अनुभाग: गणित

लक्ष्य:बीजीय भिन्नों के गुणन और भाग की संक्रियाएँ करना सीखें।

पाठ प्रपत्र:नई सामग्री सीखने का पाठ।

पढ़ाने का तरीका:समस्याग्रस्त, समाधान के लिए एक स्वतंत्र खोज के साथ।

उपकरण:कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, पाठ के लिए हैंडआउट, टेबल।

कक्षाओं के दौरान

पाठ कंप्यूटर प्रस्तुति का उपयोग करके आयोजित किया जाता है। (परिशिष्ट 1)

. सबक संगठन।

1. तकनीकी भाग की तैयारी।

2. जोड़े और स्वतंत्र कार्य में काम के लिए कार्ड।

. एक नए विषय के अध्ययन की तैयारी के लिए बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना।

मौखिक रूप से:

(उत्तर कंप्यूटर का उपयोग करके प्रदर्शित किए जाते हैं।)

1. गुणा करें:

2. अंश कम करें:

3. अंशों को गुणा करें:

इन नंबरों को क्या कहा जाता है? (पारस्परिक संख्या)

किसी संख्या का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

कौन सी दो संख्याएँ व्युत्क्रम कहलाती हैं? (दो संख्याओं को व्युत्क्रम कहा जाता है यदि उनका गुणनफल 1 है।)

पारस्परिक खोजें:

अंशों को विभाजित करें:

हम साधारण भिन्नों को गुणा और भाग करने के नियमों का उच्चारण करते हैं। बोर्ड पर नियमों वाला एक पोस्टर चस्पा किया गया है।

. नया विषय

पोस्टर का हवाला देते हुए शिक्षक कहते हैं: ए, बी, सी, डी- इस मामले में संख्या। और यदि ये बीजीय व्यंजक हैं, तो ऐसे भिन्नों को क्या कहते हैं? (बीजीय भिन्न)

उनके गुणन और भाग के नियम समान रहते हैं।

क्रियाएँ चलाएँ:

पहला और दूसरा उदाहरण अपने आप आता है, उसके बाद छात्र बोर्ड पर हल लिखते हैं। शिक्षक तीसरे उदाहरण का हल ब्लैकबोर्ड पर दिखाता है।

वी. एंकरिंग

1) समस्या पुस्तिका पर काम करें: नंबर 5.2 (बी, सी), नंबर 5.11 (ए, बी)। पेज 32

2) कार्ड पर जोड़े में काम करें:

(निर्णय और उत्तर प्रोजेक्टर के माध्यम से परिलक्षित होते हैं।)

वी. पाठ का सारांश

स्वतंत्र काम।

गुणा या भाग करें:

विकल्प		प्रकार

छात्र अपनी कार्यपुस्तिका सौंपते हैं।

VI. गृहकार्य

संख्या 5.8; संख्या 5.10; संख्या 5.13 (ए, बी)।

उदाहरण।

बीजीय भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए और।

फेसला।

भिन्नों का गुणन करने से पहले, हम पहले भिन्न के अंश और दूसरे के हर में बहुपद का गुणनखंड करते हैं। संबंधित संक्षिप्त गुणन सूत्र इसमें हमारी सहायता करेंगे: x 2 +2 x+1=(x+1) 2 और x 2 −1=(x−1) (x+1) । इस प्रकार, ।

जाहिर है, परिणामी अंश को कम किया जा सकता है (हमने इस प्रक्रिया की चर्चा बीजगणितीय भिन्नों के अपचयन पर लेख में की है)।

यह केवल परिणाम को बीजीय अंश के रूप में लिखने के लिए रहता है, जिसके लिए आपको बहुपद को हर में बहुपद से गुणा करना होगा: .

आमतौर पर, समाधान को बिना स्पष्टीकरण के समानता के अनुक्रम के रूप में लिखा जाता है:

जवाब:

.

