जोड़ और घटाव के गुणों का सूत्रीकरण। जोड़ और घटाव के गुणों का शाब्दिक अंकन

हमने पूर्णांकों के योग, गुणा, घटाव और भाग को परिभाषित किया है। इन क्रियाओं (संचालन) में कई विशिष्ट परिणाम होते हैं, जिन्हें गुण कहा जाता है। इस लेख में, हम पूर्णांकों के जोड़ और गुणा के मूल गुणों पर विचार करेंगे, जिनसे इन संक्रियाओं के अन्य सभी गुण अनुसरण करते हैं, साथ ही पूर्णांकों के घटाव और विभाजन के गुण।

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पूर्णांक जोड़ में कई अन्य बहुत महत्वपूर्ण गुण हैं।

उनमें से एक शून्य के अस्तित्व से संबंधित है। पूर्णांक योग का यह गुण बताता है कि किसी भी पूर्ण संख्या में शून्य जोड़ने से वह संख्या नहीं बदलती. आइए योग के इस गुण को अक्षरों का उपयोग करके लिखें: a+0=a और 0+a=a (यह समानता जोड़ के कम्यूटेटिव गुण के कारण मान्य है), a कोई पूर्णांक है। आपने सुना होगा कि पूर्णांक शून्य को इसके अतिरिक्त उदासीन तत्व भी कहा जाता है। आइए एक दो उदाहरण दें। एक पूर्णांक −78 और शून्य का योग −78 है; यदि हम एक धनात्मक पूर्णांक 999 को शून्य में जोड़ते हैं, तो हमें परिणाम के रूप में संख्या 999 प्राप्त होती है।

अब हम पूर्णांक योग का एक अन्य गुणधर्म तैयार करेंगे, जो किसी पूर्णांक के लिए विपरीत संख्या के अस्तित्व से संबंधित है। विपरीत संख्या वाली किसी भी पूर्ण संख्या का योग शून्य होता है. यहाँ इस गुण का शाब्दिक रूप है: a+(−a)=0 , जहाँ a और −a विपरीत पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, योग 901+(−901) शून्य है; इसी तरह, विपरीत पूर्णांकों -97 और 97 का योग शून्य होता है।

पूर्णांकों के गुणन के मूल गुण

पूर्णांकों के गुणन में प्राकृत संख्याओं के गुणन के सभी गुण होते हैं। हम इन गुणों में से मुख्य सूचीबद्ध करते हैं।

जैसे शून्य योग के संबंध में एक तटस्थ पूर्णांक है, पूर्णांकों के गुणन के संबंध में एक तटस्थ पूर्णांक है। अर्थात, किसी भी पूर्ण संख्या को एक से गुणा करने पर उस संख्या के गुणा करने पर कोई परिवर्तन नहीं आता. अतः 1·a=a , जहां a कोई पूर्णांक है। अंतिम समानता को 1=a के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, यह हमें गुणन की कम्यूटेटिव संपत्ति बनाने की अनुमति देता है। आइए दो उदाहरण दें। पूर्णांक 556 बटा 1 का गुणनफल 556 है; एक और एक ऋणात्मक पूर्णांक −78 का गुणनफल −78 है।

पूर्णांक गुणन का अगला गुण शून्य से गुणा से संबंधित है। किसी भी पूर्णांक a को शून्य से गुणा करने का परिणाम शून्य होता है, वह है, एक 0=0 । समानता 0·a=0 पूर्णांकों के गुणन के क्रमविनिमेय गुण के कारण भी सत्य है। किसी विशेष मामले में, जब a=0, शून्य और शून्य का गुणनफल शून्य के बराबर होता है।

पूर्णांकों के गुणन के लिए, पिछले गुणनफल के विपरीत गुण भी सत्य है। यह दावा करता है कि दो पूर्णांकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर हो. शाब्दिक रूप में, यह गुण इस प्रकार लिखा जा सकता है: a·b=0 , यदि या तो a=0 , या b=0 , या दोनों a और b एक ही समय में शून्य के बराबर हैं।

योग के संबंध में पूर्णांकों के गुणन का वितरण गुण

पूर्णांकों का एक साथ जोड़ और गुणा हमें योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण पर विचार करने की अनुमति देता है, जो दो संकेतित क्रियाओं को जोड़ता है। जोड़ और गुणन का एक साथ उपयोग करने से अतिरिक्त संभावनाएं खुलती हैं, यदि हम गुणन से अलग जोड़ पर विचार करते हैं तो हम चूक जाएंगे।

इसलिए, योग के संबंध में गुणन का वितरण गुण कहता है कि एक पूर्णांक a का गुणनफल और दो पूर्णांक a और b का योग a b और a c के गुणनफल के योग के बराबर होता है, अर्थात, ए (बी+सी)=ए बी+ए सी. उसी संपत्ति को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है: (ए+बी) सी=ए सी+बी सी .

