आइए समतल पर एक रेखा की परिभाषा पर विचार करें, जिसमें चर x, y तीसरे चर t (पैरामीटर कहा जाता है) के कार्य हैं:

हर मूल्य के लिए टीकुछ अंतराल से कुछ मूल्यों से मेल खाते हैं एक्सऔर वाई, औरअत: तल का एक निश्चित बिंदु M(x, y) है। कब टीकिसी दिए गए अंतराल से सभी मानों के माध्यम से चलता है, फिर बिंदु एम (एक्स, वाई) कुछ पंक्ति का वर्णन करता है ली. समीकरण (2.2) रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण कहलाते हैं ली.

यदि फलन x = (t) का व्युत्क्रम t = (x) है, तो इस व्यंजक को समीकरण y = g(t) में प्रतिस्थापित करने पर, हम y = g(Ф(x)) प्राप्त करते हैं, जो निर्दिष्ट करता है आपके एक समारोह के रूप में एक्स. इस मामले में, समीकरण (2.2) को फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए कहा जाता है आपपैरामीट्रिक रूप से।

उदाहरण 1रहने दो एम (एक्स, वाई)त्रिज्या के वृत्त का एक मनमाना बिंदु है आरऔर मूल पर केंद्रित है। रहने दो टी- अक्ष के बीच का कोण बैलऔर त्रिज्या ओएम(चित्र 2.3 देखें)। फिर एक्स, वाईके माध्यम से व्यक्त किया गया टी:

समीकरण (2.3) सर्कल के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। आइए हम पैरामीटर t को समीकरणों (2.3) से बाहर करें। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक समीकरण को वर्गाकार करते हैं और इसे जोड़ते हैं, हमें मिलता है: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) या x 2 + y 2 \u003d R 2 - वृत्त समीकरण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में। यह दो कार्यों को परिभाषित करता है: इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन पैरामीट्रिक समीकरण (2.3) द्वारा दिया जाता है, लेकिन पहले फ़ंक्शन के लिए, और दूसरे के लिए।

उदाहरण 2. पैरामीट्रिक समीकरण

अर्ध-अक्ष के साथ एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करें ए, बी(चित्र। 2.4)। समीकरणों से पैरामीटर को हटाना टी, हम दीर्घवृत्त का विहित समीकरण प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 3. एक चक्रज एक वृत्त पर स्थित एक बिंदु द्वारा वर्णित एक रेखा है यदि यह वृत्त एक सीधी रेखा के साथ बिना खिसके लुढ़कता है (चित्र 2.5)। आइए हम चक्रवात के पैरामीट्रिक समीकरणों का परिचय दें। माना वृत्ताकार वृत्त की त्रिज्या ए, डॉट एम, चक्रवात का वर्णन करते हुए, आंदोलन की शुरुआत में मूल के साथ मेल खाता था।

आइए निर्देशांक निर्धारित करें एक्स, वाई अंक एमवृत्त के एक कोण से घूमने के बाद टी
(चित्र 2.5), टी = एमसीबी. चाप की लम्बाई एमबीखंड की लंबाई के बराबर ओबी,चूँकि वृत्त बिना खिसके लुढ़कता है, इसलिए

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - लागत = a(1 - लागत)।

तो, चक्रवात के पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त होते हैं:

पैरामीटर बदलते समय टी 0 से . तक 2πवृत्त एक चक्कर से घूमता है, जबकि बिंदु एमचक्रज के एक चाप का वर्णन करता है। समीकरण (2.5) परिभाषित करें आपके एक समारोह के रूप में एक्स. हालांकि समारोह एक्स = ए (टी - सिंट)एक उलटा कार्य है, लेकिन यह प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया गया है, इसलिए कार्य वाई = एफ (एक्स)प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया गया है।

समीकरणों (2.2) द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फलन के विभेदन पर विचार करें। फ़ंक्शन x = (t) परिवर्तन के एक निश्चित अंतराल पर t का उलटा कार्य होता है टी = (एक्स), तब वाई = जी (Ф (एक्स)). रहने दो एक्स = (टी), वाई = जी (टी)डेरिवेटिव हैं, और एक्स"टी≠0. एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार y"x=y"t×t"x.प्रतिलोम फलन विभेदन नियम के आधार पर, इसलिए:

परिणामी सूत्र (2.6) किसी को पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न खोजने की अनुमति देता है।

उदाहरण 4. मान लीजिए फलन आप, इस पर निर्भर करते हुए एक्स, पैरामीट्रिक रूप से सेट किया गया है:

फेसला. .
उदाहरण 5ढलान खोजें कपैरामीटर के मान के अनुरूप बिंदु M 0 पर साइक्लॉयड की स्पर्शरेखा।
फेसला।चक्रीय समीकरणों से: y" t = asint, x" t = a(1 - लागत),इसीलिए

एक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा की ढलान एम 0पर मान के बराबर टी 0 \u003d / 4:

समारोह अंतर:

फ़ंक्शन को एक बिंदु पर रहने दें X 0एक व्युत्पन्न है। ए-प्राथमिकता:
इसलिए, सीमा के गुणों से (सेक। 1.8), जहां एअसीम रूप से छोटा है एक्स → 0. यहां से

y = f "(x0)Δx + α×Δx। (2.7)

Δx → 0 के रूप में, समानता में दूसरा पद (2.7) . की तुलना में एक अतिसूक्ष्म उच्च क्रम है , इसलिए Δy और f "(x 0) × Δx समतुल्य हैं, अपरिमित (f "(x 0) 0) के लिए)।

इस प्रकार, फलन y की वृद्धि में दो पद होते हैं, जिनमें से पहला f "(x 0) × x है मुख्य हिस्सा वेतन वृद्धि y, x के संबंध में रैखिक (f "(x 0) 0) के लिए।

अंतरफ़ंक्शन f(x) बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन की वृद्धि का मुख्य भाग कहलाता है और इसे निरूपित किया जाता है: डीवाईया डीएफ(x0). इसलिये,

df (x0) =f "(x0)×Δx। (2.8)

उदाहरण 1फ़ंक्शन का अंतर ज्ञात करें डीवाईऔर फ़ंक्शन की वृद्धि y फ़ंक्शन y \u003d x 2 के लिए जब:
1) मनमाना एक्सऔर एक्स; 2) x 0 \u003d 20, x \u003d 0.1।

फेसला

1) y \u003d (x + x) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, डाई \u003d 2xΔx।

2) यदि x 0 \u003d 20, x \u003d 0.1, तो y \u003d 40 × 0.1 + (0.1) 2 \u003d 4.01; डाई = 40×0.1= 4.

