पर किसी भी यादृच्छिक घटना के घटित होने की प्रायिकता का अनुमान लगाते हुए, यह पहले से ही एक अच्छा विचार होना बहुत महत्वपूर्ण है कि क्या हमारे लिए रुचि की घटना के घटित होने की प्रायिकता () इस बात पर निर्भर करती है कि अन्य घटनाएँ कैसे विकसित होती हैं।

शास्त्रीय योजना के मामले में, जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित होते हैं, तो हम पहले से ही हमारे लिए ब्याज की व्यक्तिगत घटना के संभाव्यता मूल्यों का अनुमान लगा सकते हैं। हम ऐसा कर सकते हैं, भले ही घटना कई प्राथमिक परिणामों का एक जटिल संग्रह हो। और अगर कई यादृच्छिक घटनाएं एक साथ या क्रमिक रूप से होती हैं? यह हमारे लिए ब्याज की घटना की संभावना को कैसे प्रभावित करता है?

यदि मैं कई बार पासा फेंकता हूं और छक्का प्राप्त करना चाहता हूं और मैं हर समय भाग्यशाली नहीं हूं, तो क्या इसका मतलब है कि मुझे अपनी शर्त बढ़ानी चाहिए, क्योंकि संभाव्यता सिद्धांत के अनुसार, मैं भाग्यशाली होने वाला हूं? काश, संभाव्यता सिद्धांत ऐसा कुछ नहीं कहता। कोई पासा नहीं, कोई कार्ड नहीं, कोई सिक्के नहीं याद नहीं आ रहा पिछली बार उन्होंने हमें क्या दिखाया था। उन्हें इस बात से बिल्कुल भी फर्क नहीं पड़ता कि आज पहली बार या दसवीं बार मैं अपने भाग्य की परीक्षा लेता हूं। हर बार जब मैं फिर से रोल करता हूं, मुझे केवल एक ही बात पता होती है: और इस बार फिर से "छः" रोल करने की संभावना एक-छठा है। बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि मुझे जिस नंबर की जरूरत है वह कभी खत्म नहीं होगा। इसका मतलब केवल यह है कि पहले टॉस के बाद और किसी अन्य टॉस के बाद मेरी हार स्वतंत्र घटना है।

घटनाएँ A और B कहलाती हैं स्वतंत्र, यदि उनमें से एक का कार्यान्वयन किसी भी तरह से दूसरी घटना की संभावना को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, दो बंदूकों में से पहली के साथ लक्ष्य को मारने की संभावनाएं इस बात पर निर्भर नहीं करती हैं कि दूसरी बंदूक ने लक्ष्य को मारा है या नहीं, इसलिए घटनाएं "पहली बंदूक ने लक्ष्य को मारा" और "दूसरी बंदूक ने लक्ष्य को मारा" स्वतंत्र हैं।

यदि दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, और उनमें से प्रत्येक की प्रायिकता ज्ञात है, तो घटना A और घटना B (AB द्वारा निरूपित) दोनों के एक साथ घटित होने की प्रायिकता की गणना निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता गुणन प्रमेय

पी (एबी) = पी (ए) * पी (बी)- संभावना समकालिकदो स्वतंत्रघटनाएँ है कामइन घटनाओं की संभावना।

उदाहरण।पहली और दूसरी तोपों से फायरिंग करते समय लक्ष्य को भेदने की प्रायिकताएँ क्रमशः समान होती हैं: p 1 =0.7; पी 2 = 0.8। दोनों तोपों द्वारा एक साथ एक वॉली से टकराने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला:जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, घटनाएँ A (पहली बंदूक से टकराई) और B (दूसरी बंदूक से टकराई) स्वतंत्र हैं, अर्थात्। पी (एबी) \u003d पी (ए) * पी (बी) \u003d पी 1 * पी 2 \u003d 0.56।

हमारे अनुमानों का क्या होगा यदि आरंभिक घटनाएं स्वतंत्र नहीं हैं? आइए पिछले उदाहरण को थोड़ा बदल दें।

उदाहरण।एक प्रतियोगिता में दो निशानेबाज निशाने पर गोली मारते हैं, और यदि उनमें से एक ने सटीक निशाना लगाया, तो प्रतिद्वंद्वी घबराने लगता है, और उसके परिणाम खराब हो जाते हैं। इस रोज़मर्रा की स्थिति को गणितीय समस्या में कैसे बदलें और इसे हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करें? यह सहज रूप से स्पष्ट है कि किसी तरह दो परिदृश्यों को अलग करना, वास्तव में, दो परिदृश्य, दो अलग-अलग कार्यों की रचना करना आवश्यक है। पहले मामले में, यदि प्रतिद्वंद्वी चूक जाता है, तो परिदृश्य नर्वस एथलीट के लिए अनुकूल होगा और उसकी सटीकता अधिक होगी। दूसरे मामले में, यदि प्रतिद्वंद्वी ने शालीनता से अपने मौके का एहसास किया, तो दूसरे एथलीट के लिए लक्ष्य को मारने की संभावना कम हो जाती है।

घटनाओं के विकास के संभावित परिदृश्यों (उन्हें अक्सर परिकल्पना कहा जाता है) को अलग करने के लिए, हम अक्सर "संभाव्यता वृक्ष" योजना का उपयोग करेंगे। यह आरेख निर्णय वृक्ष के अर्थ में समान है, जिसे आप शायद पहले ही निपटा चुके हैं। प्रत्येक शाखा एक अलग परिदृश्य है, केवल अब तथाकथित का अपना अर्थ है सशर्तसंभावनाएं (क्यू 1, क्यू 2, क्यू 1 -1, क्यू 2 -1)।

