गाऊसी पद्धति के कई नुकसान हैं: यह जानना असंभव है कि क्या प्रणाली सुसंगत है या नहीं जब तक कि गाऊसी पद्धति में आवश्यक सभी परिवर्तन नहीं किए गए हैं; गाऊसी पद्धति अक्षर गुणांक वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त नहीं है।

रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने की अन्य विधियों पर विचार कीजिए। ये विधियां मैट्रिक्स के रैंक की अवधारणा का उपयोग करती हैं और किसी भी संयुक्त प्रणाली के समाधान को उस प्रणाली के समाधान तक कम करती हैं जिस पर क्रैमर का नियम लागू होता है।

उदाहरण 1कम सजातीय प्रणाली के समाधान की मौलिक प्रणाली और अमानवीय प्रणाली के एक विशेष समाधान का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें।

1. हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं एऔर सिस्टम का संवर्धित मैट्रिक्स (1)

2. सिस्टम का अन्वेषण करें (1) अनुकूलता के लिए। ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स के रैंक पाते हैं एऔर https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">)। अगर यह पता चलता है, तो सिस्टम (1) असंगत अगर हम इसे प्राप्त करें , तो यह प्रणाली सुसंगत है और हम इसे हल करेंगे। (संगति अध्ययन क्रोनकर-कैपेली प्रमेय पर आधारित है)।

ए। हम ढूंढे आरए.

ढूँढ़ने के लिए आरए, हम मैट्रिक्स के पहले, दूसरे, आदि आदेशों के क्रमिक रूप से गैर-शून्य नाबालिगों पर विचार करेंगे एऔर उनके आसपास के नाबालिग।

एम1=1≠0 (1 मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने से लिया गया है लेकिन).

सीमा एम1इस मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति और दूसरा कॉलम। . हम सीमा पर जारी रखते हैं एम1दूसरी पंक्ति और तीसरा कॉलम..gif" width="37" height="20 src=">. अब हम गैर-शून्य नाबालिग को सीमाबद्ध करते हैं 2′द्वितीय आदेश।

हमारे पास है: (क्योंकि पहले दो कॉलम समान हैं)

(क्योंकि दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ समानुपाती होती हैं)।

हमने देखा कि आरए = 2, और मैट्रिक्स का आधार नाबालिग है ए.

बी। हम ढूंढे ।

पर्याप्त रूप से बुनियादी नाबालिग 2′मैट्रिक्स एमुक्त सदस्यों और सभी पंक्तियों के एक स्तंभ के साथ सीमा (हमारे पास केवल अंतिम पंक्ति है)।

. इससे यह पता चलता है कि 3′′मैट्रिक्स का आधार माइनर रहता है https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

जैसा 2′- मैट्रिक्स का आधार नाबालिग एप्रणाली (2) , तो यह प्रणाली प्रणाली के बराबर है (3) , प्रणाली के पहले दो समीकरणों से मिलकर बनता है (2) (के लिए 2′मैट्रिक्स ए की पहली दो पंक्तियों में है)।

(3)

चूंकि मूल नाबालिग है https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

इस प्रणाली में, दो मुक्त अज्ञात ( x2 और x4 ) इसलिए एफएसआर प्रणाली (4) दो समाधान होते हैं। उन्हें खोजने के लिए, हम नि:शुल्क अज्ञात असाइन करते हैं (4) मान पहले x2=1 , x4=0 , और फिर - x2=0 , x4=1 .

पर x2=1 , x4=0 हम पाते हैं:

.

इस प्रणाली में पहले से ही है एकमात्र वस्तु समाधान (यह क्रैमर के नियम या किसी अन्य विधि द्वारा पाया जा सकता है)। पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाकर, हम प्राप्त करते हैं:

उसका निर्णय होगा x1= -1 , x3=0 . मूल्यों को देखते हुए x2 और x4 , जो हमने दिया है, हम प्रणाली का पहला मौलिक समाधान प्राप्त करते हैं (2) : .

अब हम डालते हैं (4) x2=0 , x4=1 . हम पाते हैं:

.

हम क्रैमर के प्रमेय का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करते हैं:

.

हम सिस्टम का दूसरा मौलिक समाधान प्राप्त करते हैं (2) : .

समाधान β1 , β2 और श्रृंगार एफएसआर प्रणाली (2) . तब इसका सामान्य हल होगा

γ= सी 1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

यहां सी 1 , सी2 मनमानी स्थिरांक हैं।

4. एक खोजें निजी फेसला विषम प्रणाली(1) . पैराग्राफ के रूप में 3 , सिस्टम के बजाय (1) समतुल्य प्रणाली पर विचार करें (5) , प्रणाली के पहले दो समीकरणों से मिलकर बनता है (1) .

(5)

हम मुक्त अज्ञात को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं x2और x4.

