"पुरानी" पाठ्यपुस्तकों में, इसे "श्रृंखला" नियम भी कहा जाता है। तो अगर y \u003d f (u), और u \u003d (x .)), अर्थात

वाई \u003d एफ (φ (एक्स))

जटिल - यौगिक कार्य (कार्यों की संरचना) तब

कहाँ पे , गणना के बाद माना जाता है यू = (एक्स)।

ध्यान दें कि यहां हमने समान कार्यों से "अलग" रचनाएं लीं, और भेदभाव का परिणाम स्वाभाविक रूप से "मिश्रण" के क्रम पर निर्भर था।

श्रृंखला नियम स्वाभाविक रूप से तीन या अधिक कार्यों की संरचना तक फैला हुआ है। इस मामले में, "श्रृंखला" में तीन या अधिक "लिंक" होंगे जो क्रमशः व्युत्पन्न बनाते हैं। यहाँ गुणन के साथ एक सादृश्य है: "हमारे पास" - डेरिवेटिव की एक तालिका; "वहां" - गुणन तालिका; "हमारे साथ" एक श्रृंखला नियम है और "वहां" एक "कॉलम" के साथ एक गुणन नियम है। इस तरह के "जटिल" डेरिवेटिव की गणना करते समय, निश्चित रूप से, कोई सहायक तर्क (u¸v, आदि) पेश नहीं किए जाते हैं, लेकिन, रचना में भाग लेने वाले कार्यों की संख्या और अनुक्रम को ध्यान में रखते हुए, वे संबंधित लिंक को "स्ट्रिंग" करते हैं संकेतित आदेश।

. यहां, "y" का मान प्राप्त करने के लिए "x" के साथ पांच ऑपरेशन किए जाते हैं, यानी पांच कार्यों की एक संरचना होती है: "बाहरी" (उनमें से अंतिम) - घातीय - ई ; तो विपरीत क्रम में एक शक्ति कानून है। (♦) 2 ; त्रिकोणमितीय पाप (); शक्ति। () 3 और अंत में लॉगरिदमिक ln। ()। इसलिए

निम्नलिखित उदाहरण "एक पत्थर से पक्षियों के जोड़े को मार देंगे": हम जटिल कार्यों को अलग करने का अभ्यास करेंगे और प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका को पूरक करेंगे। इसलिए:

4. एक पावर फंक्शन के लिए - y \u003d x α - इसे प्रसिद्ध "बेसिक लॉगरिदमिक आइडेंटिटी" का उपयोग करके फिर से लिखना - b \u003d e ln b - फॉर्म में x α \u003d x α ln x हमें मिलता है

5. एक स्वेच्छ घातांक फलन के लिए, उसी तकनीक का प्रयोग करते हुए, हमारे पास होगा

6. एक मनमाना लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के लिए, एक नए आधार पर संक्रमण के लिए जाने-माने सूत्र का उपयोग करके, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं

.

7. स्पर्शरेखा (कोटैंजेंट) में अंतर करने के लिए, हम भागफल को अलग करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज प्राप्त करने के लिए, हम उस संबंध का उपयोग करते हैं जो दो परस्पर प्रतिलोम फलनों के अवकलजों से संतुष्ट होता है, अर्थात् संबंध से जुड़े फलन (x) और f (x) :

यहाँ अनुपात है

यह परस्पर प्रतिलोम फलनों के लिए इस सूत्र से है

और
,

अंत में, हम इन्हें और कुछ अन्य को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं, जैसे कि आसानी से प्राप्त व्युत्पन्न, निम्न तालिका में।

यदि एक जी(एक्स) और एफ(तुम) उनके तर्कों के अलग-अलग कार्य हैं, क्रमशः, बिंदुओं पर एक्सऔर तुम= जी(एक्स), तब सम्मिश्र फलन भी बिंदु पर अवकलनीय होता है एक्सऔर सूत्र द्वारा पाया जाता है

डेरिवेटिव पर समस्याओं को हल करने में एक विशिष्ट गलती सरल कार्यों को जटिल कार्यों में अंतर करने के लिए नियमों का स्वत: हस्तांतरण है। हम इस गलती से बचना सीखेंगे।

उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

गलत समाधान:कोष्ठक में प्रत्येक पद के प्राकृतिक लघुगणक की गणना करें और व्युत्पन्नों का योग ज्ञात करें:

सही समाधान:फिर से हम यह निर्धारित करते हैं कि "सेब" कहाँ है और "कीमा बनाया हुआ मांस" कहाँ है। यहाँ, कोष्ठक में व्यंजक का प्राकृतिक लघुगणक "सेब" है, अर्थात् मध्यवर्ती तर्क पर कार्य तुम, और कोष्ठक में अभिव्यक्ति "कीमा बनाया हुआ मांस" है, जो कि एक मध्यवर्ती तर्क है तुमस्वतंत्र चर द्वारा एक्स.