क्रमिक यादृच्छिक घटनाओं के विश्लेषण के लिए यह योजना बहुत सुविधाजनक है।

यह एक और महत्वपूर्ण प्रश्न को स्पष्ट करना बाकी है: संभावनाओं के प्रारंभिक मूल्य कहां हैं वास्तविक स्थितियां ? आखिर प्रायिकता का सिद्धांत एक ही सिक्के और पासे के साथ काम नहीं करता है, है ना? आमतौर पर ये अनुमान आँकड़ों से लिए जाते हैं, और जब आँकड़े उपलब्ध नहीं होते हैं, तो हम अपना शोध स्वयं करते हैं। और हमें अक्सर इसकी शुरुआत डेटा एकत्र करने से नहीं, बल्कि इस सवाल से करनी पड़ती है कि हमें आम तौर पर किस जानकारी की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।1,00,000 निवासियों के शहर में, मान लीजिए कि हमें एक नए गैर-आवश्यक उत्पाद के लिए बाजार के आकार का अनुमान लगाने की आवश्यकता है, जैसे कि रंग-उपचारित हेयर कंडीशनर। आइए "संभावनाओं का पेड़" योजना पर विचार करें। इस मामले में, हमें लगभग प्रत्येक "शाखा" पर संभाव्यता के मूल्य का अनुमान लगाने की आवश्यकता है। तो, बाजार क्षमता के हमारे अनुमान:

1) शहर के सभी निवासियों में 50% महिलाएं हैं,

2) सभी महिलाओं में से केवल 30% ही अक्सर अपने बालों को डाई करती हैं,

3) इनमें से केवल 10% ही रंगीन बालों के लिए बाम का उपयोग करते हैं,

4) इनमें से केवल 10% ही नए उत्पाद को आजमाने का साहस जुटा सकते हैं,

5) उनमें से 70% आमतौर पर हमसे नहीं, बल्कि हमारे प्रतिस्पर्धियों से सब कुछ खरीदते हैं।

फेसला:संभावनाओं के गुणन के नियम के अनुसार, हम हमारे लिए ब्याज की घटना की संभावना निर्धारित करते हैं ए \u003d (एक शहर निवासी हमसे यह नया बाम खरीदता है) \u003d 0.00045।

इस प्रायिकता मान को शहर के निवासियों की संख्या से गुणा करें। नतीजतन, हमारे पास केवल 45 संभावित खरीदार हैं, और यह देखते हुए कि इस उत्पाद की एक शीशी कई महीनों के लिए पर्याप्त है, व्यापार बहुत जीवंत नहीं है।

फिर भी, हमारे आकलन से लाभ हैं।

सबसे पहले, हम विभिन्न व्यावसायिक विचारों के पूर्वानुमानों की तुलना कर सकते हैं, उनके पास आरेखों पर अलग-अलग "कांटे" होंगे, और निश्चित रूप से, संभाव्यता मान भी भिन्न होंगे।

दूसरे, जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, एक यादृच्छिक चर को यादृच्छिक नहीं कहा जाता है क्योंकि यह किसी भी चीज़ पर निर्भर नहीं करता है। सिर्फ वह सटीकमूल्य पहले से ज्ञात नहीं है। हम जानते हैं कि खरीदारों की औसत संख्या बढ़ाई जा सकती है (उदाहरण के लिए, किसी नए उत्पाद का विज्ञापन करके)। इसलिए उन "कांटे" पर ध्यान केंद्रित करना समझ में आता है जहां संभावनाओं का वितरण विशेष रूप से हमारे अनुरूप नहीं होता है, उन कारकों पर जिन्हें हम प्रभावित करने में सक्षम हैं।

उपभोक्ता व्यवहार अनुसंधान के एक अन्य मात्रात्मक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।खाद्य बाजार में प्रतिदिन औसतन 10,000 लोग आते हैं। एक बाजार आगंतुक के डेयरी मंडप में जाने की संभावना 1/2 है। ज्ञात हो कि इस मंडप में प्रतिदिन औसतन 500 किलोग्राम विभिन्न उत्पाद बेचे जाते हैं।

क्या यह तर्क दिया जा सकता है कि पवेलियन में औसत खरीदारी का वजन केवल 100 ग्राम होता है?

विचार-विमर्श।बिलकूल नही। यह स्पष्ट है कि पवेलियन में प्रवेश करने वाले हर व्यक्ति ने वहां कुछ न कुछ खरीदा।

जैसा कि आरेख में दिखाया गया है, औसत खरीद वजन के बारे में प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें इस प्रश्न का उत्तर खोजना होगा कि मंडप में प्रवेश करने वाला व्यक्ति वहां कुछ खरीदता है। यदि हमारे पास ऐसा डेटा नहीं है, लेकिन हमें उनकी आवश्यकता है, तो हमें कुछ समय के लिए पवेलियन के आगंतुकों को देखने के बाद उन्हें स्वयं प्राप्त करना होगा। मान लीजिए कि हमारी टिप्पणियों से पता चलता है कि मंडप में आने वाले आगंतुकों में से केवल पांचवां हिस्सा ही कुछ खरीदते हैं।

