जहाँ 2 j, j-वें समूह का अंतर-समूह प्रसरण है।
असमूहीकृत डेटा के लिए अवशिष्ट फैलावसन्निकटन सटीकता का एक उपाय है, अर्थात। मूल डेटा के लिए प्रतिगमन रेखा का सन्निकटन: 
जहां y(t) प्रवृत्ति समीकरण के अनुसार पूर्वानुमान है; y t - गतिकी की प्रारंभिक श्रृंखला; n अंकों की संख्या है; p प्रतिगमन समीकरण (व्याख्यात्मक चर की संख्या) के गुणांकों की संख्या है।
इस उदाहरण में इसे कहा जाता है विचरण का निष्पक्ष अनुमान.
उदाहरण 1। टैरिफ श्रेणियों द्वारा एक संघ के तीन उद्यमों के श्रमिकों का वितरण निम्नलिखित आंकड़ों की विशेषता है:
| श्रमिक वेतन श्रेणी | उद्यम में श्रमिकों की संख्या | ||
| उद्यम 1 | उद्यम 2 | उद्यम 3 | |
| 1 | 50 | 20 | 40 |
| 2 | 100 | 80 | 60 |
| 3 | 150 | 150 | 200 |
| 4 | 350 | 300 | 400 |
| 5 | 200 | 150 | 250 |
| 6 | 150 | 100 | 150 |
परिभाषित करना:
1. प्रत्येक उद्यम के लिए फैलाव (इंट्राग्रुप फैलाव);
2. इंट्राग्रुप फैलाव का औसत;
3. इंटरग्रुप फैलाव;
4. कुल विचरण।
फेसला।
समस्या को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह पता लगाना आवश्यक है कि कौन सी विशेषता प्रभावी है और कौन सी तथ्यात्मक है। विचाराधीन उदाहरण में, प्रभावी विशेषता "टैरिफ श्रेणी" है, और कारक विशेषता "उद्यम की संख्या (नाम)" है।
फिर हमारे पास तीन समूह (उद्यम) हैं जिनके लिए समूह औसत और इंट्राग्रुप भिन्नताओं की गणना करना आवश्यक है:
| सोहबत | समूह औसत, | समूह के भीतर विचरण, |
| 1 | 4 | 1,8 |
इंट्राग्रुप प्रसरणों का औसत ( अवशिष्ट फैलाव) सूत्र द्वारा परिकलित:
जहां आप गणना कर सकते हैं:
या:
तब:
कुल फैलाव इसके बराबर होगा: s 2 \u003d 1.6 + 0 \u003d 1.6।
निम्नलिखित दो सूत्रों में से एक का उपयोग करके कुल विचरण की गणना भी की जा सकती है:
व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, अक्सर एक संकेत से निपटना पड़ता है जो केवल दो वैकल्पिक मान लेता है। इस मामले में, वे एक विशेषता के किसी विशेष मूल्य के वजन के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि कुल में इसके हिस्से के बारे में बात कर रहे हैं। यदि अध्ययन के तहत विशेषता वाली जनसंख्या इकाइयों के अनुपात को "द्वारा निरूपित किया जाता है" आर", और नहीं - के माध्यम से" क्यू”, तब फैलाव की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:
एस 2 = पी × क्यू
उदाहरण # 2। ब्रिगेड के छह श्रमिकों के विकास के आंकड़ों के अनुसार, अंतरसमूह विचरण का निर्धारण करें और उनकी श्रम उत्पादकता पर कार्य शिफ्ट के प्रभाव का मूल्यांकन करें यदि कुल विचरण 12.2 है।
| कार्यरत ब्रिगेड की संख्या | वर्किंग आउटपुट, पीसी। | |
| पहली पाली में | दूसरी पाली में | |
| 1 | 18 | 13 |
| 2 | 19 | 14 |
| 3 | 22 | 15 |
| 4 | 20 | 17 |
| 5 | 24 | 16 |
| 6 | 23 | 15 |
फेसला. आरंभिक डेटा
| एक्स | f1 | f2 | च 3 | f4 | f5 | f6 | कुल |
| 1 | 18 | 19 | 22 | 20 | 24 | 23 | 126 |
| 2 | 13 | 14 | 15 | 17 | 16 | 15 | 90 |
| कुल | 31 | 33 | 37 | 37 | 40 | 38 |
फिर हमारे पास 6 समूह हैं जिनके लिए समूह माध्य और इंट्राग्रुप प्रसरणों की गणना करना आवश्यक है।
1. प्रत्येक समूह का औसत मान ज्ञात कीजिए.