तब (डेरिवेटिव की तालिका से सूत्र 14 का उपयोग करके)

कई वास्तविक समस्याओं में, लघुगणक के साथ अभिव्यक्ति कुछ अधिक जटिल है, यही वजह है कि एक सबक है

उदाहरण 3किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

गलत समाधान:

सही समाधान।एक बार फिर, हम यह निर्धारित करते हैं कि "सेब" कहाँ और "कीमा बनाया हुआ मांस" कहाँ है। यहां, कोष्ठक में व्यंजक की कोज्या (डेरिवेटिव की तालिका में सूत्र 7) "सेब" है, इसे मोड 1 में तैयार किया गया है, जो केवल इसे प्रभावित करता है, और कोष्ठक में व्यंजक (डिग्री का व्युत्पन्न - संख्या 3 में) डेरिवेटिव की तालिका) "कीमा बनाया हुआ मांस" है, इसे मोड 2 में पकाया जाता है, केवल इसे प्रभावित करता है। और हमेशा की तरह, हम दो डेरिवेटिव को एक उत्पाद चिह्न से जोड़ते हैं। नतीजा:

एक जटिल लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न परीक्षणों में लगातार कार्य होता है, इसलिए हम दृढ़ता से अनुशंसा करते हैं कि आप "लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न" पाठ पर जाएं।

पहले उदाहरण जटिल कार्यों के लिए थे, जिसमें स्वतंत्र चर पर मध्यवर्ती तर्क एक साधारण कार्य था। लेकिन व्यावहारिक कार्यों में अक्सर एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता होती है, जहां मध्यवर्ती तर्क या तो स्वयं एक जटिल कार्य होता है या इसमें ऐसा कार्य होता है। ऐसे मामलों में क्या करें? तालिकाओं और विभेदन नियमों का उपयोग करके ऐसे फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए। जब मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न पाया जाता है, तो इसे केवल सूत्र में सही जगह पर प्रतिस्थापित किया जाता है। यह कैसे किया जाता है, इसके दो उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

इसके अलावा, निम्नलिखित जानना उपयोगी है। यदि एक जटिल कार्य को तीन कार्यों की श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है

तो इसका व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के डेरिवेटिव के उत्पाद के रूप में पाया जाना चाहिए:

आपके कई होमवर्क असाइनमेंट के लिए आपको नई विंडो में ट्यूटोरियल खोलने की आवश्यकता हो सकती है। शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाऔर भिन्न के साथ क्रिया .

उदाहरण 4किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

हम एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम को लागू करते हैं, यह नहीं भूलते हैं कि डेरिवेटिव के परिणामी उत्पाद में, स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क एक्सनहीं बदलता:

हम उत्पाद का दूसरा कारक तैयार करते हैं और योग को अलग करने के लिए नियम लागू करते हैं:

दूसरा पद मूल है, इसलिए

इस प्रकार, यह प्राप्त किया गया था कि मध्यवर्ती तर्क, जो कि योग है, में शब्दों में से एक के रूप में एक जटिल कार्य होता है: घातांक एक जटिल कार्य है, और जो एक शक्ति के लिए उठाया जाता है वह एक स्वतंत्र चर द्वारा एक मध्यवर्ती तर्क है एक्स.

इसलिए, हम फिर से एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम को लागू करते हैं:

हम पहले कारक की डिग्री को मूल में बदलते हैं, और दूसरे कारक को अलग करते हुए, हम यह नहीं भूलते हैं कि स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

अब हम समस्या की स्थिति में आवश्यक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए आवश्यक मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न पा सकते हैं आप:

उदाहरण 5किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

सबसे पहले, हम योग को अलग करने के नियम का उपयोग करते हैं:

दो जटिल कार्यों के डेरिवेटिव का योग प्राप्त करें। पहला खोजें:

यहाँ, ज्या को घात में बढ़ाना एक जटिल कार्य है, और साइन स्वयं स्वतंत्र चर में एक मध्यवर्ती तर्क है एक्स. इसलिए, हम रास्ते में एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम का उपयोग करते हैं गुणक को कोष्ठक से बाहर निकालना :

अब हम उनमें से दूसरा पद पाते हैं जो फलन का अवकलज बनाते हैं आप:

यहाँ, कोसाइन को घात में ऊपर उठाना एक जटिल कार्य है एफ, और कोज्या स्वयं स्वतंत्र चर के संबंध में एक मध्यवर्ती तर्क है एक्स. फिर से, हम एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम का उपयोग करते हैं:

परिणाम आवश्यक व्युत्पन्न है:

कुछ जटिल कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

जटिल फलनों के लिए, एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम के आधार पर, एक साधारण फलन के अवकलज का सूत्र एक भिन्न रूप लेता है।