योग के संबंध में पूर्णांकों के गुणन का वितरण गुण, योग की साहचर्य संपत्ति के साथ, एक पूर्णांक के गुणन को तीन या अधिक पूर्णांकों के योग से निर्धारित करना संभव बनाता है, और फिर पूर्णांकों के योग का गुणन जोड़।

यह भी ध्यान दें कि पूर्णांकों के योग और गुणन के अन्य सभी गुण हमारे द्वारा दर्शाए गए गुणों से प्राप्त किए जा सकते हैं, अर्थात वे उपरोक्त गुणों के परिणाम हैं।

पूर्णांक घटाव गुण

प्राप्त समानता से, साथ ही पूर्णांकों के जोड़ और गुणा के गुणों से, पूर्णांकों के घटाव के निम्नलिखित गुण अनुसरण करते हैं (a, b और c मनमाने पूर्णांक हैं):

पूर्णांक घटाव में आम तौर पर कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी नहीं होती है: a−b≠b−a ।
बराबर पूर्णांकों का अंतर शून्य के बराबर होता है: a−a=0 ।
किसी दिए गए पूर्णांक से दो पूर्णांकों के योग को घटाने का गुण: a−(b+c)=(a−b)−c ।
दो पूर्णांकों के योग से एक पूर्णांक घटाने का गुण: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) ।
घटाव के संबंध में गुणन का वितरण गुण: a (b−c)=a b−a c और (a−b) c=a c−b c.
और पूर्णांक घटाव के अन्य सभी गुण।

पूर्णांक विभाजन गुण

पूर्णांकों के विभाजन के अर्थ के बारे में बहस करते हुए, हमने पाया कि पूर्णांकों का विभाजन गुणन का व्युत्क्रम होता है। हमने निम्नलिखित परिभाषा दी है: पूर्णांकों का विभाजन एक ज्ञात उत्पाद और एक ज्ञात कारक द्वारा एक अज्ञात कारक का पता लगाना है। अर्थात्, हम पूर्णांक c को पूर्णांक a के भागफल को पूर्णांक b से विभाजित कहते हैं, जब गुणन c·b a के बराबर होता है।

यह परिभाषा, साथ ही ऊपर माने गए पूर्णांकों पर संक्रियाओं के सभी गुण, हमें पूर्णांकों के विभाजन के निम्नलिखित गुणों की वैधता स्थापित करने की अनुमति देते हैं:

किसी भी पूर्णांक को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है।
शून्य को एक गैर-शून्य पूर्णांक से विभाजित करने का गुण a : 0:a=0 ।
बराबर पूर्णांकों को विभाजित करने का गुण: a:a=1 , जहां a कोई शून्येतर पूर्णांक नहीं है।
एक मनमाना पूर्णांक a को एक से विभाजित करने का गुण: a:1=a ।
सामान्य तौर पर, पूर्णांकों के विभाजन में क्रमविनिमेय गुण नहीं होता है: a:b≠b:a ।
दो पूर्णांकों के योग और अंतर को एक पूर्णांक से विभाजित करने के गुण हैं: (a+b):c=a:c+b:c और (a−b):c=a:c−b:c , जहां a , b , और c ऐसे पूर्णांक हैं कि a और b दोनों c से विभाज्य हैं, और c अशून्य है।
दो पूर्णांकों a और b के गुणनफल को एक अशून्य पूर्णांक c से विभाजित करने का गुण: (a b):c=(a:c) b यदि a, c से विभाज्य है; (a b):c=a (b:c) यदि b, c से विभाज्य है; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) यदि a और b दोनों c से विभाज्य हैं।
एक पूर्णांक a को दो पूर्णांकों b और c के गुणनफल से विभाजित करने का गुण (संख्या a , b और c इस प्रकार a को b c से विभाजित करना संभव है): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) बी ।
पूर्णांक विभाजन का कोई अन्य गुण।

एक नंबर को दूसरे नंबर से जोड़ना बहुत आसान है। एक उदाहरण पर विचार करें, 4+3=7। इस व्यंजक का अर्थ है कि चार इकाइयों में तीन इकाइयाँ जोड़ी गईं और परिणामस्वरूप, सात इकाइयाँ प्राप्त हुईं।
संख्या 3 और 4 जिन्हें हमने एक साथ जोड़ा है, कहलाती है शर्तें. और संख्या 7 को जोड़ने का परिणाम कहलाता है जोड़.

जोड़संख्याओं का जोड़ है। प्लस साइन "+"।
शाब्दिक रूप में, यह उदाहरण इस तरह दिखेगा:

ए+ख =सी

अतिरिक्त घटक:
ए- अवधि, बी- शर्तें, सी- जोड़।
यदि हम 3 इकाइयों में 4 इकाई जोड़ते हैं, तो जोड़ के परिणामस्वरूप हमें वही परिणाम मिलेगा, यह 7 के बराबर होगा।

इस उदाहरण से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि हम शर्तों को कैसे भी स्वैप करें, उत्तर अपरिवर्तित रहता है:

पदों के इस गुण को कहते हैं जोड़ का क्रमविनिमेय नियम.

जोड़ का कम्यूटेटिव कानून।

शब्दों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।

शाब्दिक संकेतन में, कम्यूटेटिव कानून इस तरह दिखता है:

ए+ख =बी+ए

यदि हम तीन पदों पर विचार करते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 1, 2 और 4 लेते हैं। और हम इस क्रम में जोड़ करते हैं, पहले हम 1 + 2 जोड़ते हैं, और फिर हम 4 के परिणामी योग में जोड़ते हैं, हमें अभिव्यक्ति मिलती है:

(1+2)+4=7

हम इसके विपरीत कर सकते हैं, पहले 2 + 4 जोड़ें, और फिर परिणामी राशि में 1 जोड़ें। हमारा उदाहरण इस तरह दिखेगा:

1+(2+4)=7

उत्तर वही रहता है। एक ही उदाहरण के दोनों प्रकार के जोड़ के लिए, उत्तर समान है। हम निष्कर्ष निकालते हैं:

(1+2)+4=1+(2+4)

इस अतिरिक्त संपत्ति को कहा जाता है जोड़ का साहचर्य नियम.

