समीकरणों की सममित प्रणाली कैसे हल करें। समीकरणों की सममित प्रणालियों का समाधान

− 4 1+ 4

−6

27≡ 0,

−4 x +4 y +27

+(y +6)

एक्स = 1, एक्स

(एक्स - 1 )

= −6.

वाई = -6

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण का हल अभी तक निकाय का हल नहीं है। परिणामी संख्याओं को सिस्टम के शेष प्रथम समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। इस मामले में, प्रतिस्थापन के बाद, हम एक पहचान प्राप्त करते हैं।

उत्तर: (1, - 6)।♦

5. सजातीय समीकरण और सिस्टम
फंक्शन एफ (एक्स, वाई)	बुलाया	सजातीय		कश्मीर अगर
f (tx, ty) = tk f(x, y) ।	उदाहरण के लिए, फलन f (x ,y ) = 4x 3 y - 5xy 3 + x 2 y 2
डिग्री 4 का समांगी है, क्योंकि		f(tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx ) 2 (ty ) 2 = t 4 (4x 3 y - 5xy 3 + x 2 y 2 ) । समीकरण f (x, y) = 0, जहाँ				एफ (एक्स, वाई) -

सजातीय कार्य को सजातीय कहा जाता है। यह समीकरण को कम करता है

एक अज्ञात के साथ, यदि हम एक नया चर t = x y पेश करते हैं।

एफ (एक्स, वाई) = ए,

दो चर के साथ प्रणाली जी (एक्स, वाई) \u003d बी, जहां एफ (एक्स, वाई), जी (एक्स, वाई) -

एक ही डिग्री के सजातीय कार्यों को सजातीय कहा जाता है। यदि ab 0 है, तो पहले समीकरण को b से, दूसरे को a से गुणा करें और आप-

हम एक की दूसरे से तुलना करते हैं - हमें एक समान प्रणाली मिलती है

बीएफ (एक्स, वाई) - एजी (एक्स, वाई) = 0, जी (एक्स, वाई) = बी।

चरों के परिवर्तन से पहला समीकरण t =

(या टी =

) कम कर देता है

एक अज्ञात के साथ समीकरण।

अगर ए = 0

(बी = 0) , तो समीकरण f (x ,y ) = 0(g (x ,y ) = 0) को प्रतिस्थापित करके

चर टी =

(या टी =

) एक अज्ञात के साथ एक समीकरण को कम कर देता है

-xy+y

21 ,

उदाहरण 20. (मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 2001, रसायन विज्ञान विभाग) प्रणाली को हल करें

− 2xy + 15= 0.

2012-2013 शैक्षणिक वर्ष वर्ष, नंबर 1, 11 सेल। गणित। बीजीय समीकरण, असमानता, सिस्टम

- xy + y 2 =21,

- xy +y 2

y2 - 2xy

-2xy = -15

2xy = - 15

एक्स ≠ 0, वाई ≠ 0;

19 ± 11

5x2 - 19xy + 12y2 = 0 5

− 19

12 = 0

-2xy = -15

एक्स = 3y,

वाई = ± 5।

3 ) ,

(− 3 3;−

3 ) ,(4; 5) ,

(− 4;− 5) .♦

6. सममित प्रणाली

एफ (एक्स, वाई)

बुलाया

सममित,

एफ (एक्स, वाई) = एफ (वाई, एक्स) ।

एफ (एक्स, वाई) = ए

फॉर्म के समीकरणों की प्रणाली

जहां एफ (एक्स, वाई), जी (एक्स, वाई) - सममित-

जी (एक्स, वाई) = बी,

रिक, एक सममित प्रणाली कहा जाता है। ऐसे सिस्टम

अक्सर	केवल नए की शुरूआत के माध्यम से	चर
एक्स + वाई = यू, एक्सवाई

x 3+ x 3y 3+ y 3= 17,

उदाहरण 21. समीकरणों की प्रणाली को हल करें

x + xy+ y= 5 ।

यह एक बीजीय (सममित) प्रणाली है, जिसे आमतौर पर x + y = u ,xy = v बदलकर हल किया जाता है। यह देखते हुए कि

x 3+ x 3y 3+ y 3= (x + y ) (x 2− xy + y 2) + x 3y 3=

= (x+ y) ((x+ y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u(u2 − 3 v) + v3 ,

सिस्टम को फॉर्म में फिर से लिखें

2012-2013 शैक्षणिक वर्ष वर्ष, नंबर 1, 11 सेल। गणित। बीजीय समीकरण, असमानता, सिस्टम

-3यूवी+वी

यू = 5 - वी,

6 =0

वी = 5

−5वी

वी = 3, यू = 2

(पुराने चर में)

एक्स+वाई=2,

एक्स = 2-वाई,

xy = 3,

वाई 2 - 2y + 3= 0

एक्स+वाई=3,

एक्स = 3 - वाई,

एक्स = 2, वाई = 1,

y −3 y +2 =0

एक्स = 1, वाई = 2।

एक्सवाई = 2,

उत्तर: (2;1),

(1; 2) .♦

साहित्य

1. एस। आई। कोलेनिकोवा "एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी का गहन पाठ्यक्रम।" मॉस्को, आइरिस - प्रेस;

2. "एकीकृत राज्य परीक्षा की जटिल समस्याओं का समाधान" मास्को, आइरिस - प्रेस या "वाको", 2011;

3. पत्रिका "संभावित" 1-2 2005 के लिए - एस। आई। कोलेसनिकोवा के लेख "तर्कहीन समीकरण" और "तर्कहीन असमानताएं";

4. एस। आई। कोलेनिकोव "तर्कहीन समीकरण", मॉस्को, 2010,

ओओओ "अज़्बुका";

5. एस। आई। कोलेनिकोवा "तर्कहीन असमानता", मॉस्को, 2010, अज़बुका एलएलसी;

6. एस। आई। कोलेनिकोवा "मॉड्यूल युक्त समीकरण और असमानताएं", मॉस्को, 2010, अज़बुका एलएलसी।

परीक्षण प्रश्न

1(2). 5x + 1≥ 2(x - 1) असमानता के सभी हल वाले अंतराल की सबसे छोटी लंबाई ज्ञात कीजिए।

2(2)। असमानता x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 को हल करें (घन समीकरण को हल करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि दाईं ओर और बाईं ओर एक कारक x -2 है)।

3(2). असमानता को हल करें 2− x ≥ x - 3।

4(2). अंतराल की सबसे छोटी लंबाई ज्ञात कीजिए जो से संबंधित है

असमानता के सभी समाधान फसल लें	x2 + 5 x− 84	≤ 0 .
	(एक्स + 13 )(एक्स + 14 )

5(3)। असमानता के पूर्णांक हलों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए

2012-2013 शैक्षणिक वर्ष वर्ष, नंबर 1, 11 सेल। गणित। बीजीय समीकरण, असमानता, सिस्टम

4 −x −8 +x ≤x +6 ।

6(3)। असमानता को हल करें 5+ x − 8− x ≤ 3− x ।

7(3)। असमानता को हल करें	-x3 -x -1		x.
				9 - 4x - (x + 3))

8(3)। असमानता को हल करें	4 −x −(x +2 ) )(				≤ 0.
		(x + 1 )(x − 2 )(x − 3 )

9(4). अंतराल की सबसे छोटी लंबाई ज्ञात कीजिए जो से संबंधित है

असमानता के सभी समाधान फसल लें
	एक्स+5	एक्स+2		144-x< 0.