2. प्रत्येक समूह का माध्य वर्ग ज्ञात कीजिए.
हम एक तालिका में गणना के परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:
| समूह संख्या | समूह औसत | इंट्राग्रुप विचरण |
| 1 | 1.42 | 0.24 |
| 2 | 1.42 | 0.24 |
| 3 | 1.41 | 0.24 |
| 4 | 1.46 | 0.25 |
| 5 | 1.4 | 0.24 |
| 6 | 1.39 | 0.24 |
3. इंट्राग्रुप विचरणसमूह में अंतर्निहित कारक को छोड़कर, सभी कारकों के प्रभाव में समूह के भीतर अध्ययन (परिणामी) विशेषता के परिवर्तन (भिन्नता) की विशेषता है:
हम सूत्र का उपयोग करके इंट्राग्रुप फैलाव के औसत की गणना करते हैं:
4. इंटरग्रुप विचरणसमूह में अंतर्निहित एक कारक (तथ्यात्मक विशेषता) के प्रभाव में अध्ययन (परिणामस्वरूप) विशेषता के परिवर्तन (भिन्नता) की विशेषता है।
इंटरग्रुप फैलाव को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
कहाँ पे
फिर
कुल विचरणबिना किसी अपवाद के सभी कारकों (तथ्यात्मक लक्षण) के प्रभाव में अध्ययन (परिणामी) विशेषता के परिवर्तन (भिन्नता) की विशेषता है। समस्या की स्थिति से, यह 12.2 के बराबर है।
अनुभवजन्य सहसंबंध संबंधमापता है कि परिणामी विशेषता के कुल उतार-चढ़ाव का कितना हिस्सा अध्ययन किए गए कारक के कारण होता है। यह भाज्य विचरण का कुल विचरण का अनुपात है:
हम अनुभवजन्य सहसंबंध संबंध निर्धारित करते हैं:
सुविधाओं के बीच संबंध कमजोर या मजबूत (करीबी) हो सकते हैं। उनके मानदंड का मूल्यांकन चाडॉक पैमाने पर किया जाता है:
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 हमारे उदाहरण में, फीचर वाई फैक्टर एक्स के बीच संबंध कमजोर है
निर्धारण गुणांक।
आइए निर्धारण के गुणांक को परिभाषित करें:
इस प्रकार, 0.67% भिन्नता लक्षणों के बीच अंतर के कारण है, और 99.37% अन्य कारकों के कारण है।
निष्कर्ष: इस मामले में, श्रमिकों का उत्पादन एक विशेष पाली में काम पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात। उनकी श्रम उत्पादकता पर कार्य शिफ्ट का प्रभाव महत्वपूर्ण नहीं है और अन्य कारकों के कारण है।
उदाहरण #3। श्रमिकों के दो समूहों के लिए औसत वेतन और इसके मूल्य से वर्ग विचलन के आंकड़ों के आधार पर, विचरण जोड़ नियम लागू करके कुल विचरण ज्ञात करें:
फेसला:समूह के भीतर भिन्नताओं का औसत
इंटरग्रुप फैलाव को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
कुल विचरण होगा: 480 + 13824 = 14304
आंकड़ों में फैलावके वर्ग में विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के रूप में पाया जाता है। प्रारंभिक डेटा के आधार पर, यह सरल और भारित विचरण सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
1. (अवर्गीकृत डेटा के लिए) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
2. भारित विचरण (भिन्नता श्रृंखला के लिए):
जहां n आवृत्ति है (दोहराव कारक X)
विचरण खोजने का एक उदाहरण
यह पृष्ठ विचरण को खोजने के एक मानक उदाहरण का वर्णन करता है, आप इसे खोजने के लिए अन्य कार्यों को भी देख सकते हैं
उदाहरण 1. हमारे पास 20 पत्राचार छात्रों के समूह के लिए निम्नलिखित आंकड़े हैं। सुविधा वितरण की अंतराल श्रृंखला बनाना, सुविधा के औसत मूल्य की गणना करना और इसके विचरण का अध्ययन करना आवश्यक है