जोड़ का क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम सभी गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए कार्य करता है।

जोड़ का साहचर्य नियम।

दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप दूसरी और तीसरी संख्याओं के योग को पहली संख्या में जोड़ सकते हैं।

(ए+बी)+सी =ए+(बी+सी)

साहचर्य कानून किसी भी संख्या में शर्तों के लिए काम करता है। हम इस नियम का उपयोग तब करते हैं जब हमें संख्याओं को सुविधाजनक क्रम में जोड़ने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, आइए तीन संख्याएं 12, 6, 8 और 4 जोड़ें। पहले 12 और 8 को जोड़ना अधिक सुविधाजनक होगा, और फिर परिणामी योग में दो संख्याओं 6 और 4 का योग जोड़ें।
(12+8)+(6+4)=30

शून्य के साथ अतिरिक्त संपत्ति।

जब आप किसी संख्या को शून्य में जोड़ते हैं, तो परिणाम वही संख्या होती है।

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति में, शून्य के साथ जोड़ इस तरह दिखेगा:

ए+0=ए
0+ ए =ए

प्राकृत संख्याओं के योग के बारे में प्रश्न:
अतिरिक्त तालिका, संकलित करें और देखें कि कम्यूटेटिव कानून की संपत्ति कैसे काम करती है?
1 से 10 तक की अतिरिक्त तालिका इस तरह दिख सकती है:

अतिरिक्त तालिका का दूसरा संस्करण।

यदि हम जोड़ तालिकाओं को देखें, तो हम देख सकते हैं कि क्रमविनिमेय नियम कैसे कार्य करता है।

व्यंजक a + b \u003d c में, योग क्या होगा?
उत्तर: योग पदों का योग है। ए + बी और सी।

व्यंजक a + b \u003d c पदों में, क्या होगा?
उत्तर: ए और बी। शब्द वे संख्याएँ हैं जिन्हें हम जोड़ते हैं।

किसी संख्या में 0 जोड़ने पर क्या होता है?
उत्तर: कुछ नहीं, नंबर नहीं बदलेगा। जब शून्य में जोड़ा जाता है, तो संख्या वही रहती है क्योंकि शून्य का अभाव होता है।

उदाहरण में कितने पद होने चाहिए ताकि योग के साहचर्य नियम को लागू किया जा सके?
उत्तर: तीन पदों और अधिक से।

क्रमविनिमेय नियम को शाब्दिक अर्थों में लिखिए ?
उत्तर: a+b=b+a

कार्यों के लिए उदाहरण।
उदाहरण 1:
प्रस्तुत भावों के लिए उत्तर लिखें: a) 15+7 b) 7+15
उत्तर: ए) 22 बी) 22

उदाहरण #2:
संयोजन कानून को शर्तों पर लागू करें: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
उत्तर: 20.

उदाहरण #3:
अभिव्यक्ति को हल करें:
ए) 5921+0 बी) 0+5921
फेसला:
क) 5921+0 =5921
बी) 0+5921=5921

इसलिए, सामान्य तौर पर, प्राकृतिक संख्याओं के घटाव में कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी नहीं होती है. आइए इस कथन को अक्षरों में लिखें। यदि a और b असमान प्राकृत संख्याएँ हैं, तो a−b≠b−a. उदाहरण के लिए, 45−21≠21−45 ।

एक प्राकृत संख्या में से दो संख्याओं के योग को घटाने का गुण।

अगली संपत्ति एक प्राकृतिक संख्या से दो संख्याओं के योग के घटाव से संबंधित है। आइए एक उदाहरण देखें जो हमें इस संपत्ति की समझ देगा।

कल्पना कीजिए कि हमारे हाथ में 7 सिक्के हैं। हम पहले 2 सिक्के रखने का फैसला करते हैं, लेकिन यह सोचकर कि यह पर्याप्त नहीं होगा, हम एक और सिक्का बचाने का फैसला करते हैं। प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के अर्थ के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि इस मामले में हमने सिक्कों की संख्या को बचाने का फैसला किया, जो कि 2 + 1 के योग से निर्धारित होता है। तो, हम दो सिक्के लेते हैं, उनमें एक और सिक्का जोड़ते हैं और उन्हें गुल्लक में रख देते हैं। इस मामले में, हमारे हाथ में बचे सिक्कों की संख्या 7−(2+1) के अंतर से निर्धारित होती है।

अब आइए कल्पना करें कि हमारे पास 7 सिक्के हैं, और हम गुल्लक में 2 सिक्के डालते हैं, और उसके बाद - एक और सिक्का। गणितीय रूप से, इस प्रक्रिया को निम्नलिखित संख्यात्मक अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया गया है: (7−2)−1 ।

हाथों में बचे सिक्कों की गिनती करें तो पहले और दूसरे मामले में हमारे पास 4 सिक्के हैं। अर्थात्, 7−(2+1)=4 और (7−2)−1=4 , इसलिए 7−(2+1)=(7−2)−1 ।

माना गया उदाहरण हमें किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से दो संख्याओं के योग को घटाने का गुण तैयार करने की अनुमति देता है। किसी दी गई प्राकृत संख्या में से दो प्राकृत संख्याओं का योग घटाना, इस योग के पहले पद को दी गई प्राकृत संख्या में से घटाने के समान है, और फिर परिणामी अंतर से दूसरे पद को घटाना है।

