अंकगणित माध्य की गणना कैसे की जाती है? सारांश: आँकड़ों में प्रयुक्त औसत मान

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, औसत अर्थ देखें।

औसत(गणित और सांख्यिकी में) संख्याओं का समूह - सभी संख्याओं का योग उनकी संख्या से विभाजित होता है। यह केंद्रीय प्रवृत्ति के सबसे सामान्य उपायों में से एक है।

यह पाइथागोरस द्वारा प्रस्तावित किया गया था (ज्यामितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य के साथ)।

अंकगणित माध्य के विशेष मामले माध्य (सामान्य जनसंख्या का) और नमूना माध्य (नमूनों का) हैं।

परिचय

डेटा के सेट को निरूपित करें एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), तो नमूना माध्य को आमतौर पर चर (x (\displaystyle (\bar (x))) के ऊपर एक क्षैतिज पट्टी द्वारा निरूपित किया जाता है, उच्चारित " एक्सएक डैश के साथ")।

ग्रीक अक्षर μ का प्रयोग संपूर्ण जनसंख्या के अंकगणितीय माध्य को दर्शाने के लिए किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के लिए जिसके लिए एक माध्य मान परिभाषित किया गया है, μ is प्रायिकता माध्यया एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा। अगर सेट एक्सप्रायिकता माध्य μ के साथ यादृच्छिक संख्याओं का एक संग्रह है, तो किसी भी नमूने के लिए एक्स मैंइस संग्रह से μ = E( एक्स मैं) इस नमूने की अपेक्षा है।

व्यवहार में, μ और x (\displaystyle (\bar (x))) के बीच का अंतर यह है कि μ एक विशिष्ट चर है क्योंकि आप पूरी आबादी के बजाय नमूना देख सकते हैं। इसलिए, यदि नमूने को यादृच्छिक रूप से (प्रायिकता सिद्धांत के संदर्भ में) दर्शाया जाता है, तो x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (लेकिन μ नहीं) को एक यादृच्छिक चर के रूप में माना जा सकता है जिसमें नमूने पर संभाव्यता वितरण होता है ( माध्य का संभाव्यता वितरण)।

इन दोनों राशियों की गणना एक ही तरह से की जाती है:

एक्स ¯ = 1 एन ∑ आई = 1 एन एक्स आई = 1 एन (एक्स 1 + ⋯ + एक्स एन)। (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n))।)

यदि एक एक्सएक यादृच्छिक चर है, तो गणितीय अपेक्षा एक्समात्रा के बार-बार माप में मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के रूप में माना जा सकता है एक्स. यह बड़ी संख्या के कानून की अभिव्यक्ति है। इसलिए, अज्ञात गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए नमूना माध्य का उपयोग किया जाता है।

प्रारंभिक बीजगणित में, यह सिद्ध होता है कि माध्य एन+ 1 संख्या औसत से ऊपर एनसंख्याएँ यदि और केवल यदि नई संख्या पुराने औसत से अधिक है, कम और केवल यदि नई संख्या औसत से कम है, और यदि और केवल यदि नई संख्या औसत के बराबर है तो नहीं बदलती है। अधिक एन, नए और पुराने औसत के बीच का अंतर जितना छोटा होगा।

ध्यान दें कि कई अन्य "साधन" उपलब्ध हैं, जिनमें पावर-लॉ माध्य, कोलमोगोरोव माध्य, हार्मोनिक माध्य, अंकगणित-ज्यामितीय माध्य और विभिन्न भारित साधन (जैसे, अंकगणित-भारित माध्य, ज्यामितीय-भारित माध्य, हार्मोनिक-भारित माध्य) शामिल हैं। .

उदाहरण

तीन संख्याओं के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और 3 से भाग देना होगा:

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 3। (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

चार संख्याओं के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और 4 से भाग देना होगा:

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 4। (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

या आसान 5+5=10, 10:2। क्योंकि हमने 2 संख्याएँ जोड़ी हैं, जिसका अर्थ है कि हम कितनी संख्याएँ जोड़ते हैं, हम उससे विभाजित करते हैं।

सतत यादृच्छिक चर

निरंतर वितरित मान के लिए f (x) (\displaystyle f(x)) अंतराल पर अंकगणितीय माध्य [ a ; b ] (\displaystyle ) को एक निश्चित समाकलन द्वारा परिभाषित किया गया है:

एफ (एक्स) ¯ [ए; b ] = 1 b - a a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) एफ (एक्स) डीएक्स)

औसत का उपयोग करने की कुछ समस्याएं

मजबूती की कमी

मुख्य लेख: आंकड़ों में मजबूती

यद्यपि अंकगणित माध्य को अक्सर साधन या केंद्रीय प्रवृत्तियों के रूप में उपयोग किया जाता है, यह अवधारणा मजबूत आंकड़ों पर लागू नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि अंकगणितीय माध्य "बड़े विचलन" से बहुत अधिक प्रभावित होता है। यह उल्लेखनीय है कि बड़े विषमता वाले वितरण के लिए, अंकगणितीय माध्य "औसत" की अवधारणा के अनुरूप नहीं हो सकता है, और मजबूत आँकड़ों से माध्य के मान (उदाहरण के लिए, माध्यिका) केंद्रीय प्रवृत्ति का बेहतर वर्णन कर सकते हैं।

क्लासिक उदाहरण औसत आय की गणना है। अंकगणित माध्य को माध्यिका के रूप में गलत समझा जा सकता है, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वास्तव में जितने लोग हैं उससे अधिक आय वाले लोग हैं। "माध्य" आय की व्याख्या इस तरह से की जाती है कि अधिकांश लोगों की आय इस संख्या के करीब होती है। यह "औसत" (अंकगणितीय माध्य के अर्थ में) आय अधिकांश लोगों की आय से अधिक है, क्योंकि औसत से एक बड़े विचलन के साथ उच्च आय अंकगणितीय माध्य को अत्यधिक विषम बना देती है (इसके विपरीत, औसत आय "प्रतिरोध" करती है। ऐसा तिरछा)। हालांकि, यह "औसत" आय औसत आय के पास लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है (और मोडल आय के पास लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है)। हालांकि, अगर "औसत" और "बहुमत" की अवधारणाओं को हल्के में लिया जाता है, तो कोई गलत तरीके से निष्कर्ष निकाल सकता है कि अधिकांश लोगों की आय वास्तव में उनकी तुलना में अधिक है। उदाहरण के लिए, मदीना, वाशिंगटन में "औसत" शुद्ध आय पर एक रिपोर्ट, जो निवासियों की सभी वार्षिक शुद्ध आय के अंकगणितीय औसत के रूप में गणना की जाती है, बिल गेट्स के कारण आश्चर्यजनक रूप से उच्च संख्या देगी। नमूने (1, 2, 2, 2, 3, 9) पर विचार करें। अंकगणितीय माध्य 3.17 है, लेकिन छह में से पांच मान इस माध्य से नीचे हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज

मुख्य लेख: लागत पर लाभ

अगर संख्या गुणा, लेकिन नहीं तह करना, आपको ज्यामितीय माध्य का उपयोग करने की आवश्यकता है, न कि अंकगणितीय माध्य का। वित्त में निवेश पर प्रतिफल की गणना करते समय अक्सर यह घटना होती है।

उदाहरण के लिए, यदि स्टॉक पहले वर्ष में 10% गिर गया और दूसरे वर्ष में 30% बढ़ गया, तो इन दो वर्षों में "औसत" वृद्धि की गणना अंकगणितीय माध्य (−10% + 30%) / 2 के रूप में करना गलत है। = 10%; इस मामले में सही औसत चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर द्वारा दिया गया है, जिसमें से वार्षिक वृद्धि केवल 8.16653826392% 8.2% है।

इसका कारण यह है कि प्रतिशत का हर बार एक नया प्रारंभिक बिंदु होता है: 30% 30% है पहले वर्ष की शुरुआत में कीमत से कम संख्या से:यदि स्टॉक $30 से शुरू हुआ और 10% गिर गया, तो दूसरे वर्ष की शुरुआत में इसका मूल्य $27 है। यदि स्टॉक 30% ऊपर है, तो दूसरे वर्ष के अंत में इसका मूल्य $35.1 है। इस वृद्धि का अंकगणितीय औसत 10% है, लेकिन चूंकि स्टॉक 2 वर्षों में केवल $5.1 की वृद्धि हुई है, 8.2% की औसत वृद्धि $35.1 का अंतिम परिणाम देती है:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]। यदि हम उसी तरह से 10% के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं, तो हमें वास्तविक मूल्य नहीं मिलेगा: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3]।

वर्ष के अंत में चक्रवृद्धि ब्याज 2: 90% * 130% = 117% , यानी कुल 17% की वृद्धि, और औसत वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \लगभग 108.2\%) , यानी 8.2% की औसत वार्षिक वृद्धि।

दिशा-निर्देश

मुख्य लेख: गंतव्य आँकड़े

किसी चर के अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय जो चक्रीय रूप से बदलता है (उदाहरण के लिए, चरण या कोण), विशेष ध्यान रखा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, 1° और 359° का औसत 1 + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° होगा। यह संख्या दो कारणों से गलत है।

सबसे पहले, कोणीय उपायों को केवल 0° से 360° (या 0 से 2π तक जब रेडियन में मापा जाता है) की सीमा के लिए परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार, संख्याओं के समान युग्म को (1° और -1°) या (1° और 719°) के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक जोड़ी का औसत अलग होगा: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 + 719 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
दूसरा, इस मामले में, 0° (360° के बराबर) का मान ज्यामितीय रूप से सबसे अच्छा माध्य होगा, क्योंकि संख्याएं किसी भी अन्य मान की तुलना में 0° से कम विचलन करती हैं (मान 0° में सबसे छोटा विचरण होता है)। तुलना करना:
- संख्या 1° 0° से केवल 1° विचलित होती है;
- संख्या 1° 180° के परिकलित औसत से 179° का विचलन करती है।

उपरोक्त सूत्र के अनुसार गणना किए गए चक्रीय चर के लिए औसत मान को वास्तविक औसत के सापेक्ष संख्यात्मक श्रेणी के मध्य में कृत्रिम रूप से स्थानांतरित कर दिया जाएगा। इस वजह से, औसत की गणना एक अलग तरीके से की जाती है, अर्थात्, सबसे छोटे विचरण (केंद्र बिंदु) वाली संख्या को औसत मान के रूप में चुना जाता है। साथ ही, घटाने के बजाय, मॉड्यूल दूरी (यानी, परिधि दूरी) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1° और 359° के बीच मॉड्यूलर दूरी 2° है, न कि 358° (359° और 360°==0° के बीच के वृत्त पर - एक डिग्री, 0° और 1° के बीच - कुल मिलाकर 1° भी। - 2 डिग्री)।

औसत मूल्यों के प्रकार और उनकी गणना के तरीके

सांख्यिकीय प्रसंस्करण के चरण में, विभिन्न प्रकार के शोध कार्य निर्धारित किए जा सकते हैं, जिनके समाधान के लिए उपयुक्त औसत चुनना आवश्यक है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम द्वारा निर्देशित होना आवश्यक है: औसत के अंश और हर का प्रतिनिधित्व करने वाले मान तार्किक रूप से एक दूसरे से संबंधित होने चाहिए।

बिजली औसत;
संरचनात्मक औसत.

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

वे मान जिनके लिए औसत की गणना की जाती है;

औसत, जहां ऊपर की रेखा इंगित करती है कि व्यक्तिगत मूल्यों का औसत होता है;

आवृत्ति (व्यक्तिगत विशेषता मूल्यों की दोहराव)।

विभिन्न साधन सामान्य शक्ति माध्य सूत्र से प्राप्त होते हैं:

(5.1)

k = 1 के लिए - अंकगणितीय माध्य; के = -1 - हार्मोनिक माध्य; के = 0 - ज्यामितीय माध्य; k = -2 - मूल माध्य वर्ग।

औसत या तो सरल या भारित होते हैं। भारित औसतवे मात्राएँ कहलाती हैं जो इस बात को ध्यान में रखती हैं कि विशेषता के मूल्यों के कुछ प्रकारों में भिन्न संख्याएँ हो सकती हैं, और इसलिए प्रत्येक संस्करण को इस संख्या से गुणा करना पड़ता है। दूसरे शब्दों में, "वजन" विभिन्न समूहों में जनसंख्या इकाइयों की संख्या है, अर्थात। प्रत्येक विकल्प इसकी आवृत्ति से "भारित" होता है। आवृत्ति f कहा जाता है सांख्यिकीय भारया वजन औसत.