	एक्स-2	4 एक्स -5	6x - 6
	एक्स-2	4 एक्स -5	6x - 6

10(2)। उस अंतराल की सबसे छोटी लंबाई ज्ञात कीजिए जिसमें 8x - 8≤ 32+ 4x - x 2 असमानता के सभी हल हों।

11(4). गैर- के सभी पूर्णांक समाधानों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए।

2(2)। सबसे छोटा अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें
	(एक्स - 1 )3 (एक्स + 3 )
असमानता के सभी समाधान				≤ 0 .
	2x - 1	एक्स - 2	) (एक्स - 1 )

3(2). असमानता को हल करें

4 (x− 3 ) 4 ≥ 4 (x− 7,5 ) 4 ।

4(4). असमानता को हल करें

x2 + 3 x− 4

x2-16

2x 2 + 3x - 20

5(3)। असमानता को हल करें(x 2

एक्स +1 ) 2 −2 x 3 +x 2 +x −3 x 2

≥ 0 .

4 - 2x - 1≤ 3.

कार्य

- 5x + 6+ 9 - 2x - 5

2012-2013 शैक्षणिक वर्ष वर्ष, नंबर 1, 11 सेल। गणित। बीजीय समीकरण, असमानता, सिस्टम

7(4). सभी पैरामीटर मान खोजें

ए, जिनमें से प्रत्येक के लिए

फ़ंक्शन f (x) \u003d x 2 + 4x +

x2−

एक्स - 1

-ए केवल स्वीकार करता है

गैर नकारात्मक

ठोस मूल्य।

8(4). समीकरण 4 x - 3 . को हल करें

एक्स - 1

5x + 14− 3

5x + 14 - 1

9(4). प्रश्न हल करें

एक्स 2− 5 +

x 2 −3 \u003d x +1 +

एक्स + 3।

24 - x2

9 2 एक्स

10(3)। असमानता को हल करें

≥ 0 .

x2 - 4 7 x - 10

11(3). तीन सवार एक ही समय में सर्किट पर एक ही बिंदु से शुरू करते हैं और एक ही दिशा में निरंतर गति से ड्राइव करते हैं। पहले रेसर ने पहली बार दूसरे के साथ पकड़ा, अपनी पांचवीं गोद बनाते हुए, एक बिंदु पर शुरुआत के विपरीत, और उसके आधे घंटे बाद उसने दूसरी बार तीसरे रेसर के साथ पकड़ा, शुरुआत के क्षण की गिनती नहीं की . दूसरे सवार ने शुरुआत के 3 घंटे बाद पहली बार तीसरे के साथ पकड़ा। यदि दूसरा कम से कम बीस मिनट में पूरा करता है तो पहला सवार प्रति घंटे कितने चक्कर लगाता है?

परिचय मेरी परियोजना की समस्या यह है कि परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए समीकरणों की विभिन्न प्रणालियों को हल करने की क्षमता की आवश्यकता होती है, और हाई स्कूल के दौरान उन्हें इस मुद्दे को और गहराई से जानने के लिए पर्याप्त समय नहीं दिया जाता है। कार्य का उद्देश्य: परीक्षा के सफल वितरण की तैयारी करना। कार्य के कार्य: "समरूपता" की अवधारणा से संबंधित गणित के क्षेत्र में अपने ज्ञान का विस्तार करें। समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय "समरूपता" की अवधारणा का उपयोग करके अपनी गणितीय संस्कृति में सुधार करें, जिसे सममित कहा जाता है, साथ ही साथ गणित की अन्य समस्याएं।

समरूपता की अवधारणा। समरूपता - (प्राचीन ग्रीक συμμετρία), व्यापक अर्थों में - किसी भी परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीयता। इसलिए, उदाहरण के लिए, किसी पिंड की गोलाकार समरूपता का अर्थ है कि यदि पिंड को अंतरिक्ष में मनमाने कोणों पर घुमाया जाए तो उसका स्वरूप नहीं बदलेगा। द्विपक्षीय समरूपता का अर्थ है कि किसी विमान के संबंध में दाएं और बाएं समान दिखते हैं।

समरूपता का उपयोग करके समस्या हल करना। समस्या 1 दो लोग बारी-बारी से एक जैसे सिक्के एक गोल मेज पर रखते हैं, और सिक्कों को एक दूसरे को ढंकना नहीं चाहिए। जो कोई चाल नहीं चल सकता वह हार जाता है। सही तरीके से खेले जाने पर कौन जीतता है? (दूसरे शब्दों में, किस खिलाड़ी के पास जीतने की रणनीति है?)

सममित प्रणालियों को हल करने के तरीके। सममित प्रणालियों को चर के परिवर्तन से हल किया जा सकता है, जो मुख्य सममित बहुपद हैं। दो अज्ञात x और y के साथ दो समीकरणों की एक सममित प्रणाली u = x + y, v = xy को प्रतिस्थापित करके हल की जाती है।

उदाहरण संख्या 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x - 3xy + 2y + 8 \u003d 0 मूल सममित बहुपदों का उपयोग करके, सिस्टम को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 3uv - 2v \u003d 78, 2u - 3वी \u003d -8। दूसरे समीकरण से u = को व्यक्त करने और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं 9v2- 28v - 156 = 0। इस समीकरण की जड़ें v 1 = 6 और v 2 = - हमें संबंधित मानों को खोजने की अनुमति देती हैं u1 = 5, u2= - व्यंजक u = से।

आइए अब सिस्टम के निम्नलिखित सेट को हल करें आइए अब सिस्टम के निम्नलिखित सेट x + y = 5, और x + y = - , xy = 6 xy = - को हल करें। x \u003d 5 - y, और y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -। x \u003d 5 - y, और y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -। x \u003d 5 - y, और y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3, और x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= उत्तर: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;)।