याद रखें कि हमने प्राकृतिक संख्याओं के घटाव को केवल उस स्थिति के लिए अर्थ दिया है जब माइन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा है, या इसके बराबर है। इसलिए, हम किसी दिए गए योग को किसी दी गई प्राकृतिक संख्या में से तभी घटा सकते हैं जब यह योग प्राकृतिक संख्या के घटाए जाने से अधिक न हो। ध्यान दें कि इस शर्त के तहत, प्रत्येक पद उस प्राकृतिक संख्या से अधिक नहीं है जिससे योग घटाया जाता है।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए दी गई प्राकृत संख्या में से दो संख्याओं के योग को घटाने के गुण को समानता के रूप में लिखा जाता है a−(b+c)=(a−b)−c, जहां a , b और c कुछ प्राकृत संख्याएं हैं, और शर्तें a>b+c या a=b+c संतुष्ट हैं।

मानी गई संपत्ति, साथ ही प्राकृतिक संख्याओं के योग की साहचर्य संपत्ति, आपको किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से तीन या अधिक संख्याओं का योग घटाने की अनुमति देती है।

दो संख्याओं के योग में से एक प्राकृत संख्या को घटाने का गुण।

हम अगली संपत्ति पर जाते हैं, जो दो प्राकृतिक संख्याओं के दिए गए योग से दी गई प्राकृतिक संख्या के घटाव से संबंधित है। उन उदाहरणों पर विचार करें जो हमें दो संख्याओं के योग से एक प्राकृत संख्या घटाने के इस गुण को "देखने" में मदद करेंगे।

मान लीजिए हमारे पास पहली जेब में 3 कैंडी हैं, और दूसरी में 5 कैंडी हैं, और हमें 2 कैंडी देने की जरूरत है। हम इसे अलग-अलग तरीकों से कर सकते हैं। आइए उन्हें बारी-बारी से लें।

सबसे पहले, हम सभी कैंडीज को एक जेब में रख सकते हैं, फिर वहां से 2 कैंडी निकाल सकते हैं और उन्हें दे सकते हैं। आइए इन क्रियाओं का गणितीय रूप से वर्णन करें। कैंडीज को एक जेब में रखने के बाद, उनकी संख्या 3 + 5 के योग से निर्धारित की जाएगी। अब, कैंडीज की कुल संख्या में से, हम 2 कैंडी देंगे, जबकि हमारे पास शेष कैंडीज की संख्या निम्नलिखित अंतर (3+5)−2 द्वारा निर्धारित की जाएगी।

दूसरे, हम पहली जेब से 2 कैंडी निकाल कर दे सकते हैं। इस मामले में, अंतर 3−2 पहली जेब में कैंडी की शेष संख्या निर्धारित करता है, और हमारे द्वारा छोड़ी गई कैंडी की कुल संख्या योग (3−2)+5 द्वारा निर्धारित की जाएगी।

तीसरा, हम दूसरी जेब से 2 कैंडी दे सकते हैं। तब अंतर 5−2 दूसरी जेब में शेष कैंडी की संख्या के अनुरूप होगा, और कैंडी की कुल शेष संख्या 3+(5−2) के योग से निर्धारित की जाएगी।

यह स्पष्ट है कि सभी मामलों में हमारे पास समान संख्या में मिठाइयाँ होंगी। इसलिए, समानताएं (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) सत्य हैं।

अगर हमें 2 नहीं, बल्कि 4 कैंडी देनी होती, तो हम इसे दो तरह से कर सकते थे। सबसे पहले, 4 कैंडीज दें, पहले उन सभी को एक जेब में रखें। इस मामले में, मिठाई की शेष संख्या (3+5)−4 जैसे व्यंजक द्वारा निर्धारित की जाती है। दूसरे, हम दूसरी जेब से 4 कैंडी दे सकते थे। इस मामले में, कैंडीज की कुल संख्या निम्नलिखित योग देती है 3+(5−4) । यह स्पष्ट है कि पहले और दूसरे मामलों में हमारे पास समान संख्या में मिठाइयाँ होंगी, इसलिए समानता (3+5)−4=3+(5−4) सत्य है।

पिछले उदाहरणों को हल करके प्राप्त परिणामों का विश्लेषण करने के बाद, हम दी गई दो संख्याओं के योग में से दी गई प्राकृत संख्या को घटाने का गुण बना सकते हैं। किसी दिए गए प्राकृत संख्या को दो संख्याओं के योग में से घटाना, एक दी गई संख्या को किसी एक पद से घटाने के समान है, और फिर परिणामी अंतर और दूसरे पद को जोड़ना। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि घटाई गई संख्या उस पद से बड़ी नहीं होनी चाहिए जिससे यह संख्या घटाई गई है।

आइए अक्षरों का उपयोग करके एक योग से एक प्राकृत संख्या घटाने का गुण लिखें। मान लीजिए a , b और c कुछ प्राकृत संख्याएँ हैं। फिर, बशर्ते कि a, c से बड़ा या उसके बराबर हो, तो समानता (ए+बी)−सी=(ए−सी)+बी, और इस शर्त के तहत कि b, c से बड़ा या बराबर है, समानता (ए+बी)−सी=ए+(बी−सी). यदि a और b दोनों, c से बड़े या बराबर हैं, तो दोनों अंतिम समानताएँ सत्य हैं, और उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

सादृश्य द्वारा, कोई व्यक्ति तीन या अधिक संख्याओं के योग से एक प्राकृत संख्या को घटाने का गुण बना सकता है। इस मामले में, इस प्राकृतिक संख्या को किसी भी पद से घटाया जा सकता है (बेशक, यदि यह घटाई जा रही संख्या से अधिक या बराबर है), और शेष पदों को परिणामी अंतर में जोड़ा जा सकता है।