कभी-कभी बीजगणितीय अंशों के साथ जिन्हें गुणा या विभाजित करने की आवश्यकता होती है, इन कार्यों के कार्यान्वयन को आसान और तेज़ बनाने के लिए कुछ परिवर्तन किए जाने चाहिए।

उदाहरण।

एक बीजीय भिन्न को भिन्न से भाग दें।

फेसला।

आइए भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाकर एक बीजीय भिन्न के रूप को सरल करें। ऐसा करने के लिए, हम इसके अंश और हर को 7 से गुणा करते हैं, जो हमें बीजीय भिन्न की मुख्य संपत्ति बनाने की अनुमति देता है, हमारे पास है .

अब यह स्पष्ट हो गया है कि परिणामी भिन्न का हर और जिस भिन्न से हमें विभाजित करने की आवश्यकता है उसका हर विपरीत व्यंजक हैं। भिन्न के अंश और हर के चिह्नों को बदलें, हमारे पास है .

इस लेख में, हम उन बुनियादी संक्रियाओं का अध्ययन जारी रखते हैं जो बीजीय भिन्नों के साथ की जा सकती हैं। यहां हम गुणा और भाग पर विचार करेंगे: पहले हम आवश्यक नियम प्राप्त करते हैं, और फिर हम उन्हें समस्या समाधान के साथ चित्रित करते हैं।

बीजीय भिन्नों को सही तरीके से कैसे विभाजित और गुणा करें

बीजीय भिन्नों का गुणन करने के लिए, या एक भिन्न को दूसरे भिन्न से विभाजित करने के लिए, हमें सामान्य भिन्नों के समान नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। आइए एक नजर डालते हैं उनके शब्दों पर।

जब हमें एक साधारण भिन्न को दूसरे से गुणा करने की आवश्यकता होती है, तो हम अंशों और हरों का गुणन अलग-अलग करते हैं, जिसके बाद हम अंतिम अंश को लिखते हैं, संबंधित उत्पादों को उनके स्थान पर रखते हैं। ऐसी गणना का एक उदाहरण:

2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21

और जब हमें साधारण भिन्नों को विभाजित करने की आवश्यकता होती है, तो हम इसे भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करके करते हैं, उदाहरण के लिए:

2 3: 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21

बीजीय भिन्नों का गुणन और विभाजन समान सिद्धांतों का पालन करते हैं। आइए नियम तैयार करें:

परिभाषा 1

दो या दो से अधिक बीजीय भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करना होगा। परिणाम एक भिन्न होगा, जिसका अंश अंशों का गुणनफल होगा और हर हर का गुणनफल होगा।

शाब्दिक रूप में, नियम को a b · c d = a · c b · d के रूप में लिखा जा सकता है। यहां ए, बी, सी और डीकुछ बहुपद होंगे, और b और डीरिक्त नहीं हो सकता।

परिभाषा 2

एक बीजीय भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको पहले अंश को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

इस नियम को a b: c d = a b d c = a d b c के रूप में भी लिखा जा सकता है। अक्षर ए, बी, सी और डीयहाँ बहुपदों को निरूपित करते हैं, जिनमें से a , b , c और डीरिक्त नहीं हो सकता।

आइए हम अलग से इस पर ध्यान दें कि व्युत्क्रम बीजीय भिन्न क्या होता है। यह एक भिन्न है जिसे मूल से गुणा करने पर परिणाम के रूप में एक इकाई प्राप्त होती है। अर्थात्, ऐसे भिन्न परस्पर पारस्परिक संख्याओं के समान होंगे। अन्यथा, हम कह सकते हैं कि व्युत्क्रम बीजीय अंश में मूल के समान मान होते हैं, लेकिन अंश और हर उलट जाते हैं। अत: भिन्न a b + 1 a 3 के संबंध में भिन्न a 3 a b + 1 प्रतिलोम होगा।

बीजीय भिन्नों के गुणन और भाग की समस्याओं का समाधान

इस अनुच्छेद में, हम देखेंगे कि व्यवहार में उपरोक्त नियमों को सही ढंग से कैसे लागू किया जाए। आइए एक सरल और उदाहरण के साथ शुरू करते हैं।

