असलमाज़ोव एल.जी. वृत्ताकार गति // क्वांट। - 1972. - नंबर 9. - एस। 51-57।

संपादकीय बोर्ड और "क्वांट" पत्रिका के संपादकों के साथ विशेष समझौते से

एक सर्कल में गति का वर्णन करने के लिए, रैखिक वेग के साथ, कोणीय वेग की अवधारणा पेश की जाती है। यदि कोई बिंदु वृत्त के अनुदिश समय में गति कर रहा है टीएक चाप का वर्णन करता है, जिसका कोणीय माप Δφ है, फिर कोणीय वेग है।

कोणीय वेग रैखिक वेग से संबंध υ = . से संबंधित है आर, कहाँ पे आर- वृत्त की त्रिज्या जिसके साथ बिंदु चलता है (चित्र 1)। एक अक्ष के चारों ओर एक कठोर शरीर के घूर्णन का वर्णन करने के लिए कोणीय वेग की अवधारणा विशेष रूप से सुविधाजनक है। यद्यपि अक्ष से अलग-अलग दूरी पर स्थित बिंदुओं के रैखिक वेग समान नहीं होंगे, उनके कोणीय वेग समान होंगे, और हम पूरे शरीर के घूर्णन के कोणीय वेग के बारे में बात कर सकते हैं।

कार्य 1. डिस्क त्रिज्या आरक्षैतिज तल पर फिसले बिना लुढ़कता है। डिस्क के केंद्र की गति स्थिर है और υp के बराबर है। इस मामले में डिस्क किस कोणीय वेग से घूमती है?

डिस्क का प्रत्येक बिंदु दो आंदोलनों में भाग लेता है - गति के साथ अनुवाद गति में υ पी डिस्क के केंद्र के साथ और केंद्र के चारों ओर घूर्णन गति में एक निश्चित कोणीय वेग ω के साथ।

ज्ञात करने के लिए, हम फिसलन की अनुपस्थिति का उपयोग करते हैं, अर्थात्, प्रत्येक क्षण में विमान के संपर्क में डिस्क बिंदु की गति शून्य होती है। इसका मतलब है कि बिंदु के लिए लेकिन(चित्र 2) अनुवाद गति की गति υ p परिमाण में बराबर है और घूर्णी गति की रैखिक गति की दिशा में विपरीत है vr = ω· आर. यहां से हमें तुरंत मिलता है।

कार्य 2.गति बिंदु खोजें पर, साथ मेंऔर डीएक ही डिस्क (चित्र 3)।

पहले बिंदु पर विचार करें पर. इसके घूर्णन गति की रैखिक गति लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित होती है और बराबर होती है , अर्थात्, अनुवाद गति की गति के परिमाण के बराबर, जो, हालांकि, क्षैतिज रूप से निर्देशित होती है। इन दो गतियों को सदिश रूप से जोड़ने पर, हम पाते हैं कि परिणामी गति बीपरिमाण में बराबर है और क्षितिज के साथ 45º का कोण बनाता है। बिंदु पर साथ मेंरोटेशनल और ट्रांसलेशनल स्पीड एक ही दिशा में निर्देशित होती हैं। परिणामी गति सी 2υ n के बराबर और क्षैतिज रूप से निर्देशित। इसी प्रकार, एक बिंदु की गति पाई जाती है डी(चित्र 3 देखें)।

उस स्थिति में भी जब किसी वृत्त के अनुदिश गतिमान बिंदु की गति परिमाण में परिवर्तित नहीं होती है, उस बिंदु में कुछ त्वरण होता है, क्योंकि वेग सदिश की दिशा बदल जाती है। इस त्वरण को कहा जाता है केंद्र की ओर जानेवाला. यह वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित है और इसके बराबर है ( आरवृत्त की त्रिज्या है, और बिंदु के कोणीय और रैखिक वेग हैं)।

यदि किसी वृत्त के अनुदिश गतिमान बिंदु की गति न केवल दिशा में, बल्कि परिमाण में भी परिवर्तित होती है, तो अभिकेन्द्रीय त्वरण के साथ-साथ तथाकथित भी होता है स्पज्या कात्वरण। यह स्पर्शरेखा से वृत्त की ओर निर्देशित है और अनुपात के बराबर है (Δυ समय के साथ वेग में परिवर्तन है टी).

कार्य 3.अंक का त्वरण खोजें लेकिन, पर, साथ मेंऔर डीडिस्क त्रिज्या आरक्षैतिज तल पर फिसले बिना लुढ़कना। डिस्क के केंद्र की गति स्थिर है और υ p (चित्र 3) के बराबर है।

डिस्क के केंद्र से जुड़ी समन्वय प्रणाली में, डिस्क कोणीय वेग के साथ घूमती है, और विमान गति υ पी के साथ आगे बढ़ता है। डिस्क और विमान के बीच कोई फिसलन नहीं है, इसलिए,। ट्रांसलेशनल मोशन की गति υp नहीं बदलती है, इसलिए डिस्क के रोटेशन का कोणीय वेग स्थिर होता है और डिस्क के बिंदुओं में केवल सेंट्रिपेटल त्वरण होता है जो डिस्क के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। चूंकि समन्वय प्रणाली त्वरण के बिना चलती है (स्थिर गति पी के साथ), फिर एक निश्चित समन्वय प्रणाली में, डिस्क बिंदुओं का त्वरण समान होगा।

आइए अब हम घूर्णी गति की गतिकी की समस्याओं की ओर मुड़ें। आइए पहले सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक वृत्त के साथ गति एक स्थिर गति से होती है। चूँकि पिंड का त्वरण केंद्र की ओर निर्देशित होता है, तो शरीर पर लागू सभी बलों का सदिश योग भी केंद्र की ओर और न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार निर्देशित होना चाहिए।

यह याद रखना चाहिए कि इस समीकरण के दाईं ओर केवल वास्तविक बल शामिल हैं जो किसी दिए गए शरीर पर अन्य निकायों से कार्य करते हैं। नहीं केन्द्राभिमुख शक्तिएक सर्कल में चलते समय नहीं होता है। इस शब्द का प्रयोग केवल एक वृत्त में गतिमान पिंड पर लागू बलों के परिणाम को निरूपित करने के लिए किया जाता है। विषय में अभिकेन्द्रीय बल, तब यह केवल तब उत्पन्न होता है जब एक गैर-जड़त्वीय (घूर्णन) समन्वय प्रणाली में एक वृत्त के साथ गति का वर्णन किया जाता है। हम यहां अभिकेन्द्रीय और अपकेन्द्री बल की अवधारणा का प्रयोग बिल्कुल भी नहीं करेंगे।

टास्क 4. सड़क की वक्रता की सबसे छोटी त्रिज्या निर्धारित करें जिसे कार υ = 70 किमी / घंटा की गति से पार कर सकती है और सड़क पर टायर घर्षण का गुणांक है क =0,3.

आर = एम जी, सड़क प्रतिक्रिया बल एनऔर घर्षण बल एफकार और सड़क के टायरों के बीच tr. ताकतों आरऔर एनलंबवत और समान आकार में निर्देशित: पी = एन. घर्षण बल जो कार को फिसलने से रोकता है ("स्किडिंग") मोड़ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है और अभिकेन्द्र त्वरण प्रदान करता है: . घर्षण बल का अधिकतम मान एफटीआर अधिकतम = क· एन = क· एम जीइसलिए, वृत्त की त्रिज्या का न्यूनतम मान, जिसके साथ गति से चलना अभी भी संभव है, समीकरण से निर्धारित होता है। यहाँ से (को0) ।

सड़क प्रतिक्रिया बल एनजब कार एक सर्कल में चलती है, तो यह कार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से नहीं गुजरती है। यह इस तथ्य के कारण है कि गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष इसका क्षण कार को पलटने वाले घर्षण क्षण के लिए क्षतिपूर्ति करना चाहिए। घर्षण बल का परिमाण जितना अधिक होता है, कार की गति उतनी ही अधिक होती है। एक निश्चित गति से, घर्षण बल का क्षण प्रतिक्रिया बल के क्षण से अधिक हो जाएगा और कार पलट जाएगी।

टास्क 5. त्रिज्या के एक वृत्त के चाप के अनुदिश एक कार किस गति से चल रही है आर= 130 मीटर, टिप कर सकते हैं? वाहन का गुरुत्वाकर्षण केंद्र ऊंचाई पर है एच= सड़क से 1 मीटर ऊपर, वाहन ट्रैक की चौड़ाई मैं= 1.5 मीटर (चित्र 4)।

कार के पलटने के समय, सड़क की प्रतिक्रिया बल के रूप में एन, और घर्षण बल एफ mp "बाहरी" पहिया से जुड़े होते हैं। जब कोई कार चाल से वृत्त में गति करती है, तो उस पर घर्षण बल कार्य करता है। यह बल वाहन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बारे में एक क्षण बनाता है। सड़क के प्रतिक्रिया बल का अधिकतम क्षण एन = एम जीगुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष है (उलटने के समय, प्रतिक्रिया बल बाहरी पहिये से होकर गुजरता है)। इन क्षणों की बराबरी करते हुए, हम उस अधिकतम गति के लिए समीकरण पाते हैं जिस पर कार अभी तक टिप नहीं करेगी:

जहां से 30 मी/से 110 किमी/घंटा।

एक कार को इतनी गति से चलने के लिए, घर्षण के गुणांक की आवश्यकता होती है (पिछली समस्या देखें)।

मोटरसाइकिल या साइकिल को मोड़ते समय भी ऐसी ही स्थिति होती है। घर्षण बल जो केन्द्राभिमुख त्वरण बनाता है, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बारे में एक क्षण होता है जो मोटरसाइकिल को उलट देता है। इसलिए, सड़क के प्रतिक्रिया बल के क्षण से इस क्षण की भरपाई करने के लिए, मोटरसाइकिल चालक मोड़ की ओर झुक जाता है (चित्र 5)।

टास्क 6. एक मोटरसाइकिल सवार एक क्षैतिज सड़क के साथ υ = 70 किमी / घंटा की गति से यात्रा करता है, एक त्रिज्या के साथ एक मोड़ बनाता है आर\u003d 100 मीटर। किस कोण पर α को क्षितिज पर झुकना चाहिए ताकि वह न गिरे?