हम इस रूप में समानता (2.7) लिखते हैं:

y = डाई + a×Δx। (2.9)

वेतन वृद्धि y अंतर से भिन्न होती है डीवाई x की तुलना में एक अतिसूक्ष्म उच्च क्रम में, इसलिए, अनुमानित गणना में, अनुमानित समानता y ≈ dy का उपयोग किया जाता है यदि x पर्याप्त रूप से छोटा है।

यह देखते हुए कि y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0), हम एक अनुमानित सूत्र प्राप्त करते हैं:

f(x 0 + x) f(x 0) + dy. (2.10)

उदाहरण 2. लगभग गणना करें।

फेसला।विचार करना:

सूत्र (2.10) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

अत: 2.025।

अंतर के ज्यामितीय अर्थ पर विचार करें डीएफ(x0)(चित्र 2.6)।

फंक्शन y = f (x) के बिंदु M 0 (x0, f (x 0)) के ग्राफ पर एक स्पर्श रेखा खींचिए, मान लीजिए φ स्पर्शरेखा KM0 और अक्ष ऑक्स के बीच का कोण है, फिर f "(x 0 ) = tgφ। ΔM0NP से:
PN \u003d tgφ × x \u003d f "(x 0) × x \u003d df (x 0)। लेकिन PN स्पर्शरेखा की वृद्धि है जब x x 0 से x 0 + Δx में बदल जाता है।

इसलिए, बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) का अंतर स्पर्शरेखा कोटि की वृद्धि के बराबर है।

आइए फ़ंक्शन का अंतर ज्ञात करें
वाई = एक्स। चूंकि (x)" = 1, तो dx = 1 × Δx = x। हम मानते हैं कि स्वतंत्र चर x का अंतर इसकी वृद्धि के बराबर है, अर्थात dx = x।

यदि x एक मनमाना संख्या है, तो समानता (2.8) से हमें df(x) = f "(x)dx प्राप्त होता है, जहां से .
इस प्रकार, फलन y = f(x) के लिए अवकलज, इसके अंतर और तर्क के अंतर के अनुपात के बराबर है।

किसी फ़ंक्शन के अंतर के गुणों पर विचार करें।

यदि u(x), v(x) अवकलनीय फलन हैं, तो निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

इन सूत्रों को सिद्ध करने के लिए योग, गुणनफल और भागफल के व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग किया जाता है। आइए हम सिद्ध करें, उदाहरण के लिए, सूत्र (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

एक जटिल फलन के अंतर पर विचार करें: y = f(x), x = (t), यानी। वाई = एफ (φ (टी))।

तब dy = y" t dt, लेकिन y" t = y" x ×x" t , तो dy =y" x x" t dt। मानते हुए,

कि x" t = dx, हमें dy = y" x dx =f "(x)dx मिलता है।

इस प्रकार, एक जटिल फ़ंक्शन y \u003d f (x) का अंतर, जहां x \u003d φ (t), का रूप dy \u003d f "(x) dx है, उसी तरह जब x एक स्वतंत्र चर है। यह संपत्ति कहा जाता है आकार अपरिवर्तनीय अंतर ए।

अब तक, हमने समतल पर रेखाओं के समीकरणों पर विचार किया है, जो इन रेखाओं के बिंदुओं के वर्तमान निर्देशांकों से सीधे संबंधित हैं। हालांकि, लाइन को निर्दिष्ट करने का एक और तरीका अक्सर उपयोग किया जाता है, जिसमें वर्तमान निर्देशांक को तीसरे चर के कार्यों के रूप में माना जाता है।

मान लीजिए कि एक चर के दो फलन दिए गए हैं

टी के समान मूल्यों के लिए माना जाता है। फिर t का इनमें से कोई भी मान एक निश्चित मान और y के एक निश्चित मान से मेल खाता है, और, परिणामस्वरूप, एक निश्चित बिंदु तक। जब चर टी फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र (73) से सभी मानों के माध्यम से चलता है, तो बिंदु विमान में कुछ रेखा का वर्णन करता है। समीकरण (73) को इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण कहा जाता है, और चर को पैरामीटर कहा जाता है।

मान लें कि फ़ंक्शन का एक उलटा फ़ंक्शन है इस फ़ंक्शन को दूसरे समीकरण (73) में प्रतिस्थापित करने पर, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

y को एक फलन के रूप में व्यक्त करना

आइए हम यह कहने के लिए सहमत हों कि यह फ़ंक्शन समीकरणों (73) द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है। इन समीकरणों से समीकरण (74) में संक्रमण को पैरामीटर का उन्मूलन कहा जाता है। पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित कार्यों पर विचार करते समय, पैरामीटर का बहिष्करण न केवल आवश्यक है, बल्कि हमेशा व्यावहारिक रूप से संभव नहीं है।

कई मामलों में, यह बहुत अधिक सुविधाजनक है, पैरामीटर के विभिन्न मूल्यों को देखते हुए, फिर गणना करने के लिए, सूत्रों (73) का उपयोग करके, तर्क और फ़ंक्शन y के संबंधित मान।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1. मान लीजिए कि मूल बिंदु और त्रिज्या R पर केन्द्रित वृत्त का एक मनमाना बिंदु है। इस बिंदु के कार्तीय निर्देशांक x और y को इसकी ध्रुवीय त्रिज्या और ध्रुवीय कोण के पदों में व्यक्त किया जाता है, जिसे हम यहाँ t से निरूपित करते हैं, इस प्रकार है ( देखें अध्याय मैं, 3, आइटम 3):

