जटिल आंकड़े

बुनियादी अवधारणाओं

संख्या पर प्रारंभिक डेटा पाषाण युग - पुरापाषाण काल ​​​​का संदर्भ देता है। ये "एक", "कुछ" और "कई" हैं। उन्हें पायदान, गांठ आदि के रूप में दर्ज किया गया था। श्रम प्रक्रियाओं के विकास और संपत्ति के उद्भव ने मनुष्य को संख्याओं और उनके नामों का आविष्कार करने के लिए मजबूर किया। प्राकृतिक संख्याएँ पहली बार सामने आईं एनवस्तुओं को गिनने से प्राप्त होता है। फिर, गिनती की आवश्यकता के साथ, लोगों को लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन, समय और अन्य मात्राओं को मापने की आवश्यकता थी, जहाँ उपयोग किए गए माप के कुछ हिस्सों को ध्यान में रखना आवश्यक था। इस प्रकार भिन्नों का जन्म हुआ। एक भिन्नात्मक और ऋणात्मक संख्या की अवधारणाओं की औपचारिक पुष्टि 19वीं शताब्दी में की गई थी। पूर्णांकों का समुच्चय जेडप्राकृतिक संख्याएँ हैं, ऋण चिह्न और शून्य के साथ प्राकृतिक संख्याएँ। पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक समूह बनाती हैं क्यू,लेकिन यह भी लगातार बदलते चरों का अध्ययन करने के लिए अपर्याप्त साबित हुआ। उत्पत्ति ने फिर से गणित की अपूर्णता को दिखाया: रूप के समीकरण को हल करने की असंभवता एक्स 2 = 3, जिसके संबंध में अपरिमेय संख्याएँ दिखाई देती हैं मैं।परिमेय संख्याओं के समुच्चय का संघ क्यूऔर अपरिमेय संख्याएं मैंवास्तविक (या वास्तविक) संख्याओं का समुच्चय है आर. नतीजतन, संख्या रेखा भर गई: प्रत्येक वास्तविक संख्या उस पर एक बिंदु से मेल खाती है। लेकिन सेट पर आरसमीकरण को हल करने का कोई तरीका नहीं है एक्स 2 = – ए 2. नतीजतन, संख्या की अवधारणा को फिर से विस्तारित करने की आवश्यकता थी। तो 1545 में जटिल संख्याएँ दिखाई दीं। उनके निर्माता जे. कार्डानो ने उन्हें "विशुद्ध रूप से नकारात्मक" कहा। 1637 में फ्रांसीसी आर। डेसकार्टेस द्वारा "काल्पनिक" नाम पेश किया गया था, 1777 में यूलर ने फ्रांसीसी संख्या के पहले अक्षर का उपयोग करने का सुझाव दिया था। मैंकाल्पनिक इकाई को निरूपित करने के लिए। यह प्रतीक के. गॉस की बदौलत सामान्य उपयोग में आया।

17वीं और 18वीं शताब्दी के दौरान, कल्पनाओं की अंकगणितीय प्रकृति और उनकी ज्यामितीय व्याख्या की चर्चा जारी रही। डेन एच। वेसल, फ्रांसीसी जे। आर्गन, और जर्मन के। गॉस ने स्वतंत्र रूप से सुझाव दिया कि एक जटिल संख्या को समन्वय विमान पर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाना चाहिए। बाद में यह पता चला कि संख्या को बिंदु से नहीं, बल्कि मूल से इस बिंदु पर जाने वाले वेक्टर द्वारा प्रदर्शित करना और भी सुविधाजनक था।

केवल 18वीं सदी के अंत तक - 19वीं शताब्दी की शुरुआत में ही जटिल संख्याओं ने गणितीय विश्लेषण में अपना सही स्थान ले लिया। उनका पहला उपयोग अंतर समीकरणों के सिद्धांत और हाइड्रोडायनामिक्स के सिद्धांत में था।

परिभाषा 1.जटिल संख्यारूप का व्यंजक कहलाता है, जहाँ एक्सऔर आपवास्तविक संख्याएं हैं, और मैंकाल्पनिक इकाई है, .

दो सम्मिश्र संख्याएँ और बराबरअगर और केवल अगर , ।

यदि , तो संख्या कहलाती है विशुद्ध रूप से काल्पनिक; यदि , तो संख्या एक वास्तविक संख्या है, जिसका अर्थ है कि समुच्चय आर साथ में, कहाँ पे साथ मेंसम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

संयुग्मितसम्मिश्र संख्या को सम्मिश्र संख्या कहते हैं।

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण।

किसी भी सम्मिश्र संख्या को एक बिंदु द्वारा निरूपित किया जा सकता है। एम(एक्स, आप) विमान ऑक्सी।वास्तविक संख्याओं का एक जोड़ा त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक को भी दर्शाता है , अर्थात। विमान पर वैक्टर के सेट और जटिल संख्याओं के सेट के बीच, एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है: .

परिभाषा 2.असली हिस्सा एक्स.

पद: एक्स= रे जेड(लैटिन रियलिस से)।

परिभाषा 3.काल्पनिक हिस्सासम्मिश्र संख्या को वास्तविक संख्या कहते हैं आप.

पद: आप= इम जेड(लैटिन इमेजिनेरियस से)।

पुनः जेडअक्ष पर जमा होता है ( ओह), मैं हूँ जेडअक्ष पर जमा होता है ( ओए), तो सम्मिश्र संख्या के संगत सदिश बिंदु की त्रिज्या सदिश है एम(एक्स, आप), (या एम(पुनः जेड, मैं हूँ जेड)) (चित्र .1)।

परिभाषा 4.वह तल जिसके बिंदु सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय से जुड़े होते हैं, कहलाते हैं जटिल विमान. एब्सिस्सा कहा जाता है वास्तविक धुरी, क्योंकि इसमें वास्तविक संख्याएँ होती हैं। y-अक्ष कहा जाता है काल्पनिक धुरीइसमें विशुद्ध रूप से काल्पनिक सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को निरूपित किया जाता है साथ में.

परिभाषा 5.मापांकजटिल संख्या जेड = (एक्स, आप) वेक्टर की लंबाई है : , अर्थात। .

परिभाषा 6.बहससम्मिश्र संख्या को अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण कहा जाता है ( ओह) और वेक्टर: .

जटिल आंकड़े

काल्पनिक और जटिल आंकड़े। एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट

जटिल संख्या। जटिल संख्याओं को संयुग्मित करें।

जटिल संख्याओं के साथ संचालन। ज्यामितिक

जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व। जटिल विमान।

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क। त्रिकोणमितीय

जटिल संख्या रूप। परिसर के साथ संचालन

त्रिकोणमितीय रूप में संख्याएँ। मोइवर सूत्र।

के बारे में बुनियादी जानकारी काल्पनिक और जटिल आंकड़े "काल्पनिक और जटिल संख्या" खंड में दिए गए हैं। मामले के लिए द्विघात समीकरणों को हल करते समय एक नए प्रकार के इन नंबरों की आवश्यकता दिखाई दीडी< 0 (здесь डीद्विघात समीकरण का विवेचक है)। लंबे समय तक, इन नंबरों का भौतिक उपयोग नहीं हुआ, यही वजह है कि इन्हें "काल्पनिक" संख्याएं कहा जाता था। हालाँकि, अब वे भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

और प्रौद्योगिकी: इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, हाइड्रो- और वायुगतिकी, लोच का सिद्धांत, आदि।

जटिल आंकड़े के रूप में लिखा जाता है:a+bi. यहां एऔर बी – वास्तविक संख्या , ए मैं – काल्पनिक इकाई।इ। मैं 2 = –1. संख्या एबुलाया सूच्याकार आकृति का भुज, ए बी - समन्वयजटिल संख्याए + बी।दो सम्मिश्र संख्याa+biऔर एक-द्वि बुलाया संयुग्मजटिल आंकड़े।

मुख्य समझौते:

1. वास्तविक संख्याएफॉर्म में भी लिखा जा सकता हैजटिल संख्या:ए + 0 मैंया ए - 0 मैं. उदाहरण के लिए, प्रविष्टियाँ 5 + 0मैंऔर 5 - 0 मैंमतलब एक ही नंबर 5 .

2. जटिल संख्या 0 + द्विबुलाया विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या. रिकॉर्डिंगद्विइसका मतलब 0 . के समान है + द्वि.

3. दो सम्मिश्र संख्याa+bi औरसी + दीबराबर माना जाता है अगरए = सीऔर बी = डी. अन्यथा सम्मिश्र संख्याएँ समान नहीं हैं।

योग। सम्मिश्र संख्याओं का योगa+biऔर सी + दीसम्मिश्र संख्या कहलाती है (ए+सी ) + (बी+डी ) मैं ।इस प्रकार, जब जोड़ा गया सम्मिश्र संख्याएँ, उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग जोड़े जाते हैं।

यह परिभाषा साधारण बहुपदों से निपटने के नियमों का पालन करती है।

घटाव। दो सम्मिश्र संख्याओं के बीच का अंतरa+bi(कम) और सी + दी(घटाना) एक सम्मिश्र संख्या कहलाती है (एसी ) + (बी डी ) मैं ।

इस प्रकार, दो सम्मिश्र संख्याओं को घटाते समय, उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग घटाए जाते हैं।

गुणन। सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफलa+biऔर सी + दी सम्मिश्र संख्या कहलाती है।

(एसी-बीडी ) + (विज्ञापन+बीसी ) मैं ।यह परिभाषा दो आवश्यकताओं से उपजी है:

1) अंक a+biऔर सी + दीबीजीय की तरह गुणा करना चाहिएद्विपद,

2) संख्या मैंमुख्य संपत्ति है:मैं 2 = – 1.

उदाहरण ( एक + द्वि )(एक-द्वि) = ए 2 +बी 2 . इसलिये, काम

दो संयुग्म सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक के बराबर होती हैं

सकारात्मक संख्या।

विभाजन। एक सम्मिश्र संख्या को विभाजित करेंa+bi (विभाज्य) दूसरे के लिएसी + दी(विभक्त) - का अर्थ है तीसरी संख्या ज्ञात करनाई + फाई(चैट), जो, जब एक भाजक द्वारा गुणा किया जाता हैसी + दी, जिसके परिणामस्वरूप लाभांशए + बी।

यदि भाजक शून्य नहीं है, तो विभाजन हमेशा संभव है।

उदाहरण खोजें (8+मैं ) : (2 – 3 मैं) .

हल। आइए इस अनुपात को भिन्न के रूप में फिर से लिखें:

इसके अंश और हर को 2 + 3 . से गुणा करनामैं

और सभी परिवर्तन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण। वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है:

यहाँ बिंदु है एमतलब नंबर -3, डॉटबीसंख्या 2 है, और हे- शून्य। इसके विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं को निर्देशांक तल पर बिंदुओं द्वारा निरूपित किया जाता है। इसके लिए हम दोनों अक्षों पर समान पैमानों वाले आयताकार (कार्टेशियन) निर्देशांक चुनते हैं। तब सम्मिश्र संख्याa+bi एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा एब्सिस्सा के साथ पी ए और कोर्डिनेट बी (अंजीर देखें।) इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है जटिल विमान .

मापांक सम्मिश्र संख्या को सदिश की लंबाई कहते हैंसेशन, निर्देशांक पर एक सम्मिश्र संख्या का चित्रण ( एकीकृत) विमान। जटिल संख्या मापांकa+biद्वारा निरूपित | a+bi| या पत्र आर

जटिल संख्याएं, विमान पर उनका प्रतिनिधित्व। सम्मिश्र संख्याओं पर बीजगणितीय संक्रियाएँ। जटिल संयुग्मन। एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क। एक जटिल संख्या के बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय रूप। जटिल संख्याओं की जड़ें। एक जटिल तर्क का घातीय कार्य। यूलर सूत्र। एक जटिल संख्या का घातीय रूप।

एकीकरण के मुख्य तरीकों में से एक का अध्ययन करते समय - तर्कसंगत अंशों का एकीकरण - कठोर प्रमाण के लिए जटिल डोमेन में बहुपदों पर विचार करना आवश्यक है। इसलिए, आइए पहले हम सम्मिश्र संख्याओं के कुछ गुणों और उन पर होने वाली संक्रियाओं का अध्ययन करें।

परिभाषा 7.1. एक सम्मिश्र संख्या z वास्तविक संख्याओं का क्रमित युग्म है (a, b): z = (a, b) (शब्द "आदेशित" का अर्थ है कि संख्याओं a और b का क्रम सम्मिश्र संख्या लिखने में महत्वपूर्ण है: (a , बी)))। इस स्थिति में, पहली संख्या a को सम्मिश्र संख्या z का वास्तविक भाग कहा जाता है और इसे a = Re z दर्शाया जाता है, और दूसरी संख्या b को z का काल्पनिक भाग कहा जाता है: b = Im z।

परिभाषा 7.2. दो सम्मिश्र संख्याएँ z 1 \u003d (a 1, b 1) और z 2 \u003d (a 2, b 2) समान हैं यदि और केवल यदि उनके समान वास्तविक और काल्पनिक भाग हों, अर्थात् a 1 \u003d a 2, बी 1 \u003d बी 2।

सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ।

1. जोड़जटिल आंकड़े z1 =(ए 1, बी 1) और z2 =(ए 2, बी 2 जेड =(ए, बी) ऐसा है कि ए = ए 1 + ए 2, बी = बी 1 + बी 2।अतिरिक्त गुण: ए) z1 + z2 = z2 + z1; बी) जेड 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + जेड 3; ग) एक सम्मिश्र संख्या 0 = (0,0) है: जेड + 0 =जेडकिसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए जेड

2. कामजटिल आंकड़े z1 =(ए 1, बी 1) और z2 =(ए 2, बी 2) को सम्मिश्र संख्या कहा जाता है जेड =(ए, बी) ऐसा है कि ए \u003d ए 1 ए 2 - बी 1 बी 2, बी \u003d ए 1 बी 2 + ए 2 बी 1।गुणन गुण: ए) जेड 1 जेड 2 = जेड 2 जेड 1; बी) जेड 1 (जेड 2 जेड 3) = (जेड 1 जेड 2) जेड 3, में) ( z1 + z2) जेड 3 = जेड 1 जेड 3 + जेड 2 जेड 3।

टिप्पणी। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय का एक उपसमुच्चय वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है जिसे रूप की सम्मिश्र संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जाता है ( ए, 0)। यह देखा जा सकता है कि इस मामले में जटिल संख्याओं पर संचालन की परिभाषा वास्तविक संख्याओं पर संबंधित संचालन के ज्ञात नियमों को संरक्षित करती है। इसके अलावा, वास्तविक संख्या 1 = (1,0) किसी भी सम्मिश्र संख्या से गुणा करने पर अपना गुण बरकरार रखती है: 1∙ जेड = जेड।

परिभाषा 7.3.सम्मिश्र संख्या (0, बी) कहा जाता है विशुद्ध रूप से काल्पनिक. विशेष रूप से, संख्या (0,1) को कहा जाता है काल्पनिक इकाईऔर प्रतीक हैं मैं.

काल्पनिक इकाई गुण:

1) मैं = मैं= -1; 2) एक विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या (0, बी) को वास्तविक संख्या के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है ( बी, 0) और मैं: (बी, 0) = बीईआई।

इसलिए, किसी भी सम्मिश्र संख्या z = (a,b) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib।

परिभाषा 7.4. z = a + ib के रूप के अंकन को सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप कहा जाता है।

टिप्पणी। जटिल संख्याओं का बीजगणितीय अंकन बीजगणित के सामान्य नियमों के अनुसार उन पर संचालन करना संभव बनाता है।

परिभाषा 7.5. एक सम्मिश्र संख्या को z = a + ib का सम्मिश्र संयुग्म कहते हैं।

3. घटावसम्मिश्र संख्याओं को योग के प्रतिलोम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है: जेड =(ए, बी) सम्मिश्र संख्याओं का अंतर कहलाता है z1 =(ए 1, बी 1) और z2 =(ए 2, बी 2), अगर ए \u003d ए 1 - ए 2, बी \u003d बी 1 - बी 2।

4. विभाजनसम्मिश्र संख्याओं को गुणन के प्रतिलोम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है: संख्या जेड = ए + आईबीविभाजन का भागफल कहलाता है जेड 1 = ए 1 + आईबी 1और जेड 2 = ए 2 + आईबी 2(जेड 2 0) अगर z 1 = z∙z 2 .इसलिए, भागफल के वास्तविक और काल्पनिक भाग समीकरणों के निकाय के हल से ज्ञात किए जा सकते हैं: ए 2 ए - बी 2 बी \u003d ए 1, बी 2 ए + ए 2 बी \u003d बी 1।

जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या.

जटिल संख्या जेड =(ए, बी) को निर्देशांक के साथ समतल पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है ( ए, बी) या मूल बिंदु पर मूल और बिंदु पर अंत के साथ एक वेक्टर ( ए, बी).

इस मामले में, परिणामी वेक्टर के मॉड्यूल को कहा जाता है मापांकसम्मिश्र संख्या, और x-अक्ष की धनात्मक दिशा वाले सदिश द्वारा निर्मित कोण है बहससंख्याएं। मान लीजिये ए = पीक्योंकि , बी =पाप φ, कहाँ पे ρ = |जेड| - मापांक जेड,और = arg z इसका तर्क है, हम सम्मिश्र संख्या लिखने का दूसरा रूप प्राप्त कर सकते हैं:

परिभाषा 7.6.रिकॉर्ड देखें

जेड = पी(कोस + मैंपाप φ ) (7.1)

बुलाया त्रिकोणमितीय रूपएक जटिल संख्या का अंकन।

बदले में, एक सम्मिश्र संख्या के मापांक और तर्क को के रूप में व्यक्त किया जा सकता है एऔर बी: . इसलिए, एक सम्मिश्र संख्या का तर्क विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, बल्कि एक ऐसे पद तक है जो 2π का गुणज है।

यह देखना आसान है कि सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ने का संक्रिया सदिशों को जोड़ने के संक्रिया से मेल खाती है। गुणन की ज्यामितीय व्याख्या पर विचार करें। चलो फिर

इसलिए, दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का मापांक उनके मापांक के गुणनफल के बराबर होता है, और तर्क उनके तर्कों का योग होता है। तदनुसार, विभाजित करते समय, भागफल का मापांक लाभांश और भाजक के मॉड्यूल के अनुपात के बराबर होता है, और तर्क उनके तर्कों के बीच का अंतर होता है।

गुणन संक्रिया का एक विशेष मामला घातांक है:

- डी मोइवर का सूत्र.

प्राप्त संबंधों का उपयोग करते हुए, हम जटिल संयुग्म संख्याओं के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं:

जटिल संख्याएं और
समन्वय
विमान

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R का ज्यामितीय मॉडल संख्या रेखा है। प्रत्येक वास्तविक संख्या एक बिंदु से मेल खाती है

पर
संख्या रेखा और रेखा पर कोई बिंदु
केवल एक मैच
वास्तविक संख्या!

सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के संगत संख्या रेखा में एक और आयाम जोड़ने पर - विशुद्ध रूप से m . के समुच्चय वाली रेखा

समुच्चय के अनुरूप संख्या रेखा में जोड़ने पर
सभी वास्तविक संख्याओं का एक और आयाम -
विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याओं के समुच्चय वाली रेखा -
हमें एक निर्देशांक तल प्राप्त होता है जिसमें प्रत्येक
सम्मिश्र संख्या a + bi को जोड़ा जा सकता है
निर्देशांक तल का बिंदु (a; b)।
i=0+1i बिंदु के अनुरूप है (0;1)
2+3i बिंदु के अनुरूप है (2;3)
-i-4 मैच डॉट (-4;-1)
5=5+1i उदासी से मेल खाती है (5;0)

संयुग्मन संचालन का ज्यामितीय अर्थ

! संयुग्मन ऑपरेशन अक्षीय है
एक्स-अक्ष के बारे में समरूपता।
!! एक दूसरे से जुड़े
सम्मिश्र संख्याएँ समान दूरी पर होती हैं
निर्देशांक की उत्पत्ति।
!!! वेक्टर चित्रण
संयुग्म संख्याएं, अक्ष की ओर झुकी हुई
भुज एक ही कोण पर, परंतु
के विपरीत पक्षों पर स्थित है
यह धुरी।

वास्तविक संख्याओं की छवि

सम्मिश्र संख्याओं की छवि

बीजगणितीय
मार्ग
इमेजिस:
जटिल संख्या
a+bi प्रदर्शित होता है
समतल बिंदु
निर्देशांक के साथ
(ए;बी)

निर्देशांक तल पर सम्मिश्र संख्याओं के निरूपण के उदाहरण

(हम इसमें रुचि रखते हैं
जटिल आंकड़े
z=x+yi , जिसके लिए
एक्स = -4। यह है समीकरण
सीधा,
समानांतर अक्ष
समन्वय)
पर
एक्स = - 4
वैध
भाग है -4
0
एक्स

निर्देशांक तल पर सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय खींचिए जिसके लिए:

काल्पनिक हिस्सा
सम है
स्पष्ट
प्राकृतिक
संख्या
(हम इसमें रुचि रखते हैं
जटिल आंकड़े
z=x+yi
वाई = 2,4,6,8।
ज्यामितीय छवि
चार . के होते हैं
सीधी रेखाएं, समानांतर
एब्सिस्सा)
पर
8
6
4
2
0
एक्स