सममित प्रणालियों को हल करने में प्रयुक्त प्रमेय। प्रमेय 1. (सममित बहुपद पर) दो चरों वाले किसी सममित बहुपद को दो मूल सममित बहुपदों के फलन के रूप में निरूपित किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, किसी सममित बहुपद f (x, y) के लिए दो चरों का एक फलन होता है। v) ऐसा कि

प्रमेय 2. (सममित बहुपदों पर) प्रमेय 2. (सममित बहुपदों पर) तीन चरों वाले किसी सममित बहुपद को तीन मूल सममित बहुपदों के फलन के रूप में दर्शाया जा सकता है: दूसरे शब्दों में, किसी सममित बहुपद f (x, y) के लिए तीन चर (u, v, w) का ऐसा फलन जिससे कि

अधिक जटिल सममित प्रणाली - मॉड्यूल युक्त सिस्टम: | एक्स - वाई | + y2 = 3, | एक्स - 1 | + | वाई-1 | = 2. x . के लिए अलग से इस प्रणाली पर विचार करें< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

बी) एक्स वाई . के लिए< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) सिस्टम फॉर्म लेता है - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2, या - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, जहाँ से हम x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1 पाते हैं। संख्याओं की दूसरी जोड़ी विचाराधीन क्षेत्र से संबंधित है, अर्थात यह एक समाधान है इस प्रणाली को।

यदि x 1, तो: यदि x 1, तो: a) x > y और y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y और y 1 प्रणाली x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, या x - y + y 2 = 3, x + y = 4 का रूप लेती है, जिससे हम x पाते हैं = 1, y = 3. संख्याओं का यह युग्म विचाराधीन क्षेत्र से संबंधित नहीं है;

ग) x y (तब y ≥ 1) के लिए, निकाय रूप लेता है c) x y (तब y 1) के लिए, निकाय रूप लेता है - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, या - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, जहाँ से हम x 1 = 5 + 8, y 1 = - 1 - √8 पाते हैं; एक्स 2 = 5 - 8, वाई 2 = - 1 + √8। संख्याओं के ये जोड़े विचाराधीन क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं। इस प्रकार, x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. उत्तर: (- 1; 1); (ग्यारह)।

निष्कर्ष गणित मानव सोच का विकास करता है, तर्क के माध्यम से विभिन्न समाधान खोजना सिखाता है। इसलिए, सममित प्रणालियों को हल करने का तरीका जानने के बाद, मैंने महसूस किया कि उनका उपयोग न केवल विशिष्ट उदाहरणों को पूरा करने के लिए किया जा सकता है, बल्कि विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। मुझे लगता है कि इस परियोजना से न केवल मुझे फायदा हो सकता है। जो लोग भी इस विषय से परिचित होना चाहते हैं, उनके लिए मेरा काम एक अच्छा सहायक होगा।

प्रयुक्त साहित्य की सूची: बश्माकोव एमआई, "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत", दूसरा संस्करण, मॉस्को, "प्रोवेशचेनी", 1992, 350 पृष्ठ। रुडचेंको पीए, यारेमचुक एफपी, "बीजगणित और प्राथमिक कार्य ", निर्देशिका; तीसरा संस्करण, संशोधित और विस्तारित; कीव, नौकोवा, दुमका, 1987, 648 पृष्ठ। शारिगिन आई. एफ., "हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित", मॉस्को, ड्रोफा पब्लिशिंग हाउस, 1995, 490 पृष्ठ। इंटरनेट संसाधन: http://www.college. en/

काम का उपयोग "गणित" विषय पर पाठ और रिपोर्ट के लिए किया जा सकता है

तैयार गणित प्रस्तुतियों का उपयोग दृश्य सहायता के रूप में किया जाता है जो एक शिक्षक या माता-पिता को स्लाइड और तालिकाओं का उपयोग करके पाठ्यपुस्तक से अध्ययन किए जा रहे विषय को प्रदर्शित करने की अनुमति देता है, समस्याओं और समीकरणों को हल करने के लिए उदाहरण दिखाता है, और ज्ञान का परीक्षण करता है। साइट के इस खंड में, आप ग्रेड 1,2,3,4,5,6 के छात्रों के लिए गणित में तैयार किए गए बहुत सारे प्रस्तुतीकरण, साथ ही विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए उच्च गणित में प्रस्तुतियाँ पा सकते हैं और डाउनलोड कर सकते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने पर अतिरिक्त साहित्य का अध्ययन करते हुए, मैं एक नए प्रकार के सिस्टम से मिला - सममित। और मैंने खुद को एक लक्ष्य निर्धारित किया:

"समीकरण प्रणाली" विषय पर वैज्ञानिक जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

समझें और सीखें कि नए चरों को पेश करने के तरीके को कैसे हल किया जाए;

3) समीकरणों की सममित प्रणालियों से संबंधित मुख्य सिद्धांतों पर विचार करें

4) समीकरणों की सममित प्रणालियों को हल करना सीखें।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने का इतिहास।

रैखिक समीकरणों से अज्ञात का उन्मूलन लंबे समय से किया गया है। 17-18 शताब्दी में। में। बहिष्करण तकनीकों का विकास फ़र्मेट, न्यूटन, लाइबनिज़, यूलर, बेज़आउट, लैग्रेंज द्वारा किया गया था।

आधुनिक संकेतन में, दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का रूप है: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 - а2с1 इस प्रणाली के समाधान सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।

a1b2 - a2b1 a1b2 - a2b1

17 वीं शताब्दी में बनाई गई समन्वय पद्धति के लिए धन्यवाद। फ़र्मेट और डेसकार्टेस के अनुसार, समीकरणों की प्रणालियों को रेखांकन द्वारा हल करना संभव हो गया।

प्राचीन बेबीलोनियन ग्रंथों में 3-2 सहस्राब्दी ईसा पूर्व में लिखा गया था। इ। , समीकरणों की प्रणालियों को संकलित करके हल की गई कई समस्याओं को शामिल करता है, जिसमें दूसरी डिग्री के समीकरण भी पेश किए जाते हैं।

उदाहरण 1:

मैंने अपने दो वर्गों के क्षेत्रों को जोड़ा: 25. दूसरे वर्ग की भुजा पहले और 5 और की भुजा के बराबर है। संबंधित संकेतन में समीकरणों की संगत प्रणाली इस तरह दिखती है: x2 + y2 = 25, y = एक्स = 5

डायोफैंटस, जिनके पास कई अज्ञात के लिए कोई अंकन नहीं था, ने अज्ञात को इस तरह से चुनने के लिए बहुत मेहनत की, जैसे कि एकल समीकरण के समाधान के लिए सिस्टम के समाधान को कम करना।

उदाहरण #2:

"दो प्राकृत संख्याएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि उनका योग 20 है और उनके वर्गों का योग 208 है।"

समीकरणों की एक प्रणाली, x + y = 20 को संकलित करके समस्या को भी हल किया गया था, लेकिन हल किया गया x2 + y2 = 208

डायोफैंटस, वांछित संख्याओं के अज्ञात आधे अंतर के रूप में चुनना, यानी।

(एक्स - वाई) \u003d जेड, + (एक्स + वाई) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- समस्या की स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए, यदि z = 2x = 12, और y = 8

बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली की अवधारणा।

कई समस्याओं में, कई अज्ञात मात्राओं को खोजना आवश्यक हो सकता है, यह जानते हुए कि उनकी मदद से बनी अन्य मात्राएँ (अज्ञात के कार्य) एक दूसरे के बराबर या कुछ दी गई मात्राओं के बराबर हैं। आइए एक साधारण उदाहरण पर विचार करें।

2400 m2 क्षेत्रफल वाले एक आयताकार भूखंड को 200 m लंबी बाड़ से घेरा गया है। खंड की लंबाई और चौड़ाई पाएं। वास्तव में, इस समस्या का "बीजगणितीय मॉडल" दो समीकरणों और एक असमानता की एक प्रणाली है।

संभावित सीमाएँ-असमानताओं को हमेशा ध्यान में रखना चाहिए। जब आप समीकरणों के सिस्टम को संकलित करने के लिए समस्याओं को हल करते हैं। लेकिन फिर भी मुख्य बात समीकरणों को स्वयं हल करना है। मैं आपको उन तरीकों के बारे में बताऊंगा जो इस्तेमाल किए जाते हैं।

आइए परिभाषाओं से शुरू करें।

समीकरणों की एक प्रणाली एक घुंघराले ब्रैकेट द्वारा जुड़े कई (एक से अधिक) समीकरणों का एक समूह है।

घुंघराले ब्रैकेट का अर्थ है कि सिस्टम के सभी समीकरणों को एक साथ निष्पादित किया जाना चाहिए, और यह दर्शाता है कि आपको संख्याओं की एक जोड़ी (x; y) खोजने की आवश्यकता है जो प्रत्येक समीकरण को एक वास्तविक समानता में बदल देती है।

प्रणाली का समाधान संख्याओं x और y का ऐसा युग्म है, जो इस प्रणाली में प्रतिस्थापित होने पर, इसके प्रत्येक समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देता है।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान खोजना या यह स्थापित करना कि कोई भी नहीं है।

प्रतिस्थापन विधि।

प्रतिस्थापन विधि यह है कि एक समीकरण में एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त किया जाता है। परिणामी व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, जो तब एक चर वाले समीकरण में बदल जाता है, और फिर इसे हल किया जाता है। इस चर के परिणामी मूल्यों को मूल प्रणाली के किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और दूसरा चर पाया जाता है।

कलन विधि।

1. निकाय के एक समीकरण से y को x के पदों में व्यक्त कीजिए।

2. निकाय के किसी अन्य समीकरण में y के स्थान पर परिणामी व्यंजक को रखिए।

3. x के परिणामी समीकरण को हल कीजिए।

4. पहले चरण में प्राप्त व्यंजक y से x में x के स्थान पर तीसरे चरण में प्राप्त समीकरण के प्रत्येक मूल को बारी-बारी से रखें।

5) उत्तर को मानों के जोड़े (x; y) के रूप में लिखें।

उदाहरण संख्या 1 y \u003d x - 1,

दूसरे समीकरण y \u003d x - 1 में स्थानापन्न करें, हमें 5x + 2 (x - 1) \u003d 16 मिलता है, जिसमें से x \u003d 2. हम परिणामी अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.

उत्तर: (2; 1)।

उदाहरण #2:

8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2

2x - 21y \u003d 2 16y - 8 - 21y \u003d 2

5y \u003d 10 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2

2x - 21y \u003d 2

2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20

2 (8y - 4) - 21y \u003d 2 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2

उत्तर: (-20; -2)।

उदाहरण #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - द्विघात समीकरण y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8

इसलिए (-2; -4); (4; 8) इस प्रणाली के समाधान हैं।

जोड़ विधि।

जोड़ विधि में यह तथ्य शामिल है कि यदि किसी दिए गए सिस्टम में समीकरण होते हैं, जो एक साथ जोड़े जाने पर एक चर के साथ एक समीकरण बनाते हैं, तो इस समीकरण को हल करके, हम एक चर के मान प्राप्त करेंगे। दूसरे चर का मान पाया जाता है, जैसा कि प्रतिस्थापन विधि में होता है।

अतिरिक्त विधि द्वारा सिस्टम को हल करने के लिए एल्गोरिदम।

1. अज्ञात में से किसी एक के लिए गुणांक के मॉड्यूल को समान करें।

2. परिणामी समीकरणों को जोड़ना या घटाना, एक अज्ञात ज्ञात कीजिए।

3. मूल प्रणाली के समीकरणों में से एक में पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हुए, दूसरा अज्ञात खोजें।

उदाहरण 1। समीकरणों की प्रणाली को जोड़कर हल करें: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10

पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

हम दूसरी अभिव्यक्ति x \u003d 20 - y . से व्यक्त करते हैं

इस अभिव्यक्ति में y \u003d 5 को प्रतिस्थापित करें: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.

उत्तर: (15; 5)।

उदाहरण #2:

आइए हम प्रस्तावित प्रणाली के समीकरणों को एक अंतर के रूप में प्रस्तुत करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

7y = 21, जहां से y = 3

इस मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण x = से व्यक्त किए गए मान में प्रतिस्थापित करें, हमें x = 4 मिलता है।

उत्तर: (4; 3)।

उदाहरण #3:

2x + 11y = 15,

10x - 11y = 9

इन समीकरणों को जोड़ने पर, हमारे पास है:

2x + 10x = 15 + 9

12x \u003d 24 x \u003d 2, इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

10 * 2 - 11y \u003d 9, जहां से y \u003d 1.