समीकरण (75) वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण कहलाते हैं। उनमें पैरामीटर ध्रुवीय कोण है, जो 0 से भिन्न होता है।

यदि समीकरणों (75) को वर्गाकार और पद दर पद जोड़ा जाता है, तो, पहचान के कारण, पैरामीटर समाप्त हो जाएगा और कार्तीय समन्वय प्रणाली में वृत्त समीकरण प्राप्त होगा, जो दो प्राथमिक कार्यों को परिभाषित करता है:

इन कार्यों में से प्रत्येक को समीकरणों (75) द्वारा पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट किया जाता है, लेकिन इन कार्यों के लिए पैरामीटर भिन्नता की सीमाएं भिन्न होती हैं। पहले के लिए; इस फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपरी अर्धवृत्त है। दूसरे फ़ंक्शन के लिए, इसका ग्राफ निचला अर्धवृत्त है।

उदाहरण 2. एक ही समय में एक दीर्घवृत्त पर विचार करें

और मूल बिंदु पर केन्द्रित एक वृत्त और त्रिज्या a (चित्र 138)।

अंडाकार के प्रत्येक बिंदु एम के लिए, हम सर्कल के एक बिंदु एन को जोड़ते हैं, जिसमें बिंदु एम के समान एब्सिस्सा होता है, और इसके साथ ऑक्स अक्ष के एक ही तरफ स्थित होता है। बिंदु N की स्थिति, और इसलिए बिंदु M, बिंदु के ध्रुवीय कोण t द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है। इस मामले में, उनके सामान्य भुज के लिए, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं: x \u003d a। हम दीर्घवृत्त समीकरण से बिंदु M पर कोटि पाते हैं:

चिन्ह इसलिए चुना गया है क्योंकि बिंदु M पर कोटि और बिंदु N पर कोटि के चिह्न समान होने चाहिए।

इस प्रकार, दीर्घवृत्त के लिए निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त होते हैं:

यहाँ पैरामीटर t 0 से बदल जाता है।

उदाहरण 3. एक वृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र बिंदु a) और त्रिज्या a है, जो स्पष्ट रूप से मूल बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है (चित्र 139)। मान लीजिए कि यह वृत्त है जो x-अक्ष पर बिना खिसके लुढ़कता है। फिर वृत्त का बिंदु M, जो मूल बिंदु के साथ प्रारंभिक क्षण में मेल खाता है, एक रेखा का वर्णन करता है, जिसे चक्रज कहा जाता है।

हम साइक्लॉयड के पैरामीट्रिक समीकरणों को प्राप्त करते हैं, वृत्त MSW के रोटेशन के कोण को पैरामीटर के रूप में लेते हुए, जब इसके निश्चित बिंदु को स्थिति O से स्थिति M तक ले जाते हैं। फिर बिंदु M के निर्देशांक और y के लिए हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

इस तथ्य के कारण कि वृत्त बिना खिसके अक्ष पर लुढ़कता है, खंड OB की लंबाई चाप VM की लंबाई के बराबर है। चूँकि VM चाप की लंबाई त्रिज्या a और केंद्रीय कोण t के गुणनफल के बराबर है, तो . इसलिए । लेकिन, इसलिए,

ये समीकरण चक्रवात के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। पैरामीटर टी को 0 से सर्कल में बदलते समय एक पूर्ण क्रांति हो जाएगी। बिंदु M, चक्रज के एक चाप का वर्णन करेगा।

पैरामीटर t का अपवर्जन यहां बोझिल अभिव्यक्तियों की ओर ले जाता है और व्यावहारिक रूप से अव्यावहारिक है।

लाइनों की पैरामीट्रिक परिभाषा विशेष रूप से अक्सर यांत्रिकी में उपयोग की जाती है, और समय एक पैरामीटर की भूमिका निभाता है।

उदाहरण 4. आइए क्षितिज के कोण पर प्रारंभिक वेग के साथ एक बंदूक से दागे गए प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र का निर्धारण करें। वायु प्रतिरोध और प्रक्षेप्य आयाम, इसे एक भौतिक बिंदु के रूप में देखते हुए, उपेक्षित हैं।

आइए एक समन्वय प्रणाली चुनें। निर्देशांक की उत्पत्ति के लिए, हम प्रक्षेप्य के थूथन से प्रस्थान बिंदु लेते हैं। आइए ऑक्स अक्ष को क्षैतिज रूप से निर्देशित करें, और ओए अक्ष - लंबवत, उन्हें बंदूक के थूथन के साथ एक ही विमान में रखकर। यदि कोई गुरुत्वाकर्षण बल नहीं होता, तो प्रक्षेप्य ऑक्स अक्ष के साथ एक कोण बनाते हुए एक सीधी रेखा के साथ आगे बढ़ता, और t समय तक प्रक्षेप्य दूरी तय कर लेता। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण, इस क्षण तक प्रक्षेप्य को एक मान से लंबवत रूप से उतरना चाहिए। इसलिए, वास्तव में, समय t पर, प्रक्षेप्य के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

ये समीकरण स्थिरांक हैं। जब t बदलता है, तो प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र बिंदु के निर्देशांक भी बदल जाएंगे। समीकरण प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र के पैरामीट्रिक समीकरण हैं, जिसमें पैरामीटर समय है

पहले समीकरण से व्यक्त करना और इसे प्रतिस्थापित करना

दूसरा समीकरण, हम प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र का समीकरण इस रूप में प्राप्त करते हैं यह एक परवलय का समीकरण है।

निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।
पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

इस लेख में, हम दो और विशिष्ट कार्यों पर विचार करेंगे जो अक्सर उच्च गणित में परीक्षणों में पाए जाते हैं। सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, कम से कम औसत स्तर पर डेरिवेटिव खोजने में सक्षम होना आवश्यक है। आप सीख सकते हैं कि दो बुनियादी पाठों में व्यावहारिक रूप से शुरुआत से डेरिवेटिव कैसे खोजा जाए और एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न. यदि सब कुछ विभेदीकरण कौशल के क्रम में है, तो चलिए चलते हैं।

परोक्ष रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

या, संक्षेप में, एक निहित कार्य का व्युत्पन्न। एक निहित कार्य क्या है? आइए पहले एक चर के फ़ंक्शन की परिभाषा को याद करें:

एक चर का कार्ययह नियम है कि स्वतंत्र चर का प्रत्येक मान फ़ंक्शन के एक और केवल एक मान से मेल खाता है।

चर कहा जाता है स्वतंत्र चरया बहस.
चर कहा जाता है निर्भर चरया समारोह .