मोटरसाइकिल और सड़क के बीच घर्षण बल, क्योंकि यह मोटरसाइकिल चालक को अभिकेन्द्रीय त्वरण प्रदान करता है। सड़क प्रतिक्रिया बल एन = एम जी. गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष घर्षण बल और प्रतिक्रिया बल के क्षणों की समानता की स्थिति समीकरण देती है: एफटीपी मैं sinα = एन· मैं cos α, जहां मैं- दूरी ओएगुरुत्वाकर्षण के केंद्र से मोटरसाइकिल के निशान तक (अंजीर देखें। 5)।

यहाँ मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एफटीपी और एन, कुछ खोजें या . ध्यान दें कि बलों का परिणाम एनऔर एफमोटरसाइकिल के झुकाव के इस कोण पर tp गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है, जो सुनिश्चित करता है कि बलों का कुल क्षण शून्य के बराबर है एनऔर एफटी.पी.

सड़क के चक्कर लगाने के साथ-साथ आवाजाही की गति बढ़ाने के लिए मोड़ पर सड़क के खंड को झुका दिया जाता है। उसी समय, घर्षण बल के अलावा, सड़क की प्रतिक्रिया बल भी अभिकेन्द्र त्वरण के निर्माण में भाग लेता है।

टास्क 7. किस अधिकतम गति के साथ एक कार एक झुकाव वाले ट्रैक के साथ एक झुकाव कोण α के साथ एक वक्रता त्रिज्या के साथ आगे बढ़ सकती है आरऔर सड़क पर टायर घर्षण का गुणांक क?

गुरुत्वाकर्षण बल कार पर कार्य करता है एम जी, प्रतिक्रिया बल एन, ट्रैक प्लेन के लंबवत निर्देशित, और घर्षण बल एफटीपी ट्रैक के साथ निर्देशित (चित्र। 6)।

चूंकि हमें इस मामले में कोई दिलचस्पी नहीं है, कार पर कार्य करने वाले बलों के क्षण, हमने कार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर लागू सभी बलों को खींच लिया है। सभी बलों के सदिश योग को उस वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाना चाहिए जिसके साथ कार चलती है, और इसे अभिकेन्द्रीय त्वरण प्रदान करना चाहिए। इसलिए, केंद्र की दिशा (क्षैतिज दिशा) पर बलों के प्रक्षेपणों का योग है, अर्थात

ऊर्ध्वाधर दिशा पर सभी बलों के प्रक्षेपणों का योग शून्य है:

एनक्योंकि α - एम जी – एफटी पी sinα = 0.

इन समीकरणों में घर्षण बल का अधिकतम संभव मान रखने पर एफटीपी = कश्मीर नहींऔर बल को छोड़कर एन, अधिकतम गति पाएं , जिसके साथ इस तरह के ट्रैक पर चलना अभी भी संभव है। यह व्यंजक हमेशा क्षैतिज सड़क के संगत मान से अधिक होता है।

रोटेशन की गतिकी से निपटने के बाद, आइए ऊर्ध्वाधर तल में घूर्णी गति की समस्याओं पर चलते हैं।

टास्क 8. मास कार एम= 1.5 t = 70 किमी/घंटा की गति से चित्र 7 में दर्शाई गई सड़क के साथ चलता है। सड़क खंड अबऔर सूरजत्रिज्या के वृत्तों का चाप माना जा सकता है आर= 200 मीटर एक दूसरे को एक बिंदु पर स्पर्श करते हुए पर. सड़क पर कार के दबाव बल को बिंदुओं में निर्धारित करें लेकिनऔर साथ में. जब कोई कार एक बिंदु से गुजरती है तो दबाव बल कैसे बदलता है पर?

बिंदु पर लेकिनगुरुत्वाकर्षण कार पर कार्य कर रहा है आर = एम जीऔर सड़क प्रतिक्रिया बल एन ए. इन बलों के सदिश योग को वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाना चाहिए, अर्थात लंबवत नीचे की ओर, और एक अभिकेन्द्रीय त्वरण बनाना चाहिए: , जहाँ से (एच)। सड़क पर कार का दबाव बल परिमाण के बराबर और प्रतिक्रिया बल की दिशा में विपरीत है। बिंदु पर साथ मेंबलों का वेक्टर योग लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित होता है: तथा (एच)। इस प्रकार, बिंदु पर लेकिनदबाव का बल गुरुत्वाकर्षण बल से कम होता है, और एक बिंदु पर साथ में- अधिक।

बिंदु पर परकार सड़क के उत्तल खंड से अवतल खंड (या इसके विपरीत) तक जाती है। उत्तल खंड पर वाहन चलाते समय, केंद्र की ओर गुरुत्वाकर्षण का प्रक्षेपण सड़क की प्रतिक्रिया बल से अधिक होना चाहिए नायब 1, और . सड़क के अवतल खंड पर गाड़ी चलाते समय, इसके विपरीत, सड़क की प्रतिक्रिया बल एन बी 2 गुरुत्वाकर्षण के प्रक्षेपण से बेहतर प्रदर्शन करता है: .

इन समीकरणों से हम प्राप्त करते हैं कि बिंदु से गुजरते समय परसड़क पर कार का दबाव बल ≈ 6·10 3 एन के मान से अचानक बदल जाता है। बेशक, ऐसे शॉक लोड कार और सड़क दोनों पर विनाशकारी रूप से कार्य करते हैं। इसलिए, सड़कें और पुल हमेशा अपने वक्रता परिवर्तन को सुचारू रूप से बदलने की कोशिश करते हैं।

जब कोई कार एक वृत्त के अनुदिश स्थिर गति से चलती है, तो वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा पर सभी बलों के प्रक्षेपणों का योग शून्य के बराबर होना चाहिए। हमारे मामले में, गुरुत्वाकर्षण के स्पर्शरेखा घटक को कार के पहियों और सड़क के बीच घर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाता है।

घर्षण बल का परिमाण मोटर द्वारा पहियों पर लगाए गए बलाघूर्ण द्वारा नियंत्रित होता है। यह क्षण सड़क के सापेक्ष पहियों के खिसकने का कारण बनता है। इसलिए, एक घर्षण बल उत्पन्न होता है जो फिसलन को रोकता है और लागू क्षण के समानुपाती होता है। घर्षण बल का अधिकतम मान है कश्मीर नहीं, कहाँ पे ककार के टायरों और सड़क के बीच घर्षण का गुणांक है, एन- सड़क पर दबाव का बल। जब कार नीचे जाती है, तो घर्षण बल एक ब्रेकिंग बल की भूमिका निभाता है, और ऊपर जाने पर, इसके विपरीत, कर्षण बल की भूमिका निभाता है।

टास्क 9. वाहन द्रव्यमान एम= 0.5 t, = 200 किमी/घंटा की गति से चलते हुए, त्रिज्या . का एक "डेड लूप" बनाता है आर= 100 मीटर (चित्र 8)। लूप के शीर्ष पर सड़क पर कार के दबाव बल का निर्धारण करें लेकिन; बिंदु पर पर, जिसका त्रिज्या सदिश एक कोण बनाता है α = 30º ऊर्ध्वाधर के साथ; बिंदु पर साथ मेंजहां कार की गति लंबवत निर्देशित होती है। क्या कार के लिए सड़क पर टायर घर्षण के गुणांक के साथ इतनी स्थिर गति से लूप के साथ चलना संभव है क = 0,5?

लूप के शीर्ष पर, गुरुत्वाकर्षण बल और सड़क की प्रतिक्रिया बल एन एलंबवत नीचे निर्देशित। इन बलों का योग एक अभिकेंद्रीय त्वरण बनाता है: . इसलिए एन।

सड़क पर कार का दबाव बल परिमाण के बराबर और बल के विपरीत दिशा में होता है एन ए.

बिंदु पर परअभिकेन्द्र त्वरण प्रतिक्रिया बल के योग और केंद्र की दिशा में गुरुत्वाकर्षण के प्रक्षेपण द्वारा निर्मित होता है: . यहां से एन।

यह देखना आसान है कि एनबी > एन ए; जैसे-जैसे कोण α बढ़ता है, सड़क का प्रतिक्रिया बल बढ़ता जाता है।

बिंदु पर साथ मेंप्रतिक्रिया बल एच; इस बिंदु पर अभिकेंद्रीय त्वरण केवल प्रतिक्रिया बल द्वारा निर्मित होता है, और गुरुत्वाकर्षण को स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित किया जाता है। लूप के निचले हिस्से के साथ चलते समय, प्रतिक्रिया बल भी अधिकतम मान से अधिक हो जाएगा एच प्रतिक्रिया बल बिंदु पर है डी. अर्थ इस प्रकार, प्रतिक्रिया बल का न्यूनतम मान है।

कार की गति स्थिर रहेगी यदि गुरुत्वाकर्षण का स्पर्शरेखा घटक अधिकतम घर्षण बल से अधिक न हो कश्मीर नहींलूप के सभी बिंदुओं पर। यह शर्त निश्चित रूप से संतुष्ट है यदि न्यूनतम मूल्य भार बल के स्पर्शरेखा घटक के अधिकतम मान से अधिक है। हमारे मामले में, यह अधिकतम मूल्य बराबर है एम जी(यह बिंदु पर पहुंचा है साथ में), और शर्त संतुष्ट है क= 0.5, = 200 किमी/घंटा, आर= 100 मी.