जैसे ही ये अनुमान हमें प्राप्त होते हैं, कार्य पहले से ही सरल हो जाता है। बाजार में आने वाले 10,000 लोगों में से 5,000 डेयरी उत्पादों के मंडप में जाएंगे, केवल 1,000 खरीद होंगे। औसत खरीद वजन 500 ग्राम है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि जो हो रहा है उसकी पूरी तस्वीर बनाने के लिए, सशर्त "शाखाओं" के तर्क को हमारे तर्क के प्रत्येक चरण में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए जैसे कि हम "ठोस" स्थिति के साथ काम कर रहे थे, न कि संभावनाओं के साथ।

आत्म परीक्षण के लिए कार्य

1. मान लीजिए कि n श्रृंखला से जुड़े तत्वों से युक्त एक विद्युत परिपथ है, जिनमें से प्रत्येक दूसरों से स्वतंत्र रूप से संचालित होता है।

प्रत्येक तत्व के विफल न होने की प्रायिकता p ज्ञात है। सर्किट के पूरे खंड (घटना ए) के उचित संचालन की संभावना निर्धारित करें।

2. छात्र 25 परीक्षा प्रश्नों में से 20 जानता है। परीक्षार्थी द्वारा उसे दिए गए तीन प्रश्नों को जानने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

3. उत्पादन में लगातार चार चरण होते हैं, जिनमें से प्रत्येक उपकरण संचालित करता है जिसके लिए अगले महीने के भीतर विफलता की संभावनाएं क्रमशः पी 1, पी 2, पी 3 और पी 4 हैं। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक माह में उपकरण खराब होने के कारण उत्पादन बंद नहीं होगा।

संभावनाओं पर कार्रवाई की आवश्यकता तब आती है जब कुछ घटनाओं की संभावनाओं को जाना जाता है, और इन घटनाओं से जुड़ी अन्य घटनाओं की संभावनाओं की गणना करने की आवश्यकता होती है।

संभाव्यता जोड़ का उपयोग तब किया जाता है जब संयोजन की संभावना या यादृच्छिक घटनाओं के तार्किक योग की गणना करना आवश्यक होता है।

घटनाओं का योग एऔर बीनामित ए + बीया ए ∪ बी. दो घटनाओं का योग एक घटना है जो तब घटित होती है जब और केवल तभी होती है जब कम से कम एक घटना घटित होती है। इसका मतलब है कि ए + बी- एक घटना जो तब होती है जब अवलोकन के दौरान कोई घटना होती है एया घटना बी, या एक ही समय में एऔर बी.

अगर घटनाएं एऔर बीपरस्पर असंगत हैं और उनकी प्रायिकताएँ दी गई हैं, तो एक परीक्षण के परिणामस्वरूप इन घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता की गणना प्रायिकताओं के योग का उपयोग करके की जाती है।

प्रायिकताओं के योग का प्रमेय।दो परस्पर असंगत घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

उदाहरण के लिए, शिकार करते समय दो गोलियां चलाई गईं। घटना लेकिन- पहले शॉट से डक मारना, घटना पर- दूसरे शॉट से हिट, घटना ( लेकिन+ पर) - पहले या दूसरे शॉट से या दो शॉट से मारा। तो अगर दो घटनाएं लेकिनऔर परअसंगत घटनाएँ हैं, तो लेकिन+ पर- इनमें से कम से कम एक घटना या दो घटनाओं का होना।

उदाहरण 1एक बॉक्स में समान आकार की 30 गेंदें हैं: 10 लाल, 5 नीली और 15 सफेद। इस संभावना की गणना करें कि एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद बिना देखे ही ली जाती है।

फेसला। आइए मान लें कि घटना लेकिन- "लाल गेंद ली जाती है", और घटना पर- "नीली गेंद ली गई है।" फिर घटना है "एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद ली जाती है"। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए लेकिन:

और घटनाएं पर:

आयोजन लेकिनऔर पर- परस्पर असंगत, क्योंकि यदि एक गेंद ली जाती है, तो विभिन्न रंगों की गेंदें नहीं ली जा सकतीं। इसलिए, हम संभावनाओं के जोड़ का उपयोग करते हैं:

कई असंगत घटनाओं के लिए संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय।यदि घटनाएँ घटनाओं का पूरा सेट बनाती हैं, तो उनकी प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर होता है:

विपरीत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग भी 1 के बराबर होता है:

विपरीत घटनाएं घटनाओं का एक पूरा सेट बनाती हैं, और घटनाओं के एक पूरे सेट की संभावना 1 है।

विपरीत घटनाओं की संभावनाओं को आमतौर पर छोटे अक्षरों में दर्शाया जाता है। पीऔर क्यू. विशेष रूप से,

जिससे विपरीत घटनाओं की प्रायिकता के लिए निम्नलिखित सूत्र अनुसरण करते हैं:

उदाहरण 2डैश में लक्ष्य को 3 जोनों में बांटा गया है। संभावना है कि एक निश्चित शूटर पहले क्षेत्र में एक लक्ष्य पर गोली मार देगा 0.15, दूसरे क्षेत्र में - 0.23, तीसरे क्षेत्र में - 0.17। निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता और निशानेबाज के निशाने से चूकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शूटर लक्ष्य से चूक जाता है:

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए विभिन्न कार्य" ।

पारस्परिक रूप से संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का जोड़

दो यादृच्छिक घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है यदि एक घटना की घटना एक ही अवलोकन में दूसरी घटना की घटना को रोकती नहीं है। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकते समय, घटना लेकिनसंख्या 4 की घटना माना जाता है, और घटना पर- एक सम संख्या गिराना। चूँकि संख्या 4 एक सम संख्या है, इसलिए दोनों घटनाएँ संगत हैं। व्यवहार में, पारस्परिक रूप से संयुक्त घटनाओं में से एक की घटना की संभावनाओं की गणना के लिए कार्य हैं।

संयुक्त घटनाओं के लिए संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय।संयुक्त घटनाओं में से एक होने की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है, जिसमें से दोनों घटनाओं की सामान्य घटना की संभावना घटा दी जाती है, यानी संभावनाओं का उत्पाद। संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का सूत्र इस प्रकार है:

क्योंकि घटनाएं लेकिनऔर परसंगत, घटना लेकिन+ परतब होता है जब तीन संभावित घटनाओं में से एक होता है: या अब. असंगत घटनाओं के योग के प्रमेय के अनुसार, हम निम्नानुसार गणना करते हैं:

घटना लेकिनतब होता है जब दो असंगत घटनाओं में से एक होता है: या अब. हालाँकि, कई असंगत घटनाओं में से एक घटना के घटित होने की संभावना इन सभी घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर होती है:

इसी तरह:

व्यंजकों (6) और (7) को व्यंजक (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम संयुक्त घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र प्राप्त करते हैं:

सूत्र (8) का उपयोग करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि घटनाएं लेकिनऔर परहो सकता है:

• परस्पर स्वतंत्र;
• परस्पर आश्रित।

परस्पर स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र:

परस्पर निर्भर घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र:

अगर घटनाएं लेकिनऔर परअसंगत हैं, तो उनका संयोग एक असंभव मामला है और इस प्रकार, पी(अब) = 0. असंगत घटनाओं के लिए चौथा प्रायिकता सूत्र इस प्रकार है:

उदाहरण 3ऑटो रेसिंग में, पहली कार में ड्राइविंग करते समय, दूसरी कार में ड्राइविंग करते समय जीतने की संभावना। ढूँढ़ने के लिए:

• दोनों कारों के जीतने की प्रायिकता;
• संभावना है कि कम से कम एक कार जीत जाएगी;

1) पहली कार के जीतने की प्रायिकता दूसरी कार के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए घटनाएं लेकिन(पहली कार जीतती है) और पर(दूसरी कार जीतती है) - स्वतंत्र घटनाएँ। दोनों कारों के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

2) दो कारों में से एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए विभिन्न कार्य" ।

प्रायिकताओं को जोड़ने की समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 4दो सिक्के फेंके जाते हैं। घटना ए- पहले सिक्के पर हथियारों के कोट का खो जाना। घटना बी- दूसरे सिक्के पर हथियारों के कोट का खो जाना। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए सी = ए + बी .

प्रायिकता गुणन

प्रायिकताओं के गुणन का उपयोग तब किया जाता है जब घटनाओं के तार्किक गुणनफल की प्रायिकता की गणना की जाती है।

इस मामले में, यादृच्छिक घटनाओं को स्वतंत्र होना चाहिए। दो घटनाओं को पारस्परिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि एक घटना की घटना दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित नहीं करती है।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता गुणन प्रमेय।दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता लेकिनऔर परइन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण 5सिक्के को लगातार तीन बार उछाला जाता है। संभावना है कि हथियारों का कोट तीनों बार गिर जाएगा।

फेसला। संभावना है कि हथियारों का कोट एक सिक्के के पहले उछाल पर, दूसरी बार और तीसरी बार पर गिरेगा। संभावना है कि हथियारों का कोट तीनों बार गिर जाएगा:

संभावनाओं को गुणा करने के लिए समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 6नौ नई टेनिस गेंदों के साथ एक बॉक्स है। खेल के लिए तीन गेंदें ली जाती हैं, खेल के बाद उन्हें वापस रख दिया जाता है। गेंदों का चयन करते समय, वे खेली गई और न खेली गई गेंदों के बीच अंतर नहीं करते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि तीन गेमों के बाद बॉक्स में कोई न खेली गई गेंदें नहीं होंगी?

उदाहरण 7कटे हुए वर्णमाला के कार्डों पर रूसी वर्णमाला के 32 अक्षर लिखे गए हैं। पांच कार्ड यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक खींचे जाते हैं, और मेज पर उसी क्रम में रखे जाते हैं जिस क्रम में वे दिखाई देते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अक्षर "अंत" शब्द बनाएंगे।

उदाहरण 8ताश के पत्तों (52 शीट) के एक पूरे डेक से एक बार में चार पत्ते निकाले जाते हैं। इन चारों पत्तों के एक ही सूट के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9उदाहरण 8 की तरह ही समस्या है, लेकिन प्रत्येक कार्ड को ड्रॉ होने के बाद डेक पर वापस कर दिया जाता है।

अधिक जटिल कार्य, जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है, साथ ही "संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए विभिन्न कार्य" पृष्ठ पर कई घटनाओं के उत्पाद की गणना करने की आवश्यकता होती है।

संभावना है कि पारस्परिक रूप से स्वतंत्र घटनाओं में से कम से कम एक घटित होगी, की गणना 1 से विपरीत घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद को घटाकर की जा सकती है, जो कि सूत्र द्वारा है:

उदाहरण 10माल परिवहन के तीन साधनों द्वारा पहुँचाया जाता है: नदी, रेल और सड़क परिवहन। नदी परिवहन द्वारा माल की डिलीवरी की संभावना 0.82, रेल द्वारा 0.87, सड़क द्वारा 0.90 है। इस संभावना का पता लगाएं कि माल परिवहन के तीन तरीकों में से कम से कम एक द्वारा वितरित किया जाएगा।

पाठक ने पहले ही हमारी प्रस्तुति में "संभावना" की अवधारणा के लगातार उपयोग पर ध्यान दिया है।

यह प्राचीन और मध्यकालीन तर्क के विपरीत आधुनिक तर्क की एक विशिष्ट विशेषता है। आधुनिक तर्कशास्त्री समझता है कि हमारा सारा ज्ञान केवल कमोबेश संभाव्य है, और निश्चित नहीं है, क्योंकि दार्शनिक और धर्मशास्त्री सोचने के आदी हैं।वह अत्यधिक चिंतित नहीं है कि आगमनात्मक निष्कर्ष केवल उसके निष्कर्ष की संभावना देता है, क्योंकि वह और कुछ नहीं की अपेक्षा करता है। हालांकि, अगर वह अपने निष्कर्ष की संभावना पर संदेह करने का कारण ढूंढता है तो वह संकोच करेगा।

इस प्रकार आधुनिक तर्कशास्त्र में पूर्व समय की तुलना में दो समस्याएं बहुत अधिक महत्वपूर्ण हो गई हैं। पहला, यह प्रायिकता की प्रकृति है, और दूसरी, प्रेरण का महत्व। आइए इन समस्याओं पर संक्षेप में चर्चा करें।

प्रायिकता क्रमशः दो प्रकार की होती है - निश्चित और अनिश्चित।

एक निश्चित प्रकार की प्रायिकता प्रायिकता के गणितीय सिद्धांत में होती है, जहाँ पासा फेंकने या सिक्के उछालने जैसी समस्याओं पर चर्चा की जाती है। यह वहां होता है जहां कई संभावनाएं होती हैं, और उनमें से कोई भी दूसरे को पसंद नहीं किया जा सकता है। यदि आप एक सिक्का उछालते हैं, तो यह या तो सिर या पूंछ पर उतरना चाहिए, लेकिन दोनों समान रूप से समान रूप से प्रतीत होते हैं। इसलिए, हेड और टेल की संभावना 50% है, एक को विश्वसनीयता के रूप में लिया जाता है। इसी तरह, यदि आप पासे को रोल करते हैं, तो यह छह में से किसी भी चेहरे पर गिर सकता है, और उनमें से किसी एक को पसंद करने का कोई कारण नहीं है, इसलिए प्रत्येक का मौका 1/6 है। बीमा अभियान अपने काम में इस तरह की संभावना का इस्तेमाल करते हैं। वे नहीं जानते कि कौन सी इमारत जल जाएगी, लेकिन वे जानते हैं कि हर साल कितने प्रतिशत इमारतें जल जाती हैं। वे नहीं जानते कि कोई विशेष व्यक्ति कितने समय तक जीवित रहेगा, लेकिन वे किसी भी अवधि में औसत जीवन प्रत्याशा को जानते हैं। ऐसे सभी मामलों में, संभाव्यता का अनुमान केवल संभावित नहीं है, सिवाय इस अर्थ में कि सभी ज्ञान केवल संभावित हैं। संभाव्यता अनुमान में ही उच्च स्तर की संभावना हो सकती है। नहीं तो बीमा कंपनियां दिवालिया हो जातीं।

प्रेरण की संभावना को बढ़ाने के लिए बहुत प्रयास किए गए हैं, लेकिन यह मानने का कारण है कि ये सभी प्रयास व्यर्थ थे। आगमनात्मक अनुमानों की प्रायिकता विशेषता लगभग हमेशा होती है, जैसा कि मैंने ऊपर कहा, अनिश्चित।

अब मैं समझाऊंगा कि यह क्या है।

यह दावा करना तुच्छ हो गया है कि सभी मानव ज्ञान गलत हैं। यह स्पष्ट है कि त्रुटियां अलग हैं। अगर मैं कहूं कि बुद्धाछठी शताब्दी में रहते थे ईसा मसीह के जन्म से पहले, त्रुटि की संभावना बहुत अधिक होगी। अगर मैं कहूं कि सीज़रमारा गया था, त्रुटि की संभावना कम होगी।

यदि मैं कहूं कि अभी महायुद्ध चल रहा है, तो त्रुटि की संभावना इतनी कम है कि कोई दार्शनिक या तर्कशास्त्री ही उसके अस्तित्व को स्वीकार कर सकता है। ये उदाहरण ऐतिहासिक घटनाओं से संबंधित हैं, लेकिन वैज्ञानिक कानूनों के संबंध में एक समान श्रेणीकरण मौजूद है। उनमें से कुछ में परिकल्पनाओं का स्पष्ट चरित्र है, जिसके पक्ष में अनुभवजन्य आंकड़ों की कमी को देखते हुए कोई भी अधिक गंभीर स्थिति नहीं देगा, जबकि अन्य इतने निश्चित प्रतीत होते हैं कि वैज्ञानिकों की ओर से उनके बारे में व्यावहारिक रूप से कोई संदेह नहीं है। सच। (जब मैं कहता हूं "सत्य," मेरा मतलब है "अनुमानित सत्य," क्योंकि प्रत्येक वैज्ञानिक कानून कुछ संशोधन के अधीन है।)