अब तक, हमने परिभाषित कार्यों पर विचार किया है मुखरप्रपत्र। इसका क्या मतलब है? आइए विशिष्ट उदाहरणों पर एक डीब्रीफिंग की व्यवस्था करें।

समारोह पर विचार करें

हम देखते हैं कि बाईं ओर हमारे पास एक अकेला "y" है, और दाईं ओर - केवल x's. यानी समारोह स्पष्ट रूप सेस्वतंत्र चर के रूप में व्यक्त किया।

आइए एक और कार्य पर विचार करें:

यहाँ चर और "मिश्रित" स्थित हैं। और किसी भी तरह से असंभवकेवल "X" के माध्यम से "Y" को व्यक्त करें। ये तरीके क्या हैं? संकेतों के परिवर्तन, ब्रैकेटिंग, अनुपात के नियम के अनुसार फेंकने वाले कारकों आदि के साथ शब्दों को भाग से भाग में स्थानांतरित करना। समानता को फिर से लिखें और "y" को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने का प्रयास करें:। आप समीकरण को घंटों तक घुमा सकते हैं और घुमा सकते हैं, लेकिन आप सफल नहीं होंगे।

मुझे परिचय देने की अनुमति दें: - एक उदाहरण निहित कार्य.

गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह साबित हुआ कि निहित कार्य मौजूद(लेकिन हमेशा नहीं), इसमें एक ग्राफ होता है (बस "सामान्य" फ़ंक्शन की तरह)। यह एक निहित कार्य के लिए समान है। मौजूदपहला व्युत्पन्न, दूसरा व्युत्पन्न, आदि। जैसा कि वे कहते हैं, यौन अल्पसंख्यकों के सभी अधिकारों का सम्मान किया जाता है।

और इस पाठ में हम सीखेंगे कि परोक्ष रूप से दिए गए फलन का अवकलज कैसे ज्ञात किया जाता है। यह इतना मुश्किल नही है! सभी भेदभाव नियम, प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका लागू रहती है। अंतर एक अजीबोगरीब बिंदु में है, जिस पर हम अभी विचार करेंगे।

हां, और मैं आपको खुशखबरी सुनाऊंगा - नीचे चर्चा किए गए कार्यों को तीन पटरियों के सामने एक पत्थर के बिना एक कठोर और स्पष्ट एल्गोरिथ्म के अनुसार किया जाता है।

उदाहरण 1

1) पहले चरण में, हम दोनों हिस्सों पर स्ट्रोक लगाते हैं:

2) हम व्युत्पन्न की रैखिकता के नियमों का उपयोग करते हैं (पाठ के पहले दो नियम व्युत्पन्न कैसे खोजें? समाधान उदाहरण):

3) प्रत्यक्ष भेदभाव।
अंतर कैसे करें और पूरी तरह से समझने योग्य। स्ट्रोक के तहत "गेम" होने पर क्या करें?

- बस बदनाम करने के लिए, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उसके व्युत्पन्न के बराबर होता है: .

अंतर कैसे करें
हमारे साथ हैं जटिल कार्य. क्यों? ऐसा लगता है कि साइन के नीचे केवल एक अक्षर "Y" है। लेकिन, तथ्य यह है कि केवल एक अक्षर "y" - अपने आप में एक कार्य है(पाठ की शुरुआत में परिभाषा देखें)। इस प्रकार, साइन एक बाहरी कार्य है, एक आंतरिक कार्य है। हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम का उपयोग करते हैं :

उत्पाद सामान्य नियम के अनुसार अलग-अलग है :

ध्यान दें कि यह भी एक जटिल कार्य है, कोई भी "ट्विस्ट टॉय" एक जटिल कार्य है:

समाधान का डिज़ाइन स्वयं कुछ इस तरह दिखना चाहिए:


यदि कोष्ठक हैं, तो उन्हें खोलें:

4) बाईं ओर, हम उन शब्दों को एकत्र करते हैं जिनमें स्ट्रोक के साथ "y" होता है। दाईं ओर - हम बाकी सब कुछ स्थानांतरित करते हैं:

5) बाईं ओर, हम व्युत्पन्न को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं:

6) और अनुपात के नियम के अनुसार, हम इन कोष्ठकों को दाईं ओर के हर में छोड़ देते हैं:

व्युत्पत्ति मिली है। तैयार।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि किसी भी फ़ंक्शन को परोक्ष रूप से फिर से लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन इस तरह फिर से लिखा जा सकता है: . और अभी विचार किए गए एल्गोरिथम के अनुसार इसे अलग करें। वास्तव में, वाक्यांश "अंतर्निहित कार्य" और "अंतर्निहित कार्य" एक अर्थपूर्ण बारीकियों में भिन्न होते हैं। वाक्यांश "अंतर्निहित रूप से परिभाषित कार्य" अधिक सामान्य और सही है, - यह फ़ंक्शन परोक्ष रूप से दिया गया है, लेकिन यहां आप "y" को व्यक्त कर सकते हैं और फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत कर सकते हैं। वाक्यांश "अंतर्निहित कार्य" का अर्थ "शास्त्रीय" निहित कार्य है, जब "y" को व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

हल करने का दूसरा तरीका

ध्यान!आप खुद को दूसरी विधि से तभी परिचित करा सकते हैं जब आप आत्मविश्वास से खोजना जानते हों आंशिक अवकलज. कैलकुलस बिगिनर्स एंड डमीज प्लीज इस पैराग्राफ को पढ़ें और छोड़ें नहीं, अन्यथा सिर पूरी तरह से गड़बड़ हो जाएगा।

दूसरे तरीके से निहित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

हम सभी शर्तों को बाईं ओर ले जाते हैं:

और दो चर के एक समारोह पर विचार करें:

तब हमारा व्युत्पन्न सूत्र द्वारा पाया जा सकता है
आइए आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

इस प्रकार:

दूसरा समाधान आपको एक चेक करने की अनुमति देता है। लेकिन उनके लिए कार्य का अंतिम संस्करण तैयार करना अवांछनीय है, क्योंकि बाद में आंशिक डेरिवेटिव में महारत हासिल है, और "एक चर के एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न" विषय का अध्ययन करने वाले छात्र को आंशिक डेरिवेटिव नहीं जानना चाहिए।

आइए कुछ और उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम दोनों हिस्सों पर स्ट्रोक लगाते हैं:

हम रैखिकता के नियमों का उपयोग करते हैं:

डेरिवेटिव ढूँढना:

सभी कोष्ठकों का विस्तार करना:

हम सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, बाकी - दाईं ओर:

आख़री जवाब:

उदाहरण 3

निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और डिजाइन का नमूना।

विभेदन के बाद भिन्नों का प्रकट होना असामान्य नहीं है। ऐसे मामलों में, अंशों को त्याग दिया जाना चाहिए। आइए दो और उदाहरण देखें।

उदाहरण 4

निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम दोनों भागों को स्ट्रोक के तहत समाप्त करते हैं और रैखिकता नियम का उपयोग करते हैं:

हम एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम का उपयोग करके अंतर करते हैं और भागफल के विभेदन का नियम :

कोष्ठक का विस्तार:

अब हमें अंश से छुटकारा पाने की जरूरत है। यह बाद में किया जा सकता है, लेकिन इसे तुरंत करना अधिक तर्कसंगत है। भिन्न का हर है। गुणा पर । विस्तार से, यह इस तरह दिखेगा:

कभी-कभी विभेदन के बाद 2-3 भिन्न दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास एक और अंश होता, तो ऑपरेशन को दोहराना पड़ता - गुणा प्रत्येक भाग का प्रत्येक पदपर

बाईं ओर, हम इसे कोष्ठक से बाहर रखते हैं:

आख़री जवाब:

उदाहरण 5

निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह स्वयं का उदाहरण है। इसमें केवल एक चीज है, भिन्न से छुटकारा पाने से पहले, आपको सबसे पहले भिन्न की तीन मंजिला संरचना से छुटकारा पाना होगा। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

तनाव मत करो, इस पैराग्राफ में भी, सब कुछ काफी सरल है। आप पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन का सामान्य सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन इसे स्पष्ट करने के लिए, मैं तुरंत एक विशिष्ट उदाहरण लिखूंगा। पैरामीट्रिक रूप में, फ़ंक्शन दो समीकरणों द्वारा दिया जाता है:। अक्सर, समीकरण घुंघराले ब्रेसिज़ के तहत नहीं लिखे जाते हैं, लेकिन क्रमिक रूप से:,।

चर को एक पैरामीटर कहा जाता हैऔर "माइनस इनफिनिटी" से "प्लस इनफिनिटी" तक मान ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान पर विचार करें और इसे दोनों समीकरणों में बदलें: . या मानवीय रूप से: "यदि x चार के बराबर है, तो y एक के बराबर है।" आप निर्देशांक तल पर एक बिंदु को चिह्नित कर सकते हैं, और यह बिंदु पैरामीटर के मान के अनुरूप होगा। इसी तरह, आप पैरामीटर "ते" के किसी भी मान के लिए एक बिंदु पा सकते हैं। "साधारण" फ़ंक्शन के लिए, पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के अमेरिकी भारतीयों के लिए, सभी अधिकारों का भी सम्मान किया जाता है: आप एक ग्राफ़ प्लॉट कर सकते हैं, डेरिवेटिव ढूंढ सकते हैं, और इसी तरह। वैसे, यदि पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ बनाने की आवश्यकता है, तो आप मेरे प्रोग्राम का उपयोग कर सकते हैं।

सरलतम मामलों में, फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना संभव है। हम पहले समीकरण से पैरामीटर व्यक्त करते हैं: और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: . परिणाम एक साधारण क्यूबिक फ़ंक्शन है।

अधिक "गंभीर" मामलों में, ऐसी चाल काम नहीं करती है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने का एक सूत्र है:

हम "चर ते के संबंध में खिलाड़ी" का व्युत्पन्न पाते हैं:

भेदभाव के सभी नियम और डेरिवेटिव की तालिका, निश्चित रूप से, पत्र के लिए मान्य हैं, इस प्रकार, डेरिवेटिव खोजने की प्रक्रिया में कोई नवीनता नहीं है. तालिका में सभी "x" को मानसिक रूप से "te" अक्षर से बदलें।

हम चर ते के संबंध में "x" का अवकलज पाते हैं:

अब यह केवल हमारे सूत्र में पाए गए डेरिवेटिव को स्थानापन्न करना है:

तैयार। व्युत्पन्न, फ़ंक्शन की तरह ही, पैरामीटर पर भी निर्भर करता है।

अंकन के लिए, सूत्र में लिखने के बजाय, कोई इसे बिना सबस्क्रिप्ट के आसानी से लिख सकता है, क्योंकि यह "एक्स द्वारा" "साधारण" व्युत्पन्न है। लेकिन साहित्य में हमेशा एक भिन्नता होती है, इसलिए मैं मानक से विचलित नहीं होऊंगा।

उदाहरण 6

हम सूत्र का उपयोग करते हैं

इस मामले में:

इस प्रकार:

एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की एक विशेषता यह तथ्य है कि प्रत्येक चरण में, जितना संभव हो सके परिणाम को सरल बनाना फायदेमंद है. इसलिए, विचार किए गए उदाहरण में, खोजते समय, मैंने कोष्ठक को जड़ के नीचे खोल दिया (हालाँकि मैंने ऐसा नहीं किया होगा)। इस बात की बहुत अधिक संभावना है कि प्रतिस्थापन और सूत्र में, बहुत सी चीजें अच्छी तरह से कम हो जाएंगी। हालांकि, निश्चित रूप से, अनाड़ी उत्तरों के उदाहरण हैं।