इस प्रकार, हमारे मामले में, एक स्थिर गति से "डेड लूप" के साथ कार की आवाजाही संभव है।

अब इंजन बंद होने के साथ "डेड लूप" के साथ कार की गति पर विचार करें। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, आमतौर पर घर्षण बल का क्षण मोटर द्वारा पहियों पर लगाए गए क्षण का विरोध करता है। जब कार इंजन बंद करके चलती है, तो यह क्षण अनुपस्थित होता है, और कार के पहियों और सड़क के बीच घर्षण बल की उपेक्षा की जा सकती है।

कार की गति अब स्थिर नहीं रहेगी - गुरुत्वाकर्षण का स्पर्शरेखा घटक धीमा हो जाता है या "डेड लूप" के साथ कार की गति को तेज कर देता है। अभिकेन्द्रीय त्वरण भी परिवर्तित होगा। यह हमेशा की तरह, सड़क के परिणामी प्रतिक्रिया बल और लूप के केंद्र की दिशा में गुरुत्वाकर्षण के प्रक्षेपण द्वारा बनाया गया है।

टास्क 10. लूप के नीचे कार की न्यूनतम गति क्या होनी चाहिए डी(अंजीर देखें। 8) इसे इंजन बंद करने के लिए? बिंदु पर सड़क पर कार का दाब बल कितना होगा पर? लूप त्रिज्या आर= 100 मीटर, वाहन का वजन एम= 0.5 टी।

आइए देखें कि लूप के शीर्ष पर कार की न्यूनतम गति क्या हो सकती है लेकिनसर्कल के चारों ओर घूमते रहने के लिए?

सड़क पर उस बिंदु पर अभिकेंद्रीय त्वरण गुरुत्वाकर्षण बल और सड़क के प्रतिक्रिया बल के योग से बनता है . कार की गति जितनी कम होगी, प्रतिक्रिया बल उतना ही कम होगा। एन ए. एक मूल्य के साथ, यह बल गायब हो जाता है। कम गति पर, गुरुत्वाकर्षण अभिकेन्द्रीय त्वरण बनाने के लिए आवश्यक मान से अधिक हो जाएगा, और कार सड़क से ऊपर उठ जाएगी। गति से, सड़क का प्रतिक्रिया बल केवल लूप के शीर्ष पर गायब हो जाता है। वास्तव में, लूप के अन्य खंडों में कार की गति अधिक होगी, और जैसा कि पिछली समस्या के समाधान से देखना आसान है, सड़क की प्रतिक्रिया बल भी बिंदु से अधिक होगा लेकिन. इसलिए, यदि लूप के शीर्ष पर कार की गति है, तो यह लूप को कहीं भी नहीं छोड़ेगी।

अब हम निर्धारित करते हैं कि लूप के नीचे कार की गति क्या होनी चाहिए डीलूप के शीर्ष पर लेकिनउसकी गति। गति ज्ञात करने के लिए डीआप ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग कर सकते हैं, जैसे कि कार केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में चल रही थी। तथ्य यह है कि प्रत्येक क्षण सड़क की प्रतिक्रिया बल कार की गति के लंबवत निर्देशित होती है, और इसलिए, इसका कार्य शून्य है (याद रखें कि कार्य ए = एफ·Δ एस cos α, जहां α बल . के बीच का कोण है एफऔर आंदोलन की दिशा एस) इंजन बंद करके गाड़ी चलाते समय कार के पहियों और सड़क के बीच घर्षण बल की उपेक्षा की जा सकती है। इसलिए, इंजन बंद करके गाड़ी चलाते समय कार की स्थितिज और गतिज ऊर्जा का योग नहीं बदलता है।

आइए हम बिंदुओं पर कार की ऊर्जा के मूल्यों की बराबरी करें लेकिनऔर डी. इस मामले में, हम बिंदु के स्तर से ऊंचाई की गणना करेंगे डीअर्थात् इस बिंदु पर कार की स्थितिज ऊर्जा शून्य के बराबर मानी जाएगी। तब हमें मिलता है

यहां वांछित गति के लिए मान को प्रतिस्थापित करना डी, हम पाते हैं: 70 m/s 260 km/h।

यदि कार इस गति से लूप में प्रवेश करती है, तो वह इसे इंजन बंद करके पूरा करने में सक्षम होगी।

आइए अब यह निर्धारित करें कि कार किस बिंदु पर सड़क पर दबाव डालेगी पर. बिंदु पर वाहन की गति परफिर से ऊर्जा के संरक्षण के नियम से इसे खोजना आसान है:

यहाँ मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि गति .

पिछली समस्या के समाधान का उपयोग करते हुए, दी गई गति के लिए, हम बिंदु पर दबाव बल पाते हैं बी:

इसी तरह, आप "डेड लूप" के किसी अन्य बिंदु पर दबाव बल पा सकते हैं।

अभ्यास

1. क्रांति की अवधि के साथ एक वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए एक कृत्रिम पृथ्वी उपग्रह का कोणीय वेग ज्ञात कीजिए टी= 88 मि. इस उपग्रह की रैखिक गति ज्ञात कीजिए, यदि यह ज्ञात हो कि इसकी कक्षा कुछ दूरी पर स्थित है आर= पृथ्वी की सतह से 200 किमी.

2. डिस्क त्रिज्या आरदो समानांतर सलाखों के बीच रखा गया। रेल 1 और υ 2 की गति से चलती है। डिस्क का कोणीय वेग और उसके केंद्र का वेग निर्धारित करें। कोई फिसलन नहीं है।

3. डिस्क बिना खिसके क्षैतिज सतह पर लुढ़कती है। दिखाएँ कि ऊर्ध्वाधर व्यास बिंदुओं के वेग सदिशों के सिरे एक ही सीधी रेखा पर हैं।

4. विमान एक वृत्त में निरंतर क्षैतिज गति = 700 किमी/घंटा के साथ गति करता है। त्रिज्या को परिभाषित करें आरयह वृत्त यदि वायुयान का पिंड कोण α = 5° पर झुका हुआ है।

5. मास लोड एम\u003d 100 ग्राम, लंबाई के धागे पर निलंबित मैं= 1 मी, एक क्षैतिज तल में एक वृत्त में समान रूप से घूमता है। भार के घूर्णन की अवधि ज्ञात कीजिए, यदि इसके घूर्णन के दौरान धागे को α = 30° कोण से लंबवत रूप से विक्षेपित किया जाता है। धागे का तनाव भी ज्ञात कीजिए।

6. कार त्रिज्या के एक ऊर्ध्वाधर सिलेंडर की आंतरिक सतह के साथ υ = 80 किमी / घंटा की गति से चलती है आर= 10 मी एक क्षैतिज वृत्त में। कार के टायरों और सिलेंडर की सतह के बीच घर्षण के किस न्यूनतम गुणांक पर यह संभव है?

7. मास लोड एमएक अविभाज्य धागे से निलंबित, जिसका अधिकतम संभव तनाव 1.5 . है एम जी. किस अधिकतम कोण पर α धागे को ऊर्ध्वाधर से विक्षेपित किया जा सकता है ताकि भार के आगे बढ़ने के दौरान धागा टूट न जाए? उस समय धागे का तनाव क्या होगा जब धागा ऊर्ध्वाधर के साथ α/2 कोण बनाता है?

जवाब

I. कृत्रिम पृथ्वी उपग्रह का कोणीय वेग 0.071 rad/s. उपग्रह का रैखिक वेग υ = · आर. कहाँ पे आरकक्षा की त्रिज्या है। यहां प्रतिस्थापित करना आर = आर 3 + एच, कहाँ पे आर 3 6400 किमी, हम υ 467 किमी/सेकंड पाते हैं।

2. यहाँ दो स्थितियाँ संभव हैं (चित्र 1)। यदि डिस्क का कोणीय वेग है, और इसके केंद्र का वेग है, तो रेल के संपर्क में बिंदुओं का वेग क्रमशः बराबर होगा

मामले में ए) 1 = υ + आर, 2 = - आर;

मामले में बी) 1 = υ + आर, 2 = आर – υ.

(हमने निश्चित रूप से माना कि 1 > υ 2)। इन प्रणालियों को हल करते हुए, हम पाते हैं:

ए)

बी)

3. किसी भी बिंदु की गति एमखंड पर झूठ बोलना ओवी(चित्र 2 देखें) सूत्र . द्वारा पाया जाता है एम = υ + ω· आरएम, कहाँ पे आर एम- बिंदु से दूरी एमडिस्क के केंद्र में हे. किसी भी बिंदु के लिए एनखंड से संबंधित ओए, हमारे पास है: एन = υ – ω· आरएन, कहाँ पे आर.एन.- बिंदु से दूरी एनकेंद्र को। व्यास के किसी भी बिंदु से दूरी . द्वारा निरूपित करें वीएमुद्दे पर लेकिनविमान के साथ डिस्क का संपर्क। तब यह स्पष्ट है कि आर एम = ρ – आरऔर आर.एन. = आर – ρ = –(ρ – आर) कहाँ पे आरडिस्क त्रिज्या है। अत: व्यास पर किसी बिंदु की चाल वीएसूत्र द्वारा पाया जाता है: = υ + ω (ρ - आर) चूँकि डिस्क बिना खिसके लुढ़कती है, तो गति के लिए हम = ω · प्राप्त करते हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वेग सदिशों के सिरे बिंदु से निकलने वाली सीधी रेखा पर होते हैं लेकिनऔर व्यास के लिए झुका हुआ वीएडिस्क के घूर्णन के कोणीय वेग के समानुपाती कोण पर।

सिद्ध कथन हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि व्यास पर स्थित बिंदुओं की जटिल गति वीए, किसी भी क्षण एक निश्चित बिंदु के चारों ओर एक साधारण घुमाव के रूप में माना जा सकता है लेकिनएक कोणीय वेग के साथ डिस्क के केंद्र के चारों ओर घूमने के कोणीय वेग के बराबर। दरअसल, हर पल इन बिंदुओं के वेग व्यास के लंबवत निर्देशित होते हैं वीए, और परिमाण में के गुणनफल और बिंदु . की दूरी के बराबर हैं लेकिन.