(6)

आइए मुफ्त अज्ञात दें x2 और x4 मनमाना मूल्य, उदाहरण के लिए, x2=2 , x4=1 और उन्हें प्लग इन करें (6) . आइए सिस्टम प्राप्त करें

इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है (क्योंकि इसका निर्धारक 2′0) इसे हल करना (क्रैमर प्रमेय या गॉस विधि का उपयोग करके), हम प्राप्त करते हैं x1=3 , x3=3 . मुक्त अज्ञात के मूल्यों को देखते हुए x2 और x4 , हम पाते हैं एक अमानवीय प्रणाली का विशेष समाधान(1)α1=(3,2,3,1)।

5. अब लिखना बाकी है एक अमानवीय प्रणाली का सामान्य समाधान α(1) : यह योग के बराबर है निजी निर्णययह प्रणाली और इसकी कम सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)।

इसका मतलब: (7)

6. इंतिहान।यह जाँचने के लिए कि क्या आपने सिस्टम को सही ढंग से हल किया है (1) , हमें एक सामान्य समाधान की आवश्यकता है (7) में स्थानापन्न (1) . यदि प्रत्येक समीकरण एक पहचान बन जाए ( सी 1 और सी2 नष्ट किया जाना चाहिए), तो समाधान सही ढंग से मिल जाता है।

हम स्थानापन्न करेंगे (7) उदाहरण के लिए, केवल सिस्टम के अंतिम समीकरण में (1) (एक्स1 + एक्स2 + एक्स3 ‑9 एक्स4 =‑1) .

हम पाते हैं: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

जहां -1 = -1। हमें एक पहचान मिली है। हम इसे सिस्टम के अन्य सभी समीकरणों के साथ करते हैं (1) .

टिप्पणी।सत्यापन आमतौर पर काफी बोझिल होता है। हम निम्नलिखित "आंशिक सत्यापन" की सिफारिश कर सकते हैं: सिस्टम के समग्र समाधान में (1) मनमाना स्थिरांक के लिए कुछ मान निर्दिष्ट करें और परिणामी विशेष समाधान को केवल छोड़े गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करें (अर्थात, उन समीकरणों में (1) जो में शामिल नहीं है (5) ) पहचान मिलती है तो अधिक संभावना, प्रणाली का समाधान (1) सही पाया गया (लेकिन ऐसा चेक शुद्धता की पूरी गारंटी नहीं देता है!) उदाहरण के लिए, यदि (7) लगाना सी 2 =- 1 , सी1=1, तो हम प्राप्त करते हैं: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. सिस्टम (1) के अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , यानी -1 = -1। हमें एक पहचान मिली है।

उदाहरण 2रैखिक समीकरणों के निकाय का सामान्य हल ज्ञात कीजिए (1) , मुख्य अज्ञात को मुक्त लोगों के रूप में व्यक्त करना।

फेसला।के रूप में उदाहरण 1, मैट्रिक्स लिखें एऔर https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> इन मेट्रिसेस के। अब हम सिस्टम के केवल उन समीकरणों को छोड़ते हैं (1) , जिसके गुणांक इस मूल नाबालिग में शामिल हैं (यानी, हमारे पास पहले दो समीकरण हैं) और उनमें से सिस्टम पर विचार करें, जो सिस्टम (1) के बराबर है।

आइए हम इन समीकरणों के दायीं ओर मुक्त अज्ञात को स्थानांतरित करें।

प्रणाली (9) हम गाऊसी पद्धति से हल करते हैं, सही भागों को मुक्त सदस्य मानते हुए।

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

विकल्प 2।

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

विकल्प 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

विकल्प 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

विकल्प 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

रैखिक बीजीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली

पाठों के भीतर गॉस विधिऔर एक सामान्य समाधान के साथ असंगत सिस्टम/सिस्टमहमने माना रैखिक समीकरणों की अमानवीय प्रणाली, कहाँ पे स्वतंत्र सदस्य(जो आमतौर पर दाईं ओर होता है) कम से कम एकसमीकरण शून्य से भिन्न थे।
और अब, एक अच्छे वार्म-अप के बाद मैट्रिक्स रैंक, हम तकनीक को पॉलिश करना जारी रखेंगे प्राथमिक परिवर्तनपर रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली.
पहले पैराग्राफ के अनुसार, सामग्री उबाऊ और साधारण लग सकती है, लेकिन यह धारणा भ्रामक है। तकनीकों के आगे विकास के अलावा बहुत सी नई जानकारी होगी, इसलिए कृपया इस लेख में उदाहरणों की उपेक्षा न करने का प्रयास करें।

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली क्या है?