आइए एक अंतराल समूह बनाते हैं। आइए सूत्र द्वारा अंतराल की सीमा निर्धारित करें:
जहां एक्स मैक्स ग्रुपिंग फीचर का अधिकतम मूल्य है;
X मिनट समूहीकरण सुविधा का न्यूनतम मान है;
n अंतराल की संख्या है:
हम एन = 5 स्वीकार करते हैं। चरण है: ज \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6
आइए एक अंतराल समूह बनाते हैं
आगे की गणना के लिए, हम एक सहायक तालिका बनाएंगे:
X'i अंतराल का मध्य है। (उदाहरण के लिए, अंतराल के बीच में 159 - 165.6 = 162.3)
छात्रों की औसत वृद्धि अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
हम सूत्र द्वारा फैलाव निर्धारित करते हैं:
विचरण सूत्र को निम्नानुसार परिवर्तित किया जा सकता है:
इस सूत्र से यह इस प्रकार है कि भिन्नता है विकल्पों के वर्गों के माध्य और वर्ग और माध्य के बीच का अंतर।
भिन्नता श्रृंखला में भिन्नताक्षणों की विधि के अनुसार समान अंतराल के साथ, दूसरे फैलाव संपत्ति (अंतराल के मूल्य से सभी विकल्पों को विभाजित करके) का उपयोग करके निम्नलिखित तरीके से गणना की जा सकती है। विचरण की परिभाषा, क्षणों की विधि द्वारा गणना, निम्न सूत्र के अनुसार कम समय लगता है:
जहां i अंतराल का मान है;
ए - सशर्त शून्य, जो उच्चतम आवृत्ति के साथ अंतराल के मध्य का उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है;
m1 पहले क्रम के क्षण का वर्ग है;
एम 2 - दूसरे क्रम का क्षण
(यदि सांख्यिकीय जनसंख्या में विशेषता इस तरह से बदलती है कि केवल दो परस्पर अनन्य विकल्प हैं, तो ऐसी परिवर्तनशीलता को वैकल्पिक कहा जाता है) की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:
इस परिक्षेपण सूत्र q = 1-p में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
फैलाव के प्रकार
कुल विचरणइस भिन्नता का कारण बनने वाले सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या पर एक विशेषता की भिन्नता को मापता है। यह कुल औसत मान x से विशेषता x के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसे साधारण विचरण या भारित विचरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
यादृच्छिक भिन्नता की विशेषता है, अर्थात। भिन्नता का एक भाग, जो कारकों के लिए बेहिसाब प्रभाव के कारण होता है और समूह में अंतर्निहित संकेत-कारक पर निर्भर नहीं करता है। ऐसा विचरण समूह के अंकगणितीय माध्य से X समूह के भीतर एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसकी गणना एक साधारण विचरण या भारित विचरण के रूप में की जा सकती है।
इस प्रकार, समूह के भीतर विचरण के उपायएक समूह के भीतर एक विशेषता की भिन्नता और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
जहां xi - समूह औसत;
नी समूह में इकाइयों की संख्या है।
उदाहरण के लिए, एक दुकान में श्रम उत्पादकता के स्तर पर श्रमिकों की योग्यता के प्रभाव का अध्ययन करने के कार्य में निर्धारित किए जाने वाले अंतर-समूह भिन्नताएं सभी संभावित कारकों (उपकरण की तकनीकी स्थिति) के कारण प्रत्येक समूह में उत्पादन में भिन्नता दिखाती हैं। उपकरण और सामग्री की उपलब्धता, श्रमिकों की आयु, श्रम तीव्रता, आदि), योग्यता श्रेणी में अंतर को छोड़कर (समूह के भीतर, सभी श्रमिकों की समान योग्यता है)।