यह पता चला है कि डिस्क पर किसी भी बिंदु के लिए यह कथन सत्य है। इसके अलावा, यह एक सामान्य नियम है। एक कठोर शरीर के किसी भी आंदोलन के साथ, हर पल एक धुरी होती है जिसके चारों ओर शरीर बस घूमता है - घूर्णन की तात्कालिक धुरी।

4. विमान गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित होता है (चित्र 3 देखें)। आर = एम जीऔर भारोत्तोलन बल एन, पंखों के तल के लंबवत निर्देशित (चूंकि विमान एक स्थिर गति से आगे बढ़ रहा है, थ्रस्ट फोर्स और एयर ड्रैग फोर्स एक दूसरे को संतुलित करते हैं)। पारिणामिक शक्ति आर

6. गुरुत्वाकर्षण से कार प्रभावित होती है (चित्र 5) आर = एम जी, सिलेंडर की तरफ से प्रतिक्रिया बल एनऔर घर्षण बल एफटी.पी. चूँकि कार एक क्षैतिज वृत्त में घूम रही है, बल आरऔर एफ tp एक दूसरे को संतुलित करते हैं, और बल एनअभिकेन्द्रीय त्वरण बनाता है। घर्षण बल का अधिकतम मान प्रतिक्रिया बल से संबंधित होता है एनअनुपात: एफटीपी = कश्मीर नहीं. नतीजतन, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं: , जिससे घर्षण गुणांक का न्यूनतम मान प्राप्त होता है

7. भार त्रिज्या के एक वृत्त में घूमेगा मैं(चित्र 6)। भार का अभिकेन्द्रीय त्वरण (υ - भार की गति) धागा तनाव बल के मूल्यों में अंतर से निर्मित होता है टीऔर गुरुत्वाकर्षण अनुमान एम जीधागा दिशा: . इसलिए , जहां β ऊर्ध्वाधर के साथ धागे द्वारा गठित कोण है। जैसे-जैसे भार कम होगा, इसकी गति बढ़ेगी और कोण β घटेगा। धागे का तनाव कोण β = 0 पर अधिकतम हो जाएगा (उस समय जब धागा लंबवत होता है): . भार की अधिकतम गति 0 कोण α से पाई जाती है, जिसके द्वारा ऊर्जा के संरक्षण के नियम से धागा विक्षेपित होता है:

इस अनुपात का उपयोग करते हुए, धागे के तनाव के अधिकतम मूल्य के लिए, हम सूत्र प्राप्त करते हैं: टीअधिकतम = एम जी(3 - 2 कॉस α)। कार्य के अनुसार टीएम कुल्हाड़ी = 2मी ग्राम. इन व्यंजकों की बराबरी करने पर हम पाते हैं कि cos α = 0.5 और इसलिए α = 60° है।

आइए अब धागे का तनाव ज्ञात करें। इस समय भार की गति ऊर्जा संरक्षण के नियम से भी ज्ञात होती है:

तनाव बल के सूत्र में 1 के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

समाधान और अभ्यास के उत्तर के साथ समस्याएं

द्रव्यमान का एक पहिया M और त्रिज्या r एक सीधी क्षैतिज रेल के साथ फिसले बिना लुढ़कता है। गति के तल के लंबवत पहिया के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता के बलों के मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण का निर्धारण करें। एक ठोस सजातीय डिस्क के रूप में पहिया पर विचार करें। द्रव्यमान का केंद्र कानून के अनुसार चलता है xC=at2/2, जहां एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है। मुख्य वेक्टर और इसके माध्यम से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष ग्रह तंत्र के चल पहिया 2 की जड़ता बलों का मुख्य क्षण निर्धारित करें गति के तल के लंबवत द्रव्यमान का केंद्र। OC क्रैंक स्थिर कोणीय गति से घूमता है। पहिए 2 का द्रव्यमान M के बराबर है। पहियों की त्रिज्या r है। लंबाई 2l और द्रव्यमान M की एक सजातीय पतली छड़ AB का अंत A एक क्षैतिज गाइड के साथ एक स्टॉप E की मदद से स्थिर गति से चलता है। , और रॉड हमेशा कोण डी पर टिकी हुई है। कोण के आधार पर गति के विमान के लंबवत रॉड के द्रव्यमान सी के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष मुख्य वेक्टर और बलों के मुख्य क्षण को निर्धारित करें। के अनुसार। पिछली समस्या के लिए, कोण डी पर रॉड के गतिशील दबाव एनडी का निर्धारण करें। ट्रॉलीबस के मंदी को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित करने के लिए, एक तरल एक्सेलेरोमीटर का उपयोग किया जाता है, जिसमें तेल से भरी एक घुमावदार ट्यूब होती है और एक लंबवत विमान में स्थित होती है। ब्रेकिंग के दौरान ट्रॉलीबस के मंदी की मात्रा निर्धारित करें, यदि उसी समय गति की दिशा में स्थित ट्यूब के अंत में तरल स्तर h2 तक बढ़ जाता है, और विपरीत छोर पर h1 तक घट जाता है। α1=α2=45°, h1=25 मिमी, h2=75 मिमी। एक क्षैतिज तल के साथ एक प्रिज्म को किस त्वरण के साथ चलना चाहिए, जिसका पार्श्व फलक एक कोण बनाता है α क्षितिज के साथ, ताकि भार पक्ष पर पड़े चेहरा प्रिज्म के सापेक्ष गति नहीं करता है? धातु बार (थकान परीक्षण) पर तेजी से वैकल्पिक तन्यता और संपीड़न बलों के प्रभाव का अध्ययन, परीक्षण बार ए क्रैंक तंत्र बीसीओ के स्लाइडर बी के ऊपरी छोर पर जुड़ा हुआ है, और द्रव्यमान M का भार निचले सिरे से निलंबित है। बल तन्यता बार का पता लगाएं, उस स्थिति में जब क्रैंक OC अक्ष O के चारों ओर एक स्थिर कोणीय वेग के साथ घूमता है, जोर असर A और असर B की समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करता है (1/3)g के त्वरण के साथ 3 टन के द्रव्यमान का भार E उठाते समय रोटरी क्रेन। क्रेन का द्रव्यमान 2 टन है, और इसका द्रव्यमान केंद्र बिंदु C पर है। ट्रॉली D का द्रव्यमान 0.5 t है। क्रेन और ट्रॉली स्थिर हैं, थ्रस्ट बेयरिंग A और बेयरिंग B की समर्थन प्रतिक्रिया निर्धारित करें पिछली समस्या में माना जाने वाला रोटरी क्रेन, जब ट्रॉली बिना लोड ई के 0,5g के त्वरण के साथ बाईं ओर चलती है। ट्रॉली के द्रव्यमान का केंद्र समर्थन B के स्तर पर है। 7 टन द्रव्यमान का एक ट्रक 12 किमी/घंटा की गति से दो समानांतर रस्सियों के साथ किनारे से बंधा हुआ नौका पर ड्राइव करता है; ब्रेक ट्रक को 3 मीटर तक रोकते हैं। यह मानते हुए कि फेरी डेक पर पहियों का घर्षण बल स्थिर है, रस्सियों का तनाव निर्धारित करें। फेरी के द्रव्यमान और त्वरण पर ध्यान न दें। M द्रव्यमान की एक कार त्वरण w के साथ एक सीधी रेखा में चलती है। कार के आगे और पीछे के पहियों के ऊर्ध्वाधर दबाव का निर्धारण करें यदि इसका द्रव्यमान C का केंद्र जमीन की सतह से h ऊँचाई पर है। द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर से कार के आगे और पीछे के धुरों की दूरी क्रमशः a और b के बराबर होती है। पहियों के द्रव्यमान पर ध्यान न दें। कार को कैसे आगे बढ़ना चाहिए ताकि आगे और पीछे के पहियों का दबाव बराबर हो? किस त्वरण के साथ द्रव्यमान M1 का भार गिरता है, चित्र में दिखाए गए चेन होइस्ट का उपयोग करके द्रव्यमान M2 के भार को बढ़ाता है? भार M1 के एकसमान संचलन के लिए क्या स्थिति है? ब्लॉकों और केबल के द्रव्यमान पर ध्यान न दें। द्रव्यमान M की एक चिकनी कील और शीर्ष पर 2α के कोण के साथ, M1 द्रव्यमान की दो प्लेटों को धक्का देती है, जो एक चिकनी क्षैतिज तालिका पर आराम करती हैं। पच्चर और प्लेटों की गति के समीकरण लिखें और प्रत्येक प्लेट पर पच्चर के दबाव बल का निर्धारण करें। द्रव्यमान M1 का एक भार A, नीचे गिरते हुए, फेंके गए एक अविभाज्य धागे के माध्यम से द्रव्यमान M2 के भार B को गति में सेट करता है एक निश्चित ब्लॉक सी पर। फर्श पर टेबल D का दबाव बल निर्धारित करें यदि इसका द्रव्यमान M3 है। धागे के द्रव्यमान पर ध्यान न दें। द्रव्यमान M1 का एक भार A, एक झुकाव वाले विमान D से नीचे उतरता है, एक कोण बनाता है α क्षितिज के साथ, एक निश्चित ब्लॉक C पर फेंके गए एक अविभाज्य धागे के माध्यम से द्रव्यमान M2 के भार B को गति में सेट करता है . फर्श के फलाव पर झुकाव वाले विमान डी के दबाव के क्षैतिज घटक का निर्धारण करें ई। धागे के द्रव्यमान को अनदेखा करें। द्रव्यमान एम और लंबाई की एक सजातीय छड़ एक स्थिर कोणीय वेग के साथ घूमती है ω रॉड के लंबवत एक निश्चित ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर और उसके अंत से गुजरते हुए। रोटेशन की धुरी से दूरी पर रॉड के क्रॉस सेक्शन में तन्यता बल का निर्धारण करें। द्रव्यमान की एक सजातीय आयताकार प्लेट एक कोणीय वेग के साथ एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर समान रूप से घूमती है। रोटेशन की धुरी से गुजरने वाले खंड में रोटेशन की धुरी के लंबवत दिशा में प्लेट को फाड़ने वाले बल का निर्धारण करें। त्रिज्या R और द्रव्यमान M की एक समान गोल डिस्क अपने ऊर्ध्वाधर व्यास के चारों ओर एक निरंतर कोणीय वेग ω के साथ घूमती है। व्यास के साथ डिस्क को फाड़ने वाले बल का निर्धारण करें। लंबाई l और द्रव्यमान M की एक पतली आयताकार सजातीय छड़ एक स्थिर कोणीय वेग के साथ घूमती है ω एक निश्चित बिंदु O (गोलाकार जोड़) के चारों ओर, अक्ष OA और बिंदु O पर शीर्ष के साथ एक शंक्वाकार सतह का वर्णन करता है . ऊर्ध्वाधर दिशा से रॉड के विचलन के कोण की गणना करें, साथ ही काज ओ पर रॉड के दबाव के मूल्य एन की गणना करें। एक केन्द्रापसारक टैकोमीटर में, लंबाई ए और बी की दो पतली समान सीधी छड़ें कठोरता से जुड़ी होती हैं समकोण, जिसका शीर्ष O एक ऊर्ध्वाधर शाफ्ट से मुख्य रूप से जुड़ा हुआ है; शाफ्ट एक स्थिर कोणीय वेग पर घूमता है। लंबाई a और ऊर्ध्वाधर की एक छड़ की दिशा द्वारा गठित ω और विक्षेपण कोण के बीच संबंध खोजें। एक पतली समान सीधी छड़ AB बिंदु O पर एक ऊर्ध्वाधर शाफ्ट से मुख्य रूप से जुड़ी हुई है। शाफ्ट एक स्थिर गति से घूमता है। यदि OA=a और OB=b हो तो ऊर्ध्वाधर से छड़ का विचलन कोण ज्ञात कीजिए। एक पहिये से बेयरिंग की दूरी आपस में बराबर होती है। जब शाफ्ट 1200 आरपीएम बनाता है तो बीयरिंगों पर दबाव बलों का पता लगाएं। चक्का में रोटेशन की धुरी के लंबवत समरूपता का एक विमान होता है। द्रव्यमान की एक सजातीय गोल डिस्क एक कोणीय वेग के साथ समान रूप से घूमती है ω डिस्क के विमान में स्थित एक निश्चित अक्ष के चारों ओर और कुछ दूरी पर द्रव्यमान सी के केंद्र से दूरी पर ओसी = ए। ओबी = ओए अगर जोर असर ए और असर बी पर गतिशील धुरी दबाव की ताकतों का निर्धारण करें। एक्स और वाई अक्ष हमेशा डिस्क से जुड़े होते हैं। पिछली समस्या को इस धारणा के तहत हल करें कि प्रतिरोध बलों की उपस्थिति में, कानून के अनुसार डिस्क का कोणीय वेग कम हो जाता है ω=ω0-ε0t, जहां ω0 और ε0 सकारात्मक हैं दो छड़ों के माध्यम से दो भार C और D को स्थिर करता है OC=OD=r अक्ष AB के लंबवत और, इसके अलावा, परस्पर लंबवत। जोर असर ए और असर बी पर धुरी एबी के गतिशील दबाव की ताकतों का निर्धारण करें। वजन सी और डी को द्रव्यमान एम के भौतिक बिंदुओं के रूप में मानें। छड़ के द्रव्यमान पर ध्यान न दें। शुरुआती समय में, सिस्टम आराम पर था। x और y कुल्हाड़ियों को छड़ से मजबूती से जोड़ा जाता है। लंबाई 2l की एक छड़ AB, जिसके सिरों पर समान द्रव्यमान M का भार होता है, एक कोणीय वेग के साथ समान रूप से घूमता है ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर Oz मध्य O से होकर गुजरता है रॉड की लंबाई। बेयरिंग C से बिंदु O की दूरी a है, थ्रस्ट बेयरिंग D से b है। रॉड AB और अक्ष Oz के बीच का कोण एक स्थिर मान α रखता है। रॉड के द्रव्यमान और वजन के आयामों की उपेक्षा करते हुए, उस समय असर सी और जोर असर डी पर दबाव बलों के अनुमानों को निर्धारित करें जब रॉड ओयज़ विमान में हो। अक्ष एबी के सिरों को रखा गया है लंबाई l और द्रव्यमान M1 के दो समान क्रैंक AC और BD पर, एक दूसरे के सापेक्ष 180 ° के कोण पर बंधा हुआ। लंबाई 2a और द्रव्यमान M2 का धुरा AB एक दूसरे से 2b की दूरी पर समरूप रूप से स्थित बीयरिंगों E और F में स्थिर कोणीय वेग ω पर घूमता है। जब एसी क्रैंक लंबवत ऊपर की ओर इशारा कर रहा हो, तो बियरिंग्स पर दबाव बल NE और NF निर्धारित करें। प्रत्येक क्रैंक के द्रव्यमान को अपनी धुरी के साथ समान रूप से वितरित माना जाता है। क्षैतिज शाफ्ट एबी के लिए, एक निरंतर कोणीय वेग ω पर घूमते हुए, लंबाई की दो समान छड़ें, इसके लंबवत, परस्पर लंबवत विमानों में पड़ी हुई हैं। छड़ों के सिरों पर प्रत्येक m द्रव्यमान की गेंदें D और E हैं। समर्थन ए और बी पर शाफ्ट के गतिशील दबाव की ताकतों का निर्धारण करें। गेंदों को भौतिक बिंदुओं के रूप में मानें; छड़ों के द्रव्यमान पर ध्यान न दें। दो छड़ें एक स्थिर कोणीय वेग पर घूमते हुए एक ऊर्ध्वाधर शाफ्ट AB से कठोरता से जुड़ी होती हैं। रॉड OE शाफ्ट के साथ एक कोण बनाता है, रॉड OD शाफ्ट AB और रॉड OE वाले तल के लंबवत है। दिए गए आयाम: OE=OD=l, AB=2a. द्रव्यमान की दो गेंदें E और D प्रत्येक छड़ के सिरों से जुड़ी होती हैं। समर्थन ए और बी पर शाफ्ट के गतिशील दबाव बलों का निर्धारण करें। गेंदों डी और ई को बिंदु द्रव्यमान के रूप में मानें; छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। समस्या 34.1 की स्थिति का उपयोग करते हुए, बीयरिंग K और L पर क्रैंकशाफ्ट के गतिशील दबाव बलों को निर्धारित करें। शाफ्ट कोणीय वेग के साथ समान रूप से घूमता है एक समरूप रॉड KL, एक कोण पर केंद्र में संलग्न होता है α ऊर्ध्वाधर अक्ष AB पर, कोणीय त्वरण के साथ इस अक्ष के चारों ओर समान रूप से त्वरित रूप से घूमता है। जोर असर ए और असर बी पर धुरी एबी के गतिशील दबाव की ताकतों का निर्धारण करें, यदि: एम रॉड का द्रव्यमान है, 2 एल इसकी लंबाई है, ओए = ओबी = एच/2; ओके = ओएल = एल। प्रारंभिक क्षण में, सिस्टम आराम पर था। एक समरूप आयताकार प्लेट OABD द्रव्यमान M की भुजाओं a और b के साथ, OA की ओर से शाफ्ट OE से जुड़ी हुई है, एक निरंतर कोणीय वेग के साथ घूमती है। समर्थन OE=2a के बीच की दूरी। समर्थन O और E पर शाफ्ट के गतिशील दबाव के पार्श्व बलों की गणना करें। द्रव्यमान M, लंबाई 2l और त्रिज्या r का एक सीधा सजातीय गोल सिलेंडर ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक निरंतर कोणीय वेग के साथ घूमता है O द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है। सिलेंडर का; सिलेंडर Oζ के अक्ष और अक्ष Oz के बीच का कोण एक स्थिर मान α बनाए रखता है। थ्रस्ट बेयरिंग और बेयरिंग के बीच की दूरी H1H2 h के बराबर है। उन पर पार्श्व दबाव बलों का निर्धारण करें, यह मानते हुए कि धुरी AB डिस्क के केंद्र O से होकर गुजरती है, भाप टरबाइन की एक सजातीय पतली गोल डिस्क सीडी के अक्ष AB के चारों ओर घूमने के दौरान बीयरिंग A और B में दबाव बलों की गणना करें, लेकिन कारण झाड़ी की गलत रीमिंग के लिए, यह डिस्क प्लेन के लंबवत कोण AOE बनाता है =α=0.02 rad. दिया गया है: डिस्क का द्रव्यमान 3.27 किग्रा है, इसकी त्रिज्या 20 सेमी है, कोणीय वेग 30,000 आरपीएम से मेल खाता है, दूरी एओ = 50 सेमी, ओबी = 30 सेमी; अक्ष AB को पूर्ण रूप से कठोर माना जाता है और sin 2α=2α। भाप टरबाइन की गोल डिस्क के गलत संयोजन के परिणामस्वरूप, डिस्क का तल AB अक्ष के साथ कोण α बनाता है, और डिस्क के द्रव्यमान C का केंद्र इस अक्ष पर नहीं होता है। विलक्षणता OC=a. बीयरिंग ए और बी पर गतिशील दबाव के पार्श्व बलों का पता लगाएं, यदि डिस्क द्रव्यमान एम है, इसकी त्रिज्या आर है, और एओ = ओबी = एच; डिस्क का कोणीय वेग स्थिर है

पृथ्वी के रैखिक वेग का पता लगाएं वीअपनी कक्षीय गति के दौरान। पृथ्वी की कक्षा की औसत त्रिज्या आर\u003d 1.5 10 8 किमी।

उत्तर और समाधान

वी≈ 30 किमी/सेकंड।

वी = 2आर/(365 24 60 60)।

1.5 मीटर की त्रिज्या वाला एक विमान प्रोपेलर 2000 मिनट -1 की आवृत्ति के साथ लैंडिंग के दौरान घूमता है, पृथ्वी के सापेक्ष विमान की लैंडिंग गति 162 किमी/घंटा है। प्रोपेलर के अंत में बिंदु की गति निर्धारित करें। इस बिंदु का प्रक्षेपवक्र क्या है?