अंकगणित औसत- माध्यम का सबसे आम प्रकार। इसका उपयोग तब किया जाता है जब गणना अवर्गीकृत सांख्यिकीय डेटा पर की जाती है, जहां आप औसत सारांश प्राप्त करना चाहते हैं। अंकगणित माध्य किसी विशेषता का ऐसा औसत मान है, जिसके प्राप्त होने पर जनसंख्या में विशेषता का कुल आयतन अपरिवर्तित रहता है।

अंकगणित माध्य सूत्र ( सरल) का रूप है

जहाँ n जनसंख्या का आकार है।

उदाहरण के लिए, किसी उद्यम के कर्मचारियों के औसत वेतन की गणना अंकगणितीय औसत के रूप में की जाती है:

यहां निर्धारण संकेतक प्रत्येक कर्मचारी की मजदूरी और उद्यम के कर्मचारियों की संख्या हैं। औसत की गणना करते समय, मजदूरी की कुल राशि समान रही, लेकिन सभी श्रमिकों के बीच समान रूप से वितरित की गई। उदाहरण के लिए, एक छोटी कंपनी के कर्मचारियों के औसत वेतन की गणना करना आवश्यक है जहां 8 लोग कार्यरत हैं:

औसत की गणना करते समय, औसत की विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को दोहराया जा सकता है, इसलिए औसत की गणना समूहीकृत डेटा का उपयोग करके की जाती है। इस मामले में, हम उपयोग करने के बारे में बात कर रहे हैं अंकगणित माध्य भारित, जो दिखता है

(5.3)

इसलिए, हमें स्टॉक एक्सचेंज में एक संयुक्त स्टॉक कंपनी के औसत शेयर मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है। यह ज्ञात है कि लेनदेन 5 दिनों (5 लेनदेन) के भीतर किया गया था, बिक्री दर पर बेचे गए शेयरों की संख्या निम्नानुसार वितरित की गई थी:

1 - 800 ए.सी. - 1010 रूबल

2 - 650 ए.सी. - 990 रगड़।

3 - 700 एके। - 1015 रूबल।

4 - 550 ए.सी. - 900 रगड़।

5 - 850 एके। - 1150 रूबल।

औसत शेयर मूल्य निर्धारित करने के लिए प्रारंभिक अनुपात लेनदेन की कुल राशि (टीसीए) और बेचे गए शेयरों की संख्या (केपीए) का अनुपात है:

ओएसएस = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;

सीपीए = 800+650+700+550+850=3550।

इस मामले में, औसत शेयर की कीमत बराबर थी

अंकगणित माध्य के गुणों को जानना आवश्यक है, जो इसके उपयोग और गणना दोनों के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। तीन मुख्य गुण हैं जो सबसे अधिक सांख्यिकीय और आर्थिक गणना में अंकगणितीय माध्य के व्यापक उपयोग के लिए प्रेरित करते हैं।

संपत्ति एक (शून्य): किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के उसके औसत मूल्य से सकारात्मक विचलन का योग नकारात्मक विचलन के योग के बराबर होता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण गुण है, क्योंकि यह दर्शाता है कि यादृच्छिक कारणों से किसी भी विचलन (+ और साथ - दोनों) को पारस्परिक रूप से रद्द कर दिया जाएगा।

प्रमाण:

संपत्ति दो (न्यूनतम): अंकगणित माध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के वर्ग विचलन का योग किसी भी अन्य संख्या (ए) से कम है, अर्थात। न्यूनतम संख्या है।

प्रमाण।

चर a से वर्ग विचलन का योग लिखें:

(5.4)

इस फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए, इसके व्युत्पन्न को शून्य के संबंध में समान करना आवश्यक है:

यहाँ से हमें मिलता है:

(5.5)

इसलिए, वर्ग विचलन के योग के चरम पर पहुँच जाता है। यह चरम न्यूनतम है, क्योंकि फ़ंक्शन में अधिकतम नहीं हो सकता है।

संपत्ति तीन: एक स्थिरांक का अंकगणितीय माध्य इस स्थिरांक के बराबर होता है: a = स्थिरांक पर।

अंकगणित माध्य के इन तीन सबसे महत्वपूर्ण गुणों के अलावा, तथाकथित हैं डिजाइन गुण, जो इलेक्ट्रानिक कम्प्यूटरों के प्रयोग के कारण धीरे-धीरे अपना महत्व खोते जा रहे हैं :

यदि प्रत्येक इकाई के चिन्ह के व्यक्तिगत मूल्य को एक स्थिर संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य उसी राशि से बढ़ेगा या घटेगा;
यदि प्रत्येक विशेषता मान के भार (आवृत्ति) को एक स्थिर संख्या से विभाजित किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य नहीं बदलेगा;
यदि प्रत्येक इकाई की विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को एक ही राशि से घटाया या बढ़ाया जाए, तो अंकगणितीय माध्य उसी राशि से घटेगा या बढ़ेगा।

औसत हार्मोनिक. इस औसत को पारस्परिक अंकगणितीय औसत कहा जाता है, क्योंकि इस मान का उपयोग k = -1 होने पर किया जाता है।

सरल हार्मोनिक माध्यका प्रयोग तब किया जाता है जब अभिलक्षणिक मानों का भार समान हो। इसका सूत्र k = -1 को प्रतिस्थापित करके आधार सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है:

उदाहरण के लिए, हमें दो कारों की औसत गति की गणना करने की आवश्यकता है, जिन्होंने एक ही पथ पर यात्रा की है, लेकिन अलग-अलग गति से: पहली 100 किमी/घंटा की गति से, दूसरी 90 किमी/घंटा पर। हार्मोनिक माध्य विधि का उपयोग करके, हम औसत गति की गणना करते हैं:

सांख्यिकीय अभ्यास में, हार्मोनिक भारित का अधिक बार उपयोग किया जाता है, जिसके सूत्र का रूप होता है

इस सूत्र का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां प्रत्येक विशेषता के लिए भार (या घटना की मात्रा) समान नहीं होते हैं। मूल अनुपात में, अंश औसत की गणना करने के लिए जाना जाता है, लेकिन भाजक अज्ञात है।

उदाहरण के लिए, औसत मूल्य की गणना करते समय, हमें बेची गई राशि के अनुपात का उपयोग बेची गई इकाइयों की संख्या से करना चाहिए। हम बेची गई इकाइयों की संख्या नहीं जानते (हम विभिन्न वस्तुओं के बारे में बात कर रहे हैं), लेकिन हम इन विभिन्न वस्तुओं की बिक्री का योग जानते हैं। मान लीजिए कि आप बेची गई वस्तुओं की औसत कीमत का पता लगाना चाहते हैं:

हम पाते हैं

जियोमेट्रिक माध्य. सबसे अधिक बार, ज्यामितीय माध्य औसत विकास दर (औसत वृद्धि दर) निर्धारित करने में अपना आवेदन पाता है, जब विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को सापेक्ष मूल्यों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इसका उपयोग तब भी किया जाता है जब किसी विशेषता के न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों (उदाहरण के लिए, 100 और 1000000 के बीच) के बीच औसत खोजना आवश्यक हो। सरल और भारित ज्यामितीय माध्य के लिए सूत्र हैं।

एक साधारण ज्यामितीय माध्य के लिए

भारित ज्यामितीय माध्य के लिए

आरएमएस. इसके आवेदन का मुख्य दायरा जनसंख्या में एक विशेषता की भिन्नता का माप है (मानक विचलन की गणना)।

सरल मूल माध्य वर्ग सूत्र

भारित मूल माध्य वर्ग सूत्र

(5.11)

परिणामस्वरूप, हम कह सकते हैं कि सांख्यिकीय अनुसंधान की समस्याओं का सफल समाधान प्रत्येक विशिष्ट मामले में औसत मूल्य के प्रकार के सही चुनाव पर निर्भर करता है। औसत का चुनाव निम्नलिखित अनुक्रम मानता है:

ए) जनसंख्या के सामान्यीकरण संकेतक की स्थापना;

बी) किसी दिए गए सामान्यीकरण संकेतक के लिए मूल्यों के गणितीय अनुपात का निर्धारण;

ग) औसत मूल्यों द्वारा व्यक्तिगत मूल्यों का प्रतिस्थापन;

डी) संबंधित समीकरण का उपयोग करके औसत की गणना।

माध्य मान और भिन्नता

औसत मूल्य- यह एक सामान्यीकरण संकेतक है जो एक निश्चित मात्रात्मक विशेषता के अनुसार गुणात्मक रूप से सजातीय आबादी की विशेषता है। उदाहरण के लिए, चोरी के दोषी व्यक्तियों की औसत आयु।

न्यायिक आँकड़ों में, औसत का उपयोग विशेषता के लिए किया जाता है:

इस श्रेणी के मामलों पर विचार करने की औसत शर्तें;

मध्यम आकार का दावा;

प्रति केस प्रतिवादियों की औसत संख्या;

क्षति की औसत राशि;

न्यायाधीशों का औसत कार्यभार, आदि।

औसत मान को हमेशा नामित किया जाता है और जनसंख्या की एक अलग इकाई की विशेषता के समान आयाम होता है। प्रत्येक औसत मूल्य किसी एक भिन्न विशेषता के अनुसार अध्ययन की गई जनसंख्या की विशेषता है, इसलिए, किसी भी औसत के पीछे, अध्ययन की गई विशेषता के अनुसार इस जनसंख्या की इकाइयों के वितरण की एक श्रृंखला होती है। औसत के प्रकार का चुनाव संकेतक की सामग्री और औसत की गणना के लिए प्रारंभिक डेटा द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सांख्यिकीय अध्ययनों में प्रयुक्त सभी प्रकार के औसत दो श्रेणियों में आते हैं:

1) बिजली औसत;

2) संरचनात्मक औसत।

औसत की पहली श्रेणी में शामिल हैं: अंकगणित माध्य, हार्मोनिक माध्य, ज्यामितीय माध्य और वर्गमूल औसत का वर्ग . दूसरी श्रेणी है पहनावाऔर मंझला. इसके अलावा, प्रत्येक सूचीबद्ध प्रकार के बिजली औसत के दो रूप हो सकते हैं: सरल और भारित . माध्य के सरल रूप का उपयोग अध्ययन के तहत विशेषता के औसत मूल्य को प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जब गणना अवर्गीकृत आंकड़ों पर आधारित होती है, या जब प्रत्येक प्रकार जनसंख्या में केवल एक बार होता है। भारित औसत वे मान हैं जो इस बात को ध्यान में रखते हैं कि किसी विशेषता के मानों के विकल्पों में अलग-अलग संख्याएँ हो सकती हैं, और इसलिए प्रत्येक विकल्प को संबंधित आवृत्ति से गुणा करना पड़ता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक विकल्प को उसकी आवृत्ति से "तौला" जाता है। आवृत्ति को सांख्यिकीय भार कहा जाता है।

सरल अंकगणित माध्य- माध्यम का सबसे आम प्रकार। यह इन मूल्यों की कुल संख्या से विभाजित व्यक्तिगत विशेषता मूल्यों के योग के बराबर है:

कहाँ पे एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एनचर विशेषता (विकल्प) के व्यक्तिगत मूल्य हैं, और एन जनसंख्या इकाइयों की संख्या है।

अंकगणित भारित औसतइसका उपयोग तब किया जाता है जब डेटा को वितरण श्रृंखला या समूह के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इसकी गणना विकल्पों के उत्पादों और उनकी संगत आवृत्तियों के योग के रूप में की जाती है, जो सभी विकल्पों की आवृत्तियों के योग से विभाजित होती है:

कहाँ पे एक्स मैं- अर्थ मैंसुविधा के -वें संस्करण; फाई- आवृत्ति मैं-वें विकल्प।

इस प्रकार, प्रत्येक भिन्न मान को उसकी आवृत्ति द्वारा भारित किया जाता है, यही कारण है कि आवृत्तियों को कभी-कभी सांख्यिकीय भार कहा जाता है।

टिप्पणी।जब इसके प्रकार को निर्दिष्ट किए बिना अंकगणितीय माध्य की बात आती है, तो साधारण अंकगणितीय माध्य का अर्थ होता है।

तालिका 12

फेसला।गणना के लिए, हम अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, औसतन प्रति आपराधिक मामले में दो प्रतिवादी होते हैं।

यदि औसत मूल्य की गणना अंतराल वितरण श्रृंखला के रूप में समूहीकृत डेटा के अनुसार की जाती है, तो पहले आपको प्रत्येक अंतराल x "i के औसत मूल्यों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है, और फिर औसत मूल्य की गणना करने की आवश्यकता होती है भारित समांतर माध्य सूत्र, जिसमें x" i को x i के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण।चोरी के दोषी अपराधियों की उम्र के आंकड़े तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं:

तालिका 13

चोरी के दोषी अपराधियों की औसत आयु निर्धारित करें।

फेसला।अंतराल भिन्नता श्रृंखला के आधार पर अपराधियों की औसत आयु निर्धारित करने के लिए, आपको पहले अंतराल के औसत मूल्यों को खोजना होगा। चूंकि खुले पहले और अंतिम अंतराल के साथ एक अंतराल श्रृंखला दी गई है, इन अंतरालों के मूल्यों को आसन्न बंद अंतराल के मूल्यों के बराबर लिया जाता है। हमारे मामले में, पहले और आखिरी अंतराल का मान 10 है।

अब हम भारित अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करके अपराधियों की औसत आयु ज्ञात करते हैं:

इस प्रकार, चोरी के दोषी अपराधियों की औसत आयु लगभग 27 वर्ष है।

औसत हार्मोनिक सरल सुविधा के पारस्परिक मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का पारस्परिक है:

जहां 1/ एक्स मैंवेरिएंट के पारस्परिक मूल्य हैं, और एन जनसंख्या इकाइयों की संख्या है।

उदाहरण।आपराधिक मामलों पर विचार करते समय जिला न्यायालय के न्यायाधीशों के लिए औसत वार्षिक कार्यभार निर्धारित करने के लिए, इस अदालत के 5 न्यायाधीशों के कार्यभार पर एक सर्वेक्षण किया गया था। सर्वेक्षण किए गए प्रत्येक न्यायाधीश के लिए एक आपराधिक मामले पर बिताया गया औसत समय बराबर (दिनों में) निकला: 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4। एक के लिए औसत लागत ज्ञात कीजिए। आपराधिक मामले और आपराधिक मामलों पर विचार करते समय इस जिला अदालत के न्यायाधीशों पर औसत वार्षिक कार्यभार।

फेसला।एक आपराधिक मामले पर खर्च किए गए औसत समय को निर्धारित करने के लिए, हम हार्मोनिक सरल सूत्र का उपयोग करते हैं:

उदाहरण में गणना को सरल बनाने के लिए, आइए एक वर्ष में 365 के बराबर दिनों की संख्या लें, जिसमें सप्ताहांत भी शामिल है (यह गणना पद्धति को प्रभावित नहीं करता है, और व्यवहार में एक समान संकेतक की गणना करते समय, काम करने की संख्या को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है) 365 दिनों के बजाय किसी विशेष वर्ष में दिन)। फिर आपराधिक मामलों पर विचार करते समय इस जिला न्यायालय के न्यायाधीशों के लिए औसत वार्षिक कार्यभार होगा: 365 (दिन): 5.56 65.6 (मामले)।

यदि हम एक आपराधिक मामले पर खर्च किए गए औसत समय को निर्धारित करने के लिए सरल अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करते हैं, तो हम प्राप्त करेंगे:

365 (दिन): 5.64 64.7 (मामले), यानी। न्यायाधीशों के लिए औसत कार्यभार कम था।

आइए इस दृष्टिकोण की वैधता की जांच करें। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक न्यायाधीश के लिए एक आपराधिक मामले पर खर्च किए गए समय पर डेटा का उपयोग करते हैं और प्रति वर्ष उनमें से प्रत्येक द्वारा विचार किए गए आपराधिक मामलों की संख्या की गणना करते हैं।

हम तदनुसार प्राप्त करते हैं:

365 (दिन): 6 61 (मामला), 365 (दिन): 5.6 65.2 (केस), 365 (दिन): 6.3 58 (केस),

365 (दिन): 4.9 74.5 (मामले), 365 (दिन): 5.4 68 (मामले)।

अब हम आपराधिक मामलों पर विचार करते समय इस जिला न्यायालय के न्यायाधीशों के औसत वार्षिक कार्यभार की गणना करते हैं:

वे। औसत वार्षिक भार हार्मोनिक माध्य का उपयोग करते समय समान होता है।

इस प्रकार, इस मामले में अंकगणितीय माध्य का उपयोग अवैध है।

ऐसे मामलों में जहां किसी विशेषता के वेरिएंट ज्ञात होते हैं, उनके वॉल्यूमेट्रिक मान (आवृत्ति द्वारा वेरिएंट का उत्पाद), लेकिन आवृत्तियां स्वयं अज्ञात होती हैं, हार्मोनिक भारित औसत सूत्र लागू होता है:

कहाँ पे एक्स मैंविशेषता वेरिएंट के मान हैं, और मैं वेरिएंट के वॉल्यूमेट्रिक मान हैं ( डब्ल्यू मैं = एक्स मैं एफ मैं).

उदाहरण।प्रायश्चित्त प्रणाली के विभिन्न संस्थानों द्वारा उत्पादित एक ही प्रकार के सामान की एक इकाई की कीमत और इसके कार्यान्वयन की मात्रा पर डेटा तालिका 14 में दिया गया है।

तालिका 14

उत्पाद का औसत विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

फेसला।औसत मूल्य की गणना करते समय, हमें बेची गई इकाइयों की संख्या से बेची गई राशि के अनुपात का उपयोग करना चाहिए। हम बेची गई इकाइयों की संख्या नहीं जानते, लेकिन हम माल की बिक्री की मात्रा जानते हैं। इसलिए, बेची गई वस्तुओं का औसत मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम हार्मोनिक भारित औसत सूत्र का उपयोग करते हैं। हम पाते हैं

यदि आप यहां अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करते हैं, तो आप एक औसत मूल्य प्राप्त कर सकते हैं जो अवास्तविक होगा:

जियोमेट्रिक माध्यसुविधा विकल्पों के सभी मूल्यों के उत्पाद से डिग्री एन की जड़ निकालने के द्वारा गणना की जाती है:

कहाँ पे एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एनचर विशेषता (विकल्प) के व्यक्तिगत मूल्य हैं, और

एनजनसंख्या इकाइयों की संख्या है।

इस प्रकार के औसत का उपयोग समय श्रृंखला की औसत वृद्धि दर की गणना के लिए किया जाता है।

वर्गमूल औसत का वर्गमानक विचलन की गणना के लिए उपयोग किया जाता है, जो भिन्नता का संकेतक है, और नीचे चर्चा की जाएगी।

जनसंख्या की संरचना का निर्धारण करने के लिए, विशेष औसत का उपयोग किया जाता है, जिसमें शामिल हैं मंझला और पहनावा , या तथाकथित संरचनात्मक औसत। यदि अंकगणितीय माध्य की गणना विशेषता मानों के सभी प्रकारों के उपयोग के आधार पर की जाती है, तो माध्यिका और बहुलक उस वैरिएंट के मान की विशेषता बताते हैं जो क्रमबद्ध (क्रमबद्ध) श्रृंखला में एक निश्चित औसत स्थान रखता है। सांख्यिकीय जनसंख्या की इकाइयों का क्रम अध्ययन के तहत विशेषता के प्रकारों के आरोही या अवरोही क्रम में किया जा सकता है।

माध्यिका (मी)वह मान है जो रैंक की गई शृंखला के मध्य में वैरिएंट से मेल खाता है। इस प्रकार, माध्यिका श्रेणीबद्ध श्रृंखला का वह रूप है, जिसके दोनों ओर इस श्रृंखला में समान संख्या में जनसंख्या इकाइयाँ होनी चाहिए।

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, आपको पहले सूत्र का उपयोग करके क्रमबद्ध श्रृंखला में इसकी क्रम संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है:

जहाँ N श्रृंखला का आयतन (जनसंख्या इकाइयों की संख्या) है।

यदि श्रृंखला में विषम संख्या में सदस्य होते हैं, तो माध्यिका N Me संख्या वाले प्रकार के बराबर होती है। यदि श्रृंखला में सदस्यों की एक सम संख्या होती है, तो माध्यिका को मध्य में स्थित दो आसन्न विकल्पों के अंकगणितीय माध्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।

उदाहरण।एक क्रमबद्ध श्रेणी 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10 दी गई है। श्रृंखला का आयतन N = 9 है, जिसका अर्थ है N Me = (9 + 1) / 2 = 5। इसलिए, मैं = 6, यानी। पांचवां विकल्प। यदि एक पंक्ति 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, अर्थात् दी गई हो। सदस्यों की एक सम संख्या वाली श्रृंखला (N = 8), तो N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5। तो माध्यिका चौथे और पांचवें विकल्पों के योग के आधे के बराबर है, अर्थात। मैं = (9 + 11) / 2 = 10।

असतत भिन्नता श्रृंखला में, माध्यिका संचित आवृत्तियों द्वारा निर्धारित की जाती है। पहले वाले से शुरू होने वाली भिन्न आवृत्तियों का योग तब तक किया जाता है जब तक कि माध्यिका संख्या पार नहीं हो जाती। अंतिम सारांशित विकल्पों का मान माध्यिका होगा।

उदाहरण।तालिका 12 में डेटा का उपयोग करके प्रति आपराधिक मामले में प्रतिवादियों की औसत संख्या पाएं।

फेसला।इस स्थिति में, भिन्नता श्रृंखला का आयतन N = 154 है, इसलिए N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5। पहले और दूसरे विकल्पों की बारंबारताओं का योग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: 75 + 43 = 118, अर्थात्। हमने औसत संख्या को पार कर लिया है। तो मैं = 2.

वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला में, पहले उस अंतराल को इंगित करें जिसमें माध्यिका स्थित होगी। उसे बुलाया गया मंझला . यह पहला अंतराल है जिसकी संचित आवृत्ति अंतराल भिन्नता श्रृंखला के आधे आयतन से अधिक है। तब माध्यिका का संख्यात्मक मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहाँ पे एक्स मीमाध्यिका अंतराल की निचली सीमा है; i माध्यिका अंतराल का मान है; एस मी-1अंतराल की संचयी आवृत्ति है जो माध्यिका से पहले आती है; एफ मीमाध्यिका अंतराल की आवृत्ति है।

उदाहरण।तालिका 13 में प्रस्तुत आंकड़ों के आधार पर, चोरी के दोषी अपराधियों की औसत आयु ज्ञात कीजिए।

फेसला।सांख्यिकीय डेटा को एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका अर्थ है कि हम पहले माध्यिका अंतराल निर्धारित करते हैं। जनसंख्या का आयतन N = 162, इसलिए माध्यिका अंतराल 18-28 का अंतराल है, क्योंकि यह पहला अंतराल है, जिसकी संचित आवृत्ति (15 + 90 = 105) अंतराल भिन्नता श्रृंखला के आधे आयतन (162: 2 = 81) से अधिक है। अब माध्यिका का संख्यात्मक मान उपरोक्त सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इस प्रकार, चोरी के दोषियों में से आधे 25 वर्ष से कम उम्र के हैं।

फैशन (मो)विशेषता के मूल्य का नाम बताइए, जो अक्सर जनसंख्या की इकाइयों में पाया जाता है। फैशन का उपयोग उस विशेषता के मूल्य की पहचान करने के लिए किया जाता है जिसका सबसे बड़ा वितरण होता है। असतत श्रृंखला के लिए, मोड उच्चतम आवृत्ति वाला संस्करण होगा। उदाहरण के लिए, तालिका 3 में प्रस्तुत असतत श्रृंखला के लिए एमओ= 1, चूंकि विकल्पों का यह मान उच्चतम आवृत्ति - 75 से मेल खाता है। अंतराल श्रृंखला के मोड को निर्धारित करने के लिए, पहले निर्धारित करें मॉडल अंतराल (उच्चतम आवृत्ति वाला अंतराल)। फिर, इस अंतराल के भीतर, सुविधा का मूल्य पाया जाता है, जो एक मोड हो सकता है।

इसका मान सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

कहाँ पे एक्स मोमोडल अंतराल की निचली सीमा है; मैं मोडल अंतराल का मान है; च मोमोडल अंतराल की आवृत्ति है; च मो-1मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति है; च मो+1मोडल के बाद अंतराल की आवृत्ति है।

उदाहरण।चोरी के दोषी अपराधियों की आयु पद्धति का पता लगाएं, जिसके आंकड़े तालिका 13 में प्रस्तुत किए गए हैं।

फेसला।उच्चतम आवृत्ति अंतराल 18-28 से मेल खाती है, इसलिए, मोड इस अंतराल में होना चाहिए। इसका मान उपरोक्त सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इस प्रकार, चोरी के दोषी अपराधियों की सबसे बड़ी संख्या 24 वर्ष है।

औसत मूल्य अध्ययन के तहत घटना की समग्रता की एक सामान्यीकरण विशेषता देता है। हालांकि, अध्ययन किए गए गुण के मूल्य में उतार-चढ़ाव (भिन्नता) की डिग्री के संदर्भ में समान औसत मूल्यों वाली दो आबादी एक-दूसरे से काफी भिन्न हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक अदालत में कारावास की निम्नलिखित शर्तें दी गईं: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 साल और दूसरे में - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 साल का। दोनों ही मामलों में, अंकगणितीय माध्य 6.7 वर्ष है। हालांकि, औसत मूल्य के सापेक्ष कारावास की निर्धारित अवधि के व्यक्तिगत मूल्यों के प्रसार में ये समुच्चय एक दूसरे से काफी भिन्न होते हैं।

और पहली अदालत के लिए, जहां यह भिन्नता काफी बड़ी है, कारावास की औसत अवधि पूरी आबादी को अच्छी तरह से नहीं दर्शाती है। इस प्रकार, यदि विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य एक-दूसरे से बहुत कम भिन्न होते हैं, तो अंकगणितीय माध्य इस जनसंख्या के गुणों की काफी सांकेतिक विशेषता होगी। अन्यथा, अंकगणितीय माध्य इस जनसंख्या की एक अविश्वसनीय विशेषता होगी और व्यवहार में इसका अनुप्रयोग अप्रभावी है। इसलिए, अध्ययन किए गए गुण के मूल्यों में भिन्नता को ध्यान में रखना आवश्यक है।