आवाज उठाई गई संपत्ति की कल्पना करने के लिए, हम कल्पना कर सकते हैं कि हमारे पास कई जेब हैं, और उनमें मिठाई है। मान लीजिए हमें 1 कैंडी देनी है। साफ है कि हम किसी भी जेब से 1 कैंडी दे सकते हैं। साथ ही, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम इसे किस जेब से देते हैं, क्योंकि यह हमारे द्वारा छोड़ी गई मिठाइयों की संख्या को प्रभावित नहीं करता है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए a , b , c और d कुछ प्राकृत संख्याएँ हैं। यदि a>d या a=d , तो अंतर (a+b+c)−d (a−d)+b+c के योग के बराबर है। यदि b>d या b=d , तो (a+b+c)−d=a+(b−d)+c । यदि c>d या c=d , तो समानता (a+b+c)−d=a+b+(c−d) सत्य है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि तीन या अधिक संख्याओं के योग से एक प्राकृत संख्या को घटाने का गुण कोई नया गुण नहीं है, क्योंकि यह प्राकृत संख्याओं को जोड़ने के गुण और दो संख्याओं के योग से किसी संख्या को घटाने के गुण का अनुसरण करता है।

ग्रंथ सूची।

गणित। शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 1, 2, 3, 4 के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।
गणित। शैक्षणिक संस्थानों की 5 कक्षाओं के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।

पूर्णांकों

गिनती के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याओं को कहा जाता है प्राकृतिक संख्याएंसंख्या शून्यप्राकृतिक संख्याओं पर लागू नहीं होता है।

स्पष्टसंख्या: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 दहाई का आंकड़ा: 24.56, आदि। तीन अंकों: 348,569 आदि। बहुअर्थी: 23,562,456789 आदि।

किसी संख्या को दायीं ओर से शुरू करते हुए 3 अंकों के समूहों में विभाजित करना कहलाता है कक्षाओं: पहले तीन अंक इकाइयों का वर्ग हैं, अगले तीन अंक हजारों का वर्ग हैं, फिर लाखों, आदि।

खंडबिंदु A से बिंदु B तक खींची गई रेखा को कॉल करें। AB या BA A B को कॉल करें खंड AB की लंबाई कहलाती है दूरीबिंदु A और B के बीच।

लंबाई इकाइयाँ:

1) 10 सेमी = 1 डीएम

2) 100 सेमी = 1 मी

3) 1 सेमी = 10 मिमी

4) 1 किमी = 1000 वर्ग मीटर

विमानएक सतह है जिसका कोई किनारा नहीं है, जो सभी दिशाओं में अनिश्चित काल तक फैली हुई है। सीधाजिसका कोई आदि और कोई अंत नहीं है। दो रेखाएँ जिनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु है एक दूसरे को काटना. रे- यह एक सीधी रेखा का एक भाग है जिसका आरंभ और कोई अंत नहीं है (OA और OB)। वे किरणें जिनसे कोई बिंदु एक रेखा को विभाजित करता है, कहलाते हैं अतिरिक्तएक-दूसरे से।

समन्वय बीम:

0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0), E(1), A(2), B(3) - बिंदु निर्देशांक। दो प्राकृत संख्याओं में से एक छोटी होती है जिसे गिनने पर पहले कहा जाता है और दूसरी जिसे बाद में गिनने पर कहा जाता है वह बड़ी होती है। एक सबसे छोटी प्राकृत संख्या है। दो संख्याओं की तुलना करने का परिणाम असमानता के रूप में लिखा जाता है: 5< 8, 5670 >368. संख्या 8 28 से कम और 5 से अधिक को दोहरी असमानता के रूप में लिखा जा सकता है: 5< 8 < 28

प्राकृत संख्याओं का जोड़ और घटाव

योग

जो संख्याएँ जुड़ती हैं उन्हें पद कहते हैं। योग के परिणाम को योग कहते हैं।

अतिरिक्त गुण:

1. विस्थापन संपत्ति:जब पदों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है तो संख्याओं का योग नहीं बदलता है: ए + बी = बी + ए(ए और बी कोई भी प्राकृतिक संख्याएं हैं और 0) 2. सहयोगी संपत्ति:किसी संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ने के लिए, आप पहले पहले पद को जोड़ सकते हैं, और फिर दूसरे पद को परिणामी योग में जोड़ सकते हैं: ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी = ए + बी + सी(ए, बी और सी कोई भी प्राकृतिक संख्याएं हैं और 0)।

3. शून्य के साथ जोड़:शून्य जोड़ने से संख्या नहीं बदलती:

ए + 0 = 0 + ए = ए(ए कोई भी प्राकृतिक संख्या है)।

एक बहुभुज की भुजाओं की लंबाई के योग को कहते हैं इस बहुभुज की परिधि.

घटाव

वह क्रिया जिसके द्वारा योग और एक पद से दूसरा पद ज्ञात होता है, कहलाती है घटाव.

वह संख्या जिसे घटाया जाना है, कहलाती है कम किया हुआ, वह संख्या जो घटाई जा रही है, कहलाती है छूट, घटाव के परिणाम को कहा जाता है अंतर।दो संख्याओं के बीच का अंतर दर्शाता है कि कितना प्रथमसंख्या अधिकदूसरा या कितना दूसरासंख्या छोटेप्रथम।

घटाव गुण:

1. किसी संख्या से योग घटाने का गुण: किसी संख्या से योग घटाने के लिए, आप पहले इस संख्या से पहले पद को घटा सकते हैं, और फिर परिणामी अंतर से दूसरे पद को घटा सकते हैं:

ए - (बी + सी) = (ए - बी) -साथ= ए - बी -साथ(बी + सी> ए या बी + सी = ए)।

2. किसी संख्या को योग से घटाने का गुण: किसी संख्या को योग से घटाने के लिए, आप उसे एक पद से घटा सकते हैं, और परिणामी अंतर में दूसरा पद जोड़ सकते हैं

(ए + बी) - सी \u003d ए + (बी - सी), अगर साथ< b или с = b

(ए + बी) - सी \u003d (ए - सी) + बी, अगर साथ< a или с = a.