इन-ग्रुप वेरिएंस का औसत रैंडम को दर्शाता है, यानी, वेरिएशन का वह हिस्सा जो ग्रुपिंग फैक्टर के अपवाद के साथ अन्य सभी कारकों के प्रभाव में हुआ। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
यह परिणामी गुण की व्यवस्थित भिन्नता की विशेषता है, जो समूह में अंतर्निहित विशेषता-कारक के प्रभाव के कारण है। यह कुल माध्य से समूह के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है। इंटरग्रुप विचरण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
आंकड़ों में प्रसरण जोड़ नियम
इसके अनुसार विचरण जोड़ नियमकुल विचरण इंट्राग्रुप और इंटरग्रुप वेरिएंस के औसत के योग के बराबर है:
इस नियम का अर्थयह है कि सभी कारकों के प्रभाव में होने वाली कुल भिन्नता अन्य सभी कारकों के प्रभाव में उत्पन्न होने वाली भिन्नताओं और समूहीकरण कारक के कारण उत्पन्न होने वाली भिन्नता के योग के बराबर होती है।
प्रसरणों को जोड़ने के लिए सूत्र का उपयोग करके, दो ज्ञात प्रसरणों से तीसरे अज्ञात को निर्धारित करना संभव है, और समूहीकरण विशेषता के प्रभाव की ताकत का न्याय करना भी संभव है।
फैलाव गुण
1. यदि विशेषता के सभी मान समान स्थिर मान से कम (बढ़े हुए) हैं, तो इससे विचरण नहीं बदलेगा।
2. यदि विशेषता के सभी मानों को n की समान संख्या से घटाया (बढ़ाया) जाता है, तो विचरण तदनुसार n^2 गुना कम (वृद्धि) होगा।
आँकड़ों में उपयोग किए जाने वाले कई संकेतकों में से, विचरण की गणना को उजागर करना आवश्यक है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस गणना को मैन्युअल रूप से करना एक कठिन काम है। सौभाग्य से, एक्सेल में ऐसे फ़ंक्शन हैं जो आपको गणना प्रक्रिया को स्वचालित करने की अनुमति देते हैं। आइए इन उपकरणों के साथ काम करने के लिए एल्गोरिदम का पता लगाएं।
फैलाव भिन्नता का एक संकेतक है, जो गणितीय अपेक्षा से विचलन का औसत वर्ग है। इस प्रकार, यह माध्य के बारे में संख्याओं के प्रसार को व्यक्त करता है। फैलाव की गणना सामान्य आबादी और नमूने दोनों के लिए की जा सकती है।
विधि 1: सामान्य जनसंख्या पर गणना
सामान्य जनसंख्या के लिए एक्सेल में इस सूचक की गणना करने के लिए, फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है डीएसपी.जी. इस अभिव्यक्ति के लिए वाक्य रचना इस प्रकार है:
DISP.G(नंबर1;नंबर2;…)
कुल मिलाकर, 1 से 255 तर्कों को लागू किया जा सकता है। तर्क संख्यात्मक मान और उन कक्षों के संदर्भ दोनों हो सकते हैं जिनमें वे समाहित हैं।
आइए देखें कि संख्यात्मक डेटा की श्रेणी के लिए इस मान की गणना कैसे करें।
विधि 2: नमूना गणना
सामान्य जनसंख्या के लिए मूल्य की गणना के विपरीत, नमूने की गणना में, हर संख्याओं की कुल संख्या नहीं है, बल्कि एक कम है। यह त्रुटि को ठीक करने के लिए किया जाता है। एक्सेल इस बारीकियों को एक विशेष फ़ंक्शन में ध्यान में रखता है जिसे इस प्रकार की गणना के लिए डिज़ाइन किया गया है - DISP.V। इसका सिंटैक्स निम्न सूत्र द्वारा दर्शाया गया है:
VAR.B(नंबर1;नंबर2;…)