उतार-चढ़ाव- ये एक ही अवधि या समय में दी गई आबादी की विभिन्न इकाइयों में एक विशेषता के मूल्यों में अंतर हैं। शब्द "भिन्नता" लैटिन मूल का है - वेरिएशन, जिसका अर्थ है अंतर, परिवर्तन, उतार-चढ़ाव। यह इस तथ्य के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है कि विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य विभिन्न कारकों (स्थितियों) के संयुक्त प्रभाव में बनते हैं, जो प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में अलग-अलग तरीकों से संयुक्त होते हैं। एक विशेषता की भिन्नता को मापने के लिए, विभिन्न निरपेक्ष और सापेक्ष संकेतकों का उपयोग किया जाता है।

भिन्नता के मुख्य संकेतकों में निम्नलिखित शामिल हैं:

1) भिन्नता की सीमा;

2) औसत रैखिक विचलन;

3) फैलाव;

4) मानक विचलन;

5) भिन्नता का गुणांक।

आइए संक्षेप में उनमें से प्रत्येक पर ध्यान दें।

अवधि भिन्नतागणना में आसानी के मामले में आर सबसे सुलभ पूर्ण संकेतक है, जिसे इस आबादी की इकाइयों के लिए विशेषता के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:

भिन्नता की सीमा (उतार-चढ़ाव की सीमा) एक विशेषता की परिवर्तनशीलता का एक महत्वपूर्ण संकेतक है, लेकिन यह केवल चरम विचलन को देखना संभव बनाता है, जो इसके दायरे को सीमित करता है। इसके उतार-चढ़ाव के आधार पर किसी विशेषता की भिन्नता के अधिक सटीक लक्षण वर्णन के लिए, अन्य संकेतकों का उपयोग किया जाता है।

औसत रैखिक विचलनमाध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के पूर्ण मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है और सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

1) के लिए असमूहीकृत डेटा

2) के लिए विविधता श्रृंखला

हालांकि, भिन्नता का सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला उपाय है फैलाव . यह अपने औसत मूल्य के सापेक्ष अध्ययन किए गए गुण के मूल्यों के प्रसार के माप की विशेषता है। विचरण को विचलन वर्ग के औसत के रूप में परिभाषित किया गया है।

सरल विचरणअसमूहीकृत डेटा के लिए:

भारित विचरणविविधता श्रृंखला के लिए:

टिप्पणी।व्यवहार में, विचरण की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करना बेहतर है:

एक साधारण भिन्नता के लिए

भारित विचरण के लिए

मानक विचलनविचरण का वर्गमूल है:

मानक विचलन माध्य की विश्वसनीयता का माप है। मानक विचलन जितना छोटा होगा, जनसंख्या उतनी ही अधिक समरूप होगी और अंकगणितीय माध्य उतना ही बेहतर होगा जो संपूर्ण जनसंख्या को दर्शाता है।

ऊपर माना गया फैलाव उपाय (भिन्नता की सीमा, भिन्नता, मानक विचलन) पूर्ण संकेतक हैं, जिसके द्वारा किसी विशेषता के उतार-चढ़ाव की डिग्री का न्याय करना हमेशा संभव नहीं होता है। कुछ समस्याओं में, सापेक्ष प्रकीर्णन सूचकांकों का उपयोग करना आवश्यक है, जिनमें से एक है भिन्नता का गुणांक।

भिन्नता का गुणांक- अंकगणित माध्य के मानक विचलन के अनुपात के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया:

भिन्नता के गुणांक का उपयोग न केवल विभिन्न लक्षणों की भिन्नता या विभिन्न आबादी में एक ही विशेषता के तुलनात्मक मूल्यांकन के लिए किया जाता है, बल्कि जनसंख्या की एकरूपता को चिह्नित करने के लिए भी किया जाता है। सांख्यिकीय जनसंख्या को मात्रात्मक रूप से सजातीय माना जाता है यदि भिन्नता का गुणांक 33% (सामान्य वितरण के करीब वितरण के लिए) से अधिक नहीं है।

उदाहरण।प्रायश्चित प्रणाली के सुधारक संस्थान में अदालत द्वारा लगाए गए सजा काटने के लिए दिए गए 50 दोषियों के कारावास की शर्तों पर निम्नलिखित डेटा है: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3।

1. कारावास की शर्तों के आधार पर एक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें।

2. माध्य, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

3. भिन्नता के गुणांक की गणना करें और अध्ययन की गई आबादी की समरूपता या विषमता के बारे में निष्कर्ष निकालें।

फेसला।असतत वितरण श्रृंखला का निर्माण करने के लिए, वेरिएंट और आवृत्तियों को निर्धारित करना आवश्यक है। इस समस्या में विकल्प कारावास की अवधि है, और आवृत्ति व्यक्तिगत विकल्पों की संख्या है। आवृत्तियों की गणना करने के बाद, हम निम्नलिखित असतत वितरण श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

माध्य और विचरण ज्ञात कीजिए। चूंकि सांख्यिकीय डेटा को एक असतत परिवर्तनशील श्रृंखला द्वारा दर्शाया जाता है, हम उनकी गणना करने के लिए अंकगणितीय भारित औसत और विचरण के सूत्रों का उपयोग करेंगे। हम पाते हैं:

= = 4,1;

= 5,21.

अब हम मानक विचलन की गणना करते हैं:

हम भिन्नता का गुणांक पाते हैं:

नतीजतन, सांख्यिकीय आबादी मात्रात्मक रूप से विषम है।

सरल अंकगणित माध्य

औसत मान

आंकड़ों में औसत मूल्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

औसत मूल्य- यह एक सामान्यीकरण संकेतक है जिसमें सामान्य परिस्थितियों की कार्रवाई की अभिव्यक्ति, अध्ययन के तहत घटना के विकास के पैटर्न पाए जाते हैं।

सांख्यिकीय औसत की गणना एक सही ढंग से सांख्यिकीय रूप से संगठित अवलोकन (निरंतर और नमूना) के बड़े पैमाने पर डेटा के आधार पर की जाती है। हालाँकि, सांख्यिकीय औसत वस्तुनिष्ठ और विशिष्ट होगा यदि इसकी गणना गुणात्मक रूप से सजातीय जनसंख्या (द्रव्यमान घटना) के लिए बड़े पैमाने पर डेटा से की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि हम संयुक्त स्टॉक कंपनियों और राज्य के स्वामित्व वाले उद्यमों में औसत वेतन की गणना करते हैं, और परिणाम को पूरी आबादी तक बढ़ाते हैं, तो औसत काल्पनिक है, क्योंकि इसकी गणना एक विषम जनसंख्या पर की जाती है, और ऐसा औसत सभी खो देता है अर्थ।

औसत की मदद से, जैसा कि यह था, अवलोकन की व्यक्तिगत इकाइयों में एक कारण या किसी अन्य कारण से उत्पन्न होने वाली विशेषता के परिमाण में अंतर को चौरसाई करना है।

उदाहरण के लिए, एक व्यक्तिगत विक्रेता का औसत उत्पादन कई कारकों पर निर्भर करता है: योग्यता, सेवा की लंबाई, आयु, सेवा का रूप, स्वास्थ्य, और इसी तरह। औसत उत्पादन पूरी आबादी की सामान्य विशेषताओं को दर्शाता है।

औसत मान को उन्हीं इकाइयों में मापा जाता है, जिनमें स्वयं विशेषता होती है।

प्रत्येक औसत मूल्य किसी एक विशेषता के अनुसार अध्ययन की गई जनसंख्या की विशेषता है। कई आवश्यक विशेषताओं के संदर्भ में अध्ययन के तहत जनसंख्या की एक पूर्ण और व्यापक तस्वीर प्राप्त करने के लिए, औसत मूल्यों की एक प्रणाली होना आवश्यक है जो विभिन्न कोणों से घटना का वर्णन कर सके।

विभिन्न प्रकार के औसत हैं:

अंकगणित औसत;

औसत हार्मोनिक;

जियोमेट्रिक माध्य;

वर्गमूल औसत का वर्ग;

औसत घन।

ऊपर सूचीबद्ध सभी प्रकारों का औसत, बदले में, सरल (बिना भारित) और भारित में विभाजित किया गया है।

आंकड़ों में उपयोग किए जाने वाले औसत के प्रकारों पर विचार करें।

साधारण अंकगणितीय माध्य (अनभारित) विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के योग के बराबर होता है, जो इन मूल्यों की संख्या से विभाजित होता है।

किसी विशेषता के अलग-अलग मान वेरिएंट कहलाते हैं और i (
); जनसंख्या इकाइयों की संख्या n द्वारा निरूपित की जाती है, विशेषता का औसत मूल्य - by . इसलिए, सरल अंकगणितीय माध्य है:

या

उदाहरण 1तालिका नंबर एक

प्रति शिफ्ट श्रमिकों द्वारा उत्पादों ए के उत्पादन पर डेटा

इस उदाहरण में, चर विशेषता प्रति शिफ्ट उत्पादों की रिहाई है।

विशेषता के संख्यात्मक मान (16, 17, आदि) को वेरिएंट कहा जाता है। आइए हम इस समूह के श्रमिकों द्वारा उत्पादों के औसत उत्पादन का निर्धारण करें:

पीसीएस।

एक साधारण अंकगणितीय माध्य का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य होते हैं, अर्थात। डेटा समूहीकृत नहीं है। यदि डेटा को वितरण श्रृंखला या समूहों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो औसत की गणना अलग तरीके से की जाती है।

अंकगणित भारित औसत

अंकगणितीय भारित औसत सभी आवृत्तियों के योग से विभाजित, संबंधित आवृत्ति द्वारा विशेषता (संस्करण) के प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य के उत्पादों के योग के बराबर है।

वितरण श्रृंखला में समान विशेषता मानों की संख्या को आवृत्ति या भार कहा जाता है और इसे f i द्वारा दर्शाया जाता है।

इसके अनुसार, अंकगणितीय भारित औसत इस तरह दिखता है:

या

यह सूत्र से देखा जा सकता है कि औसत न केवल विशेषता के मूल्यों पर निर्भर करता है, बल्कि उनकी आवृत्तियों पर भी निर्भर करता है, अर्थात। जनसंख्या की संरचना पर, इसकी संरचना पर।

उदाहरण 2तालिका 2

कार्यकर्ता वेतन डेटा

असतत वितरण श्रृंखला के आंकड़ों के अनुसार, यह देखा जा सकता है कि विशेषता (विकल्प) के समान मान कई बार दोहराए जाते हैं। तो, वैरिएंट x 1 कुल मिलाकर 2 बार आता है, और वैरिएंट x 2 - 6 बार, आदि।

प्रति कर्मचारी औसत वेतन की गणना करें:

श्रमिकों के प्रत्येक समूह के लिए मजदूरी निधि विकल्प और आवृत्ति के उत्पाद के बराबर है (
), और इन उत्पादों का योग सभी श्रमिकों की कुल मजदूरी निधि देता है (
).

यदि गणना सरल अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है, तो औसत कमाई 3,000 रूबल होगी। ()। प्रारंभिक आंकड़ों के साथ प्राप्त परिणाम की तुलना में, यह स्पष्ट है कि औसत वेतन काफी अधिक होना चाहिए (आधे से अधिक श्रमिकों को 3,000 रूबल से अधिक मजदूरी प्राप्त होती है)। इसलिए, ऐसे मामलों में सरल अंकगणितीय माध्य की गणना गलत होगी।

प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप सांख्यिकीय सामग्री न केवल असतत वितरण श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत की जा सकती है, बल्कि बंद या खुले अंतराल के साथ अंतराल भिन्नता श्रृंखला के रूप में भी प्रस्तुत की जा सकती है।

ऐसी श्रृंखला के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना पर विचार करें।

औसत है:

अर्थ

अर्थ- संख्याओं या कार्यों के एक सेट की संख्यात्मक विशेषता; - कुछ संख्या जो उनके सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों के बीच संलग्न है।

1 बुनियादी जानकारी
2 गणित में साधनों का पदानुक्रम
3 संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में
4 यह भी देखें
5 नोट्स

मूलभूत जानकारी

औसत के सिद्धांत के गठन के लिए प्रारंभिक बिंदु पाइथागोरस के स्कूल द्वारा अनुपात का अध्ययन था। उसी समय, औसत और अनुपात की अवधारणाओं के बीच कोई सख्त अंतर नहीं किया गया था। एक अंकगणितीय दृष्टिकोण से अनुपात के सिद्धांत के विकास के लिए एक महत्वपूर्ण प्रोत्साहन ग्रीक गणितज्ञों - गेरास के निकोमाचस (देर से I - प्रारंभिक द्वितीय शताब्दी ईस्वी) और अलेक्जेंड्रिया के पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) द्वारा दिया गया था। औसत की अवधारणा के विकास में पहला चरण वह चरण है जब औसत को निरंतर अनुपात का केंद्रीय सदस्य माना जाने लगा। लेकिन प्रगति के केंद्रीय मूल्य के रूप में माध्य की अवधारणा n पदों के अनुक्रम के संबंध में माध्य की अवधारणा को प्राप्त करना संभव नहीं बनाती है, भले ही वे किस क्रम में एक दूसरे का अनुसरण करते हों। इस प्रयोजन के लिए औसत के औपचारिक सामान्यीकरण का सहारा लेना आवश्यक है। अगला चरण निरंतर अनुपात से प्रगति तक संक्रमण है - अंकगणित, ज्यामितीय और हार्मोनिक।

