एक ही अज्ञात मात्रा वाली दो या दो से अधिक रैखिक असमानताओं के किसी भी संग्रह को कहा जाता है

ऐसी प्रणालियों के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

दो किरणों का प्रतिच्छेदन अंतराल हमारा समाधान है। इसलिए, इस असमानता का समाधान सभी एक्सदो और आठ के बीच स्थित है।

जवाब: एक्स

असमानताओं की एक प्रणाली के समाधान के इस प्रकार के मानचित्रण के अनुप्रयोग को कभी-कभी कहा जाता है छत विधि.

परिभाषा:दो सेटों का प्रतिच्छेदन लेकिनऔर परऐसा तीसरा समुच्चय कहलाता है, जिसमें सभी अवयव शामिल होते हैं और इसमें शामिल होते हैं लेकिनऔर में पर. यह मनमानी प्रकृति के सेटों के प्रतिच्छेदन का अर्थ है। अब हम संख्यात्मक समुच्चयों पर विस्तार से विचार कर रहे हैं, इसलिए, रैखिक असमानताओं को खोजने पर, ऐसे सेट किरणें हैं - सह-निर्देशित, प्रति-निर्देशित, और इसी तरह।

आइए असली पर पता करें उदाहरणअसमानताओं की रैखिक प्रणाली का पता लगाना, सिस्टम में शामिल व्यक्तिगत असमानताओं के समाधान के सेट के प्रतिच्छेदन का निर्धारण कैसे करना है।

गणना करना असमानताओं की प्रणाली:

आइए हम बल की दो रेखाएं एक के नीचे एक रखें। सबसे ऊपर हम उन मानों को रखते हैं एक्स,जो पहली असमानता को पूरा करते हैं एक्स>7 , और तल पर - जो दूसरी असमानता के समाधान के रूप में कार्य करता है एक्स>10 हम संख्या रेखाओं के परिणामों को सहसंबंधित करते हैं, यह पता लगाते हैं कि दोनों असमानताएँ संतुष्ट होंगी एक्स>10.

उत्तर: (10;+∞)।

हम पहले नमूने के अनुरूप करते हैं। किसी दिए गए संख्यात्मक अक्ष पर, उन सभी मानों को आलेखित करें एक्सजिसके लिए पहला मौजूद है प्रणाली असमानता, और दूसरे संख्यात्मक अक्ष पर, पहले के नीचे रखा गया, वे सभी मान एक्स, जिसके लिए प्रणाली की दूसरी असमानता संतुष्ट है। आइए हम इन दो परिणामों की तुलना करें और यह निर्धारित करें कि दोनों असमानताएं एक साथ सभी मूल्यों के लिए संतुष्ट होंगी एक्स 7 और 10 के बीच स्थित, संकेतों को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं 7<x≤10

उत्तर: (7; 10]।

निम्नलिखित को उसी तरह हल किया जाता है। असमानताओं की प्रणाली।

इस लेख ने असमानताओं की प्रणालियों के बारे में प्रारंभिक जानकारी एकत्र की है। यहां हम असमानताओं की प्रणाली की परिभाषा देते हैं और असमानताओं की प्रणाली के समाधान की परिभाषा देते हैं। यह उन मुख्य प्रकार की प्रणालियों को भी सूचीबद्ध करता है जिनके साथ आपको अक्सर स्कूल में बीजगणित पाठों में काम करना पड़ता है, और उदाहरण दिए गए हैं।

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असमानताओं की एक प्रणाली क्या है?

असमानताओं की प्रणालियों को उसी तरह परिभाषित करना सुविधाजनक है जैसे हमने समीकरणों की एक प्रणाली की परिभाषा पेश की, यानी रिकॉर्ड के प्रकार और उसमें निहित अर्थ के अनुसार।

परिभाषा।

असमानताओं की प्रणालीएक रिकॉर्ड है जो एक निश्चित संख्या में असमानताओं का प्रतिनिधित्व करता है जो एक के नीचे एक लिखा हुआ है, एक घुंघराले ब्रैकेट द्वारा बाईं ओर एकजुट है, और सभी समाधानों के सेट को दर्शाता है जो एक साथ सिस्टम की प्रत्येक असमानता के समाधान हैं।