उदाहरण 1

स्थिति:भिन्न 1 x + y को 3 x y x 2 + 5 से गुणा करें, और फिर एक भिन्न को दूसरे से भाग दें।

फेसला

आइए पहले गुणा करें। नियम के अनुसार, आपको अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करना होगा:

1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)

हमें एक नया बहुपद प्राप्त हुआ है, जिसे मानक रूप में लाया जाना चाहिए। हम गणना समाप्त करते हैं:

1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y

अब आइए देखें कि एक भिन्न को दूसरे से सही ढंग से कैसे विभाजित किया जाए। नियम के अनुसार, हमें इस क्रिया को व्युत्क्रम x 2 + 5 3 x y से गुणा करके प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y

हम परिणामी भिन्न को मानक रूप में लाते हैं:

1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2

जवाब: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y; 1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2।

अक्सर, साधारण अंशों को विभाजित करने और गुणा करने की प्रक्रिया में, परिणाम प्राप्त होते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 2 9 3 8 \u003d 6 72 \u003d 1 12। जब हम इन संक्रियाओं को बीजगणितीय भिन्नों पर करते हैं, तो हमें कम करने योग्य परिणाम भी मिल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले मूल बहुपद के अंश और हर को अलग-अलग कारकों में विघटित करना उपयोगी है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सही तरीके से कैसे करें, इस लेख को फिर से पढ़ें। आइए एक समस्या का एक उदाहरण देखें जिसमें भिन्नों को घटाना आवश्यक होगा।

उदाहरण 2

स्थिति:भिन्नों x 2 + 2 x + 1 18 x 3 और 6 x x 2 - 1 को गुणा कीजिए।

फेसला

उत्पाद की गणना करने से पहले, हम पहले प्रारंभिक अंश के अंश और दूसरे के हर को अलग-अलग कारकों में विघटित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्रों की आवश्यकता है। हम गणना करते हैं:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1

हमारे पास एक अंश है जिसे कम किया जा सकता है:

x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)

यह कैसे किया जाता है, इसके बारे में हमने बीजीय भिन्नों के अपचयन पर एक लेख में लिखा है।

हर में एकपदी और बहुपद को गुणा करने पर, हमें वह परिणाम मिलता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

स्पष्टीकरण के बिना पूरे समाधान का एक प्रतिलेख यहां दिया गया है:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = = x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

जवाब: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2।

कुछ मामलों में, गुणा या भाग करने से पहले मूल अंशों को बदलना सुविधाजनक होता है ताकि आगे की गणना तेज और आसान हो जाए।

उदाहरण 3

स्थिति: 2 1 7 x - 1 को 12 x 7 - x से भाग दें।

हल: आइए भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के लिए बीजीय भिन्न 2 1 7 · x - 1 को सरल बनाकर प्रारंभ करें। ऐसा करने के लिए, हम भिन्न के दोनों भागों को सात से गुणा करते हैं (यह क्रिया बीजीय भिन्न के मुख्य गुण के कारण संभव है)। परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित प्राप्त होंगे:

2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7

हम देखते हैं कि भिन्न 12 x 7 - x का हर, जिससे हमें पहले भिन्न को विभाजित करने की आवश्यकता होती है, और परिणामी भिन्न का हर एक दूसरे के विपरीत व्यंजक होते हैं। अंश और हर के चिह्नों को 12 x 7 - x में बदलने पर, हमें 12 x 7 - x \u003d - 12 x x - 7 मिलता है।

सभी परिवर्तनों के बाद, हम अंत में सीधे बीजीय भिन्नों के विभाजन पर जा सकते हैं:

2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = 14 x - 7: - 12 x x - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x

जवाब: 2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = - 7 6 x।

एक बहुपद से एक बीजीय भिन्न को गुणा या भाग कैसे करें

ऐसी क्रिया करने के लिए हम उन्हीं नियमों का प्रयोग कर सकते हैं जो हमने ऊपर दिए थे। सबसे पहले आपको बहुपद को हर में एक इकाई के साथ बीजीय अंश के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। यह क्रिया किसी प्राकृत संख्या को साधारण भिन्न में बदलने के समान है। उदाहरण के लिए, कोई बहुपद को प्रतिस्थापित कर सकता है एक्स 2 + एक्स - 4पर एक्स 2 + एक्स - 4 1. परिणामी भाव समान रूप से समान होंगे।