उदाहरण 7

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह स्वयं का उदाहरण है।

लेख में व्युत्पन्न के साथ सबसे सरल विशिष्ट समस्याएंहमने ऐसे उदाहरणों पर विचार किया जिनमें किसी फलन का द्वितीय अवकलज ज्ञात करना आवश्यक था। पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के लिए, आप दूसरा व्युत्पन्न भी पा सकते हैं, और यह निम्न सूत्र द्वारा पाया जाता है:। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि दूसरे व्युत्पन्न को खोजने के लिए, पहले पहले व्युत्पन्न को खोजना होगा।

उदाहरण 8

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न खोजें

आइए पहले पहला व्युत्पन्न खोजें।
हम सूत्र का उपयोग करते हैं

इस मामले में:

हम पाए गए डेरिवेटिव को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। सरलता के लिए, हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं:

लॉगरिदमिक भेदभाव

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

भेदभाव के बुनियादी नियम

समारोह अंतर

फ़ंक्शन वृद्धि का मुख्य रैखिक भाग एडी एक्सकिसी फ़ंक्शन की भिन्नता की परिभाषा में

डी एफ = एफ(एक्स)-एफ(एक्स 0)=ए(एक्स-एक्स 0)+ओ(एक्स-एक्स 0), x®x 0

फ़ंक्शन का अंतर कहा जाता है एफ(एक्स) बिंदु पर एक्स 0 और निरूपित

डीएफ(एक्स 0)=f¢(एक्स 0)डी एक्स = एडी एक्स।

अंतर बिंदु पर निर्भर करता है एक्स 0 और वेतन वृद्धि से D एक्स।डी पर एक्सइसे एक स्वतंत्र चर के रूप में देखते हुए, ताकि प्रत्येक बिंदु पर अंतर वेतन वृद्धि का एक रैखिक कार्य है D एक्स।

अगर हम एक समारोह के रूप में विचार करें एफ(एक्स)=x, तो हमें मिलता है डीएक्स =डी एक्स, डीई = एडीएक्स. यह लाइबनिज संकेतन के अनुरूप है

स्पर्शरेखा कोटि की वृद्धि के रूप में अंतर की ज्यामितीय व्याख्या।

चावल। 4.3

1) च =स्थिरांक , एफ¢ = 0, डीएफ = 0 दि एक्स = 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

परिणाम। (सीएफ़(एक्स))=cf¢(एक्स), (सी 1 एफ 1 (एक्स)+…+सी एन एफ एन(एक्स))= सी 1 फू 1 (एक्स)+…+ सी एन एफ¢ एन(एक्स)

4) एफ = यू / वी, वी(एक्स 0)¹0 और व्युत्पन्न मौजूद है, तो एफ¢=(उव-वी¢ तुम)/वी 2 .

संक्षिप्तता के लिए, हम निरूपित करेंगे यू = यू(एक्स), तुम 0 =यू(एक्स 0), तब

D . पर सीमा तक जाना x® 0 हम आवश्यक समानता प्राप्त करते हैं।

5) एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

प्रमेय। अगर वहाँ हैं f¢(एक्स 0), जी(एक्स 0)और x 0 =जी(टी 0), फिर किसी मोहल्ले में 0 एक जटिल कार्य f(जी(टी)), यह बिंदु t . पर अवकलनीय है 0 और

प्रमाण.

एफ(एक्स)-एफ(एक्स 0)=f¢(एक्स 0)(एक्स-एक्स 0)+ ए( एक्स)(एक्स-एक्स 0), एक्सÎ यू(एक्स 0).

एफ(जी(टी))-एफ(जी(टी 0))= f¢(एक्स 0)(जी(टी)-जी(टी 0))+ ए( जी(टी))(जी(टी)-जी(टी 0)).

इस समानता के दोनों पक्षों को ( टी - टी 0) और सीमा तक पास करें टी®टी 0 .

6) प्रतिलोम फलन के व्युत्पन्न की गणना।

प्रमेय। चलो f निरंतर और सख्ती से एकरस हो[ए, बी]. माना बिंदु x . पर 0 Î( ए, बी)f¢ . मौजूद है(एक्स 0)¹ 0 , तो प्रतिलोम फलन x=f -1 (आप)बिंदु y पर है 0 व्युत्पन्न बराबर

प्रमाण. हमें यकीन है एफसख्ती से नीरस रूप से बढ़ रहा है, फिर एफ -1 (आप) निरंतर, नीरस रूप से बढ़ रहा है [ एफ(ए),एफ(बी)]. चलो रखो आप 0 = एफ(एक्स 0), वाई = एफ(एक्स), एक्स - एक्स 0=डी एक्स,

Y y 0=डी आप. प्रतिलोम फलन की निरंतरता के कारण D आप®0 डी एक्स®0, हमारे पास है

सीमा को पार करते हुए, हम आवश्यक समानता प्राप्त करते हैं।

7) सम फलन का अवकलज विषम होता है, विषम फलन का अवकलज सम होता है।

दरअसल, अगर एक्स®-एक्स 0 , तब - एक्स® एक्स 0 , इसीलिए

विषम फलन के सम फलन के लिए

1) च =स्थिरांक, फू(एक्स)=0.

2) एफ(एक्स)= एक्स, एफ¢(एक्स)=1.

3) एफ(एक्स)=ई एक्स, फू(एक्स)= ई एक्स ,

4) एफ(एक्स)=ए एक्स,(एक एक्स)= एक्सएलएन ए।

5) एलएन ए।

6) एफ(एक्स)=ln एक्स ,

परिणाम। (एक सम फलन का व्युत्पन्न विषम है)

7) (एक्सएम )¢= एम एक्सएम-1 , एक्स>0, एक्सएम =ईएम एलएन एक्स .

8) (पाप एक्स)¢= क्योंकि एक्स,

9) (कोस एक्स)¢=- पाप एक्स,(कोस एक्स)¢= (पाप (पाप) एक्स+पी/2)) ¢= क्योंकि ( एक्स+पी/2)=-पाप एक्स।

10) (टीजी एक्स)¢= 1/कोस 2 एक्स।

11) (सीटीजी एक्स)¢= -1/पाप2 एक्स।

16) शू एक्स,चौधरी एक्स.