जवाब खुद ही बताता है। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली सजातीय है यदि मुक्त पद हर कोईसिस्टम समीकरण शून्य है। उदाहरण के लिए:

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, यानी इसका हमेशा एक समाधान होता है। और, सबसे पहले, तथाकथित तुच्छफेसला . तुच्छ, उन लोगों के लिए जो विशेषण का अर्थ बिल्कुल नहीं समझते हैं, का अर्थ है bespontovoe। अकादमिक रूप से नहीं, निश्चित रूप से, लेकिन समझदारी से =) ... झाड़ी के चारों ओर क्यों मारा, आइए जानें कि क्या इस प्रणाली के पास कोई अन्य समाधान है:

उदाहरण 1

फेसला: एक सजातीय प्रणाली को हल करने के लिए लिखना आवश्यक है सिस्टम मैट्रिक्सऔर प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से इसे चरणबद्ध रूप में लाते हैं। ध्यान दें कि यहां फ्री मेंबर्स का वर्टिकल बार और जीरो कॉलम लिखने की जरूरत नहीं है - क्योंकि जीरो से आप जो कुछ भी करेंगे, वे जीरो ही रहेंगे:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया था।

(2) दूसरी पंक्ति को 1 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करने का कोई मतलब नहीं है।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक समान सजातीय प्रणाली प्राप्त की जाती है , और, गाऊसी पद्धति के विपरीत चाल को लागू करने से, यह सत्यापित करना आसान है कि समाधान अद्वितीय है।

जवाब:

आइए हम एक स्पष्ट मानदंड तैयार करें: रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली है केवल तुच्छ समाधान, अगर सिस्टम मैट्रिक्स रैंक(इस मामले में, 3) चर की संख्या के बराबर है (इस मामले में, 3 पीसी।)।

हम अपने रेडियो को प्राथमिक परिवर्तनों की लहर में गर्म और ट्यून करते हैं:

उदाहरण 2

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली को हल करें

लेख से मैट्रिक्स की रैंक कैसे पता करें?हम मैट्रिक्स की संख्या को संयोग से कम करने की तर्कसंगत विधि को याद करते हैं। अन्यथा, आपको बड़ी, और अक्सर मछली काटने के लिए कसाई करना होगा। पाठ के अंत में असाइनमेंट का एक उदाहरण।

शून्य अच्छे और सुविधाजनक होते हैं, लेकिन व्यवहार में मामला बहुत अधिक सामान्य होता है जब सिस्टम के मैट्रिक्स की पंक्तियाँ होती हैं रैखिक रूप से आश्रित. और फिर एक सामान्य समाधान की उपस्थिति अपरिहार्य है:

उदाहरण 3

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली को हल करें

फेसला: हम सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, हम इसे एक स्टेप फॉर्म में लाते हैं। पहली क्रिया का उद्देश्य न केवल एक मान प्राप्त करना है, बल्कि पहले कॉलम में संख्याओं को कम करना भी है:

(1) तीसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया। तीसरी पंक्ति को -2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। ऊपर बाईं ओर, मुझे "माइनस" वाली एक इकाई मिली, जो अक्सर आगे के परिवर्तनों के लिए बहुत अधिक सुविधाजनक होती है।

(2) पहली दो पंक्तियाँ समान हैं, उनमें से एक को हटा दिया गया है। ईमानदारी से, मैंने निर्णय को समायोजित नहीं किया - ऐसा हुआ। यदि आप किसी टेम्पलेट में परिवर्तन करते हैं, तो रैखिक निर्भरताथोड़ी देर बाद लाइनें दिखाई देंगी।

(3) तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 3 से गुणा करके जोड़ें।

(4) पहली पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया है।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक समान प्रणाली प्राप्त की जाती है:

एल्गोरिथ्म ठीक उसी तरह काम करता है जैसे for विषम प्रणाली. चर "कदमों पर बैठे" मुख्य हैं, चर जो "कदम" नहीं मिला है, वह मुफ़्त है।

हम मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करते हैं:

जवाब: आम निर्णय:

तुच्छ समाधान सामान्य सूत्र में शामिल है, और इसे अलग से लिखना अनावश्यक है।

सत्यापन भी सामान्य योजना के अनुसार किया जाता है: परिणामी सामान्य समाधान को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए और सभी प्रतिस्थापनों के लिए एक वैध शून्य प्राप्त किया जाना चाहिए।

इसे चुपचाप समाप्त किया जा सकता है, लेकिन समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान को अक्सर प्रस्तुत करने की आवश्यकता होती है वेक्टर रूप मेंके जरिए मौलिक निर्णय प्रणाली. कृपया अस्थायी रूप से भूल जाएं विश्लेषणात्मक ज्यामिति, अब से हम सामान्य बीजगणितीय अर्थों में वैक्टर के बारे में बात करेंगे, जिसे मैंने एक लेख में थोड़ा खोला था मैट्रिक्स रैंक. छायांकन के लिए शब्दावली आवश्यक नहीं है, सब कुछ काफी सरल है।