उदाहरण 4

स्थिति:बीजीय भिन्न को बहुपद x + 4 5 x x y: x 2 - 16 से भाग दें।

फेसला

x + 4 5 x y: x 2 - 16 = x + 4 5 x y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 x y 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 x y (x - 4) (x + 4) = 1 5 x y x - 4 = 1 5 x 2 y - 20 x y

जवाब: x + 4 5 x y: x 2 - 16 = 1 5 x 2 y - 20 x y।

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वीडियो पाठ “बीजीय भिन्नों का गुणा और भाग। एक बीजीय भिन्न को घात में बढ़ाना ”इस विषय पर गणित का पाठ पढ़ाने के लिए एक सहायक उपकरण है। एक वीडियो पाठ की सहायता से, एक शिक्षक के लिए विद्यार्थियों में बीजीय भिन्नों को गुणा और भाग करने की क्षमता बनाना आसान हो जाता है। दृश्य सहायता में उदाहरणों का एक विस्तृत, समझने योग्य विवरण होता है जिसमें गुणा और भाग के संचालन किए जाते हैं। सामग्री को शिक्षक के स्पष्टीकरण के दौरान प्रदर्शित किया जा सकता है या पाठ का एक अलग हिस्सा बन सकता है।

बीजगणितीय अंशों को गुणा और विभाजित करने के कार्यों को हल करने की क्षमता बनाने के लिए, समाधान के विवरण के दौरान महत्वपूर्ण टिप्पणियां दी जाती हैं, जिन क्षणों को याद रखने और गहरी समझ की आवश्यकता होती है उन्हें रंग, बोल्ड प्रकार और पॉइंटर्स का उपयोग करके हाइलाइट किया जाता है। वीडियो पाठ की सहायता से शिक्षक पाठ की प्रभावशीलता को बढ़ा सकता है। यह दृश्य सहायता आपको अपने सीखने के लक्ष्यों को जल्दी और प्रभावी ढंग से प्राप्त करने में मदद करेगी।

वीडियो ट्यूटोरियल विषय का परिचय देकर शुरू होता है। उसके बाद, यह संकेत दिया जाता है कि बीजीय अंशों के साथ गुणा और भाग के संचालन सामान्य अंशों के साथ संचालन के समान ही किए जाते हैं। स्क्रीन भिन्नों के गुणन, भाग और घातांक के नियम दिखाती है। भिन्नों के गुणन को शाब्दिक मापदंडों का उपयोग करके प्रदर्शित किया जाता है। यह ध्यान दिया जाता है कि भिन्नों को गुणा करते समय अंश, साथ ही हर को गुणा किया जाता है। इस प्रकार परिणामी भिन्न a/b c/d=ac/bd प्राप्त होता है। भिन्नों के विभाजन को उदाहरण के रूप में a/b:c/d व्यंजक का उपयोग करके प्रदर्शित किया जाता है। यह इंगित किया गया है कि विभाजन संचालन करने के लिए, भाजक के अंश और भाजक के हर के गुणनफल को अंश में लिखना आवश्यक है। भागफल का हर भाजक के भाजक और भाजक के अंश का गुणनफल होता है। इस प्रकार, विभाजन की क्रिया भाज्य के अंश और भाजक के भिन्न के व्युत्क्रम को गुणा करने के संक्रिया में बदल जाती है। किसी भिन्न की घात को बढ़ाना उस भिन्न के बराबर होता है जिसमें अंश और हर को निर्दिष्ट घात तक बढ़ाया जाता है।