पिछले फ़ंक्शन की तरह, तर्कों की संख्या भी 1 से 255 तक हो सकती है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्सेल प्रोग्राम विचरण की गणना को बहुत सुविधाजनक बनाने में सक्षम है। इस आंकड़े की गणना जनसंख्या और नमूने दोनों के लिए आवेदन द्वारा की जा सकती है। इस मामले में, सभी उपयोगकर्ता क्रियाएं वास्तव में केवल संसाधित की जाने वाली संख्याओं की सीमा निर्दिष्ट करने के लिए कम हो जाती हैं, और एक्सेल मुख्य कार्य स्वयं करता है। बेशक, यह उपयोगकर्ताओं के लिए महत्वपूर्ण समय बचाएगा।
आइए गणना करेंएमएसएक्सेलनमूने का विचरण और मानक विचलन। हम एक यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना भी करते हैं यदि उसका वितरण ज्ञात है।
पहले विचार करें फैलाव, तब मानक विचलन.
नमूना विचरण
नमूना विचरण (नमूना विचरण,नमूनाझगड़ा) के सापेक्ष सरणी में मूल्यों के प्रसार की विशेषता है।
सभी 3 सूत्र गणितीय रूप से समतुल्य हैं।
यह पहले सूत्र से देखा जा सकता है कि नमूना विचरणसरणी में प्रत्येक मान के चुकता विचलन का योग है औसत सेनमूना आकार माइनस 1 से विभाजित।
फैलाव नमूने DISP () फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, इंजी। वीएआर का नाम, यानी। भिन्नता। MS EXCEL 2010 के बाद से, इसके एनालॉग DISP.V() , eng का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है। नाम VARS, अर्थात्। नमूना विचरण। इसके अलावा, MS EXCEL 2010 के संस्करण से शुरू होकर, एक DISP.G () फ़ंक्शन, इंजी है। वीएआरपी नाम, यानी। जनसंख्या विचरण जो गणना करता है फैलावके लिए आबादी. पूरा अंतर हर के लिए नीचे आता है: n-1 के बजाय DISP.V() , DISP.G() में हर में बस n है। MS EXCEL 2010 से पहले, VARP () फ़ंक्शन का उपयोग जनसंख्या विचरण की गणना के लिए किया जाता था।
नमूना विचरण
= वर्ग (नमूना)/(COUNT (नमूना) -1)
=(SUMSQ(नमूना)-COUNT(नमूना)*औसत(नमूना)^2)/ (COUNT(नमूना)-1)- सामान्य सूत्र
=SUM((नमूना-औसत(नमूना))^2)/ (COUNT(नमूना)-1) –
नमूना विचरण 0 के बराबर तभी होता है जब सभी मान एक दूसरे के बराबर हों और तदनुसार समान हों औसत मूल्य. आमतौर पर, बड़ा मान फैलाव, सरणी में मानों का प्रसार जितना अधिक होगा।
नमूना विचरणएक बिंदु अनुमान है फैलावयादृच्छिक चर का वितरण जिससे नमूना. निर्माण के बारे में विश्वास अंतरालमूल्यांकन करते समय फैलावलेख में पढ़ा जा सकता है।
यादृच्छिक चर का प्रसरण
हिसाब करना फैलावयादृच्छिक चर, आपको इसे जानने की जरूरत है।
के लिए फैलावयादृच्छिक चर X अक्सर अंकन Var(X) का उपयोग करते हैं। फैलावमाध्य E(X) से विचलन के वर्ग के बराबर है: Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]
फैलावसूत्र द्वारा गणना:
जहां x i वह मान है जो यादृच्छिक चर ले सकता है, और μ औसत मान () है, р(x) संभावना है कि यादृच्छिक चर मान x लेगा।
यदि यादृच्छिक चर है, तो फैलावसूत्र द्वारा गणना:
आयाम फैलावमूल मानों की माप की इकाई के वर्ग से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, यदि नमूने में मान भाग के वजन (किलो में) के माप हैं, तो विचरण का आयाम किलो 2 होगा। यह व्याख्या करना मुश्किल हो सकता है, इसलिए, मूल्यों के प्रसार को चिह्नित करने के लिए, वर्गमूल के बराबर मूल्य फैलाव – मानक विचलन.