एफ (एक्स),, जहां से यह इस प्रकार है फू(एक्स)= एफ(एक्स)(ln एफ(एक्स))¢ .

एक ही सूत्र अलग-अलग प्राप्त किया जा सकता है एफ(एक्स)=ईएलएन एफ(एक्स) , एफ¢ = ईएलएन एफ(एक्स) (ln एफ(एक्स))¢.

उदाहरण। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें एफ = एक्स एक्स।

=एक्स एक्स = एक्स एक्स = एक्स एक्स = एक्स एक्स(ln एक्स + 1).

एक विमान पर बिंदुओं का स्थान

फ़ंक्शन का ग्राफ कहा जाएगा, पैरामीट्रिक रूप से दिया गया. वे फ़ंक्शन की पैरामीट्रिक परिभाषा के बारे में भी बात करते हैं।

टिप्पणी 1.यदि एक एक्स, वाईनिरंतर [ए, बी] और एक्स(टी) खंड पर सख्ती से मोनोटोनिक (उदाहरण के लिए, सख्ती से नीरस रूप से बढ़ रहा है), फिर [ ए, बी], ए = एक्स(ए) ,बी=एक्स(बी) फ़ंक्शन परिभाषित एफ(एक्स)=y(टी(एक्स)), जहां टी(एक्स) – एक्स (टी) के विपरीत कार्य। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के समान है

यदि गुंजाइश पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन को खंडों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है , के = 1,2,…,एन,जिनमें से प्रत्येक पर समारोह एक्स(टी) सख्ती से मोनोटोनिक है, तो पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन सामान्य कार्यों की एक सीमित संख्या में विघटित हो जाता है एफ के(एक्स)=y(टी -1 (एक्स)) दायरे के साथ [ एक्स(ए क), एक्स(बी क)] आरोही क्षेत्रों के लिए एक्स(टी) और डोमेन के साथ [ एक्स(बी क), एक्स(ए क)] समारोह के अवरोही वर्गों के लिए एक्स(टी). इस तरह से प्राप्त कार्यों को पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन की एकल-मूल्यवान शाखाएं कहा जाता है।

आंकड़ा एक पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ दिखाता है

चुने हुए पैरामीट्रिजेशन के साथ, परिभाषा का क्षेत्र समारोह पाप की सख्त एकरसता के पांच वर्गों में बांटा गया है(2 .) टी), बिल्कुल: टीÎ टीÎ ,टीÎ ,टीÎ , और, तदनुसार, ग्राफ़ इन अनुभागों के अनुरूप पांच एकल-मूल्यवान शाखाओं में विभाजित हो जाएगा।

चावल। 4.4

चावल। 4.5

आप बिंदुओं के समान स्थान का दूसरा पैरामीट्रिज़ेशन चुन सकते हैं

ऐसे में ऐसी चार शाखाएं ही होंगी। वे सख्त एकरसता के क्षेत्रों के अनुरूप होंगे टीÎ ,टीÎ , टीÎ ,टीÎ कार्यों पाप(2 टी).

चावल। 4.6

समारोह पाप की एकरसता के चार खंड(2 टी) लंबे खंड पर।

चावल। 4.7

एक आकृति में दोनों रेखांकन की छवि आपको दोनों कार्यों के एकरसता क्षेत्रों का उपयोग करते हुए, पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को लगभग चित्रित करने की अनुमति देती है।

उदाहरण के लिए, खंड के अनुरूप पहली शाखा पर विचार करें टीÎ . इस खंड के अंत में, समारोह एक्स =पाप(2 टी) मान लेता है -1 और 1 , इसलिए इस शाखा को [-1,1] पर परिभाषित किया जाएगा। उसके बाद, आपको दूसरे फ़ंक्शन की एकरसता के क्षेत्रों को देखने की जरूरत है वाई =क्योंकि ( टी), उसके पास एकरसता के दो क्षेत्र . यह हमें यह कहने की अनुमति देता है कि पहली शाखा में एकरसता के दो खंड हैं। ग्राफ के अंतिम बिंदुओं को खोजने के बाद, आप ग्राफ की एकरसता की प्रकृति को इंगित करने के लिए उन्हें सीधी रेखाओं से जोड़ सकते हैं। प्रत्येक शाखा के साथ ऐसा करने के बाद, हमें ग्राफ की एकल-मूल्यवान शाखाओं की एकरसता के क्षेत्र मिलते हैं (आकृति में उन्हें लाल रंग में हाइलाइट किया गया है)

चावल। 4.8

पहली एकल शाखा एफ 1 (एक्स)=y(टी(एक्स)) , अनुभाग के अनुरूप के लिए निर्धारित किया जाएगा एक्सएन[-1,1] . पहली एकल शाखा टीÎ , एक्स[-1,1].

अन्य सभी तीन शाखाओं में भी [-1,1] उनके डोमेन के रूप में सेट होगा .

चावल। 4.9

दूसरी शाखा टीÎ एक्स[-1,1].

चावल। 4.10

तीसरी शाखा टीÎ एक्सएन[-1,1]

चावल। 4.11

चौथी शाखा टीÎ एक्सएन[-1,1]

चावल। 4.12

टिप्पणी 2. एक ही फ़ंक्शन में अलग-अलग पैरामीट्रिक असाइनमेंट हो सकते हैं। मतभेद दोनों कार्यों से संबंधित हो सकते हैं एक्स(टी), यू(टी) , और परिभाषा के क्षेत्र इन कार्यों।

एक ही फ़ंक्शन के विभिन्न पैरामीट्रिक असाइनमेंट का उदाहरण

और टीएन[-1, 1] .

टिप्पणी 3.यदि x, y निरंतर हैं , एक्स(टी)-खंड पर सख्ती से मोनोटोनिक और डेरिवेटिव हैं आप(टी 0),x¢(टी 0)¹0, तब मौजूद है फू(एक्स 0)= .