निम्नलिखित एक उदाहरण समाधान है। उदाहरण 1 में, आपको क्रियाएं (5x-5y) / (x-y) (x 2 -y 2) / 10x करने की आवश्यकता है। इस उदाहरण को हल करने के लिए, उत्पाद में शामिल दूसरे अंश के अंश को कारकों में विघटित किया जाता है। संक्षिप्त गुणन के सूत्रों का उपयोग करके, एक परिवर्तन x 2 -y 2 \u003d (x + y) (x-y) किया जाता है। फिर भिन्नों और हरों के अंशों को गुणा किया जाता है। संक्रियाओं को करने के बाद, यह स्पष्ट है कि अंश और हर में ऐसे कारक हैं जिन्हें भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक भिन्न (x + y) 2/2x प्राप्त होता है। यह क्रियाओं के निष्पादन पर भी विचार करता है 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 । सभी अंशों और हरों को गुणनखंडन, सामान्य कारकों के आवंटन की संभावना के लिए माना जाता है। फिर अंश और हर को गुणा किया जाता है। गुणा के बाद, कटौती की जाती है। परिवर्तन का परिणाम भिन्न 2(a-b)/7a है।

एक उदाहरण माना जाता है जिसमें क्रियाओं को करना आवश्यक है (x 3 -1) / 8y: (x 2 + x + 1) / 16y 2. व्यंजक को हल करने के लिए, संक्षिप्त गुणन सूत्र x 3 -1 \u003d (x-1) (x 2 + x + 1) का उपयोग करके पहले अंश के अंश को परिवर्तित करने का प्रस्ताव है। भिन्नों के विभाजन के नियम के अनुसार, पहली भिन्न को दूसरी के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। अंशों और हरों को गुणा करने के बाद, एक अंश प्राप्त होता है जिसमें अंश और हर में समान कारक होते हैं। वे सिकुड़ रहे हैं। परिणाम एक भिन्न (x-1) 2y है। उदाहरण का समाधान (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2) यहां भी वर्णित है। पिछले उदाहरण के समान, अंश को परिवर्तित करने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग किया जाता है। भिन्न का हर भी परिवर्तित हो जाता है। फिर पहली भिन्न को दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। गुणन के बाद, परिवर्तन किए जाते हैं, अंश और हर को सामान्य कारकों से घटाया जाता है। परिणाम एक भिन्न है - (a + b) (a 2 + b 2) / (b-3)। छात्रों का ध्यान इस ओर आकर्षित होता है कि गुणन के दौरान अंश और हर के चिन्ह कैसे बदलते हैं।

तीसरे उदाहरण में, आपको भिन्नों के साथ संचालन करने की आवश्यकता है ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 । इस उदाहरण को हल करने में, भिन्न को घात में बढ़ाने का नियम लागू होता है। पहले और दूसरे दोनों अंशों को एक शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। वे अंश और हर को एक घात में ऊपर उठाकर परिवर्तित होते हैं। इसके अलावा, भिन्नों के हरों को परिवर्तित करने के लिए, संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग किया जाता है, जो सामान्य कारक को उजागर करता है। पहले अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको पहले अंश को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा। अंश और हर ऐसे भाव बनाते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है। रूपांतरण के बाद, एक भिन्न (x-2) / 27x 3 (x + 2) प्राप्त होता है।

वीडियो पाठ “बीजीय भिन्नों का गुणा और भाग। एक बीजगणितीय अंश को एक शक्ति तक बढ़ाना ”का उपयोग पारंपरिक गणित पाठ की प्रभावशीलता को बढ़ाने के लिए किया जाता है। सामग्री दूरस्थ शिक्षा प्रदान करने वाले शिक्षक के लिए उपयोगी हो सकती है। उदाहरणों के समाधान का एक विस्तृत स्पष्ट विवरण उन छात्रों की मदद करेगा जो स्वतंत्र रूप से विषय में महारत हासिल करते हैं या अतिरिक्त कक्षाओं की आवश्यकता होती है।