उत्तर और समाधान

वी≈ 317 मी/से. प्रोपेलर के अंत में बिंदु पिच के साथ एक हेलिक्स का वर्णन करता है एच≈ 1.35 मी.

विमान प्रोपेलर की आवृत्ति पर घूमता है:

λ = 2000/60 एस -1 = 33.33 एस -1।

प्रोपेलर के अंत में बिंदु की रैखिक गति:

वीलिन = 2 Rλ≈ 314 मी/से.

विमान लैंडिंग गति वी= 45 मी/से.

प्रोपेलर के अंत में बिंदु की परिणामी गति प्रोपेलर के रोटेशन के दौरान रैखिक गति के वैक्टर और लैंडिंग के दौरान विमान की गति के योग के बराबर होती है:

वीकट = 317 मी/से.

पेचदार प्रक्षेपवक्र का चरण बराबर है:

एच = वी/λ ≈ 1.35 मी.

डिस्क त्रिज्या आरनिरंतर गति से फिसले बिना लुढ़कता है वी. डिस्क पर उन बिंदुओं का स्थान ज्ञात करें जिनकी वर्तमान में गति है वी.

जवाब

एक डिस्क पर बिंदुओं का स्थान जिसमें गति होती है वीइस समय चाप की त्रिज्या है आर, जिसका केंद्र विमान के साथ डिस्क के संपर्क के बिंदु पर स्थित है, अर्थात। रोटेशन के तात्कालिक केंद्र पर।

बेलनाकार रोलर त्रिज्या आरदो समानांतर सलाखों के बीच रखा गया। रेकी एक दिशा में गति v 1 और v 2 के साथ चलती है।

यदि कोई फिसलन न हो तो रोलर के घूर्णन की कोणीय गति और उसके केंद्र की गति निर्धारित करें। मामले के लिए समस्या को हल करें जब रेल के वेग अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित होते हैं।

जवाब

; .

स्थिर गति से बिना खिसके क्षैतिज तल पर लुढ़कता है वीघेरा त्रिज्या के साथ आर. पृथ्वी के सापेक्ष घेरा के विभिन्न बिंदुओं के वेग और त्वरण क्या हैं? विमान के साथ घेरा के संपर्क बिंदु और घेरा के दिए गए बिंदु के बीच खींची गई ऊर्ध्वाधर और सीधी रेखा के बीच के कोण के कार्य के रूप में गति को व्यक्त करें।

जवाब

वीए = 2 वीसी कोस α . रिम बिंदुओं के त्वरण में के बराबर केवल एक अभिकेंद्री घटक होता है एसी = वी 2 /आर.

कार गति से आगे बढ़ रही है वी= 60 किमी/घंटा। किस आवृत्ति के साथ एनइसके पहिये घूमते हैं यदि वे बिना फिसले राजमार्ग पर लुढ़कते हैं, और पहियों के टायरों का बाहरी व्यास है डी= 60 सेमी? अभिकेन्द्रीय त्वरण ज्ञात कीजिए एइसके पहियों के टायरों पर रबर की बाहरी परत tss.

जवाब

एन≈ 8.84 एस -1; एसी ≈ 926 एम / एस 2।

एक पतली दीवार वाले सिलेंडर को एक क्षैतिज तल पर रखा जाता है, जो गति से घूमता है वी 0 अपनी धुरी के चारों ओर। जब समतल के सापेक्ष बेलन का खिसकना रुक जाता है तो बेलन के अक्ष की गति की गति क्या होगी?

जवाब

वी = वी 0 /2.

क्या वृत्त में एकसमान गतिमान पिंड पर लगने वाले सभी बलों का परिणामी कार्य करता है?

जवाब

द्रव्यमान का भार एमएक क्षैतिज छड़ पर बिना किसी घर्षण के स्लाइड कर सकता है जो इसके एक छोर से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में घूमती है। लोड एक स्प्रिंग द्वारा रॉड के इस सिरे से जुड़ा होता है, जिसकी लोच का गुणांक है क. किस कोणीय गति से ω क्या वसंत अपनी मूल लंबाई के 50% तक फैल जाएगा?

जवाब

दो बिंदु द्रव्यमान एम 1 और एम 2 धागे से जुड़े हुए हैं और पूरी तरह से चिकनी मेज पर हैं। उनसे धागे के निश्चित छोर तक की दूरी हैं मैं 1 और मैं 2 क्रमशः।

प्रणाली एक क्षैतिज विमान में एक कोणीय वेग के साथ निश्चित अंत से गुजरने वाली धुरी के बारे में घूमती है ω . धागे के वर्गों के तनाव बलों का पता लगाएं टी 1 और टी 2 .

जवाब

टी 1 = (एम 1 मैं 1 +एम 2 मैं 2)ω 2 ; टी 2 = एम 2 ω 2 मैं 2 .

एक आदमी त्रिज्या के साथ एक गोल क्षैतिज मंच के किनारे पर बैठता है आर\u003d 4 मीटर। किस आवृत्ति के साथ एनप्लेटफ़ॉर्म को एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमना चाहिए ताकि कोई व्यक्ति उस पर घर्षण के गुणांक के साथ न रह सके क=0,27?

जवाब

एन= 6.75 मिनट -1।

शरीर का द्रव्यमान एमदूरी पर एक क्षैतिज डिस्क पर स्थित आरधुरी से। डिस्क धीमी गति से घूमने लगती है। डिस्क रोटेशन के कोणीय वेग पर, शरीर पर अभिनय करते हुए, रेडियल दिशा में घर्षण बल घटक की निर्भरता का एक ग्राफ बनाएं। डिस्क के कोणीय वेग के किस मान पर पिंड खिसकना शुरू करेगा?

जवाब

मास स्टोन एम=0.5 किग्रा, एक रस्सी की लंबाई से बंधा हुआ मैं=50 सेमी, एक ऊर्ध्वाधर तल में घूमता है। रस्सी में तनाव जब पत्थर वृत्त के सबसे निचले बिंदु से गुजरता है टी\u003d 44 एन। किस ऊंचाई तक एचक्या कोई पत्थर वृत्त के सबसे निचले बिंदु से ऊपर उठेगा यदि रस्सी को काट दिया जाए जबकि उसका वेग लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित हो?

जवाब

एच 2 मी.

एथलीट दूर तक हथौड़ा (केबल पर कोर) भेजता है मैं\u003d 70 मीटर प्रक्षेपवक्र के साथ जो अधिकतम थ्रो रेंज प्रदान करता है। क्या ताकत टीथ्रो के समय एथलीट के हाथों को प्रभावित करता है? हथौड़ा वजन एम= 5 किग्रा. विचार करें कि एथलीट हथौड़े को तेज करता है, इसे एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त के चारों ओर एक ऊर्ध्वाधर विमान में घुमाता है आर\u003d 1.5 मीटर वायु प्रतिरोध को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

जवाब

टी≈ 2205 एन.

वाहन द्रव्यमान एम\u003d 3 * 10 3 किग्रा निरंतर गति से चलता है वी\u003d 36 किमी / घंटा: ए) एक क्षैतिज पुल के साथ; बी) उत्तल पुल के साथ; c) अवतल पुल के साथ। पिछले दो मामलों में पुल की वक्रता त्रिज्या आर\u003d 60 मीटर। पुल पर कार किस बल से (पिछले दो मामलों में) उस समय दबाती है जब पुल के वक्रता केंद्र को कार से जोड़ने वाली रेखा एक कोण बनाती है α =10° ऊर्ध्वाधर के साथ?

जवाब

ए) एफ 1 29400 एन; बी) एफ 2 24,000 एन; में) एफ 3 34,000 एन.

उत्तल पुल पर, जिसकी वक्रता त्रिज्या आर= 90 मीटर, गति के साथ वी= 54 किमी/घंटा द्रव्यमान की कार एम\u003d 2 टी। पुल के बिंदु पर, जिस दिशा में पुल के वक्रता के केंद्र से पुल के शीर्ष की दिशा के साथ कोण बनाता है α , कार जोर से दबाती है एफ= 14 400 N. कोण ज्ञात कीजिए α .

जवाब

α 8.5º.

बॉल मास एम= 100 ग्राम लंबाई के धागे से निलंबित मैं\u003d 1 मीटर। गेंद को घुमाया गया ताकि वह एक क्षैतिज विमान में एक सर्कल में घूमना शुरू कर दे। इस मामले में, ऊर्ध्वाधर के साथ धागे द्वारा बनाया गया कोण, α = 60°। गेंद को घुमाने में किया गया कुल कार्य ज्ञात कीजिए।

जवाब

ए 1.23 जे.

वक्रता त्रिज्या वाले वक्र पर एक कार अधिकतम कितनी गति से यात्रा कर सकती है? आर\u003d 150 मीटर, ताकि यह "स्किड" न हो अगर सड़क पर फिसलने वाले टायरों का घर्षण गुणांक क = 0,42?

जवाब

वी 89 किमी/घंटा।

1. फिसलने वाले घर्षण का अधिकतम गुणांक क्या होना चाहिए ककार के टायरों और डामर के बीच ताकि कार गोल त्रिज्या से गुजर सके आर= 200 मीटर गति से वी= 100 किमी/घंटा?

2. ऑल-व्हील ड्राइव वाली एक कार, सड़क के एक क्षैतिज खंड के साथ चलती हुई, समान रूप से गति पकड़ती है, जो एक सर्कल का चाप है α = 30° त्रिज्या आर= 100 मीटर ट्रैक के सीधे हिस्से पर कार कितनी अधिकतम गति से चल सकती है? जमीन पर पहिया घर्षण का गुणांक क = 0,3.

जवाब

1. क ≈ 0,4.

2. वी≈ 14.5 मी/से.

ट्रेन एक वक्र के साथ त्रिज्या के साथ चलती है आर= 800 मीटर गति के साथ वी= 12 किमी/घंटा। निर्धारित करें कि बाहरी रेल आंतरिक रेल से कितनी ऊँची होनी चाहिए ताकि पहियों पर कोई पार्श्व बल न लगे। रेलों के बीच की क्षैतिज दूरी के बराबर ली जाती है डी= 1.5 मी.

जवाब

ΔH 7.65 सेमी।

एक मोटर साइकिल चालक एक क्षैतिज सड़क पर 72 किमी/घंटा की गति से चला रहा है, 100 मीटर की वक्रता त्रिज्या के साथ एक मोड़ बना रहा है।

जवाब

1. अधिकतम गति क्या है वीएक मोटर साइकिल चालक एक त्रिज्या वाले चाप का वर्णन करते हुए एक क्षैतिज तल पर सवारी कर सकता है आर= 90 मीटर यदि फिसलने वाले घर्षण का गुणांक क = 0,4?

2. किस कोण पर φ क्या इसे ऊर्ध्वाधर दिशा से विचलित होना चाहिए?

3. एक मोटर साइकिल चालक की अधिकतम गति क्या होगी यदि वह एक झुकाव वाले ट्रैक पर झुकाव के कोण के साथ सवारी करता है α = 30° समान वक्रता त्रिज्या और घर्षण गुणांक के साथ?

4. ट्रैक α0 के झुकाव का कोण क्या होना चाहिए ताकि मोटरसाइकिल की गति मनमाने ढंग से बड़ी हो सके?

जवाब

1. वी≈ 18.8 मी/से. 2. φ ≈ 21.8°। 3. वीअधिकतम 33.5 मी/से. 4. α 0 = आर्कटग(1/ क).

विमान एक स्थिर गति से एक वृत्त के चाप के साथ घूमते हुए एक मोड़ बनाता है वी= 360 किमी/घंटा। त्रिज्या को परिभाषित करें आरयह चक्र, यदि विमान के शरीर को एक कोण पर उड़ान की दिशा में घुमाया जाता है α = 10°।

जवाब

आर≈ 5780 मी.

त्रिज्या के साथ सड़क के मोड़ पर आर= 100 मीटर कार समान रूप से चलती है। वाहन का गुरुत्वाकर्षण केंद्र ऊंचाई पर है एच= 1 मीटर, वाहन ट्रैक की चौड़ाई ए= 1.5 मीटर गति निर्धारित करें वीजिस पर वाहन पलट सकता है। अनुप्रस्थ दिशा में कार फिसलती नहीं है।

जवाब

वी≈ 26.1 मी/से.

कार चला रहे ड्राइवर ने अचानक उसके सामने एक बाड़ देखी, जो उसके चलने की दिशा के लंबवत थी। दुर्घटना को रोकने के लिए क्या करना अधिक लाभदायक है: धीमा करें या किनारे की ओर मुड़ें?

जवाब

गति कम करो।

एक गति के साथ घुमावदार ट्रैक के साथ समान रूप से चलती ट्रेन की गाड़ी में वी= 12 किमी/घंटा, भार को वसंत तराजू पर तौला जाता है। भार भार एम= 5 किग्रा, और पथ की वक्रता त्रिज्या आर\u003d 200 मीटर। वसंत संतुलन (वसंत तनाव बल .) के पढ़ने का निर्धारण करें टी).

जवाब

टी≈ 51 एन.

ताकत खोजें एफइकाई अलग करने वाली क्रीम (घनत्व ρ सी \u003d 0.93 ग्राम / सेमी 3) स्किम्ड दूध से ( ρ मी \u003d 1.03 ग्राम / सेमी 3) प्रति इकाई मात्रा, यदि पृथक्करण होता है: ए) एक स्थिर पोत में; बी) एक केन्द्रापसारक विभाजक में 6000 मिनट -1 की आवृत्ति पर घूर्णन करते हुए यदि तरल दूरी पर है आर= घूर्णन अक्ष से 10 सेमी.

जवाब

ए) एफइकाई ≈ 980 एन/एम3;

बी) एफइकाई 3.94 10 5 एन / एम 3;

विमान एक त्रिज्या के साथ "डेड लूप" बनाता है आर= 100 मीटर और इसके साथ गति से चलता है वी= 280 किमी/घंटा। किस बल से एफपायलट का बॉडी मास एम= 80 किलो लूप के ऊपर और नीचे विमान की सीट पर दबाव डालेगा?

जवाब

एफ 4030 एन में, एफएन 5630 एन।

पुल बल का निर्धारण करें टीरस्सी विशाल कदम, यदि किसी व्यक्ति का द्रव्यमान एम\u003d 70 किग्रा और रोटेशन के दौरान रस्सी स्तंभ के साथ एक कोण α \u003d 45 ° बनाती है। निलंबन की लंबाई होने पर विशाल कदम किस कोणीय वेग से घूमेंगे मैं= 5 मीटर?

जवाब

टी 990 एन; ω ≈ 1.68 रेड/एस।

अवधि खोजें टीएक क्षैतिज तल में वृत्ताकार गति करने वाले पेंडुलम का घूमना। धागे की लंबाई मैं. ऊर्ध्वाधर के साथ धागे द्वारा गठित कोण, α .

जवाब

.

एक धागे पर लटका हुआ वजन एक क्षैतिज तल में घूमता है ताकि निलंबन बिंदु से उस तल तक की दूरी जिसमें घूर्णन होता है एच. भार को स्थिर मानकर उसकी आवृत्ति और घूर्णन ज्ञात कीजिए।

जवाब

परिणाम निलंबन की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है।

चांदेलियर मास एम= 100 किलो धातु की चेन पर छत से लटका हुआ, जिसकी लंबाई मैं= 5 मीटर ऊंचाई निर्धारित करें एच, जिसके द्वारा झूमर को विक्षेपित किया जा सकता है ताकि बाद के झूलों के दौरान श्रृंखला टूट न जाए? यह ज्ञात है कि चेन ब्रेक तब होता है जब तनाव बल टी> 1960 एन.

जवाब

एच≈ 2.5 मी.

बॉल मास एमएक अविभाज्य धागे से निलंबित। न्यूनतम कोण क्या है α मिनट, गेंद को विक्षेपित करना आवश्यक है ताकि आगे की गति के दौरान धागा टूट जाए यदि धागे का अधिकतम संभव तनाव बल 1.5 है मिलीग्राम?

जवाब

α न्यूनतम 41.4°।

लोलक को क्षैतिज स्थिति में विक्षेपित करके छोड़ा जाता है। किस कोण पर α ऊर्ध्वाधर के साथ, धागे का तनाव बल, लोलक पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के परिमाण के बराबर होगा? पेंडुलम को गणितीय माना जाता है।

जवाब

α = आर्ककोस (⅓)।

द्रव्यमान का भार एम, एक अविभाज्य धागे से बंधा हुआ, एक ऊर्ध्वाधर विमान में घूमता है। धागे के तनाव बलों में अधिकतम अंतर ज्ञात कीजिए।

जवाब

जिमनास्ट क्रॉसबार पर "सूरज को घुमाता है"। जिमनास्ट वजन एम. यह मानते हुए कि उसका सारा द्रव्यमान गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर केंद्रित है, और शीर्ष बिंदु पर गति शून्य है, नीचे के बिंदु पर जिम्नास्ट के हाथों पर अभिनय करने वाले बल का निर्धारण करें।

जवाब

लंबाई के एक अविभाज्य धागे से एक वजन निलंबित है मैं, और दूसरा - समान लंबाई की कठोर भारहीन छड़ पर। इन भारों को कितनी न्यूनतम गति दी जानी चाहिए ताकि वे एक ऊर्ध्वाधर तल में घूमें?

जवाब

धागे के लिए वीमिनट =; रॉड के लिए वीमिनट =।

बॉल मास एमएक धागे पर लटका दिया। तना हुआ अवस्था में, धागा क्षैतिज रूप से रखा गया था और गेंद को छोड़ा गया था। थ्रेड टेंशन की निर्भरता व्युत्पन्न करें टीकोने से α , जो वर्तमान में एक क्षैतिज दिशा के साथ एक धागा बनाता है। जब गेंद संतुलन की स्थिति से गुजरती है, तो मामले के लिए समस्या को हल करके व्युत्पन्न सूत्र की जाँच करें α = 90°।

जवाब

टी = 3मिलीग्रामपाप α ; टी = 3मिलीग्राम.

