याओं की मुख्य विशिष्ट विशेषता अत्यधिक कुशल Luc-Lehmer प्रारंभिक परीक्षण की उपस्थिति है। इसके साथ, Mersenne primes, लंबे समय तक, सबसे बड़े ज्ञात primes हैं।

हालाँकि, आज तक, अभाज्य संख्याओं के बारे में कई प्रश्नों के सटीक उत्तर नहीं मिले हैं। 5वीं अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस में, एडमंड लैंडौ ने अभाज्य संख्याओं के क्षेत्र में मुख्य समस्याओं को तैयार किया:

गोल्डबैक समस्या, या लैंडौ की पहली समस्या, यह साबित करना या अस्वीकृत करना है कि दो से बड़ी प्रत्येक सम संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, और 5 से बड़ी प्रत्येक विषम संख्या को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।
लैंडौ की दूसरी समस्या के लिए इस प्रश्न का उत्तर खोजने की आवश्यकता है: क्या "सरल जुड़वाँ" का एक अनंत सेट है - अभाज्य संख्याएँ, जिनके बीच का अंतर 2 के बराबर है?
लीजेंड्रे का अनुमान या लैंडौ की तीसरी समस्या है: क्या यह सच है कि n2 और (n + 1)2 के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है?
लांडौ की चौथी समस्या: क्या n2 + 1 के रूप की अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अनंत है?
उपरोक्त समस्याओं के अलावा, कई पूर्णांक अनुक्रमों जैसे फाइबोनैचि संख्या, फ़र्मेट संख्या, आदि में अनंत संख्या में अभाज्य संख्या निर्धारित करने की समस्या है।

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अभाज्य और समग्र संख्याएँ - परिभाषाएँ और उदाहरण

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