1. एक जटिल शक्ति फलन का व्युत्पन्न, जहाँ तुम एक्स
2. व्यंजक के मूल का व्युत्पन्न
3. घातीय फलन का व्युत्पन्न
4. घातीय फ़ंक्शन का विशेष मामला
5. एक मनमाना सकारात्मक आधार के साथ एक लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न ए
6. एक जटिल लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न, जहाँ तुमतर्क का एक अलग कार्य है एक्स
7. साइन व्युत्पन्न
8. कोसाइन व्युत्पन्न
9. स्पर्शरेखा व्युत्पन्न
10. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
11. आर्क्सिन का व्युत्पन्न
12. चाप कोज्या का व्युत्पन्न
13. चाप स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
14. व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न

व्युत्पन्न और इसकी गणना के तरीकों के बारे में ज्ञान के बिना गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना बिल्कुल असंभव है। व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज के लेख को इस मौलिक विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह होने दें एफ (एक्स) , कुछ अंतराल में दिया गया (ए, बी) . बिंदु x और x0 इसी अंतराल के हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क परिवर्तन - इसके मूल्यों का अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा जाता है डेल्टा x और तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न परिभाषा:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? लेकिन कौन सा:

किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज OX अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा और दिए गए बिंदु पर फलन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: पथ का समय व्युत्पन्न सरल रेखीय गति की गति के बराबर होता है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं कि गति एक निजी रास्ता है। एक्स = एफ (टी) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:

एक बार में गति की गति का पता लगाने के लिए t0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: स्थिरांक निकालें

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए। गणित में उदाहरण हल करते समय, एक नियम के रूप में लें - यदि आप व्यंजक को सरल बना सकते हैं, तो सरल करना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के योग के बराबर है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो अलग-अलग कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

फेसला:

यहां जटिल कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के बारे में कहना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उपरोक्त उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति का सामना करते हैं:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पांचवीं शक्ति के लिए 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को निर्धारित करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर नुकसान होते हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन नियंत्रण को हल करने और कार्यों से निपटने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी डेरिवेटिव की गणना नहीं की हो।

जटिल डेरिवेटिव। लॉगरिदमिक व्युत्पन्न।
घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

हम अपनी विभेदीकरण तकनीक में सुधार करना जारी रखते हैं। इस पाठ में, हम कवर की गई सामग्री को समेकित करेंगे, अधिक जटिल डेरिवेटिव पर विचार करेंगे, और विशेष रूप से लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के साथ व्युत्पन्न खोजने के लिए नई चाल और चाल से परिचित होंगे।

जिन पाठकों के पास निम्न स्तर की तैयारी है, उन्हें लेख का संदर्भ लेना चाहिए व्युत्पन्न कैसे खोजें? समाधान उदाहरणजो आपको अपने कौशल को लगभग खरोंच से बढ़ाने की अनुमति देगा। अगला, आपको पृष्ठ का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने की आवश्यकता है यौगिक फलन का व्युत्पन्न, समझो और हल करो सबमैंने जो उदाहरण दिए हैं। यह पाठ तार्किक रूप से लगातार तीसरा है, और इसमें महारत हासिल करने के बाद, आप आत्मविश्वास से काफी जटिल कार्यों में अंतर करेंगे। स्थिति से चिपके रहना अवांछनीय है "और कहाँ? हाँ, और यह काफी है! ”, चूंकि सभी उदाहरण और समाधान वास्तविक परीक्षणों से लिए गए हैं और अक्सर व्यवहार में पाए जाते हैं।

आइए दोहराव से शुरू करें। सबक पर यौगिक फलन का व्युत्पन्नहमने विस्तृत टिप्पणियों के साथ कई उदाहरणों पर विचार किया है। डिफरेंशियल कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण के अन्य वर्गों के अध्ययन के दौरान, आपको बहुत बार अंतर करना होगा, और उदाहरणों को बहुत विस्तार से चित्रित करना हमेशा सुविधाजनक (और हमेशा आवश्यक नहीं) होता है। इसलिए, हम डेरिवेटिव की मौखिक खोज में अभ्यास करेंगे। इसके लिए सबसे उपयुक्त "उम्मीदवार" जटिल कार्यों के सरलतम व्युत्पन्न हैं, उदाहरण के लिए:

एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम से :

भविष्य में मटन के अन्य विषयों का अध्ययन करते समय, इस तरह के विस्तृत रिकॉर्ड की सबसे अधिक आवश्यकता नहीं होती है, यह माना जाता है कि छात्र ऑटोपायलट पर समान डेरिवेटिव खोजने में सक्षम है। आइए कल्पना करें कि सुबह 3 बजे फोन की घंटी बजी, और एक सुखद आवाज ने पूछा: "दो x की स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न क्या है?"। इसके बाद लगभग तात्कालिक और विनम्र प्रतिक्रिया दी जानी चाहिए: .