सांख्यिकी के इतिहास में पहली बार औसत का व्यापक उपयोग अंग्रेजी वैज्ञानिक डब्ल्यू पेटी के नाम से जुड़ा है। डब्ल्यू। पेटी उन पहले लोगों में से एक थे जिन्होंने औसत मूल्य को एक सांख्यिकीय अर्थ देने की कोशिश की, इसे आर्थिक श्रेणियों से जोड़ा। लेकिन पेटीएम ने औसत मूल्य की अवधारणा, इसके आवंटन का विवरण नहीं दिया। A. क्वेटलेट को औसत मूल्यों के सिद्धांत का संस्थापक माना जाता है। वह औसत के सिद्धांत को लगातार विकसित करने वाले पहले लोगों में से एक थे, इसके लिए गणितीय आधार लाने की कोशिश कर रहे थे। A. क्वेटलेट ने दो प्रकार के औसत निकाले - वास्तविक औसत और अंकगणितीय औसत। उचित रूप से औसत एक वस्तु, एक संख्या, वास्तव में विद्यमान का प्रतिनिधित्व करते हैं। वास्तव में औसत या सांख्यिकीय औसत समान गुणवत्ता की घटनाओं से प्राप्त किया जाना चाहिए, उनके आंतरिक महत्व में समान। अंकगणित औसत वे संख्याएँ हैं जो कई संख्याओं का निकटतम संभव विचार देती हैं, भिन्न, यद्यपि सजातीय।

प्रत्येक प्रकार का औसत या तो एक साधारण औसत या भारित औसत हो सकता है। औसत रूप की पसंद की शुद्धता अध्ययन की वस्तु की भौतिक प्रकृति से होती है। साधारण औसत फ़ार्मुलों का उपयोग किया जाता है यदि औसत विशेषता के व्यक्तिगत मान दोहराए नहीं जाते हैं। जब व्यावहारिक अध्ययन में अध्ययन के तहत विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य अध्ययन के तहत जनसंख्या की इकाइयों में कई बार होते हैं, तो व्यक्तिगत गुण मूल्यों की पुनरावृत्ति की आवृत्ति शक्ति औसत के गणना सूत्रों में मौजूद होती है। इस मामले में, उन्हें भारित औसत सूत्र कहा जाता है।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

औसत मूल्य एक सामान्यीकरण संकेतक है जो घटना के विशिष्ट स्तर की विशेषता है। यह जनसंख्या की इकाई से संबंधित विशेषता के मूल्य को व्यक्त करता है।

औसत मूल्य है:

1) जनसंख्या के लिए विशेषता का सबसे विशिष्ट मूल्य;

2) जनसंख्या के चिन्ह का आयतन, जनसंख्या की इकाइयों के बीच समान रूप से वितरित।

जिस विशेषता के लिए औसत मूल्य की गणना की जाती है उसे आंकड़ों में "औसत" कहा जाता है।

औसत हमेशा गुण की मात्रात्मक भिन्नता को सामान्य करता है, अर्थात। औसत मूल्यों में, यादृच्छिक परिस्थितियों के कारण जनसंख्या की इकाइयों में व्यक्तिगत अंतर को रद्द कर दिया जाता है। औसत के विपरीत, जनसंख्या की एक व्यक्तिगत इकाई की विशेषता के स्तर को दर्शाने वाला निरपेक्ष मान विभिन्न आबादी से संबंधित इकाइयों के लिए सुविधा के मूल्यों की तुलना करने की अनुमति नहीं देता है। इसलिए, यदि दो उद्यमों में श्रमिकों के पारिश्रमिक के स्तरों की तुलना करना आवश्यक है, तो इस आधार पर विभिन्न उद्यमों के दो कर्मचारियों की तुलना करना असंभव है। तुलना के लिए चुने गए श्रमिकों की मजदूरी इन उद्यमों के लिए विशिष्ट नहीं हो सकती है। यदि हम विचाराधीन उद्यमों में वेतन निधि के आकार की तुलना करते हैं, तो कर्मचारियों की संख्या को ध्यान में नहीं रखा जाता है और इसलिए, यह निर्धारित करना असंभव है कि मजदूरी का स्तर कहाँ अधिक है। अंततः, केवल औसत की तुलना की जा सकती है, अर्थात। प्रत्येक कंपनी में एक कर्मचारी औसतन कितना कमाता है? इस प्रकार, जनसंख्या की सामान्यीकरण विशेषता के रूप में औसत मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि औसत की प्रक्रिया में, विशेषता स्तरों का कुल मूल्य या उसका अंतिम मूल्य (एक समय श्रृंखला में औसत स्तरों की गणना के मामले में) अपरिवर्तित रहना चाहिए। दूसरे शब्दों में, औसत मूल्य की गणना करते समय, अध्ययन के तहत विशेषता की मात्रा विकृत नहीं होनी चाहिए, और औसत की गणना करते समय किए गए भाव आवश्यक रूप से समझ में आने चाहिए।

औसत की गणना करना एक सामान्य सामान्यीकरण तकनीक है; औसत संकेतक उस सामान्य से इनकार करता है जो अध्ययन की गई आबादी की सभी इकाइयों के लिए विशिष्ट (विशिष्ट) है, साथ ही यह व्यक्तिगत इकाइयों के बीच के अंतरों की उपेक्षा करता है। प्रत्येक घटना और उसके विकास में संयोग और आवश्यकता का संयोग होता है। औसत की गणना करते समय, बड़ी संख्या के कानून के संचालन के कारण, यादृच्छिकता एक दूसरे को रद्द कर देती है, संतुलित हो जाती है, इसलिए आप प्रत्येक विशिष्ट मामले में विशेषता के मात्रात्मक मूल्यों से घटना की तुच्छ विशेषताओं से सार कर सकते हैं। व्यक्तिगत मूल्यों, उतार-चढ़ाव की यादृच्छिकता से अमूर्त करने की क्षमता, समुच्चय की सामान्यीकरण विशेषताओं के रूप में औसत का वैज्ञानिक मूल्य है।

औसत को सही मायने में टंकण करने के लिए, इसकी गणना कुछ सिद्धांतों को ध्यान में रखकर की जानी चाहिए।

आइए हम औसत के आवेदन के लिए कुछ सामान्य सिद्धांतों पर ध्यान दें।

1. गुणात्मक रूप से सजातीय इकाइयों वाली आबादी के लिए औसत निर्धारित किया जाना चाहिए।

2. औसत की गणना पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में इकाइयों वाली आबादी के लिए की जानी चाहिए।

3. औसत की गणना उस जनसंख्या के लिए की जानी चाहिए, जिसकी इकाइयाँ सामान्य, प्राकृतिक अवस्था में हों।

4. अध्ययन के तहत संकेतक की आर्थिक सामग्री को ध्यान में रखते हुए औसत की गणना की जानी चाहिए।

5.2. औसत के प्रकार और उनकी गणना के तरीके

आइए अब हम औसत के प्रकार, उनकी गणना की विशेषताओं और आवेदन के क्षेत्रों पर विचार करें। औसत मूल्यों को दो बड़े वर्गों में विभाजित किया जाता है: शक्ति औसत, संरचनात्मक औसत।

पावर-लॉ औसत में सबसे प्रसिद्ध और आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले प्रकार शामिल हैं, जैसे कि ज्यामितीय माध्य, अंकगणितीय माध्य और माध्य वर्ग।

बहुलक और माध्यिका को संरचनात्मक औसत माना जाता है।

आइए हम बिजली औसत पर ध्यान दें। प्रारंभिक डेटा की प्रस्तुति के आधार पर पावर औसत, सरल और भारित हो सकता है। साधारण औसतअवर्गीकृत डेटा से गणना की जाती है और इसका सामान्य रूप निम्नलिखित है:

जहाँ X i औसत विशेषता का भिन्न (मान) है;

n विकल्पों की संख्या है।

भारित औसतसमूहीकृत डेटा द्वारा गणना की जाती है और इसका एक सामान्य रूप होता है

जहाँ X i औसत विशेषता का भिन्न (मान) है या अंतराल का मध्य मान है जिसमें भिन्न को मापा जाता है;

मी माध्य का घातांक है;

f i - आवृत्ति दर्शाती है कि औसत विशेषता का i-e मान कितनी बार आता है।

यदि हम एक ही प्रारंभिक डेटा के लिए सभी प्रकार के औसत की गणना करते हैं, तो उनका मान समान नहीं होगा। यहाँ औसत के प्रमुखता का नियम लागू होता है: घातांक m में वृद्धि के साथ, संगत औसत मान भी बढ़ता है:

सांख्यिकीय अभ्यास में, अन्य प्रकार के भारित औसतों की तुलना में अधिक बार, अंकगणितीय और हार्मोनिक भारित औसत का उपयोग किया जाता है।

शक्ति के प्रकार साधन

शक्ति का प्रकार मध्य	सूचक डिग्री (एम)	गणना सूत्र
शक्ति का प्रकार मध्य	सूचक डिग्री (एम)	सरल	भारित
लयबद्ध
ज्यामितिक
अंकगणित
द्विघात
घन

हार्मोनिक माध्य में अंकगणित माध्य की तुलना में अधिक जटिल संरचना होती है। हार्मोनिक माध्य का उपयोग गणना के लिए किया जाता है जब भार जनसंख्या की इकाइयाँ नहीं होते हैं - विशेषता के वाहक, लेकिन इन इकाइयों के उत्पाद और विशेषता के मान (यानी m = Xf)। औसत हार्मोनिक डाउनटाइम का उपयोग निर्धारित करने के मामलों में किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, श्रम की औसत लागत, समय, उत्पादन की प्रति यूनिट सामग्री, प्रति भाग दो (तीन, चार, आदि) उद्यमों, के निर्माण में लगे श्रमिकों के लिए एक ही प्रकार का उत्पाद, एक ही भाग, उत्पाद।

औसत मूल्य की गणना के लिए सूत्र की मुख्य आवश्यकता यह है कि गणना के सभी चरणों का एक वास्तविक सार्थक औचित्य हो; परिणामी औसत मूल्य को व्यक्तिगत और सारांश संकेतकों के बीच संबंध को तोड़े बिना प्रत्येक वस्तु के लिए विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को प्रतिस्थापित करना चाहिए। दूसरे शब्दों में, औसत मूल्य की गणना इस तरह से की जानी चाहिए कि जब औसत संकेतक के प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य को उसके औसत मूल्य से बदल दिया जाता है, तो कुछ अंतिम सारांश संकेतक, जो एक तरह से या किसी अन्य औसत से जुड़ा होता है, अपरिवर्तित रहता है। इस परिणाम को कहा जाता है निर्धारित करनेचूंकि व्यक्तिगत मूल्यों के साथ इसके संबंध की प्रकृति औसत मूल्य की गणना के लिए विशिष्ट सूत्र निर्धारित करती है। आइए इस नियम को ज्यामितीय माध्य के उदाहरण पर दिखाते हैं।

ज्यामितीय माध्य सूत्र

डायनामिक्स के व्यक्तिगत सापेक्ष मूल्यों के औसत मूल्य की गणना करते समय सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है।

ज्यामितीय माध्य का उपयोग तब किया जाता है जब गतिशीलता के श्रृंखला सापेक्ष मूल्यों का एक क्रम दिया जाता है, उदाहरण के लिए, पिछले वर्ष के स्तर की तुलना में उत्पादन में वृद्धि: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n । जाहिर है, पिछले वर्ष में उत्पादन की मात्रा इसके प्रारंभिक स्तर (क्यू 0) और बाद के वर्षों में वृद्धि से निर्धारित होती है:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n ।

q n को एक परिभाषित संकेतक के रूप में लेते हुए और गतिकी संकेतकों के व्यक्तिगत मूल्यों को औसत के साथ बदलकर, हम संबंध पर पहुंचते हैं

यहां से

एक विशेष प्रकार के औसत मूल्य - संरचनात्मक औसत - का उपयोग विशेषता मूल्यों के वितरण की श्रृंखला की आंतरिक संरचना का अध्ययन करने के साथ-साथ औसत मूल्य (शक्ति प्रकार) का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, यदि उपलब्ध सांख्यिकीय आंकड़ों के अनुसार, इसकी गणना नहीं की जा सकती (उदाहरण के लिए, यदि माना गया उदाहरण में कोई डेटा नहीं था) और उत्पादन की मात्रा पर, और उद्यमों के समूहों द्वारा लागत की मात्रा पर)।