सच में, ।

अंतिम विवरण पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन की एकल-मूल्यवान शाखाओं तक भी फैला हुआ है।

4.2 उच्च आदेशों के व्युत्पन्न और अंतर

उच्च डेरिवेटिव और अंतर। पैरामीट्रिक रूप से दिए गए कार्यों का अंतर। लाइबनिज सूत्र।

फ़ंक्शन को कई तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। यह उस नियम पर निर्भर करता है जो इसे सेट करते समय उपयोग किया जाता है। फ़ंक्शन परिभाषा का स्पष्ट रूप y = f (x) है। ऐसे मामले हैं जब इसका विवरण असंभव या असुविधाजनक है। यदि जोड़े (x; y) का एक सेट है जिसे अंतराल (a; b) पर पैरामीटर t के लिए गणना करने की आवश्यकता है। सिस्टम को हल करने के लिए x = 3 cos t y = 3 sin t 0 t . के साथ< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन परिभाषा

इसलिए हमारे पास x = (t) , y = (t) को मान t (a; b) के लिए परिभाषित किया गया है और x = (t) के लिए एक व्युत्क्रम कार्य t = Θ (x) है, तो हम y = (Θ (x)) के रूप के एक फ़ंक्शन के पैरामीट्रिक समीकरण को सेट करने के बारे में बात कर रहे हैं।

ऐसे मामले होते हैं, जब किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए, x के संबंध में व्युत्पन्न की खोज करना आवश्यक होता है। फॉर्म y x "= " (t) "(t) के पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र पर विचार करें, आइए दूसरे और n वें क्रम के व्युत्पन्न के बारे में बात करते हैं।

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

हमारे पास x = (t) , y = (t) है, जो t ∈ a के लिए परिभाषित और अवकलनीय है; b , जहाँ x t "= " (t) 0 और x = (t) , तो t = (x) के रूप का एक प्रतिलोम फलन होता है।

आरंभ करने के लिए, आपको एक पैरामीट्रिक कार्य से एक स्पष्ट कार्य में जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको y = (t) = (Θ (x)) फॉर्म का एक जटिल कार्य प्राप्त करने की आवश्यकता है, जहां एक तर्क x है।

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के नियम के आधार पर, हमें वह y "x \u003d ψ (x) \u003d ψ " x " x मिलता है।

यह दर्शाता है कि t = Θ (x) और x = (t) प्रतिलोम फलन सूत्र "(x) = 1 φ" (t) से प्रतिलोम फलन हैं, फिर y "x = ψ" Θ (x) " (एक्स) = "(टी) φ" (टी) ।

आइए विभेदीकरण के नियम के अनुसार अवकलजों की तालिका का उपयोग करके कई उदाहरणों को हल करने पर विचार करें।

उदाहरण 1

फलन x = t 2 + 1 y = t के लिए अवकलज ज्ञात कीजिए।

फेसला

शर्त के अनुसार, हमारे पास φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t है, इसलिए हमें वह "(t) = t 2 + 1", ψ "(t) = t" = 1 मिलता है। व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करना और उत्तर को फॉर्म में लिखना आवश्यक है:

वाई "एक्स = ψ" (टी) φ "(टी) = 1 2 टी

जवाब:वाई एक्स " = 1 2 टी एक्स = टी 2 + 1।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के साथ काम करते समय, पैरामीटर t एक ही पैरामीटर t के माध्यम से तर्क x की अभिव्यक्ति को निर्दिष्ट करता है ताकि व्युत्पन्न के मूल्यों और पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन के बीच संबंध को इस तर्क के साथ न खोया जा सके। मान मेल खाते हैं।

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए, आपको परिणामी फ़ंक्शन पर पहले-क्रम व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, फिर हमें वह मिलता है

वाई""एक्स = ψ"(टी)φ"(टी)"φ"(टी) = ψ""(टी) φ"(टी) - "(टी) φ""(टी)φ"( टी) 2 "(टी) = ψ"" (टी) φ "(टी) - ψ" (टी) φ "" (टी) φ "(टी) 3।

उदाहरण 2

दिए गए फलन x = cos (2 t) y = t 2 के दूसरे और दूसरे क्रम के अवकलज ज्ञात कीजिए।

फेसला

शर्त से, हम प्राप्त करते हैं कि φ (t) = cos (2 t) , (t) = t 2।

फिर परिवर्तन के बाद

"(टी) \u003d कॉस (2 टी)" \u003d - पाप (2 टी) 2 टी " \u003d - 2 पाप (2 टी) (टी) \u003d टी 2 " \u003d 2 टी

यह इस प्रकार है कि y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) ।

हम पाते हैं कि प्रथम कोटि के अवकलज का रूप x = cos (2 t) y x "= - t sin (2 t) है।

इसे हल करने के लिए, आपको दूसरे क्रम के व्युत्पन्न सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है। हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जैसे

y x "" \u003d - t पाप (2 t) φ "t \u003d - t" पाप (2 t) - t (पाप (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 पाप (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

फिर पैरामीट्रिक फ़ंक्शन का उपयोग करके दूसरा क्रम व्युत्पन्न सेट करना

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

एक समान समाधान किसी अन्य विधि द्वारा हल किया जा सकता है। फिर

"t \u003d (cos (2 t))" \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) "" t \u003d - 2 sin (2 t) " \u003d - 2 पाप (2 टी) "= - 2 कॉस (2 टी) (2 टी)" = - 4 कॉस (2 टी) ψ "(टी) = (टी 2)" = 2 टी ψ "" (टी) = (2 टी) "= 2

इसलिए हम पाते हैं कि

वाई "" एक्स = ψ "" (टी) φ "(टी) - " (टी) "" (टी) φ "(टी) 3 = 2 - 2 पाप (2 टी) - 2 टी (- 4 कॉस (2 टी)) - 2 पाप 2 टी 3 \u003d \u003d पाप (2 टी) - 2 टी कॉस (2 टी) 2 एस आई एन 3 (2 टी)

जवाब: y "" x \u003d पाप (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

इसी तरह, पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट कार्यों के साथ उच्च क्रम के डेरिवेटिव पाए जाते हैं।

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