पहला उदाहरण तुरंत एक स्वतंत्र समाधान के लिए अभिप्रेत होगा।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, एक चरण में मौखिक रूप से निम्नलिखित अवकलज ज्ञात कीजिए: . कार्य को पूरा करने के लिए, आपको केवल उपयोग करने की आवश्यकता है प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका(अगर उसे पहले से याद नहीं है)। यदि आपको कोई कठिनाई है, तो मैं पाठ को फिर से पढ़ने की सलाह देता हूँ यौगिक फलन का व्युत्पन्न.

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पाठ के अंत में उत्तर

जटिल डेरिवेटिव

प्रारंभिक तोपखाने की तैयारी के बाद, कार्यों के 3-4-5 संलग्नक वाले उदाहरण कम डरावने होंगे। शायद निम्नलिखित दो उदाहरण कुछ के लिए जटिल प्रतीत होंगे, लेकिन अगर उन्हें समझा जाता है (किसी को पीड़ा होती है), तो अंतर कलन में लगभग बाकी सब कुछ एक बच्चे के मजाक की तरह लगेगा।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को खोजने पर, सबसे पहले, यह आवश्यक है सहीनिवेश को समझें। उन मामलों में जहां संदेह हैं, मैं आपको एक उपयोगी चाल की याद दिलाता हूं: उदाहरण के लिए, हम प्रयोगात्मक मान "x" लेते हैं, और इस मान को "भयानक अभिव्यक्ति" में बदलने के लिए (मानसिक रूप से या मसौदे पर) प्रयास करते हैं।

1) सबसे पहले हमें अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है, इसलिए योग सबसे गहरा घोंसला है।

2) फिर आपको लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता है:

4) फिर कोसाइन को घन करें:

5) पांचवें चरण में, अंतर:

6) और अंत में, सबसे बाहरी कार्य वर्गमूल है:

कॉम्प्लेक्स फंक्शन डिफरेंशियल फॉर्मूला सबसे बाहरी फ़ंक्शन से अंतरतम तक उल्टे क्रम में लागू होते हैं। हमने निर्णय किया:

ऐसा लगता है कि कोई त्रुटि नहीं है ...

(1) हम वर्गमूल का अवकलज लेते हैं।

(2) हम नियम का उपयोग करके अंतर का व्युत्पन्न लेते हैं

(3) ट्रिपल का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। दूसरे पद में, हम घात (घन) का अवकलज लेते हैं।

(4) हम कोसाइन का व्युत्पन्न लेते हैं।

(5) हम लघुगणक का व्युत्पन्न लेते हैं।

(6) अंत में, हम सबसे गहरे घोंसले का व्युत्पन्न लेते हैं।

यह बहुत कठिन लग सकता है, लेकिन यह सबसे क्रूर उदाहरण नहीं है। उदाहरण के लिए, कुज़नेत्सोव के संग्रह को लें और आप विश्लेषण किए गए व्युत्पन्न के सभी आकर्षण और सादगी की सराहना करेंगे। मैंने देखा कि वे यह जांचने के लिए परीक्षा में एक समान चीज देना पसंद करते हैं कि क्या छात्र समझता है कि एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को कैसे खोजना है, या समझ में नहीं आता है।

निम्नलिखित उदाहरण एक स्टैंडअलोन समाधान के लिए है।

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

संकेत: पहले हम रैखिकता के नियम और उत्पाद के विभेदन के नियम को लागू करते हैं

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

यह कुछ अधिक कॉम्पैक्ट और सुंदर करने के लिए आगे बढ़ने का समय है।
यह ऐसी स्थिति के लिए असामान्य नहीं है जहां एक उदाहरण में दो नहीं, बल्कि तीन कार्यों का गुणनफल दिया गया हो। तीन कारकों के उत्पाद के व्युत्पन्न को कैसे खोजें?

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

सबसे पहले, हम देखते हैं, लेकिन क्या तीन कार्यों के उत्पाद को दो कार्यों के उत्पाद में बदलना संभव है? उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास उत्पाद में दो बहुपद हैं, तो हम कोष्ठक खोल सकते हैं। लेकिन इस उदाहरण में, सभी कार्य भिन्न हैं: डिग्री, घातांक और लघुगणक।

ऐसे मामलों में, यह आवश्यक है क्रमिकउत्पाद विभेदन नियम लागू करें दो बार

चाल यह है कि "y" के लिए हम दो कार्यों के उत्पाद को निरूपित करते हैं: , और "ve" के लिए - लघुगणक:। ऐसा क्यों किया जा सकता है? यह है - यह दो कारकों का गुणनफल नहीं है और नियम काम नहीं करता है?! कुछ भी जटिल नहीं है:

अब दूसरी बार नियम लागू करना बाकी है ब्रैकेट के लिए:

आप अभी भी विकृत कर सकते हैं और कोष्ठक से कुछ निकाल सकते हैं, लेकिन इस मामले में उत्तर को इस रूप में छोड़ना बेहतर है - इसे जांचना आसान होगा।