उदाहरण 1 । सिस्टम के लिए एक सामान्य समाधान और समाधान की कुछ मूलभूत प्रणाली खोजें

फेसलाएक कैलकुलेटर के साथ खोजें। समाधान एल्गोरिथ्म रैखिक अमानवीय समीकरणों की प्रणालियों के समान है।
केवल पंक्तियों के साथ काम करते हुए, हम मैट्रिक्स की रैंक पाते हैं, मूल नाबालिग; हम आश्रित और मुक्त अज्ञात घोषित करते हैं और सामान्य समाधान ढूंढते हैं।

पहली और दूसरी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, उनमें से एक हटा दी जाएगी:

.
आश्रित चर - x 2, x 3, x 5, मुक्त - x 1, x 4। पहले समीकरण 10x 5 = 0 से हम x 5 = 0 पाते हैं, तो
; .
सामान्य समाधान इस तरह दिखता है:

हम समाधान की मूलभूत प्रणाली पाते हैं, जिसमें (n-r) समाधान होते हैं। हमारे मामले में, n=5, r=3, इसलिए, समाधान की मूलभूत प्रणाली में दो समाधान होते हैं, और ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र होने चाहिए। पंक्तियों के रैखिक रूप से स्वतंत्र होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि पंक्तियों के तत्वों से बने मैट्रिक्स की रैंक पंक्तियों की संख्या के बराबर हो, अर्थात 2. यह मुक्त अज्ञात x 1 और x देने के लिए पर्याप्त है। दूसरे क्रम के सारणिक की पंक्तियों से 4 मान, जो शून्य से भिन्न है, और x 2 , x 3 , x 5 की गणना करें। सरलतम अशून्य सारणिक है।
तो पहला उपाय है: , द्वितीय - .
ये दो निर्णय मौलिक निर्णय प्रणाली का गठन करते हैं। ध्यान दें कि मौलिक प्रणाली अद्वितीय नहीं है (शून्य के अलावा अन्य निर्धारकों को आप जितने चाहें बना सकते हैं)।

उदाहरण 2। सामान्य समाधान और सिस्टम के समाधान की मूलभूत प्रणाली खोजें
फेसला।



,
यह इस प्रकार है कि मैट्रिक्स की रैंक 3 है और अज्ञात की संख्या के बराबर है। इसका मतलब है कि सिस्टम में कोई मुक्त अज्ञात नहीं है, और इसलिए इसका एक अनूठा समाधान है - एक तुच्छ।

व्यायाम । रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का अन्वेषण करें और हल करें।
उदाहरण 4

व्यायाम । प्रत्येक प्रणाली के लिए सामान्य और विशेष समाधान खोजें।
फेसला।हम सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स लिखते हैं:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
एक्स 1	x2	एक्स 3	x4	x5

हम मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाते हैं। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना और इसे सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे दूसरे समीकरण में जोड़ना, जो समाधान नहीं बदलता है प्रणाली में।
दूसरी पंक्ति को (-5) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

दूसरी पंक्ति को (6) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी में जोड़ें:
मैट्रिक्स की रैंक पाएं।

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
एक्स 1	x2	एक्स 3	x4	x5

चयनित नाबालिग का उच्चतम क्रम है (सभी संभावित नाबालिगों में से) और शून्य नहीं है (यह पारस्परिक विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है), इसलिए रंग (ए) = 2।
यह नाबालिग बुनियादी है। इसमें अज्ञात x 1, x 2 के गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 1, x 2 आश्रित (मूल) हैं, और x 3, x 4, x 5 मुक्त हैं।
हम बाईं ओर केवल मूल नाबालिग को छोड़कर, मैट्रिक्स को बदलते हैं।

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
एक्स 1	x2	x4	एक्स 3	x5

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका रूप है:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
अज्ञात के उन्मूलन की विधि से, हम पाते हैं गैर तुच्छ समाधान:
हमने आश्रित चर x 1, x 2 को मुक्त x 3, x 4, x 5 के माध्यम से व्यक्त करने वाले संबंध प्राप्त किए, अर्थात्, हमने पाया सामान्य निर्णय:
x2 = 0.64x4 - 0.0455x3 - 1.09x5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
हम समाधान की मूलभूत प्रणाली पाते हैं, जिसमें (n-r) समाधान होते हैं।
हमारे मामले में, n=5, r=2, इसलिए, समाधान की मूलभूत प्रणाली में 3 समाधान होते हैं, और ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र होने चाहिए।
पंक्तियों के रैखिक रूप से स्वतंत्र होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि पंक्तियों के तत्वों से बने मैट्रिक्स की रैंक पंक्तियों की संख्या के बराबर हो, अर्थात 3.
यह शून्य से भिन्न तीसरे क्रम के निर्धारक की पंक्तियों से मुक्त अज्ञात x 3, x 4, x 5 मान देने और x 1, x 2 की गणना करने के लिए पर्याप्त है।
सबसे सरल गैर-शून्य निर्धारक पहचान मैट्रिक्स है।