इस पाठ में हम बीजीय भिन्नों को गुणा और भाग करने के नियमों के साथ-साथ इन नियमों को लागू करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे। बीजीय भिन्नों का गुणा और भाग साधारण भिन्नों के गुणन और भाग से अलग नहीं है। हालांकि, चर की उपस्थिति परिणामी अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के कुछ अधिक जटिल तरीकों की ओर ले जाती है। इस तथ्य के बावजूद कि अंशों को गुणा और विभाजित करना उन्हें जोड़ना और घटाना आसान है, इस विषय का अध्ययन बहुत जिम्मेदारी से किया जाना चाहिए, क्योंकि इसमें कई "नुकसान" हैं जिन पर आमतौर पर ध्यान नहीं दिया जाता है। पाठ के भाग के रूप में, हम न केवल भिन्नों को गुणा और विभाजित करने के नियमों का अध्ययन करेंगे, बल्कि उन बारीकियों का भी विश्लेषण करेंगे जो उन्हें लागू करते समय उत्पन्न हो सकती हैं।

विषय:बीजीय अंश। बीजीय भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

पाठ:बीजीय भिन्नों का गुणन और विभाजन

बीजीय भिन्नों के गुणन और विभाजन के नियम सामान्य भिन्नों के गुणन और विभाजन के नियमों के बिल्कुल समान हैं। उन्हें याद करें:

यही है, भिन्नों को गुणा करने के लिए, उनके अंशों को गुणा करना आवश्यक है (यह उत्पाद का अंश होगा), और उनके हर को गुणा करें (यह उत्पाद का हर होगा)।

एक भिन्न से भाग एक उल्टे अंश से गुणा है, अर्थात दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, उनमें से पहले (लाभांश) को उल्टे दूसरे (भाजक) से गुणा करना आवश्यक है।

इन नियमों की सरलता के बावजूद, कई लोग इस विषय पर उदाहरणों को हल करते समय कई विशेष मामलों में गलतियाँ करते हैं। आइए जानते हैं इन खास मामलों के बारे में:

इन सभी नियमों में हमने निम्नलिखित तथ्य का प्रयोग किया है: .

आइए सामान्य अंशों के गुणन और विभाजन के कुछ उदाहरणों को हल करें ताकि यह याद रहे कि संकेतित नियमों का उपयोग कैसे किया जाए।

उदाहरण 1

टिप्पणी:भिन्नों को कम करते समय, हमने किसी संख्या के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में उपयोग किया। याद करें कि अभाज्य सँख्या वे प्राकृत संख्याएँ हैं जो केवल और स्वयं से विभाज्य हैं। शेष संख्याएँ कहलाती हैं घटक . संख्या न तो अभाज्य है और न ही भाज्य। अभाज्य संख्याओं के उदाहरण: .

उदाहरण 2

आइए अब हम साधारण भिन्नों वाली एक विशेष स्थिति पर विचार करें।

उदाहरण 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, साधारण अंशों को गुणा और विभाजित करना, यदि नियम सही ढंग से लागू होते हैं, तो मुश्किल नहीं है।

बीजीय भिन्नों के गुणन और विभाजन पर विचार करें।

उदाहरण 4

उदाहरण 5

ध्यान दें कि गुणन के बाद भिन्नों को उसी नियम के अनुसार कम करना संभव और आवश्यक भी है जैसा कि हमने पहले बीजगणितीय अंशों की कमी पर पाठों में माना था। आइए विशेष मामलों के लिए कुछ सरल उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 6

उदाहरण 7

आइए अब भिन्नों के गुणन और भाग के कुछ और जटिल उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 8

उदाहरण 9

उदाहरण 10

उदाहरण 11

उदाहरण 12

उदाहरण 13

अब तक हमने भिन्नों पर विचार किया है जिनमें अंश और हर दोनों एकपदी हैं। हालांकि, कुछ मामलों में उन अंशों को गुणा या विभाजित करना आवश्यक है जिनके अंश और हर बहुपद हैं। इस मामले में, नियम समान रहते हैं, और कमी के लिए संक्षिप्त गुणन और कोष्ठक के सूत्रों का उपयोग करना आवश्यक है।

उदाहरण 14

उदाहरण 15

उदाहरण 16

उदाहरण 17

उदाहरण 18