यदि इस शब्द को संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत के अर्थ में समझा जाए, तो हम जिस चीज के बारे में सुनिश्चित हैं और जिसे हम स्वीकार करने के इच्छुक हैं, के बीच कुछ है।

निश्चितता की डिग्री या विश्वसनीयता की डिग्री के बारे में बात करना अधिक सही होगा . यह एक व्यापक अवधारणा है जिसे मैंने "निश्चित संभावना" कहा है जो कि अधिक महत्वपूर्ण भी है।

बर्ट्रेंड रसेल, द आर्ट ऑफ ड्रॉइंग कनक्लूजन्स / द आर्ट ऑफ थिंकिंग, एम., हाउस ऑफ इंटेलेक्चुअल बुक्स, 1999, पी। 50-51.

• प्रायिकता - किसी घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री (सापेक्ष माप, मात्रात्मक मूल्यांकन)। जब किसी संभावित घटना के कारण वास्तव में विपरीत कारणों से अधिक होते हैं, तो इस घटना को संभावित कहा जाता है, अन्यथा - असंभावित या असंभव। नकारात्मक आधारों पर सकारात्मक आधारों की प्रधानता, और इसके विपरीत, अलग-अलग डिग्री तक हो सकती है, जिसके परिणामस्वरूप संभावना (और असंभवता) अधिक या कम होती है। इसलिए, संभावना का अक्सर गुणात्मक स्तर पर अनुमान लगाया जाता है, खासकर उन मामलों में जहां अधिक या कम सटीक मात्रात्मक मूल्यांकन असंभव या अत्यंत कठिन होता है। संभाव्यता के "स्तरों" के विभिन्न क्रमांकन संभव हैं।

  गणितीय दृष्टिकोण से संभाव्यता का अध्ययन एक विशेष अनुशासन है - संभाव्यता का सिद्धांत। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों में, संभाव्यता की अवधारणा को एक घटना की संख्यात्मक विशेषता के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है - एक संभाव्यता माप (या इसका मूल्य) - घटनाओं के एक सेट पर एक उपाय (प्राथमिक घटनाओं के एक सेट का सबसेट), मान लेना से

  (\ डिस्प्लेस्टाइल 0)

  (\ डिस्प्लेस्टाइल 1)

  अर्थ

  (\ डिस्प्लेस्टाइल 1)

  एक वैध घटना के अनुरूप है। एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है (विपरीत आम तौर पर हमेशा सत्य नहीं होता है)। यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है

  (\ डिस्प्लेस्टाइल पी)

  तब इसके न होने की प्रायिकता बराबर होती है

  (\displaystyle 1-पी)

  विशेष रूप से संभावना

  (\displaystyle 1/2)

  अर्थात घटना के घटित होने और न होने की समान प्रायिकता।

  प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा परिणामों की समसंभाव्यता की अवधारणा पर आधारित है। संभाव्यता उन परिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी दिए गए घटना के पक्ष में समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है। उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक सिक्का उछाल में "सिर" या "पूंछ" प्राप्त करने की संभावना 1/2 है, यदि यह माना जाता है कि केवल ये दो संभावनाएं होती हैं और वे समान रूप से होने की संभावना है। संभाव्यता की इस शास्त्रीय "परिभाषा" को संभावित मूल्यों की अनंत संख्या के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना के किसी सीमित क्षेत्र के किसी भी बिंदु (अंकों की संख्या अनंत है) पर समान संभावना के साथ हो सकता है अंतरिक्ष (विमान), तो इस अनुमेय क्षेत्र के किसी भाग में होने की संभावना इस भाग के आयतन (क्षेत्रफल) के अनुपात के बराबर है और सभी संभावित बिंदुओं के क्षेत्रफल का आयतन (क्षेत्रफल) है। .

  संभाव्यता की अनुभवजन्य "परिभाषा" एक घटना के घटित होने की आवृत्ति से संबंधित है, इस तथ्य के आधार पर कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ, आवृत्ति को इस घटना की संभावना के उद्देश्य की डिग्री तक ले जाना चाहिए। संभाव्यता के सिद्धांत की आधुनिक प्रस्तुति में, संभाव्यता को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जाता है, एक सेट के माप के सार सिद्धांत के एक विशेष मामले के रूप में। फिर भी, अमूर्त माप और संभाव्यता के बीच की कड़ी, जो किसी घटना की संभावना की डिग्री को व्यक्त करती है, ठीक इसके अवलोकन की आवृत्ति है।

  कुछ घटनाओं का संभाव्य विवरण आधुनिक विज्ञान में व्यापक हो गया है, विशेष रूप से अर्थमिति में, मैक्रोस्कोपिक (थर्मोडायनामिक) प्रणालियों के सांख्यिकीय भौतिकी में, जहां कणों की गति के शास्त्रीय नियतात्मक विवरण के मामले में भी, संपूर्ण प्रणाली का एक नियतात्मक विवरण। कणों का व्यावहारिक रूप से संभव और उपयुक्त नहीं है। क्वांटम भौतिकी में, वर्णित प्रक्रियाएं स्वयं एक संभाव्य प्रकृति की हैं।