1	0	0
0	1	0
0	0	1

काम । रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान का एक मौलिक सेट खोजें।

स्कूल में भी, हम में से प्रत्येक ने समीकरणों का और निश्चित रूप से, समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन किया। लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि इसे हल करने के कई तरीके हैं। आज हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के सभी तरीकों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, जिसमें दो से अधिक समानताएं होती हैं।

कहानी

आज यह ज्ञात है कि समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने की कला की उत्पत्ति प्राचीन बेबीलोन और मिस्र में हुई थी। हालांकि, समानताएं अपने सामान्य रूप में समान चिह्न "=" की उपस्थिति के बाद दिखाई दीं, जिसे 1556 में अंग्रेजी गणितज्ञ रिकॉर्ड द्वारा पेश किया गया था। वैसे, इस चिन्ह को एक कारण के लिए चुना गया था: इसका अर्थ है दो समानांतर समान खंड। वास्तव में समानता का इससे अच्छा उदाहरण कोई नहीं हो सकता।

अज्ञात और डिग्री के संकेतों के आधुनिक अक्षर पदनामों के संस्थापक एक फ्रांसीसी गणितज्ञ हैं। हालांकि, उनके पदनाम आज से काफी भिन्न थे। उदाहरण के लिए, उन्होंने एक अज्ञात संख्या के वर्ग को अक्षर Q (lat. "quadratus"), और घन को अक्षर C (lat. "क्यूबस") के साथ निरूपित किया। ये संकेतन अब अजीब लगते हैं, लेकिन तब यह रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को लिखने का सबसे समझने योग्य तरीका था।

हालांकि, समाधान के तत्कालीन तरीकों में एक कमी यह थी कि गणितज्ञ केवल सकारात्मक जड़ों को ही मानते थे। शायद यह इस तथ्य के कारण है कि नकारात्मक मूल्यों का कोई व्यावहारिक उपयोग नहीं था। एक तरह से या किसी अन्य, यह इतालवी गणितज्ञ निकोलो टार्टाग्लिया, गेरोलामो कार्डानो और राफेल बॉम्बेली थे जो 16 वीं शताब्दी में नकारात्मक जड़ों पर विचार करने वाले पहले व्यक्ति थे। और आधुनिक दृष्टिकोण, मुख्य समाधान विधि (विवेककर्ता के माध्यम से) केवल 17 वीं शताब्दी में डेसकार्टेस और न्यूटन के काम के लिए बनाई गई थी।

18वीं शताब्दी के मध्य में, स्विस गणितज्ञ गेब्रियल क्रैमर ने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को आसान बनाने के लिए एक नया तरीका खोजा। इस पद्धति को बाद में उनके नाम पर रखा गया था और आज तक हम इसका इस्तेमाल करते हैं। लेकिन हम क्रैमर की विधि के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे, लेकिन अभी के लिए हम रैखिक समीकरणों और उन्हें सिस्टम से अलग हल करने के तरीकों पर चर्चा करेंगे।

रेखीय समीकरण

रैखिक समीकरण चर (ओं) के साथ सबसे सरल समानताएं हैं। उन्हें बीजगणितीय के रूप में वर्गीकृत किया गया है। सामान्य रूप में इस प्रकार लिखें: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... और n * x n \u003d b। सिस्टम और मैट्रिसेस को आगे संकलित करते समय हमें इस रूप में उनके प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होगी।

रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय

इस शब्द की परिभाषा इस प्रकार है: यह समीकरणों का एक समूह है जिसमें सामान्य अज्ञात और एक सामान्य समाधान होता है। एक नियम के रूप में, स्कूल में, सब कुछ दो या तीन समीकरणों के साथ सिस्टम द्वारा हल किया गया था। लेकिन चार या अधिक घटकों वाले सिस्टम हैं। आइए पहले समझें कि उन्हें कैसे लिखना है ताकि बाद में उन्हें हल करना सुविधाजनक हो। सबसे पहले, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली बेहतर दिखाई देगी यदि सभी चर को उपयुक्त सूचकांक के साथ x के रूप में लिखा जाए: 1,2,3, और इसी तरह। दूसरे, सभी समीकरणों को विहित रूप में लाया जाना चाहिए: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b।

इन सभी क्रियाओं के बाद, हम इस बारे में बात करना शुरू कर सकते हैं कि रैखिक समीकरणों के सिस्टम का हल कैसे खोजा जाए। इसके लिए मैट्रिसेस बहुत उपयोगी होते हैं।

मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स एक तालिका है जिसमें पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं, और उनके चौराहे पर इसके तत्व होते हैं। ये या तो विशिष्ट मान या चर हो सकते हैं। अक्सर, तत्वों को नामित करने के लिए, सबस्क्रिप्ट उनके नीचे रखे जाते हैं (उदाहरण के लिए, 11 या 23)। पहली अनुक्रमणिका का अर्थ है पंक्ति संख्या और दूसरी एक स्तंभ संख्या। मैट्रिक्स पर, साथ ही किसी अन्य गणितीय तत्व पर, आप विभिन्न ऑपरेशन कर सकते हैं। इस प्रकार, आप कर सकते हैं:

2) मैट्रिक्स को किसी संख्या या वेक्टर से गुणा करें।

3) स्थानान्तरित करें: मैट्रिक्स पंक्तियों को स्तंभों में और स्तंभों को पंक्तियों में बदलें।

4) आव्यूहों को गुणा करें यदि उनमें से एक की पंक्तियों की संख्या दूसरे के स्तंभों की संख्या के बराबर है।

हम इन सभी तकनीकों पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे, क्योंकि ये भविष्य में हमारे लिए उपयोगी होंगी। मैट्रिक्स को घटाना और जोड़ना बहुत आसान है। चूँकि हम एक ही आकार के आव्यूह लेते हैं, एक तालिका का प्रत्येक अवयव दूसरे के प्रत्येक अवयव से मेल खाता है। इस प्रकार, हम इन दो तत्वों को जोड़ते हैं (घटाना) (यह महत्वपूर्ण है कि वे अपने मैट्रिक्स में एक ही स्थान पर हों)। किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या या वेक्टर से गुणा करते समय, आपको बस मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को उस संख्या (या वेक्टर) से गुणा करना होगा। स्थानांतरण एक बहुत ही रोचक प्रक्रिया है। कभी-कभी इसे वास्तविक जीवन में देखना बहुत दिलचस्प होता है, उदाहरण के लिए, जब किसी टैबलेट या फोन का ओरिएंटेशन बदलते हैं। डेस्कटॉप पर आइकन एक मैट्रिक्स होते हैं, और जब आप स्थिति बदलते हैं, तो यह स्थानांतरित हो जाता है और चौड़ा हो जाता है, लेकिन ऊंचाई में घट जाती है।

आइए ऐसी प्रक्रिया का विश्लेषण करें जैसे कि यह हमारे लिए उपयोगी नहीं होगी, फिर भी इसे जानना उपयोगी होगा। आप दो आव्यूहों को तभी गुणा कर सकते हैं जब एक तालिका में स्तंभों की संख्या दूसरी तालिका में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। अब एक आव्यूह की एक पंक्ति के अवयव और दूसरे के संगत स्तंभ के अवयव लेते हैं। हम उन्हें एक दूसरे से गुणा करते हैं और फिर उन्हें जोड़ते हैं (अर्थात, उदाहरण के लिए, तत्वों a 11 और a 12 का b 12 और b 22 का गुणनफल होगा: a 11 * b 12 + a 12 * b 22)। इस प्रकार, तालिका का एक तत्व प्राप्त होता है, और इसे आगे इसी तरह की विधि से भर दिया जाता है।

अब हम विचार करना शुरू कर सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल किया जाता है।

गॉस विधि

यह विषय स्कूल से शुरू होता है। हम "दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली" की अवधारणा को अच्छी तरह से जानते हैं और उन्हें हल करना जानते हैं। लेकिन क्या होगा यदि समीकरणों की संख्या दो से अधिक हो? यह हमारी मदद करेगा

बेशक, इस पद्धति का उपयोग करना सुविधाजनक है यदि आप सिस्टम से एक मैट्रिक्स बनाते हैं। लेकिन आप इसे रूपांतरित नहीं कर सकते और इसे इसके शुद्ध रूप में हल नहीं कर सकते।

तो, इस विधि द्वारा रैखिक गाऊसी समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल किया जाता है? वैसे, हालांकि इस पद्धति का नाम उनके नाम पर रखा गया है, यह प्राचीन काल में खोजा गया था। गॉस निम्नलिखित का प्रस्ताव करता है: अंत में पूरे सेट को एक चरणबद्ध रूप में कम करने के लिए समीकरणों के साथ संचालन करने के लिए। अर्थात् यह आवश्यक है कि ऊपर से नीचे (यदि सही ढंग से रखा जाए) पहले समीकरण से अंतिम तक, एक अज्ञात घटता है। दूसरे शब्दों में, हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि हमें तीन समीकरण मिलते हैं: पहले में - तीन अज्ञात, दूसरे में - दो, तीसरे में - एक। फिर अंतिम समीकरण से हम पहला अज्ञात पाते हैं, इसके मान को दूसरे या पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, और फिर शेष दो चर ज्ञात करते हैं।