3. शून्य घटाव संपत्ति: यदि आप किसी संख्या में से शून्य घटाते हैं, तो वह नहीं बदलेगी:

ए - 0 = ए(ए कोई भी प्राकृतिक संख्या है)

4. एक ही संख्या की संख्या से घटाने का गुण: यदि आप इस संख्या को किसी संख्या से घटाते हैं, तो आपको शून्य प्राप्त होता है:

ए - ए = 0(ए कोई भी प्राकृतिक संख्या है)।

संख्यात्मक और वर्णमाला के भाव

क्रिया अभिलेखों को अंकीय व्यंजक कहा जाता है। इन सभी क्रियाओं को करने से जो संख्या प्राप्त होती है उसे व्यंजक का मान कहते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं का गुणन और विभाजन

प्राकृत संख्याओं और उसके गुणों का गुणन

किसी संख्या m को एक प्राकृत संख्या n से गुणा करने का अर्थ है n पदों का योग ज्ञात करना, जिनमें से प्रत्येक m के बराबर है।

व्यंजक m · n और इस व्यंजक के मान को संख्याओं m और n का गुणनफल कहा जाता है। संख्या m और n कारक कहलाते हैं।

गुणन गुण:

1. गुणन का क्रमविनिमेय गुण: जब कारकों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है तो दो संख्याओं का गुणनफल नहीं बदलता है:

ए बी = बी ए

2. गुणन का साहचर्य गुण: किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले इसे पहले गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी गुणनफल को दूसरे गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं:

ए (बी सी) = (ए बी) सी।

3. एक से गुणन का गुण: n पदों का योग, जिनमें से प्रत्येक 1 के बराबर है, n के बराबर है:

1 एन = एन

4. शून्य से गुणा का गुण: n पदों का योग, जिनमें से प्रत्येक शून्य के बराबर है, शून्य के बराबर है:

0 एन = 0

गुणन चिह्न छोड़ा जा सकता है: 8 x = 8x,

या ए बी = एबी,

या ए (बी + सी) = ए (बी + सी)

विभाजन

वह क्रिया जिसके द्वारा उत्पाद और एक कारक दूसरा कारक पाते हैं, विभाजन कहलाती है।

जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है उसे कहा जाता है भाज्य; वह संख्या जिससे इसे विभाजित किया जाता है, कहलाती है विभक्त, विभाजन के परिणाम को कहा जाता है निजी.

भागफल दर्शाता है कि भाजक भाजक से कितनी गुना अधिक है।

आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

डिवीजन गुण:

1. किसी संख्या को 1 से भाग देने पर वही संख्या प्राप्त होती है:

ए: 1 = ए।

2. किसी संख्या को उसी संख्या से विभाजित करने पर एक इकाई प्राप्त होती है:

ए: ए = 1.

3. जब आप शून्य को किसी संख्या से विभाजित करते हैं, तो आपको शून्य प्राप्त होता है:

0: ए = 0।

अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको उत्पाद को किसी अन्य कारक से विभाजित करना होगा। 5x = 45 x = 45: 5 x = 9

अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा। एक्स: 15 = 3 एक्स = 3 15 एक्स = 45

अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, भाज्य को भागफल से भाग दें। 48: x = 4 x = 48: 4 x = 12

शेष के साथ विभाजन

शेषफल हमेशा भाजक से कम होता है।

यदि शेषफल शून्य है, तो वे कहते हैं कि भाजक बिना शेषफल के विभाज्य है या, अन्यथा, पूरी तरह से। लाभांश को खोजने के लिए जब शेष के साथ विभाजित किया जाता है, तो आपको अपूर्ण भागफल c को भाजक b से गुणा करना होगा और शेष d को परिणामी उत्पाद में जोड़ना होगा।

ए = सी बी + डी

अभिव्यक्ति सरलीकरण

गुणन गुण:

1. योग के संबंध में गुणन का वितरण गुण: किसी योग को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणामी गुणनफल जोड़ सकते हैं:

(ए + बी) सी = एसी + बीसी।

2. घटाव के संबंध में गुणन का वितरण गुण: किसी संख्या से अंतर को गुणा करने के लिए, आप इस संख्या से घटाव और घटाव को गुणा कर सकते हैं और पहले उत्पाद से दूसरे को घटा सकते हैं:

(ए - बी)सी \u003d एसी - बीसी.