यह उन प्रेक्षणों की संख्या का अनुपात है जिनमें विचाराधीन घटना घटी है और कुल प्रेक्षणों की संख्या है। पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में टिप्पणियों या प्रयोगों के मामले में ऐसी व्याख्या स्वीकार्य है। उदाहरण के लिए, यदि आप सड़क पर मिलने वाले लोगों में से लगभग आधे महिलाएं हैं, तो आप कह सकते हैं कि आप जिस व्यक्ति से सड़क पर मिलते हैं, उसके एक महिला होने की संभावना 1/2 है। दूसरे शब्दों में, एक यादृच्छिक प्रयोग के स्वतंत्र दोहराव की एक लंबी श्रृंखला में इसकी घटना की आवृत्ति एक घटना की संभावना के अनुमान के रूप में काम कर सकती है।

गणित में प्रायिकता

आधुनिक गणितीय दृष्टिकोण में, शास्त्रीय (अर्थात, क्वांटम नहीं) संभावना कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध द्वारा दी गई है। संभावना एक उपाय है पी, जो सेट पर सेट है एक्स, जिसे प्रायिकता स्थान कहा जाता है। इस उपाय में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:

यह इन स्थितियों से निम्नानुसार है कि संभाव्यता मापती है पीसंपत्ति भी है additivity: अगर सेट ए 1 और ए 2 तब प्रतिच्छेद न करें। इसे साबित करने के लिए, आपको सब कुछ डालना होगा ए 3 , ए 4, ... खाली सेट के बराबर और गणनीय योगात्मकता के गुण को लागू करें।

सेट के सभी सबसेट के लिए संभाव्यता माप को परिभाषित नहीं किया जा सकता है एक्स. इसे सिग्मा-बीजगणित पर परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है जिसमें समुच्चय के कुछ उपसमुच्चय होते हैं एक्स. इस मामले में, यादृच्छिक घटनाओं को अंतरिक्ष के मापने योग्य सबसेट के रूप में परिभाषित किया जाता है एक्स, अर्थात्, सिग्मा बीजगणित के तत्वों के रूप में।

संभाव्यता भाव

जब हम पाते हैं कि कुछ संभावित तथ्य के कारण वास्तव में विपरीत कारणों से अधिक होते हैं, तो हम इस तथ्य पर विचार करते हैं संभावित, अन्यथा - अविश्वसनीय. नकारात्मक आधारों पर सकारात्मक आधारों की यह प्रबलता, और इसके विपरीत, डिग्री के अनिश्चित सेट का प्रतिनिधित्व कर सकती है, जिसके परिणामस्वरूप संभावना(और असंभवता) ऐसा होता है अधिकया कम .

जटिल एकल तथ्य उनकी संभाव्यता की डिग्री की सटीक गणना की अनुमति नहीं देते हैं, लेकिन यहां भी कुछ बड़े उपखंडों को स्थापित करना महत्वपूर्ण है। इसलिए, उदाहरण के लिए, कानून के क्षेत्र में, जब गवाह की गवाही के आधार पर परीक्षण के अधीन एक व्यक्तिगत तथ्य स्थापित किया जाता है, तो यह हमेशा रहता है, सख्ती से बोलना, केवल संभावित, और यह जानना आवश्यक है कि यह संभावना कितनी महत्वपूर्ण है; रोमन कानून में, एक चौगुनी विभाजन यहाँ स्वीकार किया गया था: प्रोबेटियो प्लेना(जहां संभावना व्यावहारिक रूप से बदल जाती है सत्यता), आगे - प्रोबेटियो माइनस प्लेना, तब - प्रोबेटियो सेमीप्लेना मेजरऔर अंत में प्रोबेटियो सेमीप्लेना माइनर .

मामले की संभावना के सवाल के अलावा, कानून के क्षेत्र में और नैतिकता के क्षेत्र में (एक निश्चित नैतिक दृष्टिकोण के साथ) उत्पन्न हो सकता है, सवाल यह है कि किसी विशेष तथ्य की कितनी संभावना है सामान्य कानून का उल्लंघन है। यह प्रश्न, जो तल्मूड के धार्मिक न्यायशास्त्र में मुख्य उद्देश्य के रूप में कार्य करता है, ने रोमन कैथोलिक नैतिक धर्मशास्त्र (विशेष रूप से 16 वीं शताब्दी के अंत से) को बहुत जटिल व्यवस्थित निर्माण और एक विशाल साहित्य, हठधर्मिता और विवादात्मक (संभाव्यता देखें) को जन्म दिया। )