संकेतकों को अक्सर संरचनात्मक औसत के रूप में उपयोग किया जाता है। पहनावा -सबसे बार-बार दोहराया जाने वाला फीचर मान - और माध्यिका -एक विशेषता का मान जो उसके मानों के क्रमित अनुक्रम को संख्या के बराबर दो भागों में विभाजित करता है। नतीजतन, जनसंख्या इकाइयों के एक आधे में, विशेषता का मूल्य औसत स्तर से अधिक नहीं होता है, और दूसरे आधे में यह इससे कम नहीं होता है।

यदि अध्ययन के तहत विशेषता में असतत मान हैं, तो बहुलक और माध्यिका की गणना करने में कोई विशेष कठिनाई नहीं है। यदि विशेषता X के मानों पर डेटा को उसके परिवर्तन (अंतराल श्रृंखला) के क्रमबद्ध अंतराल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो बहुलक और माध्यिका की गणना कुछ अधिक जटिल हो जाती है। चूंकि माध्यिका मान संपूर्ण जनसंख्या को समान संख्या में दो भागों में विभाजित करता है, यह फीचर X के अंतराल में से एक में समाप्त होता है। प्रक्षेप का उपयोग करते हुए, माध्यिका मान इस माध्यिका अंतराल में पाया जाता है:

जहाँ X Me माध्यिका अंतराल की निचली सीमा है;

एच मैं इसका मूल्य है;

(योग एम) / 2 - प्रेक्षणों की कुल संख्या का आधा या संकेतक के आयतन का आधा जो औसत मूल्य (पूर्ण या सापेक्ष शब्दों में) की गणना के लिए सूत्रों में भार के रूप में उपयोग किया जाता है;

S Me-1 माध्यिका अंतराल की शुरुआत से पहले जमा हुए प्रेक्षणों (या वेटिंग फीचर का आयतन) का योग है;

मी मी प्रेक्षणों की संख्या या माध्यिका अंतराल में भार विशेषता का आयतन है (पूर्ण या सापेक्ष शब्दों में भी)।

अंतराल श्रृंखला के डेटा के अनुसार किसी सुविधा के मोडल मान की गणना करते समय, इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है कि अंतराल समान हैं, क्योंकि फीचर मान X की आवृत्ति का संकेतक इस पर निर्भर करता है। समान अंतराल वाली एक अंतराल श्रृंखला, बहुलक मान इस प्रकार निर्धारित किया जाता है

जहाँ X Mo बहुलक अंतराल का निम्न मान है;

एम मो मोडल अंतराल (पूर्ण या सापेक्ष शब्दों में) में अवलोकनों की संख्या या भार विशेषता की मात्रा है;

m Mo-1 - मोडल से पहले के अंतराल के लिए समान;

m Mo+1 - मोडल के बाद के अंतराल के लिए समान;

h समूहों में विशेषता के परिवर्तन के अंतराल का मान है।

कार्य 1

रिपोर्टिंग वर्ष के लिए औद्योगिक उद्यमों के समूह के लिए निम्नलिखित आंकड़े उपलब्ध हैं:

№ उद्यम	उत्पादन की मात्रा, मिलियन रूबल		कर्मचारियों की औसत संख्या, प्रति।	लाभ, हजार रूबल
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

निम्नलिखित अंतराल लेते हुए, उत्पादों के आदान-प्रदान के लिए उद्यमों का एक समूह बनाना आवश्यक है:

200 मिलियन रूबल तक

200 से 400 मिलियन रूबल तक

400 से 600 मिलियन रूबल तक

प्रत्येक समूह के लिए और सभी के लिए, उद्यमों की संख्या, उत्पादन की मात्रा, कर्मचारियों की औसत संख्या, प्रति कर्मचारी औसत उत्पादन निर्धारित करें। समूहीकरण के परिणाम सांख्यिकीय तालिका के रूप में प्रस्तुत किए जाने चाहिए। एक निष्कर्ष तैयार करें।

फेसला

आइए उत्पादों के आदान-प्रदान के लिए उद्यमों का एक समूह बनाएं, उद्यमों की संख्या की गणना, उत्पादन की मात्रा, कर्मचारियों की औसत संख्या एक साधारण औसत के सूत्र के अनुसार। समूहीकरण और गणना के परिणामों को एक तालिका में संक्षेपित किया गया है।

उत्पादन मात्रा के अनुसार समूह	№ उद्यम	उत्पादन की मात्रा, मिलियन रूबल	अचल संपत्तियों की औसत वार्षिक लागत, मिलियन रूबल	औसत नींद कर्मचारियों की रसदार संख्या, प्रति।	लाभ, हजार रूबल	प्रति कार्यकर्ता औसत उत्पादन
1 समूह 200 मिलियन रूबल तक	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
			28,2	2567	74,8	0,23
मध्य स्तर		198,3			24,9
2 समूह 200 से 400 मिलियन रूबल तक	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
मध्य स्तर		282,3	37,6	1530	64,0
3 समूह 400 से . तक 600 मिलियन	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
		3590	240,8	9974	846,5	0,36
मध्य स्तर		512,9	34,4	1421	120,9
कुल मिलाकर		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
कुल औसत		379,6	59,9	1223,6	79,5

निष्कर्ष। इस प्रकार, विचाराधीन कुल में, उत्पादन के मामले में उद्यमों की सबसे बड़ी संख्या तीसरे समूह में गिर गई - सात, या आधे उद्यम। अचल संपत्तियों के औसत वार्षिक मूल्य का मूल्य भी इस समूह में है, साथ ही कर्मचारियों की औसत संख्या का बड़ा मूल्य - 9974 लोग, पहले समूह के उद्यम सबसे कम लाभदायक हैं।

टास्क 2

हमारे पास कंपनी के उद्यमों पर निम्नलिखित डेटा है

कंपनी से संबंधित उद्यम की संख्या	मैं तिमाही	द्वितीय तिमाही
	आउटपुट, हजार रूबल	मानव-दिवस काम करके काम किया	प्रति कर्मचारी प्रति दिन औसत उत्पादन, रगड़।
	59390,13

eq में सबसे अधिक। व्यवहार में, किसी को अंकगणित माध्य का उपयोग करना पड़ता है, जिसकी गणना सरल और भारित अंकगणितीय माध्य के रूप में की जा सकती है।

अंकगणित माध्य (CA)-एनसबसे आम प्रकार का माध्यम। इसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां पूरी आबादी के लिए एक चर विशेषता का आयतन इसकी व्यक्तिगत इकाइयों की विशेषताओं के मूल्यों का योग होता है। सामाजिक घटनाओं को अलग-अलग विशेषता के संस्करणों की जोड़ (योग) की विशेषता है, यह एसए के दायरे को निर्धारित करता है और एक सामान्य संकेतक के रूप में इसकी व्यापकता की व्याख्या करता है, उदाहरण के लिए: सामान्य वेतन निधि सभी कर्मचारियों के वेतन का योग है।

एसए की गणना करने के लिए, आपको सभी फीचर मानों के योग को उनकी संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है।एसए 2 रूपों में प्रयोग किया जाता है।

पहले सरल अंकगणितीय माध्य पर विचार करें।

1-सीए सरल (प्रारंभिक, परिभाषित रूप) औसत विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के साधारण योग के बराबर है, जो इन मूल्यों की कुल संख्या से विभाजित होता है (इसका उपयोग तब किया जाता है जब सुविधा के अवर्गीकृत सूचकांक मान होते हैं):

की गई गणनाओं को निम्नलिखित सूत्र में संक्षेपित किया जा सकता है:

(1)

कहाँ पे - चर विशेषता का औसत मूल्य, यानी, साधारण अंकगणितीय माध्य;

का अर्थ है योग, यानी, व्यक्तिगत विशेषताओं का जोड़;

एक्स- एक चर विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य, जिन्हें वेरिएंट कहा जाता है;

एन - जनसंख्या इकाइयों की संख्या

उदाहरण 1,एक श्रमिक (ताला बनाने वाले) का औसत उत्पादन ज्ञात करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात हो कि 15 श्रमिकों में से प्रत्येक ने कितने भागों का उत्पादन किया, अर्थात। कई उद्योग दिए। विशेषता मान, पीसी।: 21; 20; 20; उन्नीस; 21; उन्नीस; अठारह; 22; उन्नीस; 20; 21; 20; अठारह; उन्नीस; 20.

एसए सरल की गणना सूत्र (1), पीसी द्वारा की जाती है।

उदाहरण2. आइए 20 स्टोर्स के सशर्त डेटा के आधार पर SA की गणना करें जो एक ट्रेडिंग कंपनी (तालिका 1) का हिस्सा हैं। तालिका नंबर एक

ट्रेडिंग कंपनी "वेस्ना" की दुकानों का व्यापार क्षेत्र द्वारा वितरण, वर्ग। एम

स्टोर नंबर		स्टोर नंबर

औसत स्टोर क्षेत्र की गणना करने के लिए ( ) सभी दुकानों के क्षेत्रों को जोड़ना और परिणाम को दुकानों की संख्या से विभाजित करना आवश्यक है:

इस प्रकार, व्यापार उद्यमों के इस समूह के लिए औसत स्टोर क्षेत्र 71 वर्ग मीटर है।

इसलिए, यह निर्धारित करने के लिए कि एसए सरल है, किसी दिए गए विशेषता के सभी मूल्यों के योग को इस विशेषता वाली इकाइयों की संख्या से विभाजित करना आवश्यक है।

कहाँ पे एफ 1 , एफ 2 , … ,एफ एन – वजन (समान सुविधाओं की पुनरावृत्ति की आवृत्ति);

सुविधाओं और उनकी आवृत्तियों के परिमाण के उत्पादों का योग है;

जनसंख्या इकाइयों की कुल संख्या है।

- एसए भारित - साथविकल्पों के बीच में, जिन्हें अलग-अलग बार दोहराया जाता है, या कहा जाता है कि अलग-अलग भार हैं। भार विभिन्न जनसंख्या समूहों में इकाइयों की संख्या है (समूह समान विकल्पों को जोड़ता है)। एसए भारित – समूहीकृत मूल्यों का औसत एक्स 1 , एक्स 2 , .., एक्सएन – परिकलित:

(2)

कहाँ एक्स- विकल्प;

एफ- आवृत्ति (वजन)।

एसए भारित सभी आवृत्तियों के योग से विभिन्न प्रकार के उत्पादों के योग और उनकी संबंधित आवृत्तियों को विभाजित करने का भागफल है। आवृत्तियां ( एफ) एसए फॉर्मूला में दिखने को आमतौर पर कहा जाता है तराजू, जिसके परिणामस्वरूप भार को ध्यान में रखते हुए गणना की गई एसए को भारित एसए कहा जाता है।

हम ऊपर दिए गए उदाहरण 1 का उपयोग करके भारित एसए की गणना के लिए तकनीक का वर्णन करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम प्रारंभिक डेटा को समूहित करते हैं और उन्हें तालिका में रखते हैं।

समूहीकृत डेटा का औसत निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: पहले, विकल्पों को आवृत्तियों से गुणा किया जाता है, फिर उत्पादों को जोड़ा जाता है और परिणामी योग को आवृत्तियों के योग से विभाजित किया जाता है।

सूत्र (2) के अनुसार, भारित SA है, PC.:

भागों के विकास के लिए श्रमिकों का वितरण

पी

पिछले उदाहरण 2 में दिए गए डेटा को सजातीय समूहों में जोड़ा जा सकता है, जिन्हें तालिका में प्रस्तुत किया गया है। टेबल

खुदरा क्षेत्र द्वारा वेसना भंडार का वितरण, वर्ग. एम

इस प्रकार, परिणाम वही है। हालांकि, यह पहले से ही अंकगणितीय भारित औसत होगा।

पिछले उदाहरण में, हमने अंकगणितीय औसत की गणना की, बशर्ते कि निरपेक्ष आवृत्तियों (भंडारों की संख्या) ज्ञात हो। हालाँकि, कुछ मामलों में पूर्ण आवृत्तियाँ नहीं होती हैं, लेकिन सापेक्ष आवृत्तियों को जाना जाता है, या, जैसा कि उन्हें आमतौर पर कहा जाता है, आवृत्तियाँ जो अनुपात दर्शाती हैं यापूरी आबादी में आवृत्तियों का अनुपात।

SA भारित उपयोग की गणना करते समय आवृत्तियोंजब आवृत्ति बड़ी, बहु-अंकीय संख्याओं में व्यक्त की जाती है, तो आपको गणनाओं को सरल बनाने की अनुमति देता है। गणना उसी तरह की जाती है, हालांकि, चूंकि औसत मूल्य 100 गुना बढ़ जाता है, परिणाम को 100 से विभाजित किया जाना चाहिए।

तब अंकगणितीय भारित औसत का सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

कहाँ पे डी- आवृत्ति, अर्थात। सभी आवृत्तियों के कुल योग में प्रत्येक आवृत्ति का हिस्सा।

(3)

हमारे उदाहरण 2 में, हम पहले कंपनी "स्प्रिंग" के स्टोरों की कुल संख्या में समूहों द्वारा स्टोर की हिस्सेदारी निर्धारित करते हैं। तो, पहले समूह के लिए, विशिष्ट गुरुत्व 10% से मेल खाती है
. हमें निम्नलिखित डेटा मिलता है: टेबल तीन