इस प्रणाली का समाधान युग्म है: (2; 1)।

समीकरणों के सिस्टम को हल करने का ग्राफिकल तरीका।

कलन विधि।

1. निकाय के प्रत्येक समीकरण के आलेखों की रचना कीजिए।

2. निर्मित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।

समतल पर रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था का मामला।

1. यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, अर्थात्, एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो समीकरणों के निकाय का एक हल होता है।

2. यदि रेखाएँ समांतर हैं, अर्थात् उनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं, तो समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है।

3. यदि रेखाएँ संपाती हों, अर्थात् उनके कई बिंदु हों, तो समीकरणों के निकाय में अनंत संख्या में हल होते हैं।

उदाहरण 1:

समीकरणों की प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करें x - y \u003d -1,

हम पहले और दूसरे समीकरणों से व्यक्त करते हैं y: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x

आइए सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के ग्राफ़ बनाएं:

1) y \u003d 1 + x - फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा x 0 1 (1; 2) y 1 2 है

2) y \u003d 4 - 2x - फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा x 0 1 y 4 2 है

उत्तर: (1; 2)।

उदाहरण #2: y x + 2y = 6,

4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है x 0 2 y 3 2 y \u003d - फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा x 0 2 y 2 है 1

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

उदाहरण संख्या 3: y x - 2y \u003d 2,

3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा x 0 2 y -1 0 है

उत्तर: सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।

नए चर पेश करने की विधि।

नए चरों को पेश करने की विधि यह है कि एक नए चर को एक ही बार में दोनों समीकरणों के लिए केवल एक समीकरण या दो नए चर में पेश किया जाता है, फिर नए चर के संबंध में समीकरण या समीकरण हल किए जाते हैं, जिसके बाद यह एक सरल प्रणाली को हल करने के लिए रहता है समीकरणों का, जिससे हम वांछित समाधान पाते हैं।

उदाहरण 1:

एक्स + वाई = 5

निरूपित करें = z, फिर =।

पहला समीकरण z + = का रूप लेगा, यह 6z - 13 + 6 = 0 के बराबर है। परिणामी समीकरण को हल करने के बाद, हमारे पास z =; जेड =। तब = या = , दूसरे शब्दों में, पहला समीकरण दो समीकरणों में विभाजित होता है, इसलिए, हमारे पास दो प्रणालियाँ हैं:

एक्स + वाई = 5 एक्स + वाई = 5

इन प्रणालियों के समाधान दिए गए सिस्टम के समाधान हैं।

पहली प्रणाली का समाधान युग्म है: (2; 3), और दूसरा युग्म (3; 2) है।

इसलिए, सिस्टम के समाधान + = , x + y = 5

जोड़े हैं (2; 3); (3; 2)

उदाहरण #2:

मान लीजिए = एक्स, ए = वाई।

एक्स \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1

5X - 2Y \u003d 1 2.5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1

20 - 7.5U - 2U \u003d 1

एक्स \u003d, -9.5Y \u003d -19

5 * - 2Y = 1 Y = 2

आइए एक प्रतिस्थापन करें।

2 एक्स = 1, वाई = 0.5

उत्तर: (1; 0.5)।

समीकरणों की सममित प्रणाली।

n अज्ञात के साथ एक प्रणाली को सममित कहा जाता है यदि यह अज्ञात को पुनर्व्यवस्थित करने पर नहीं बदलता है।

दो अज्ञात x और y के साथ दो समीकरणों की एक सममित प्रणाली u = x + y, v = xy को प्रतिस्थापित करके हल की जाती है। ध्यान दें कि सममित प्रणालियों में सामने आने वाले व्यंजक u और v के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। आइए हम ऐसे कई उदाहरण दें जो कई सममित प्रणालियों को हल करने के लिए निस्संदेह रुचि के हैं: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u (u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v, आदि।

अज्ञात x y, z के लिए तीन समीकरणों की सममित प्रणाली x + y + z = u, xy + yz + xz = w को प्रतिस्थापित करके हल की जाती है। यदि u, v, w पाए जाते हैं, तो एक घन समीकरण t2 - ut2 + vt - w = 0 बनता है, जिसकी जड़ें t1, t2, t3 विभिन्न क्रमपरिवर्तनों में मूल प्रणाली के समाधान हैं। इस तरह की प्रणालियों में सबसे आम अभिव्यक्ति यू, वी, डब्ल्यू के रूप में निम्नानुसार व्यक्त की जाती है: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

उदाहरण #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

मान लीजिए x + y = u, xy = v।

यू2 - वी = 13, यू = 4

16 - वी = 13, यू = 4 वी = 3, यू = 4

आइए एक प्रतिस्थापन करें।

उत्तर: (1; 3); (3; 1)।

उदाहरण #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

मान लीजिए x + y = u, xy = v।

यू3 - 3यूवी = 28, यू = 4

64 - 12 वी = 28, यू = 4

12वी = -36 यू = 4 वी = 3, यू = 4

आइए एक प्रतिस्थापन करें।

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 - y) y = 3 x = 4 - y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

उत्तर: (1; 3); (3; 1)।

उदाहरण #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

मान लीजिए x = y = u, xy = v।

u + v = 7, u2 - v = 13 u2 - v = 13 u2 - 7 + u = 13 u2 + u = 20 v = 7 - u, u (u + 1) = 20 u2 - v = 13 u = 4 वी = 7 - यू, यू = 4 वी = 3, यू = 4

आइए एक प्रतिस्थापन करें।

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 - y) y = 3 x = 4 - y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

उत्तर: (1; 3); (3; 1)।

उदाहरण #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

मान लीजिए x + y = u, xy = v।

यू = 5, यू3 - 3यूवी = 65 यू3 - 3यूवी = 65 125 - 15वी = 65

15वी = -60 यू = 5, वी = 4 वी = 4

आइए एक प्रतिस्थापन करें।

x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

उत्तर: (4; 1); (चौदह)।

उदाहरण #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

आइए अज्ञात का परिवर्तन करें, सिस्टम u2 + v = 49, u + v = 23 का रूप लेगा

इन समीकरणों को जोड़ने पर, हमें u2 + u - 72 = 0 प्राप्त होता है, जिसका मूल u1 = 8, u2 = -9 होता है। तदनुसार, v1 = 15, v2 = 32. यह सिस्टम x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32 के सेट को हल करने के लिए रहता है।

निकाय x + y = 8 के हल x1 = 3, y1 = 5 हैं; x2=5, y2=3.

सिस्टम x + y = -9 का कोई वास्तविक समाधान नहीं है।

उत्तर: (3; 5), (5; 3)।

उदाहरण संख्या 6. समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

मूल सममित बहुपद u = y + x और v = xy का उपयोग करके, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

व्यंजक v = -3 - u को निकाय के दूसरे समीकरण से पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित समीकरण 2u2 + 7u + 5 = 0 प्राप्त होता है, जिसके मूल u1 = -1 और u2 = -2.5 हैं; और, तदनुसार, मान v1 = -2 और v2 = -0.5 v = -3 - u से प्राप्त होते हैं।

अब यह सिस्टम के निम्नलिखित सेट x + y \u003d -1, और x + y \u003d -2.5, xy \u003d -2 xy \u003d -0.5 को हल करने के लिए बनी हुई है

सिस्टम के इस सेट के समाधान, और इसलिए मूल प्रणाली (उनकी तुल्यता के कारण) इस प्रकार हैं: (1; -2), (-2; 1), (;)।

उदाहरण #7:

3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,

2x - 3xy + 2y + 8 = 0

मूल सममित बहुपदों का प्रयोग करते हुए, निकाय को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

3यूवी - 2वी = 78,

दूसरे समीकरण से u = व्यक्त करने और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 9v2 - 28v - 156 = 0 मिलता है। इस समीकरण की जड़ें v1 = 6 और v2 = - हमें संबंधित मान u1 = 5 खोजने की अनुमति देती हैं, u2 = - व्यंजक से u =.