संभाव्यता की अवधारणा अपने आवेदन में एक निश्चित संख्यात्मक अभिव्यक्ति को केवल ऐसे तथ्यों के लिए स्वीकार करती है जो कुछ सजातीय श्रृंखला का हिस्सा हैं। तो (सबसे सरल उदाहरण में), जब कोई एक सिक्के को लगातार सौ बार फेंकता है, तो हम यहां एक सामान्य या बड़ी श्रृंखला (एक सिक्के के सभी गिरने का योग) पाते हैं, जो दो निजी या छोटे से बना होता है, इसमें मामला संख्यात्मक रूप से बराबर, श्रृंखला ("ईगल" गिरती है और "पूंछ" गिरती है); इस बार सिक्के के पट गिरने की प्रायिकता, यानी सामान्य पंक्ति का यह नया सदस्य दो छोटी पंक्तियों में से इस से संबंधित होगा, इस छोटी पंक्ति और बड़ी पंक्ति के बीच संख्यात्मक अनुपात को व्यक्त करने वाले अंश के बराबर है, अर्थात् 1/2, अर्थात समान प्रायिकता दो निजी श्रृंखलाओं में से एक या दूसरे की है। कम सरल उदाहरणों में, समस्या के डेटा से सीधे निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है, लेकिन इसके लिए पूर्व प्रेरण की आवश्यकता होती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यह पूछा जाता है: किसी दिए गए नवजात शिशु के 80 वर्ष तक जीवित रहने की क्या संभावना है? यहां समान परिस्थितियों में पैदा हुए और अलग-अलग उम्र में मरने वाले लोगों की एक सामान्य या बड़ी श्रृंखला होनी चाहिए (यह संख्या यादृच्छिक विचलन को खत्म करने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए, और श्रृंखला की एकरूपता को बनाए रखने के लिए पर्याप्त छोटी होनी चाहिए, क्योंकि एक के लिए व्यक्ति, उदाहरण के लिए, सेंट पीटर्सबर्ग में एक समृद्ध सांस्कृतिक परिवार में, शहर की पूरी मिलियन-मजबूत आबादी, जिसका एक महत्वपूर्ण हिस्सा विभिन्न समूहों के लोग हैं जो समय से पहले मर सकते हैं - सैनिक, पत्रकार , खतरनाक व्यवसायों में श्रमिक - संभाव्यता की वास्तविक परिभाषा के लिए बहुत विषम समूह का प्रतिनिधित्व करता है); इस सामान्य श्रृंखला को दस हजार मानव जीवन से युक्त होने दें; इसमें छोटी पंक्तियाँ शामिल हैं जो इस या उस उम्र तक जीने वालों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती हैं; इन छोटी पंक्तियों में से एक 80 वर्ष की आयु तक जीवित रहने वालों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। लेकिन इस छोटी श्रृंखला (साथ ही अन्य सभी) के आकार को निर्धारित करना असंभव है। संभवतः; यह विशुद्ध रूप से आगमनात्मक तरीके से, आँकड़ों के माध्यम से किया जाता है। मान लीजिए कि सांख्यिकीय अध्ययनों ने स्थापित किया है कि मध्यम वर्ग के 10,000 पीटर्सबर्गवासियों में से केवल 45 ही 80 वर्ष की आयु तक जीवित रहते हैं; इस प्रकार, यह छोटी पंक्ति 45 से 10,000 के रूप में बड़ी से संबंधित है, और किसी दिए गए व्यक्ति के लिए इस छोटी पंक्ति से संबंधित होने की संभावना, यानी 80 वर्ष तक जीने की संभावना 0.0045 के अंश के रूप में व्यक्त की जाती है। गणितीय दृष्टिकोण से संभाव्यता का अध्ययन एक विशेष अनुशासन, संभाव्यता के सिद्धांत का गठन करता है।

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

साहित्य

• अल्फ्रेड रेनी। संभाव्यता / अनुवाद पर पत्र। हंग से। डी. सास और ए. क्रुमली, एड. बी वी गेडेन्को। एम.: मीर। 1970
• गेदेंको बी.वी.संभाव्यता पाठ्यक्रम। एम।, 2007. 42 पी।
• कुप्त्सोव वी.आई.नियतिवाद और संभावना। एम।, 1976। 256 पी।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

समानार्थक शब्द:

विलोम शब्द:

देखें कि "संभावना" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

सामान्य वैज्ञानिक और दार्शनिक। अवलोकन की निश्चित शर्तों के तहत बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं की घटना की संभावना की मात्रात्मक डिग्री को दर्शाती एक श्रेणी, जो उनके सापेक्ष आवृत्तियों की स्थिरता को दर्शाती है। तर्क में, सिमेंटिक डिग्री ... ... दार्शनिक विश्वकोश

प्रायिकता, शून्य से एक तक की सीमा में एक संख्या, समावेशी, इस घटना के होने की संभावना का प्रतिनिधित्व करती है। किसी घटना की प्रायिकता को किसी घटना के घटित होने की संभावना की कुल संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

सभी संभावना में .. रूसी पर्यायवाची शब्द और अर्थ में समान भाव। नीचे। ईडी। एन। अब्रामोवा, एम।: रूसी शब्दकोश, 1999। संभाव्यता, संभावना, संभावना, मौका, उद्देश्य संभावना, मजा, स्वीकार्यता, जोखिम। चींटी। असंभव... पर्यायवाची शब्दकोश

संभावना- एक उपाय जिससे कोई घटना घट सकती है। नोट संभाव्यता की गणितीय परिभाषा "एक यादृच्छिक घटना से संबंधित 0 और 1 के बीच एक वास्तविक संख्या है।" संख्या टिप्पणियों की एक श्रृंखला में सापेक्ष आवृत्ति को दर्शा सकती है ... ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

संभावना- "कुछ विशिष्ट परिस्थितियों में किसी घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री की गणितीय, संख्यात्मक विशेषता जिसे असीमित बार दोहराया जा सकता है।" इस क्लासिक के आधार पर…… आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

- (संभावना) किसी घटना या किसी निश्चित परिणाम के घटित होने की संभावना। इसे 0 से 1 तक के विभाजन वाले पैमाने के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि किसी घटना की संभावना शून्य है, तो इसकी घटना असंभव है। 1 के बराबर प्रायिकता के साथ, की शुरुआत ... व्यापार शर्तों की शब्दावली