आइए हम असमानताओं की एक प्रणाली का एक उदाहरण दें। दो मनमाना लें, उदाहरण के लिए, 2 x−3>0 और 5−x≥4 x−11, उन्हें एक दूसरे के नीचे लिखें
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
और सिस्टम के संकेत के साथ एकजुट हों - एक घुंघराले ब्रैकेट, परिणामस्वरूप हमें निम्नलिखित रूप की असमानताओं की एक प्रणाली मिलती है:

इसी तरह, स्कूली पाठ्यपुस्तकों में असमानताओं की प्रणालियों के बारे में एक विचार दिया गया है। यह ध्यान देने योग्य है कि उनमें परिभाषाएँ अधिक संकीर्ण रूप से दी गई हैं: एक चर के साथ असमानताओं के लिए या दो चर के साथ।

असमानताओं की मुख्य प्रकार की प्रणालियाँ

यह स्पष्ट है कि असमानताओं की असीम रूप से कई अलग-अलग प्रणालियाँ हैं। इस विविधता में खो न जाने के लिए, उन समूहों में विचार करना उचित है जिनकी अपनी विशिष्ट विशेषताएं हैं। असमानताओं की सभी प्रणालियों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

• प्रणाली में असमानताओं की संख्या से;
• रिकॉर्डिंग में शामिल चर की संख्या से;
• असमानताओं की प्रकृति से।

रिकॉर्ड में शामिल असमानताओं की संख्या के अनुसार, दो, तीन, चार, आदि की प्रणालियों को प्रतिष्ठित किया जाता है। असमानताएं पिछले पैराग्राफ में, हमने एक ऐसी प्रणाली का उदाहरण दिया जो दो असमानताओं की प्रणाली है। आइए हम चार असमानताओं की प्रणाली का एक और उदाहरण दिखाते हैं .

अलग से, हम कहते हैं कि एक असमानता की व्यवस्था के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है, वास्तव में, हम असमानता के बारे में ही बात कर रहे हैं, न कि व्यवस्था के बारे में।

यदि आप चरों की संख्या को देखें, तो एक, दो, तीन आदि के साथ असमानताओं की प्रणालियाँ हैं। चर (या, जैसा कि वे कहते हैं, अज्ञात)। ऊपर दो अनुच्छेदों में लिखी गई असमानताओं की अंतिम प्रणाली को देखें। यह तीन चरों x , y और z के साथ एक प्रणाली है। ध्यान दें कि उसकी पहली दो असमानताओं में सभी तीन चर नहीं हैं, लेकिन उनमें से केवल एक है। इस प्रणाली के संदर्भ में, उन्हें क्रमशः x+0 y+0 z≥−2 और 0 x+y+0 z≤5 रूप के तीन चर के साथ असमानताओं के रूप में समझा जाना चाहिए। ध्यान दें कि स्कूल एक चर के साथ असमानताओं पर केंद्रित है।

यह चर्चा करना बाकी है कि लेखन प्रणालियों में किस प्रकार की असमानताएँ शामिल हैं। स्कूल में, वे मुख्य रूप से एक या दो चर के साथ दो असमानताओं (कम अक्सर - तीन, और भी अधिक दुर्लभ - चार या अधिक) की प्रणालियों पर विचार करते हैं, और असमानताएं स्वयं आमतौर पर होती हैं पूर्णांक असमानताएंपहली या दूसरी डिग्री (कम अक्सर - उच्च डिग्री या आंशिक रूप से तर्कसंगत)। लेकिन अगर OGE के लिए तैयारी सामग्री में आप तर्कहीन, लघुगणक, घातीय और अन्य असमानताओं वाली असमानताओं की प्रणालियों में आते हैं तो आश्चर्यचकित न हों। एक उदाहरण के रूप में, हम असमानताओं की प्रणाली प्रस्तुत करते हैं , से लिया गया है।

असमानताओं की व्यवस्था का समाधान क्या है?

हम असमानताओं की प्रणाली से संबंधित एक और परिभाषा पेश करते हैं - असमानताओं की प्रणाली के समाधान की परिभाषा:

परिभाषा।

एक चर के साथ असमानताओं की प्रणाली को हल करनाएक चर के ऐसे मान को कहा जाता है जो सिस्टम की प्रत्येक असमानता को सत्य में बदल देता है, दूसरे शब्दों में, सिस्टम की प्रत्येक असमानता का समाधान है।

आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं। आइए एक चर के साथ दो असमानताओं की एक प्रणाली लें। आइए चर x का मान 8 के बराबर लें, यह परिभाषा के अनुसार असमानताओं की हमारी प्रणाली का समाधान है, क्योंकि सिस्टम की असमानताओं में इसका प्रतिस्थापन दो सही संख्यात्मक असमानताएं 8>7 और 2−3 8≤0 देता है। इसके विपरीत, इकाई प्रणाली का समाधान नहीं है, क्योंकि जब इसे चर x के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है, तो पहली असमानता गलत संख्यात्मक असमानता 1>7 में बदल जाएगी।

इसी तरह, हम दो, तीन या अधिक चर वाली असमानताओं की प्रणाली के समाधान की परिभाषा पेश कर सकते हैं:

परिभाषा।

दो, तीन, आदि के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को हल करना। चरएक जोड़ी, ट्रिपल, आदि कहा जाता है। इन चरों के मूल्य, जो एक साथ प्रणाली की प्रत्येक असमानता का समाधान है, अर्थात यह प्रणाली की प्रत्येक असमानता को एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देता है।

उदाहरण के लिए, मानों की एक जोड़ी x=1 , y=2 , या किसी अन्य संकेतन (1, 2) में दो चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली का समाधान है, क्योंकि 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

असमानताओं की प्रणालियों का कोई समाधान नहीं हो सकता है, उनके पास सीमित संख्या में समाधान हो सकते हैं, या अनंत रूप से कई समाधान हो सकते हैं। हम अक्सर असमानताओं की व्यवस्था के समाधान के बारे में बात करते हैं। जब किसी सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं होता है, तो उसके समाधानों का एक खाली सेट होता है। जब समाधान की एक सीमित संख्या होती है, तो समाधान के सेट में तत्वों की एक सीमित संख्या होती है, और जब असीमित कई समाधान होते हैं, तो समाधान के सेट में अनंत संख्या में तत्व होते हैं।

कुछ स्रोत असमानताओं की एक प्रणाली के लिए एक विशेष और सामान्य समाधान की परिभाषा पेश करते हैं, उदाहरण के लिए, मोर्दकोविच की पाठ्यपुस्तकों में। नीचे असमानताओं की प्रणाली का एक विशेष समाधानइसका एक ही उपाय समझें। इसकी बारी में असमानताओं की प्रणाली का सामान्य समाधान- ये सब उसके निजी फैसले हैं। हालाँकि, ये शब्द तभी समझ में आते हैं जब इस बात पर जोर देना आवश्यक हो कि किस समाधान पर चर्चा की जा रही है, लेकिन आमतौर पर यह संदर्भ से पहले से ही स्पष्ट है, इसलिए केवल "असमानताओं की एक प्रणाली का समाधान" कहना अधिक सामान्य है।

इस लेख में पेश की गई असमानताओं की प्रणाली और उसके समाधानों की परिभाषाओं से, यह इस प्रकार है कि असमानताओं की एक प्रणाली का समाधान इस प्रणाली की सभी असमानताओं के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन है।

ग्रंथ सूची।

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4. मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 11। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक (प्रोफाइल स्तर) / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - दूसरा संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनेमोसिन, 2008. - 287 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01027-2।
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दो चर के साथ एक असमानता को हल करना, और इससे भी अधिक दो चर के साथ असमानताओं की प्रणाली, काफी चुनौती भरा प्रतीत होता है। हालांकि, एक सरल एल्गोरिथ्म है जो इस तरह की बहुत ही जटिल समस्याओं को आसानी से और आसानी से हल करने में मदद करता है। आइए इसे जानने की कोशिश करते हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास निम्न में से किसी एक प्रकार के दो चर के साथ असमानता है:

वाई> एफ (एक्स); वाई एफ (एक्स); आप< f(x); y ≤ f(x).

समन्वय तल पर ऐसी असमानता के समाधान के सेट को चित्रित करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

1. हम फलन y = f(x) का एक ग्राफ बनाते हैं, जो समतल को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है।

2. हम प्राप्त क्षेत्रों में से किसी एक को चुनते हैं और उसमें एक मनमाना बिंदु मानते हैं। हम इस बिंदु के लिए मूल असमानता की संतुष्टि की जांच करते हैं। यदि, जाँच के परिणामस्वरूप, एक सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त की जाती है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल असमानता उस पूरे क्षेत्र में संतुष्ट है, जिसमें चयनित बिंदु है। इस प्रकार, असमानता के समाधान का समुच्चय वह क्षेत्र है जिससे चयनित बिंदु संबंधित है। यदि चेक के परिणामस्वरूप एक गलत संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, तो असमानता के समाधान का सेट दूसरा क्षेत्र होगा, जिसमें चयनित बिंदु संबंधित नहीं है।