अब हम सिस्टम के निम्नलिखित सेट x + y \u003d 5, और x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d - को हल करते हैं।

x \u003d 5 - y, और y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -।

x \u003d 5 - y, और y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -।

x = 5 - y, और y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 =, x2 = - x1 = 2, x2 = 3, और x1 =, x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

उत्तर: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;)।

निष्कर्ष।

लेख लिखने की प्रक्रिया में, मैं बीजीय समीकरणों की विभिन्न प्रकार की प्रणालियों से परिचित हुआ। "समीकरण प्रणाली" विषय पर वैज्ञानिक जानकारी का सारांश।

समझा और सीखा कि नए चर पेश करके कैसे हल किया जाए;

समीकरणों की सममित प्रणालियों से संबंधित मुख्य सिद्धांतों की समीक्षा की

समीकरणों की सममित प्रणालियों को हल करना सीखा।

होम > समाधान

परिमेय समीकरण और असमानताएँ

I. परिमेय समीकरण।

रेखीय समीकरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली।

वापसी समीकरण।

उच्च डिग्री वाले बहुपदों के लिए विएटा का सूत्र।

दूसरी डिग्री के समीकरणों की प्रणाली।

समीकरणों और समीकरणों के सिस्टम को हल करने में नए अज्ञात को पेश करने की विधि।

सजातीय समीकरण।

समीकरणों की सममित प्रणालियों का समाधान।

मापदंडों के साथ समीकरण और समीकरणों की प्रणाली।

गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए चित्रमय विधि।

मापांक चिह्न वाले समीकरण।

परिमेय समीकरणों को हल करने की मूल विधियाँ

द्वितीय. तर्कसंगत असमानताएँ।

समान असमानताओं के गुण।

बीजगणितीय असमानताएँ।

अंतराल विधि।

भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानताएँ।

निरपेक्ष मान चिह्न के तहत अज्ञात युक्त असमानताएँ।

मापदंडों के साथ असमानता।

तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली।

असमानताओं का चित्रमय समाधान।

III. सत्यापन परीक्षण।

परिमेय समीकरण

समारोह देखें

पी(एक्स) \u003d ए 0 एक्स एन + ए 1 एक्स एन - 1 + ए 2 एक्स एन - 2 + ... + ए एन - 1 एक्स + ए एन,

जहाँ n एक प्राकृत संख्या है, a 0 , a 1 ,…, a n कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं, संपूर्ण परिमेय फलन कहलाता है।

P(x) = 0 के रूप का एक समीकरण, जहाँ P(x) एक संपूर्ण परिमेय फलन है, संपूर्ण परिमेय समीकरण कहलाता है।

समीकरण टाइप करें

पी 1 (एक्स) / क्यू 1 (एक्स) + पी 2 (एक्स) / क्यू 2 (एक्स) + ... + पी एम (एक्स) / क्यू एम (एक्स) = 0,

जहां पी 1 (एक्स), पी 2 (एक्स), ..., पी एम (एक्स), क्यू 1 (एक्स), क्यू 2 (एक्स), ..., क्यू एम (एक्स) संपूर्ण तर्कसंगत कार्य हैं, एक तर्कसंगत समीकरण कहा जाता है .

परिमेय समीकरण P (x) / Q (x) = 0 को हल करना, जहाँ P (x) और Q (x) बहुपद (Q (x) 0) हैं, समीकरण P (x) = 0 को हल करने और जाँच करने के लिए कम करता है क्या मूल शर्त Q (x) 0 को संतुष्ट करते हैं।

रेखीय समीकरण।

ax+b=0 रूप का एक समीकरण, जहां a और b कुछ स्थिरांक हैं, एक रैखिक समीकरण कहलाता है।

यदि a0, तो रैखिक समीकरण का एक ही मूल है: x = -b /a।

अगर एक = 0; b0, तो रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है।

अगर एक = 0; b = 0, फिर, मूल समीकरण को ax = -b के रूप में फिर से लिखना, यह देखना आसान है कि कोई भी x एक रैखिक समीकरण का समाधान है।

सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: y = ax + b।

यदि एक सीधी रेखा निर्देशांक X 0 और Y 0 के साथ एक बिंदु से गुजरती है, तो ये निर्देशांक एक सीधी रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, अर्थात Y 0 = aX 0 + b।

उदाहरण 1.1. प्रश्न हल करें

2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.

फेसला। आइए एक-एक करके कोष्ठकों का विस्तार करें, समान पद दें और x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3 खोजें,

उदाहरण 1.2.प्रश्न हल करें

2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.

फेसला। 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6।

उत्तर: .

उदाहरण 1.3. प्रश्न हल करें।

2x + 3 - 6 (x - 1) = 4 (x - 1) + 5.

फेसला। 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

- 4x + 9 = 9 - 4x,

4x + 4x = 9 - 9,

उत्तर: कोई भी संख्या।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली।

समीकरण टाइप करें

ए 1 एक्स 1 + ए 2 एक्स 2 + … + ए एन एक्स एन = बी,

जहाँ a 1, b 1, ..., a n, b कुछ अचर हैं, n अज्ञात x 1, x 2, …, x n के साथ एक रैखिक समीकरण कहलाता है।

समीकरणों की एक प्रणाली को रैखिक कहा जाता है यदि सिस्टम में सभी समीकरण रैखिक होते हैं। यदि सिस्टम में n अज्ञात हैं, तो निम्नलिखित तीन मामले संभव हैं:

सिस्टम का कोई समाधान नहीं है;

सिस्टम का ठीक एक समाधान है;

प्रणाली में असीम रूप से कई समाधान हैं।

उदाहरण 2.4.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

फेसला। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है, जिसमें सिस्टम के किसी भी समीकरण के अन्य अज्ञात के संदर्भ में एक अज्ञात को व्यक्त करना और फिर इस अज्ञात के मूल्य को शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित करना शामिल है।

पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं: x = (8 - 3y) / 2. हम इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