गणितीय पेंडुलम लंबाई मैंऔर वजन एमएक कोने में ले जाया गया φ 0 संतुलन की स्थिति से और उसे प्रारंभिक गति बताई वी 0 धागे के लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित। लोलक की डोरी में तनाव ज्ञात कीजिए टीकोण के आधार पर φ ऊर्ध्वाधर धागे।

जवाब

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एक धागे पर लटका हुआ वजन एक तरफ ले जाया जाता है ताकि धागा एक क्षैतिज स्थिति ग्रहण कर ले और मुक्त हो जाए। ऊर्ध्वाधर α के साथ किस कोण पर पेय उस समय बनता है जब वजन के वेग का ऊर्ध्वाधर घटक सबसे बड़ा होता है?

जवाब

द्रव्यमान के साथ समान लोचदार गेंदें एम, एक हुक के बराबर लंबाई के धागों पर निलंबित, एक कोण द्वारा ऊर्ध्वाधर से अलग-अलग दिशाओं में विक्षेपित होते हैं α और जाने दो। गेंदें एक दूसरे से टकराती हैं और उछलती हैं। ताकत क्या है एफ, हुक पर कार्य करना: क) धागों की चरम स्थिति पर; बी) गेंदों के प्रभाव के प्रारंभिक और अंतिम क्षणों में; ग) गेंदों के सबसे बड़े विरूपण के समय?

जवाब

ए) एफ = 2मिलीग्रामक्योंकि 2 α ;

बी) एफ = 2मिलीग्राम(3 - 2cos α );

में) एफ = 2मिलीग्राम.

लंबाई के लचीले अटूट धागे के साथ गणितीय पेंडुलम के लिए मैंसंतुलन की स्थिति से एक क्षैतिज वेग प्रदान करें वी 0. अधिकतम लिफ्ट ऊंचाई निर्धारित करें एचएक वृत्त में घूमते समय, यदि वी 0 2 = 3जीएल. पेंडुलम की गेंद अपनी अधिकतम उठाने की ऊंचाई तक पहुंचने के बाद किस प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करेगी? एचएक सर्कल पर? अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करें एचपेंडुलम के इस आंदोलन के साथ हासिल किया।

जवाब

; एक परवलय के साथ; .

एक छोटी गेंद को एक बिंदु पर लटकाया जाता है लेकिनलंबाई के धागे पर मैं. बिंदु पर हेदूरी पर मैं/2 बिंदु के नीचे लेकिनदीवार में कील ठोक दी जाती है। गेंद को वापस ले लिया जाता है ताकि धागा एक क्षैतिज स्थिति में हो, और छोड़ दिया जाए। प्रक्षेपवक्र में किस बिंदु पर धागे का तनाव गायब हो जाता है? गेंद कितनी दूर जाएगी? गेंद किस उच्चतम बिंदु तक उठेगी?

जवाब

पर मैं/6 निलंबन बिंदु के नीचे; एक परवलय के साथ; 2 . पर मैं/27 निलंबन बिंदु के नीचे।

एक बर्तन जिसमें नीचे के व्यास के साथ एक विस्तारित कटे हुए शंकु का आकार होता है डी= 20 सेमी और दीवारों के झुकाव का कोण α = 60°, ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमता है 00 एक । पोत के घूर्णन के किस कोणीय वेग पर ω उसके तल पर पड़ी एक छोटी गेंद को बर्तन से बाहर फेंका जाएगा? घर्षण को नजरअंदाज कर दिया जाता है।

जवाब

ω > 13 रेड/एस।

त्रिज्या वाला गोला आर= 2 मीटर समरूपता की धुरी के चारों ओर 30 मिनट -1 की आवृत्ति के साथ समान रूप से घूमता है। गोले के अंदर द्रव्यमान का एक गोला है एम= 0.2 किग्रा. ऊंचाई खोजें एच, गोले के सापेक्ष गेंद की संतुलन स्थिति और गोले की प्रतिक्रिया के अनुरूप एन.

जवाब

एच≈ 1 मीटर; एन 0.4 एन।

त्वरण के साथ गतिमान एक शंक्वाकार सतह के अंदर ए, गेंद त्रिज्या के साथ एक वृत्त में घूमती है आर. अवधि को परिभाषित करें टीगेंद की गोलाकार गति। शंकु शीर्ष कोण 2 α .

जवाब

.

द्रव्यमान का एक छोटा शरीर एमएक झुकी हुई ढलान को नीचे की ओर खिसकाता है, एक त्रिज्या के साथ एक मृत लूप में बदल जाता है आर.

घर्षण नगण्य है। निर्धारित करें: ए) सबसे छोटी ऊंचाई क्या होनी चाहिए एचढलान ताकि शरीर बाहर गिरे बिना एक पूर्ण लूप बना सके; बी) क्या दबाव एफउसी समय, यह प्लेटफॉर्म पर एक ऐसे बिंदु पर एक पिंड का निर्माण करता है जिसकी त्रिज्या वेक्टर एक कोण बनाता है α ऊर्ध्वाधर के साथ।

जवाब

ए) एच = 2,5आर; बी) एफ = 3मिलीग्राम(1 - कोस α ).

कन्वेयर बेल्ट एक कोण पर क्षितिज की ओर झुका हुआ है α . टेप की न्यूनतम गति निर्धारित करें वीमिनट, जिस पर उस पर पड़ा अयस्क कण बेल्ट की सतह से उस स्थान पर अलग हो जाता है जहां वह ड्रम पर चलता है, यदि ड्रम की त्रिज्या बराबर है आर.

जवाब

वीमिनट =।

एक छोटा पिंड गोले के ऊपर से नीचे की ओर खिसकता है। किस ऊंचाई पर एचशीर्ष से पिंड एक त्रिज्या के साथ गोले की सतह से बाहर आ जाएगा आर? घर्षण को नजरअंदाज करें।

जवाब

एच = आर/3.

घेरा द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा का पता लगाएं एमगति से लुढ़कना वी. कोई फिसलन नहीं है।

जवाब

क = एमवी 2 .

बिना फिसले एक पतला घेरा गोलार्द्ध के आकार के गड्ढे में लुढ़क जाता है। किस गहराई पर एचक्या गड्ढे की दीवार पर घेरा के सामान्य दबाव का बल उसके गुरुत्वाकर्षण के बराबर है? गड्ढे त्रिज्या आर, घेरा त्रिज्या आर.

जवाब

एच = (आर - आर)/2.

एक छोटा घेरा बड़े गोलार्द्ध की भीतरी सतह पर बिना फिसले लुढ़कता है। प्रारंभिक क्षण में, घेरा अपने ऊपरी किनारे पर टिका हुआ था। निर्धारित करें: क) गोलार्द्ध के निम्नतम बिंदु पर घेरा की गतिज ऊर्जा; ख) अपनी धुरी के चारों ओर घेरा के घूर्णन गति पर गतिज ऊर्जा का कितना अनुपात पड़ता है; ग) गोलार्द्ध के निचले बिंदु पर रिम को दबाने वाला सामान्य बल। घेरा का द्रव्यमान है एम, गोलार्द्ध त्रिज्या आर.

जवाब

ए) क = एमजीआर; बी) 50%; दो में मिलीग्राम.

पानी एक क्षैतिज तल में स्थित और एक गोलाकार त्रिज्या वाले पाइप से बहता है आर= 2 मी. पार्श्व जल दाब ज्ञात कीजिए। पाइप का व्यास डी= 20 सेमी. एम= 300 टन पानी।

जवाब

पी\u003d 1.2 10 5 पा।

शरीर बिंदु से फिसल जाता है लेकिनबिल्कुल परबिंदुओं से गुजरने वाली दो घुमावदार झुकाव वाली सतहों के साथ एऔर परएक बार उत्तल चाप के साथ, दूसरा - अवतल के साथ। दोनों चापों की वक्रता समान होती है और दोनों ही स्थितियों में घर्षण गुणांक समान होता है।

किस स्थिति में पिंड की गति एक बिंदु पर है बीअधिक?

जवाब

उत्तल चाप के साथ आंदोलन के मामले में।

नगण्य द्रव्यमान की एक छड़, लंबाई मैंदो छोटी गेंदों के साथ एम 1 और एम 2 (एम 1 > एम 2) सिरों पर यह रॉड के बीच से गुजरने वाली धुरी के बारे में लंबवत घूम सकता है। रॉड को क्षैतिज स्थिति में लाया जाता है और छोड़ा जाता है। कोणीय वेग निर्धारित करें ω और दबाव का बल एफधुरी पर इस समय गेंदों के साथ छड़ संतुलन की स्थिति से गुजरती है।

जवाब

; .

द्रव्यमान की एक छोटी सी अंगूठी एम. बिना घर्षण के वलय एक सर्पिल में सरकने लगता है। किस बल से एफरिंग गुजरने के बाद सर्पिल पर दब जाएगी एनपूर्ण मोड़? त्रिज्या मोड़ो आर, आसन्न घुमावों के बीच की दूरी एच(टर्न पिच)। सोचना एच ≪ आर.

जवाब

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एक बंद धातु श्रृंखला एक चिकनी क्षैतिज डिस्क पर स्थित होती है, जिसे डिस्क के साथ एक केंद्रित रिंग कोएक्सियल पर शिथिल रूप से रखा जाता है। डिस्क रोटेशन में सेट है। श्रृंखला के आकार को एक क्षैतिज वृत्त के रूप में लेते हुए, तनाव बल का निर्धारण करें टीश्रृंखला के साथ यदि इसका द्रव्यमान एम= 150 ग्राम, लंबाई मैं= 20 सेमी और श्रृंखला आवृत्ति के साथ घूमती है एन= 20 एस -1।

जवाब

टी 12 एन.

प्रतिक्रियाशील विमान एम= 30 टन भूमध्य रेखा के साथ पश्चिम से पूर्व की ओर एक गति से उड़ता है वी= 1800 किमी/घंटा। यदि विमान पूर्व से पश्चिम की ओर समान गति से उड़ता है, तो उस पर अभिनय करने वाले उत्थापन बल में कितना परिवर्तन होगा?

जवाब

एफ 1.74 10 3 एन के तहत।