3. यदि असमानता सख्त है, तो क्षेत्र की सीमाएं, यानी फलन y = f(x) के ग्राफ के बिंदु, समाधान के सेट में शामिल नहीं होते हैं और सीमा को एक बिंदीदार रेखा के रूप में दिखाया जाता है। यदि असमानता सख्त नहीं है, तो क्षेत्र की सीमाएं, यानी फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ के बिंदु, इस असमानता के समाधान के सेट में शामिल हैं, और इस मामले में सीमा एक ठोस रेखा के रूप में दर्शाया गया है।
आइए अब इस विषय पर कुछ समस्याओं को देखें।

कार्य 1।

असमानता x . द्वारा बिंदुओं का कौन सा सेट दिया गया है · वाई 4?

फेसला।

1) हम समीकरण x · y = 4 का एक ग्राफ बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले इसे रूपांतरित करते हैं। जाहिर है, इस मामले में x 0 की ओर नहीं मुड़ता है, क्योंकि अन्यथा हमारे पास 0 · y = 4 होगा, जो कि सत्य नहीं है। तो हम अपने समीकरण को x से विभाजित कर सकते हैं। हमें मिलता है: y = 4/x। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक अतिपरवलय है। यह पूरे विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक अतिपरवलय की दो शाखाओं के बीच और एक उनके बाहर।

2) हम पहले क्षेत्र से एक मनमाना बिंदु चुनते हैं, इसे बिंदु (4; 2) होने दें।
असमानता की जाँच करना: 4 2 4 गलत है।

इसका मतलब है कि इस क्षेत्र के बिंदु मूल असमानता को संतुष्ट नहीं करते हैं। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि असमानता के समाधान का सेट दूसरा क्षेत्र होगा, जिसमें चयनित बिंदु संबंधित नहीं है।

3) चूंकि असमानता सख्त नहीं है, इसलिए हम एक ठोस रेखा के साथ सीमा बिंदु, यानी फलन y = 4/x के ग्राफ के बिंदु खींचते हैं।

आइए उन बिंदुओं के सेट को रंग दें जो मूल असमानता को पीले रंग से परिभाषित करते हैं (चित्र .1)।

कार्य 2.

निकाय द्वारा निर्देशांक तल पर परिभाषित क्षेत्रफल खींचिए
(वाई> एक्स 2 + 2;
(वाई + एक्स> 1;
(एक्स 2 + वाई 2 ≤ 9.

फेसला।

हम शुरू करने के लिए निम्नलिखित कार्यों के ग्राफ बनाते हैं (रेखा चित्र नम्बर 2):

y \u003d x 2 + 2 - परवलय,

y + x = 1 - सीधी रेखा

x 2 + y 2 \u003d 9 एक वृत्त है।

1) वाई> एक्स 2 + 2।

हम बिंदु (0; 5) लेते हैं, जो फलन के ग्राफ के ऊपर स्थित है।
असमानता की जाँच करना: 5 > 0 2 + 2 सही है।

इसलिए, दिए गए परवलय के ऊपर स्थित सभी बिंदु y = x 2 + 2 प्रणाली की पहली असमानता को संतुष्ट करते हैं। आइए उन्हें पीला रंग दें।

2) वाई + एक्स > 1.

हम बिंदु (0; 3) लेते हैं, जो फलन के ग्राफ के ऊपर स्थित है।
असमानता की जाँच करना: 3 + 0 > 1 सही है।

इसलिए, रेखा y + x = 1 के ऊपर स्थित सभी बिंदु प्रणाली की दूसरी असमानता को संतुष्ट करते हैं। आइए उन्हें हरे रंग में रंग दें।

3) x2 + y2 ≤ 9.

हम एक बिंदु (0; -4) लेते हैं, जो वृत्त x 2 + y 2 = 9 के बाहर स्थित है।
असमानता की जाँच करना: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 गलत है।

इसलिए, वृत्त x 2 + y 2 = 9 के बाहर स्थित सभी बिंदु, प्रणाली की तीसरी असमानता को संतुष्ट नहीं करते हैं। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वृत्त x 2 + y 2 = 9 के भीतर स्थित सभी बिंदु प्रणाली की तीसरी असमानता को संतुष्ट करते हैं। आइए उन्हें पर्पल शेडिंग से पेंट करें।

यह मत भूलो कि यदि असमानता सख्त है, तो संबंधित सीमा रेखा को एक बिंदीदार रेखा के साथ खींचा जाना चाहिए। हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है (चित्र 3).

(चित्र 4).

कार्य 3.

निकाय द्वारा निर्देशांक तल पर परिभाषित क्षेत्रफल ड्रा करें:
(एक्स 2 + वाई 2 ≤ 16;
(एक्स -वाई;
(एक्स 2 + वाई 2 4।

फेसला।

आरंभ करने के लिए, हम निम्नलिखित कार्यों के ग्राफ़ बनाते हैं:

एक्स 2 + वाई 2 \u003d 16 - सर्कल,

x \u003d -y - सीधा

x 2 + y 2 \u003d 4 - वृत्त (चित्र 5).

अब हम प्रत्येक असमानता से अलग से निपटते हैं।

1) x2 + y2 ≤ 16.

हम बिंदु (0; 0) लेते हैं, जो वृत्त x 2 + y 2 = 16 के अंदर स्थित है।
असमानता की जाँच करना: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 सही है।

इसलिए, वृत्त x 2 + y 2 = 16 के अंदर स्थित सभी बिंदु प्रणाली की पहली असमानता को संतुष्ट करते हैं।
आइए उन्हें लाल रंग में रंग दें।

हम बिंदु (1; 1) लेते हैं, जो फलन के ग्राफ के ऊपर स्थित है।
हम असमानता की जांच करते हैं: 1 ≥ -1 - सच।

इसलिए, रेखा x = -y के ऊपर स्थित सभी बिंदु प्रणाली की दूसरी असमानता को संतुष्ट करते हैं। आइए उन्हें नीले रंग में रंग दें।

3) x2 + y2 4।

हम बिंदु (0; 5) लेते हैं, जो वृत्त x 2 + y 2 = 4 के बाहर स्थित है।
हम असमानता की जांच करते हैं: 0 2 + 5 2 ≥ 4 सत्य है।

इसलिए, वृत्त x 2 + y 2 = 4 के बाहर के सभी बिंदु निकाय की तीसरी असमानता को संतुष्ट करते हैं। आइए उन्हें नीला रंग दें।

इस समस्या में, सभी असमानताएँ सख्त नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि हम सभी सीमाओं को एक ठोस रेखा से खींचते हैं। हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है (चित्र 6).

रुचि का क्षेत्र वह क्षेत्र है जहां तीनों रंगीन क्षेत्र एक दूसरे को काटते हैं। (अंजीर 7).

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साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

असमानताओं की प्रणाली।
उदाहरण 1. व्यंजक का दायरा ज्ञात कीजिए
फेसला।वर्गमूल चिह्न के नीचे एक गैर-ऋणात्मक संख्या होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि दो असमानताएँ एक साथ होनी चाहिए: ऐसे मामलों में, समस्या को असमानताओं की प्रणाली को हल करने के लिए कम करने के लिए कहा जाता है

लेकिन हम अभी तक इस तरह के गणितीय मॉडल (असमानताओं की प्रणाली) से नहीं मिले हैं। इसका मतलब है कि हम अभी तक उदाहरण के समाधान को पूरा करने में सक्षम नहीं हैं।

एक प्रणाली बनाने वाली असमानताओं को एक घुंघराले ब्रैकेट के साथ जोड़ा जाता है (समीकरणों की प्रणालियों में भी ऐसा ही होता है)। उदाहरण के लिए, प्रविष्टि

इसका अर्थ है कि असमानताएँ 2x - 1 > 3 और 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

कभी-कभी असमानताओं की व्यवस्था को दोहरी असमानता के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, असमानताओं की प्रणाली

दोहरी असमानता के रूप में लिखा जा सकता है 3<2х-1<11.

9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में, हम केवल दो असमानताओं की प्रणालियों पर विचार करेंगे।

असमानताओं की प्रणाली पर विचार करें

आप इसके कई विशेष समाधान चुन सकते हैं, उदाहरण के लिए x = 3, x = 4, x = 3.5। वास्तव में, x = 3 के लिए पहली असमानता 5 > 3 का रूप लेती है, और दूसरी - 7 . के रूप में< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

उसी समय, मान x = 5 असमानताओं की प्रणाली का समाधान नहीं है। x = 5 के लिए, पहली असमानता 9 > 3 - सही संख्यात्मक असमानता का रूप लेती है, और दूसरी - 13 . के रूप में< 11- неверное числовое неравенство .
असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी विशेष समाधान खोजना। यह स्पष्ट है कि इस तरह का अनुमान, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, असमानताओं की प्रणाली को हल करने का तरीका नहीं है। निम्नलिखित उदाहरण में, हम दिखाएंगे कि असमानताओं की एक प्रणाली को हल करते समय आमतौर पर कैसे तर्क दिया जाता है।

उदाहरण 3असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

फेसला।

ए)प्रणाली की पहली असमानता को हल करते हुए, हम पाते हैं 2x > 4, x > 2; प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करते हुए, हम पाते हैं Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
बी)प्रणाली की पहली असमानता को हल करते हुए, हम x > 2 पाते हैं; प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करते हुए, हम पाते हैं हम इन अंतरालों को एक समन्वय रेखा पर चिह्नित करते हैं, पहले अंतराल के लिए शीर्ष हैचिंग का उपयोग करते हुए, और दूसरे के लिए निचला हैचिंग (चित्र 23)। असमानताओं की प्रणाली का समाधान प्रणाली की असमानताओं के समाधान का प्रतिच्छेदन होगा, अर्थात। वह अंतराल जहां दोनों हैच मेल खाते हैं। विचाराधीन उदाहरण में हमें एक किरणपुंज प्राप्त होता है

में)प्रणाली की पहली असमानता को हल करते हुए, हम पाते हैं x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

आइए विचार किए गए उदाहरण में किए गए तर्क को सामान्य करें। मान लीजिए कि हमें असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

उदाहरण के लिए, अंतराल (ए, बी) असमानता का समाधान हो fx 2> g (x), और अंतराल (c, d) असमानता का समाधान f 2 (x)> s 2 (x) हो ) हम इन अंतरालों को एक समन्वय रेखा पर चिह्नित करते हैं, पहले अंतराल के लिए शीर्ष हैचिंग का उपयोग करते हुए, और दूसरे के लिए निचला हैचिंग (चित्र 25)। असमानताओं की प्रणाली का समाधान प्रणाली की असमानताओं के समाधान का प्रतिच्छेदन है, अर्थात। वह अंतराल जहां दोनों हैच मेल खाते हैं। अंजीर पर। 25 अंतराल (एस, बी) है।

अब हम ऊपर दी गई असमानताओं की प्रणाली को आसानी से हल कर सकते हैं, उदाहरण 1 में:

प्रणाली की पहली असमानता को हल करते हुए, हम x > 2 पाते हैं; प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करने पर, हम पाते हैं x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

बेशक, असमानताओं की प्रणाली में रैखिक असमानताएं शामिल नहीं हैं, जैसा कि अब तक हुआ है; कोई भी तर्कसंगत (और न केवल तर्कसंगत) असमानताएं हो सकती हैं। तकनीकी रूप से, तर्कसंगत गैर-रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली के साथ काम करना निश्चित रूप से अधिक कठिन है, लेकिन मौलिक रूप से कुछ भी नया नहीं है (रैखिक असमानताओं की प्रणालियों की तुलना में)।

उदाहरण 4असमानताओं की प्रणाली को हल करें

फेसला।

1) हमारे पास मौजूद असमानता को हल करें
संख्या रेखा पर बिंदु -3 और 3 को नोट करें (आकृति 27)। वे रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं, और प्रत्येक अंतराल पर व्यंजक p (x) = (x - 3) (x + 3) एक स्थिर चिह्न रखता है - ये संकेत चित्र में दर्शाए गए हैं। 27. हम उन अंतरालों में रुचि रखते हैं जहां असमानता p(x)> 0 संतुष्ट है (वे चित्र 27 में छायांकित हैं), और वे बिंदु जहां समानता p(x) = 0 संतुष्ट है, अर्थात। अंक x \u003d -3, x \u003d 3 (वे अंजीर में चिह्नित हैं। 2 7 काले घेरे के साथ)। इस प्रकार, अंजीर में। 27 पहली असमानता को हल करने के लिए एक ज्यामितीय मॉडल दिखाता है।

2) हमारे पास मौजूद असमानता को हल करें
संख्या रेखा पर बिन्दु 0 और 5 नोट कीजिए (चित्र 28)। वे रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं, और प्रत्येक अंतराल पर व्यंजक<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (चित्र 28 में छायांकित), और जिन बिंदुओं पर समानता g (x) - O संतुष्ट है, अर्थात्। अंक x = 0, x = 5 (वे चित्र 28 में काले घेरे द्वारा चिह्नित हैं)। इस प्रकार, अंजीर में। 28 प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करने के लिए एक ज्यामितीय मॉडल दिखाता है।

3) हम पहली असमानता के समाधान के लिए ऊपरी हैचिंग का उपयोग करते हुए, और दूसरी (छवि 29) के समाधान के लिए निचली हैचिंग का उपयोग करके एक ही समन्वय रेखा पर सिस्टम की पहली और दूसरी असमानताओं के लिए पाए गए समाधानों को चिह्नित करते हैं। असमानताओं की प्रणाली का समाधान प्रणाली की असमानताओं के समाधान का प्रतिच्छेदन होगा, अर्थात। वह अंतराल जहां दोनों हैच मेल खाते हैं। ऐसा अंतराल एक खंड है।

उदाहरण 5असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

फेसला:

ए)पहली असमानता से हम x >2 पाते हैं। दूसरी असमानता पर विचार करें। वर्ग त्रिपद x 2 + x + 2 का कोई वास्तविक मूल नहीं है, और इसका अग्रणी गुणांक (x 2 पर गुणांक) धनात्मक है। इसका मतलब है कि सभी x के लिए असमानता x 2 + x + 2>0 संतुष्ट है, और इसलिए सिस्टम की दूसरी असमानता का कोई समाधान नहीं है। असमानताओं की व्यवस्था के लिए इसका क्या अर्थ है? इसका मतलब है कि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

बी)पहली असमानता से हम x > 2 पाते हैं, और दूसरी असमानता x के किसी भी मान के लिए होती है। असमानताओं की व्यवस्था के लिए इसका क्या अर्थ है? इसका अर्थ है कि इसके विलयन का रूप x>2 है, अर्थात्। पहली असमानता के समाधान के साथ मेल खाता है।

जवाब:

ए) कोई निर्णय नहीं हैं; बी)एक्स> 2।

यह उदाहरण निम्नलिखित उपयोगी के लिए एक उदाहरण है

1. यदि एक चर के साथ कई असमानताओं की प्रणाली में एक असमानता का कोई समाधान नहीं है, तो सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

2. यदि एक चर के साथ दो असमानताओं की प्रणाली में चर के किसी भी मूल्य के लिए एक असमानता संतुष्ट है, तो सिस्टम का समाधान सिस्टम की दूसरी असमानता का समाधान है।

इस खंड को समाप्त करते हुए, आइए हम इसकी शुरुआत में दी गई कल्पित संख्या की समस्या पर लौटते हैं और इसे सभी नियमों के अनुसार हल करते हैं, जैसा कि वे कहते हैं।

उदाहरण 2(पृष्ठ 29 देखें)। एक प्राकृतिक संख्या के बारे में सोचो। यह ज्ञात है कि यदि कल्पित संख्या के वर्ग में 13 जोड़ दिया जाता है, तो योग कल्पित संख्या और संख्या 14 के गुणनफल से अधिक होगा। यदि कल्पित संख्या के वर्ग में 45 जोड़ा जाता है, तो योग होगा कल्पित संख्या और संख्या 18 के गुणनफल से कम हो। किस संख्या की कल्पना की जाती है?

फेसला।

प्रथम चरण। एक गणितीय मॉडल तैयार करना।
अपेक्षित संख्या x, जैसा कि हमने ऊपर देखा, असमानताओं की प्रणाली को संतुष्ट करना चाहिए

दूसरा चरण। संकलित गणितीय मॉडल के साथ काम करना। आइए सिस्टम की पहली असमानता को फॉर्म में बदलें
x2- 14x+ 13 > 0.

आइए त्रिपद x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13 की जड़ों को खोजें। परवलय y \u003d x 2 - 14x + 13 (चित्र। 30) का उपयोग करके, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि असमानता हमारे लिए ब्याज x . के लिए संतुष्ट है< 1 или x > 13.

आइए प्रणाली की दूसरी असमानता को x2 - 18 2 + 45 . के रूप में रूपांतरित करें< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

आइए उदाहरणों को देखें कि रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली को कैसे हल किया जाए।

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एक प्रणाली को हल करने के लिए, इसकी प्रत्येक घटक असमानताओं की आवश्यकता होती है। केवल अलग से नहीं, बल्कि एक साथ, उन्हें एक घुंघराले ब्रैकेट के साथ जोड़कर लिखने का निर्णय लिया जाता है।

सिस्टम की प्रत्येक असमानता में, हम अज्ञात को एक तरफ स्थानांतरित करते हैं, ज्ञात लोगों को दूसरे के विपरीत संकेत के साथ:

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सरलीकरण के बाद, असमानता के दोनों भागों को x से पहले की संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए। हम पहली असमानता को एक सकारात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, इसलिए असमानता का संकेत नहीं बदलता है। हम दूसरी असमानता को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, इसलिए असमानता चिह्न को उलट देना चाहिए:

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हम असमानताओं के हल को संख्या रेखाओं पर अंकित करते हैं:

जवाब में, हम समाधानों के प्रतिच्छेदन को लिखते हैं, अर्थात वह भाग जहाँ छायांकन दोनों पंक्तियों पर होता है।

उत्तर: x∈[-2;1)।

आइए पहली असमानता में भिन्न से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, हम दोनों भागों के पदों को पद से कम से कम उभयनिष्ठ हर 2 से गुणा करते हैं। जब एक धनात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है।

दूसरी असमानता में कोष्ठक खोलिए। दो भावों के योग और अंतर का गुणनफल इन भावों के वर्गों के अंतर के बराबर होता है। दाईं ओर दो भावों के बीच अंतर का वर्ग है।

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हम अज्ञात को एक तरफ स्थानांतरित करते हैं, ज्ञात वाले दूसरे को विपरीत संकेत के साथ स्थानांतरित करते हैं और सरल करते हैं:

असमानता के दोनों पक्षों को x से पहले की संख्या से विभाजित करें। पहली असमानता में, हम एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, इसलिए असमानता का चिन्ह उलट जाता है। दूसरे में, हम एक सकारात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, असमानता का संकेत नहीं बदलता है:

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दोनों असमानताओं को "से कम" के रूप में चिह्नित किया गया है (यह आवश्यक नहीं है कि एक संकेत सख्ती से "से कम" हो, दूसरा सख्त नहीं है, "इससे कम या बराबर")। हम दोनों समाधानों को चिह्नित नहीं कर सकते हैं, लेकिन नियम "" का उपयोग करें। सबसे छोटा 1 है, इसलिए सिस्टम असमानता को कम करता है

हम इसका हल संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

उत्तर: x∈(-∞;1].

हम कोष्ठक खोलते हैं। पहली असमानता में - . यह इन भावों के घनों के योग के बराबर है।

दूसरे में - दो भावों के योग और अंतर का गुणनफल, जो वर्गों के अंतर के बराबर है। चूंकि यहां कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, इसलिए उन्हें दो चरणों में खोलना बेहतर है: पहले सूत्र का उपयोग करें, और उसके बाद ही प्रत्येक शब्द के संकेत को विपरीत में बदलकर कोष्ठक खोलें।

हम अज्ञात को एक तरफ स्थानांतरित करते हैं, ज्ञात वाले दूसरे को विपरीत संकेत के साथ स्थानांतरित करते हैं:

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दोनों संकेतों से बड़े हैं। "अधिक से अधिक" नियम का उपयोग करते हुए, हम असमानताओं की प्रणाली को एक असमानता में कम कर देते हैं। दो संख्याओं में से बड़ी संख्या 5 है, इसलिए

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हम एक संख्या रेखा पर असमानता के समाधान को चिह्नित करते हैं और उत्तर लिखते हैं:

उत्तर: x∈(5;∞)।

चूँकि बीजगणित में रैखिक असमानताओं की प्रणालियाँ न केवल स्वतंत्र कार्यों के रूप में होती हैं, बल्कि विभिन्न प्रकार के समीकरणों, असमानताओं आदि को हल करने की प्रक्रिया में भी होती हैं, इसलिए इस विषय को समय पर सीखना महत्वपूर्ण है।

अगली बार हम विशेष मामलों में रैखिक असमानताओं को हल करने वाली प्रणालियों के उदाहरणों पर विचार करेंगे जब असमानताओं में से एक का कोई समाधान नहीं है या इसका समाधान कोई संख्या है।

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