एक्स \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. दूसरे समीकरण से हमें y \u003d 2 मिलता है। इसे ध्यान में रखते हुए, पहले समीकरण x \u003d 1 से। उत्तर: (1; 2)।उदाहरण 2.5। समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

फेसला। सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि सिस्टम के दो समीकरण एक साथ संतुष्ट नहीं हो सकते हैं (पहले समीकरण x + y = 3 से, और दूसरे x + y = 3.5 से)।

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

उदाहरण 2.6। समीकरणों की प्रणाली को हल करें

फेसला। सिस्टम में असीम रूप से कई समाधान हैं, क्योंकि दूसरा समीकरण पहले से 2 से गुणा करके प्राप्त किया जाता है (यानी, वास्तव में, दो अज्ञात के साथ केवल एक समीकरण है)।

उत्तर: असीम रूप से कई समाधान।

उदाहरण 2.7. समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एक्स + वाई - जेड = 2,

2x - y + 4z = 1,

फेसला। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, जिसमें सिस्टम को त्रिकोणीय रूप में बदलना शामिल है।

हम सिस्टम के पहले समीकरण को - 2 से गुणा करते हैं और दूसरे समीकरण के साथ प्राप्त परिणाम को जोड़ते हुए, हमें मिलता है - 3y + 6z \u003d - 3. इस समीकरण को y - 2z \u003d 1 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। पहला समीकरण जोड़ना तीसरे के साथ, हमें 7y \u003d 7, या y = 1 मिलता है।

इस प्रकार, प्रणाली ने एक त्रिकोणीय रूप प्राप्त कर लिया

एक्स + वाई - जेड = 2,

दूसरे समीकरण में y = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हम z = 0 पाते हैं। पहले समीकरण में y = 1 और z = 0 को प्रतिस्थापित करने पर, हम x = 1 पाते हैं। उत्तर: (1; 1; 0) उदाहरण 2.8। पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए समीकरणों की प्रणाली

2x + अय = ए + 2,

(ए + 1)x + 2ay = 2a + 4

असीम रूप से कई समाधान हैं? फेसला। पहले समीकरण से हम x व्यक्त करते हैं:

एक्स = - (ए / 2) वाई + ए / 2 +1।

इस व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(ए + 1)(- (ए / 2)y + ए / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(ए + 1) (ए + 2 - एई) + 4ay = 4a + 8,

4ay - a(a + 1)y = 4(a + 2) - (a + 1)(a + 2),

या(4 - ए - 1) = (ए + 2)(4 - ए - 1),

या(3 - ए) = (ए + 2)(3 - ए)।

अंतिम समीकरण का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि a = 3 के लिए इसका रूप 0y = 0 है, अर्थात्। यह y के किसी भी मान के लिए संतुष्ट है। उत्तर: 3.

द्विघात समीकरण और समीकरण उन्हें कम करते हैं।

ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण, जहाँ a, b और c कुछ संख्याएँ हैं (a0);

x एक चर है, जिसे द्विघात समीकरण कहते हैं।

द्विघात समीकरण को हल करने का सूत्र।

सबसे पहले, हम समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के दोनों पक्षों को a से विभाजित करते हैं - इससे इसकी जड़ें नहीं बदलेगी। परिणामी समीकरण को हल करने के लिए

एक्स 2 + (बी / ए) एक्स + (सी / ए) = 0

बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग चुनें

एक्स 2 + (बी / ए) + (सी / ए) = (एक्स 2 + 2 (बी / 2 ए) एक्स + (बी / 2 ए) 2) - (बी / 2 ए) 2 + (सी / ए) =

= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 ))।

संक्षिप्तता के लिए, हम व्यंजक (b 2 - 4ac) को D से निरूपित करते हैं। तब परिणामी सर्वसमिका का रूप लेता है

तीन मामले संभव हैं:

यदि संख्या D धनात्मक (D > 0) है, तो इस स्थिति में D का वर्गमूल लेना और D को D = (D) 2 के रूप में लिखना संभव है। फिर

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, इसलिए पहचान का रूप लेता है

एक्स 2 + (बी / ए) एक्स + (सी / ए) = (एक्स + (बी / 2 ए)) 2 - (डी / 2 ए) 2।

वर्गों के अंतर के सूत्र के अनुसार, हम यहाँ से प्राप्त करते हैं:

एक्स 2 + (बी / ए) एक्स + (सी / ए) = (एक्स + (बी / 2 ए) - (डी / 2 ए)) (एक्स + (बी / 2 ए) + (डी / 2 ए)) =

= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a))।

प्रमेय:अगर पहचान है

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d ए (एक्स - एक्स 1) (एक्स - एक्स 2),

तब द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 एक्स 1 एक्स 2 के लिए दो जड़ें एक्स 1 और एक्स 2 हैं, और एक्स 1 \u003d एक्स 2 के लिए - केवल एक रूट एक्स 1 है।

इस प्रमेय के आधार पर, ऊपर दी गई पहचान से यह निष्कर्ष निकलता है कि समीकरण

एक्स 2 + (बी / ए) एक्स + (सी / ए) = 0,

और इस प्रकार समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के दो मूल हैं:

एक्स 1 \u003d (-बी + डी) / 2 ए; एक्स 2 \u003d (-बी - डी) / 2 ए।

इस प्रकार एक्स 2 + (बी / ए) एक्स + (सी / ए) = (एक्स - एक्स 1) (एक्स - एक्स 2)।

आमतौर पर इन जड़ों को एक सूत्र में लिखा जाता है:

जहां बी 2 - 4 एसी \u003d डी।

यदि संख्या डी शून्य (डी = 0) के बराबर है, तो पहचान

एक्स 2 + (बी / ए) एक्स + (सी / ए) = (एक्स + (बी / 2 ए)) 2 - (डी / (4 ए 2))

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 का रूप लेता है।

यह इस प्रकार है कि D = 0 के लिए, समीकरण ax 2 + bx + c = 0 में गुणन 2 का एक मूल है: X 1 = - b / 2a

3) यदि संख्या D ऋणात्मक है (D< 0), то – D >0, और इसलिए अभिव्यक्ति

एक्स 2 + (बी / ए) एक्स + (सी / ए) = (एक्स + (बी / 2 ए)) 2 - (डी / (4 ए 2))

दो पदों का योग है, जिनमें से एक ऋणात्मक नहीं है और दूसरा धनात्मक है। ऐसा योग शून्य के बराबर नहीं हो सकता, इसलिए समीकरण

एक्स 2 + (बी / ए) एक्स + (सी / ए) = 0

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। न ही समीकरण ax 2 + bx + c = 0 है।

इस प्रकार, द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, विवेचक की गणना करनी चाहिए