कुछ गुण फैलाव:
Var(X+a)=Var(X), जहां X एक यादृच्छिक चर है और a एक स्थिरांक है।
Var(aХ)=a 2 Var(X)
वार(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2=E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2
इस फैलाव गुण का उपयोग किया जाता है रैखिक प्रतिगमन के बारे में लेख.
Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y), जहां X और Y यादृच्छिक चर हैं, Cov(X;Y) इन यादृच्छिक चरों का सहप्रसरण है।
यदि यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं, तो उनका सहप्रसरण 0 है, और इसलिए Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). विचरण के इस गुण का उपयोग आउटपुट में किया जाता है।
आइए हम दिखाते हैं कि स्वतंत्र मात्राओं के लिए Var(X-Y)=Var(X+Y). वास्तव में, वार(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+(- 1) 2 वार (वाई) = वार (एक्स) + वार (वाई) = वार (एक्स + वाई)। विचरण की इस संपत्ति का उपयोग प्लॉट करने के लिए किया जाता है।
नमूना मानक विचलन
नमूना मानक विचलनइस बात का माप है कि नमूने में मान उनके सापेक्ष कितने व्यापक रूप से बिखरे हुए हैं।
ए-प्राथमिकता, मानक विचलनके वर्गमूल के बराबर होता है फैलाव:
मानक विचलनमूल्यों के परिमाण को ध्यान में नहीं रखता है नमूना, लेकिन केवल उनके आसपास मूल्यों के बिखरने की डिग्री मध्य. आइए इसे स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण लेते हैं।
आइए 2 नमूनों के लिए मानक विचलन की गणना करें: (1; 5; 9) और (1001; 1005; 1009)। दोनों ही स्थितियों में, s=4. यह स्पष्ट है कि नमूने के लिए मानक विचलन और सरणी के मूल्यों का अनुपात काफी भिन्न है। ऐसे मामलों के लिए, उपयोग करें भिन्नता का गुणांक(भिन्नता का गुणांक, CV) - अनुपात मानक विचलनऔसत के लिए अंकगणित, प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया।
गणना के लिए MS EXCEL 2007 और पुराने संस्करणों में नमूना मानक विचलनफ़ंक्शन = STDEV () का उपयोग किया जाता है, eng। एसटीडीईवी नाम, यानी। मानक विचलन। MS EXCEL 2010 के बाद से, इसके एनालॉग = STDEV.B () , eng का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है। नाम STDEV.S, अर्थात। नमूना मानक विचलन।
इसके अलावा, MS EXCEL 2010 के संस्करण से शुरू होकर, एक फ़ंक्शन STDEV.G () , eng है। नाम STDEV.P, अर्थात। जनसंख्या मानक विचलन जो गणना करता है मानक विचलनके लिए आबादी. पूरा अंतर हर के लिए नीचे आता है: n-1 जैसे STDEV.V() , STDEV.G() के बजाय बस n हर में है।
मानक विचलननीचे दिए गए सूत्रों से भी सीधे गणना की जा सकती है (उदाहरण फ़ाइल देखें)
=SQRT(SQUADROTIV(नमूना)/(COUNT(नमूना)-1))
=SQRT((SUMSQ(नमूना)-COUNT(नमूना)*औसत(नमूना)^2)/(COUNT(नमूना) -1))
अन्य फैलाव उपाय