3a + 7a = (3 + 7)a = 10a

क्रियाओं का क्रम

संख्याओं का जोड़ और घटाव पहले चरण की क्रियाएँ कहलाती हैं, और संख्याओं का गुणा और भाग दूसरे चरण की क्रियाएँ कहलाती हैं।

क्रियाओं के क्रम के लिए नियम:

1. यदि व्यंजक में कोई कोष्ठक नहीं है और इसमें केवल एक चरण की क्रियाएं हैं, तो उन्हें बाएं से दाएं क्रम में किया जाता है।

2. यदि व्यंजक में पहले और दूसरे चरण की क्रियाएं हैं और उसमें कोई कोष्ठक नहीं हैं, तो दूसरे चरण की क्रियाएं पहले की जाती हैं, फिर पहले चरण की क्रियाएं।

3. यदि व्यंजक में कोष्ठक हैं, तो पहले कोष्ठक में क्रियाएँ करें (नियम 1 और 2 को ध्यान में रखते हुए)

प्रत्येक अभिव्यक्ति इसकी गणना के कार्यक्रम को निर्दिष्ट करती है। यह आदेशों से बना है।

की डिग्री। वर्ग और घन संख्या

एक उत्पाद जिसमें सभी कारक एक दूसरे के बराबर होते हैं उसे छोटा लिखा जाता है: a · a · a · a · a · a = a6 पढ़ें: a से छठी शक्ति तक। संख्या a को घात का आधार कहा जाता है, संख्या 6 को घातांक कहा जाता है और व्यंजक a6 को घात कहा जाता है।

n और n के गुणनफल को n का वर्ग कहा जाता है और इसे n2 (एन वर्ग) द्वारा दर्शाया जाता है:

n2 = n n

गुणनफल n n n को संख्या n का घन कहा जाता है और इसे n3 (en cubed) द्वारा दर्शाया जाता है: n3 = एन एन एन

किसी संख्या की पहली घात संख्या के बराबर होती है। यदि संख्यात्मक अभिव्यक्ति में संख्याओं की शक्तियाँ शामिल हैं, तो उनके मूल्यों की गणना अन्य क्रियाओं को करने से पहले की जाती है।

क्षेत्र और मात्रा

अक्षरों का प्रयोग करके नियम लिखना सूत्र कहलाता है। पथ सूत्र:

एस = वीटी,जहाँ s पथ है, v गति है, t समय है।

वी = एस: टी

टी = एस: वी

वर्ग। एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र।

एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, उसकी लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें। एस = एबी,जहाँ S क्षेत्रफल है, a लंबाई है, b चौड़ाई है

दो आंकड़े बराबर कहलाते हैं यदि उनमें से एक को दूसरे पर लगाया जा सकता है ताकि ये आंकड़े मेल खाते हों। समान अंकों के क्षेत्रफल समान होते हैं। सर्वांगसम आकृतियों के परिमाप समान होते हैं।

पूरी आकृति का क्षेत्रफल उसके भागों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल पूरे आयत के क्षेत्रफल का आधा होता है।

वर्गसमान भुजाओं वाला एक आयत है।

एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होता है:

क्षेत्र इकाइयाँ

वर्ग मिलीमीटर - मिमी2

वर्ग सेंटीमीटर - सेमी2

वर्ग डेसीमीटर - dm2

वर्ग मीटर -m2

वर्ग किलोमीटर - km2

क्षेत्र क्षेत्र हेक्टेयर (हेक्टेयर) में मापा जाता है। एक हेक्टेयर एक वर्ग का क्षेत्रफल है जिसकी भुजा 100 मीटर है।

भूमि के छोटे भूखंडों के क्षेत्रफल को क्षेत्रफल (ए) में मापा जाता है।

Ar (बुनाई) - 10 मीटर भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल।

1 हेक्टेयर = 10,000 मी2

1 डीएम2 = 100 सेमी2

1 एम2 = 100 डीएम2 = 10,000 सेमी2

यदि आयत की लंबाई और चौड़ाई को अलग-अलग इकाइयों में मापा जाता है, तो उन्हें क्षेत्रफल की गणना करने के लिए समान इकाइयों में व्यक्त किया जाना चाहिए।

घनाभ

घनाभ की सतह में 6 आयत होते हैं, जिनमें से प्रत्येक को एक फलक कहा जाता है।

घनाभ के विपरीत फलक बराबर होते हैं।

चेहरों के किनारों को कहा जाता है समानांतर चतुर्भुज किनारों, और चेहरों के शीर्ष समांतर चतुर्भुज के शीर्ष.

एक घनाभ में 12 किनारे और 8 शीर्ष होते हैं।

एक घनाभ की तीन विमाएँ लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई होती हैं

घनक्षेत्रसमान आयामों वाला एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है। एक घन की सतह में 6 बराबर वर्ग होते हैं।

घनाभ का आयतन: घनाभ का आयतन ज्ञात करने के लिए, उसकी लंबाई को उसकी चौड़ाई से उसकी ऊँचाई से गुणा करें।

वी = एबीसी, वी - आयतन, एक लंबाई, बी - चौड़ाई, सी - ऊंचाई

घन मात्रा:

वॉल्यूम इकाइयां:

घन मिलीमीटर - मिमी3

घन सेंटीमीटर - cm3

घन डेसीमीटर - dm3

घन मीटर - मिमी3

घन किलोमीटर - km3

1 एम3 = 1000 डीएम3 = 1000 एल

1 एल = 1 डीएम3 = 1000 सेमी3

1 सेमी3 = 1000 मिमी3 1 किमी3 = 1,000,000,000 एम3

सर्कल और सर्कल

एक बंद रेखा जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर होती है, वृत्त कहलाती है।

तल का वह भाग जो वृत्त के अंदर होता है वृत्त कहलाता है।

इस बिंदु को वृत्त और वृत्त दोनों का केंद्र कहा जाता है।

वृत्त के केंद्र को वृत्त के किसी भी बिंदु से जोड़ने वाला रेखा खंड कहलाता है वृत्त त्रिज्या.

एक रेखा खंड जो एक वृत्त पर दो बिंदुओं को मिलाता है और उसके केंद्र से होकर गुजरता है, कहलाता है सर्कल व्यास.