सांख्यिकीय समुच्चय की इकाइयों के संकेत उनके अर्थ में भिन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, किसी उद्यम के एक पेशे के श्रमिकों की मजदूरी समान अवधि के लिए समान नहीं होती है, समान उत्पादों के लिए बाजार मूल्य अलग-अलग होते हैं, खेतों में फसल की पैदावार क्षेत्र के आदि इसलिए, अध्ययन के तहत इकाइयों की पूरी आबादी की विशेषता विशेषता के मूल्य को निर्धारित करने के लिए, औसत मूल्यों की गणना की जाती है।
औसत मूल्य – यह कुछ मात्रात्मक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के समुच्चय की एक सामान्यीकरण विशेषता है।

मात्रात्मक विशेषता द्वारा अध्ययन की गई जनसंख्या में व्यक्तिगत मूल्य होते हैं; वे सामान्य कारणों और व्यक्तिगत स्थितियों दोनों से प्रभावित होते हैं। औसत मूल्य में, व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन विशेषता को रद्द कर दिया जाता है। औसत, व्यक्तिगत मूल्यों के एक समूह का एक कार्य होने के नाते, एक मूल्य के साथ पूरे सेट का प्रतिनिधित्व करता है और उस सामान्य चीज़ को दर्शाता है जो इसकी सभी इकाइयों में निहित है।

गुणात्मक रूप से सजातीय इकाइयों वाली आबादी के लिए गणना की गई औसत को कहा जाता है सामान्य औसत. उदाहरण के लिए, आप एक या किसी अन्य पेशेवर समूह (खनिक, डॉक्टर, लाइब्रेरियन) के कर्मचारी के औसत मासिक वेतन की गणना कर सकते हैं। बेशक, खनिकों के मासिक वेतन के स्तर, उनकी योग्यता, सेवा की लंबाई, प्रति माह काम करने के घंटे और कई अन्य कारकों में अंतर के कारण, एक दूसरे से और औसत मजदूरी के स्तर से भिन्न होते हैं। हालांकि, औसत स्तर मुख्य कारकों को दर्शाता है जो मजदूरी के स्तर को प्रभावित करते हैं, और कर्मचारी की व्यक्तिगत विशेषताओं के कारण उत्पन्न होने वाले मतभेदों को पारस्परिक रूप से ऑफसेट करते हैं। औसत वेतन इस प्रकार के कार्यकर्ता के लिए मजदूरी के विशिष्ट स्तर को दर्शाता है। एक विशिष्ट औसत प्राप्त करने से पहले यह विश्लेषण किया जाना चाहिए कि यह जनसंख्या गुणात्मक रूप से सजातीय कैसे है। यदि जनसंख्या में अलग-अलग भाग होते हैं, तो इसे विशिष्ट समूहों (अस्पताल में औसत तापमान) में विभाजित किया जाना चाहिए।

विषम समष्टि की विशेषताओं के रूप में प्रयुक्त औसत मान कहलाते हैं सिस्टम औसत. उदाहरण के लिए, प्रति व्यक्ति सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) का औसत मूल्य, प्रति व्यक्ति वस्तुओं के विभिन्न समूहों की औसत खपत और अन्य समान मूल्य, जो एक एकल आर्थिक प्रणाली के रूप में राज्य की सामान्य विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

औसत की गणना पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में इकाइयों वाली आबादी के लिए की जानी चाहिए। बड़ी संख्या में कानून लागू होने के लिए इस शर्त का अनुपालन आवश्यक है, जिसके परिणामस्वरूप सामान्य प्रवृत्ति से व्यक्तिगत मूल्यों के यादृच्छिक विचलन एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

औसत के प्रकार और उनकी गणना के तरीके

औसत के प्रकार का चुनाव एक निश्चित संकेतक की आर्थिक सामग्री और प्रारंभिक डेटा द्वारा निर्धारित किया जाता है। हालांकि, किसी भी औसत मूल्य की गणना की जानी चाहिए ताकि जब यह औसत विशेषता के प्रत्येक संस्करण को बदल दे, तो अंतिम, सामान्यीकरण, या, जैसा कि आमतौर पर कहा जाता है, परिवर्तित नहीं होता है। परिभाषित संकेतक, जो औसत से संबंधित है। उदाहरण के लिए, पथ के अलग-अलग खंडों पर वास्तविक गति को प्रतिस्थापित करते समय, उनकी औसत गति वाहन द्वारा एक ही समय में तय की गई कुल दूरी को नहीं बदलनी चाहिए; औसत वेतन के साथ उद्यम के व्यक्तिगत कर्मचारियों के वास्तविक वेतन को प्रतिस्थापित करते समय, वेतन निधि में परिवर्तन नहीं होना चाहिए। नतीजतन, प्रत्येक विशिष्ट मामले में, उपलब्ध आंकड़ों की प्रकृति के आधार पर, संकेतक का केवल एक वास्तविक औसत मूल्य होता है जो अध्ययन के तहत सामाजिक-आर्थिक घटना के गुणों और सार के लिए पर्याप्त होता है।
सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले अंकगणित माध्य, हार्मोनिक माध्य, ज्यामितीय माध्य, माध्य वर्ग और माध्य घन हैं।
सूचीबद्ध औसत वर्ग के हैं शक्तिऔसत और सामान्य सूत्र द्वारा संयुक्त हैं:
,
अध्ययन की गई विशेषता का औसत मूल्य कहां है;
मी माध्य का घातांक है;
- औसत विशेषता का वर्तमान मूल्य (संस्करण);
n सुविधाओं की संख्या है।
घातांक m के मान के आधार पर, निम्न प्रकार की शक्ति औसत प्रतिष्ठित हैं:
एम = -1 पर - माध्य हार्मोनिक;
एम = 0 पर - ज्यामितीय माध्य;
एम = 1 पर - अंकगणितीय माध्य;
m = 2 पर - मूल माध्य वर्ग;
एम = 3 पर - औसत घन।
समान प्रारंभिक डेटा का उपयोग करते समय, उपरोक्त सूत्र में घातांक m जितना बड़ा होगा, औसत मान का मान उतना ही बड़ा होगा:
.
शक्ति-नियम के इस गुण का अर्थ है कि परिभाषित कार्य के घातांक में वृद्धि के साथ वृद्धि करना कहलाता है साधनों के बहुमत का नियम.
प्रत्येक चिह्नित औसत दो रूप ले सकता है: सरलऔर भारित.
मध्य का सरल रूपतब लागू होता है जब औसत की गणना प्राथमिक (अवर्गीकृत) डेटा पर की जाती है। भारित रूप- माध्यमिक (समूहीकृत) डेटा के लिए औसत की गणना करते समय।

अंकगणित औसत

अंकगणित माध्य का उपयोग तब किया जाता है जब जनसंख्या का आयतन भिन्न विशेषता के सभी व्यक्तिगत मूल्यों का योग होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि औसत का प्रकार इंगित नहीं किया गया है, तो अंकगणितीय औसत मान लिया जाता है। इसका तार्किक सूत्र है:

सरल अंकगणित माध्यगणना असमूहीकृत डेटा द्वारा सूत्र के अनुसार:
या ,
विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य कहां हैं;
j प्रेक्षण की इकाई की क्रम संख्या है, जिसे मान द्वारा अभिलक्षित किया जाता है;
एन अवलोकन इकाइयों (सेट आकार) की संख्या है।
उदाहरण।व्याख्यान "सांख्यिकीय डेटा का सारांश और समूहीकरण" में, 10 लोगों की एक टीम के कार्य अनुभव को देखने के परिणामों पर विचार किया गया। ब्रिगेड के कर्मचारियों के औसत कार्य अनुभव की गणना करें। 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

अंकगणित माध्य सरल के सूत्र के अनुसार, कोई भी गणना करता है कालानुक्रमिक औसत, यदि समय अंतराल जिसके लिए विशेषता मान प्रस्तुत किए जाते हैं, समान हैं।
उदाहरण।पहली तिमाही के लिए बेचे गए उत्पादों की मात्रा 47 डेन थी। इकाइयाँ, दूसरे 54 के लिए, तीसरे 65 के लिए और चौथे 58 डेन के लिए। इकाइयों औसत तिमाही कारोबार (47+54+65+58)/4 = 56 डेन है। इकाइयों
यदि कालानुक्रमिक श्रृंखला में क्षणिक संकेतक दिए गए हैं, तो औसत की गणना करते समय, उन्हें अवधि की शुरुआत और अंत में आधे-अधूरे मूल्यों से बदल दिया जाता है।
यदि दो से अधिक क्षण हैं और उनके बीच का अंतराल समान है, तो औसत कालक्रम के लिए सूत्र का उपयोग करके औसत की गणना की जाती है

,
जहां n समय बिंदुओं की संख्या है
जब डेटा को विशेषता मानों द्वारा समूहीकृत किया जाता है (यानी, एक असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला का निर्माण किया गया है) के साथ भारित अंकगणित माध्यया तो आवृत्ति या विशेषता के विशिष्ट मूल्यों के अवलोकन की आवृत्तियों का उपयोग करके गणना की जाती है, जिसकी संख्या (के) टिप्पणियों की संख्या (एन) से काफी कम है।
,
,
जहाँ k भिन्नता श्रृंखला के समूहों की संख्या है,
मैं भिन्नता श्रृंखला के समूह की संख्या है।
चूँकि , तथा , हम व्यावहारिक गणनाओं के लिए प्रयुक्त सूत्र प्राप्त करते हैं:
और
उदाहरण।आइए समूहबद्ध श्रृंखला के लिए कार्य करने वाली टीमों की औसत सेवा अवधि की गणना करें।
ए) आवृत्तियों का उपयोग करना:

बी) आवृत्तियों का उपयोग करना:

जब डेटा को अंतराल द्वारा समूहीकृत किया जाता है , अर्थात। अंतराल वितरण श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं; अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय, अंतराल के मध्य को इस अंतराल में जनसंख्या इकाइयों के एक समान वितरण की धारणा के आधार पर सुविधा के मूल्य के रूप में लिया जाता है। गणना सूत्रों के अनुसार की जाती है:
और
अंतराल के बीच में कहाँ है: ,
जहां और अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएं हैं (बशर्ते कि इस अंतराल की ऊपरी सीमा अगले अंतराल की निचली सीमा के साथ मेल खाती हो)।

उदाहरण।आइए 30 श्रमिकों के वार्षिक वेतन के अध्ययन के परिणामों से निर्मित अंतराल भिन्नता श्रृंखला के अंकगणितीय माध्य की गणना करें (व्याख्यान "सांख्यिकीय डेटा का सारांश और समूहीकरण" देखें)।
तालिका 1 - वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला।

अंतराल, UAH	आवृत्ति, प्रति।	आवृत्ति,	अंतराल के बीच
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH या UAH
प्रारंभिक डेटा और अंतराल भिन्नता श्रृंखला के आधार पर गणना किए गए अंकगणितीय साधन अंतराल के भीतर विशेषता मानों के असमान वितरण के कारण मेल नहीं खा सकते हैं। इस मामले में, अंकगणितीय भारित औसत की अधिक सटीक गणना के लिए, किसी को अंतराल के मध्य का उपयोग नहीं करना चाहिए, लेकिन प्रत्येक समूह के लिए गणना किए गए अंकगणितीय सरल औसत ( समूह औसत) समूह से परिकलित औसत का अर्थ है भारित गणना सूत्र का उपयोग करना कहलाता है सामान्य औसत.
अंकगणित माध्य में कई गुण होते हैं।
1. माध्य से भिन्न के विचलन का योग शून्य है:
.
2. यदि विकल्प के सभी मान A से बढ़ते या घटते हैं, तो औसत मान उसी मान A से बढ़ता या घटता है:

3. यदि प्रत्येक विकल्प को B गुना बढ़ाया या घटाया जाता है, तो औसत मान भी उतने ही गुणा से बढ़ेगा या घटेगा:
या
4. आवृत्तियों द्वारा प्रकार के उत्पादों का योग औसत मूल्य के उत्पाद के बराबर आवृत्तियों के योग के बराबर होता है:

5. यदि सभी आवृत्तियों को किसी संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य नहीं बदलेगा:

6) यदि सभी अंतरालों में आवृत्तियाँ एक दूसरे के बराबर हों, तो अंकगणितीय भारित औसत साधारण अंकगणितीय औसत के बराबर होता है:
,
जहां k भिन्नता श्रृंखला में समूहों की संख्या है।