SQUADRIVE () फ़ंक्शन के साथ गणना करता है उनके से मूल्यों के वर्ग विचलन का उम मध्य. यह फ़ंक्शन सूत्र के समान परिणाम लौटाएगा =VAR.G( नमूना)*जाँच करना( नमूना) , कहाँ पे नमूना- एक श्रेणी का संदर्भ जिसमें नमूना मानों की एक सरणी होती है ()। QUADROTIV () फ़ंक्शन में गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
SROOT () फ़ंक्शन भी डेटा के एक सेट के बिखराव का एक उपाय है। SIROTL () फ़ंक्शन से मूल्यों के विचलन के निरपेक्ष मूल्यों के औसत की गणना करता है मध्य. यह फ़ंक्शन सूत्र के समान परिणाम लौटाएगा = SUMPRODUCT (ABS (नमूना-औसत (नमूना))) / COUNT (नमूना), कहाँ पे नमूना- नमूना मानों की एक सरणी वाली श्रेणी का संदर्भ।
SROOTKL () फ़ंक्शन में गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
.
इसके विपरीत, यदि एक गैर-ऋणात्मक है a.e. एक समारोह ऐसा है कि 
, तो इस पर एक बिल्कुल निरंतर संभाव्यता माप है जो कि इसका घनत्व है।
Lebesgue अभिन्न में माप का परिवर्तन:
,
संभाव्यता माप के संबंध में कोई बोरेल फ़ंक्शन कहां है।
फैलाव, प्रकार और फैलाव के गुण फैलाव की अवधारणा
आंकड़ों में फैलावअंकगणित माध्य से वर्गित विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के मानक विचलन के रूप में पाया जाता है। प्रारंभिक डेटा के आधार पर, यह सरल और भारित विचरण सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
1. सरल विचरण(अवर्गीकृत डेटा के लिए) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
2. भारित विचरण (भिन्नता श्रृंखला के लिए):
जहां n - आवृत्ति (दोहराव कारक X)
विचरण खोजने का एक उदाहरण
यह पृष्ठ विचरण को खोजने के एक मानक उदाहरण का वर्णन करता है, आप इसे खोजने के लिए अन्य कार्यों को भी देख सकते हैं
उदाहरण 1. समूह का निर्धारण, समूह का औसत, समूह के बीच और कुल विचरण
उदाहरण 2. एक समूहन तालिका में प्रसरण और विचरण का गुणांक ज्ञात करना
उदाहरण 3. असतत श्रेणी में प्रसरण ज्ञात करना
उदाहरण 4. हमारे पास 20 पत्राचार छात्रों के समूह के लिए निम्नलिखित आंकड़े हैं। सुविधा वितरण की अंतराल श्रृंखला बनाना, सुविधा के औसत मूल्य की गणना करना और इसके विचरण का अध्ययन करना आवश्यक है
आइए एक अंतराल समूह बनाते हैं। आइए सूत्र द्वारा अंतराल की सीमा निर्धारित करें:
जहां एक्स मैक्स ग्रुपिंग फीचर का अधिकतम मूल्य है; X मिनट समूहीकरण सुविधा का न्यूनतम मान है; n अंतराल की संख्या है:
हम एन = 5 स्वीकार करते हैं। चरण है: ज \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6
आइए एक अंतराल समूह बनाते हैं
आगे की गणना के लिए, हम एक सहायक तालिका बनाएंगे:
X "i - अंतराल का मध्य। (उदाहरण के लिए, अंतराल के मध्य 159 - 165.6 \u003d 162.3)
छात्रों की औसत वृद्धि अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
हम सूत्र द्वारा फैलाव निर्धारित करते हैं:
सूत्र को इस प्रकार परिवर्तित किया जा सकता है:
इस सूत्र से यह इस प्रकार है कि भिन्नता है विकल्पों के वर्गों के माध्य और वर्ग और माध्य के बीच का अंतर।