व्यास दो त्रिज्या के बराबर है।

इस क्रिया में निहित कई परिणामों को नोट किया जा सकता है। इन परिणामों को कहा जाता है प्राकृतिक संख्याओं के योग के गुण. इस लेख में, हम प्राकृतिक संख्याओं के योग के गुणों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, उन्हें अक्षरों का उपयोग करके लिखेंगे और व्याख्यात्मक उदाहरण देंगे।

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प्राकृत संख्याओं के योग का साहचर्य गुण।

अब हम एक उदाहरण देते हैं जो प्राकृत संख्याओं के योग के साहचर्य गुण को दर्शाता है।

एक स्थिति की कल्पना करें: पहले सेब के पेड़ से 1 सेब गिरा, और दूसरे सेब के पेड़ से 2 सेब और 4 और सेब गिरे। अब निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: पहले सेब के पेड़ से 1 सेब और 2 और सेब गिरे, और दूसरे सेब के पेड़ से 4 सेब गिरे। यह स्पष्ट है कि पहले और दूसरे दोनों मामलों में समान संख्या में सेब जमीन पर होंगे (जिसे पुनर्गणना द्वारा सत्यापित किया जा सकता है)। अर्थात् संख्या 2 और 4 के योग में संख्या 1 को जोड़ने का परिणाम संख्या 1 और 2 के योग को संख्या 4 में जोड़ने के परिणाम के बराबर होता है।

माना गया उदाहरण हमें प्राकृतिक संख्याओं के योग की साहचर्य संपत्ति तैयार करने की अनुमति देता है: किसी दी गई संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ने के लिए, आप इस योग के पहले पद को इस संख्या में जोड़ सकते हैं और दूसरे पद को जोड़ सकते हैं प्राप्त परिणाम के लिए यह राशि। इस संपत्ति को इस तरह के अक्षरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है: ए+(बी+सी)=(ए+बी)+सी, जहाँ a , b और c स्वेच्छया प्राकृत संख्याएँ हैं।

कृपया ध्यान दें कि समानता में a+(b+c)=(a+b)+c कोष्ठक "(" और ")" हैं। कोष्ठकों का उपयोग अभिव्यक्तियों में उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें क्रियाएं की जाती हैं - कोष्ठक में क्रियाएं पहले की जाती हैं (इस पर अनुभाग में अधिक)। दूसरे शब्दों में, कोष्ठक उन भावों को संलग्न करते हैं जिनके मूल्यों का मूल्यांकन पहले किया जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि जोड़ की साहचर्य संपत्ति हमें तीन, चार और अधिक प्राकृतिक संख्याओं के जोड़ को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देती है।

शून्य और एक प्राकृत संख्या को जोड़ने का गुण, शून्य में शून्य जोड़ने का गुण।

हम जानते हैं कि शून्य एक प्राकृत संख्या नहीं है। तो हमने इस लेख में शून्य और एक प्राकृत संख्या के योग गुण पर विचार करने का निर्णय क्यों लिया? इसके लिए यहां तीन कारण हैं। पहला: इस गुण का उपयोग किसी स्तंभ में प्राकृत संख्याओं को जोड़ते समय किया जाता है। दूसरा: प्राकृतिक संख्याओं को घटाते समय इस गुण का उपयोग किया जाता है। तीसरा: यदि हम यह मान लें कि शून्य का अर्थ किसी चीज़ का अभाव है, तो शून्य और एक प्राकृत संख्या को जोड़ने का अर्थ दो प्राकृत संख्याओं को जोड़ने के अर्थ से मेल खाता है।

आइए हम उस तर्क पर अमल करें जो हमें शून्य और एक प्राकृत संख्या का योग गुणनफल बनाने में मदद करेगा। कल्पना कीजिए कि बॉक्स में कोई आइटम नहीं है (दूसरे शब्दों में, बॉक्स में 0 आइटम हैं), और इसमें एक आइटम रखा गया है, जहां कोई भी प्राकृतिक संख्या है। यही है, जोड़ा 0 और एक आइटम। यह स्पष्ट है कि इस क्रिया के बाद बॉक्स में एक आइटम है। इसलिए, समानता 0+a=a सत्य है।

इसी तरह, यदि किसी बॉक्स में एक आइटम है और उसमें 0 आइटम जोड़े जाते हैं (अर्थात कोई आइटम नहीं जोड़ा जाता है), तो इस क्रिया के बाद, एक आइटम बॉक्स में होगा। तो a+0=a ।

अब हम शून्य और एक प्राकृत संख्या के योग का गुण बता सकते हैं: दो संख्याओं का योग, जिनमें से एक शून्य है, दूसरी संख्या के बराबर है. गणितीय रूप से, इस संपत्ति को निम्नलिखित समानता के रूप में लिखा जा सकता है: 0+ए=एया ए+0=ए, जहां a एक मनमाना प्राकृत संख्या है।

अलग से, हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि जब एक प्राकृत संख्या और शून्य जोड़ते हैं, तो योग का क्रमविनिमेय गुण सत्य रहता है, अर्थात a+0=0+a ।

अंत में, आइए हम शून्य-शून्य जोड़ गुण बनाते हैं (यह काफी स्पष्ट है और अतिरिक्त टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है): दो संख्याओं का योग जो प्रत्येक शून्य है शून्य है. अर्थात, 0+0=0 .

अब यह पता लगाने का समय है कि प्राकृतिक संख्याओं का योग कैसे किया जाता है।