उपरोक्त उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है:

दोनों समाधान बिल्कुल समकक्ष हैं।

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, नमूने में इसे पहले तरीके से हल किया जाता है।

भिन्नों के साथ समान उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यहां आप कई तरीकों से जा सकते हैं:

या इस तरह:

लेकिन हल को अधिक सघनता से लिखा जा सकता है यदि, सबसे पहले, हम भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करते हैं , पूरे अंश के लिए लेना:

सिद्धांत रूप में, उदाहरण हल हो गया है, और यदि इसे इस रूप में छोड़ दिया जाता है, तो यह कोई गलती नहीं होगी। लेकिन अगर आपके पास समय है, तो हमेशा मसौदे की जांच करने की सलाह दी जाती है, लेकिन क्या उत्तर को सरल बनाना संभव है? हम अंश के व्यंजक को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं और तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाएं:

अतिरिक्त सरलीकरण का नुकसान यह है कि व्युत्पन्न खोजने पर गलती करने का जोखिम नहीं होता है, लेकिन जब स्कूल के सामान्य परिवर्तन होते हैं। दूसरी ओर, शिक्षक अक्सर कार्य को अस्वीकार कर देते हैं और व्युत्पन्न को "इसे ध्यान में रखने" के लिए कहते हैं।

स्वयं करें समाधान के लिए एक सरल उदाहरण:

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

हम व्युत्पन्न खोजने के लिए तकनीकों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं, और अब हम एक विशिष्ट मामले पर विचार करेंगे जब भेदभाव के लिए "भयानक" लघुगणक प्रस्तावित है

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यहां आप एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम का उपयोग करके एक लंबा सफर तय कर सकते हैं:

लेकिन पहला कदम आपको तुरंत निराशा में डाल देता है - आपको एक भिन्नात्मक डिग्री का एक अप्रिय व्युत्पन्न लेना होगा, और फिर एक अंश से भी।

इसलिए इससे पहले"फैंसी" लघुगणक का व्युत्पन्न कैसे लें, इसे पहले प्रसिद्ध स्कूल गुणों का उपयोग करके सरल बनाया गया है:

! यदि आपके पास अभ्यास नोटबुक है, तो इन सूत्रों को वहीं कॉपी करें। यदि आपके पास नोटबुक नहीं है, तो उन्हें कागज के एक टुकड़े पर बनाएं, क्योंकि पाठ के बाकी उदाहरण इन सूत्रों के इर्द-गिर्द घूमेंगे।

समाधान स्वयं इस तरह तैयार किया जा सकता है:

आइए फ़ंक्शन को रूपांतरित करें:

हम व्युत्पन्न पाते हैं:

फ़ंक्शन के प्रारंभिक परिवर्तन ने ही समाधान को बहुत सरल बना दिया। इस प्रकार, जब भेदभाव के लिए एक समान लघुगणक प्रस्तावित किया जाता है, तो हमेशा "इसे तोड़ने" की सलाह दी जाती है।

और अब एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ सरल उदाहरण:

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

पाठ के अंत में सभी परिवर्तन और उत्तर।

लघुगणक व्युत्पन्न

यदि लघुगणक का व्युत्पन्न इतना मधुर संगीत है, तो प्रश्न उठता है कि क्या कुछ मामलों में लघुगणक को कृत्रिम रूप से व्यवस्थित करना संभव है? कर सकना! और जरूरी भी।

उदाहरण 11

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

इसी तरह के उदाहरणों पर हमने हाल ही में विचार किया है। क्या करें? कोई व्यक्ति भागफल के विभेदन के नियम को क्रमिक रूप से लागू कर सकता है, और फिर उत्पाद के विभेदन के नियम को लागू कर सकता है। इस पद्धति का नुकसान यह है कि आपको एक विशाल तीन-मंजिला अंश मिलता है, जिससे आप बिल्कुल भी निपटना नहीं चाहते हैं।

लेकिन सिद्धांत और व्यवहार में लॉगरिदमिक व्युत्पन्न जैसी अद्भुत चीज है। लघुगणक को दोनों तरफ "लटका" कर कृत्रिम रूप से व्यवस्थित किया जा सकता है:

टिप्पणी : क्योंकि फ़ंक्शन नकारात्मक मान ले सकता है, फिर, आम तौर पर बोलते हुए, आपको मॉड्यूल का उपयोग करने की आवश्यकता होती है: , जो भेदभाव के परिणामस्वरूप गायब हो जाते हैं। हालाँकि, वर्तमान डिज़ाइन भी स्वीकार्य है, जहाँ डिफ़ॉल्ट रूप से जटिलमूल्य। लेकिन अगर पूरी कठोरता के साथ, तो दोनों ही मामलों में आरक्षण करना आवश्यक है कि.