भिन्नता श्रृंखला में भिन्नताक्षणों की विधि के अनुसार समान अंतराल के साथ, दूसरे फैलाव संपत्ति (अंतराल के मूल्य से सभी विकल्पों को विभाजित करके) का उपयोग करके निम्नलिखित तरीके से गणना की जा सकती है। विचरण की परिभाषा, क्षणों की विधि द्वारा गणना, निम्न सूत्र के अनुसार कम समय लगता है:
जहां i अंतराल का मान है; ए - सशर्त शून्य, जो उच्चतम आवृत्ति के साथ अंतराल के मध्य का उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है; m1 पहले क्रम के क्षण का वर्ग है; एम 2 - दूसरे क्रम का क्षण
फ़ीचर विचरण (यदि सांख्यिकीय जनसंख्या में विशेषता इस तरह से बदलती है कि केवल दो परस्पर अनन्य विकल्प हैं, तो ऐसी परिवर्तनशीलता को वैकल्पिक कहा जाता है) की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:
इस फैलाव सूत्र q = 1-p में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
फैलाव के प्रकार
कुल विचरणइस भिन्नता का कारण बनने वाले सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या पर एक विशेषता की भिन्नता को मापता है। यह कुल औसत मान x से विशेषता x के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसे साधारण विचरण या भारित विचरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
इंट्राग्रुप विचरण यादृच्छिक भिन्नता की विशेषता है, अर्थात। भिन्नता का एक भाग, जो कारकों के लिए बेहिसाब प्रभाव के कारण होता है और समूह में अंतर्निहित संकेत-कारक पर निर्भर नहीं करता है। ऐसा विचरण समूह के अंकगणितीय माध्य से X समूह के भीतर एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसकी गणना एक साधारण विचरण या भारित विचरण के रूप में की जा सकती है।
इस प्रकार, समूह के भीतर विचरण के उपायएक समूह के भीतर एक विशेषता की भिन्नता और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
जहां xi - समूह औसत; नी समूह में इकाइयों की संख्या है।
उदाहरण के लिए, एक दुकान में श्रम उत्पादकता के स्तर पर श्रमिकों की योग्यता के प्रभाव का अध्ययन करने के कार्य में निर्धारित किए जाने वाले अंतर-समूह भिन्नताएं सभी संभावित कारकों (उपकरण की तकनीकी स्थिति) के कारण प्रत्येक समूह में उत्पादन में भिन्नता दिखाती हैं। उपकरण और सामग्री की उपलब्धता, श्रमिकों की आयु, श्रम तीव्रता, आदि), योग्यता श्रेणी में अंतर को छोड़कर (समूह के भीतर, सभी श्रमिकों की समान योग्यता है)।
समूह के भीतर भिन्नताओं का औसत यादृच्छिक भिन्नता को दर्शाता है, जो कि भिन्नता का वह हिस्सा है जो समूहीकरण कारक के अपवाद के साथ अन्य सभी कारकों के प्रभाव में हुआ है। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
इंटरग्रुप विचरणपरिणामी गुण की व्यवस्थित भिन्नता की विशेषता है, जो समूह में अंतर्निहित विशेषता-कारक के प्रभाव के कारण है। यह कुल माध्य से समूह के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है। इंटरग्रुप विचरण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