क्रैमर विधि

इस पद्धति में महारत हासिल करने के लिए, जोड़, घटाव के कौशल में महारत हासिल करना महत्वपूर्ण है, और आपको निर्धारकों को खोजने में भी सक्षम होना चाहिए। इसलिए, यदि आप यह सब खराब तरीके से करते हैं या बिल्कुल नहीं जानते हैं, तो आपको सीखना और अभ्यास करना होगा।

इस पद्धति का सार क्या है, और इसे कैसे बनाया जाए ताकि रैखिक क्रैमर समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जा सके? सब कुछ बहुत सरल है। हमें रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के संख्यात्मक (लगभग हमेशा) गुणांक से एक मैट्रिक्स का निर्माण करना है। ऐसा करने के लिए, हम केवल अज्ञात के सामने संख्याएँ लेते हैं और उन्हें तालिका में उस क्रम में रखते हैं जिस क्रम में वे सिस्टम में लिखे गए हैं। यदि संख्या से पहले "-" चिन्ह है, तो हम एक ऋणात्मक गुणांक लिखते हैं। इसलिए, हमने अज्ञात के गुणांक से पहला मैट्रिक्स संकलित किया है, समान संकेतों के बाद संख्याओं को शामिल नहीं किया है (स्वाभाविक रूप से, समीकरण को विहित रूप में घटाया जाना चाहिए, जब केवल संख्या दाईं ओर हो, और सभी अज्ञात के साथ बाईं ओर गुणांक)। फिर आपको कई और मैट्रिक्स बनाने की जरूरत है - प्रत्येक चर के लिए एक। ऐसा करने के लिए, पहले मैट्रिक्स में, बदले में, हम प्रत्येक कॉलम को गुणांक के साथ समान चिह्न के बाद संख्याओं के कॉलम से बदलते हैं। इस प्रकार, हम कई मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं और फिर उनके सारणिक पाते हैं।

निर्धारकों को खोजने के बाद, मामला छोटा है। हमारे पास एक प्रारंभिक मैट्रिक्स है, और कई परिणामी मैट्रिक्स हैं जो विभिन्न चर के अनुरूप हैं। प्रणाली के समाधान प्राप्त करने के लिए, हम परिणामी तालिका के सारणिक को प्रारंभिक तालिका के निर्धारक से विभाजित करते हैं। परिणामी संख्या एक चर का मान है। इसी तरह, हम सभी अज्ञात पाते हैं।

अन्य तरीके

रैखिक समीकरणों के निकाय का हल प्राप्त करने के लिए और भी कई विधियाँ हैं। उदाहरण के लिए, तथाकथित गॉस-जॉर्डन विधि, जिसका उपयोग द्विघात समीकरणों की प्रणाली के समाधान खोजने के लिए किया जाता है और यह मैट्रिक्स के उपयोग से भी जुड़ा होता है। रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक जैकोबी विधि भी है। यह कंप्यूटर के अनुकूल होना सबसे आसान है और इसका उपयोग कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में किया जाता है।

मुश्किल मामले

जटिलता आमतौर पर तब उत्पन्न होती है जब समीकरणों की संख्या चर की संख्या से कम होती है। तब हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि या तो प्रणाली असंगत है (अर्थात, इसकी कोई जड़ नहीं है), या इसके समाधानों की संख्या अनंत तक जाती है। यदि हमारे पास दूसरा मामला है, तो हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली के सामान्य समाधान को लिखना होगा। इसमें कम से कम एक वेरिएबल होगा।

निष्कर्ष

यहाँ हम अंत में आते हैं। आइए संक्षेप करें: हमने विश्लेषण किया है कि एक प्रणाली और एक मैट्रिक्स क्या हैं, सीखा है कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सामान्य समाधान कैसे खोजा जाए। इसके अलावा अन्य विकल्पों पर विचार किया गया। हमने पाया कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कैसे हल की जाती है: गॉस विधि और हमने कठिन मामलों और समाधान खोजने के अन्य तरीकों के बारे में बात की।

वास्तव में, यह विषय बहुत अधिक व्यापक है, और यदि आप इसे बेहतर ढंग से समझना चाहते हैं, तो हम आपको अधिक विशिष्ट साहित्य पढ़ने की सलाह देते हैं।

हम तकनीक को पॉलिश करना जारी रखेंगे प्राथमिक परिवर्तनपर रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली.
पहले पैराग्राफ के अनुसार, सामग्री उबाऊ और साधारण लग सकती है, लेकिन यह धारणा भ्रामक है। तकनीकों के आगे विकास के अलावा बहुत सी नई जानकारी होगी, इसलिए कृपया इस लेख में उदाहरणों की उपेक्षा न करने का प्रयास करें।

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली क्या है?