औसत के गुणों का उपयोग करने से आप इसकी गणना को सरल बना सकते हैं।
मान लीजिए कि सभी विकल्प (x) को पहले समान संख्या A से घटाया जाता है, और फिर B के कारक से घटाया जाता है। सबसे बड़ा सरलीकरण तब प्राप्त होता है जब उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल के मध्य के मान को A के रूप में चुना जाता है, और अंतराल के मान को B (समान अंतराल वाली पंक्तियों के लिए) के रूप में चुना जाता है। मात्रा A को मूल कहा जाता है, इसलिए औसत की गणना करने की यह विधि कहलाती है मार्गबी सशर्त शून्य से ओम संदर्भया पलों का रास्ता.
इस तरह के परिवर्तन के बाद, हम एक नई विविधता वितरण श्रृंखला प्राप्त करते हैं, जिसके वेरिएंट बराबर होते हैं। उनका अंकगणितीय माध्य, कहा जाता है पहले आदेश का क्षण,सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है और दूसरे और तीसरे गुणों के अनुसार, अंकगणितीय माध्य मूल संस्करण के माध्य के बराबर होता है, पहले A से घटाया जाता है, और फिर B गुना, अर्थात .
ग्रहण करना वास्तविक औसत(मूल पंक्ति के मध्य में) आपको पहले क्रम के क्षण को B से गुणा करना होगा और A जोड़ना होगा:

आघूर्णों की विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना तालिका में दिए गए डेटा द्वारा सचित्र है। 2.
तालिका 2 - उद्यम की दुकान के कर्मचारियों की सेवा की लंबाई के अनुसार वितरण

कार्य अनुभव, वर्ष	श्रमिकों की राशि	अंतराल मध्यबिंदु
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

पहले आदेश का क्षण ढूँढना . फिर, यह जानते हुए कि ए = 17.5, और बी = 5, हम दुकान के कर्मचारियों के औसत कार्य अनुभव की गणना करते हैं:
वर्षों

औसत हार्मोनिक
जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, अंकगणितीय माध्य का उपयोग उन मामलों में एक विशेषता के औसत मूल्य की गणना के लिए किया जाता है जहां इसके वेरिएंट x और उनकी आवृत्तियों f ज्ञात हैं।
यदि सांख्यिकीय जानकारी में जनसंख्या के अलग-अलग विकल्प x के लिए आवृत्तियों f शामिल नहीं है, लेकिन उनके उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो सूत्र लागू होता है औसत हार्मोनिक भारित. औसत की गणना करने के लिए, इंगित करें कि कहां से। इन भावों को भारित अंकगणितीय माध्य सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम भारित हार्मोनिक माध्य सूत्र प्राप्त करते हैं:
,
संख्या i (i=1,2,…, k) के साथ अंतराल में संकेतक विशेषता मानों का आयतन (वजन) कहां है।

इस प्रकार, हार्मोनिक माध्य का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां यह विकल्प स्वयं नहीं होते हैं जो योग के अधीन होते हैं, बल्कि उनके पारस्परिक होते हैं: .
ऐसे मामलों में जहां प्रत्येक विकल्प का भार एक के बराबर है, अर्थात। व्युत्क्रम विशेषता के व्यक्तिगत मान एक बार होते हैं, लागू करें सरल हार्मोनिक माध्य:
,
व्युत्क्रम विशेषता के अलग-अलग रूप कहां हैं जो एक बार होते हैं;
एन विकल्पों की संख्या है।
यदि जनसंख्या के दो भागों के लिए और की संख्या के साथ हार्मोनिक औसत हैं, तो संपूर्ण जनसंख्या के लिए कुल औसत की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

और बुलाया समूह के भारित हार्मोनिक माध्य का अर्थ है.

उदाहरण।मुद्रा विनिमय पर कारोबार के पहले घंटे के दौरान तीन सौदे किए गए। रिव्निया बिक्री की मात्रा और अमेरिकी डॉलर के मुकाबले रिव्निया विनिमय दर पर डेटा तालिका में दिया गया है। 3 (कॉलम 2 और 3)। व्यापार के पहले घंटे के लिए अमेरिकी डॉलर के मुकाबले रिव्निया की औसत विनिमय दर निर्धारित करें।
तालिका 3 - मुद्रा विनिमय पर व्यापार के दौरान डेटा

औसत डॉलर विनिमय दर सभी लेन-देन के दौरान बेची गई रिव्निया की मात्रा के अनुपात से उसी लेनदेन के परिणामस्वरूप अर्जित डॉलर की राशि से निर्धारित होती है। रिव्निया बिक्री की कुल राशि तालिका के कॉलम 2 से जानी जाती है, और प्रत्येक लेनदेन में खरीदे गए डॉलर की राशि को रिव्निया बिक्री राशि को उसकी विनिमय दर (कॉलम 4) से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है। तीन लेनदेन के दौरान कुल $22 मिलियन की खरीदारी की गई। इसका मतलब है कि एक डॉलर के लिए औसत रिव्निया विनिमय दर थी
.
परिणामी मान वास्तविक है, क्योंकि लेन-देन में वास्तविक रिव्निया विनिमय दरों का उनका प्रतिस्थापन रिव्निया की बिक्री की कुल राशि को नहीं बदलेगा, जो इस प्रकार कार्य करता है परिभाषित संकेतक: एमएलएन UAH
यदि अंकगणित माध्य का उपयोग गणना के लिए किया गया था, अर्थात। रिव्निया, फिर 22 मिलियन डॉलर की खरीद के लिए विनिमय दर पर। 110.66 करोड़ UAH खर्च करने होंगे, जो सच नहीं है।

जियोमेट्रिक माध्य
ज्यामितीय माध्य का उपयोग घटना की गतिशीलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है और आपको औसत विकास दर निर्धारित करने की अनुमति देता है। ज्यामितीय माध्य की गणना करते समय, विशेषता के व्यक्तिगत मान गतिकी के सापेक्ष संकेतक होते हैं, जो श्रृंखला मूल्यों के रूप में निर्मित होते हैं, प्रत्येक स्तर के पिछले एक के अनुपात के रूप में।
ज्यामितीय सरल माध्य की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
,
उत्पाद का संकेत कहां है,
एन औसत मूल्यों की संख्या है।
उदाहरण। 4 वर्षों में पंजीकृत अपराधों की संख्या में 1.57 गुना की वृद्धि हुई, जिसमें पहली - 1.08 गुना, दूसरी - 1.1 गुना, तीसरी - 1.18 और चौथी - 1.12 गुना शामिल हैं। फिर अपराधों की संख्या की औसत वार्षिक वृद्धि दर है: , अर्थात। पंजीकृत अपराधों की संख्या में सालाना औसतन 12% की वृद्धि हुई है।

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

भारित माध्य वर्ग की गणना करने के लिए, हम निर्धारित करते हैं और तालिका में दर्ज करते हैं। फिर किसी दिए गए मानदंड से उत्पादों की लंबाई के विचलन का औसत मूल्य इसके बराबर है:

इस मामले में अंकगणितीय माध्य अनुपयुक्त होगा, क्योंकि परिणामस्वरूप, हमें शून्य विचलन प्राप्त होगा।
मूल माध्य वर्ग के उपयोग पर बाद में विचरण के घातांक में चर्चा की जाएगी।

गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में, छात्र अंकगणित माध्य की अवधारणा से परिचित हो जाते हैं। भविष्य में, सांख्यिकी और कुछ अन्य विज्ञानों में, छात्रों को दूसरों की गणना का सामना करना पड़ता है वे क्या हो सकते हैं और वे एक दूसरे से कैसे भिन्न होते हैं?

अर्थ और अंतर

हमेशा सटीक संकेतक स्थिति की समझ नहीं देते हैं। इस या उस स्थिति का आकलन करने के लिए, कभी-कभी बड़ी संख्या में आंकड़ों का विश्लेषण करना आवश्यक होता है। और फिर औसत बचाव के लिए आते हैं। वे आपको सामान्य रूप से स्थिति का आकलन करने की अनुमति देते हैं।

स्कूल के दिनों से, कई वयस्क अंकगणितीय माध्य के अस्तित्व को याद करते हैं। गणना करना बहुत आसान है - n पदों के अनुक्रम का योग n से विभाज्य है। यही है, यदि आपको 27, 22, 34 और 37 के मूल्यों के अनुक्रम में अंकगणितीय माध्य की गणना करने की आवश्यकता है, तो आपको 4 मानों के बाद से अभिव्यक्ति (27 + 22 + 34 + 37) / 4 को हल करने की आवश्यकता है। \u200b\u200bका उपयोग गणना में किया जाता है। इस मामले में, वांछित मूल्य 30 के बराबर होगा।

अक्सर, स्कूली पाठ्यक्रम के भाग के रूप में, ज्यामितीय माध्य का भी अध्ययन किया जाता है। इस मान की गणना n पदों के गुणनफल से nवीं डिग्री के मूल को निकालने पर आधारित है। यदि हम समान संख्याएँ लेते हैं: 27, 22, 34 और 37, तो गणना का परिणाम 29.4 होगा।

सामान्य शिक्षा विद्यालय में हार्मोनिक माध्य आमतौर पर अध्ययन का विषय नहीं होता है। हालाँकि, इसका उपयोग काफी बार किया जाता है। यह मान अंकगणित माध्य का व्युत्क्रम है और इसकी गणना n के भागफल के रूप में की जाती है - मानों की संख्या और योग 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n । यदि हम इसे फिर से गणना के लिए लेते हैं, तो हार्मोनिक 29.6 होगा।

भारित औसत: विशेषताएं

हालाँकि, उपरोक्त सभी मानों का उपयोग हर जगह नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आंकड़ों में, कुछ की गणना करते समय, गणना में प्रयुक्त प्रत्येक संख्या का "वजन" एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। परिणाम अधिक खुलासा और सही हैं क्योंकि वे अधिक जानकारी को ध्यान में रखते हैं। मूल्यों के इस समूह को सामूहिक रूप से "भारित औसत" कहा जाता है। वे स्कूल में पास नहीं हुए हैं, इसलिए यह उन पर अधिक विस्तार से रहने लायक है।

सबसे पहले, यह समझाने योग्य है कि किसी विशेष मूल्य के "वजन" का क्या अर्थ है। इसे समझाने का सबसे आसान तरीका एक ठोस उदाहरण है। अस्पताल में प्रत्येक रोगी के शरीर का तापमान दिन में दो बार मापा जाता है। अस्पताल के विभिन्न विभागों के 100 मरीजों में से 44 का तापमान सामान्य रहेगा- 36.6 डिग्री। एक और 30 का बढ़ा हुआ मान होगा - 37.2, 14 - 38, 7 - 38.5, 3 - 39, और शेष दो - 40। और अगर हम अंकगणितीय माध्य लेते हैं, तो अस्पताल के लिए सामान्य रूप से यह मान 38 डिग्री से अधिक होगा। ! लेकिन लगभग आधे रोगियों में बिल्कुल और यहाँ भारित औसत का उपयोग करना अधिक सही होगा, और प्रत्येक मान का "वजन" लोगों की संख्या होगी। इस मामले में, गणना का परिणाम 37.25 डिग्री होगा। अंतर स्पष्ट है।

भारित औसत गणना के मामले में, "वजन" को शिपमेंट की संख्या के रूप में लिया जा सकता है, किसी दिए गए दिन काम करने वाले लोगों की संख्या, सामान्य तौर पर, कुछ भी जिसे मापा जा सकता है और अंतिम परिणाम को प्रभावित कर सकता है।

किस्मों

भारित औसत लेख की शुरुआत में चर्चा किए गए अंकगणितीय औसत से मेल खाता है। हालाँकि, पहला मान, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, गणना में प्रयुक्त प्रत्येक संख्या के वजन को भी ध्यान में रखता है। इसके अलावा, भारित ज्यामितीय और हार्मोनिक मूल्य भी हैं।

संख्याओं की श्रृंखला में उपयोग की जाने वाली एक और दिलचस्प किस्म है। यह एक भारित चलती औसत है। इसके आधार पर प्रवृत्तियों की गणना की जाती है। स्वयं के मूल्यों और उनके वजन के अलावा, वहाँ आवधिकता का भी उपयोग किया जाता है। और किसी समय औसत मूल्य की गणना करते समय, पिछली समय अवधि के मूल्यों को भी ध्यान में रखा जाता है।

इन सभी मूल्यों की गणना करना इतना मुश्किल नहीं है, लेकिन व्यवहार में आमतौर पर केवल सामान्य भारित औसत का उपयोग किया जाता है।

गणना के तरीके

कम्प्यूटरीकरण के युग में, भारित औसत की मैन्युअल रूप से गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। हालांकि, गणना सूत्र को जानना उपयोगी होगा ताकि आप जांच कर सकें और यदि आवश्यक हो, तो प्राप्त परिणामों को सही कर सकें।

एक विशिष्ट उदाहरण पर गणना पर विचार करना सबसे आसान होगा।

किसी विशेष वेतन को प्राप्त करने वाले श्रमिकों की संख्या को ध्यान में रखते हुए, यह पता लगाना आवश्यक है कि इस उद्यम में औसत वेतन क्या है।

तो, भारित औसत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

उदाहरण के लिए, गणना होगी:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33.48

जाहिर है, भारित औसत की मैन्युअल रूप से गणना करने में कोई विशेष कठिनाई नहीं है। सूत्रों के साथ सबसे लोकप्रिय अनुप्रयोगों में से एक में इस मान की गणना करने का सूत्र - एक्सेल - SUMPRODUCT (संख्याओं की श्रृंखला; भार की श्रृंखला) / SUM (वजन की श्रृंखला) फ़ंक्शन जैसा दिखता है।

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