अब आपको यथासंभव दाईं ओर के लघुगणक को "तोड़ने" की आवश्यकता है (आपकी आंखों के सामने सूत्र?) मैं इस प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन करूंगा:

आइए भेदभाव से शुरू करें।
हम दोनों भागों को एक स्ट्रोक के साथ समाप्त करते हैं:

दाईं ओर का व्युत्पत्ति काफी सरल है, मैं इस पर कोई टिप्पणी नहीं करूंगा, क्योंकि यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आपको इसे आत्मविश्वास से संभालने में सक्षम होना चाहिए।

बाईं ओर के बारे में क्या?

बाईं ओर हमारे पास है जटिल कार्य. मैं इस प्रश्न का पूर्वाभास करता हूं: "क्यों, लघुगणक के तहत एक अक्षर" y "है?"।

तथ्य यह है कि यह "एक अक्षर y" - अपने आप में एक कार्य है(यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है, तो एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न लेख को देखें जो स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट है)। इसलिए, लघुगणक एक बाहरी कार्य है, और "y" एक आंतरिक कार्य है। और हम यौगिक फलन विभेदन नियम का उपयोग करते हैं :

बाईं ओर, मानो जादू से, हमारे पास एक व्युत्पन्न है। इसके अलावा, अनुपात के नियम के अनुसार, हम "y" को बाईं ओर के हर से दाईं ओर के शीर्ष पर फेंकते हैं:

और अब हम याद करते हैं कि किस तरह का "खेल" - अंतर करते समय हमने किस प्रकार की बात की थी? आइए स्थिति को देखें:

आख़री जवाब:

उदाहरण 12

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में इस प्रकार के उदाहरण का नमूना डिजाइन।

लॉगरिदमिक व्युत्पन्न की मदद से, किसी भी उदाहरण संख्या 4-7 को हल करना संभव था, एक और बात यह है कि वहां के कार्य सरल हैं, और, शायद, लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग बहुत उचित नहीं है।

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

हमने अभी तक इस समारोह पर विचार नहीं किया है। घातांकीय फलन एक ऐसा फलन है जिसमें और डिग्री और आधार "x" पर निर्भर करता है. एक उत्कृष्ट उदाहरण जो आपको किसी पाठ्यपुस्तक या किसी व्याख्यान में दिया जाएगा:

एक घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को कैसे खोजें?

केवल मानी जाने वाली तकनीक का उपयोग करना आवश्यक है - लघुगणक व्युत्पन्न। हम दोनों तरफ लघुगणक लटकाते हैं:

एक नियम के रूप में, दायीं ओर लघुगणक के नीचे से डिग्री निकाली जाती है:

नतीजतन, दाईं ओर हमारे पास दो कार्यों का एक उत्पाद है, जिसे मानक सूत्र के अनुसार विभेदित किया जाएगा .

हम व्युत्पन्न पाते हैं, इसके लिए हम दोनों भागों को स्ट्रोक के तहत संलग्न करते हैं:

अगले चरण आसान हैं:

आखिरकार:

यदि कुछ परिवर्तन पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, तो कृपया उदाहरण #11 की व्याख्याओं को ध्यानपूर्वक पढ़ें।

व्यावहारिक कार्यों में, घातीय कार्य हमेशा माना व्याख्यान उदाहरण से अधिक जटिल होगा।

उदाहरण 13

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

हम लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं।

दाईं ओर हमारे पास एक स्थिरांक और दो कारकों का गुणनफल है - "x" और "x के लघुगणक का लघुगणक" (एक अन्य लघुगणक लघुगणक के अंतर्गत निहित है)। एक स्थिरांक को अलग करते समय, जैसा कि हमें याद है, इसे तुरंत व्युत्पन्न के संकेत से बाहर निकालना बेहतर है ताकि यह रास्ते में न आए; और, ज़ाहिर है, परिचित नियम लागू करें :

जटिल कार्य हमेशा एक जटिल कार्य की परिभाषा में फिट नहीं होते हैं। यदि फॉर्म y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 का कोई कार्य है, तो इसे y \u003d sin 2 x के विपरीत जटिल नहीं माना जा सकता है।

यह लेख एक जटिल कार्य की अवधारणा और इसकी पहचान को दिखाएगा। आइए निष्कर्ष में समाधान के उदाहरणों के साथ व्युत्पन्न खोजने के लिए सूत्रों के साथ काम करें। डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के नियमों का उपयोग व्युत्पन्न खोजने के लिए समय को काफी कम कर देता है।

मूल परिभाषाएं

परिभाषा 1

एक जटिल कार्य एक ऐसा कार्य है जिसका तर्क भी एक कार्य है।

इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: f (g (x)) । हमारे पास यह है कि फ़ंक्शन g (x) को एक तर्क f (g (x)) माना जाता है।

परिभाषा 2

यदि कोई फलन f है और एक सहस्पर्शी फलन है, तो g(x) = ln x प्राकृतिक लघुगणक फलन है। हम पाते हैं कि सम्मिश्र फलन f (g (x)) को arctg (lnx) के रूप में लिखा जाएगा। या एक फ़ंक्शन f, जो कि 4 घात तक उठाया गया फ़ंक्शन है, जहाँ g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 को संपूर्ण परिमेय फलन माना जाता है, हमें वह f (g (x)) \u003d (x) प्राप्त होता है 2 + 2 x - 3) 4 ।

स्पष्ट रूप से g(x) मुश्किल हो सकता है। उदाहरण y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 से, यह देखा जा सकता है कि g के मान में भिन्न के साथ घनमूल है। इस व्यंजक को y = f (f 1 (f 2 (x))) के रूप में दर्शाया जा सकता है। जहां से हमारे पास f एक साइन फ़ंक्शन है, और f 1 वर्गमूल के नीचे स्थित एक फ़ंक्शन है, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 एक भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्य है।

परिभाषा 3

घोंसले के शिकार की डिग्री किसी भी प्राकृतिक संख्या द्वारा परिभाषित की जाती है और इसे y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) के रूप में लिखा जाता है।

परिभाषा 4

फ़ंक्शन संरचना की अवधारणा समस्या कथन के अनुसार नेस्टेड कार्यों की संख्या को संदर्भित करती है। समाधान के लिए, फॉर्म के एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को खोजने का सूत्र

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

उदाहरण

उदाहरण 1

y = (2 x + 1) 2 के रूप के एक जटिल फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

फेसला

परंपरा के अनुसार, f एक वर्ग फलन है, और g(x) = 2 x + 1 को एक रैखिक फलन माना जाता है।

हम एक जटिल फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न सूत्र लागू करते हैं और लिखते हैं:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

फ़ंक्शन के सरलीकृत प्रारंभिक रूप के साथ व्युत्पन्न खोजना आवश्यक है। हम पाते हैं:

वाई = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

इसलिए हमारे पास है कि

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

परिणाम मेल खाते थे।

इस तरह की समस्याओं को हल करते समय, यह समझना महत्वपूर्ण है कि फॉर्म f और g (x) का कार्य कहाँ स्थित होगा।

उदाहरण 2

आपको y \u003d sin 2 x और y \u003d sin x 2 के रूप के जटिल कार्यों का व्युत्पन्न खोजना चाहिए।

फेसला

फ़ंक्शन की पहली प्रविष्टि कहती है कि f स्क्वेरिंग फ़ंक्शन है और g(x) साइन फ़ंक्शन है। तब हमें वह मिलता है

y "= (पाप 2 x)" = 2 पाप 2 - 1 x (पाप x)" = 2 पाप x क्योंकि x

दूसरी प्रविष्टि दर्शाती है कि f एक ज्या फलन है, और g (x) = x 2 शक्ति फलन को दर्शाता है। यह इस प्रकार है कि एक जटिल कार्य के उत्पाद को इस प्रकार लिखा जा सकता है

y " \u003d (पाप x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

व्युत्पन्न y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) का सूत्र y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) के रूप में लिखा जाएगा। (... (एफ एन (एक्स))))) एफ 1 "(एफ 2 (एफ 3 (... (एफ एन (एक्स)))) एफ 2" (एफ 3 (... (एफ एन (एक्स)) ))))। . . एफ एन "(एक्स)

उदाहरण 3

फलन y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

फेसला

यह उदाहरण कार्यों के स्थान को लिखने और निर्धारित करने की जटिलता को दर्शाता है। फिर y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) निरूपित करें, जहां f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) साइन फ़ंक्शन है, फ़ंक्शन 3 डिग्री तक बढ़ाने के लिए, एक लघुगणक और आधार ई के साथ एक फ़ंक्शन, चाप स्पर्शरेखा का एक कार्य और एक रैखिक एक।

एक जटिल फ़ंक्शन की परिभाषा के सूत्र से, हमारे पास वह है

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 2 "(f 3 (f) 4 (एक्स))) एफ 3 "(एफ 4 (एक्स)) एफ 4" (एक्स)

क्या पाना है

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) डेरिवेटिव की तालिका में साइन के व्युत्पन्न के रूप में, फिर f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))) ))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ।
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में, फिर f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))) = 3 ln 3 - 1 ए आर सी टी जी (2 एक्स) = 3 एलएन 2 ए आर सी टी जी (2 एक्स)।
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) एक लघुगणक व्युत्पन्न के रूप में, फिर f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) ।
4. f 3 "(f 4 (x)) चाप स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न के रूप में, फिर f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2।
5. व्युत्पन्न f 4 (x) \u003d 2 x का पता लगाते समय, एक घातांक के साथ घातांक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न के चिह्न से 2 निकालें, फिर f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 ।

हम मध्यवर्ती परिणामों को जोड़ते हैं और प्राप्त करते हैं

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

ऐसे कार्यों का विश्लेषण घोंसले के शिकार गुड़िया जैसा दिखता है। व्युत्पन्न तालिका का उपयोग करके भेदभाव नियम हमेशा स्पष्ट रूप से लागू नहीं किए जा सकते हैं। अक्सर आपको जटिल कार्यों के व्युत्पन्न खोजने के लिए सूत्र लागू करने की आवश्यकता होती है।

एक जटिल दृश्य और एक जटिल कार्य के बीच कुछ अंतर हैं। इसे अलग करने की स्पष्ट क्षमता के साथ, डेरिवेटिव ढूंढना विशेष रूप से आसान होगा।

उदाहरण 4

ऐसा उदाहरण लाने पर विचार करना आवश्यक है। यदि y = t g 2 x + 3 t g x + 1 के रूप का कोई फलन है, तो इसे g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 के रूप का एक जटिल फलन माना जा सकता है। . जाहिर है, जटिल व्युत्पन्न के लिए सूत्र को लागू करना आवश्यक है:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x))" + (3 g (x)) " + 1 " == 2 जी 2 - 1 (एक्स) + 3 जी "(एक्स) + 0 \u003d 2 जी (एक्स) + 3 1 जी 1 - 1 (एक्स) \u003d \u003d 2 जी (एक्स) + 3 \u003d 2 टी जी एक्स + 3; g "(x) = (t g x)" = 1 cos 2 x y "= (f (g (x)))" = f " (g (x)) g" (x) = (2 t g x + 3) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 के रूप का एक फलन जटिल नहीं माना जाता है, क्योंकि इसमें t g x 2 , 3 t g x और 1 का योग होता है। हालाँकि, t g x 2 को एक जटिल कार्य माना जाता है, फिर हमें g (x) \u003d x 2 और f के रूप का एक शक्ति फ़ंक्शन मिलता है, जो स्पर्शरेखा का एक कार्य है। ऐसा करने के लिए, आपको राशि से अंतर करने की आवश्यकता है। हमें वह मिलता है

y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2)" + (3 t g x)" + 1 "= (t g x 2)" + 3 (t g x) "+ 0 = (t g x 2)" + 3 कॉस 2 x

आइए एक जटिल फलन (t g x 2) का अवकलज ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ते हैं ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

हम पाते हैं कि y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2)" + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

जटिल कार्यों को जटिल कार्यों में शामिल किया जा सकता है, और जटिल कार्य स्वयं जटिल रूप के समग्र कार्य हो सकते हैं।

उदाहरण 5

उदाहरण के लिए, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) के रूप के एक जटिल फलन पर विचार करें।

इस फ़ंक्शन को y = f (g (x)) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां f का मान आधार 3 लघुगणक का एक फ़ंक्शन है, और g (x) को h (x) = के रूप के दो कार्यों का योग माना जाता है। x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 और k (x) = ln 2 x (x 2 + 1)। जाहिर है, y = f (h (x) + k (x)) ।

फ़ंक्शन h(x) पर विचार करें। यह l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 से m (x) = e x 2 + 3 3 का अनुपात है।

हमारे पास है कि l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) दो कार्यों का योग है n (x) = x 2 + 7 और p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , जहां p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) 3 के संख्यात्मक गुणांक वाला एक जटिल कार्य है, और p 1 है एक घन फलन, p 2 कोज्या फलन, p 3 (x) = 2 x + 1 - रैखिक फलन।

हमने पाया कि m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) दो कार्यों q (x) = e x 2 और r (x) = 3 3 का योग है, जहाँ q (x) = q 1 (q 2 (x)) एक जटिल फलन है, q 1 एक घातांक वाला फलन है, q 2 (x) = x 2 एक घात फलन है।

इससे पता चलता है कि h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (एक्स))) क्यू 1 (क्यू 2 (एक्स)) + आर (एक्स)

फॉर्म k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) की अभिव्यक्ति को पास करते समय, यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन एक जटिल s के रूप में प्रस्तुत किया गया है ( x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) पूर्णांक परिमेय t (x) = x 2 + 1 के साथ, जहां s 1 वर्ग फलन है, और s 2 (x) = ln x लघुगणक है आधार ई के साथ

यह इस प्रकार है कि व्यंजक k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) का रूप लेगा।

तब हमें वह मिलता है

y = लघुगणक 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( एक्स))) क्यू 1 (क्यू 2 (एक्स)) = आर (एक्स) + एस 1 (एस 2 (एक्स)) टी (एक्स)

फ़ंक्शन की संरचनाओं के अनुसार, यह स्पष्ट हो गया कि विभेदित होने पर अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए कैसे और किन सूत्रों को लागू किया जाना चाहिए। इस तरह की समस्याओं से खुद को परिचित कराने और उनके समाधान को समझने के लिए, किसी फ़ंक्शन को अलग करने के बिंदु को संदर्भित करना आवश्यक है, अर्थात इसका व्युत्पन्न खोजना।

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