जवाब खुद ही बताता है। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली सजातीय है यदि मुक्त पद हर कोईसिस्टम समीकरण शून्य है। उदाहरण के लिए:

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, यानी इसका हमेशा एक समाधान होता है। और, सबसे पहले, तथाकथित तुच्छफेसला . तुच्छ, उन लोगों के लिए जो विशेषण का अर्थ बिल्कुल नहीं समझते हैं, का अर्थ है bespontovoe। अकादमिक रूप से नहीं, निश्चित रूप से, लेकिन समझदारी से =) ... झाड़ी के चारों ओर क्यों मारा, आइए जानें कि क्या इस प्रणाली के पास कोई अन्य समाधान है:

उदाहरण 1

फेसला: एक सजातीय प्रणाली को हल करने के लिए लिखना आवश्यक है सिस्टम मैट्रिक्सऔर प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से इसे चरणबद्ध रूप में लाते हैं। ध्यान दें कि यहां फ्री मेंबर्स का वर्टिकल बार और जीरो कॉलम लिखने की जरूरत नहीं है - क्योंकि जीरो से आप जो कुछ भी करेंगे, वे जीरो ही रहेंगे:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया था।

(2) दूसरी पंक्ति को 1 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करने का कोई मतलब नहीं है।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक समान सजातीय प्रणाली प्राप्त की जाती है , और, गाऊसी पद्धति के विपरीत चाल को लागू करने से, यह सत्यापित करना आसान है कि समाधान अद्वितीय है।

जवाब:

आइए हम एक स्पष्ट मानदंड तैयार करें: रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली है केवल तुच्छ समाधान, अगर सिस्टम मैट्रिक्स रैंक(इस मामले में, 3) चर की संख्या के बराबर है (इस मामले में, 3 पीसी।)।

हम अपने रेडियो को प्राथमिक परिवर्तनों की लहर में गर्म और ट्यून करते हैं:

उदाहरण 2

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली को हल करें

अंत में एल्गोरिथ्म को ठीक करने के लिए, आइए अंतिम कार्य का विश्लेषण करें:

उदाहरण 7

एक समांगी प्रणाली को हल करें, उत्तर को सदिश रूप में लिखें।

फेसला: हम सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, हम इसे एक चरणबद्ध रूप में लाते हैं:

(1) पहली पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया है। एक बार फिर, मैं बार-बार मिलने वाली तकनीक पर ध्यान आकर्षित करता हूं, जो आपको निम्नलिखित क्रिया को काफी सरल बनाने की अनुमति देता है।

(1) पहली पंक्ति को दूसरी और तीसरी पंक्तियों में जोड़ा गया था। पहली पंक्ति को 2 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, उनमें से दो हटा दी गई हैं।

नतीजतन, एक मानक चरण मैट्रिक्स प्राप्त होता है, और समाधान knurled ट्रैक के साथ जारी रहता है:

- बुनियादी चर;
मुक्त चर हैं।

हम मूल चरों को मुक्त चरों के रूप में व्यक्त करते हैं। दूसरे समीकरण से:

- पहले समीकरण में स्थानापन्न करें:

तो सामान्य समाधान है:

चूंकि विचाराधीन उदाहरण में तीन मुक्त चर हैं, मौलिक प्रणाली में तीन वैक्टर होते हैं।

आइए मानों का एक तिहाई स्थानापन्न करें सामान्य समाधान में और एक वेक्टर प्राप्त करें जिसके निर्देशांक सजातीय प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करते हैं। और फिर से, मैं दोहराता हूं कि प्रत्येक प्राप्त वेक्टर की जांच करना अत्यधिक वांछनीय है - इसमें इतना समय नहीं लगेगा, लेकिन यह त्रुटियों से एक सौ प्रतिशत बचाएगा।

मूल्यों के एक तिहाई के लिए वेक्टर खोजें

और अंत में ट्रिपल के लिए हमें तीसरा वेक्टर मिलता है:

जवाब: , कहाँ पे

जो लोग भिन्नात्मक मूल्यों से बचना चाहते हैं वे त्रिगुणों पर विचार कर सकते हैं और समकक्ष रूप में उत्तर प्राप्त करें:

अंशों की बात हो रही है। आइए समस्या में प्राप्त मैट्रिक्स को देखें और प्रश्न पूछें - क्या आगे के समाधान को सरल बनाना संभव है? आखिरकार, यहां हमने पहले मूल चर को भिन्नों के रूप में व्यक्त किया, फिर मूल चर को भिन्नों के रूप में, और, मुझे कहना होगा, यह प्रक्रिया सबसे आसान नहीं थी और सबसे सुखद नहीं थी।

दूसरा उपाय:

कोशिश करने का विचार है अन्य बुनियादी चर चुनें. आइए मैट्रिक्स को देखें और तीसरे कॉलम में दो नोटिस करें। तो जीरो टॉप पर क्यों नहीं? आइए एक और प्राथमिक परिवर्तन करें: