पाठ भिन्नों के गुणन के अधिक सामान्यीकृत संस्करण पर विचार करेगा - यह घातांक है। सबसे पहले, हम भिन्न की प्राकृतिक डिग्री के बारे में बात करेंगे और भिन्नों के साथ समान क्रियाओं को प्रदर्शित करने वाले उदाहरणों के बारे में बात करेंगे। पाठ की शुरुआत में, हम पूर्णांक व्यंजकों की प्राकृतिक घात को बढ़ाने को भी दोहराएंगे और देखेंगे कि यह आगे के उदाहरणों को हल करने के लिए कैसे उपयोगी है।

विषय: बीजीय अंश। बीजीय भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

पाठ: बीजीय भिन्न को घात में बढ़ाना

1. प्रारंभिक उदाहरणों के साथ भिन्नों और पूर्णांक व्यंजकों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने के नियम

साधारण और बीजीय भिन्नों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने का नियम:

आप एक पूर्णांक अभिव्यक्ति की डिग्री के साथ एक सादृश्य बना सकते हैं और याद रख सकते हैं कि इसे एक शक्ति तक बढ़ाने का क्या मतलब है:

उदाहरण 1 .

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, भिन्न को घात में बढ़ाना भिन्नों को गुणा करने का एक विशेष मामला है, जिसका अध्ययन पिछले पाठ में किया गया था।

उदाहरण 2. ए), बी) - माइनस चला जाता है, क्योंकि हमने एक्सप्रेशन को सम पावर तक बढ़ा दिया है।

डिग्री के साथ काम करने की सुविधा के लिए, हम एक प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाने के लिए बुनियादी नियमों को याद करते हैं:

- डिग्री का उत्पाद;

- डिग्री का विभाजन;

एक शक्ति के लिए एक डिग्री उठाना;

काम की डिग्री।

उदाहरण 3। - यह हमें "पूर्णांक अभिव्यक्तियों की शक्ति में वृद्धि" विषय के बाद से जाना जाता है, एक मामले को छोड़कर: यह अस्तित्व में नहीं है।

2. बीजीय भिन्नों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने के लिए सबसे सरल उदाहरण

उदाहरण 4. भिन्न को घात तक बढ़ाइए।

फेसला। जब एक सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो माइनस चला जाता है:

उदाहरण 5. भिन्न को घात तक बढ़ाइए।

फेसला। अब हम एक अलग कार्यक्रम के बिना तुरंत एक शक्ति को एक डिग्री बढ़ाने के लिए नियमों का उपयोग करते हैं:

.

अब उन संयुक्त कार्यों पर विचार करें जिनमें हमें भिन्नों को एक घात में बढ़ाने, और उन्हें गुणा करने और विभाजित करने की आवश्यकता होगी।

उदाहरण 6: क्रियाएँ करें।

फेसला। . अगला, आपको कम करने की आवश्यकता है। हम एक बार विस्तार से वर्णन करेंगे कि हम यह कैसे करेंगे, और फिर हम परिणाम को सादृश्य द्वारा तुरंत इंगित करेंगे:। इसी प्रकार (या डिग्रियों के विभाजन के नियम के अनुसार)। हमारे पास है: ।

उदाहरण 7: क्रियाएँ करें।

फेसला। . कमी पहले चर्चा किए गए उदाहरण के अनुरूप सादृश्य द्वारा की जाती है।

उदाहरण 8: क्रियाएँ करें।

फेसला। . इस उदाहरण में, हमने एक बार फिर इस पद्धति को समेकित करने के लिए भिन्नों में शक्तियों को कम करने की प्रक्रिया का अधिक विस्तार से वर्णन किया है।

3. बीजीय भिन्नों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने के लिए अधिक जटिल उदाहरण (चिह्नों को ध्यान में रखते हुए और कोष्ठक में पदों के साथ)

उदाहरण 9: क्रियाएँ करें .

फेसला। इस उदाहरण में, हम पहले से ही भिन्नों के अलग-अलग गुणन को छोड़ देंगे, और तुरंत उनके गुणन के लिए नियम का उपयोग करेंगे और इसे एक हर के नीचे लिख देंगे। उसी समय, हम संकेतों का पालन करते हैं - इस मामले में, अंशों को समान शक्तियों तक बढ़ा दिया जाता है, इसलिए माइनस गायब हो जाते हैं। आइए अंत में एक कमी करें।

उदाहरण 10: क्रियाएँ करें .

फेसला। इस उदाहरण में, भिन्नों का विभाजन है, याद रखें कि इस मामले में पहले अंश को दूसरे से गुणा किया जाता है, लेकिन उल्टा।

घातांक गुणन से निकटता से संबंधित एक संक्रिया है, यह संक्रिया अपने आप में किसी संख्या के बहुगुणन का परिणाम है। आइए सूत्र का प्रतिनिधित्व करें: a1 * a2 * ... * a = a।

उदाहरण के लिए, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 ।

सामान्य तौर पर, गणित और भौतिकी के विभिन्न सूत्रों में अक्सर घातांक का उपयोग किया जाता है। इस फ़ंक्शन का चार बुनियादी उद्देश्यों की तुलना में अधिक वैज्ञानिक उद्देश्य है: जोड़, घटाव, गुणा, भाग।

किसी संख्या को घात में बढ़ाना

किसी संख्या को घात तक बढ़ाना कोई कठिन कार्य नहीं है। यह गुणन से संबंधित है जैसे गुणा और जोड़ के बीच संबंध। रिकॉर्ड a - संख्याओं की n-वें संख्या "a" को एक दूसरे से गुणा करने का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड।

सबसे सरल उदाहरणों पर घातांक पर विचार करें, जटिल उदाहरणों पर आगे बढ़ते हुए।

उदाहरण के लिए, 42. 42 = 4 * 4 = 16। चार वर्ग (दूसरी शक्ति के लिए) सोलह के बराबर होता है। यदि आप गुणन 4*4 नहीं समझते हैं, तो गुणन के बारे में हमारा लेख पढ़ें।

आइए एक और उदाहरण देखें: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . पांच घन (तीसरी शक्ति के लिए) एक सौ पच्चीस के बराबर है।

एक और उदाहरण: 9^3। 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . नौ घन सात सौ उनतीस के बराबर है।

घातांक सूत्र

एक शक्ति को सही ढंग से बढ़ाने के लिए, आपको नीचे दिए गए सूत्रों को याद रखने और जानने की जरूरत है। इसमें प्राकृतिक से परे कुछ भी नहीं है, मुख्य बात यह है कि सार को समझना और फिर उन्हें न केवल याद किया जाएगा, बल्कि आसान भी लगेगा।

एक मोनोमियल को एक शक्ति में बढ़ाना

एकपदी क्या है? यह किसी भी मात्रा में संख्याओं और चरों का गुणनफल है। उदाहरण के लिए, दो एकपदी है। और यह लेख ऐसे मोनोमियल को एक शक्ति में बढ़ाने के बारे में है।

घातांक सूत्रों का उपयोग करते हुए, किसी एकपदी के घातांक को घात के रूप में परिकलित करना कठिन नहीं होगा।

उदाहरण के लिए, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; यदि आप एक एकपदी को एक घात में बढ़ाते हैं, तो एकपदी के प्रत्येक घटक को एक घात तक बढ़ा दिया जाता है।

एक चर को बढ़ाते समय जिसमें पहले से ही एक शक्ति की डिग्री होती है, डिग्री को गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

एक नकारात्मक शक्ति को ऊपर उठाना

ऋणात्मक घातांक किसी संख्या का व्युत्क्रम होता है। एक पारस्परिक क्या है? किसी भी संख्या X के लिए व्युत्क्रम 1/X है। वह एक्स-1 = 1/एक्स है। यह नकारात्मक डिग्री का सार है।

उदाहरण (3Y)^-3 पर विचार करें:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3)।

ऐसा क्यों है? चूंकि डिग्री में एक माइनस है, हम बस इस अभिव्यक्ति को हर में स्थानांतरित करते हैं, और फिर इसे तीसरी शक्ति तक बढ़ाते हैं। बस सही?

भिन्नात्मक शक्ति में वृद्धि

आइए एक विशिष्ट उदाहरण से शुरू करें। 43/2. पावर 3/2 का क्या मतलब है? 3 - अंश, का अर्थ है एक संख्या (इस मामले में 4) को एक घन तक बढ़ाना। संख्या 2 हर है, यह संख्या की दूसरी जड़ का निष्कर्षण है (इस मामले में 4)।

तब हमें 43 = 2^3 = 8 का वर्गमूल प्राप्त होता है। उत्तर: 8.

तो, एक भिन्नात्मक डिग्री का हर या तो 3 या 4 हो सकता है, और किसी भी संख्या को अनंत तक, और यह संख्या किसी दिए गए नंबर से निकाले गए वर्गमूल की डिग्री निर्धारित करती है। बेशक, भाजक शून्य नहीं हो सकता।

एक शक्ति के लिए एक जड़ उठाना

यदि जड़ को जड़ की शक्ति के बराबर शक्ति तक उठाया जाता है, तो उत्तर मूल अभिव्यक्ति है। उदाहरण के लिए, (√x)2 = x। और इसलिए किसी भी मामले में जड़ की डिग्री और जड़ को ऊपर उठाने की डिग्री की समानता।

अगर (√x)^4. फिर (√x)^4=x^2। हल की जाँच करने के लिए, हम व्यंजक को भिन्नात्मक अंश वाले व्यंजक में अनुवाद करते हैं। चूँकि मूल वर्गाकार है, हर 2 है। और यदि जड़ को चौथी घात तक बढ़ा दिया जाए, तो अंश 4 है। हमें 4/2=2 प्राप्त होता है। उत्तर: एक्स = 2.

किसी भी मामले में, सबसे अच्छा विकल्प केवल व्यंजक को भिन्नात्मक घातांक में बदलना है। यदि भिन्न कम नहीं किया जाता है, तो ऐसा उत्तर होगा, बशर्ते कि दी गई संख्या का मूल आवंटित न हो।

एक सम्मिश्र संख्या का घातांक

एक सम्मिश्र संख्या क्या है? सम्मिश्र संख्या एक व्यंजक है जिसका सूत्र a + b * i है; ए, बी वास्तविक संख्याएं हैं। i वह संख्या है, जिसे चुकता करने पर संख्या -1 प्राप्त होती है।

एक उदाहरण पर विचार करें। (2 + 3i)^2।

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i।

जल्दी और सही तरीके से जोड़ने, घटाने, गुणा करने, विभाजित करने, वर्ग संख्याएं और यहां तक ​​कि जड़ें लेने का तरीका जानने के लिए "मानसिक गणना में तेजी लाएं, मानसिक अंकगणित नहीं" पाठ्यक्रम के लिए साइन अप करें। 30 दिनों में, आप सीखेंगे कि अंकगणितीय संक्रियाओं को सरल बनाने के लिए आसान तरकीबों का उपयोग कैसे करें। प्रत्येक पाठ में नई तकनीकें, स्पष्ट उदाहरण और उपयोगी कार्य शामिल हैं।

घातांक ऑनलाइन

हमारे कैलकुलेटर की सहायता से, आप किसी संख्या के घातांक को घात के रूप में परिकलित कर सकते हैं:

घातांक ग्रेड 7

स्कूली बच्चों को सातवीं कक्षा में ही पास करना शुरू कर देता है।

घातांक गुणन से निकटता से संबंधित एक संक्रिया है, यह संक्रिया अपने आप में किसी संख्या के बहुगुणन का परिणाम है। आइए सूत्र का प्रतिनिधित्व करें: a1 * a2 * … * an=an ।

उदाहरण के लिए, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

समाधान उदाहरण:

घातांक प्रस्तुति

घातांक पर प्रस्तुति, सातवीं कक्षा के छात्रों के लिए डिज़ाइन किया गया। प्रस्तुति कुछ समझ से बाहर के बिंदुओं को स्पष्ट कर सकती है, लेकिन हमारे लेख के लिए शायद ऐसे बिंदु नहीं होंगे।

नतीजा

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किसी संख्या की घात के बारे में बातचीत को जारी रखते हुए, घात का मान ज्ञात करना तर्कसंगत है। इस प्रक्रिया को नाम दिया गया है घातांक. इस लेख में, हम केवल अध्ययन करेंगे कि घातांक कैसे किया जाता है, जबकि हम सभी संभावित घातांक - प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय और अपरिमेय पर स्पर्श करेंगे। और परंपरा से, हम संख्याओं को विभिन्न डिग्री तक बढ़ाने के उदाहरणों के समाधानों पर विस्तार से विचार करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

"घातांक" का क्या अर्थ होता है?

आइए व्याख्या करके प्रारंभ करें कि घातांक किसे कहते हैं। यहाँ प्रासंगिक परिभाषा है।

परिभाषा।

घातांककिसी संख्या की घात का मान ज्ञात करना है।

इस प्रकार, घातांक r के साथ a की घात का मान ज्ञात करना और संख्या a को r के घात तक बढ़ाना एक ही बात है। उदाहरण के लिए, यदि कार्य "शक्ति (0.5) 5 के मूल्य की गणना" है, तो इसे निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है: "संख्या 0.5 को 5 की शक्ति तक बढ़ाएं"।

अब आप सीधे उन नियमों पर जा सकते हैं जिनके द्वारा घातांक किया जाता है।

एक संख्या को एक प्राकृतिक शक्ति में बढ़ाना

व्यवहार में, समानता के आधार पर आमतौर पर रूप में लागू किया जाता है। अर्थात्, संख्या a को भिन्नात्मक शक्ति m / n तक बढ़ाते समय, संख्या a से nth डिग्री की जड़ को पहले निकाला जाता है, जिसके बाद परिणाम को पूर्णांक घात m तक बढ़ा दिया जाता है।

भिन्नात्मक शक्ति को बढ़ाने के उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

डिग्री के मूल्य की गणना करें।

फेसला।

हम दो समाधान दिखाते हैं।

पहला तरीका। भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार। हम मूल के चिह्न के तहत डिग्री के मूल्य की गणना करते हैं, जिसके बाद हम घनमूल निकालते हैं: .

दूसरा तरीका। भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा और जड़ों के गुणों के आधार पर, समानताएं सत्य हैं . अब जड़ निकालें अंत में, हम एक पूर्णांक घात तक बढ़ाते हैं .

जाहिर है, एक भिन्नात्मक शक्ति को बढ़ाने के प्राप्त परिणाम मेल खाते हैं।

जवाब:

ध्यान दें कि भिन्नात्मक घातांक को दशमलव भिन्न या मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है, इन मामलों में इसे संबंधित साधारण भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर घातांक किया जाना चाहिए।

उदाहरण।

गणना (44.89) 2.5 ।

फेसला।

हम घातांक को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखते हैं (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें): . अब हम एक भिन्नात्मक शक्ति को बढ़ाने का कार्य करते हैं:

जवाब:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

यह भी कहा जाना चाहिए कि तर्कसंगत शक्तियों के लिए संख्या बढ़ाना एक श्रमसाध्य प्रक्रिया है (विशेषकर जब भिन्नात्मक घातांक के अंश और हर काफी बड़ी संख्या में होते हैं), जो आमतौर पर कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके किया जाता है।

इस अनुच्छेद के अंत में, हम संख्या शून्य से भिन्नात्मक घात के निर्माण पर ध्यान देंगे। हमने फॉर्म के शून्य की भिन्नात्मक डिग्री को निम्नलिखित अर्थ दिया है: क्योंकि हमारे पास है , जबकि शून्य से घात m/n परिभाषित नहीं है। इसलिए, शून्य से धनात्मक भिन्नात्मक घात शून्य है, उदाहरण के लिए, . और एक भिन्नात्मक नकारात्मक शक्ति में शून्य का कोई मतलब नहीं है, उदाहरण के लिए, भाव और 0 -4.3 का कोई मतलब नहीं है।

एक तर्कहीन शक्ति को बढ़ाना

कभी-कभी एक अपरिमेय घातांक के साथ किसी संख्या की घात का मान ज्ञात करना आवश्यक हो जाता है। इस मामले में, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, डिग्री के मूल्य को एक निश्चित संकेत तक प्राप्त करने के लिए आमतौर पर पर्याप्त होता है। हम तुरंत ध्यान दें कि व्यवहार में इस मूल्य की गणना इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग तकनीक का उपयोग करके की जाती है, क्योंकि एक तर्कहीन शक्ति को मैन्युअल रूप से बढ़ाने के लिए बड़ी संख्या में बोझिल गणना की आवश्यकता होती है। लेकिन फिर भी हम सामान्य शब्दों में क्रियाओं के सार का वर्णन करेंगे।

एक अपरिमेय घातांक के साथ घातांक का अनुमानित मान प्राप्त करने के लिए, घातांक का कुछ दशमलव सन्निकटन लिया जाता है, और घातांक के मान की गणना की जाती है। यह मान एक अपरिमेय घातांक के साथ संख्या a की डिग्री का अनुमानित मान है। प्रारंभ में संख्या का दशमलव सन्निकटन जितना सटीक लिया जाएगा, अंत में डिग्री का मान उतना ही सटीक होगा।

उदाहरण के तौर पर, आइए 2 1.174367... की घात के अनुमानित मान की गणना करें। आइए एक अपरिमेय संकेतक का निम्नलिखित दशमलव सन्निकटन लें: . अब हम 1.17 की तर्कसंगत शक्ति के लिए 2 बढ़ाते हैं (हमने पिछले पैराग्राफ में इस प्रक्रिया के सार का वर्णन किया है), हमें 2 1.17 2.250116 मिलता है। इस प्रकार, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . उदाहरण के लिए, यदि हम एक अपरिमेय घातांक का अधिक सटीक दशमलव सन्निकटन लेते हैं, तो हमें मूल डिग्री का अधिक सटीक मान प्राप्त होता है: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

ग्रंथ सूची।

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• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

हमने यह पता लगाया कि सामान्य तौर पर किसी संख्या की घात क्या होती है। अब हमें यह समझने की आवश्यकता है कि इसकी सही गणना कैसे करें, अर्थात। शक्तियों के लिए संख्या बढ़ाएँ। इस सामग्री में, हम एक पूर्णांक, प्राकृतिक, भिन्नात्मक, परिमेय और अपरिमेय घातांक के मामले में डिग्री की गणना के लिए बुनियादी नियमों का विश्लेषण करेंगे। सभी परिभाषाओं को उदाहरणों के साथ सचित्र किया जाएगा।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

घातांक की अवधारणा

आइए बुनियादी परिभाषाओं के निर्माण के साथ शुरू करें।

परिभाषा 1

घातांककिसी संख्या की शक्ति के मूल्य की गणना है।

अर्थात्, "डिग्री के मूल्य की गणना" और "घातांक" शब्दों का अर्थ एक ही है। इसलिए, यदि कार्य "संख्या 0 , 5 को पाँचवीं शक्ति तक बढ़ाएँ" है, तो इसे "शक्ति के मान की गणना (0 , 5) 5 के रूप में समझा जाना चाहिए।

अब हम बुनियादी नियम देते हैं जिनका ऐसी गणनाओं में पालन किया जाना चाहिए।

याद करें कि एक प्राकृतिक घातांक वाली संख्या की शक्ति क्या है। आधार a और घातांक n वाली घात के लिए, यह गुणनखंडों की nवीं संख्या का गुणनफल होगा, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

डिग्री के मूल्य की गणना करने के लिए, आपको गुणन के संचालन को करने की आवश्यकता है, अर्थात डिग्री के आधारों को निर्दिष्ट संख्या में गुणा करें। एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री की अवधारणा जल्दी से गुणा करने की क्षमता पर आधारित है। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 1

शर्त: उठाएँ - 2 को 4 के घात तक।

फेसला

ऊपर दी गई परिभाषा का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) । इसके बाद, हमें बस इन चरणों का पालन करने और 16 प्राप्त करने की आवश्यकता है।

आइए एक और अधिक जटिल उदाहरण लें।

उदाहरण 2

मान 3 2 7 2 . की गणना करें

फेसला

इस प्रविष्टि को 3 2 7 · 3 2 7 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। पहले हमने देखा कि कंडीशन में उल्लिखित मिश्रित संख्याओं को सही तरीके से कैसे गुणा किया जाए।

इन चरणों का पालन करें और उत्तर प्राप्त करें: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

यदि कार्य एक प्राकृतिक शक्ति के लिए अपरिमेय संख्याओं को बढ़ाने की आवश्यकता को इंगित करता है, तो हमें पहले उनके आधारों को एक अंक तक गोल करना होगा जो हमें वांछित सटीकता का उत्तर प्राप्त करने की अनुमति देगा। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 3

संख्या का वर्गीकरण करें।

फेसला

आइए पहले इसे सौवें तक गोल करें। तब 2 (3, 14) 2 = 9, 8596। अगर 3 . 14159, तब हमें अधिक सटीक परिणाम मिलेगा: 2 (3, 14159) 2 = 9, 8695877281।

ध्यान दें कि व्यवहार में अपरिमेय संख्याओं की शक्तियों की गणना करने की आवश्यकता अपेक्षाकृत कम ही उत्पन्न होती है। फिर हम उत्तर को स्वयं घात (ln 6) 3 के रूप में लिख सकते हैं या यदि संभव हो तो रूपांतरित कर सकते हैं: 5 7 = 125 5 ।

अलग से, यह इंगित किया जाना चाहिए कि किसी संख्या की पहली शक्ति क्या है। यहां आप केवल यह याद रख सकते हैं कि कोई भी संख्या जो पहली घात तक उठाई गई है, वही रहेगी:

यह रिकॉर्ड से स्पष्ट है। .

यह डिग्री के आधार पर निर्भर नहीं करता है।

उदाहरण 4

तो, (- 9) 1 = -9 , और 7 3 को पहली घात तक बढ़ाए जाने पर 7 3 के बराबर रहता है।

सुविधा के लिए, हम तीन मामलों का अलग-अलग विश्लेषण करेंगे: यदि घातांक एक धनात्मक पूर्णांक है, यदि यह शून्य है, और यदि यह एक ऋणात्मक पूर्णांक है।

पहले मामले में, यह प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाने जैसा ही है: आखिरकार, सकारात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित होते हैं। हम पहले ही बता चुके हैं कि ऊपर ऐसी डिग्री के साथ कैसे काम किया जाए।

अब देखते हैं कि शून्य शक्ति को ठीक से कैसे बढ़ाया जाए। गैर-शून्य आधार के साथ, यह गणना हमेशा 1 का आउटपुट उत्पन्न करती है। हम पहले बता चुके हैं कि a की 0वीं घात किसी भी वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित की जा सकती है जो 0 के बराबर नहीं है, और 0 = 1 है।

उदाहरण 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - परिभाषित नहीं।

हमारे पास केवल एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली घात का मामला बचा है। हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि ऐसी डिग्रियों को भिन्न 1 a z के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a कोई भी संख्या है, और z एक ऋणात्मक पूर्णांक है। हम देखते हैं कि इस भिन्न का हर एक धनात्मक पूर्णांक वाली साधारण घात से अधिक कुछ नहीं है, और हम पहले ही इसकी गणना करना सीख चुके हैं। आइए कार्यों के उदाहरण दें।

उदाहरण 6

3 से -2 की शक्ति बढ़ाएँ।

फेसला

ऊपर दी गई परिभाषा का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: 2 - 3 = 1 2 3

हम इस भिन्न के हर की गणना करते हैं और 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 प्राप्त करते हैं।

तो उत्तर है: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

उदाहरण 7

1, 43 को -2 शक्ति तक बढ़ाएँ।

फेसला

सुधारना: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

हम हर में वर्ग की गणना करते हैं: 1.43 1.43। दशमलव को इस तरह से गुणा किया जा सकता है:

परिणामस्वरूप, हमें (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 प्राप्त हुआ। इस परिणाम को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखना हमारे लिए शेष है, जिसके लिए इसे 10 हजार से गुणा करना आवश्यक है (अंशों के रूपांतरण पर सामग्री देखें)।

उत्तर: (1, 43) - 2 = 10000 20449

एक अलग मामला एक संख्या को घटाकर पहली शक्ति तक बढ़ा रहा है। ऐसी डिग्री का मान आधार के मूल मान के विपरीत संख्या के बराबर होता है: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a।

उदाहरण 8

उदाहरण: 3 - 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

किसी संख्या को भिन्नात्मक घात में कैसे बढ़ाएं

इस तरह के एक ऑपरेशन को करने के लिए, हमें एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री की मूल परिभाषा को याद करने की आवश्यकता है: a m n \u003d a m n किसी भी सकारात्मक a, पूर्णांक m और प्राकृतिक n के लिए।

परिभाषा 2

इस प्रकार, भिन्नात्मक अंश की गणना दो चरणों में की जानी चाहिए: एक पूर्णांक घात तक बढ़ाना और nवीं डिग्री का मूल ज्ञात करना।

हमारे पास समानता a m n = a m n है, जिसका उपयोग मूल के गुणों को देखते हुए, आमतौर पर a m n = a n m के रूप में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। इसका मतलब यह है कि यदि हम संख्या a को भिन्नात्मक घात m / n तक बढ़ाते हैं, तो पहले हम nth डिग्री की जड़ को a से निकालते हैं, फिर हम परिणाम को पूर्णांक घातांक m के साथ घात तक बढ़ाते हैं।

आइए एक उदाहरण से समझाते हैं।

उदाहरण 9

8 - 2 3 की गणना करें।

फेसला

विधि 1. मूल परिभाषा के अनुसार, हम इसे इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

आइए अब मूल के नीचे की डिग्री की गणना करें और परिणाम से तीसरा मूल निकालें: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

विधि 2। आइए बुनियादी समानता को बदलें: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

उसके बाद, हम रूट 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 निकालते हैं और परिणाम का वर्ग करते हैं: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

हम देखते हैं कि समाधान समान हैं। आप अपनी पसंद का कोई भी तरीका इस्तेमाल कर सकते हैं।

ऐसे मामले हैं जब डिग्री में एक मिश्रित संख्या या दशमलव अंश के रूप में व्यक्त संकेतक होता है। गणना में आसानी के लिए, इसे एक साधारण अंश से बदलना और ऊपर बताए अनुसार गिनना बेहतर है।

उदाहरण 10

44.89 को 2.5 के घात तक बढ़ाएँ।

फेसला

आइए संकेतक के मान को एक साधारण भिन्न में परिवर्तित करें - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2।

और अब हम ऊपर बताए गए सभी कार्यों को क्रम में करते हैं: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

उत्तर: 13501, 25107।

यदि एक भिन्नात्मक घातांक के अंश और हर में बड़ी संख्याएँ हैं, तो ऐसे घातांकों की परिमेय घातांक के साथ गणना करना एक कठिन कार्य है। इसके लिए आमतौर पर कंप्यूटर तकनीक की आवश्यकता होती है।

अलग से, हम एक शून्य आधार और एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री पर ध्यान केंद्रित करते हैं। 0 m n के रूप का व्यंजक निम्नलिखित अर्थ दिया जा सकता है: यदि m n > 0, तो 0 m n = 0 m n = 0; अगर मैं नहीं< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

किसी संख्या को अपरिमेय शक्ति में कैसे बढ़ाया जाए

डिग्री के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता, जिसके संकेतक में एक अपरिमेय संख्या है, इतनी बार उत्पन्न नहीं होती है। व्यवहार में, कार्य आमतौर पर अनुमानित मूल्य (दशमलव स्थानों की एक निश्चित संख्या तक) की गणना करने तक सीमित होता है। यह आमतौर पर ऐसी गणनाओं की जटिलता के कारण कंप्यूटर पर गणना की जाती है, इसलिए हम इस पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, हम केवल मुख्य प्रावधानों का संकेत देंगे।

यदि हमें एक अपरिमेय घातांक a के साथ घात a के मान की गणना करने की आवश्यकता है, तो हम घातांक का दशमलव सन्निकटन लेते हैं और उसमें से गिनते हैं। परिणाम एक अनुमानित उत्तर होगा। दशमलव सन्निकटन जितना सटीक होगा, उत्तर उतना ही सटीक होगा। आइए एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं:

उदाहरण 11

21, 174367 के अनुमानित मान की गणना करें ....

फेसला

हम स्वयं को दशमलव सन्निकटन a n = 1, 17 तक सीमित रखते हैं। आइए इस संख्या का उपयोग करके गणना करें: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 । यदि हम, उदाहरण के लिए, सन्निकटन a n = 1, 1743 लेते हैं, तो उत्तर थोड़ा अधिक सटीक होगा: 2 1 , 174367। . . 2 1 . 1743 2 . 256833 .

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