डी \u003d बी 2 - 4ac।

यदि D = 0 है, तो द्विघात समीकरण का एक अद्वितीय हल है:

यदि D > 0 है, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं:

एक्स 1 \u003d (-बी + D) / (2 ए); एक्स 2 \u003d (-बी - डी) / (2 ए)।

अगर डी< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

यदि गुणांक b या c में से एक शून्य के बराबर है, तो विवेचक की गणना के बिना द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है:

बी = 0; सी 0; सीए<0; X1,2 = (-c / a)

बी 0; सी = 0; X1 = 0, X2= -बी / ए।

एक सामान्य द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात किए जाते हैं

एक द्विघात समीकरण जिसमें x 2 पर गुणांक 1 के बराबर होता है, घटा हुआ कहलाता है। आमतौर पर दिए गए द्विघात समीकरण को निम्नानुसार दर्शाया जाता है:

एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0।

विएटा का प्रमेय।

हमने पहचान ली है

एक्स 2 + (बी / ए) एक्स + (सी / ए) \u003d (एक्स - एक्स 1) (एक्स - एक्स 2),

जहाँ X 1 और X 2 द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c =0 के मूल हैं। आइए हम इस पहचान के दाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करें।

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .

यह इस प्रकार है कि एक्स 1 + एक्स 2 = - बी / ए और एक्स 1 एक्स 2 = सी / ए। हमने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध किया है, जिसे पहली बार फ्रांसीसी गणितज्ञ एफ. वियत (1540 - 1603) द्वारा स्थापित किया गया था:

प्रमेय 1 (वियतना)। द्विघात समीकरण के मूलों का योग X पर गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न से लिया जाता है और गुणांक द्वारा X 2 पर विभाजित किया जाता है; इस समीकरण के मूलों का गुणनफल X 2 पर गुणांक द्वारा विभाजित मुक्त पद के बराबर है।

प्रमेय 2 (रिवर्स)। यदि समानता

एक्स 1 + एक्स 2 \u003d - बी / ए और एक्स 1 एक्स 2 \u003d सी / ए,

तो संख्याएँ X 1 और X 2 द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के मूल हैं।

टिप्पणी। सूत्र X 1 + X 2 \u003d - b / a और X 1 X 2 \u003d c / a उस स्थिति में भी सही रहता है जब समीकरण कुल्हाड़ी 2 + bx + c \u003d 0 में गुणन 2 का एक मूल X 1 हो, यदि हम संकेतित सूत्र X 2 = X 1 में डालते हैं। इसलिए, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि डी = 0 के लिए, समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 के दो मूल हैं जो एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं।

विएटा प्रमेय से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, संबंधों का उपयोग करना उपयोगी होता है

(1 / एक्स 1) + (1 / एक्स 2) \u003d (एक्स 1 + एक्स 2) / एक्स 1 एक्स 2;

एक्स 1 2 + एक्स 2 2 \u003d (एक्स 1 + एक्स 2) 2 - 2 एक्स 1 एक्स 2;

एक्स 1 / एक्स 2 + एक्स 2 / एक्स 1 \u003d (एक्स 1 2 + एक्स 2 2) / एक्स 1 एक्स 2 \u003d ((एक्स 1 + एक्स 2) 2 - 2 एक्स 1 एक्स 2) / एक्स 1 एक्स 2;

एक्स 1 3 + एक्स 2 3 = (एक्स 1 + एक्स 2) (एक्स 1 2 - एक्स 1 एक्स 2 + एक्स 2 2) =

\u003d (एक्स 1 + एक्स 2) ((एक्स 1 + एक्स 2) 2 - 3 एक्स 1 एक्स 2)।

उदाहरण 3.9।समीकरण 2x 2 + 5x - 1 = 0 को हल करें।

फेसला। डी = 25 - 42 (- 1) = 33> 0;

एक्स 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; एक्स 2 \u003d (- 5 -33) / 4।

उत्तर: एक्स 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; एक्स 2 \u003d (- 5 -33) / 4।

उदाहरण 3.10.समीकरण को हल करें x 3 - 5x 2 + 6x = 0

फेसला। आइए समीकरण x(x 2 - 5x + 6) = 0 के बाईं ओर गुणनखंड करें,

इसलिए x \u003d 0 या x 2 - 5x + 6 \u003d 0।

द्विघात समीकरण को हल करने पर, हमें X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3 मिलता है।

उत्तर: 0; 2; 3.

उदाहरण 3.11.

x 3 - 3x + 2 = 0. हल। आइए समीकरण को फिर से लिखें, -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0 लिखें, और अब हम समूह x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x - 1) (x(x + 1) - 2) = 0,x - 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. उत्तर: x 1 = x 3 = 1, x 2 = - 2. उदाहरण 3.12. समीकरण हल करें7

पाठ मकसद:

शैक्षिक:एक सजातीय समीकरण, समीकरणों की सममित प्रणाली वाले समीकरणों की प्रणालियों को हल करना सीखना;
विकसित होना: सोच, ध्यान, स्मृति, मुख्य बात को उजागर करने की क्षमता का विकास;
शैक्षिक:संचार कौशल का विकास।

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखने का पाठ।

प्रयुक्त शिक्षण प्रौद्योगिकियां:

समूहों में काम;
डिजाइन विधि।

उपकरण:कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर।

पाठ से एक सप्ताह पहले, छात्रों को रचनात्मक कार्य (विकल्पों के अनुसार) के लिए विषय प्राप्त होते हैं।
मैं विकल्प। समीकरणों की सममित प्रणाली। समाधान.
द्वितीय विकल्प। एक सजातीय समीकरण वाले सिस्टम। समाधान.

प्रत्येक छात्र, अतिरिक्त शैक्षिक साहित्य का उपयोग करते हुए, उपयुक्त शैक्षिक सामग्री ढूंढता है, समीकरणों की एक प्रणाली का चयन करता है और इसे हल करता है।
प्रत्येक विकल्प में से एक छात्र रचनात्मक कार्य के विषय पर मल्टीमीडिया प्रस्तुतियाँ बनाता है। शिक्षक आवश्यकतानुसार छात्रों को मार्गदर्शन प्रदान करता है।

I. छात्रों की सीखने की गतिविधियों के लिए प्रेरणा

शिक्षक का परिचयात्मक भाषण
पिछले पाठ में, हमने अज्ञात के स्थान पर समीकरणों के निकाय के हल पर विचार किया था। नए चर चुनने के लिए कोई सामान्य नियम नहीं है। हालाँकि, दो प्रकार के समीकरणों के सिस्टम को अलग किया जा सकता है, जब चर का एक उचित विकल्प होता है: